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부록 E 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 복소수의 절댓값과 편각

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\(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

\(\arg(z) = \arctan(1/1) = \pi/4\) (제1사분면)

극형식: \(z = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}\)

B-2. 오일러 공식 \(e^{i\pi}+1=0\)

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\(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + i \cdot 0 = -1\)

\(e^{i\pi} + 1 = 0\) ✓

포함된 5개의 수학 상수: \(e\)(자연로그의 밑), \(i\)(허수 단위), \(\pi\)(원주율), \(1\)(곱셈의 항등원), \(0\)(덧셈의 항등원).

B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) 로 확인

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\(f(z) = (x+iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy\)

\(u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy\)

CR 관계식의 확인:

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x\) → \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) ✓

\(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -2y\) → \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\) ✓

B-5. 코시-리만: \(|z|^2\) 은 깨진다

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\(f = x^2 + y^2\)（실수값 함수이므로 \(v = 0\)）

\(u = x^2 + y^2, \quad v = 0\)

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0\)

\(2x = 0\)은 \(x = 0\)에서만 성립해요. 일반적으로는 \(\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}\)이에요.

CR 관계식을 만족하지 않으므로, \(|z|^2\)은 정칙이 아니에요.

B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)

→ 문제로 돌아가기

\(z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\)

\(\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)\)

\(\partial_x(z^2) = 2x + 2iy = 2(x + iy) = 2z\)

\(\partial_y(z^2) = -2y + 2ix = 2i(x + iy) = 2iz\)

\(\partial_z(z^2) = \frac{1}{2}(2z - i \cdot 2iz) = \frac{1}{2}(2z + 2z) = 2z\) ✓

B-7. \(1/(z-1)\) 의 유수

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\(z = 1\) 은 1위의 극이에요.

\(\text{Res}_{z=1} \frac{1}{z-1} = \lim_{z \to 1}(z-1) \cdot \frac{1}{z-1} = 1\)

B-8. \(1/z^2\) 의 로랑 전개와 유수

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\(f(z) = z^{-2}\)

이것은 이미 Laurent 전개의 형태예요. \(a_{-2} = 1\), \(a_{-1} = 0\), 나머지는 모두 0이에요.

유수 \(= a_{-1} = 0\).

\(z = 0\) 은 2위의 극이에요（\(a_{-2} \neq 0\), \(a_n = 0\) for \(n < -2\)）.

B-9. \(e^{1/z}\)의 로랑 전개

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\(e^w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^n}{n!}\) 에서 \(w = 1/z\) 로 놓으면:

\(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!\, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{6z^3} + \cdots\)

유수（\(z^{-1}\) 의 계수）\(= a_{-1} = 1\) ✓

주요부（\(n < 0\) 인 항）가 무한히 계속되므로, \(z = 0\) 은 진성특이점이에요.

Medium（표준）

M-1. 유수 정리：2개의 극

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\(|z| = 2\) 인 원의 내부에 \(z = 0\) 과 \(z = 1\) 의 2개의 극이 있어요.

\(z = 0\) 에서의 유수: \(\lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{0-1} = -1\)

\(z = 1\) 에서의 유수: \(\lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{1} = 1\)

유수 정리:

\(\oint_{|z|=2} \frac{dz}{z(z-1)} = 2\pi i(-1 + 1) = 0\)

M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) 의 유수

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\(z = 1\) 에서의 유수: \(\lim_{z \to 1}(z-1) \cdot \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{1}{1-2} = -1\)

\(z = 2\) 에서의 유수: \(\lim_{z \to 2}(z-2) \cdot \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{2}{2-1} = 2\)

\(|z| = 3\) 인 원의 내부에 두 극이 모두 포함되므로:

\(\oint_{|z|=3} f(z)\,dz = 2\pi i(-1 + 2) = 2\pi i\)

M-3. 뫼비우스 변환의 합성

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풀이:

먼저 \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\). 행렬은:

\[M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

다음으로 \(w_2(w) = 2w + 3\). \(w_2(w) = (2w+3)/(0\cdot w + 1)\) 이므로:

\[M_2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

합성 \(w_2(w_1(z))\) 를 직접 계산:

\[w_2(w_1(z)) = 2 \cdot \frac{z+1}{z-1} + 3 = \frac{2(z+1) + 3(z-1)}{z-1} = \frac{5z - 1}{z-1}\]

행렬곱 \(M_2 M_1\):

\[M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3 & 2-3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

이에 대응하는 Möbius 변환은 \((5z - 1)/(z - 1)\) 으로, 직접 계산과 일치해요 ✓

Advanced（발전）

A-1. 등각사상 \(w = 1/z\)

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단위원 \(|z| = 1\) 의 상:

\(|z| = 1\) 일 때 \(z = e^{i\theta}\). \(w = 1/z = e^{-i\theta}\).

\(|w| = 1\) 이므로, 단위원은 단위원 자신으로 옮겨져요 (단, 도는 방향이 역전).

실축의 상:

\(z = x\) (\(x\) 는 실수, \(x \neq 0\))일 때 \(w = 1/x\) (실수).

실축은 실축 자신으로 옮겨져요. 단, \(x > 0\) 은 \(w > 0\) 으로, \(x < 0\) 은 \(w < 0\) 으로 옮겨지고, \(x \to 0^+\) 에서 \(w \to +\infty\), \(x \to \pm\infty\) 에서 \(w \to 0\).

A-2. \(\partial X\) 와 \(\bar\partial X\) 의 교차항

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풀이:

(a) \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) 의 계산:

\[\langle X(z,\bar z)\, X(w, \bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2 = -\frac{\alpha'}{2}[\ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)]\]

\(z\) 로 미분하면:

\[\partial_z \langle XX\rangle = -\frac{\alpha'}{2} \cdot \frac{1}{z-w}\]

(\(\ln(\bar z - \bar w)\) 는 \(z\) 에 의존하지 않으므로 사라져요.)

이어서 \(\bar w\) 로 미분하면:

\[\partial_{\bar w}\left[-\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{z-w}\right] = 0\]

(\(1/(z-w)\) 는 \(\bar w\) 에 의존하지 않으므로 0이에요.)

따라서:

\[\boxed{\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = 0 \qquad (z \neq w)}\]

정칙 부분과 반정칙 부분이 완전히 분리돼요. 이것이 등각장론에서 "좌우 섹터의 독립성"의 근거예요.

(b) \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle\) 의 계산:

\(\bar z\) 로 미분하면 반정칙 부분만 남아요:

\[\partial_{\bar z} \langle XX\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{\bar z - \bar w}\]

이어서 \(\bar w\) 로 미분하면 (\(\bar z\) 쪽에서 볼 때 \(\bar w\) 쪽의 부호에 주의):

\[\partial_{\bar w}\frac{1}{\bar z - \bar w} = \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\]

따라서:

\[\boxed{\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}}\]

반정칙 쪽도 완전히 \(z \leftrightarrow \bar z\) 대칭인 형태로, 정칙 쪽과 동일한 구조를 가져요.