제7장 파동함수와 Schrödinger 방정식¶
지금까지의 줄거리:
Part II (제4~6장)에서는 유한차원의 2상태계를 무대로 확률진폭의 규칙, Hilbert 공간의 싹, 그리고 시간발전과 양자진동을 배웠다. 2상태계의 해밀토니안 \(H\) (에너지를 나타내는 행렬)가 상태벡터의 시간발전을 지배하며, 에너지 고유상태가 정상상태임을, 그리고 서로 다른 에너지 성분의 위상차가 물리적인 진동을 만들어냄을 확인했다. 하지만 입자가 "공간의 어디에 있는가"라는 물음에는 아직 답할 수 없었다.
이 장의 목표
- 이산적인 2상태계에서 연속적인 위치 공간으로 이행하고, 파동함수 \(\Psi(x,t) = \langle x|\phi(t)\rangle\)를 "위치에서 입자를 발견할 확률진폭"으로 도입한다
- de Broglie 파와 고전적 에너지의 관계로부터 자유입자의 Schrödinger 방정식을 물리적 동기에 기반하여 유도하고, 퍼텐셜을 추가한 일반형으로 확장한다
- 정상상태와 시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식을 유도하고, 확률밀도 \(|\Psi|^2\)의 보존(연속 방정식)을 증명하여, 파동함수의 규격화 조건과 물리적 요청을 확립한다
- 이를 통해 양자역학의 기본방정식을 "사용할 수 있는" 형태로 손에 넣고, 다음 장 이후에서 구체적인 문제를 풀 준비를 갖춘다
7.1 이산상태에서 연속 공간으로¶
🟡 리나: 제4~6장에서는 스핀의 "위"와 "아래"나 암모니아 분자의 2가지 배치처럼, 유한 개의 기본상태로 계를 기술해 왔지. 그런데 전자가 공간을 날아다닐 때, "어디에 있는가"를 기술하려면——
🔵 카이: 기본상태가 무한히 필요하죠. 공간의 각 점이 하나의 기본상태가 되는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 제 5 장에서 도입한 Dirac 표기법을 사용하면, "입자가 위치 \(x\)에 있다"는 상태를 \(|x\rangle\)로 쓸 수 있어. \(x\)는 연속적인 값을 가지니까, 기본상태의 집합은 무한 개——게다가 연속 무한 개가 돼.
⚪ 메이: 제 5 장에서는 유한 개의 기본상태 \(|i\rangle\)의 완전성 관계 \(\sum_i |i\rangle\langle i| = \hat{1}\)을 사용했잖아.
🟡 리나: 맞아. 그리고 연속인 경우는 어떻게 되는지——이산적인 경우의
가, 연속적인 위치의 경우는
로 바뀌어. 이것이 위치 표현의 출발점이야.
🔵 카이: \(|x\rangle\) 사이의 직교성은 어떻게 되나요? 이산인 경우는 \(\langle i|j\rangle = \delta_{ij}\)였잖아요.
🟡 리나: 연속인 경우는 Kronecker 델타 \(\delta_{ij}\) 대신 Dirac 델타함수 \(\delta(x - x')\)를 사용해:
델타함수의 자세한 성질은 부록 C에서 다루지만, 지금은 이미지만 잡아둬. \(x'\)를 중심으로 폭 \(\epsilon\), 높이 \(1/\epsilon\)의 직사각형을 상상해봐——넓이는 항상 \(\epsilon \times (1/\epsilon) = 1\)이지. \(\epsilon \to 0\)으로 하면, 폭이 0으로 줄어들고 높이가 무한대로 늘어나지만, 넓이(적분값)는 1 그대로야. 이것이 델타함수 \(\delta(x - x')\)의 이미지——\(x'\)에서 벗어난 곳(폭 바깥)에서는 값이 0이고, \(x = x'\) 근처에서만 날카로운 피크를 가지며, 전체를 적분하면 1이 돼.
🔵 카이: 폭이 0인데 높이가 무한대이면서 넓이가 1……신기하네요.
🟡 리나: 그리고 또 하나 중요한 성질——임의의 함수 \(f(x)\)에 대해 \(\int f(x)\,\delta(x - x')\,dx = f(x')\)가 성립해. 직관적으로는, \(\delta(x - x')\)는 \(x = x'\) 이외에서는 0이니까, 적분 안에서 \(f(x)\) 중 \(x = x'\)의 값만을 "걸러낸다"——체로 치듯이 \(f(x')\)만을 꺼내는 거야. 이 3가지 성질——"\(x \neq x'\)에서 0", "적분하면 1", "함수의 값을 걸러낸다"——를 기억해두면 충분해.
🔵 카이: 물리적으로는 어떤 의미예요? \(\langle x|x'\rangle = 0\) (\(x \neq x'\))이라는 게.
🟡 리나: 이산인 경우의 \(\langle i|j\rangle = 0\) (\(i \neq j\))과 같은 의미야. "위치 \(x\)에 있는 상태"와 "위치 \(x'\)에 있는 상태"는 완전히 구별할 수 있다——즉 서로 배타적이라는 것. 입자가 \(x'\)에 있다면, \(x \neq x'\)에서 발견될 확률은 0이야. 당연하게 들리지만, 이것이 수학적으로 \(\delta(x - x')\)로 표현되는 거야.
⚪ 메이: 즉, 이산→연속에서 "합→적분", "\(\delta_{ij}\)→\(\delta(x-x')\)"로 바뀔 뿐이고, 구조는 같다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이 대응 관계를 정리해둘게.
표 7.1: 이산계와 연속계의 대응
| 이산계 (제5–6장) | 연속계 (위치 표현) |
|---|---|
| 기본상태 $ | i\rangle$ (유한 개) |
| 직교성 $\langle i | j\rangle = \delta_{ij}$ |
| 완전성 $\sum_i | i\rangle\langle i |
| 확률진폭 $C_i = \langle i | \phi\rangle$ (복소수) |
| 확률 $P_i = | C_i |
| 규격화 $\sum_i | C_i |
이 이행을 그림 7.1「이산상태에서 연속 공간으로의 이행」에 시각적으로 그렸어. 왼쪽이 제5–6장의 2상태계, 오른쪽이 격자 간격을 0으로 한 연속 공간의 파동함수야. 중앙의 격자 모델은 Feynman이 생각한 이산→연속의 다리 놓기로, 이 장의 후반(7.8「Feynman의 관점 — 격자에서 연속 공간으로」)에서 자세히 다루니까, 지금은 "이산(왼쪽)→연속(오른쪽)으로의 다리가 있다"는 것만 잡아둬.
그림 7.1: 이산상태에서 연속 공간으로의 이행. 왼쪽: 2상태계 (제5–6장), 중앙: 격자 위의 \(N\) 상태 (제7장 §8의 Feynman 모델), 오른쪽: 격자 간격 \(b \to 0\)에서 연속 공간의 파동함수 \(\Psi(x,t)\)가 나타난다.
🟡 리나: 그리고, 임의의 상태 \(|\phi\rangle\)를 위치의 기본상태로 전개하면:
이것은 이산인 경우의 \(|\phi\rangle = \sum_i |i\rangle\langle i|\phi\rangle\) (각 기본상태에 "그 성분의 크기 \(\langle i|\phi\rangle\)"를 곱해서 더하는 것)의 연속판이야. 합이 적분으로 바뀌었을 뿐이야. 그리고, 이 전개계수 \(\langle x|\phi\rangle\)야말로, 앞으로 주역이 될 파동함수인 거야.
✅ 이해도 체크: 이산적인 기본상태의 완전성 관계 \(\sum_i |i\rangle\langle i| = \hat{1}\)은, 연속적인 위치의 기본상태에서는 어떤 식으로 바뀔까요? 또한, 직교성 조건은 어떻게 바뀔까요?
답
완전성 관계는 \(\int_{-\infty}^{+\infty} |x\rangle\langle x|\,dx = \hat{1}\)로, 직교성은 Kronecker 델타 \(\delta_{ij}\)에서 Dirac 델타함수 \(\langle x|x'\rangle = \delta(x - x')\)로 바뀐다. 이산→연속의 이행에서 "합→적분", "\(\delta_{ij}\)→\(\delta(x-x')\)"라는 대응이 있다.
7.2 de Broglie 파의 중첩과 파동함수¶
🟡 리나: 제 2 장에서, 운동량 \(p\)를 가진 입자에는 de Broglie (드브로이) 파장 \(\lambda = h/p\)가 대응한다는 것을 배웠지. 여기서 파수 \(k\)를 \(k = 2\pi/\lambda\)로 정의할게. 이것은 "1미터당 파가 몇 라디안분의 위상을 진행시키는가"를 나타내는 양이야. (시간 방향에도 같은 종류의 양——각진동수 \(\omega\)——이 있는데, 그건 다음 7.3「자유입자의 Schrödinger 방정식 — 물리적 동기로부터의 유도」에서 도입할게.) 자, 파장 \(\lambda\)의 파를 수학적으로 어떻게 표현하는지——사실 \(e^{ikx}\)라는 복소지수함수로 표현할 수 있어. "\(e\)의 지수에 허수가 올라가 있는데 파?"라고 생각할 수 있지. 이것은 Euler 공식을 사용하면 \(\cos\)과 \(\sin\)으로 분해할 수 있으니까 파가 되는 거야. 바로 뒤에서 자세히 설명할게.
🔵 카이: \(e^{ikx}\)는 복소수잖아요? 복소수가 "파"라니 어떤 뜻이에요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 제 4 장에서 소개한 Euler (오일러) 공식을 떠올려봐:
이것은 "\(e\)의 지수에 허수 \(i\theta\)를 올리면, \(\cos\)과 \(\sin\)의 조합이 된다"는 공식이었지. 직관적으로는, 복소평면(가로축이 실수부, 세로축이 허수부) 위에서 원점으로부터 거리 1인 원주 위의 점을 각도 \(\theta\)로 지정하는 표현이야——\(\theta = 0\)이면 \(e^{i\cdot 0} = 1\) (실수축 위의 점), \(\theta = \pi/2\)이면 \(e^{i\pi/2} = i\) (허수축 위의 점)과 같이 말이야. 엄밀한 증명은 부록 B에 넘기지만, 지금은 "\(\cos\)과 \(\sin\)을 하나의 지수함수로 묶는 편리한 표기법"으로 받아들여. 이것을 사용하면 \(e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx)\)로 쓸 수 있어. 즉, 실수부가 \(\cos(kx)\), 허수부가 \(\sin(kx)\)——둘 다 파장 \(\lambda\)의 파야. \(\cos(kx)\)는 \(kx\)가 \(2\pi\) 증가할 때마다 1주기——즉 \(x\)가 \(2\pi/k\) 진행하면 1주기야. \(k = 2\pi/\lambda\)의 정의로부터 \(2\pi/k = \lambda\)이니까, 확실히 파장 \(\lambda\)의 파를 나타내고 있어. \(\lambda = h/p\)를 대입하면 \(k = 2\pi/(h/p) = 2\pi p/h = p/\hbar\)가 돼 (\(\hbar = h/(2\pi)\)는 제 2 장에서 도입한 환산 Planck 상수야). 즉 \(e^{ikx} = e^{ipx/\hbar}\)는 "운동량 \(p\)의 입자에 대응하는 de Broglie 파를, \(\cos\)과 \(\sin\)을 하나의 복소지수함수로 묶어서 표현한 것"이야. 여기서, 7.1「이산상태에서 연속 공간으로」에서 \(|x\rangle\)를 "위치 \(x\)에 있는 상태"로 정의한 것과 같은 발상으로, \(|p\rangle\)를 "운동량이 확정된 값 \(p\)를 가진 상태"를 나타내는 켓으로 정의할게. 그러면 \(\langle x|p\rangle\)는 "운동량 \(p\)의 상태에 있는 입자를 위치 \(x\)에서 발견할 확률진폭"——이것이 평면파가 되는 거야. 즉, 확정된 운동량 \(p\)를 가진 입자의 "위치에 대한 확률진폭"은
라는 평면파 형태가 돼. 비례상수(규격화)에 대해서는, 평면파는 전 공간에서 \(|e^{ikx}|^2 = 1\)이라 적분이 발산해서 통상적인 의미로는 규격화할 수 없어——이것은 「규격화 조건」에서 다시 논의할게.
