제 4 장 연습문제 풀이¶

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Basic（기초）

B-1. 동시각 교환관계의 값 읽기
B-2. 생성·소멸 연산자의 교환관계 계산
B-3. 소멸 연산자의 진공에 대한 작용
B-4. Fourier 변환의 직교성 확인
B-5. \(\omega_{\mathbf{p}}\) 의 구체적인 계산
B-6. 장 연산자의 에르미트성 확인
B-7. 켤레 운동량 밀도의 모드 전개 유도
B-8. 이산→연속 대응의 확인

Medium（표준）

M-1. 동시각 교환관계로부터 생성·소멸 연산자의 교환관계 도출
M-2. Hamiltonian의 생성·소멸 연산자에 의한 표현
M-3. 영점 에너지와 정규 순서
M-4. 복소 스칼라장의 양자화와 입자·반입자

Advanced（발전）

A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산
A-2. 장의 교환관계의 Lorentz 불변성과 인과율

Basic（기초）¶

B-1. 동시각 교환관계의 값 읽기¶

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풀이 방침¶

동시각 교환관계 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) 에 구체적인 값을 대입하고, 델타 함수의 기본 성질을 이용해요.

(a) \(\mathbf{x} = (1,2,3)\), \(\mathbf{y} = (4,5,6)\) 일 때

\(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\) 이므로 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \delta^{(3)}((-3,-3,-3)) = 0\) 이에요.

\[ \boxed{[\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = 0} \]

물리적 의미: 서로 다른 공간점의 장과 운동량 밀도는 서로 가환이며, 동시에 확정된 값을 가질 수 있어요.

(b) 공간 전체에서 \(\mathbf{y}\) 에 대해 적분

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = \int d^3y\, i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

델타 함수의 기본 성질 \(\int d^3y\, f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\) 에서 \(f(\mathbf{y}) = 1\) (상수)로 놓으면

\[ \int d^3y\, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = 1 \]

따라서

\[ \boxed{\int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i} \]

(c) \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\) 를 표현

교환자의 반대칭성 \([A, B] = -[B, A]\) 로부터

\[ \boxed{[\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = -[\hat{\phi}(t, \mathbf{y}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{x})] = -i\,\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = -i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \]

마지막 등호에서는 \(\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) (델타 함수의 짝함수 성질)를 이용했어요.

검산¶

(b)의 결과는 양자역학의 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\) 의 장이론 버전에 대응해요. 장의 전 공간에 걸친 적분이 이산적인 첨자의 합에 대응하며, \(\delta^{(3)}\) 를 적분하면 크로네커 델타의 합 \(\sum_j \delta_{ij} = 1\) 에 해당해요. 정합적이에요.

B-2. 생성·소멸 연산자의 교환관계 계산¶

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풀이 방침¶

교환자 공식 \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\) 을 반복적으로 사용해요.

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

\(A = \hat{a}_{\mathbf{p}}\), \(B = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\), \(C = \hat{a}_{\mathbf{q}}\) 로 놓고 공식을 적용해요:

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}] = [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{q}} + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] \]

\([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) 및 \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\) 을 대입하면

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}} \]

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

\([AB, C] = A[B, C] + [A, C]B\) 를 사용해요（\(A = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(B = \hat{a}_{\mathbf{p}}\), \(C = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\)）:

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{p}} \]

\([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) 및 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0\) 을 대입하면

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger} \]

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

\([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\) 에서 \(B = C = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) 로 놓으면:

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2] = [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] \]

\[ = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2] = 2\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger} \]

검산¶

(a)는 양자역학의 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger \hat{a}] = \hat{a}\) 에 대응하고, (b)는 \([\hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger\) 에 대응해요. 델타 함수가 크로네커 델타의 연속 버전임을 생각하면, 이산적인 경우의 결과와 일치해요. (c)는 \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^2] = 2\hat{a}^\dagger\) 의 연속 버전이며, 일반적으로 \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^n] = n(\hat{a}^\dagger)^{n-1}\) 에서 \(n=2\) 인 경우에 대응해요.

B-3. 소멸 연산자의 진공에 대한 작용¶

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풀이 방침¶

진공의 정의 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) 과 교환관계를 조합해요.

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle \]

교환관계를 이용하여 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 를 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) 의 오른쪽으로 옮겨요:

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

이것을 \(|0\rangle\) 에 작용시키면, \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) 이므로

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,|0\rangle} \]

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

\(\langle \mathbf{p}| = (|\mathbf{p}\rangle)^\dagger = (\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle)^\dagger = \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}}\) 이므로

\[ \langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle \]

(a)의 결과를 사용하면

\[ \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle = \langle 0| \left(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,|0\rangle\right) = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\langle 0|0\rangle \]

진공의 규격화 \(\langle 0|0\rangle = 1\) 로부터

\[ \boxed{\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})} \]

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

\([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\) 이므로 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 와 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) 의 순서는 교환 가능해요. 어느 경우든 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}|0\rangle = 0\) 이므로

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}} \cdot 0 = 0 \]

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle = 0} \]

검산¶

(b)의 결과는 연속적인 운동량 라벨을 가진 1입자 상태의 정규직교성을 나타내요. 양자역학의 위치 고유상태 \(\langle \mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) 와 같은 구조이며, 정합적이에요. (c)는 "진공에서 입자를 2번 소멸시킬 수 없다"는 물리적으로 자연스러운 결과예요.

B-4. Fourier 변환의 직교성 확인¶

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풀이 방침¶

기본 공식 \(\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) 를 적절히 읽어내어 적용해요.

