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제 4 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 동시각 교환관계의 값 읽기

동시각 교환관계

\[ [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

를 이용하여 다음 각 양을 구하세요.

(a) \(\mathbf{x} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{y} = (4, 5, 6)\) 일 때, \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) 의 값.

(b) \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) 를 공간 전체에서 \(\mathbf{y}\) 에 대해 적분한 값, 즉

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] \]

을 구하세요.

(c) \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\) 를 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) 로 나타내세요.

힌트

(a) \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\) 일 때 디랙 델타 함수는 0이에요. (b) 델타 함수의 기본 성질 \(\int d^3y\, f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\) 를 사용해요. (c) 교환자의 반대칭성 \([A, B] = -[B, A]\) 을 떠올려 보세요.

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B-2. 생성·소멸 연산자의 교환관계 계산

교환관계

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

를 이용하여 다음을 계산하세요.

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

힌트

교환자 공식 \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\)를 반복적으로 사용해요. 양자역학에서 수 연산자 \(\hat{n} = a^\dagger a\)와 \(a\), \(a^\dagger\)의 교환관계를 계산했던 것과 같은 절차예요.

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B-3. 소멸 연산자의 진공에 대한 작용

진공 상태의 정의 \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\) (모든 \(\mathbf{p}\)에 대해)과 1입자 상태의 정의 \(|\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\)를 이용하여 다음을 계산하세요.

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

힌트

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\)를 교환 관계를 사용하여 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle + [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] |0\rangle\)로 분해해요. (b) (a)의 결과를 사용하고, \(\langle 0 | \hat{a}_{\mathbf{p}}\)가 \((\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle)^\dagger\)임에 주의하세요.

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B-4. Fourier 변환의 직교성 확인

Fourier 변환의 직교성

\[ \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

을 이용하여 다음을 계산하세요.

(a) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) 를 \(\delta^{(3)}\)으로 나타내세요.

(b) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\) 를 \(\delta^{(3)}\)으로 나타내세요.

(c) \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\) 를 계산하세요. 단, \(f(\mathbf{x})\)는 임의의 매끄러운 함수예요.

힌트

(a) 지수부를 \(e^{i(\mathbf{p}-(-\mathbf{q}))\cdot\mathbf{x}}\) 로 간주해요. (b) 지수법칙으로 지수부를 하나로 합쳐요. (c) 먼저 \(\mathbf{x}\) 적분과 \(\mathbf{p}\) 적분의 순서를 생각하고, 델타 함수의 정의를 사용해요.

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B-5. \(\omega_{\mathbf{p}}\) 의 구체적인 계산

에너지-운동량 관계

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

를 이용하여, 다음 경우의 \(\omega_{\mathbf{p}}\) 를 구하세요 (자연단위계 \(\hbar = c = 1\)).

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\) (정지 모드)

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\) (초상대론적 극한). \(\omega_{\mathbf{p}}\) 를 \(|\mathbf{p}|\) 의 최저차로 근사하세요.

(d) \(m = 0\) (질량이 0인 경우)

힌트

(a) \(|\mathbf{p}| = 0\) 을 대입하기만 하면 돼요. (c) \(\sqrt{p^2 + m^2} = |p|\sqrt{1 + m^2/p^2}\) 로 쓰고, \(m/|p| \ll 1\) 에서 테일러(Taylor) 전개를 해요.

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B-6. 장 연산자의 에르미트성 확인

실수 스칼라장의 모드 전개

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

의 에르미트 켤레 \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\)를 계산하고, \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})\)가 성립함을 보이세요.

힌트

에르미트 켤레를 취하면 \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \to \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \to e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) (\(\mathbf{x}\)는 실수)가 돼요. 얻어진 식에서 적분 변수를 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)로 치환하고, \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\)를 사용하세요.

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B-7. 켤레 운동량 밀도의 모드 전개 유도

장의 모드 전개(시간 의존성을 포함한 형태)

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

에 대해, 켤레 운동량 밀도 \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\)를 계산하고, 식 (4.12)를 유도하세요.

힌트

\(\partial_0 e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t} = -i\omega_{\mathbf{p}}\, e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\)와 \(\partial_0 e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t} = +i\omega_{\mathbf{p}}\, e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\)를 사용하여 시간 미분을 수행해요. \(t = 0\)에서의 표현식과 비교해요.

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B-8. 이산→연속 대응의 확인

부피 \(V = L^3\)인 상자에 넣은 경우, 운동량은 이산화되어 \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\)（\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)）이 돼요. 이때 다음의 대응을 확인하세요.

(a) 연속 극한 \(L \to \infty\)에서 \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\)이 됨을 보이세요.

(b) 이산적인 교환 관계 \([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}}\)로부터, 연속 극한에서 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)가 재현되려면, \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\) 사이에 어떤 스케일링 관계가 필요한가요?

