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부록 D 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ tt}\)

$$\Gamma^\mu{}{\nu\sigma} = \frac{1}{2}g^{\mu\alpha}\left(\partial\nu g_{\alpha\sigma} + \partial_\sigma g_{\alpha\nu} - \partial_\alpha g_{\nu\sigma}\right) $$ 를 이용하여 \(\Gamma^r{}_{tt}\)를 도출하세요. 도중에 \(g^{rr}\)과 \(\partial_r g_{tt}\)를 명시적으로 써 내려가세요.

힌트

대각 계량에서는 \(g^{rr} = 1/g_{rr}\)이며, \(\Gamma^r{}_{tt}\)의 계산에서는 합을 취하는 첨자 \(\alpha\)로서 \(r\)만이 기여해요. \(\partial_r g_{tt}\)를 먼저 계산하세요.

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B-2. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ rr}\)

힌트

\(g_{rr} = (1-2M/r)^{-1}\) 의 \(r\) 미분에는 합성함수의 미분(연쇄 법칙)이 필요해요. \(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\) 가 돼요.

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B-3. Minkowski 구좌표의 \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)

$$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2 $$ 로부터 \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\)를 정의식에 따라 계산하세요.

힌트

\(g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta\)의 \(\theta\) 미분이 핵심이에요. \(g^{\theta\theta} = 1/r^2\)를 사용하세요.

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B-4. FRW의 \(\Gamma^r_{\ tr}\)

$$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\left[dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2\right] $$ 에서 \(\Gamma^r{}_{tr}\)를 정의식으로부터 계산하고, \(\dot{a}/a\)가 됨을 확인하세요.

힌트

\(g_{rr} = a^2(t)\)이므로 \(\partial_t g_{rr} = 2a\dot{a}\)이에요. \(\Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_t g_{rr}\)를 계산하세요.

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B-5. FRW의 \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)

힌트

\(g_{\theta\theta} = a^2(t)r^2\) 의 시간 미분을 구하고, \(g^{tt} = -1\) 에 주의하여 \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = -\frac{1}{2}g^{tt}\,\partial_t g_{\theta\theta}\) 를 계산하세요.

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B-6. Schwarzschild 정규직교기저의 확인

힌트

\(g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = g_{\alpha\beta}\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\beta\) 를 계산해요. 0이 아닌 성분은 \(\alpha = \beta = r\) 뿐이에요.

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B-7. 일반 구대칭의 Christoffel 확인

힌트

\(\nu = \ln(1-2M/r)\) 로 놓고 \(\nu' = d\nu/dr\) 를 구한 뒤, \(e^{\nu-\lambda} = (1-2M/r)^2\) 를 이용하여 대입하세요.

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B-8. Riemann 텐서의 대칭성 적용

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\beta\alpha\gamma\delta}, \quad R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\alpha\beta\delta\gamma}, \quad R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta} $$ 를 이용하여, Schwarzschild 시공간의 정규직교기저 성분 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\)를 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\)으로부터 구하세요.

힌트

제1·제2 첨자의 반대칭성을 2번 적용하거나, 전반·후반 쌍의 교환 대칭성을 사용하면 한 번에 구할 수 있어요.

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B-9. Schwarzschild의 \(R_{tt} = 0\)

힌트

\(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}} = R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} + R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} + R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} + R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\) 를 전개해요. 정규직교기저에서는 첨자의 올림·내림에 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) 를 사용해요.

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B-10. FRW의 스칼라 곡률

힌트

\(G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) 를 계산해요. \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) 의 대각합(trace)은 \(G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = R - 2R = -R\) 을 줘요.

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Medium（표준）

M-1. Schwarzschild 측지선의 Newton 극한

$$\frac{d^2 r}{d\tau^2} + \Gamma^r{}{tt}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{}}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{}\right)^2 = 0 $$ 에 공식집의 Christoffel 기호를 대입하세요. 나아가, 저속(}\left(\frac{d\varphi}{d\tau\(dr/d\tau \approx 0\), \(d\theta/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)) 및 약한 중력장(\(r \gg 2M\), \(dt/d\tau \approx 1\))의 극한을 취하여, Newton(뉴턴)의 운동방정식 \(d^2r/dt^2 \approx -M/r^2\) 을 유도하세요.

힌트

저속·약한 중력장의 극한에서는 \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\) 이며, 다른 Christoffel 기호를 포함하는 항은 무시할 수 있어요. \(d\tau \approx dt\) 도 사용하세요.

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M-2. FRW와 Friedmann 방정식·보존법칙

$$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) = 0 $$ 을 도출하세요.

