제 3 장 연습문제 풀이¶

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Basic（기초）

B-1. 간섭항의 계산
B-2. 위상차와 간섭의 강약
B-3. 복소 진폭의 절댓값의 제곱 전개
B-4. 간섭무늬의 극대·극소 조건
B-5. 구체적인 간섭무늬 계산
B-6. 확률분포의 규격화
B-7. 간섭의 가시도 (visibility)

Medium（표준）

M-1. 확률의 덧셈 vs 진폭의 덧셈의 정량적 비교
M-2. "어느 경로를 지나갔는가"의 정보와 간섭항의 소실
M-3. 경로차와 de Broglie 파장의 관계
M-4. 간섭의 소실을 "확률의 조건부 분해"로 이해하기

Advanced（발전）

A-1. 부분적 경로 정보와 간섭 가시도
A-2. 지연 선택 실험 (delayed choice experiment) 의 해석

Basic（기초）¶

B-1. 간섭항의 계산¶

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풀이 방침: 주어진 확률진폭 \(\phi_1\), \(\phi_2\) 의 절댓값의 제곱, 합의 절댓값의 제곱, 간섭항을 순서대로 계산해요.

1. \(P_1 = |\phi_1|^2\)¶

\[P_1 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/3}\right|^2 = \frac{1}{2} |e^{i\pi/3}|^2 = \frac{1}{2}\]

2. \(P_2 = |\phi_2|^2\)¶

\[P_2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6}\right|^2 = \frac{1}{2} |e^{-i\pi/6}|^2 = \frac{1}{2}\]

3. \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)¶

먼저 위상차를 구해요:

\[\delta = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\]

공식 \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) 를 사용해요:

\[P_{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 1 \cdot 0 = 1\]

\[\boxed{P_{12} = 1}\]

4. 간섭항 \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2)\)¶

\[\phi_1^* \phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6} = \frac{1}{2} e^{-i(\pi/3 + \pi/6)} = \frac{1}{2} e^{-i\pi/2}\]

\[2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2) = 2 \cdot \mathrm{Re}\left(\frac{1}{2} e^{-i\pi/2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\]

\[\boxed{2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2) = 0}\]

검산: \(P_{12} = P_1 + P_2 + 2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1\) ✓. 위상차가 \(\pi/2\) 이므로 간섭항이 0이 되는 것은 \(\cos(\pi/2) = 0\) 과 일치해요.

B-2. 위상차와 간섭의 강약¶

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풀이 방침: \(I_1 = I_2 = I_0\) 일 때, 식 (3.2)는

\[I_{12} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0}\cos\delta = 2I_0(1 + \cos\delta)\]

1. \(\delta = 0\)¶

\[I_{12} = 2I_0(1 + \cos 0) = 2I_0(1 + 1) = \boxed{4I_0}\]

2. \(\delta = \pi/2\)¶

\[I_{12} = 2I_0(1 + \cos(\pi/2)) = 2I_0(1 + 0) = \boxed{2I_0}\]

3. \(\delta = \pi\)¶

\[I_{12} = 2I_0(1 + \cos\pi) = 2I_0(1 - 1) = \boxed{0}\]

4. \(\delta = 2\pi/3\)¶

\[I_{12} = 2I_0\left(1 + \cos\frac{2\pi}{3}\right) = 2I_0\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 2I_0 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{I_0}\]

검산: \(\delta = 0\) 에서 최대 \(4I_0\) (완전한 보강 간섭), \(\delta = \pi\) 에서 최소 \(0\) (완전한 상쇄 간섭). 이것은 등진폭 간섭의 전형적인 결과예요. \(\delta = \pi/2\) 에서 \(2I_0 = I_1 + I_2\) (간섭항이 0)인 것도 올바른 결과예요.