힌트

(a) 이산 합을 Riemann (리만) 합으로 간주해요. 인접한 운동량의 간격은 \(\Delta p = 2\pi/L\)이에요. (b) \(\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}} \to \frac{(2\pi)^3}{V}\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)의 관계를 사용하여, \(\hat{a}_{\mathbf{p}} = \sqrt{V/(2\pi)^3}\, \hat{a}_{\mathbf{n}}\)과 같은 관계를 도출해요.

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Medium（표준）

M-1. 동시각 교환관계로부터 생성·소멸 연산자의 교환관계 도출

장의 모드 전개 (4.11)과 (4.12)를 동시각 교환관계 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\)에 대입하여, 생성·소멸 연산자의 교환관계

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

가 필요함을 보이세요.

구체적으로, \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\)이 성립하기 위해 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)에 대해 어떤 조건이 부과되는지를 도출하세요.

힌트

\([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\)를 전개하면, \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)와 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)를 포함하는 항이 나타나요. 푸리에 변환의 직교성을 사용하여, 임의의 \(\mathbf{p}, \mathbf{q}\)에 대해 교환자가 영이 되는 조건을 추출해요. \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = ([\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}])^\dagger\)의 관계도 사용할 수 있어요.

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M-2. Hamiltonian의 생성·소멸 연산자에 의한 표현

Klein-Gordon 장의 Hamiltonian

\[ H = \int d^3x\, \mathcal{H} = \int d^3x\, \left[\frac{1}{2}\hat{\pi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 + \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\right] \]

에 모드 전개 (4.11), (4.12)를 대입하여 다음 형태로 다시 쓰세요.

\[ H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

각 단계에서 Fourier 변환의 직교성 (4.15)과 교환 관계 (4.13)을 어디에서 사용했는지 명시하세요.

힌트

\(\hat{\pi}^2\), \((\nabla\hat{\phi})^2\), \(m^2\hat{\phi}^2\)의 3개 항을 각각 모드 전개로 써내려가세요. \(\nabla\)가 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)에 작용하면 \(i\mathbf{p}\)가 나와요. \(\mathbf{x}\) 적분에서 Fourier의 직교성을 사용하면 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} \pm \mathbf{q})\)가 나타나고, \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{-\mathbf{p}}\) 유형의 항과 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\) 유형의 항으로 나뉘어요. 전자가 3개의 기여를 합치면 상쇄됨을 확인하세요.

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M-3. 영점 에너지와 정규 순서

(a) 표준 문제 S2의 결과에서, \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) 항이 물리적으로 어떤 문제를 일으키는지 설명하세요. 특히, 진공의 에너지 \(\langle 0 | H | 0 \rangle\)를 계산하고, 그것이 발산함을 보이세요.

(b) 정규 순서 (normal ordering) \(:\!\hat{O}\!:\)를 "모든 생성 연산자를 소멸 연산자의 왼쪽에 재배열하는 조작"으로 정의해요. 정규 순서를 적용한 해밀토니안

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

에 대해, \(\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0\)이 됨을 보이세요.

(c) 정규 순서는 영점 에너지의 절대값을 제거하지만, 영점 에너지의 차이는 물리적으로 관측 가능해요. 이 주장을 카시미르(Casimir) 효과의 맥락에서 간결하게 설명하세요.

힌트

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\)을 사용하면, \(\langle 0 | \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} | 0 \rangle = 0\)이지만 \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) 항은 남아요. \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)는 상자의 부피 \(V/(2\pi)^3\)에 대응하며, 나아가 \(\omega_{\mathbf{p}}\)의 적분이 자외선 발산해요. (c) 경계 조건의 유무에 따라 허용되는 모드가 달라지고, 영점 에너지의 차이가 유한한 힘으로 나타나요.

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M-4. 복소 스칼라장의 양자화와 입자·반입자

복소 스칼라장의 Lagrangian 밀도

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

를 생각해요.

(a) \(\phi\)와 \(\phi^*\)를 독립적인 장으로 취급하여, 각각의 켤레 운동량 밀도 \(\pi_\phi\), \(\pi_{\phi^*}\)를 구하세요.

(b) 복소 스칼라장의 모드 전개는 2종류의 생성·소멸 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)와 \(\hat{b}_{\mathbf{p}}, \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\)를 사용하여

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

로 쓸 수 있어요. \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\)를 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)와 \(\hat{b}_{\mathbf{p}}\)로 나타내세요.

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 생성하는 입자와 \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 생성하는 입자의 물리적 차이를, 제 3 장에서 배운 \(U(1)\) 대칭성 \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\)에 대응하는 Noether(뇌터) 전하의 부호 관점에서 설명하세요.

