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제 2 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Compton (콤프턴) 산란에서 입사 X선의 파장이 nm일 때, 산란각 (후

Compton (콤프턴) 산란에서 입사 X선의 파장이 \(\lambda = 0.0711\) nm라고 해요. 산란각 \(\theta = 180°\) (후방 산란)일 때, 산란 후의 X선의 파장 \(\lambda'\)를 구하세요. Compton 파장 \(h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m을 사용해도 좋아요.

힌트

식 (2.1) \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\)에 \(\theta = 180°\)를 대입해요. \(\cos 180° = -1\)인 것에 주의하세요.

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B-2. Compton 산란의 식 (2.1)에서 산란각일 때의 파장 변화를 구하라

Compton 산란의 식 (2.1)에서 산란각 \(\theta = 60°\)일 때의 파장 변화 \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\)를 구하세요.

힌트

\(\cos 60° = 0.5\)를 대입하여 \(\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°)\)를 계산해요.

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B-3. 질량 kg의 양성자가 속도 m/s로 운동하고 있을 때, de Broglie 파장을 구하라

질량 \(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg의 양성자가 속도 \(v = 3.0 \times 10^{4}\) m/s로 운동하고 있을 때, de Broglie 파장 \(\lambda = h/(mv)\)를 구하세요.

힌트

\(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s를 분자에, \(mv\)를 분모에 대입하여 계산해요. 단위가 m이 되는 것을 확인하세요.

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B-4. 가속전압 V로 가속된 전자의 de Broglie 파장을 간편 공식으로 구하기

가속전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V로 가속된 전자의 de Broglie 파장을, 간편 공식

\[\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]

을 이용하여 구하세요. 또한, 그 값을 Å(옹스트롬) 단위로 환산하세요.

힌트

\(\sqrt{200}\)을 계산한 후 \(1.226\)을 나눠요. 1 nm = 10 Å의 관계를 사용해요.

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B-5. 전자(질량 kg)가 가속 전압 V로 가속되었을 때, 전자의 속도를 식 (2.9)

전자(질량 \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg)가 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V로 가속되었을 때, 전자의 속도 \(v\)를 식 (2.9)

\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

로부터 구하세요. 단, \(e = 1.602 \times 10^{-19}\) C로 해요.

힌트

\(v = \sqrt{2eV_{\mathrm{acc}}/m_e}\) 를 계산해요. 먼저 분자 \(2eV_{\mathrm{acc}}\)와 분모 \(m_e\)를 각각 수치로 구하고, 나눗셈을 한 다음 제곱근을 취해요.

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B-6. Bragg (브래그) 조건에서 결정면 간격 Å, 입사각, 차수일 때 회절하는 파의 파장

Bragg (브래그) 조건 \(2d\sin\theta = n\lambda\) 에서, 결정면 간격 \(d = 0.91\) Å, 입사각 \(\theta = 65°\), 차수 \(n = 1\) 일 때, 회절하는 파의 파장 \(\lambda\) 를 Å 단위로 구하세요.

힌트

\(\lambda = 2d\sin\theta / n\) 에 수치를 대입해요. \(\sin 65° \approx 0.906\) 을 사용하세요.

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B-7. 운동에너지 eV인 중성자(질량 kg)의 de Broglie 파장을 구하라. 단, J로 한다

운동에너지 \(K = 1.0\) eV인 중성자(질량 \(m_n = 1.675 \times 10^{-27}\) kg)의 de Broglie 파장을 구하세요. 단, \(1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\) J로 해요.

힌트

운동량은 \(p = \sqrt{2m_n K}\)로 구할 수 있어요. \(K\)를 J 단위로 변환한 후 \(\lambda = h/p\)를 계산해요.

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B-8. de Broglie의 관계식을 각진동수 ω와 파수 k로 표현한 식 E = ℏω 및 p = ℏk를 이용하여

de Broglie의 관계식을 각진동수 \(\omega\)와 파수 \(k\)로 표현한 식 \(E = \hbar\omega\) 및 \(p = \hbar k\)를 이용하여, 파장 \(\lambda = 2.0\) Å인 전자에 대응하는 파수 \(k\)를 SI 단위(m\(^{-1}\))로 구하세요.