🔵 카이: 그런데 \(|e^{ikx}|^2 = 1\)이고, 어디서나 균일하잖아요. 입자가 어디에 있는지 전혀 모르는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 운동량이 확정되어 있으면, 위치는 완전히 불확정이 돼——이것은 제 8 장에서 다룰 불확정성 원리의 표현이야. 현실의 입자는 "어느 정도의 위치 범위에 있으니까", 다른 운동량의 평면파를 중첩하여 파속(wave packet)을 만들 필요가 있어.
🔵 카이: 파속이란, 여러 파장의 파를 더해서 "봉우리"를 만드는 이미지인가요?
🟡 리나: 맞아. 마치 여러 주파수의 소리를 겹치면 짧은 펄스 소리를 만들 수 있는 것과 같아. 이것은 제 4 장에서 배운 "확률진폭의 중첩"의 연속판이야. 유한 개의 파수 \(k_1, k_2, \ldots, k_N\)의 평면파를 더하는 경우는 \(\Psi(x) = c_1 e^{ik_1 x} + c_2 e^{ik_2 x} + \cdots = \sum_{n=1}^{N} c_n e^{ik_n x}\)로 쓸 수 있어. 각 \(c_n\)은 "파수 \(k_n\)의 성분이 얼마나 포함되어 있는가"를 나타내는 가중치야. 7.1「이산상태에서 연속 공간으로」에서 배운 "합→적분"의 대응을 사용하면, 연속적으로 분포하는 파수의 중첩은 \(\Psi(x) = \int \phi(k)\,e^{ikx}\,dk\)로 쓸 수 있어. \(\phi(k)\)는 "파수 \(k\)의 성분이 얼마나 포함되어 있는가"를 나타내는 가중함수야. \(\phi(k)\)가 넓은 범위의 \(k\)를 포함할수록 파속은 좁게 국소화돼——직관적으로는, 파장이 다른 많은 파를 겹칠수록 "봉우리"가 날카로워지지만, 소수의 파장만으로는 넓게 퍼진 파밖에 만들 수 없어. 이 수학적 구조(Fourier 변환)는 제 8 장에서 자세히 다루니까, 지금은 "여러 \(k\)의 파를 더하면 국소화된 파속을 만들 수 있다"는 이미지만 가지고 있어. 그리고, 이 중첩으로 만들어진 상태를 "각 위치 \(x\)에서의 확률진폭"으로 표현한 것이 파동함수야. 일반적인 상태 \(|\phi\rangle\)에 대해:
이것은 "시각 \(t\)에, 상태 \(|\phi(t)\rangle\)에 있는 입자를 위치 \(x\)에서 발견할 확률진폭"이야.
🔵 카이: 확률진폭이니까 복소수겠죠.
🟡 리나: 맞아. \(\Psi(x,t)\)는 일반적으로 복소수 값의 함수야. 그리고, 제 4 장의 규칙——"확률은 진폭의 절댓값의 제곱"——을 연속인 경우에 적용하면:
\(|\Psi(x,t)|^2\)를 확률밀도라고 불러.
🔵 카이: \(\Psi\) 자체가 아니라, \(|\Psi|^2\)이 확률을 주는 거군요. \(\Psi\)가 복소수니까, 그대로는 확률이 될 수 없으니까요.
🟡 리나: 정확하게는, \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\)야. 여기서 \(\Psi^*\)는 \(\Psi\)의 켤레복소수(complex conjugate)——허수부의 부호를 반전시킨 것이야. 예를 들어 \(z = a + bi\)이면 \(z^* = a - bi\)이고, \(|z|^2 = z^*z = (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2\)이 돼. \(e^{i\theta}\)의 경우는 \((e^{i\theta})^* = e^{-i\theta}\)이고, \(|e^{i\theta}|^2 = e^{-i\theta}e^{i\theta} = e^0 = 1\)이야.
🔵 카이: 아하, 그래서 \(|e^{ikx}|^2 = 1\)이 되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 평면파와 파속의 차이를 그림 7.2「평면파와 파속의 비교. 위: 운동량이 확정된 평면파 \(\Psi\propto e^{ikx}\). \(|\Psi|^2\)은 전 공간에서 일정하며, 위치가 완전히 불확정. 아래: 다른 운동량의 평면파를 중첩한 파속. 위치가 어느 정도 국소화되는 대신, 운동량에도 폭이 생긴다」에서 시각적으로 확인해둬.
그림 7.2: 평면파와 파속의 비교. 위: 운동량이 확정된 평면파 \(\Psi\propto e^{ikx}\). \(|\Psi|^2\)은 전 공간에서 일정하며, 위치가 완전히 불확정. 아래: 다른 운동량의 평면파를 중첩한 파속. 위치가 어느 정도 국소화되는 대신, 운동량에도 폭이 생긴다——이것이 현실 입자의 상태.
✅ 이해도 체크: 운동량 \(p\)가 확정된 입자의 파동함수 \(\Psi(x) \propto e^{ipx/\hbar}\)에 대해, 확률밀도 \(|\Psi|^2\)는 어떻게 될까요? 그것은 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
\(|\Psi|^2 = |e^{ipx/\hbar}|^2 = 1\) (상수). 위치 어디서나 같은 확률밀도를 가진다, 즉 위치가 완전히 불확정임을 의미한다. 운동량이 확정되면 위치가 불확정이 되는 것은 불확정성 원리의 표현이다.
7.3 자유입자의 Schrödinger 방정식 — 물리적 동기로부터의 유도¶
🟡 리나: 자, 파동함수 \(\Psi(x,t)\)가 어떻게 시간발전하는지를 결정하는 방정식을 구하고 싶어. 제 6 장에서 2상태계의 시간발전이
로 기술된다는 것을 배웠지. 이것을 위치 표현으로 번역해 나갈 거야.
🔵 카이: \(\hat{H}\)는 해밀토니안——계의 에너지를 나타내는 연산자였죠.
🟡 리나: 맞아. 먼저 가장 단순한 경우——힘이 작용하지 않는 자유입자부터 시작하자. 자유입자의 에너지는 운동에너지만:
여기서, 확정된 운동량 \(p\)와 에너지 \(E\)를 가진 입자의 파동함수를 생각해보자. de Broglie의 관계 \(p = \hbar k\)와, 제 2 장에서 배운 Planck-Einstein의 관계 \(E = h\nu\)를 사용할게. 여기서 \(\nu\) (뉴)는 1초당 진동 횟수(진동수)야. 파수 \(k\)일 때 \(2\pi\)를 흡수해서 \(p = \hbar k\) (\(\hbar = h/2\pi\))라고 쓴 것과 같은 방식으로, 진동수 \(\nu\)에도 \(2\pi\)를 흡수한 양을 도입하면 편리해. 이것을 \(\omega\) (오메가)라고 쓰고 각진동수라고 불러: \(\omega = 2\pi\nu\). 의미는 "1초당 진행하는 위상(라디안)"——진동 횟수 \(\nu\)에 \(2\pi\)를 곱해서 각도로 환산한 것이야. 이렇게 하면 \(E = h\nu = (2\pi\hbar)\cdot(\omega/2\pi) = \hbar\omega\)로 깔끔하게 쓸 수 있어. 즉 \(k\)와 \(\hbar\)의 관계가 \(p = \hbar k\)인 것과 완전히 같은 구조로, \(\omega\)와 \(\hbar\)의 관계가 \(E = \hbar\omega\)가 되는 거야. \(h\)와 \(2\pi\)가 항상 세트로 나타나니까, 처음부터 \(\hbar\)와 \(\omega\)를 쓰는 것이 더 자연스러워. 그러면:
여기서 \(A\)는 파동함수의 전체적인 크기를 결정하는 상수(일반적으로 복소수)로, \(x\)에도 \(t\)에도 의존하지 않으니까 미분할 때는 \(A\)를 앞에 빼고 나머지만 미분하면 돼. 평면파의 경우는 \(|e^{ikx}|^2 = 1\)이라 전 공간의 적분이 발산하므로 통상적인 의미로는 규격화할 수 없어——이 점은 「규격화 조건」에서 다시 논의할게. 지금은 \(A\)의 값을 신경 쓰지 말고, 미분 계산에 집중해.
🔵 카이: 공간 부분의 \(e^{ikx}\)는 de Broglie 파죠. 시간 부분의 \(e^{-i\omega t}\)는 어디서 오는 건가요? 왜 \(e^{+i\omega t}\)가 아니라 마이너스인가요?
🟡 리나: 제 6 장에서, 에너지 \(E\)의 고유상태는 시간에 따라 위상인자 \(e^{-iEt/\hbar}\)가 곱해진다는 것을 배웠지. 그때는 2상태계의 계수 \(C_i(t)\)에 \(e^{-iE_n t/\hbar}\)가 곱해졌는데, 위치 표현에서도 완전히 같아——파동함수 \(\Psi(x,t)\)의 시간 의존성도 에너지 고유상태라면 \(e^{-iEt/\hbar}\)의 형태가 돼. 마이너스 부호는 Schrödinger 방정식의 좌변이 \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\)인 것——즉 \(+i\)가 붙어 있는 것——에서 오는 거야. \(e^{-iEt/\hbar}\)를 \(t\)로 미분하면 \(-iE/\hbar\)가 나오고, 좌변의 \(i\hbar\)와 곱해지면 \(i\hbar \cdot (-iE/\hbar) = E\)가 돼. 만약 \(e^{+iEt/\hbar}\)였다면 \(E\)가 아니라 \(-E\)가 나와버려. 즉 마이너스 부호는 방정식의 구조에서 결정되는 거야. \(E = \hbar\omega\)이니까 \(e^{-iEt/\hbar} = e^{-i\omega t}\). 운동량 \(p\)가 확정된 입자는 에너지 \(E = p^2/(2m)\)도 확정되어 있으니까, 공간 부분 \(e^{ikx}\)에 시간의 위상인자 \(e^{-i\omega t}\)를 곱한 것이 완전한 파동함수가 돼. 직관적으로는, \(e^{ikx}\)가 "공간적으로 어디서 진동하고 있는가"를, \(e^{-i\omega t}\)가 "시간적으로 얼마나 빠르게 진동하고 있는가"를 나타내고, 둘을 곱한 \(e^{i(kx - \omega t)}\)가 "시공간을 전파하는 파"를 나타내는 거야. 즉 식 (7.8)의 형태가 되지.