(a) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\)

지수 부분을 \(e^{i(\mathbf{p}-(-\mathbf{q}))\cdot\mathbf{x}}\) 로 다시 쓰면, 기본 공식에서 \(\mathbf{q} \to -\mathbf{q}\) 로 치환한 경우에 대응해요:

\[ \boxed{\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})} \]

(b) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\)

지수법칙으로 지수 부분을 합쳐요:

\[ e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = e^{i(\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}} \]

기본 공식을 적용하면

\[ \boxed{\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q}+\mathbf{k})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{k})} \]

(c) \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\)

먼저 \(\mathbf{p}\) 적분을 먼저 수행해요. 델타 함수의 푸리에 표현

\[ \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

을 이용하면

\[ \int d^3x\, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\, f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y}) \]

\[ \boxed{\int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})} \]

검산¶

(c)는 푸리에 변환과 그 역변환을 연속으로 적용하면 원래 함수로 돌아온다는 것을 나타내며, 푸리에 변환의 기본 정리 그 자체예요.

B-5. \(\omega_{\mathbf{p}}\) 의 구체적인 계산¶

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풀이 방침¶

\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) 에 각 조건을 대입해요.

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\)

\[ \omega_{\mathbf{0}} = \sqrt{0 + m^2} = m \]

\[ \boxed{\omega_{\mathbf{0}} = m} \]

이것은 정지 질량 에너지 \(E = mc^2\)（자연단위계에서 \(E = m\)）에 대응해요.

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{m^2 + m^2} = \sqrt{2}\,m \]

\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{2}\,m} \]

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\)（초상대론적 극한）

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} = |\mathbf{p}|\sqrt{1 + \frac{m^2}{|\mathbf{p}|^2}} \]

\(m/|\mathbf{p}| \ll 1\) 에서 Taylor 전개 \(\sqrt{1+\epsilon} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2}\) 를 사용하면

\[ \omega_{\mathbf{p}} \approx |\mathbf{p}|\left(1 + \frac{m^2}{2|\mathbf{p}|^2}\right) = |\mathbf{p}| + \frac{m^2}{2|\mathbf{p}|} \]

최저차에서는

\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} \approx |\mathbf{p}|} \]

(d) \(m = 0\)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + 0} = |\mathbf{p}| \]

\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} = |\mathbf{p}|} \]

이것은 광자와 같은 질량이 0인 입자의 분산 관계 \(E = |p|\)（\(E = pc\)）에 대응해요.

검산¶

(c)의 초상대론적 극한과 (d)의 질량 0인 결과가 일치하며, 정합적이에요. (a)는 비상대론적 극한 \(|\mathbf{p}| \to 0\) 에서 정지 에너지를 재현하고 있어요.

B-6. 장 연산자의 에르미트성 확인¶

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풀이 방침¶

\(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) 를 계산하고, 적분 변수 치환 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) 과 \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\) 를 이용하여 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 와 일치함을 보여요.

계산의 상세¶

\(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 의 에르미트 켤레를 취해요. 적분이나 c-수(\(\omega_{\mathbf{p}}\) 나 \((2\pi)^{3/2}\) 등)는 그대로 두고, 연산자와 복소수의 에르미트 켤레를 취해요:

\[ \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

여기서 \((\hat{a}_{\mathbf{p}})^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \((e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}})^* = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) (\(\mathbf{p}, \mathbf{x}\) 는 실수)를 사용했어요.

두 항의 순서를 바꿔서 다시 쓰면

\[ \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

이것은 식 (4.11)의 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 그 자체예요.

\[ \boxed{\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})} \]

보충: 위 계산에서는 항의 순서를 바꾸기만 해서 결과를 얻었어요. 보다 일반적으로는 적분 변수를 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) 로 치환하는 방법도 있어요. 그 경우, \(d^3p \to d^3p\) (야코비안은 \(|-1|^3 = 1\)), \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\) (\(\omega_{\mathbf{p}}\) 는 \(|\mathbf{p}|^2\) 에만 의존)를 사용하면 같은 결과를 얻을 수 있어요.

검산¶

실수 스칼라장은 \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\) 를 만족해야 하며, 이는 모드 전개가 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 와 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) 를 모두 포함하는 구조로부터 자연스럽게 보장돼요. 양자역학의 조화 진동자에서 \(\hat{q} = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)\) 가 에르미트인 것의 장이론 버전이에요.

B-7. 켤레 운동량 밀도의 모드 전개 유도¶

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풀이 방침¶

\(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) 의 시간 미분 \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) 을 계산해요.

계산의 세부 과정¶

시간 의존성을 포함한 모드 전개는

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

시간 미분을 수행해요. \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 와 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) 는 시간에 의존하지 않으므로(Schrödinger 묘사의 연산자), 미분은 지수함수에만 작용해요:

\[ \partial_0\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (-i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

\[ \partial_0\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (+i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

따라서

\[ \hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[\hat{a}_{\mathbf{p}}\,(-i\omega_{\mathbf{p}})\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,(+i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right] \]

\(\omega_{\mathbf{p}}\) 를 \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\) 와 합쳐서 정리하면:

\[ \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} = \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \]

따라서

\[ \hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

\(t = 0\) 으로 놓으면

\[ \boxed{\hat{\pi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)} \]

이것은 식 (4.12)와 일치해요.

검산¶

\(\hat{\pi}(\mathbf{x})\) 의 에르미트성을 확인해요. \(\hat{\pi}^\dagger\) 를 취하면 \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \leftrightarrow \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \leftrightarrow e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), \((-i)^* = +i\) 가 돼요. 전체 부호를 확인하면 \(\hat{\pi}^\dagger = \hat{\pi}\) 가 성립하며, 켤레 운동량 밀도도 에르미트임을 확인할 수 있어요.

