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제 2 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 지표의 올림과 내림

부호 규약 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1, -1, -1, -1)\) 하에서, 4원벡터 \(V^\mu = (E, p_x, p_y, p_z) = (5, 1, -2, 3)\) 에 대해 공변 성분 \(V_\mu\) 를 모두 써 보세요.

힌트

\(V_\mu = \eta_{\mu\nu} V^\nu\) 를 각 성분에 대해 계산해요. \(\eta_{\mu\nu}\) 는 대각행렬이므로, \(V_0 = \eta_{00} V^0\), \(V_1 = \eta_{11} V^1\), ... 이 돼요.

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B-2. 4원벡터의 내적

4원벡터 \(A^\mu = (4, 1, 0, -1)\) 와 \(B^\mu = (2, 3, 1, 0)\) 에 대해, Lorentz 불변인 내적 \(A^\mu B_\mu\) 를 계산하세요.

힌트

\(A^\mu B_\mu = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3\) 을 사용해요 (본문 식 (2.4) 참조). 먼저 \(B_\mu\) 를 구한 후 축약해도 좋고, 이 전개식을 직접 적용해도 좋아요.

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B-3. Einstein 축약 규칙의 전개

다음 식을 Einstein 축약 규칙에 따라, \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\) 에 대해 모든 항을 명시적으로 써 내려가세요 (단, \(\eta_{\mu\nu}\)가 대각행렬임을 이용하여 0이 아닌 항만 남기세요).

\[ \eta_{\mu\nu}\, A^\mu\, B^\nu \]
힌트

\(\eta_{\mu\nu}\)는 \(\mu = \nu\)일 때만 0이 아니에요. 따라서 \(\mu \neq \nu\)인 항은 모두 사라져요. 남는 4개의 항을 써 내려가세요.

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B-4. Lorentz 부스트의 적용

\(x\) 방향으로 속도 \(v = 3/5\)（자연단위계）로 움직이는 관성계로의 Lorentz 부스트 \(t' = \gamma(t - vx),\, x' = \gamma(x - vt)\)를 이용하여, 시공간점 \((t, x) = (5, 3)\)의 변환 후 좌표 \((t', x')\)를 구하세요.

힌트

먼저 Lorentz 인자 \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\)를 계산해요. \(v = 3/5\)이므로 \(v^2 = 9/25\), \(1 - v^2 = 16/25\)이에요. 그 후 \(t' = \gamma(t - vx)\), \(x' = \gamma(x - vt)\)에 대입해요.

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B-5. 라피디티의 계산

속도 \(v = 4/5\)（자연단위계）에 대응하는 라피디티 \(\beta\)를 구하세요. 또한, \(\cosh\beta\)와 \(\sinh\beta\)의 값을 확인하세요.

힌트

\(v = \tanh\beta\)로부터 \(\beta = \text{arctanh}(v) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\). \(\cosh\beta = \gamma\), \(\sinh\beta = \gamma v\)의 관계도 사용할 수 있어요.

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B-6. 첨자 축약 연습

크로네커 델타 \(\delta^\mu{}_\nu\)（\(\mu = \nu\)일 때 1, 그 외에는 0）를 이용하여, 다음 축약을 계산하세요.

\[ \delta^\mu{}_\nu\, A^\nu = \text{?} \]
\[ \eta_{\mu\nu}\, \eta^{\nu\rho} = \text{?} \]
힌트

첫 번째 식: \(\delta^\mu{}_\nu\)는 "첨자를 치환하는" 역할을 해요. 두 번째 식: \(\eta_{\mu\nu}\)와 \(\eta^{\nu\rho}\)는 서로 역행렬 관계에 있어요. 행렬의 곱 \((\eta)(\eta^{-1})\)은 무엇이 될까요?

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B-7. 부스트 행렬의 쌍곡선 함수 표시

래피디티 \(\beta\) 를 이용한 \(x\) 방향의 부스트 행렬

\[ \Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \cosh\beta & -\sinh\beta & 0 & 0 \\ -\sinh\beta & \cosh\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

에 대해, 4원벡터 \(x^\mu = (3, 1, 0, 0)\) 를 \(\beta = \ln 2\) 로 부스트한 결과 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, x^\nu\) 를 계산하세요.

힌트

\(\beta = \ln 2\) 일 때, \(\cosh\beta = \frac{e^\beta + e^{-\beta}}{2} = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5}{4}\), \(\sinh\beta = \frac{e^\beta - e^{-\beta}}{2} = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}\) 를 이용해요.

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B-8. 자연단위계에서의 차원 분석

자연단위계 (\(c = 1\), \(\hbar = 1\)) 에서 다음 물리량의 차원을 「질량의 몇 제곱」(\([\text{mass}]^n\))으로 나타내세요.