⚪ 메이: 공간적으로는 \(e^{ikx}\)로, 시간적으로는 \(e^{-i\omega t}\)로 진동한다——합쳐서 식 (7.8)의 형태가 되는 거네.
🟡 리나: 참고로, \(e^{i(kx - \omega t)}\)는 "오른쪽으로 진행하는 파"를 나타내. 위상이 일정한 점(\(kx - \omega t = \text{const}\))을 따라가면, \(x = \omega t/k + \text{const}\)로 속도 \(v = \omega/k\)로 오른쪽으로 진행해.
🟡 리나: 자, 이 평면파를 Schrödinger 방정식에 연결하기 위해, \(\Psi(x,t)\)를 \(t\)나 \(x\)로 미분해야 해. 여기서 편미분을 복습해둘게. 편미분이란, 2개 이상의 변수를 가진 함수에서 "다른 변수를 고정하고, 하나의 변수로만 미분하는 것"이야. \(\Psi(x,t)\)는 \(x\)와 \(t\) 모두에 의존하니까, 보통의 \(\frac{d}{dt}\)가 아니라 \(\frac{\partial}{\partial t}\) (\(\partial\)는 "라운드"나 "파셜"로 불리는 기호)를 사용해서 "\(x\)를 고정하고 \(t\)로 미분"을 나타내. 마찬가지로 \(\frac{\partial}{\partial x}\)는 "\(t\)를 고정하고 \(x\)로 미분"을 의미해. 계산 방법은 보통의 미분과 완전히 같아——다만 "다른 변수는 상수라고 생각하고 무시한다"는 것뿐이야. 예를 들어 \(f(x,t) = x^2 t\)이면, \(\frac{\partial f}{\partial t} = x^2\) (\(x^2\)를 상수 취급), \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2xt\) (\(t\)를 상수 취급). 간단하지?
🔵 카이: 아, 한쪽을 상수로 생각하면 되는 거군요. 보통의 미분과 같은 계산으로요.
🟡 리나: 맞아. 그럼 다음으로 넘어갈게. 고등학교 수학에서 \(e^x\)의 미분이 \(e^x\)라는 것을 배웠지 (\(e^x\)는 "미분해도 자기 자신으로 돌아오는" 유일한 함수야). 합성함수의 미분(연쇄법칙)——"바깥 함수를 미분하고, 안쪽의 미분을 곱한다"는 규칙——을 사용하면, \(e^{\alpha t}\)를 \(t\)로 미분하면 \(\alpha e^{\alpha t}\)가 돼. 사실 \(\alpha\)가 복소수여도 이 공식은 그대로 성립해——Euler 공식으로 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)라고 쓸 수 있다는 것을 떠올리면, \(\cos\)과 \(\sin\)의 미분 공식으로 확인할 수 있어 (자세한 것은 부록 B). 간단히 확인해보면, \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)를 \(\theta\)로 미분하면 \(-\sin\theta + i\cos\theta = i(\cos\theta + i\sin\theta) = ie^{i\theta}\)——확실히 "지수의 계수가 앞으로 내려온다"는 실수일 때와 같은 규칙이 성립하고 있지. 지금은 "복소수의 지수함수도 실수일 때와 같은 미분 공식을 따른다"는 것을 인정하고 진행하자.
🔵 카이: 즉 \(e^{i\theta}\)를 \(\theta\)로 미분해도, 실수일 때와 마찬가지로 \(ie^{i\theta}\)가 되는 거군요.
🟡 리나: 그래. 여기서는 \(\Psi = Ae^{i(px - Et)/\hbar}\)의 \(t\)에 관한 편미분이니까, \(x\)를 고정하고 \(t\)로만 미분해. \(x\)를 고정한다는 것은 \(e^{ipx/\hbar}\) 부분은 상수 취급한다는 뜻이야. 지수를 전개하면 \(\frac{i(px - Et)}{\hbar} = \frac{ipx}{\hbar} - \frac{iEt}{\hbar}\)이고, \(t\)에 곱해져 있는 계수는 \(-\frac{iE}{\hbar}\)이야. \(e^{\alpha t}\)를 \(t\)로 미분하면 \(\alpha e^{\alpha t}\)이니까, \(\alpha = -iE/\hbar\)로 놓으면:
다음은 공간 미분. \(x\)로 1번 미분하면 \(\frac{\partial\Psi}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar}\Psi\). 한 번 더 미분하면:
🔵 카이: 아, 식 (7.10)에서 \(p^2\Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\)가 나오네요.
⚪ 메이: 미분할 때마다 "지수의 계수가 내려올" 뿐이니까, 2번 미분하면 계수의 제곱이 나오는 거네.
🟡 리나: 맞아! 이것을 에너지 관계식 (7.7)에 대입해봐. \(E = p^2/(2m)\)이니까:
좌변에 식 (7.9)로부터 \(E\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\)를, 우변에 식 (7.10)으로부터 \(p^2\Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\)를 대입하면:
🔵 카이: 오! 이것이 자유입자의 Schrödinger 방정식인가요! 그런데 이건 특정 평면파에서 유도한 거잖아요? 다른 파동함수에도 성립하나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 사실, 식 (7.11)은 선형의 편미분방정식이야. "선형"이란, \(\Psi\)나 그 미분이 1차(곱해지지 않은 채)로 나타난다는 뜻이야. \(\Psi^2\)이나 \(\Psi \cdot \frac{\partial\Psi}{\partial x}\) 같은 항이 없어. 이때, \(\Psi_1\)과 \(\Psi_2\)가 각각 해라면, \(c_1\Psi_1 + c_2\Psi_2\)를 대입해도 각 항이 분리되니까, 역시 해가 돼. 이것이 중첩의 원리야.
🔵 카이: 아, 그래서 특정 평면파에서 유도해도 문제없는 거군요. 어떤 파속도 평면파의 합이니까, 각 성분이 방정식을 만족하면 전체도 만족해요.
⚪ 메이: 즉, 다른 운동량의 평면파를 아무리 더해도, 전체로서 역시 식 (7.11)을 만족하는 거네.
🔵 카이: 그런데 반대로, 만약 방정식이 비선형이었다면——예를 들어 \(\Psi^2\) 같은 항이 있었다면——중첩이 성립하지 않게 되나요?
🟡 리나: 맞아. 비선형인 경우는 \((\Psi_1 + \Psi_2)^2 \neq \Psi_1^2 + \Psi_2^2\)이니까, 개별 해를 더해도 해가 되지 않아. Schrödinger 방정식이 선형이라는 것은, 양자역학의 중첩 원리와 직결되어 있어. 따라서, 임의의 파속——다른 운동량의 평면파의 중첩——도 식 (7.11)을 만족해. 특정 평면파뿐만 아니라, 모든 자유입자의 파동함수가 따르는 방정식인 거야.
🔵 카이: 잠깐만요. 식 (7.9)에서 시간의 1계 미분으로부터 \(E\)가 나오고, 식 (7.10)에서 공간의 2계 미분으로부터 \(p^2\)이 나와요. 1계와 2계로 비대칭인 건 왜죠?
🟡 리나: 날카로운 질문이야. 이것은 \(E = p^2/(2m)\)이라는 고전적인 에너지와 운동량의 관계——\(E\)가 \(p\)의 2차 함수——를 반영하고 있어. 만약 \(E\)와 \(p\)가 1차 관계(\(E = cp\) 같은)라면, 공간도 1계 미분이 될 거야. 실제로, 광자의 경우는 그렇게 되어서 다른 방정식이 나와. Schrödinger 방정식은 비상대론적인 (광속에 비해 느린) 입자를 위한 방정식이야.
✅ 이해도 체크: 자유입자의 Schrödinger 방정식 (7.11)의 유도에서, "\(E = p^2/(2m)\)", "\(E = \hbar\omega\)", "\(p = \hbar k\)"의 3가지 관계를 어떻게 사용했는지, 자신의 말로 설명해보세요.
답
\(p = \hbar k\)와 \(E = \hbar\omega\)에 의해, 평면파 \(e^{i(kx-\omega t)}\)의 공간 2계 미분으로부터 \(p^2\)이, 시간 1계 미분으로부터 \(E\)가 추출된다. 이것들을 고전적 관계 \(E = p^2/(2m)\)로 연결하면, 시간 1계 미분과 공간 2계 미분을 포함하는 편미분방정식이 얻어진다.
📝 연습문제:
- 평면파 \(\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}\)가 식 (7.11)을 만족함을 직접 대입으로 확인하고, \(\omega\)와 \(k\)의 분산관계를 구하라 → 문제 B-1. 평면파를 자유 입자의 Schrödinger (슈뢰딩거) 방정식에 대입
7.4 퍼텐셜의 도입과 일반 Schrödinger 방정식¶
🟡 리나: 현실의 입자는 힘을 받지. 힘을 받는 입자의 에너지는:
여기서 \(V(x)\)는 퍼텐셜 에너지(위치 에너지)야. 고등학교 물리에서 배운 중력의 위치 에너지 \(mgh\)나, 용수철의 탄성 에너지 \(\frac{1}{2}kx^2\)와 같은 개념이야.
🔵 카이: 운동에너지에 퍼텐셜이 더해지는 것뿐이네요.
🟡 리나: 맞아. 자유입자의 유도에서는 \(E\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi\)의 양변을 미분연산자로 바꿨지. 퍼텐셜이 있는 경우는 \(E = \frac{p^2}{2m} + V(x)\)이니까, \(E\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi + V(x)\Psi\)가 돼. 좌변은 마찬가지로 \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\), 우변의 \(\frac{p^2}{2m}\Psi\)는 \(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\)로 바뀌어. \(V(x)\Psi\)는 그대로——\(V(x)\)는 \(x\)의 함수이고, 미분연산자가 아니니까, 단순히 곱하기만 하면 돼. 결과적으로:
이것이 1차원의 시간에 의존하는 Schrödinger 방정식——양자역학의 기본방정식이야.
⚪ 메이: 좌변이 시간발전, 우변이 에너지 연산자의 작용——제 6 장의 식과 같은 구조네.
🟡 리나: 바로 그거야. 이것은 제 6 장의 \(i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle\)를 위치 표현으로 구체적으로 적은 것이야. 위치 표현에서의 해밀토니안 연산자는:
제1항이 운동에너지 연산자 \(\hat{T} = \hat{p}^2/(2m)\), 제2항이 퍼텐셜 에너지야. 여기서 운동량 연산자는:
🔵 카이: 왜 운동량이 미분연산자가 되는 건가요?
🟡 리나: 식 (7.10)을 떠올려봐. 평면파 \(e^{ipx/\hbar}\)에 \(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)를 작용시키면:
즉, \(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)는 "운동량 \(p\)의 평면파에 작용하면, \(p\)배를 돌려준다"——고유값 방정식 \(\hat{p}\,\psi_p = p\,\psi_p\)의 형태가 되어 있어. \(\psi_p = e^{ipx/\hbar}\)가 고유함수이고, \(p\)가 고유값이야.
⚪ 메이: 제 5 장에서 배운 고유값 방정식과 같은 구조네. 연산자를 작용시키면, 원래 함수의 상수배가 돌아온다.
🟡 리나: 맞아. 그리고 \(\hat{p}^2 = (-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)이니까, 운동에너지 연산자는 \(\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)가 돼.