B-8. 이산→연속 대응의 확인¶

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풀이 방침¶

부피 \(V = L^3\)의 상자에서 이산화된 운동량을 고려하고, 연속 극한 \(L \to \infty\)에서의 대응 관계를 유도해요.

(a) \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\)의 유도

이산화된 운동량은 \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\)（\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)）이며, 인접한 운동량의 간격은 각 방향에서

\[ \Delta p_i = \frac{2\pi}{L} \]

3차원에서 운동량 공간의 1셀 부피는

\[ (\Delta p)^3 = \left(\frac{2\pi}{L}\right)^3 = \frac{(2\pi)^3}{V} \]

이산 합을 리만 합으로 간주하면

\[ \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}}) = \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}}) \cdot \frac{(\Delta p)^3}{(\Delta p)^3} = \frac{1}{(\Delta p)^3}\sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}})\,(\Delta p)^3 \]

\(L \to \infty\)에서 \(\Delta p \to 0\)이 되어, 리만 합은 적분으로 수렴해요:

\[ \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}})\,(\Delta p)^3 \to \int d^3p\, f(\mathbf{p}) \]

따라서

\[ \boxed{\sum_{\mathbf{n}} \to \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3p} \]

(b) \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\)의 스케일링 관계

이산적인 교환 관계는

\[ [\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} \]

연속 극한에서 크로네커 델타와 델타 함수 사이에 다음 대응이 있어요. \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\), \(\mathbf{q} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{m}\)로 놓으면

\[ \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} \cdot \frac{(\Delta p)^3}{(\Delta p)^3} \]

델타 함수의 이산 근사 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \approx \frac{\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}}{(\Delta p)^3} = \frac{V}{(2\pi)^3}\,\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}\)를 이용하면

\[ \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} = \frac{(2\pi)^3}{V}\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

연속 극한의 교환 관계 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)를 재현하기 위해, \(\hat{a}_{\mathbf{p}} = c\,\hat{a}_{\mathbf{n}}\)로 놓으면

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = |c|^2\,[\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = |c|^2\,\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}} = |c|^2 \cdot \frac{(2\pi)^3}{V}\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

이것이 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)와 같아지려면 \(|c|^2 = \frac{V}{(2\pi)^3}\)이 필요해요. 따라서

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} = \sqrt{\frac{V}{(2\pi)^3}}\;\hat{a}_{\mathbf{n}}} \]

검산¶

차원 분석으로 확인해요. \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\)은 무차원이에요（\([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}\)는 무차원）. 반면 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)는 델타 함수의 차원 \([\text{momentum}]^{-3}\)을 가지므로, \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)는 \([\text{momentum}]^{-3/2}\)의 차원을 가져요. \(\sqrt{V/(2\pi)^3}\)은 \([\text{length}]^{3/2} = [\text{momentum}]^{-3/2}\)의 차원을 가지므로, 일관성이 있어요.

Medium（표준）¶

M-1. 동시각 교환관계로부터 생성·소멸 연산자의 교환관계 도출¶

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풀이 방침¶

\([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\) 에 모드 전개 (4.11)을 대입하고, 푸리에 변환의 직교성을 이용하여 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\) 을 유도해요.

계산의 세부 과정¶

\(t = 0\) 에서의 모드 전개를 대입해요 (\(t\) 는 공통이므로 생략):

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

\([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\) 를 전개해요. 적분 변수를 각각 \(\mathbf{p}\), \(\mathbf{q}\) 로 놓으면

\[ [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} \]

\[ \times \Big\{ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \]

\[ + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} \]

여기서 이미 알려진 교환 관계 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) 를 제2항에 대입하고, 제3항에는 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = -[\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = -\delta^{(3)}(\mathbf{q}-\mathbf{p})\) 를 대입해요.

제2항의 기여: \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) 로 \(\mathbf{q}\) 적분을 수행하면 \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\) 로 고정돼요:

\[ \text{제2항} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

제3항의 기여: 마찬가지로

\[ \text{제3항} = -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

제3항에서 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) 로 치환하면 (\(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\), \(d^3p \to d^3p\)):

\[ \text{제3항} = -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

따라서 제2항과 제3항은 정확히 상쇄돼요.

남는 것은 제1항과 제4항뿐이에요:

\[ [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} \]

\[ \times \Big\{ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} = 0 \]

여기서 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = ([\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}])^\dagger\) 임에 주의해요. \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = f(\mathbf{p}, \mathbf{q})\) 로 놓으면, \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = f^*(\mathbf{q}, \mathbf{p})\) 이에요.

위 식이 임의의 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\) 에 대해 성립하려면, 푸리에 변환의 완전성으로부터 피적분함수의 푸리에 계수가 0이어야 해요.

제1항에 주목해요. \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\) 는 \(\mathbf{x}\) 와 \(\mathbf{y}\) 에 관해 독립적인 푸리에 모드를 형성해요. 이 항이 모든 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\) 에 대해 0이 되려면

\[ \frac{[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q} \]

\(\omega_{\mathbf{p}}, \omega_{\mathbf{q}} > 0\) 이므로

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q}} \]

이것의 에르미트 켤레를 취하면

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q}} \]

검산¶

같은 계산을 \([\hat{\pi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = 0\) 에 대해 수행해도 동일한 조건 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\) 이 얻어져요. \(\hat{\pi}\) 의 모드 전개에서는 \(\sqrt{\omega_{\mathbf{p}}/2}\) 인자가 들어가지만, \(\omega_{\mathbf{p}} > 0\) 이므로 결론은 변하지 않아요.