힌트

제1 Friedmann 방정식을 시간 미분하고, 제2 Friedmann 방정식으로 \(\ddot{a}\)를 소거해요.

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M-3. Schwarzschild의 Kretschmann 스칼라

$$K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}\,R^{\alpha\beta\gamma\delta} $$ 를 계산하세요. 정규직교기저에서는 \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\mu}}\eta^{\hat{\beta}\hat{\nu}}\eta^{\hat{\gamma}\hat{\rho}}\eta^{\hat{\delta}\hat{\sigma}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}\hat{\rho}\hat{\sigma}}\) 임에 주의하고, Riemann 텐서의 대칭성을 이용하여 독립 성분의 기여를 세어보세요. 결과가 \(K = 48M^2/r^6\) 이 됨을 확인하세요.

힌트

독립적인 비영 성분은 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\), \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\), \(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\), \(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\), \(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\), \(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\) 의 6개예요. 각 성분이 \(K\)에 기여할 때, 대칭성에 의한 중복 인자에 주의하세요.

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M-4. 질량 함수의 도출

$$e^{-\lambda} = 1 - \frac{2m(r)}{r} $$ 로 정의해요. \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho\) 를 \(m(r)\) 과 \(\rho\) 의 관계식으로 다시 쓰고,

$$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho $$ 를 도출하세요. 이 식의 물리적 의미를 서술하세요.

힌트

\(e^{-\lambda} = 1 - 2m/r\) 로부터 \(\lambda' e^{-\lambda}\) 를 직접 \(r\) 로 미분하여 구하는 것이 더 간결해요. \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 에 대입하여 정리하세요.

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Advanced（발전）

A-1. Schwarzschild 원궤도와 조석력

(a) 측지선 방정식과 공식집의 Christoffel 기호를 이용하여, 원궤도의 각속도 \(\Omega = d\varphi/dt\) 가

$$\Omega^2 = \frac{M}{r^3} $$ 를 만족함을 보이세요 (Kepler (케플러)의 제3법칙의 일반상대론 버전).

(b) 원궤도 위의 관측자가 느끼는 조석력을, 정규직교기저의 Riemann 텐서 성분을 이용하여 평가하세요. 구체적으로, 지름 방향으로 거리 \(\delta r\) 만큼 떨어진 2개의 자유 입자가 받는 상대 가속도의 크기를 \(M\), \(r\), \(\delta r\) 로 나타내세요.

(c) 최내안정원궤도(ISCO: Innermost Stable Circular Orbit) \(r = 6M\) 에서의 조석력과 사건의 지평면 \(r = 2M\) 에서의 조석력의 비를 구하세요.

힌트

(a) 원궤도에서는 \(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\) 로 놓고, \(r\) 성분의 측지선 방정식에 \(\Gamma^r{}_{tt}\) 와 \(\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\) 를 대입해요. (b) 측지 편차 방정식(geodesic deviation equation) \(D^2\xi^{\hat{\alpha}}/d\tau^2 = -R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}u^{\hat{\beta}}u^{\hat{\gamma}}\xi^{\hat{\delta}}\) 를 사용해요. (c) 각 \(r\) 의 값을 Riemann 성분에 대입하여 비를 구해요.

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A-2. de Sitter와 우주 상수

$$G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} $$ 와 같이 쓸 수 있어요.

(a) 공식집의 FRW Einstein 텐서 성분을 이용하여, \(\Lambda\)를 포함하는 수정된 Friedmann 방정식

$$H^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2} $$ $$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3} $$ 을 도출하세요.

(b) 물질도 없고 공간 곡률도 없는 (\(\rho = p = 0\), \(k = 0\)) 경우에, \(a(t) \propto e^{Ht}\) (de Sitter (드 시터) 시공간)가 됨을 보이고, \(H\)를 \(\Lambda\)로 표현하세요.

(c) de Sitter 시공간의 Riemann 텐서가 \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\) 라는 최대 대칭 공간의 형태를 취함을, FRW의 Einstein 텐서 성분으로부터 Ricci 텐서와 스칼라 곡률을 구하고, 4차원 최대 대칭 공간의 Riemann 텐서의 일반적 형태와 비교하여 확인하세요.

힌트

(a) \(\Lambda\,\eta_{\hat{t}\hat{t}} = -\Lambda\)에 주의하세요. (b) \(H^2 = \Lambda/3\)의 상수 해를 확인하세요. (c) 최대 대칭 공간에서는 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{n(n-1)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})\) (\(n\)은 차원 수)이며, de Sitter 시공간의 스칼라 곡률 \(R = 4\Lambda\)를 이용하세요.

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