✅ 이해도 체크: 자유입자의 Schrödinger 방정식에 퍼텐셜 \(V(x)\)를 추가할 때, 방정식의 우변에는 어떤 항이 추가될까요? 그 항이 미분연산자가 아니라 단순한 곱셈인 이유는 무엇일까요?
답
우변에 \(V(x)\Psi\)가 추가된다. \(V(x)\)는 위치 \(x\)의 함수이며, 파동함수에 대한 미분 조작을 포함하지 않으므로, 단순히 \(\Psi\)에 \(V(x)\)를 곱하는 것만으로의 연산이 된다. 운동에너지 항이 미분연산자인 것과는 대조적이다.
✅ 이해도 체크: 운동량 연산자 \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)를 파동함수 \(\Psi(x) = Ae^{ip_0 x/\hbar}\) (\(p_0 = 3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\))에 작용시키면 무엇이 얻어질까요?
답
\(\hat{p}\Psi = -i\hbar \cdot \frac{ip_0}{\hbar}Ae^{ip_0 x/\hbar} = p_0\,Ae^{ip_0 x/\hbar} = p_0\Psi\). 운동량의 고유값 \(p_0 = 3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\)가 추출된다. \(\hat{p}\)가 운동량의 고유함수에 작용하면, 고유값(운동량의 값)을 계수로 돌려줌을 확인할 수 있다.
📝 연습문제:
- 퍼텐셜 \(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\) (조화진동자)의 경우의 해밀토니안 연산자를 적고, Schrödinger 방정식을 구체적으로 써라 → 문제 B-2. 운동량 연산자를 다음 각 파동함수에 작용시키고, 결과를 구하여라. 고유함수이면 고유값을 답하여라
7.5 정상상태와 시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식¶
🟡 리나: 제 6 장에서, 에너지 고유상태는 시간에 따라 위상인자 \(e^{-iE_n t/\hbar}\)가 곱해질 뿐이고, 물리적으로는 변화하지 않는 "정상상태"라고 배웠지. 위치 표현에서도 같은 일이 일어나.
🔵 카이: 정상상태의 파동함수는 어떤 형태가 되나요?
🟡 리나: 제 6 장에서, 에너지 \(E\)의 고유상태는 시간인자 \(e^{-iEt/\hbar}\)가 곱해질 뿐이었지. 위치 표현에서도 같은 것을 기대하고, 파동함수를 "공간 부분"과 "시간 부분"의 곱의 형태——이것을 변수분리라고 불러——로 써보자:
여기서 \(\psi(x)\)는 공간 부분만의 함수야. 이 형태가 정말로 Schrödinger 방정식을 만족하는지, 대입해서 확인해보자. 좌변은:
우변은:
양변을 \(e^{-iEt/\hbar}\)로 나누면:
⚪ 메이: 시간이 완전히 사라졌어! \(\psi\)는 \(x\)만의 함수니까, 편미분 \(\partial\)이 아니라 상미분 \(d\)로 쓸 수 있네. \(x\)만의 상미분방정식이 되었어.
🟡 리나: 이것이 시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식(time-independent Schrödinger equation)이야. 에너지 고유값 \(E\)와 고유함수 \(\psi(x)\)를 구하는 방정식이야. 연산자의 언어로 쓰면:
해밀토니안의 고유값 방정식 그 자체야.
🔵 카이: 이걸 풀면, 허용되는 에너지 값을 알 수 있는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 일반적으로, 경계조건(파동함수가 물리적으로 의미를 가지기 위한 조건)을 만족하는 해는, 특정 에너지 값 \(E_1, E_2, E_3, \ldots\)에 대해서만 존재해. 이것이 에너지의 양자화——제 1 장에서 본 원자의 안정성의 수수께끼에 대한 답이야.
🔵 카이: 오, 드디어 양자화의 기원이 방정식 안에 보이기 시작했다……!
그림 7.3: 정상 상태의 파동함수. 에너지 고유상태 \(\psi_n(x)\)는 시간에 따라 위상 인자 \(e^{-iE_n t/\hbar}\)가 곱해질 뿐, 확률밀도 \(|\Psi|^2 = |\psi_n|^2\)는 시간 변화하지 않는다——이것이 '정상'의 의미.
🟡 리나: 각 \(E_n\)에 대응하는 고유함수를 \(\psi_n(x)\)로 쓰면, 일반적인 파동함수는 이것들의 중첩으로 쓸 수 있어:
이것은 제 6 장의 2상태계의 일반화야.
⚪ 메이: 유한 개의 \(c_1, c_2\)였던 것이, 무한 개의 \(c_n\)이 되었을 뿐——구조는 같네.
🟡 리나: 맞아. 각 에너지 성분은 고유의 진동수 \(\omega_n = E_n/\hbar\)로 위상이 회전해. 서로 다른 에너지 성분의 위상차가 시간에 따라 변하는 것으로, 확률밀도 \(|\Psi|^2\)가 시간 변화해——이것이 양자계 동역학의 원천이야.
🔵 카이: 정상상태는 "아무것도 변하지 않는다"는 거지만, 중첩 상태는 "움직인다"는 거군요. 그런데 신기하네요——각 성분은 \(|e^{-iE_n t/\hbar}|^2 = 1\)로 확률밀도에 영향을 주지 않을 텐데, 더하면 움직이는 건 왜죠?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 구체적으로 봐보자. 2개의 에너지 고유상태의 중첩 \(\Psi = c_1\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar} + c_2\psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar}\)의 확률밀도를 계산할게. \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\)이니까, 먼저 \(\Psi^* = c_1^*\psi_1^* e^{iE_1 t/\hbar} + c_2^*\psi_2^* e^{iE_2 t/\hbar}\)를 만들어서, \(\Psi\)와 곱해서 전개해.
🔵 카이: \((A + B)(C + D)\)처럼 4개의 항이 나오는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 구체적으로는:
- \(c_1^*c_1\,\psi_1^*\psi_1 = |c_1|^2|\psi_1|^2\) (시간인자가 \(e^{i(E_1-E_1)t/\hbar} = 1\)로 사라짐)
- \(c_2^*c_2\,\psi_2^*\psi_2 = |c_2|^2|\psi_2|^2\) (마찬가지로 시간인자가 사라짐)
- \(c_1^*c_2\,\psi_1^*\psi_2\,e^{i(E_1-E_2)t/\hbar}\) (교차항 1)
- \(c_2^*c_1\,\psi_2^*\psi_1\,e^{i(E_2-E_1)t/\hbar}\) (교차항 2)
🔵 카이: 처음 2개는 시간에 의존하지 않는데, 교차항에는 시간이 남아있어요——이것이 진동의 원인인가요?
🟡 리나: 맞아! 교차항 2는 교차항 1의 켤레복소수가 돼 (\(e^{i(E_2-E_1)t/\hbar} = (e^{i(E_1-E_2)t/\hbar})^*\)이니까). 여기서 편리한 공식을 사용할게——복소수 \(z = a + bi\)에 대해 \(z + z^* = (a+bi) + (a-bi) = 2a = 2\,\text{Re}(z)\). 즉 "어떤 복소수와 그 켤레복소수를 더하면, 실수부의 2배가 된다"는 거야. 이것을 사용해서 교차항 1을 \(z\)로 놓고 2개를 합치면 \(2\,\text{Re}[c_1^*c_2\,\psi_1^*\psi_2\,e^{i(E_1-E_2)t/\hbar}]\)가 돼. 여기서 \((E_1 - E_2) = -(E_2 - E_1)\)이니까 \(e^{i(E_1-E_2)t/\hbar} = e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar}\). \(E_2 > E_1\)로 번호를 매겨두면, 진동수 \(\omega_{21} \equiv (E_2-E_1)/\hbar > 0\)을 정의할 수 있어:
⚪ 메이: 마지막 항은 2개의 성분이 "섞이는" 것으로 비로소 태어나는 항이네. 진동수 \((E_2 - E_1)/\hbar\)로 진동해.
🟡 리나: 맞아. 이것을 간섭항이라고 불러. 고등학교 물리에서 배운 파의 간섭과 같은 구조——2개의 파가 겹칠 때, 개별 세기의 합뿐만 아니라 "혼합항"이 나타나는 것과 같아. 제 6 장의 암모니아 메이저에서 본 양자진동을 위치 공간으로 표현한 것이야. Bohr (보어)의 진동수 조건 \(\nu = (E_2 - E_1)/h\)는 바로 이 간섭항의 진동수에 대응하고 있어. 그림 7.4「중첩 상태의 확률밀도의 시간 변화」에서, 2개의 고유상태의 중첩의 확률밀도가 어떻게 시간 변화하는지 봐봐.
그림 7.4: 중첩 상태의 확률밀도의 시간 변화. 2개의 정상상태의 동일 중첩 \(\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar} + \psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar})\)에서의 \(|\Psi(x,t)|^2\)의 시간 변화. 파선은 확률분포의 "무게중심" 위치로, 이것이 주기 \(T = 2\pi\hbar/(E_2 - E_1)\)로 진동한다.
🔵 카이: 확률의 봉우리가 진동하고 있어요! 이것은 제 6 장의 Rabi 진동과 같은 원리인가요? 위치 공간에서 보면 이렇게 되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 제 6 장에서는 2상태 사이의 확률이 진동했는데, 이번에는 "위치 공간 어디에서 발견되는가"의 확률이 진동하고 있어——원리는 완전히 같아.
🔵 카이: 그러면 3개 이상의 에너지 고유상태를 중첩하면, 진동은 더 복잡해지나요?
🟡 리나: 맞아. 3개 이상의 성분이 있으면, 서로 다른 진동수 \(\omega_{21}, \omega_{31}, \omega_{32}, \ldots\)의 간섭항이 전부 겹치니까, 단순한 왕복 운동이 아니게 돼. 하지만 기본적인 원리는 같아——서로 다른 에너지 성분의 위상차가 시간 변화를 만들어내는 거야. \(N\)개의 성분이 있으면, 간섭항은 "2개의 성분 조합"의 수——\(_NC_2 = N(N-1)/2\)개가 돼.
⚪ 메이: 2성분이면 1개로 단진동, 3성분이면 3개로 복잡한 진동——성분이 늘수록 간섭항이 급증하는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그리고 어떤 간섭항이든 "2개 성분의 에너지 차이"로 진동수가 결정된다는 구조는 같아——식 (7.20)의 \(\omega_{21} = (E_2 - E_1)/\hbar\)가, 임의의 쌍 \((n, m)\)에 대해 \(\omega_{nm} = (E_n - E_m)/\hbar\)가 될 뿐이야.
🔵 카이: 그런데 한 가지 궁금한 게——확률의 봉우리가 진동하고 있다는 건, 입자가 실제로 좌우로 움직이고 있는 건가요? 아니면 "측정하면 발견되는 장소의 확률이 바뀌고 있는" 것뿐인가요?
🟡 리나: 날카로운 질문이야. 정확하게는 후자야. 입자가 고전적인 궤도를 그리며 움직이고 있는 게 아니야. "만약 지금 측정하면, 여기서 발견될 확률이 높다"는 분포가 시간에 따라 변하고 있는 거야. 측정하기 전에는 입자에 확정된 위치는 없어——이것이 고전역학과의 근본적인 차이야.