M-2. Hamiltonian의 생성·소멸 연산자에 의한 표현¶

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풀이 방침¶

해밀토니안의 3개 항 \(\hat{\pi}^2\), \((\nabla\hat{\phi})^2\), \(m^2\hat{\phi}^2\)를 각각 모드 전개로 써내고, \(\mathbf{x}\) 적분에서 푸리에 직교성을 이용한 뒤, 최종적으로 합쳐요.

계산의 상세¶

\(t = 0\)에서의 모드 전개를 사용해요. 간결함을 위해 아래의 약기를 도입해요:

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

\[ \hat{\pi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_p}{2}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

단계 1: \(\int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2\) 의 계산¶

\[ \hat{\pi}(\mathbf{x})^2 = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} (-i)^2 \sqrt{\frac{\omega_p}{2}}\sqrt{\frac{\omega_q}{2}} \]

\[ \times \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)\left(\hat{a}_q\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_q^\dagger\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

\((-i)^2 = -1\)에 주의해요. 전개하면 4개의 항이 나와요:

\[ = -\int \frac{d^3p\, d^3q}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{\omega_p \omega_q}}{2} \Big\{ \hat{a}_p \hat{a}_q\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p \hat{a}_q^\dagger\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} \]

\[ - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_q\, e^{-i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_q^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} \Big\} \]

\(\mathbf{x}\)로 적분하면, 푸리에 직교성 (4.15)에 의해: - \(e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) 항 → \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) (\(\mathbf{q} = -\mathbf{p}\)로 고정) - \(e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) 항 → \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) (\(\mathbf{q} = \mathbf{p}\)로 고정)

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = -\frac{1}{2}\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{\omega_p \omega_q}}{2}\Big|_{\text{after }\delta} \times (\text{각 항}) \]

구체적으로 \(\mathbf{q}\) 적분을 실행해요. \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) 항에서는 \(\mathbf{q} \to -\mathbf{p}\), \(\omega_q \to \omega_p\):

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = -\frac{1}{4}\int d^3p\, \omega_p \Big\{ \hat{a}_p \hat{a}_{-p} - \hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger \Big\} \]

여기서 \((2\pi)^3\)은 \(\delta\) 함수의 \((2\pi)^{3/2} \times (2\pi)^{3/2}\) 규격화와 상쇄되어, \(\int d^3p\)만 남아요 (정확히는 \(\int \frac{d^3p\, d^3q}{(2\pi)^3} \cdot (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\cdots) = \int d^3p\)).

정리하면

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = \frac{1}{4}\int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p - \hat{a}_p \hat{a}_{-p} - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{I} \]

단계 2: \(\int d^3x\, \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2\) 의 계산¶

\(\nabla\)가 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)에 작용하면 \(i\mathbf{p}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)를 줘요. 따라서

\[ \nabla\hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{i\mathbf{p}}{\sqrt{2\omega_p}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

\((\nabla\hat{\phi})^2\)를 전개하고, \(\mathbf{x}\) 적분을 실행해요. \(\hat{\pi}^2\)의 계산과 같은 구조이지만, \(\sqrt{\omega_p \omega_q}/2\) 대신 \(\frac{(-\mathbf{p}\cdot\mathbf{q})}{2\sqrt{\omega_p \omega_q}}\)가 나타나고, \((i)^2 = -1\)의 부호도 들어가요.

\(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) 항에서는 \(\mathbf{q} = -\mathbf{p}\)이므로 \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = -|\mathbf{p}|^2\). \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) 항에서는 \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\)이므로 \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = |\mathbf{p}|^2\).

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 = \frac{1}{4}\int d^3p\, \frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p} \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p \hat{a}_{-p} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{II} \]

단계 3: \(\int d^3x\, \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\) 의 계산¶

\(\hat{\phi}^2\)의 전개는 \((\nabla\hat{\phi})^2\)와 같은 구조이며, \(\mathbf{p}\) 인자가 없고 \(1/(2\omega_p)\) 인자가 들어가요.

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2 = \frac{m^2}{4}\int d^3p\, \frac{1}{\omega_p} \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p \hat{a}_{-p} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{III} \]

단계 4: 3개의 기여를 합치기¶

\(H = (\text{I}) + (\text{II}) + (\text{III})\)

\(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\)와 \(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\) 항의 계수:

(I)에서의 기여: \(-\frac{1}{4}\omega_p\)

(II)에서의 기여: \(+\frac{1}{4}\frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p}\)

(III)에서의 기여: \(+\frac{1}{4}\frac{m^2}{\omega_p}\)

합계:

\[ -\frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2}{4\omega_p} + \frac{m^2}{4\omega_p} = -\frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2 + m^2}{4\omega_p} = -\frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p^2}{4\omega_p} = 0 \]

여기서 \(\omega_p^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\)를 사용했어요. \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\) 유형의 항은 완전히 상쇄돼요.