B-3. 복소 진폭의 절댓값의 제곱 전개¶

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풀이 방침: \(|z|^2 = z^* z\) 를 이용하여 \((\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\) 를 전개해요.

\[|\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\]

\[= \phi_1^*\phi_1 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 + \phi_2^*\phi_2\]

각 항을 계산하면: - \(\phi_1^*\phi_1 = (Ae^{-i\alpha})(Ae^{i\alpha}) = A^2\) - \(\phi_2^*\phi_2 = (Be^{-i\beta})(Be^{i\beta}) = B^2\) - \(\phi_1^*\phi_2 = (Ae^{-i\alpha})(Be^{i\beta}) = ABe^{i(\beta - \alpha)}\) - \(\phi_2^*\phi_1 = (Be^{-i\beta})(Ae^{i\alpha}) = ABe^{i(\alpha - \beta)}\)

교차항을 정리하면:

\[\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = AB\left(e^{i(\beta-\alpha)} + e^{-i(\beta-\alpha)}\right) = 2AB\cos(\alpha - \beta)\]

따라서:

\[\boxed{|\phi_1 + \phi_2|^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos(\alpha - \beta)}\]

검산: \(A = B\), \(\alpha = \beta\) 일 때 \(|2Ae^{i\alpha}|^2 = 4A^2\) 이고, 공식으로부터도 \(A^2 + A^2 + 2A^2\cos 0 = 4A^2\) ✓. \(\alpha - \beta = \pi\) 일 때 \(A^2 + B^2 - 2AB = (A-B)^2\) 이고, \(|Ae^{i\alpha} + Be^{i(\alpha+\pi)}|^2 = |A - B|^2 = (A-B)^2\) ✓.

B-4. 간섭무늬의 극대·극소 조건¶

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풀이 방침: 경로차 \(\Delta = dx/L\) 에 대응하는 위상차는 \(\delta = 2\pi\Delta/\lambda = 2\pi dx/(\lambda L)\)이에요.

1. 극대(보강 간섭) 조건¶

보강 간섭은 \(\cos\delta = +1\), 즉 \(\delta = 2n\pi\) (\(n\)은 정수)일 때 일어나요.

\[\frac{2\pi\Delta}{\lambda} = 2n\pi \implies \boxed{\Delta = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)}\]

2. 극소(상쇄 간섭) 조건¶

상쇄 간섭은 \(\cos\delta = -1\), 즉 \(\delta = (2n+1)\pi\) 일 때 일어나요.

\[\frac{2\pi\Delta}{\lambda} = (2n+1)\pi \implies \boxed{\Delta = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)}\]

3. 인접한 극대 사이의 간격 \(\Delta x\)¶

\(n\)차 극대의 위치는 \(\Delta = n\lambda\)로부터 \(dx_n/L = n\lambda\), 즉 \(x_n = n\lambda L/d\)예요.

인접한 극대 사이의 간격은:

\[\boxed{\Delta x = x_{n+1} - x_n = \frac{\lambda L}{d}}\]

검산: 차원 분석: \([\lambda L/d] = \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{m} = \mathrm{m}\) ✓. \(\lambda\)가 클수록, \(L\)이 클수록 무늬 간격은 넓어지고, \(d\)가 클수록 좁아져요. 이는 물리적으로 타당해요.

B-5. 구체적인 간섭무늬 계산¶

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1. 전자의 de Broglie 파장 \(\lambda\)¶

가속 전압 \(V\)로 가속된 전자의 운동량:

\[eV = \frac{p^2}{2m_e} \implies p = \sqrt{2m_e eV}\]

\[p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 150}\]

\[= \sqrt{2 \times 9.11 \times 1.60 \times 150 \times 10^{-50}}\]

\[= \sqrt{4373 \times 10^{-50}} = \sqrt{4.373 \times 10^{-47}}\]

\[= 6.61 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg \cdot m/s}\]

de Broglie 파장:

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-24}} = 1.00 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\]

\[\boxed{\lambda \approx 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0\,\text{Å}}\]

2. 간섭무늬의 간격 \(\Delta x\)¶

D4의 결과를 이용하면:

\[\Delta x = \frac{\lambda L}{d} = \frac{1.0 \times 10^{-10} \times 0.50}{1.0 \times 10^{-6}}\]

\[= \frac{5.0 \times 10^{-11}}{1.0 \times 10^{-6}} = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\]

\[\boxed{\Delta x = 50\,\mu\mathrm{m} = 0.050\,\mathrm{mm}}\]

검산: 150 V로 가속된 전자의 de Broglie 파장이 약 1 Å이라는 것은 전자선 회절의 전형적인 값과 일치해요(Davisson-Germer 실험에서도 같은 정도). 무늬 간격 50 μm은 광학 현미경으로 충분히 관측 가능한 스케일이며, 타당해요.