🔵 카이: 음, "움직이고 있는" 게 아니라 "발견될 장소의 확률이 바뀌고 있다"라……. 머리로는 알겠는데, 직관적으로는 아직 찜찜하네요. 확률의 봉우리가 좌우로 진동하고 있으면, "입자가 움직이고 있다"고 말하고 싶어지잖아요. 그러면 측정하기 전에 입자는 대체 "뭘 하고 있는" 건가요?
🟡 리나: 그 물음은 양자역학의 가장 깊은 부분에 닿아 있어. 지금 단계에서 정직하게 대답하면——양자역학은 "측정하기 전에 입자가 뭘 하고 있는지"에 대해서는 아무것도 말하지 않아. 말할 수 있는 것은 "만약 측정하면, 이런 확률로 여기서 발견된다"는 것뿐이야. 이 찜찜함은 정상적인 반응이야——Einstein도 같은 것을 느꼈어. 지금은 "찜찜하지만, 계산은 맞는다"는 태도로 앞으로 나아가자. 7.9「전체 정리 — Schrödinger 방정식의 구조」에서, Newton 역학과의 대비 속에서 "무엇이 결정론적이고 무엇이 확률적인지"를 정리할게.
🔵 카이: ……솔직히 아직 납득은 안 되지만, "계산은 맞는다"는 건 강력한 근거이긴 하죠. 그러면 지금은 보류해두고, 우선 방정식을 쓸 수 있게 되는 데 집중할게요. 나중에 꼭 다시 물어볼 거예요.
✅ 이해도 체크: 정상상태 \(\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}\)의 확률밀도 \(|\Psi(x,t)|^2\)는 시간에 의존할까요? 이유와 함께 답해보세요.
답
의존하지 않는다. \(|\Psi|^2 = |\psi(x)|^2|e^{-iEt/\hbar}|^2 = |\psi(x)|^2 \cdot 1 = |\psi(x)|^2\). 위상인자의 절댓값은 항상 1이므로, 확률밀도는 시간에 의존하지 않는다. 그래서 "정상상태"라고 불린다.
📝 연습문제:
- 변수분리 \(\Psi(x,t) = \psi(x)T(t)\)를 Schrödinger 방정식 (7.13)에 대입하여, \(x\)만의 방정식과 \(t\)만의 방정식으로 분리하는 과정을 직접 수행하라 → 문제 M-1. 변수분리법을 이용한 시간에 무관한 Schrödinger 방정식의 유도
7.6 확률밀도와 확률류 — 확률의 보존¶
🟡 리나: 파동함수의 가장 중요한 물리적 요청은 "확률의 보존"이야. 입자는 사라지거나 생겨나지 않아. 따라서, 전 공간에서 입자를 발견할 확률의 합은 항상 1이어야 해:
🔵 카이: 그런데 \(\Psi\)는 시간에 따라 변하잖아요? 이 적분이 정말 계속 1인 채로 있나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 이것을 증명해보자. 적분의 시간 미분을 계산해볼게. 직관적으로 말하면, "전체 확률의 변화율"은 "각 점에서의 확률밀도의 변화율을 전부 합한 것"이지——전체가 변하는 건 어딘가의 부분이 변하고 있기 때문이니까. 여기서 하나 기술적인 점을 확인해둘게. "\(t\)로 미분하고 나서 \(x\)로 적분한다"와 "\(x\)로 적분하고 나서 \(t\)로 미분한다"는 항상 교환할 수 있는 건 아니야. 하지만, 파동함수가 \(x \to \pm\infty\)에서 충분히 빠르게 0에 가까워지는 경우——이것은 7.7「파동함수의 규격화와 물리적 요청」에서 정식으로 요청하는 조건이지만——적분 범위를 충분히 큰 유한 구간 \([-L, L]\)로 잘라도 결과는 거의 변하지 않아. 유한 구간 위의 적분이라면, 피적분함수가 매끄러운 한 미분과 적분의 순서는 자유롭게 교환할 수 있어——직관적으로는, 적분은 "무한히 잘게 나눈 덧셈"이니까, "덧셈의 각 항을 미분하고 나서 더하는 것"과 "더하고 나서 미분하는 것"은 같다는 뜻이야. 또한, 좌변의 \(\frac{d}{dt}\)는 "\(x\)로 적분한 후에 남는 \(t\)만의 함수"의 보통 미분이고, 우변의 \(\frac{\partial}{\partial t}\)는 "\(x\)와 \(t\) 모두에 의존하는 함수"의 편미분이야. 즉:
먼저 \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\)을 계산할게. \(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\)이니까:
⚪ 메이: 곱의 미분법칙이네.
🟡 리나: Schrödinger 방정식 (7.13)에서 \(\frac{\partial\Psi}{\partial t}\)를 끄집어내고 싶어. 양변을 \(i\hbar\)로 나누면 돼——\(i\hbar\)로 나누는 것은 \(\frac{1}{i\hbar} = \frac{-i}{\hbar}\)를 곱하는 것과 같아. 왜냐하면, \(\frac{1}{i}\)의 분자분모에 \(-i\)를 곱하면 \(\frac{1}{i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i\)이니까. 좌변은 \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{i\hbar} = \frac{\partial\Psi}{\partial t}\)가 돼. 우변은:
🔵 카이: \(-\frac{i}{\hbar}\)를 곱하면 \(i\hbar\)가 사라지는군요. \(-\frac{i}{\hbar} \cdot (-\frac{\hbar^2}{2m})\)는, 마이너스×마이너스로 플러스, \(\hbar\)가 약분되어 \(\frac{i\hbar}{2m}\)이 돼요. 확실히 식이 나와요.
🟡 리나: 맞아. 다음으로, 이 식의 켤레복소수를 취해. \(V\)는 실수이므로 \(V^* = V\)이고, \(i^* = -i\)이니까:
🔵 카이: \(i\)의 부호가 전부 반전되네요.
🟡 리나: 이것들을 식 (7.23)에 대입하면:
\(V\)를 포함하는 항이 상쇄되어:
🔵 카이: 어라, 퍼텐셜 \(V\)의 항이 사라졌네요!
🟡 리나: 맞아. \(V\)가 실수이니까, \(\Psi^*\)의 식과 \(\Psi\)의 식에서 \(V\)를 포함하는 항이 정확히 상쇄돼. 이것은 중요한 포인트야——확률 보존은 \(V\)가 실수인 것에 의존하고 있어. 만약 \(V\)가 복소수였다면 상쇄가 깨져서, 확률이 보존되지 않게 돼.
⚪ 메이: 즉, 확률 보존의 조건이 퍼텐셜의 성질(실수인 것)과 직결되어 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 여기서, 식 (7.26)의 우변을 잘 봐. \(\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\)과 \(\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\Psi\)라는 2개의 항이 있어. 이것을 "\(x\)의 미분" 형태로 정리할 수 없을까 시도해보자. \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)\)를 곱의 미분법칙으로 전개하면:
마찬가지로:
이 2개의 차를 취하면, \(\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)의 항이 상쇄되어:
정확히 식 (7.26)의 우변이 남아. 좌변을 정리하면 \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\)이니까:
🔵 카이: 아하, "\(x\)의 미분 형태로 쓸 수 없을까?"라고 시도해봤더니, 잘 됐군요.
🟡 리나: 맞아. 왜 이 형태를 찾는가 하면, 만약 \(\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial(\text{무언가})}{\partial x}\)라고 쓸 수 있다면, 전 공간에서 적분했을 때 우변이 경계값만 되어서, 확률의 보존을 보일 수 있기 때문이야. 물리적 동기가 먼저 있는 거야.
⚪ 메이: "어떤 형태로 정리하고 싶은가"를 목표에서 역산하고 있는 거네.
🟡 리나: 식 (7.27)의 우변을 보면, \(\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\)의 \(x\) 미분 형태가 되어 있어. 즉 \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = \frac{\partial}{\partial x}(\text{무언가})\)라는 구조야. 이것은 유체역학의 질량 보존과 같은 형태——"밀도의 시간 변화 = 흐름의 공간 변화"야. 유체역학에서는 \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\)으로 쓰고, \(j\)를 "흐름"이라고 불러. 이 형태에 맞추기 위해, 우변을 \(-\frac{\partial j}{\partial x}\)로 쓰고 싶어. 식 (7.27)은 \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\right]\)이니까, \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = -\frac{\partial j}{\partial x}\)로 만들려면 \(j = -\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\)로 정의하면 돼. \(-\frac{i\hbar}{2m}\)는 \(\frac{\hbar}{2mi}\)로 써도 같아. 확인하면, \(\frac{1}{i} = \frac{1}{i}\cdot\frac{-i}{-i} = \frac{-i}{1} = -i\)이니까, \(\frac{\hbar}{2mi} = \frac{\hbar}{2m}\cdot\frac{1}{i} = \frac{\hbar}{2m}\cdot(-i) = -\frac{i\hbar}{2m}\). 교과서에 따라 표기가 다르므로, 여기서는 \(\frac{\hbar}{2mi}\)의 형태를 채택하여 확률류 밀도(probability current density) \(j(x,t)\)를 정의할게:
이렇게 정의하면, 식 (7.27)은 \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = -\frac{\partial j}{\partial x}\)라는 깔끔한 형태가 돼. 확인해봐——식 (7.27)의 우변은 \(\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\right]\)이고, \(j = -\frac{i\hbar}{2m}(\cdots)\)이니까, 우변 \(= \frac{\partial}{\partial x}\left[-j\right] = -\frac{\partial j}{\partial x}\).
🔵 카이: 아하, \(\frac{i\hbar}{2m}\)과 \(j\)의 부호가 반대이니까, \(x\) 미분하면 \(-\frac{\partial j}{\partial x}\)가 되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 마이너스 부호의 물리적 의미는 "확률밀도가 증가하는 곳에서는 확률류가 유입되고 있다"——유입과 밀도 증가가 같은 부호가 되도록 정의하고 있는 거야.
🔵 카이: 확률류 \(j\)의 정의식 (7.28)에, 뭔가 물리적인 이미지가 있나요? 식만 보면 복잡해서……
🟡 리나: 좋은 질문이야. 물리적으로는, \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)이니까 \(\frac{\hat{p}}{m} = \frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial}{\partial x}\)이고, 이것은 고전역학의 "속도 = 운동량/질량"의 양자판이야. 다른 표기법으로 \(j = \text{Re}\left[\Psi^*\frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right]\)로도 표현할 수 있어. 여기서 주의할 점은, \(\frac{\partial}{\partial x}\)는 "그 오른쪽에 있는 함수를 미분한다"는 뜻이고, \(\Psi^*\)는 이미 미분의 왼쪽에 있으니까 미분되지 않아——즉 \(\Psi^* \times \frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)라는 곱셈을 계산하고 나서 실수부를 취한다는 순서야. 실제로 확인해보면, \(z = \Psi^*\frac{-i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)로 놓았을 때, \(\text{Re}(z) = \frac{z + z^*}{2}\)를 사용하면 \(z^* = \Psi\frac{i\hbar}{m}\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\) (\(i\)의 부호가 반전되고, \(\Psi\)와 \(\Psi^*\)가 교환됨)이니까, \(\frac{z + z^*}{2} = \frac{-i\hbar}{2m}\!\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right) = \frac{\hbar}{2mi}\!\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\)가 되어 식 (7.28)과 일치해——연습문제 문제 M-3. 확률 흐름 밀도의 계산에서 직접 손으로 확인해봐. 즉 이것은 "속도 연산자 \(\hat{v} = \hat{p}/m\)을 \(\Psi^*\)와 \(\Psi\)로 끼운 것의 실수부"로, 고전적인 "밀도 × 속도 = 흐름"의 양자판으로 해석할 수 있어.