\(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\) 항의 계수:

(I)에서의 기여: \(+\frac{1}{4}\omega_p\)

(II)에서의 기여: \(+\frac{1}{4}\frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p}\)

(III)에서의 기여: \(+\frac{1}{4}\frac{m^2}{\omega_p}\)

합계:

\[ \frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2 + m^2}{4\omega_p} = \frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p^2}{4\omega_p} = \frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p}{4} = \frac{\omega_p}{2} \]

따라서

\[ H = \frac{1}{2}\int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\right) \]

단계 5: 교환관계를 이용한 정리¶

교환관계 (4.13) \([\hat{a}_p, \hat{a}_p^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{0})\) (\(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)인 경우)를 사용하면

\[ \hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger = \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \delta^{(3)}(\mathbf{0}) \]

대입하면

\[ H = \frac{1}{2}\int d^3p\, \omega_p \left(2\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

\[ \boxed{H = \int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right)} \]

여기서 \((2\pi)^3\) 인자에 대해 보충해요. 본문의 규격화에서는 \(\int d^3p\)를 \(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\)로 써야 할 수도 있지만, 모드 전개 (4.11)의 규격화 인자 \((2\pi)^{3/2}\)를 사용한 경우, \(\mathbf{x}\) 적분에서 \((2\pi)^3\)이 흡수되어, 최종 결과는

\[ \boxed{H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right)} \]

검산¶

차원 분석: \(\omega_p\)는 에너지의 차원, \(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\)는 \([\text{momentum}]^{-3}\)의 차원 (\(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)와 같음), \(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\)는 \([\text{momentum}]^3\)의 차원. 전체적으로 에너지의 차원이 되어 정합적이에요.
\(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\) 유형 항의 상쇄: \(\omega_p^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\)라는 분산 관계가 본질적으로 작용하고 있어요. 이것은 클라인-고든 방정식의 귀결이며, 물리적으로 올바른 결과예요.
특수한 경우: 단일 모드의 경우 양자역학의 조화 진동자 \(H = \omega(a^\dagger a + 1/2)\)를 재현해요.

M-3. 영점 에너지와 정규 순서¶

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(a) 진공 에너지의 발산¶

S2의 결과를 이용하여 진공 기댓값을 계산해요.

\[ \langle 0 | H | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle + \frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

\(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\)이므로 \(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\)이에요. 따라서

\[ \langle 0 | H | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}\, \delta^{(3)}(\mathbf{0}) \]

이 식은 이중 발산을 포함해요:

적외선 발산(부피 발산): \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)는 형식적으로 무한대예요. 상자의 부피 \(V = L^3\)으로 정칙화하면 \(\delta^{(3)}(\mathbf{0}) = V/(2\pi)^3\)이 돼요. 이것은 영점 에너지가 공간 전체에 퍼져 있음을 반영하며, 에너지 밀도로 나타내면

\[ \frac{\langle 0 | H | 0 \rangle}{V} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2} \cdot \frac{1}{(2\pi)^3} \]

자외선 발산: \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)는 \(|\mathbf{p}| \to \infty\)에서 \(|\mathbf{p}|\)처럼 증가하므로, \(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\)는 자외선 영역에서 발산해요. 구면좌표로 \(\int_0^\Lambda dp\, p^2 \cdot p \sim \Lambda^4\)와 같이 발산해요.

\[ \boxed{\langle 0 | H | 0 \rangle = \infty} \]

물리적 문제: 진공의 에너지 밀도가 무한대가 되어 버려요. 각 모드의 영점 에너지 \(\frac{1}{2}\omega_{\mathbf{p}}\)를 모든 모드에 대해 더한 결과이며, 이것은 무한 개의 조화 진동자의 영점 에너지 총합에 대응해요.

(b) 정규 순서에 의한 진공 에너지의 제거¶

정규 순서 \(:\!\hat{O}\!:\)는 모든 생성 연산자 \(\hat{a}^\dagger\)를 소멸 연산자 \(\hat{a}\)의 왼쪽으로 재배열하는 조작이에요. 이때 교환 관계에서 생기는 c-수 항은 버려요.

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

진공 기댓값을 계산하면

\[ \langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle \]

\(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\)이므로

\[ \langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0 \]

따라서

\[ \boxed{\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0} \]

정규 순서는 "진공의 에너지를 0으로 재정의하는" 조작에 대응해요. 에너지의 절대값은 물리적으로 관측 불가능하며(중력을 제외하면), 에너지의 차이만이 물리적 의미를 가지므로 이 조작은 정당화돼요.

(c) Casimir 효과와 영점 에너지의 차이¶

영점 에너지의 절대값은 정규 순서로 제거할 수 있지만, 경계 조건이 다른 경우의 영점 에너지 차이는 물리적으로 관측 가능해요.

Casimir 효과의 설명:

2장의 평행한 도체판을 거리 \(L\)로 배치하면, 판 사이에서는 전자기장(또는 스칼라장)의 허용되는 모드가 이산화돼요(경계 조건에 의해 특정 파장만 허용돼요). 반면, 판 바깥에서는 연속적인 모드가 허용돼요.

판 사이의 영점 에너지: 이산 모드의 합 \(E_{\text{in}}(L) = \sum_n \frac{1}{2}\omega_n\)
판이 없는 경우의 영점 에너지: 연속 모드의 적분 \(E_{\text{free}}\)

양자의 차이 \(\Delta E = E_{\text{in}}(L) - E_{\text{free}}\)는 유한한 값을 가지며, \(L\)에 의존해요. 이 차이로부터 유도되는 힘

\[ F = -\frac{d(\Delta E)}{dL} \]

은 인력으로 관측돼요. 이것이 Casimir 효과이며, 1948년에 Casimir에 의해 예언되었고, 1997년에 Lamoreaux에 의해 실험적으로 확인되었어요.

요점: 발산하는 영점 에너지의 절대값은 물리적으로 의미를 갖지 않지만, 경계 조건의 변화에 따른 영점 에너지의 차이는 유한하며, 실험에서 측정 가능한 힘을 만들어요.

M-4. 복소 스칼라장의 양자화와 입자·반입자¶

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(a) 켤레 운동량 밀도의 도출¶

라그랑지안 밀도는

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

\(\phi\)와 \(\phi^*\)를 독립적인 장으로 취급해요.