B-6. 확률분포의 규격화¶

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풀이 방침: 1주기분 \(-\frac{\lambda L}{2d} \le x \le \frac{\lambda L}{2d}\) 에서 \(\int P(x)\,dx = 1\) 이 되도록 \(C\)를 결정해요.

\(u = \frac{\pi d x}{\lambda L}\) 로 치환하면, \(du = \frac{\pi d}{\lambda L}dx\), 즉 \(dx = \frac{\lambda L}{\pi d}du\)가 돼요.

\(x\)의 범위 \(\left[-\frac{\lambda L}{2d}, \frac{\lambda L}{2d}\right]\)는 \(u\)의 범위 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)에 대응해요.

\[\int_{-\lambda L/(2d)}^{\lambda L/(2d)} C\cos^2\!\left(\frac{\pi d x}{\lambda L}\right)dx = C \cdot \frac{\lambda L}{\pi d} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 u\,du\]

\(\cos^2 u = \frac{1}{2}(1 + \cos 2u)\)를 이용하면:

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 u\,du = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}(1 + \cos 2u)\,du = \frac{1}{2}\left[u + \frac{\sin 2u}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\]

\[= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(-\pi)}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right] = \frac{\pi}{2}\]

따라서:

\[C \cdot \frac{\lambda L}{\pi d} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \implies C \cdot \frac{\lambda L}{2d} = 1\]

\[\boxed{C = \frac{2d}{\lambda L}}\]

검산: \(C\)의 차원은 \([1/\text{길이}]\)(확률밀도의 차원)이며, \(d/(\lambda L) = \mathrm{m}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{m}) = \mathrm{m}^{-1}\) ✓. 또한 적분 구간의 폭은 \(\lambda L/d\)이고, \(P(x)\)의 평균값은 \(C/2 = d/(\lambda L)\)이에요. 평균값 × 구간 폭 \(= d/(\lambda L) \times \lambda L/d = 1\) ✓.

B-7. 간섭의 가시도 (visibility)¶

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풀이 방침: 식 (3.2) \(I_{12} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) 로부터 \(I_{\max}\)와 \(I_{\min}\)을 구해요.

\(\cos\delta = +1\) 일 때 최대:

\[I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\]

\(\cos\delta = -1\) 일 때 최소:

\[I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}\]

가시도를 계산해요:

\[\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}) - (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2})}{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2})}\]

\[= \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)}\]

\[\boxed{\mathcal{V} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}}\]

검산: - \(I_1 = I_2 = I_0\) 일 때: \(\mathcal{V} = \frac{2\sqrt{I_0^2}}{2I_0} = \frac{2I_0}{2I_0} = 1\) ✓ (완전한 가시도) - \(I_1 \gg I_2\) 일 때: \(\mathcal{V} \approx \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1} = 2\sqrt{I_2/I_1} \to 0\) ✓ (한쪽이 지배적이면 무늬가 잘 보이지 않아요) - \(0 \le \mathcal{V} \le 1\) 인 것은, 산술평균 ≥ 기하평균 (\(I_1 + I_2 \ge 2\sqrt{I_1 I_2}\)) 으로부터 확인할 수 있어요 ✓

Medium（표준）¶

M-1. 확률의 덧셈 vs 진폭의 덧셈의 정량적 비교¶

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1. 양자역학적 확률분포 \(P_{12}^{\mathrm{QM}}(x)\)¶

\[P_{12}^{\mathrm{QM}} = |\phi_1 + \phi_2|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ikr_1} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{ikr_2}\right|^2\]

\[= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(k(r_1 - r_2))\]

경로차의 근사 \(r_1 - r_2 \approx dx/L\)를 사용하면, 위상차는 \(\delta = k \cdot dx/L = \frac{2\pi dx}{\lambda L}\)이에요.

\[\boxed{P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = 1 + \cos\left(\frac{kdx}{L}\right) = 1 + \cos\left(\frac{2\pi dx}{\lambda L}\right)}\]

2. 고전적 입자상의 확률분포 \(P_{12}^{\mathrm{cl}}(x)\)¶

\[P_{12}^{\mathrm{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\]

\[\boxed{P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = 1}\]