힌트

\(k = 2\pi/\lambda\)의 관계를 사용해요. \(\lambda\)를 m 단위로 변환한 후 대입하세요 (\(1\ \mathrm{Å} = 10^{-10}\) m).

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Medium（표준）

M-1. 가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도

가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도

전자(질량 \(m_e\), 전하 \(e\))가 정지 상태에서 전압 \(V_{\mathrm{acc}}\)로 가속될 때, 아래의 절차에 따라 de Broglie 파장이

\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

로 표현됨을 유도하세요.

(a) 에너지 보존으로부터 전자의 운동량 \(p\)를 \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\)로 나타내세요.

(b) de Broglie 관계식 \(\lambda = h/p\)에 대입하여 위 식을 얻으세요.

(c) 상수를 수치 대입하여 \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) nm가 됨을 확인하세요.

힌트

(a) \(\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\)에서 \(v\)를 구하고, \(p = m_e v\)로 놓으세요. 또는 직접 \(p^2/(2m_e) = eV_{\mathrm{acc}}\)에서 \(p\)를 구해도 좋아요. (c)에서는 \(h\), \(m_e\), \(e\)의 수치를 모두 SI 단위로 대입하세요.

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M-2. Davisson-Germer 실험의 재현 계산

Davisson-Germer 실험의 재현 계산

Davisson-Germer 실험에서는 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V로 가속된 전자를 니켈 단결정(표면 원자 간격 \(d = 2.15\) Å)에 입사시켜, 산란각 \(\phi = 50°\)에서 강한 회절 피크를 관측했어요.

(a) 식 (2.12)를 이용하여, 54 V로 가속된 전자의 de Broglie 파장 \(\lambda_{\mathrm{dB}}\)를 구하세요.

(b) 회절 조건 \(d\sin\phi = n\lambda\)에 \(n = 1\), \(\phi = 50°\)를 대입하여, 실험으로부터 얻어지는 파장 \(\lambda_{\mathrm{exp}}\)를 구하세요.

(c) \(\lambda_{\mathrm{dB}}\)와 \(\lambda_{\mathrm{exp}}\)를 비교하고, de Broglie 가설의 타당성을 논하세요.

힌트

(a) \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{54}\) nm를 계산해요. (b) \(\sin 50° \approx 0.766\)을 이용해요. (c) 두 값의 차이가 어느 정도인지를 백분율로 평가하면 좋아요.

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M-3. Compton 산란 공식의 구조 분석

Compton 산란 공식의 구조 분석

Compton 산란의 공식

\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

에 대해 다음 물음에 답하세요.

(a) \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) 가 취할 수 있는 값의 범위를 \(\theta\) 의 함수로서 구하세요（\(0 \le \theta \le 180°\)）.

(b) 산란되는 상대가 전자가 아니라 양성자（질량 \(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg）인 경우의 Compton 파장 \(h/(m_p c)\) 을 계산하고, 전자의 경우와 비교하세요.

(c) (b)의 결과로부터, "Compton 산란의 파장 변화는 가벼운 입자일수록 크다"는 것을 설명하세요.

힌트

(a) \(1 - \cos\theta\) 의 최솟값과 최댓값을 생각해 보세요. (b) 전자의 Compton 파장 \(2.43 \times 10^{-12}\) m과 비를 구하세요. (c) Compton 파장이 질량에 반비례한다는 점에 주목하세요.

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M-4. Bragg 조건을 이용한 전자선 회절 해석

Bragg 조건을 이용한 전자선 회절 해석

G. P. Thomson (G. P. 톰슨)의 실험을 모사한 상황을 생각해요. 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V로 가속된 전자를 면간격 \(d = 2.34\) Å인 알루미늄 결정에 입사시켜요.

(a) 전자의 de Broglie 파장을 구하세요.

(b) Bragg 조건 \(2d\sin\theta = n\lambda\)를 이용하여, \(n = 1\)인 회절이 일어나는 입사각 \(\theta\)를 구하세요.

(c) 가속 전압을 2배(\(20{,}000\) V)로 했을 때, \(n = 1\)의 회절각 \(\theta\)는 어떻게 변하나요? 정성적으로 설명한 후, 구체적인 값을 구하세요.