🔵 카이: 고전역학의 "흐름 = 밀도 × 속도"가, 양자역학에서는 연산자를 사용한 형태가 되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 따라서 식 (7.27)은 \(\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 = -\frac{\partial j}{\partial x}\)로 쓸 수 있어. 이항하면:
🟡 리나: 이 형태의 방정식은 연속 방정식(continuity equation)이라고 불려. 유체역학에서 "질량이 생겨나거나 사라지지 않는다"는 것을 나타내는 식과 완전히 같은 구조야. 확률밀도 \(\rho = |\Psi|^2\)가 "확률의 밀도", \(j\)가 "확률의 흐름"을 나타내. 확률이 생겨나거나 사라지지 않는다——즉 확률이 국소적으로 보존된다는 것을 의미하고 있어. 그림 7.5「확률류와 확률 보존」에서 파속이 이동하면서도 전체 확률이 보존되는 이미지를 봐둬. 참고로, 일반적으로는 파속은 이동하면서 시간에 따라 퍼지지만(분산), 전체 확률 \(\int|\Psi|^2 dx = 1\)은 항상 보존돼——이것이 연속 방정식의 의미야.
⚪ 메이: 유체의 질량 보존과 같은 형태로 확률의 보존이 표현되는 거네. 형태가 바뀌어도 "총량"은 변하지 않아.
그림 7.5: 확률류와 확률 보존. 파속이 시간에 따라 이동하는 모습(여기서는 분산을 무시한 모식도). 파속의 형태는 일반적으로 시간에 따라 넓어지지만, 전 공간에서의 적분 \(\int|\Psi|^2 dx = 1\)은 항상 보존된다. 확률류 \(j(x,t)\)가 "확률의 흐름"을 나타낸다.
🔵 카이: 그래서, 전 공간의 적분이 일정하다는 건요?
🟡 리나: 연속 방정식 (7.29)의 양변을 \(-\infty\)부터 \(+\infty\)까지 \(x\)로 적분하면, 좌변은 \(\frac{d}{dt}\int|\Psi|^2 dx\), 우변은 \(-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial j}{\partial x}\,dx\)가 돼. 고등학교에서 배운 미적분의 기본정리 \(\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)\)를 사용할게. 여기서는 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(-\frac{\partial j}{\partial x}\right)dx\)이니까, \(-j\)를 "\(x\)로 미분하기 전의 함수"로 보면:
여기서 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial j}{\partial x}dx = [j]_{-\infty}^{+\infty} = j(+\infty) - j(-\infty)\)는 미적분의 기본정리 그 자체야. 전체에 마이너스가 붙어 있으니까, \(-(j(+\infty) - j(-\infty)) = j(-\infty) - j(+\infty)\)로 부호가 반전돼.
물리적으로 의미 있는 파동함수는 \(x \to \pm\infty\)에서 충분히 빠르게 0에 가까워지니까, \(j(\pm\infty, t) = 0\)이고 우변은 0이야:
🔵 카이: 대단해요! 한번 규격화하면 계속 규격화된 채로 유지돼요.
🟡 리나: 이것은 Schrödinger 방정식의 내부 정합성을 보여주는 중요한 결과야. 만약 이 성질이 없었다면, 확률 해석 자체가 무너져버려.
⚪ 메이: 즉, 방정식의 수학적 구조로부터 확률 보존이 나오는 거네. 나중에 조건을 덧붙인 게 아니라.
🟡 리나: 맞아. 더 말하자면, 제 6 장에서 확률 보존(\(|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1\)이 시간에 의존하지 않는 것)을 확인했지. 그것의 위치 표현에서의 표현이 이거야. 상태벡터의 "길이"——위치 표현에서는 \(\int|\Psi|^2\,dx\)——가 시간발전에서 보존돼. 이 성질을 유니타리성이라고 불러.
✅ 이해도 체크: 확률 보존의 증명(식 7.26)에서, 퍼텐셜 \(V(x)\)를 포함하는 항이 상쇄되는 이유는 무엇일까요? 만약 \(V(x)\)가 복소수였다면 어떻게 될까요?
답
\(V(x)\)가 실수이기 때문에, \(\Psi^*(-\frac{i}{\hbar}V\Psi)\)와 \((\frac{i}{\hbar}V\Psi^*)\Psi\)가 정확히 상쇄된다. 만약 \(V(x)\)가 복소수라면 상쇄가 불완전해지고, 확률이 보존되지 않게 된다. 즉, 퍼텐셜이 실수인 것은 확률 보존의 필요조건이다.
✅ 이해도 체크: 연속 방정식 (7.29)의 물리적 의미를, "어떤 영역 내의 확률의 증감"과 "확률류"의 관계로 설명해보세요.
답
구간 \([a, b]\) 내의 확률 \(P_{ab} = \int_a^b |\Psi|^2 dx\)의 시간 변화율은 \(\frac{dP_{ab}}{dt} = j(a,t) - j(b,t)\)이다. 즉, 구간 내의 확률이 증가하는 것은, 왼쪽 끝에서 유입되는 확률류가 오른쪽 끝에서 유출되는 확률류보다 클 때뿐이다. 확률은 "어디선가 저절로 솟아나는" 일이 없고, 반드시 인접 영역에서 흘러 들어온다.
📝 연습문제:
- 평면파 \(\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}\)에 대해 확률류 밀도 \(j\)를 계산하고, 고전적인 "입자의 흐름" \(\rho v\) (\(\rho\)는 확률밀도, \(v\)는 속도)와 비교하라 → 문제 M-3. 확률 흐름 밀도의 계산
7.7 파동함수의 규격화와 물리적 요청¶
🟡 리나: 확률 보존의 논의로부터, 파동함수가 만족해야 할 물리적 조건을 정리해두자.
규격화 조건¶
🟡 리나: 먼저 가장 기본적인 조건:
이것은 "입자는 반드시 어딘가에 있다"는 것의 수학적 표현이야.
🔵 카이: 만약 Schrödinger 방정식을 풀어서 얻은 \(\Psi\)의 적분이 1이 안 되면요?
🟡 리나: 선형 방정식이니까, 해에 상수를 곱해도 해 그대로야. 적분이 유한값 \(N\)이 되면, \(\Psi/\sqrt{N}\)으로 바꾸면 규격화할 수 있어. 다만, 적분이 발산하는(무한대가 되는) 경우는 규격화할 수 없어——그런 함수는 물리적인 상태를 나타내지 못해.
⚪ 메이: 평면파 \(e^{ikx}\)가 바로 그렇지. \(\int_{-\infty}^{+\infty}|e^{ikx}|^2 dx = \int_{-\infty}^{+\infty}1\,dx = \infty\).
🟡 리나: 맞아. 평면파는 "확정된 운동량의 상태"라는 이상화이고, 물리적으로는 파속으로 중첩해서 사용할 필요가 있어. 수학적으로는 편리한 도구이지만, 단독으로는 규격화할 수 없어.
연속성과 매끄러움¶
🟡 리나: 다음으로, 파동함수가 만족해야 할 매끄러움 조건:
- \(\Psi(x,t)\)는 연속이어야 한다
- \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)도 연속이어야 한다 (퍼텐셜이 유한한 경우)
🔵 카이: 왜 매끄러워야 하나요?
🟡 리나: 2가지 이유가 있어. 첫째, 확률류 \(j\) (식 7.28)에는 \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)가 포함되니까, 이것이 불연속이면 확률류를 정의할 수 없어. 둘째, Schrödinger 방정식의 우변에 \(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\)가 있으니까, \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)가 불연속이면 2계 미분을 정의할 수 없어.
⚪ 메이: 즉, Schrödinger 방정식이 의미를 가지려면, 파동함수는 적어도 2번 미분 가능해야 하는 거네.
🟡 리나: 다만 예외가 있어. 퍼텐셜이 무한대로 뛰는 점(무한히 높은 벽)에서는, \(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\)의 연속성은 요구되지 않아. 이것은 제 9 장에서 구체적으로 볼 거야.
경계조건 정리¶
🟡 리나: 물리적으로 허용되는 파동함수의 조건을 정리하면:
표 7.2: 파동함수의 경계조건 목록
| 조건 | 수학적 표현 | 물리적 이유 |
|---|---|---|
| 규격화 가능 | $\int | \Psi |
| 연속 | \(\Psi\)에 불연속점 없음 | 확률밀도가 유일하게 정해짐 |
| 매끄러운 접속 | \(\partial\Psi/\partial x\) 연속 | 확률류가 보존됨 |
| 무한원에서 0 | \(\Psi \to 0\) (\(x \to \pm\infty\)) | 입자는 무한원에 없음 |
🔵 카이: 이 조건이 에너지의 양자화를 만드는 거죠? "어떤 \(E\)에서든 해가 있다"가 아니라, 이 조건들을 만족시킬 수 있는 \(E\)만 허용되는 거예요.
🟡 리나: 맞아! 그것이 양자역학의 핵심이야. 제 9 장에서 우물형 퍼텐셜이나 조화진동자를 구체적으로 풀 때, 경계조건이 어떻게 에너지를 선별하는지 볼 거야.
✅ 이해도 체크: 파동함수에 대한 4가지 물리적 요청(규격화 가능·연속·매끄러운 접속·무한원에서 0) 중, 에너지의 양자화를 만드는 원인이 되는 것은 어떤 것일까요?
답
이 조건들 모두가 결합하여 에너지의 양자화를 만든다. 특히, 규격화 가능성(\(\Psi \to 0\) at \(x \to \pm\infty\))과 연속성·매끄러움 조건을 동시에 만족하는 해는, 임의의 에너지 \(E\)에서는 존재하지 않고, 특정한 이산적인 \(E_n\)에 대해서만 존재한다. 경계조건이 해의 존재를 제한함으로써, 허용되는 에너지가 선별된다.
✅ 이해도 체크: 파동함수 \(\Psi(x) = A\) (상수)는 규격화 가능할까요? 이유를 말해보세요.
답
규격화 불가능. \(\int_{-\infty}^{+\infty}|A|^2 dx = |A|^2 \cdot \infty = \infty\)로 발산하기 때문.
7.8 Feynman의 관점 — 격자에서 연속 공간으로¶
🟡 리나: 여기서 Schrödinger 방정식이 어디에서 오는지에 대해, 또 하나 다른 관점을 소개해둘게. Feynman (파인먼)이 『파인먼 물리학 강의』에서 보여준 아름다운 접근이야.
🔵 카이: 아까의 유도와는 다른 건가요?
🟡 리나: 아까는 "de Broglie 파의 성질로부터 방정식을 읽어낸다"는 접근이었어. Feynman의 접근은 "결정격자 위의 전자 방정식에서, 격자 간격을 0으로 하는 극한으로 Schrödinger 방정식을 유도한다"는 것이야.