(a) 길이　　(b) 시간　　(c) 에너지　　(d) 운동량　　(e) 힘

힌트

\(c = 1\) 로부터 \([\text{길이}] = [\text{시간}]\). \(\hbar = 1\) 로부터 \([\text{에너지}] \times [\text{시간}] = [\text{무차원}]\). 따라서 \([\text{시간}] = [\text{에너지}]^{-1} = [\text{mass}]^{-1}\). 힘 = 에너지 / 길이.

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Medium（표준）

M-1. Lorentz 변환 행렬의 조건 유도

Lorentz 변환 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, x^\nu\) 가 불변 간격 \(\eta_{\mu\nu}\, x^\mu\, x^\nu\) 를 보존하는 조건으로서

\[ \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta} \]

가 성립함을 보이세요. 나아가, 이 조건의 행렬 표현이 \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\) 임을 확인하고, 이로부터 \(\det\Lambda = \pm 1\) 을 유도하세요.

힌트

\(\eta_{\mu\nu}\, x'^\mu\, x'^\nu = \eta_{\alpha\beta}\, x^\alpha\, x^\beta\) 에 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\, x^\alpha\) 를 대입해요. 임의의 \(x^\alpha\) 에 대해 성립한다는 점으로부터 \(x^\alpha x^\beta\) 의 계수를 비교해요. 행렬식에 대해서는 \(\det(\Lambda^T \eta \Lambda) = \det\eta\) 의 양변의 행렬식을 계산해요.

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M-2. 래피디티의 가법성

2개의 연속된 \(x\) 방향 부스트를 생각해요. 먼저 래피디티 \(\beta_1\)으로 부스트하고, 다음에 래피디티 \(\beta_2\)로 부스트해요. 합성 변환의 래피디티가 \(\beta_1 + \beta_2\)가 됨을 부스트 행렬의 곱을 계산하여 보이세요. 나아가, 이로부터 속도의 합성 법칙

\[ v = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2} \]

을 유도하세요.

힌트

2개의 부스트 행렬의 곱을 계산하고, 쌍곡선 함수의 덧셈 정리 \(\cosh(\beta_1 + \beta_2) = \cosh\beta_1\cosh\beta_2 + \sinh\beta_1\sinh\beta_2\) 및 \(\sinh(\beta_1 + \beta_2) = \sinh\beta_1\cosh\beta_2 + \cosh\beta_1\sinh\beta_2\)를 사용해요. 속도는 \(v = \tanh\beta\)이고, \(\tanh\)의 덧셈 정리를 적용해요.

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M-3. 4원운동량과 질량껍질 조건

상대론적 입자의 4원운동량 (four-momentum)을 \(p^\mu = (E, \mathbf{p})\)로 정의해요.

(a) 질량 \(m\)인 입자에 대해 Lorentz 불변량 \(p^\mu p_\mu\)를 계산하고, 질량껍질 조건 (mass-shell condition, on-shell condition)

\[ p^\mu p_\mu = m^2 \]

이 \(E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2\) (자연단위계)와 동치임을 보이세요.

(b) 질량이 0인 입자(광자)에 대해 질량껍질 조건이 어떻게 되는지 서술하고, 에너지와 운동량의 관계를 유도하세요.

(c) 4원운동량 \(p^\mu\)가 Lorentz 부스트(\(x\) 방향, 속도 \(v\))에서 어떻게 변환되는지 쓰고, 정지계 \(\mathbf{p} = 0\)에서 부스트하여 \(E = \gamma m\), \(p_x = \gamma m v\)를 유도하세요.

힌트

(a) \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = (p^0)^2 - (p^1)^2 - (p^2)^2 - (p^3)^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2\)를 이용해요. (b) \(m = 0\)을 대입해요. (c) 4원운동량도 4원벡터이므로 좌표와 동일한 Lorentz 변환 법칙을 따라요.

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M-4. Lorentz 변환의 군 구조

Lorentz 변환 전체가 군 (group)을 이룬다는 것을 아래의 4가지 조건을 확인함으로써 보이세요.

(i) 닫힘성: 두 Lorentz 변환의 합성도 역시 Lorentz 변환이다. (ii) 결합법칙: \((\Lambda_1 \Lambda_2)\Lambda_3 = \Lambda_1(\Lambda_2 \Lambda_3)\). (iii) 단위원의 존재: 항등 변환 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu\)가 Lorentz 변환의 조건을 만족한다. (iv) 역원의 존재: 임의의 Lorentz 변환 \(\Lambda\)에 대해 \(\Lambda^{-1}\)이 존재하며, 그것도 역시 Lorentz 변환이다.

나아가, \(\det\Lambda = +1\)이고 \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\)을 만족하는 부분군을 고유 orthochronous (정시적) Lorentz 군 \(SO^+(1,3)\)이라 부른다는 것을 서술하고, 이것이 연속적으로 항등 변환에 연결되는 변환(회전과 부스트)만으로 구성된다는 것을 설명하세요.