\(\phi\)에 대한 켤레 운동량 밀도:

\[ \pi_\phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi)} \]

\(\mathcal{L}\) 안에서 \(\partial_0 \phi\)를 포함하는 항은 \((\partial_0 \phi^*)(\partial_0 \phi)\)(\(\mu = 0\) 항, 계량 \(\eta^{00} = +1\))이에요. \(\phi^*\)는 \(\phi\)와 독립이므로

\[ \pi_\phi = \frac{\partial}{\partial(\partial_0 \phi)}\left[(\partial_0 \phi^*)(\partial_0 \phi)\right] = \partial_0 \phi^* = \dot{\phi}^* \]

\[ \boxed{\pi_\phi = \dot{\phi}^*} \]

\(\phi^*\)에 대한 켤레 운동량 밀도:

\[ \pi_{\phi^*} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi^*)} = \partial_0 \phi = \dot{\phi} \]

\[ \boxed{\pi_{\phi^*} = \dot{\phi}} \]

(b) \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\)의 표현식¶

주어진 모드 전개는

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

에르미트 켤레를 취해요. \((\hat{a}_{\mathbf{p}})^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \((\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger)^\dagger = \hat{b}_{\mathbf{p}}\), \((e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}})^* = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\):

\[ \boxed{\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)} \]

주의: 실수 스칼라장과 달리 \(\hat{\phi}^\dagger \neq \hat{\phi}\)예요. \(\hat{\phi}\)에는 \(\hat{a}\)와 \(\hat{b}^\dagger\)가, \(\hat{\phi}^\dagger\)에는 \(\hat{a}^\dagger\)와 \(\hat{b}\)가 나타나요.

(c) 입자와 반입자의 물리적 차이¶

\(U(1)\) 대칭성 \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\), \(\phi^* \to e^{-i\alpha}\phi^*\)에 대응하는 뇌터 전하는

\[ Q = i\int d^3x\, (\phi^* \dot{\phi} - \dot{\phi}^* \phi) \]

양자화 후, 모드 전개를 대입하여 계산하면 (S2와 동일한 절차로 \(\mathbf{x}\) 적분을 수행하고, 푸리에 직교성을 사용하면)

\[ :\!Q\!: = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} - \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{b}_{\mathbf{p}}\right) \]

이 결과로부터:

\(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 생성하는 입자는 전하 \(Q = +1\)을 가져요 (\(\hat{a}^\dagger \hat{a}\) 항의 부호가 \(+\))
\(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 생성하는 입자는 전하 \(Q = -1\)을 가져요 (\(\hat{b}^\dagger \hat{b}\) 항의 부호가 \(-\))

양자는 동일한 질량 \(m\) (\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)은 \(\hat{a}\), \(\hat{b}\)에 공통)을 가지지만, \(U(1)\) 전하의 부호가 반대예요.

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \text{가 생성하는 입자와 } \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger \text{가 생성하는 반입자는 동일한 질량을 가지며, } U(1) \text{ 전하의 부호가 반대이다.}} \]

이것이 반입자의 기원이에요. 복소 스칼라장을 양자화하면 \(U(1)\) 대칭성의 존재로 인해 2종류의 생성 연산자가 필연적으로 나타나며, 입자와 반입자가 자동적으로 출현해요. 실수 스칼라장(\(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\))에서는 \(\hat{a} = \hat{b}\)가 되어 입자와 반입자가 동일(자기 켤레 입자)해져요.

검산¶

전하의 보존을 확인해요. \(:\!Q\!:\)는 \(:\!H\!:\)와 교환한다는 것(\([:\!Q\!:, :\!H\!:] = 0\))이 \([\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger \hat{a}_q] = 0\)과 \([\hat{b}_p^\dagger \hat{b}_p, \hat{b}_q^\dagger \hat{b}_q] = 0\)으로부터 확인돼요. 이는 뇌터 정리의 귀결(\(U(1)\) 대칭성 → 전하 보존)과 정합적이에요.

Advanced（발전）¶

A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산¶

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(a) 허용되는 운동량 모드¶

Dirichlet 경계 조건 \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\)을 부과해요. 1차원 장의 모드 전개는

\[ \hat{\phi}(x) = \sum_n c_n \sin(p_n x) \]

의 형태를 취해요 (\(\cos\)는 \(x = 0\)에서 영이 되지 않으므로 부적합).

\(x = 0\)에서의 경계 조건: \(\sin(0) = 0\) ✓ (자동으로 만족됨)

\(x = L\)에서의 경계 조건: \(\sin(p_n L) = 0\)으로부터

\[ p_n L = n\pi \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \]

\[ \boxed{p_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)} \]

\(n = 0\)은 \(\sin(0) = 0\)으로 자명한 해(장이 영)이므로 제외해요. \(n < 0\)은 \(\sin(-p_n x) = -\sin(p_n x)\)로 \(n > 0\)과 같은 모드를 나타내므로 독립이 아니에요.

(b) 제타 함수 정칙화에 의한 영점 에너지¶

\(m = 0\)이므로 \(\omega_n = |p_n| = \frac{n\pi}{L}\)이에요. 영점 에너지는

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

\(\sum_{n=1}^{\infty} n\)은 명백히 발산해요. 제타 함수 정칙화를 적용해요.