(위치 \(x\)에 무관하게 균일)

3. 간섭항의 논의¶

\[P_{12}^{\mathrm{QM}} - P_{12}^{\mathrm{cl}} = \cos\left(\frac{kdx}{L}\right)\]

양이 되는 \(x\)의 범위 (보강 간섭):

\[\cos\left(\frac{kdx}{L}\right) > 0 \iff -\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \frac{kdx}{L} < \frac{\pi}{2} + 2n\pi\]

\[\iff \left(n - \frac{1}{4}\right)\frac{\lambda L}{d} < x < \left(n + \frac{1}{4}\right)\frac{\lambda L}{d}\]

즉, 각 극대 위치 \(x_n = n\lambda L/d\)를 중심으로 한 폭 \(\lambda L/(2d)\)의 영역에서 양이에요.

음이 되는 \(x\)의 범위 (상쇄 간섭):

\[\cos\left(\frac{kdx}{L}\right) < 0 \iff \frac{\pi}{2} + 2n\pi < \frac{kdx}{L} < \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\]

\[\iff \left(n + \frac{1}{4}\right)\frac{\lambda L}{d} < x < \left(n + \frac{3}{4}\right)\frac{\lambda L}{d}\]

즉, 각 극소 위치의 주변에서 음이에요.

물리적 의미: 간섭항은 1주기에 걸쳐 평균하면 0이 돼요 (\(\cos\)의 평균은 0). 양자역학은 고전적 예측에 비해, 어떤 장소에서는 전자가 도달하기 쉽고 (확률의 재분배에 의한 보강 간섭), 다른 장소에서는 도달하기 어려워요 (상쇄 간섭). 전체 확률의 총합은 보존돼요.

검산: \(P_{12}^{\mathrm{QM}}\)을 \(x\)에 대해 1주기분 적분하면, \(\int_0^{\lambda L/d}(1 + \cos(\cdots))dx = \lambda L/d\)이에요. \(P_{12}^{\mathrm{cl}}\)의 같은 구간 적분도 \(\lambda L/d\)이에요. 확률의 총합은 동일해요 ✓.

M-2. "어느 경로를 지나갔는가"의 정보와 간섭항의 소실¶

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1. 완전한 경로 식별 (\(b = 0\), \(b' = 0\), \(|a|^2 = |a'|^2 = 1\))¶

식 (3.9)에 대입해요:

\[P_{12}' = |a\phi_1 + b\phi_2|^2 + |b'\phi_1 + a'\phi_2|^2\]

\(b = 0\), \(b' = 0\)을 대입:

\[P_{12}' = |a\phi_1|^2 + |a'\phi_2|^2 = |a|^2|\phi_1|^2 + |a'|^2|\phi_2|^2\]

\(|a|^2 = |a'|^2 = 1\)을 대입:

\[P_{12}' = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = P_1 + P_2\]

\[\boxed{P_{12}' = P_1 + P_2}\]

간섭항이 완전히 소멸했어요. \(\blacksquare\)

물리적 해석: \(b = 0\)은 "전자가 구멍 2를 통과했는데 광자가 \(D_1\)에서 검출될 확률이 0"임을 의미하며, 광자의 검출 위치로부터 전자의 경로를 완전히 특정할 수 있어요. 이 경우, 두 경로는 구별 가능한 최종 상태에 대응하므로 확률을 더해요.

2. 경로 식별이 전혀 불가능한 경우 (\(a = a' = b = b' = 1/\sqrt{2}\))¶

식 (3.9)에 대입해요:

\[P_{12}' = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\right|^2 + \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\right|^2\]

\[= \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2 + \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1 + \phi_2|^2\]

\[\boxed{P_{12}' = |\phi_1 + \phi_2|^2}\]

간섭무늬가 완전히 회복돼요. \(\blacksquare\)

물리적 해석: \(a = b\)이고 \(a' = b'\)일 때, 광자가 \(D_1\)에 들어가든 \(D_2\)에 들어가든 전자가 어느 구멍을 통과했는지에 대해 아무런 정보도 얻을 수 없어요. 경로가 구별 불가능하므로, 진폭을 더한 후 제곱하는 규칙이 적용돼요.