힌트

(i) \(\Lambda_1^T \eta \Lambda_1 = \eta\)이고 \(\Lambda_2^T \eta \Lambda_2 = \eta\)로부터 \((\Lambda_1\Lambda_2)^T \eta (\Lambda_1\Lambda_2) = \eta\)를 보인다. (iv) \(\det\Lambda = \pm 1 \neq 0\)으로부터 역행렬이 존재한다. 역행렬이 Lorentz 조건을 만족하는 것도 보인다. \(\det\Lambda = -1\)이거나 \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\)인 경우는 공간 반전 (parity)이나 시간 반전 (time reversal)에 대응한다.

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Advanced（발전）

A-1. 반변 텐서와 공변 텐서의 변환 법칙, 및 전자기장 텐서에의 응용

(a) 2계 반변 텐서 \(T^{\mu\nu}\)의 Lorentz 변환 법칙이

\[ T'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, T^{\alpha\beta} \]

임을 4원 벡터의 변환 법칙 \(V'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu\)로부터의 자연스러운 확장으로 설명하세요.

(b) 전자기장 텐서 (electromagnetic field tensor) \(F^{\mu\nu}\)는 반대칭 텐서로, 그 성분이

\[ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

으로 주어져요(자연단위계). \(x\) 방향으로 속도 \(v\)로 부스트했을 때, 전기장과 자기장이 어떻게 혼합되는지를 \(F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, F^{\alpha\beta}\)를 구체적으로 계산하여 구하세요. 특히 \(E_y' = \gamma(E_y - vB_z)\) 및 \(B_z' = \gamma(B_z - vE_y)\)를 유도하세요.

(c) Lorentz 불변량 \(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\)를 전기장 \(\mathbf{E}\)과 자기장 \(\mathbf{B}\)으로 나타내세요. 이 불변량의 물리적 의미를 서술하세요.

힌트

(a) 텐서곱 \(A^\mu B^\nu\)의 변환으로부터 일반적인 2계 텐서의 변환 법칙이 유도돼요. (b) \(4 \times 4\) 행렬곱을 전부 계산할 필요는 없고, \(\mu, \nu\)의 특정 값(예를 들어 \(\mu=0, \nu=2\)로 \(E_y'\)를 얻을 수 있어요)에 대해 계산하면 돼요. (c) \(F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}\)로 지표를 내린 후 축약해요. 결과는 \(2(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2)\)가 돼요.

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A-2. Lorentz 군의 생성자와 Lie 대수

무한소 Lorentz 변환을 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\)（\(\omega^\mu{}_\nu\)는 미소 파라미터）로 쓸게요.

(a) Lorentz 조건 \(\eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}\)로부터 \(\omega_{\mu\nu} \equiv \eta_{\mu\alpha}\omega^\alpha{}_\nu\)가 반대칭（\(\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}\)）임을 보이세요. 독립적인 파라미터는 몇 개인가요? 각각 어떤 물리적 변환（회전·부스트）에 대응하는지 서술하세요.

(b) Lorentz 군의 생성자(generator) \(M^{\mu\nu}\)를 도입하고, 유한한 Lorentz 변환이

\[ \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu} M^{\mu\nu}\right) \]

로 쓸 수 있음을 서술하세요. \(M^{\mu\nu}\)의 4원 벡터 표현（4×4 행렬）

\[ (M^{\mu\nu})^\alpha{}_\beta = i(\eta^{\mu\alpha}\delta^\nu{}_\beta - \eta^{\nu\alpha}\delta^\mu{}_\beta) \]

이 올바른지를, \(x\) 방향 부스트（\(\omega_{01} = -\omega_{10} = \beta\), 나머지는 0）의 경우에 확인하세요.

(c) 생성자가 만족하는 Lie(리) 대수의 교환 관계

\[ [M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = i(\eta^{\nu\rho}M^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho}M^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma}M^{\mu\rho} + \eta^{\mu\sigma}M^{\nu\rho}) \]

를, (b)의 4원 벡터 표현을 이용하여 구체적인 성분（예를 들어 \([M^{01}, M^{02}]\)）에 대해 검증하세요. 이 대수 구조가 장의 양자론에서 스핀의 분류（스칼라장, 벡터장, 스피너장）를 결정하는 출발점이 됨을 설명하세요.

힌트

(a) Lorentz 조건에 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\)를 대입하고, \(\omega\)의 2차 이상을 무시해요. \(4\times 4\) 반대칭 행렬의 독립 성분 수는 \(4 \times 3/2 = 6\)이에요. (b) \(\omega_{01}\)만 0이 아닌 경우, \(\Lambda = I - \frac{i}{2}(\omega_{01}M^{01} + \omega_{10}M^{10}) = I - i\omega_{01}M^{01}\)이 돼요. 이것이 미소 부스트 \(\Lambda^0{}_1 = -\beta\) 등을 재현하는지 확인하세요. (c) 행렬의 곱을 직접 계산해요. 장의 양자론에서는 Lorentz 군의 서로 다른 표현（스칼라: 자명한 표현, 벡터: 4차원 표현, 스피너: 2차원 표현）이 서로 다른 스핀의 장에 대응해요.

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