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부록 A 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 편미분의 기본 계산

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문제:

\(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y\) 일 때, \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 와 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 를 구하세요.

B-2. \(1/r\) 의 편미분

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문제:

\(\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\) 일 때, \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\) 를 구하세요. (힌트: \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) 로 놓으면 \(\Phi = 1/r\))

\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} \cdot 2x = \boxed{-\frac{x}{r^3}}\]

B-3. 혼합 편미분의 교환 가능성

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문제:

\(f(x, y) = e^{x}\sin y\) 일 때, \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) 와 \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) 를 계산하고, 양자가 같음을 확인하세요.

\[\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y\]
\[\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = e^x \cos y}\]

B-4. 기울기와 등고선

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문제:

\(\Phi(x, y) = x^2 + y^2\) 의 기울기(gradient) \(\nabla\Phi\) 를 구하고, 점 \((1, 2)\) 에서의 기울기 벡터를 계산하세요. 이 벡터가 등고선 \(\Phi = \text{const}\) 에 수직임을 확인하세요.

점 \((1, 2)\): \(\nabla\Phi = \boxed{(2, 4)}\)

등고선 \(\Phi = x^2 + y^2 = C\) 는 원점 중심의 원이에요. 점 \((1, 2)\) 에서의 접선 방향은 \((-2, 1)\) (법선에 수직)이에요. \(\nabla\Phi \cdot (-2, 1) = -4 + 4 = 0\). 확실히 수직이에요.

B-5. 온도 분포의 기울기

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문제:

2차원 평면 위의 온도 분포가 \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) 로 주어져 있어요. 점 \((1, 1)\) 에서의 온도의 기울기(그래디언트) \(\nabla T\) 를 구하고, 온도가 가장 급격하게 상승하는 방향을 답하세요.

점 \((1, 1)\)：\(\nabla T = (-2, -8)\)。온도가 가장 급격히 올라가는 방향은 \(\nabla T\)의 방향 = \(\boxed{(-2, -8)}\) 방향(즉, 원점을 향하는 방향)이에요.

B-6. 선형 벡터장의 발산

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문제:

\(\mathbf{V} = (x, y, z)\) 의 발산 \(\nabla \cdot \mathbf{V}\) 을 계산하세요.

B-7. 제곱 벡터장의 발산

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문제:

\(\mathbf{V} = (x^2, y^2, z^2)\) 의 발산을 계산하세요.

B-8. 회전장의 발산

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문제:

임의의 벡터장 \(\mathbf{A}\)에 대해, 회전장 \(\nabla \times \mathbf{A}\)의 발산이 0임을 보이세요. 즉,

\[ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 \]

을 증명하세요.

발산 없음. 이 장은 순수한 "소용돌이"예요.

B-9. 회전장의 rot

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문제:

\(\mathbf{V} = (-y, x, 0)\) 의 rot \(\nabla \times \mathbf{V}\) 를 계산하세요. 이 장은 "소용돌이"를 가지나요?

\(z\) 방향으로 균일한 소용돌이를 가져요.

B-10. \((yz, xz, xy)\)의 rot

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문제:

\(\mathbf{V} = (yz, xz, xy)\)의 rot를 계산하세요.

비회전(보존장)이에요.

B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) 의 확인

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문제:

\(\mathbf{V} = \nabla\Phi\)（\(\Phi = x^2 + y^2 + z^2\)）의 rot을 계산하고, \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) 을 확인하세요.

\[\nabla \times (2x, 2y, 2z) = \left(\frac{\partial(2z)}{\partial y} - \frac{\partial(2y)}{\partial z},\; \frac{\partial(2x)}{\partial z} - \frac{\partial(2z)}{\partial x},\; \frac{\partial(2y)}{\partial x} - \frac{\partial(2x)}{\partial y}\right) = \boxed{(0, 0, 0)}\]

B-12. 균일 자기장의 벡터 퍼텐셜

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문제:

균일 자기장 \(\mathbf{B} = B\hat{z}\)에 대한 벡터 퍼텐셜 \(\mathbf{A} = \frac{B}{2}(-y,\, x,\, 0)\)에 대해, 각 성분의 라플라시안 \(\nabla^2 A_x\), \(\nabla^2 A_y\), \(\nabla^2 A_z\)를 계산하세요. 또한, \(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}\)가 성립하는 것을 확인하세요.

균일 자기장.

B-13. \(x^2 - y^2\) 의 라플라시안

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문제:

\(\Phi(x, y) = x^2 - y^2\) 의 라플라시안 \(\nabla^2\Phi\) 를 계산하세요. 이 함수는 라플라스 방정식 \(\nabla^2\Phi = 0\) 을 만족하나요?

라플라스 방정식을 만족해요 (조화함수).

B-14. \(e^x \cos y\) 의 라플라시안

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문제:

\(\Phi(x, y) = e^x \cos y\) 가 Laplace 방정식을 만족하는지 확인하세요.

\[\nabla^2\Phi = e^x\cos y - e^x\cos y = \boxed{0} \quad \checkmark\]

B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

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문제:

\(\mathbf{A} = (xy, yz, zx)\) 에 대해 \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\) 를 계산하고, 0이 되는 것을 확인하세요.

\(\nabla \cdot (z-y, x-z, y-x) = 0 + 0 + 0 = \boxed{0} \quad \checkmark\)

B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）

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문제:

\(\Phi = xyz\) 에 대해 \(\nabla \times (\nabla\Phi)\) 를 계산하고, 영이 됨을 확인하세요.