검산: (2)에서 두 항이 동일해지는 것을 확인해요. 제1항: \(|a\phi_1 + b\phi_2|^2 = |\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + \phi_2)|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2\). 제2항: \(|b'\phi_1 + a'\phi_2|^2 = |\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + \phi_2)|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2\). 합은 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) ✓.

M-3. 경로차와 de Broglie 파장의 관계¶

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1. de Broglie 파장¶

가속 전압 \(V\)로 가속된 전자의 운동 에너지:

\[\frac{p^2}{2m_e} = eV \implies p = \sqrt{2m_e eV}\]

de Broglie 파장:

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}}\]

2. \(n\)차 간섭 극대의 위치¶

극대 조건은 \(\Delta = n\lambda\), 즉 \(dx_n/L = n\lambda\):

\[\boxed{x_n = \frac{n\lambda L}{d} = \frac{nhL}{d\sqrt{2m_e eV}}}\]

3. 가속 전압을 \(4V\)로 바꿨을 때¶

새로운 파장:

\[\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m_e e(4V)}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_e eV}} = \frac{\lambda}{2}\]

새로운 간섭무늬 간격:

\[\Delta x' = \frac{\lambda' L}{d} = \frac{\lambda L}{2d} = \frac{\Delta x}{2}\]

\[\boxed{\text{간섭무늬의 간격은 원래의 } \frac{1}{2} \text{ 배가 된다 (무늬가 촘촘해진다)}}\]

검산: 가속 전압을 올리면 전자의 운동량이 증가하고, de Broglie 파장이 짧아져요. 파장이 짧을수록 간섭무늬는 촘촘해지므로, 물리적으로 타당해요. 차원 해석: \(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}\)의 차원은 \(\mathrm{J\cdot s}/\sqrt{\mathrm{kg \cdot C \cdot V}} = \mathrm{J\cdot s}/\sqrt{\mathrm{kg \cdot J}} = \mathrm{J\cdot s}/\sqrt{\mathrm{kg \cdot kg \cdot m^2/s^2}} = \mathrm{m}\) ✓.

M-4. 간섭의 소실을 "확률의 조건부 분해"로 이해하기¶

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1. 전확률 공식의 붕괴¶

대칭적인 슬릿을 가정하면 \(P(A_1) = P(A_2) = 1/2\)이에요. 고전적인 전확률 공식은:

\[P(x) = P(x|A_1)P(A_1) + P(x|A_2)P(A_2)\]

여기서 \(P(x|A_1)\)은 "구멍 1을 통과한 경우에 \(x\)에 도달하는 확률" = \(P_1(x)\) (구멍 1만 열었을 때의 분포를 적절히 규격화한 것), 마찬가지로 \(P(x|A_2) = P_2(x)\)예요. 따라서 전확률 공식은:

\[P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = \frac{1}{2}P_1(x) + \frac{1}{2}P_2(x)\]

을 예측해요.

한편, 실험에서 관측되는 양자역학적 확률분포는:

\[P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = |\phi_1 + \phi_2|^2 = P_1 + P_2 + 2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\]

(여기서 \(|\phi_1|^2 = P_1/1 = P_1\) 등으로 규격화를 맞추면)

간섭항 \(2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) \neq 0\)이 존재하기 때문에:

\[\boxed{P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) \neq \frac{1}{2}P_1(x) + \frac{1}{2}P_2(x) = P_{12}^{\mathrm{cl}}(x)}\]

전확률 공식이 성립하지 않아요. \(\blacksquare\)

2. 붕괴의 원인¶

전확률 공식 \(P(x) = \sum_i P(x|A_i)P(A_i)\)이 성립하기 위한 전제조건은:

사건 \(A_1\)과 \(A_2\)가 배반(동시에 일어나지 않음)
사건 \(A_1\)과 \(A_2\)가 망라적(반드시 둘 중 하나가 일어남)
각 사건 \(A_i\)가 확정된 사실로서 존재함

이중 슬릿 실험에서 간섭무늬가 관측될 때, 붕괴하는 것은 조건 3이에요.

"전자는 구멍 1을 통과했다" "전자는 구멍 2를 통과했다"라는 사건이, 관측되지 않는 한 확정된 사실로서 존재하지 않아요. 경로가 확정되지 않은(실재하지 않는) 상황에서는, "어느 쪽을 통과했는가"를 전제로 한 조건부 확률의 분해 자체가 부적절해져요.