🟡 리나: 직선 위에 간격 \(b\)로 늘어선 원자의 열을 생각해. \(n\)번째 원자의 위치를 \(x_n = nb\)로 써. 전자가 시각 \(t\)에 \(n\)번째 원자에 있을 확률진폭을 \(C(x_n)\)으로 써——제 6 장의 \(C_1, C_2\)와 같은 것이지만, 원자가 무한히 많으니까 번호 \(n\) 대신 위치 \(x_n\)으로 지정하는 편이 나중에 연속 극한을 취할 때 편리해 (정말은 \(t\)에도 의존하지만, 간결하게 쓸게). 제 6 장의 암모니아 분자에서는, 2가지 배치 사이를 진폭 \(A\)로 왔다 갔다 했지. 그것과 같은 사고방식으로, 전자가 이웃 원자로 "건너뛰는" 확률진폭을 \(A\) (\(A > 0\))로 놓아. 그러면, \(n\)번째 원자에 있을 진폭의 시간발전은, 제 6 장의 \(i\hbar\frac{dC_i}{dt} = \sum_j H_{ij}C_j\)와 같은 구조로:
- 대각 요소 \(H_{nn} = E_0\) (이웃으로 건너뛰지 않고 \(n\)번째에 머무를 때의 에너지): \(E_0 C(x_n)\)
- 오른쪽 이웃 \((n+1)\)과의 결합 (비대각 요소 \(H_{n,n+1} = -A\), 제 6 장의 \(H_{12} = -A\)와 같은 구조): \(-A C(x_n + b)\)
- 왼쪽 이웃 \((n-1)\)과의 결합 (비대각 요소 \(H_{n,n-1} = -A\)): \(-A C(x_n - b)\)
이것들을 합치면:
🔵 카이: 제 6 장의 암모니아 메이저의 일반화네요! 2개의 상태 대신 무한 개의 원자가 있는 거예요.
🟡 리나: 이 구조를 그림 7.6「Feynman의 격자 모델」에 그렸으니 확인해봐.
그림 7.6: Feynman의 격자 모델. 간격 \(b\)로 늘어선 원자 위의 전자. \(n\)번째 원자에 있는 진폭은 자기 자신의 에너지 \(E_0\)와 좌우 이웃 원자로의 결합 \(-A\)에 의해 시간발전한다. 격자 간격 \(b \to 0\)의 극한에서 연속 공간의 Schrödinger 방정식이 나타난다.
🔵 카이: 이웃에서 "뛰어 들어오는" 건데, 왜 부호가 마이너스인가요?
🟡 리나: 제 6 장의 암모니아 분자의 방정식을 떠올려봐. 그때 \(i\hbar\frac{dC_1}{dt} = H_{11}C_1 + H_{12}C_2\)에서, \(H_{12} = -A\) (\(A > 0\))로 놓았지. 그 결과, 고유값이 \(E_0 + A\)와 \(E_0 - A\)로 갈라져서, 낮은 쪽의 에너지가 \(E_0 - A\)가 됐어——즉 결합이 있으면 에너지가 낮아졌어. 포인트는 "\(-A\)의 마이너스는 단순한 규약"이라는 것. \(A > 0\)으로 정해두고 비대각 요소를 \(-A\)로 쓰면, 결합의 결과로 에너지가 \(E_0\)보다 낮아져 (\(E_0 - A < E_0\)). 만약 \(+A\)로 썼다면 반대로 에너지가 올라가게 되어, "이웃으로 건너뛸 수 있으면 안정해진다"는 물리에 맞지 않아. 고등학교 화학에서 "공유결합을 형성하면 안정해진다(에너지가 낮아진다)"고 배웠지? 그것과 같아서, 이웃 원자로 건너뛸 수 있는 전자는 하나의 원자에 갇힌 전자보다 에너지가 낮아. 그래서 \(-A\)로 쓰는 거야.
⚪ 메이: 부호의 규약이 "결합하면 에너지가 낮아진다"는 물리를 반영하고 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 우변을 약간 정리할게. 목표는 "이웃과의 차이"를 2계 미분의 형태로 가져가는 것이야. 2계 미분 \(\frac{d^2f}{dx^2}\)은 "함수의 휘어짐 정도"를 나타내는데, 이산적인 격자에서는 "가운데 값과 양쪽 이웃의 평균의 어긋남"으로 근사할 수 있어. 구체적으로는 \(f''(x) \approx \frac{f(x+b) - 2f(x) + f(x-b)}{b^2}\)——분자를 보면 "양쪽 이웃의 값을 더하고, 가운데의 2배를 빼는" 형태야. 부호를 반전하면 \(2f(x) - f(x+b) - f(x-b) \approx -b^2 f''(x)\). 식 (7.33)의 우변에 이 형태를 만들어내고 싶으니까, \(+2AC(x_n) - 2AC(x_n) = 0\)을 더해봐:
이 5개의 항을 2그룹으로 나눠. \(E_0 C(x_n)\)과 \(-2AC(x_n)\)을 묶어서 \((E_0 - 2A)C(x_n)\). 나머지 \(+2AC(x_n) - AC(x_n+b) - AC(x_n-b)\)에서는 \(A\)를 묶어내어 \(A[2C(x_n) - C(x_n+b) - C(x_n-b)]\). 합치면:
🔵 카이: 아, \(E_0 C - 2AC\)를 묶어서 \((E_0 - 2A)C\)로 만들고, 나머지를 대괄호에 넣은 거군요. 대괄호 안의 내용은 "가운데 값의 2배에서 양쪽 이웃을 뺀 것"——이것이 2계 미분으로 변하는 건가요?
🟡 리나: 바로 그거야! 정확히 거기가 포인트야. 하지만 그 전에 하나 처리해둘게. \((E_0 - 2A)\)는 상수 에너지 이동에 불과해——고등학교 물리에서 위치 에너지의 기준점을 자유롭게 선택할 수 있었던 것과 같아서, 에너지의 "영점"을 어디에 놓는가는 물리에 영향을 주지 않아.
🔵 카이: 어, 그런데 \(E_0\)은 원자에 머무르는 에너지이고, \(A\)는 이웃으로 건너뛰는 결합의 세기잖아요? 그걸 없애버려도 되나요?
🟡 리나: 좋은 확인이야. 여기서 중요한 건 "에너지의 차이"뿐이야. 전체에 상수를 더하거나 빼도, 시간발전 식에서는 \(e^{-i(E_0-2A)t/\hbar}\)라는 공통의 위상인자가 곱해질 뿐이고, 확률밀도 \(|\Psi|^2\)에는 영향을 주지 않아——제 6 장에서 "전체의 위상은 물리에 영향을 주지 않는다"고 배운 것과 같은 이치야. 그래서 에너지의 원점을 \(E_0 - 2A = 0\)이 되도록 선택해서 없애버려. 그러면 대괄호 안의 내용만 남아. 자, 카이의 질문에 답하자.
🟡 리나: \(C(x)\)가 매끄러운 함수라면, Taylor 전개(테일러 전개)로 근사할 수 있어. Taylor 전개란, 함수의 값을 "그 점에서의 미분계수"를 사용해서 가까운 점의 값을 표현하는 방법이야. 직관적으로는, \(f(x+b)\)를 \(b\)의 거듭제곱 급수로 쓰면 \(f(x+b) = f(x) + bf'(x) + \frac{b^2}{2}f''(x) + \cdots\)가 돼 (\(f'\)은 1회 미분, \(f''\)은 2회 미분의 약기야). 제1항은 "원래 값", 제2항은 "기울기 × 어긋남 폭"으로 1차 보정, 제3항은 "휘어짐에 의한 2차 보정"이야. \(b\)가 작을수록 고차항은 급격히 작아지니까 정밀도가 좋아져.
🔵 카이: 구체적으로는 어떤 뜻이에요?
🟡 리나: 예를 들어 \(f(x) = x^2\)으로 시도해봐. \(f(x+b) = (x+b)^2 = x^2 + 2xb + b^2\). 한편, Taylor 전개의 공식에 대입하면 \(f(x) + bf'(x) + \frac{b^2}{2}f''(x) = x^2 + b(2x) + \frac{b^2}{2}(2) = x^2 + 2xb + b^2\). 딱 일치하지. 여기서 \(\frac{b^2}{2}\)의 \(\frac{1}{2}\)이 어디서 오는지 궁금할 수 있는데, \(x^2\)의 예를 보면 알 수 있어——\((x+b)^2\)을 전개하면 \(b^2\)의 항의 계수는 \(1\)이지. 한편 \(f''(x) = 2\)이니까, \(f''\)에 \(\frac{b^2}{2}\)를 곱하면 \(\frac{b^2}{2} \times 2 = b^2\)로 올바르게 재현돼. 즉 \(\frac{1}{2}\)은 "2번 미분하면 여분의 2가 나오는 것을 상쇄하기" 위한 계수야. 일반적으로는 \(n\)차 항의 계수는 \(\frac{1}{n!}\) (\(n\)의 계승, \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\))이 돼. 자세한 것은 부록 B를 참조해. 일반적인 함수에서는 근사이지만, \(b\)가 작으면 매우 좋은 근사가 돼.
🔵 카이: 아하, \(x^2\)에서는 딱 맞지만, 일반적인 함수에서는 \(b\)가 작을수록 정밀도가 올라가는 근사인 거군요.
🟡 리나: 이것을 사용하면:
이 2개를 더하면, 1차 항(\(+b\frac{\partial C}{\partial x}\)와 \(-b\frac{\partial C}{\partial x}\))이 상쇄되어:
⚪ 메이: \(+b\)와 \(-b\)를 더했으니까 1차 항(\(\pm b\frac{\partial C}{\partial x}\))이 상쇄되고, 2계 미분 항만 남은 거네.
🔵 카이: \(Ab^2\)를 뭔가로 바꾸는 건가요?
🔵 카이: 그런데, 왜 "이웃 원자에만" 건너뛰나요? 2개 건너편 원자로 직접 뛰는 건 없나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 2개 건너편으로의 건너뜀도 원리적으로는 가능하지만, 그 진폭은 이웃으로의 진폭 \(A\)보다 훨씬 작아. 양자 터널 효과는 거리가 멀어질수록 지수함수적으로 약해지니까, 가장 가까운 이웃만 고려하는 것이 좋은 근사가 돼. 이것을 "최근접 근사"라고 불러.
🟡 리나: 자, 식 (7.35)를 식 (7.34) (\(E_0 - 2A = 0\)으로 한 후)에 대입해봐:
이것이 자유입자의 Schrödinger 방정식 (7.11)과 일치하려면, \(Ab^2 = \hbar^2/(2m)\)이어야 해. 반대로 말하면, 격자 모델의 파라미터 \(A\)와 \(b\)로부터 입자의 유효질량이 \(m = \hbar^2/(2Ab^2)\)로 결정되는 거야. 이렇게 해서:
🔵 카이: 자유입자의 Schrödinger 방정식이다! 격자의 이산적인 방정식의 연속 극한으로 나오는 거군요. 그런데 \(Ab^2 = \hbar^2/(2m)\)이라는 건, \(b \to 0\)으로 할 때 \(A\)는 점점 커지나요?
⚪ 메이: \(A = \hbar^2/(2mb^2)\)이니까, \(b\)가 반으로 줄면 \(A\)는 4배——확실히 \(b \to 0\)에서 \(A \to \infty\)네.