절차: 발산하는 합을 일반화하여

\[ \sum_{n=1}^{\infty} n \;\longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} = \zeta(s) \]

로 치환하고, \(s = -1\)로의 해석적 연속을 사용해요. 리만 제타 함수의 \(s = -1\)에서의 값은

\[ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} \]

따라서

\[ E(L) = \frac{\pi}{2L} \cdot \zeta(-1) = \frac{\pi}{2L} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right) \]

\[ \boxed{E(L) = -\frac{\pi}{24L}} \]

(c) 카시미르 힘¶

\[ F = -\frac{dE}{dL} = -\frac{d}{dL}\left(-\frac{\pi}{24L}\right) = -\frac{\pi}{24L^2} \]

\[ \boxed{F = -\frac{\pi}{24L^2}} \]

\(F < 0\)이므로, 힘은 벽의 간격 \(L\)을 줄이는 방향, 즉 인력이에요.

(d) 정칙화의 물리적 정당화¶

발산 부분을 버리고 유한 부분만을 추출하는 것의 정당화는 다음과 같이 이해할 수 있어요.

물리적으로 측정 가능한 것은 경계 조건의 유무에 따른 영점 에너지의 차이에요.

벽이 있는 경우의 영점 에너지 \(E_{\text{in}}(L)\)과 벽이 없는 경우(자유 공간)의 영점 에너지 \(E_{\text{free}}(L)\) (같은 길이 \(L\)의 영역에서 계산)의 차이

\[ \Delta E = E_{\text{in}}(L) - E_{\text{free}}(L) \]

를 고려해요. 양쪽 모두 자외선 발산을 포함하지만, 고에너지(짧은 파장)의 모드는 벽의 존재에 거의 영향을 받지 않아요 (파장이 벽의 간격 \(L\)에 비해 충분히 짧은 모드는 벽이 있든 없든 같은 행동을 해요). 따라서 발산 부분은 상쇄되고, 유한한 차이만 남아요.

지수 함수적 절단에 의한 명시적 확인:

절단 \(e^{-\epsilon n}\) (\(\epsilon > 0\))을 도입하여

\[ E_\epsilon(L) = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n\, e^{-\epsilon n} \]

을 계산해요. \(\sum_{n=1}^{\infty} n\, e^{-\epsilon n} = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\)를 \(\epsilon \to 0\)에서 전개하면

\[ \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} - \frac{1}{12} + O(\epsilon^2) \]

\(1/\epsilon^2\)의 발산항은 벽의 유무에 무관해요 (자유 공간에서도 같은 발산이 나타남). 따라서 차이를 취하면 사라져요. 남는 유한 부분 \(-1/12\)이 제타 함수 정칙화의 결과와 일치해요.

이처럼, 제타 함수 정칙화는 "물리적으로 무관한 발산 부분을 자동으로 제거하고, 경계 조건에 의존하는 유한 부분만을 추출하는" 교묘한 방법이에요.

검산¶

차원 분석: 자연 단위계에서 \(E \sim 1/L\)은 올바르다 (1+1차원에서 \([E] = [\text{length}]^{-1}\)).
\(L \to \infty\)의 극한: \(E(L) \to 0\), \(F \to 0\). 벽이 무한히 멀어지면 카시미르 효과는 사라져요. 물리적으로 올바르다.
부호: 1차원 Dirichlet 경계 조건에서는 인력이에요. 3+1차원의 전자기장 카시미르 효과(평행 도체판)에서도 인력이며, 정성적으로 일관돼요.

A-2. 장의 교환관계의 Lorentz 불변성과 인과율¶

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(a) 공간적 간격에서 동시각 프레임의 존재¶

두 시공간점 \(x^\mu\)와 \(y^\mu\) 사이의 간격이 공간적이라고 해요:

\[ (x - y)^2 = (x^0 - y^0)^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2 < 0 \]

이것은 \(|\Delta t| < |\Delta \mathbf{x}|\)（\(\Delta t = x^0 - y^0\), \(\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{y}\)）를 의미해요.

\(\Delta \mathbf{x}\)의 방향을 \(x^1\) 축으로 잡으면（공간 회전으로 항상 가능）, 문제는 1+1 차원으로 귀착되어 \(\Delta t\)와 \(\Delta x^1\)만 고려하면 돼요.

\(x^1\) 방향으로 속도 \(v\)의 Lorentz 부스트를 적용하면, 시간 차이는

\[ \Delta t' = \gamma(\Delta t - v\,\Delta x^1) \]

\(\Delta t' = 0\)으로 만들려면

\[ v = \frac{\Delta t}{\Delta x^1} \]

공간적 간격의 조건 \(|\Delta t| < |\Delta x^1|\)로부터

\[ |v| = \frac{|\Delta t|}{|\Delta x^1|} < 1 \]

이것은 물리적으로 허용되는 Lorentz 부스트 속도（광속 미만）예요.

\[ \boxed{\text{공간적 간격의 두 점에 대해, } |v| < 1 \text{인 Lorentz 부스트로 동시각 } (\Delta t' = 0) \text{으로 만들 수 있다.}} \]

(b) 미시 인과율의 증명¶

(i) 공간적으로 떨어진 두 점 \(x, y\)（\((x-y)^2 < 0\)）에 대해, (a)에서 보인 것처럼, 적절한 Lorentz 변환으로 동시각으로 만들 수 있는 프레임 \(S'\)이 존재해요.

(ii) 프레임 \(S'\)에서는 \(x'^0 = y'^0\)이므로, 동시각 교환관계 (4.5)에 의해

\[ [\hat{\phi}(x'), \hat{\phi}(y')] = [\hat{\phi}(t', \mathbf{x}'), \hat{\phi}(t', \mathbf{y}')] = 0 \]

(iii) 스칼라장의 교환관계 \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\)는 Lorentz 스칼라예요. 이것은 다음과 같이 이해할 수 있어요:

스칼라장은 Lorentz 변환 \(x \to x' = \Lambda x\)에 대해 \(\hat{\phi}'(x') = \hat{\phi}(x)\)로 변환해요. 따라서

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = [\hat{\phi}'(x'), \hat{\phi}'(y')] \]

즉, 교환관계의 값은 좌표계에 의존하지 않아요.