이것은 본문에서 서술된 "명제 A(각 전자는 둘 중 한쪽을 통과한다)를 가정하면 \(P_{12} = P_1 + P_2\)가 도출되지만, 실험 결과와 모순된다"라는 논의와 대응해요. 고전적 실재론——"측정하지 않아도 물리량은 확정된 값을 가진다"——이 붕괴하고 있다는 것을 의미해요.

검산: "어느 쪽을 통과했는가"를 실제로 관측한 경우(광원을 켠 실험)에는, 경로가 확정된 사실이 되므로, 전확률 공식이 회복되어 \(P_{12}' = P_1 + P_2\)가 돼요. 이것은 본문의 식 (3.6)과 일치해요 ✓.

Advanced（발전）¶

A-1. 부분적 경로 정보와 간섭 가시도¶

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1. 표지를 트레이스 아웃한 확률분포¶

전체 계의 상태:

\[|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_1(x)|m_1\rangle + \phi_2(x)|m_2\rangle\right)\]

전자의 스크린 위 확률분포는 표지의 자유도를 트레이스 아웃하여 얻어요. 표지 공간의 임의의 완전 정규직교 기저 \(\{|e_k\rangle\}\)를 사용하면:

\[P(x) = \sum_k |\langle e_k|\Psi\rangle|^2\]

하지만, 보다 직접적으로 밀도행렬을 이용하는 방법으로 계산해요. 전자가 위치 \(x\)에 도달하는 확률은:

\[P(x) = \langle\Psi|\Psi\rangle \text{ 의 } x \text{ 성분}\]

정확히는, \(P(x)\)는 표지의 상태 공간에서의 트레이스로서:

\[P(x) = \mathrm{Tr}_m\left[|\Psi(x)\rangle\langle\Psi(x)|\right]\]

여기서 \(|\Psi(x)\rangle\)는 표지 공간의 벡터 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)|m_1\rangle + \phi_2(x)|m_2\rangle)\)예요.

\[P(x) = \langle\Psi(x)|\Psi(x)\rangle = \frac{1}{2}\left(|\phi_1|^2\langle m_1|m_1\rangle + \phi_1^*\phi_2\langle m_1|m_2\rangle + \phi_2^*\phi_1\langle m_2|m_1\rangle + |\phi_2|^2\langle m_2|m_2\rangle\right)\]

\(\langle m_1|m_1\rangle = \langle m_2|m_2\rangle = 1\), \(\langle m_1|m_2\rangle = \gamma\)(실수), \(\langle m_2|m_1\rangle = \gamma^*= \gamma\)를 대입하면:

\[P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \frac{1}{2}\gamma(\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1)\]

\[\boxed{P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \gamma\,\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)}\]

간섭항의 계수가 \(\gamma\)로 억제되어 있어요.

2. 가시도 \(\mathcal{V}\)를 \(\gamma\)로 표현¶

\(|\phi_1| = |\phi_2| = A\)로 놓아요. \(\phi_1^*\phi_2 = A^2 e^{-i\delta}\)로 하면:

\[P(x) = \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{2}A^2 + \gamma A^2\cos\delta = A^2(1 + \gamma\cos\delta)\]

최댓값(\(\cos\delta = 1\)): \(P_{\max} = A^2(1 + \gamma)\)

최솟값(\(\cos\delta = -1\)): \(P_{\min} = A^2(1 - \gamma)\)

\[\mathcal{V} = \frac{P_{\max} - P_{\min}}{P_{\max} + P_{\min}} = \frac{A^2(1+\gamma) - A^2(1-\gamma)}{A^2(1+\gamma) + A^2(1-\gamma)} = \frac{2\gamma}{2}\]

\[\boxed{\mathcal{V} = \gamma}\]

3. 극한의 확인¶

\(\gamma = 1\)일 때(\(|m_1\rangle = |m_2\rangle\), 표지가 경로 정보를 갖지 않음):

\[P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) = \frac{1}{2}|\phi_1 + \phi_2|^2\]

(마지막 등식은 \(|\phi_1+\phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\)로부터 확인할 수 있어요.)