🟡 리나: 맞아. 격자 간격 \(b\)가 작아질수록, 이웃 원자로 건너뛰는 진폭 \(A\)는 커져——이웃이 가까울수록 건너뛰기 쉽다고 생각하면 자연스럽지. \(A \propto 1/b^2\)으로 증가하면서 \(b \to 0\)으로 하는 것으로, 유한한 질량 \(m\)을 가진 입자의 연속 공간에서의 운동이 재현되는 거야. 퍼텐셜이 있는 경우는 어떻게 되는가 하면——
🟡 리나: 격자 모델에서는, 각 원자의 위치에 따라 에너지 \(E_0\)가 장소마다 다를 수 있어——즉 \(E_0 \to E_0 + V(x_n)\)으로 바꾸면, 연속 극한에서 \(V(x)\Psi\)의 항이 자연스럽게 나타나는 거야. 하지만 Feynman 자신이 강조했듯이, 이것은 엄밀한 "유도"가 아니라, Schrödinger 방정식의 물리적 동기를 제공하는 "단서"야. 최종적으로는, Schrödinger 방정식은 실험과 일치하는 가설로서 받아들여지는 것이야. 하지만, 이산계의 양자역학(제4~6장에서 배운 것)과 연속 공간의 양자역학이 자연스럽게 연결된다는 것을 보여주는 아름다운 관점이야.
⚪ 메이: 제5~6장의 유한차원 이야기와, 이 장의 연속 공간 이야기가, 격자 모델을 통해 하나의 선으로 연결되는 거네.
✅ 이해도 체크: Feynman의 격자 모델에서, 격자 간격 \(b \to 0\)의 극한을 취할 때 \(Ab^2\)를 일정하게 유지하는 이유는 무엇일까요?
답
\(Ab^2 = \hbar^2/(2m)\)은 입자의 질량을 결정하는 양이다. \(b \to 0\)에서 \(A\)만을 고정하면 \(Ab^2 \to 0\)이 되어, 운동에너지 항이 사라져버린다. 물리적으로 의미 있는 연속 극한을 얻으려면, \(A\)를 \(b^{-2}\)에 비례하게 크게 하면서 \(b \to 0\)으로 해야 한다.
7.9 전체 정리 — Schrödinger 방정식의 구조¶
🟡 리나: 이 장에서 도입한 체계를 정리하자. 메이, 정리해줄래?
⚪ 메이: 해볼게.
표 7.3: Schrödinger 방정식의 기본 개념 정리
| 개념 | 수학적 표현 | 물리적 의미 |
|---|---|---|
| 파동함수 | \(\Psi(x,t) = \langle x\vert\phi(t)\rangle\) | 위치 \(x\)에서 입자를 발견할 확률진폭 |
| 확률밀도 | \(\rho(x,t) = \lvert\Psi(x,t)\rvert^2\) | 단위 길이당 발견 확률 |
| 시간발전 | \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\) | Schrödinger 방정식 |
| 해밀토니안 | \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\) | 에너지 연산자 |
| 운동량 연산자 | \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) | 운동량을 추출하는 연산자 |
| 정상상태 | \(\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n\) | 에너지 고유상태 |
| 확률 보존 | \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\) | 연속 방정식 |
🔵 카이: 이렇게 나열하니까 구조가 보이기 시작한 것 같아요. Newton 역학의 \(F = ma\)처럼, "방정식을 풀어서 뭔가를 구한다"는 구조는 같은 건가요?
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 바로 그래서, 대비를 표로 정리해둘게. 한 가지 주목해줬으면 하는 건 "미분의 계수"의 차이야. Newton의 운동방정식은 시간의 2계 미분(가속도)을 포함하니까, 초기조건으로 위치와 속도 2개가 필요해. 반면, Schrödinger 방정식은 시간의 1계 미분이니까, 초기조건은 \(\Psi(x,0)\)만으로 충분해——그것만으로 미래가 결정돼.
표 7.4: Newton 역학과 양자역학의 구조 비교
| Newton 역학 | 양자역학 | |
|---|---|---|
| 기본방정식 | \(F = ma\) (Newton의 운동방정식) | \(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\) (Schrödinger 방정식) |
| 구하는 것 | 위치 \(x(t)\) | 파동함수 \(\Psi(x,t)\) |
| 의미 | 입자의 확정된 궤도 | 확률진폭의 분포 |
| 초기조건 | 위치 \(x(0)\)과 속도 \(v(0)\) | 파동함수 \(\Psi(x,0)\) |
| 측정 결과 | 결정론적 (확정된 위치가 얻어짐) | 확률적 (\(\|\Psi\|^2\)이 확률밀도를 줌) |
| 시간발전 | 결정론적 (초기조건에서 \(x(t)\)가 유일하게 결정됨) | 결정론적 (초기조건에서 \(\Psi(x,t)\)가 유일하게 결정됨) ※측정 결과는 확률적 |
| 미분의 계수 | 시간 2계 | 시간 1계 |
🔵 카이: 그런데 \(\Psi\)는 \(x(t)\)처럼 "입자의 위치 자체"를 알려주는 건 아니잖아요? 7.5「정상상태와 시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식」에서도 물어봤지만, 전체 그림 속에서 다시 확인하고 싶어요.
🟡 리나: 맞아. Newton 역학의 \(x(t)\)는 입자의 "확정된 위치"를 줘. 반면, \(\Psi(x,t)\)는 확률진폭이어서, "입자를 발견할 확률의 분포"를 줘. 개별 측정에서 입자가 어디에서 발견되는지는 예측할 수 없어.
🔵 카이: 표에는 "시간발전은 결정론적"이라고 써 있는데, 측정 결과는 확률적……이라면, 양자역학은 결정론적인 건가요, 확률적인 건가요? 어느 쪽이에요?
🟡 리나: 재미있게도, 절반만 결정론적이야. 초기조건 \(\Psi(x, 0)\)을 주면, Schrödinger 방정식은 미래의 모든 시각의 \(\Psi(x,t)\)를 유일하게 결정해. 그 의미에서 파동함수의 시간발전은 결정론적이야. 하지만, "다음에 측정하면 입자가 어디에 있을까"는 확률적으로밖에 예측할 수 없어.
⚪ 메이: 즉, 결정론적인 것은 \(\Psi\)의 시간발전이지, 개별 측정 결과가 아닌 거네.
🔵 카이: 그런데 \(\Psi\)의 시간발전은 결정론적인데 측정하면 확률적이 된다——그 "경계"는 어디에 있는 건가요? 측정이란 물리적으로 무슨 일이 일어나는 걸까요?
🟡 리나: 그것은 양자역학의 가장 깊은 문제 중 하나로, "측정 문제"라고 불려. 이 교과서의 범위를 넘지만, 중요한 물음이야. 지금 단계에서는, Schrödinger 방정식이 실험과 일치하는 최선의 가설이라는 것——1926년의 제안 이래, 원자·분자·고체·소립자의 모든 스케일에서 반증되지 않았다는 것——을 받아들이고 앞으로 나아가자.
🔵 카이: 즉, Schrödinger 방정식은 "측정하지 않는 동안의 시간발전"을 기술하는 방정식이고, "측정 자체"는 별개의 이야기라는 거네요. 솔직히 아직 찜찜하지만…… 그럼 반대로 물어볼게요, 만약 측정하지 않으면 \(\Psi\)는 계속 결정론적으로 발전하나요? 측정하지 않는 한 "확률"은 나타나지 않나요?
🟡 리나: 맞아. 측정하지 않는 한, 파동함수는 Schrödinger 방정식에 따라 완전히 결정론적으로 발전해. "확률"이 얼굴을 내미는 것은 측정의 순간뿐이야. 이 기묘함은 바로 양자역학의 핵심에 있는 문제야. 지금은 우선 방정식을 다루면서, 무엇을 예측할 수 있고 무엇을 예측할 수 없는지를 체감해 나가자.
🔵 카이: Newton 역학이라면 \(F = ma\)를 풀면 "다음 순간 어디에 있는가"를 알 수 있는데, Schrödinger 방정식을 풀어도 "다음에 측정하면 어디에 있는가"는 모른다——같은 "기본방정식을 푼다"인데도, 얻을 수 있는 것의 성질이 근본적으로 다르군요. 하지만 우선 써봐야 알 수 있겠죠.
⚪ 메이: 정리하면——Schrödinger 방정식이 기술하는 것은 "측정과 측정 사이"의 시간발전이고, 그것은 결정론적이야. 하지만 측정의 순간에 \(|\Psi|^2\)에 따라 확률적으로 결과가 나온다——그 이중 구조라는 거네.
✅ 이해도 체크: "양자역학은 결정론적이다"와 "양자역학은 확률적이다"는 모순되지 않을까요? 어떻게 양립하는지 설명해보세요.
답
파동함수의 시간발전(Schrödinger 방정식)은 결정론적——초기조건에서 미래의 파동함수가 유일하게 결정된다. 그러나, 파동함수로부터 얻어지는 것은 측정 결과의 확률분포이며, 개별 측정 결과는 확률적으로밖에 예측할 수 없다. "상태의 발전은 결정론적이지만, 측정 결과는 확률적"이라는 형태로 양립한다.
📝 연습문제:
- Gaussian 파속 \(\Psi(x, 0) = \left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4}e^{-ax^2}\)이 규격화 조건 \(\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx = 1\)을 만족함을 확인하라 (Gauss 적분 \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\pi/\alpha}\)를 사용해도 좋다) → 문제 A-1. 가우스 파속의 시간 발전과 파속의 퍼짐
다음 장 예고¶
🟡 리나: 이 장에서 Schrödinger 방정식이라는 "무대장치"가 갖춰졌어. 하지만 아직 중요한 도구가 부족해.
🔵 카이: 뭐가 부족한 건가요?
🟡 리나: "위치의 기댓값", "운동량의 기댓값"을 어떻게 계산하는지. 그리고 위치와 운동량을 동시에 정확히 결정할 수 없다——불확정성 원리의 정량적 표현. 제 8 장에서는, 연산자의 기댓값 계산법을 정비하고, 위치 연산자 \(\hat{x}\)와 운동량 연산자 \(\hat{p}\) 사이의 "교환관계"라 불리는 관계식 \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\)로부터, Heisenberg (하이젠베르크)의 불확정성 원리 \(\Delta x\,\Delta p \geq \hbar/2\)를 유도해.
⚪ 메이: 확률진폭에서 "평균"과 "퍼짐"을 추출하는 방법이네. 기대돼.
🟡 리나: 나아가, Ehrenfest (에렌페스트)의 정리——기댓값이 고전역학의 운동방정식을 따른다는 것——도 증명해. 양자역학과 고전역학의 다리 놓기가 어떻게 성립하는지가 보일 거야.
참고문헌¶
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press (2018), Ch.1: 파동함수의 통계적 해석, 규격화의 시간 불변성, 연산자의 도입
- 広江克彦『趣味で量子力学』, Ch.5: 1차원 Schrödinger 방정식의 구체적인 풀이법, 우물형 퍼텐셜의 경계조건
- 清水明『新版 量子論の基礎』, Ch.5: 닫힌 계의 시간발전, 유니타리 발전과 확률 보존, 에너지 고유상태의 시간발전
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch.16: "The Dependence of Amplitudes on Position" — 격자 모델에서 연속 공간의 Schrödinger 방정식으로의 이행, 파동함수의 확률밀도 해석
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press (2021), Ch.2: 시간발전 연산자, Schrödinger 묘사와 Heisenberg 묘사, 에너지 고유 켓의 전개
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