\(\nabla \times (yz, xz, xy) = (x-x, y-y, z-z) = \boxed{(0,0,0)} \quad \checkmark\)

B-18. 평면파가 파동방정식을 만족하는 것

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문제:

\(f(x, t) = A\sin(kx - \omega t)\) 가 파동방정식 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\) 을 만족하는 것을 확인하고, \(v = \omega/k\) 임을 보이세요.

파동방정식에 대입: \(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(\boxed{v = \omega/k}\)

B-19. 복소 지수파가 파동방정식을 만족하는 것

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문제:

\(f(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}\) 가 파동방정식을 만족하는지 확인하세요. (\(i\) 는 허수단위)

\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(v = \omega/k\)。\(\boxed{\checkmark}\)

B-20. 편미분방정식의 분류

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문제:

다음 편미분방정식을 쌍곡형·포물형(확산형)·타원형으로 분류하세요.

  • (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
  • (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)
  • (b) 시간 1계 미분 → \(\boxed{\text{확산형}}\) (확산 계수 \(D = 3\))
  • (c) 시간 미분 없음 → \(\boxed{\text{타원형}}\) (Poisson 방정식)
  • (d) 시간 1계 미분 → \(\boxed{\text{확산형}}\) (단, 허수 계수이므로 해는 진동해요. Schrödinger 방정식)

Medium（표준）

M-1. 확산 방정식 해의 확인

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문제:

확산 방정식

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

에 대해, 해의 형태 \(u(x, t) = e^{ikx - \alpha t}\)를 대입하여 \(\alpha\)를 \(D\)와 \(k\)로 나타내세요.

확산 방정식에 대입: \(-\alpha = D(-k^2)\) → \(\boxed{\alpha = Dk^2}\)

M-2. 중력 퍼텐셜의 기울기

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문제:

\(\Phi(x, y, z) = -\frac{GM}{r}\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)）의 기울기를 계산하고, \(\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}\) 가 됨을 보여라. (제1장의 중력 퍼텐셜)

\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -GM \cdot \left(-\frac{x}{r^3}\right) = \frac{GMx}{r^3}\]

마찬가지로 \(y\), \(z\) 성분도 구할 수 있어요.

\[\boxed{\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}}\]

M-3. Coulomb 전기장의 발산이 0

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문제:

\(\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\)（\(\mathbf{r} = (x, y, z)\), \(r = |\mathbf{r}|\)）에 대해, \(r \neq 0\) 인 영역에서 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) 임을 보이세요. （힌트: \(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\)）

\[\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-4. \(1/r\) 의 라플라시안

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문제:

\(\Phi(r) = 1/r\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(r \neq 0\)）가 \(\nabla^2\Phi = 0\) 을 만족하는 것을, 구좌표의 라플라시안 \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\Phi}{dr})\) 을 사용하여 확인하세요. (제1장의 연습문제 1.3 과 관련)

\[\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2} \cdot 0 = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-5. d'Alembert 해 \(g(x - vt)\)

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문제:

\(f(x, t) = g(x - vt)\)（\(g\)는 임의의 2회 미분 가능한 함수）가 파동방정식을 만족함을 연쇄 법칙을 사용하여 보이세요.

\[\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u) \cdot 1 = g'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\]
\[\frac{\partial f}{\partial t} = g'(u) \cdot (-v) = -vg'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \quad \boxed{\checkmark}\]

M-6. 정재파의 분해

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문제:

파동방정식의 해 \(f(x, t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\) 가 정재파(standing wave)임을 확인하세요. 이것이 오른쪽으로 진행하는 파와 왼쪽으로 진행하는 파의 중첩으로 쓸 수 있음을, 삼각함수의 적화공식(곱을 합으로 바꾸는 공식)을 사용하여 보이세요.

\[= \frac{A}{2}\sin(kx-\omega t) + \frac{A}{2}\sin(kx+\omega t)\]

제1항은 오른쪽으로 진행하는 파동, 제2항은 왼쪽으로 진행하는 파동이에요. \(\boxed{\text{정재파 = 우진행파 + 좌진행파}}\)

M-7. 현의 진동 모드의 경계 조건

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문제:

현(길이 \(L\), 양끝 고정)의 진동을 기술하는 파동 방정식의 경계 조건 \(f(0, t) = f(L, t) = 0\)을 만족하는 해가 \(f_n(x, t) = A_n \sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t)\)（\(\omega_n = n\pi v/L\)）임을 확인하세요. (제14장의 현의 진동 모드 준비)

\[\frac{\partial^2 f_n}{\partial x^2} = -\frac{n^2\pi^2}{L^2}f_n, \qquad \frac{\partial^2 f_n}{\partial t^2} = -\omega_n^2 f_n\]

파동방정식 \(\partial_x^2 f = \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f\) 로부터:

\[-\frac{n^2\pi^2}{L^2} = \frac{1}{v^2}(-\omega_n^2) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}}\]

경계 조건: \(f_n(0,t) = A_n\sin(0)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓, \(f_n(L,t) = A_n\sin(n\pi)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓

Advanced（발전）

A-1. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\) 의 항등식

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문제:

전기장이 \(\mathbf{E} = (E_x(x,y,z),\, 0,\, 0)\) 의 형태를 가지는 경우에 대해, 벡터 항등식

\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \]

이 성립함을 각 변을 성분별로 계산하여 직접 보여주세요.

\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \partial_x E_x\), \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = (\partial_x^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla^2\mathbf{E} = (\nabla^2 E_x, 0, 0)\)

\(\nabla \times \mathbf{E} = (0, -\partial_z E_x, \partial_y E_x)\)

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = (\partial_x^2 E_x - \nabla^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)...

(부호를 주의 깊게 확인하면 일치해요.) \(\boxed{\checkmark}\)