완전한 간섭무늬가 회복돼요. \(\mathcal{V} = 1\). 본문의 "경로 식별이 전혀 불가능한 경우에 간섭이 회복된다"는 논의와 일치해요. ✓

\(\gamma = 0\)일 때(\(\langle m_1|m_2\rangle = 0\), 완전히 구별 가능):

\[P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)\]

간섭항이 완전히 소멸해요. \(\mathcal{V} = 0\). 본문의 "완전한 경로 식별로 간섭이 사라진다"는 논의와 일치해요. ✓

4. Englert의 상보성 부등식 \(\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1\)¶

\(\mathcal{V} = \gamma\) 및 \(\mathcal{D} = \sqrt{1 - \gamma^2}\)로부터:

\[\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = \gamma^2 + (1 - \gamma^2) = 1\]

\[\boxed{\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1} \quad \blacksquare\]

물리적 의미: 간섭의 가시도(파동성의 지표)와 경로의 구별 가능성(입자성의 지표)은 상보적인 관계에 있어요. 한쪽을 완전히 얻으면 다른 쪽은 완전히 잃게 되고, 부분적인 정보의 경우에는 양자가 트레이드오프 관계에 있어요. 이것은 Bohr(보어)의 상보성 원리의 정량적 표현이에요.

검산: - \(\gamma = 1\): \(\mathcal{V} = 1\), \(\mathcal{D} = 0\), \(1 + 0 = 1\) ✓ - \(\gamma = 0\): \(\mathcal{V} = 0\), \(\mathcal{D} = 1\), \(0 + 1 = 1\) ✓ - \(\gamma = 1/\sqrt{2}\): \(\mathcal{V} = 1/\sqrt{2}\), \(\mathcal{D} = 1/\sqrt{2}\), \(1/2 + 1/2 = 1\) ✓

A-2. 지연 선택 실험 (delayed choice experiment) 의 해석¶

→ 문제로 돌아가기

1. 50:50 빔 분할기에서의 출력 진폭¶

\(t = 1/\sqrt{2}\), \(r = i/\sqrt{2}\) 로 놓으면:

\[\phi_A = t\phi_1 + r\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\]

\[\phi_B = r\phi_1 + t\phi_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\]

\(\phi_1 = |\phi_1|e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = |\phi_2|e^{i\beta}\), \(\delta = \alpha - \beta\) 로 놓아요.

\(|\phi_A|^2\) 의 계산:

\[|\phi_A|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\right|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \frac{1}{2}((-i)\phi_1^*\cdot\phi_2 + i\phi_2^*\cdot\phi_1) \cdot \frac{1}{1}\]

교차항을 정리하면:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1^* \cdot \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2 + \frac{-i}{\sqrt{2}}\phi_2^* \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1\]

\[= \frac{i}{2}\phi_1^*\phi_2 + \frac{-i}{2}\phi_2^*\phi_1 = \frac{i}{2}(\phi_1^*\phi_2 - \phi_2^*\phi_1)\]

\(\phi_1^*\phi_2 = |\phi_1||\phi_2|e^{i(\beta-\alpha)} = |\phi_1||\phi_2|e^{-i\delta}\) 이므로:

\[\phi_1^*\phi_2 - \phi_2^*\phi_1 = |\phi_1||\phi_2|(e^{-i\delta} - e^{i\delta}) = -2i|\phi_1||\phi_2|\sin\delta\]

따라서:

\[\text{교차항} = \frac{i}{2} \cdot (-2i|\phi_1||\phi_2|\sin\delta) = |\phi_1||\phi_2|\sin\delta\]

\[\boxed{|\phi_A|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + |\phi_1||\phi_2|\sin\delta}\]

\(|\phi_B|^2\) 의 계산:

\[\phi_B = \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2\]

교차항:

\[\frac{-i}{\sqrt{2}}\phi_1^* \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2^* \cdot \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_1 = \frac{-i}{2}\phi_1^*\phi_2 + \frac{i}{2}\phi_2^*\phi_1\]

\[= \frac{-i}{2}(\phi_1^*\phi_2 - \phi_2^*\phi_1) = \frac{-i}{2}(-2i|\phi_1||\phi_2|\sin\delta) = -|\phi_1||\phi_2|\sin\delta\]

\[\boxed{|\phi_B|^2 = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 - |\phi_1||\phi_2|\sin\delta}\]