(iv) 프레임 \(S'\)에서 \([\hat{\phi}(x'), \hat{\phi}(y')] = 0\)이므로, 임의의 프레임에서도

\[ \boxed{[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{for } (x-y)^2 < 0} \]

미시 인과율 (microcausality)의 물리적 의미:

공간적으로 떨어진 두 점에서의 장 연산자는 가환이에요. 이것은 공간적으로 떨어진 두 영역에서의 측정이 서로 영향을 미치지 않는다는 것을 의미해요. 광속을 초과한 신호의 전달은 불가능하며, 특수상대론의 인과율이 양자장 이론에서도 유지되고 있어요.

(c) 페르미 통계에 의한 양자화와 미시 인과율의 깨짐¶

Klein-Gordon 장을 페르미 통계（반교환관계）로 양자화하려고 하면, 교환관계 대신

\[ \{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad \{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}\} = 0, \qquad \{\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\} = 0 \]

을 부과해요. 여기서 \(\{A, B\} = AB + BA\)는 반교환자예요.

실수 스칼라장의 반교환관계 \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\)를 계산해요. 모드 전개를 대입하면, (b)의 증명과 유사한 계산에서, 교환자 \([\cdot, \cdot]\) 대신 반교환자 \(\{\cdot, \cdot\}\)가 나타나요.

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}\sqrt{2\omega_q}} \]

\[ \times \Big\{ \{\hat{a}_p, \hat{a}_q\}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + \{\hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger\}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \]

\[ + \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q^\dagger\}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} \]

\(\{\hat{a}_p, \hat{a}_q\} = 0\), \(\{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q^\dagger\} = 0\)에 의해 제1항과 제4항은 사라져요. 남는 제2항과 제3항은

\[ \{\hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}), \qquad \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}) \]

（반교환자는 대칭적 \(\{A, B\} = \{B, A\}\)이므로 \(\{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\} = \{\hat{a}_q, \hat{a}_p^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{q}-\mathbf{p}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)）

\(\mathbf{q}\) 적분을 \(\delta\) 함수로 수행하면

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_p} \left(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} + e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\right) \]

\[ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\omega_p} \cos(\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})) \]

중요한 차이: 보스 통계（교환자）의 경우, S1에서 본 것처럼 \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\)에서는 제2항과 제3항이 뺄셈이 되어, \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} - e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\)가 나타나서, \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) 치환으로 상쇄되었어요. 그러나 페르미 통계（반교환자）에서는 덧셈이 되어, \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} + e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\)가 나타나요.

이 적분은 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\)에서도 일반적으로 영이 되지 않아요. 실제로 \(\mathbf{r} = \mathbf{x} - \mathbf{y}\)로 놓고 구면좌표로 계산하면

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int_0^\infty \frac{dp}{2\pi^2} \frac{p^2}{\omega_p} \frac{\sin(p|\mathbf{r}|)}{p|\mathbf{r}|} \]

이것은 \(|\mathbf{r}| \neq 0\)에서 유한한 값을 가져요（\(m = 0\)인 경우 \(\frac{1}{2\pi^2 |\mathbf{r}|^2}\)에 비례해요）.

따라서, 공간적으로 떨어진 두 점（\(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), 동시각）에서도

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} \neq 0 \]

이며, 미시 인과율이 깨져요.

\[ \boxed{\text{정수 스핀（스칼라장）을 페르미 통계로 양자화하면, 미시 인과율이 깨진다.}} \]

스핀-통계 정리와의 관련:

이 결과는, 정수 스핀의 장은 보스 통계로 양자화해야 한다는 것을 보여줘요. 반대로, 반정수 스핀의 장（Dirac 장 등）을 보스 통계로 양자화하려고 하면, 에너지가 아래로 유계가 되지 않는다는（해밀토니안이 양의 정치가 되지 않는다는）별도의 문제가 생겨요.

이것들을 종합하면: - 정수 스핀 → 보스 통계（교환관계）：미시 인과율이 유지됨 - 반정수 스핀 → 페르미 통계（반교환관계）：에너지가 양의 정치가 됨

이것이 스핀-통계 정리의 핵심이며, 상대론적 양자장 이론의 기본적인 귀결 중 하나예요.

검산¶

(a)의 결과는, 시간적 간격（\((x-y)^2 > 0\)）에서는 \(|v| > 1\)이 되어, Lorentz 부스트로 동시각으로 만들 수 없다는 것과 정합적이에요. 광원뿔 위（\((x-y)^2 = 0\)）에서는 \(|v| = 1\)로 경계적이에요.
(b)의 미시 인과율은, Lorentz 불변 함수 \(\Delta(x-y) = [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\)가 공간적 영역에서 영이라는 것을 서술하고 있어요. 이 함수는 Pauli-Jordan 함수라 불리며, \(\Delta(x-y) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3p\, \frac{1}{2\omega_p}(e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{ip\cdot(x-y)})\)로 표현돼요. 피적분함수가 \(p \to -p\)에서 부호를 바꾸는（기함수）것으로부터, 공간적 영역에서의 영이 보장돼요.
(c)의 반교환자의 경우는 피적분함수가 우함수가 되기 때문에, 상쇄가 일어나지 않아 영이 되지 않아요. 이 대비가 본질적이에요.

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