힌트

(a) \(\pi_\phi = \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_0 \phi)\)를 계산해요. \(\phi\)와 \(\phi^*\)는 독립 변수로서 미분해요. (b) \(\hat{\phi}\)의 에르미트 켤레를 취하면 돼요. 실수 스칼라장과 달리 \(\hat{\phi}^\dagger \neq \hat{\phi}\)임에 주의하세요. (c) Noether 전하 \(Q = i\int d^3x\, (\phi^* \dot{\phi} - \dot{\phi}^* \phi)\)를 생성·소멸 연산자로 다시 쓰면, \(\hat{a}^\dagger \hat{a}\)와 \(\hat{b}^\dagger \hat{b}\)에 서로 다른 부호가 붙어요.

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Advanced（발전）

A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산

질량이 0인 (\(m = 0\)) 스칼라 장을 1차원 공간에서 고려하고, \(x = 0\)과 \(x = L\)에 완전 반사벽(디리클레(Dirichlet) 경계 조건 \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\))을 놓아요.

(a) 벽 사이에서 허용되는 운동량 모드가 \(p_n = n\pi/L\)(\(n = 1, 2, 3, \ldots\))임을 보이세요.

(b) 벽 사이의 영점 에너지는 형식적으로

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

로 쓸 수 있어요. 이 발산하는 합을 제타 함수 정칙화(zeta function regularization)를 사용하여 유한한 값으로 대체하세요. 구체적으로, 리만(Riemann) 제타 함수 \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\)의 \(s = -1\)로의 해석적 연속 \(\zeta(-1) = -1/12\)을 이용하세요.

(c) 얻어진 카시미르 에너지로부터 벽 사이에 작용하는 힘 \(F = -dE/dL\)을 구하고, 그 힘이 인력인지 척력인지 판정하세요.

(d) (발전적 고찰) 이 계산에서는 자외선 발산을 정칙화를 통해 처리했어요. 물리적으로, 왜 발산 부분을 버리고 유한한 부분만을 취하는 것이 정당화되는지를 "경계 조건의 유무에 따른 영점 에너지의 차이"의 관점에서 논하세요.

힌트

(a) 디리클레 경계 조건으로부터 \(\sin(p_n x)\) 형태의 모드만이 허용돼요. (b) \(\sum n\)을 \(\sum n^{-s}\)로 대체하고, \(s = -1\)을 대입해요. (c) \(E(L) = -\pi/(24L)\)을 \(L\)로 미분해요. (d) 벽이 없는 경우의 영점 에너지(연속 모드)와 벽이 있는 경우의 영점 에너지(이산 모드)의 차이를 고려하여, 발산 부분이 상쇄됨을 논의해요. 지수 함수적 컷오프 \(e^{-\epsilon n}\)을 도입하여 명시적으로 확인해도 좋아요.

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A-2. 장의 교환관계의 Lorentz 불변성과 인과율

정준 양자화에서는 시간을 특별하게 취급하여 동시각 교환관계를 부과했지만, 최종적으로 얻어지는 이론은 Lorentz (로렌츠) 불변이어야 해요. 이 문제에서는 장의 교환관계의 인과율적 구조를 조사해요.

(a) 두 점의 시공간 간격 \(x - y\)가 공간적（\((x - y)^2 < 0\)）일 때, 적절한 Lorentz 변환을 통해 \(x^0 = y^0\)（동시각）으로 만들 수 있음을 보이세요.

(b) 실수 스칼라장의 동시각 교환관계 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\)를 이용하여, 공간적으로 떨어진 두 점에서

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{for } (x-y)^2 < 0 \]

가 성립함을 논하세요. 이것이 미소 인과율 (microcausality)이라 불리는 조건임을 설명하세요.

(c) 만약 Klein-Gordon 장을 보즈 통계（교환관계）가 아닌 페르미 통계（반교환관계）로 양자화하려고 하면, 미소 인과율이 깨짐을 보이세요.

（힌트: 반교환관계 \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\)를 계산하고, 공간적으로 떨어진 두 점에서 영이 되지 않음을 확인하세요.）

이 결과는 스핀-통계 정리 (spin-statistics theorem)——정수 스핀의 장은 보즈 통계, 반정수 스핀의 장은 페르미 통계를 따른다——의 한 측면을 보여주고 있어요.

힌트

(a) 공간적 간격에서는 \(|\Delta \mathbf{x}| > |\Delta t|\)이므로, 부스트 속도 \(v = \Delta t / |\Delta \mathbf{x}| < 1\)인 Lorentz 변환으로 동시각으로 만들 수 있어요. 일반상대론 제 2 장의 Lorentz 변환 논의도 참조하세요. (b) 공간적 간격이면 동시각인 관성계가 존재하고, 그 좌표계에서의 교환관계가 영이에요. Lorentz 불변인 스칼라장의 교환관계는 좌표계에 의존하지 않아요. (c) 반교환관계를 사용하면 \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\)에 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]_+\)로부터의 기여가 남아, 공간적 분리에서도 영이 되지 않아요.

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