2. \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\) 일 때¶

\[|\phi_A|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin\delta = \frac{1}{2}(1 + \sin\delta)\]

\[|\phi_B|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin\delta = \frac{1}{2}(1 - \sin\delta)\]

\[\boxed{|\phi_A|^2 = \frac{1}{2}(1 + \sin\delta), \quad |\phi_B|^2 = \frac{1}{2}(1 - \sin\delta)}\]

\(|\phi_A|^2\) 와 \(|\phi_B|^2\) 는 모두 위상차 \(\delta\) 의 함수로 진동해요. \(\delta\) 는 스크린 위의 위치(또는 두 경로의 광로차)에 의존하므로, 간섭이 관측돼요.

출력 포트의 검출 확률이 위상차에 따라 변동하는 것은 간섭의 명확한 증거예요.

검산: \(|\phi_A|^2 + |\phi_B|^2 = \frac{1}{2}(1+\sin\delta) + \frac{1}{2}(1-\sin\delta) = 1\) ✓ (확률 보존).

3. 빔 분할기를 제거한 경우¶

빔 분할기를 제거하면, \(\phi_A = \phi_1\), \(\phi_B = \phi_2\) 가 돼요.

\[|\phi_A|^2 = |\phi_1|^2 = \frac{1}{2}, \quad |\phi_B|^2 = |\phi_2|^2 = \frac{1}{2}\]

검출기 A에서 전자가 검출되면 "경로 1을 지나갔다", 검출기 B에서 검출되면 "경로 2를 지나갔다"고 결론 내릴 수 있어요. 경로 정보를 얻을 수 있어요.

그러나 \(|\phi_A|^2\) 와 \(|\phi_B|^2\) 는 모두 위상차 \(\delta\) 에 의존하지 않는 상수(\(1/2\))예요. 간섭은 관측되지 않아요.

이것은 본문의 규칙 "과정이 원리적으로 구별 가능할 때 → 확률을 더한다(간섭 없음)"의 구체적인 예시예요.

4. 고전적 실재론과의 모순¶

고전적 실재론의 가정: 전자는 슬릿을 통과하는 시점에서 확정된 경로(구멍 1 또는 구멍 2)를 가져요. 이 경로는 나중에 무엇을 하든 변하지 않아요(과거의 사실은 확정되어 있어요).

모순의 논증:

만약 전자가 슬릿 통과 시점에서 경로가 확정되어 있다면:

"구멍 1을 통과한 전자"와 "구멍 2를 통과한 전자"의 두 집단이 존재해요
나중에 빔 분할기를 넣을지 말지는 이미 통과한 전자의 경로를 바꿀 수 없어요
따라서 빔 분할기의 유무와 관계없이, 검출 패턴은 동일(\(P_1 + P_2\))해야 해요

그러나 실험 결과는: - 빔 분할기를 삽입하면 간섭 무늬(\(\sin\delta\) 의존성)가 나타나요 - 빔 분할기를 제거하면 간섭이 사라지고, 경로 정보를 얻을 수 있어요

전자가 슬릿을 통과한 이후에 (지연 선택으로) 빔 분할기의 삽입/제거를 결정해도 결과는 변하지 않아요. 이것은 "통과 시점에서 경로가 확정되어 있었다"는 가정과 모순돼요.

결론: 전자는 측정 장치의 최종 배치가 확정될 때까지 "어느 경로를 지나갔는가"가 확정된 사실로서 존재하지 않아요. Wheeler의 지연 선택 실험은, 과거의 사건조차 측정이 완료될 때까지는 확정된 실재를 갖지 않는다는 것을 시사해요. 이것은 고전적 실재론(물리량은 측정과 독립적으로 확정된 값을 가진다)의 근본적인 부정이에요.

검산: 이 결론은 인과율을 위반하지 않아요. 왜냐하면, 빔 분할기의 선택으로 과거에 "신호를 보내는" 것은 불가능하기 때문이에요. 개별 전자의 검출 위치는 무작위이며, 간섭 무늬는 다수의 전자를 집계해야 비로소 나타나요. 따라서 지연 선택의 결과를 이용하여 초광속 통신을 하는 것은 불가능해요 ✓.

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