힌트

(a) 식 (2.12)를 사용해요. \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V. (b) \(\sin\theta = \lambda/(2d)\)로부터 \(\theta\)를 구해요. 각도가 작은 경우, \(\sin\theta \approx \theta\) (라디안) 근사를 사용할 수 있는지 검토하세요. (c) \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)임을 이용해요.

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Advanced（발전）

A-1. Compton 산란 공식의 유도

Compton 산란 공식의 유도

파장 \(\lambda\)의 X선 광자가 정지해 있는 전자(질량 \(m_e\))에 충돌하는 경우를 생각해요. 산란 후 광자의 파장을 \(\lambda'\), 산란각을 \(\theta\), 반동 전자의 운동량의 크기를 \(p_e\), 반동각(입사 방향과 전자의 운동 방향이 이루는 각)을 \(\varphi\)라 해요.

아래의 절차에 따라 Compton 산란 공식

\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

을 유도하세요. 광자의 에너지는 \(E = pc\)(질량이 0인 입자의 상대론적 관계), 전자의 에너지는 상대론적으로 \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\)로 주어져요.

(a) 에너지 보존 법칙을 써 보세요. 입사 광자의 에너지를 \(h c/\lambda\), 산란 후 광자의 에너지를 \(h c/\lambda'\), 반동 전자의 정지 에너지를 \(m_e c^2\)로 표현하세요.

(b) 운동량 보존 법칙을 입사 방향(\(x\) 방향)과 수직 방향(\(y\) 방향)의 2개 성분으로 나누어 써 보세요.

(c) (b)의 2개 식에서 반동각 \(\varphi\)를 소거하고, \(p_e^2\)를 \(\lambda\), \(\lambda'\), \(\theta\)로 나타내세요.

(d) (a)의 에너지 보존으로부터 \(p_e^2 c^2\)를 \(\lambda\), \(\lambda'\)로 나타내고, (c)의 결과와 같다고 놓음으로써 Compton 산란 공식을 유도하세요.

힌트

(b) \(x\) 성분：\(h/\lambda = (h/\lambda')\cos\theta + p_e \cos\varphi\)、\(y\) 성분：\(0 = (h/\lambda')\sin\theta - p_e \sin\varphi\). (c) 각 성분을 이항하여 제곱하고, \(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\)을 사용해요. (d) 에너지 보존 식을 \((E_e)^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2\)의 형태로 만들어 \(p_e^2 c^2\)를 구해요. \(1/\lambda - 1/\lambda'\)와 \(1/\lambda^2 + 1/\lambda'^2 - 2\cos\theta/(\lambda\lambda')\)가 나타나요. 최종적으로 \(\lambda'\lambda\)의 곱 항이 남아 \(\lambda' - \lambda\)의 형태로 정리돼요.

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A-2. 상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용

상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용

본 장의 식 (2.11)은 비상대론적 근사(\(v \ll c\))에 기초하고 있어요. 가속 전압이 매우 높은 경우(예를 들어 전자현미경에서 사용되는 \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV), 전자의 운동 에너지가 정지 에너지 \(m_e c^2 \approx 511\) keV와 비교하여 무시할 수 없게 되어 상대론적 보정이 필요해요.

(a) 상대론적 에너지와 운동량의 관계

\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

에서, 전체 에너지가 \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\)(정지 에너지 + 운동 에너지)인 것을 이용하여, 운동량 \(p\)를 \(m_e\), \(c\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\)로 나타내세요.

(b) 상대론적 de Broglie 파장이

\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}\]

와 같이 쓸 수 있음을 보이세요.

(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV일 때, 비상대론적 식 (2.11)에 의한 파장과 (b)의 상대론적 파장을 각각 수치로 구하고, 양자의 차이를 백분율로 평가하세요.

(d) 전자현미경의 분해능은 대략 사용하는 파장 정도라고 해요. \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV의 전자현미경으로 원자 수준의 구조(\(\sim 1\) Å)를 관찰할 수 있는지 논하세요.

힌트

(a) \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\)를 \(E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\)에 대입하여 \(p\)에 대해 풀어요. \((m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\)를 전개하면 \(2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\)가 얻어져요. (b) (a)의 결과로부터 \(\lambda = h/p\)를 계산하고, 인수를 묶어내요. (c) \(eV_{\mathrm{acc}} = 200\) keV, \(m_e c^2 = 511\) keV로 하여 보정 인수 \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2)\)의 크기를 평가해요.

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