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제 4 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 복소수의 절댓값과 켤레 복소수

다음 복소수에 대해 각각 (a) 켤레 복소수 \(z^*\), (b) 절댓값 \(|z|\), (c) \(z \cdot z^*\) 를 구하세요.

  1. \(z = 1 + i\)
  2. \(z = 3 - 4i\)
  3. \(z = -2i\)
  4. \(z = 5\)
힌트

\(z = a + bi\) 일 때, \(z^* = a - bi\), \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(z \cdot z^* = a^2 + b^2 = |z|^2\) 를 사용해요.

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B-2. 복소수의 곱셈과 위상

다음 곱을 \(a + bi\) 의 형태로 계산하세요.

  1. \((1 + i)(1 - i)\)
  2. \((2 + 3i)(1 + 2i)\)
  3. \(i \cdot (3 + 4i)\)
  4. \((1 + i)^2\)
힌트

보통으로 전개하여 \(i^2 = -1\) 을 대입해요. 식 (4.2)의 요령으로 계산하면 돼요.

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B-3. 극형식으로의 변환

다음 복소수를 극형식 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)로 나타내세요. \(r\)과 \(\theta\)（\(0 \leq \theta < 2\pi\)）를 각각 구하세요.

  1. \(z = 1 + i\)
  2. \(z = -\sqrt{3} + i\)
  3. \(z = -2\)
  4. \(z = 3i\)
힌트

\(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\theta = \arctan(b/a)\)（단, 사분면에 주의）. 복소평면 위에 점을 그려서 각도를 확인하면 좋아요.

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B-4. 극형식에서의 곱셈

\(z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})\)、\(z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})\) 일 때,

  1. 곱 \(z_1 \cdot z_2\) 를 극형식으로 나타내세요.
  2. 곱 \(z_1 \cdot z_2\) 를 \(a + bi\) 의 형태로 바꾸세요.
힌트

식 (4.8)을 사용해요: 절댓값은 곱셈, 편각은 덧셈. \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}\) 에 주의하세요.

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B-5. 간섭항의 계산

2개의 확률진폭 \(\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\theta}\)가 주어져 있어요.

  1. \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)을 \(\theta\)를 사용하여 나타내세요.
  2. \(\theta = 0, \, \pi/2, \, \pi\) 각각에 대해 확률 \(P\)를 계산하세요.
  3. 고전적으로 확률을 더한 경우 \(P_{\text{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)는 얼마인가요?
힌트

식 (4.14)를 사용해요. \(|\phi_1| = |\phi_2| = \frac{1}{\sqrt{2}}\)이고, 위상차 \(\delta = \theta\)예요. \(P = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)에 대입하여 계산해요.

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B-6. 복소 켤레와 간섭항

\(\phi_1 = 2e^{i\pi/4}\)、\(\phi_2 = 3e^{-i\pi/4}\) 일 때,

  1. \(\phi_1 \phi_2^*\) 를 계산하세요.
  2. 간섭항 \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\) 를 계산하고, 실수임을 확인하세요.
  3. 확률 \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\) 를 구하세요.
힌트

\(\phi_2^* = 3e^{+i\pi/4}\) 이므로, \(\phi_1 \phi_2^* = 2 \cdot 3 \cdot e^{i\pi/4} \cdot e^{i\pi/4} = 6e^{i\pi/2}\). 식 (4.13)을 이용해도 좋아요.

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B-7. Dirac 표기법과 제3 규칙

입자가 소스 \(s\)에서 슬릿 \(k\)(\(k = 1, 2, 3\))를 경유하여 검출기 위치 \(x\)에 도달해요. 각 단계의 진폭이 아래와 같이 주어져 있을 때, 슬릿 \(k\) 경유의 경로 전체 진폭 \(\phi_k = \langle x | k \rangle \langle k | s \rangle\)를 각각 계산하세요.

\(k\) \(\langle k \mid s \rangle\) \(\langle x \mid k \rangle\)
1 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(e^{i\pi/3}\)
2 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(e^{i\pi}\)
3 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(e^{i5\pi/3}\)
힌트

제3 규칙(곱셈)을 사용해요. \(\phi_k = \langle x | k \rangle \cdot \langle k | s \rangle\). 복소수와 실수의 곱셈은 실수가 절댓값을 변화시키고, 위상은 그대로예요.

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B-8. 진폭의 덧셈과 확률

D7 에서 구한 \(\phi_1, \phi_2, \phi_3\) 를 제2 규칙(덧셈)으로 더하여, 전체 진폭 \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3\) 를 구하세요. 나아가 제1 규칙을 적용하여 확률 \(P = |\phi|^2\) 를 계산하세요.

힌트

각 \(\phi_k\) 를 \(a + bi\) 의 형태로 바꾼 후 더하면 좋아요. \(e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\)、\(e^{i\pi} = -1\)、\(e^{i5\pi/3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\) 를 사용하세요.

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Medium（표준）

M-1. 간섭항의 일반 공식 유도

\(N\) 개의 구별할 수 없는 경로가 있고, 각 경로의 진폭이 \(\phi_k\)（\(k = 1, 2, \ldots, N\)）로 주어져 있다고 해요.

  1. 확률 \(P = \left|\sum_{k=1}^{N} \phi_k \right|^2\) 을 전개하여,
\[P = \sum_{k=1}^{N} |\phi_k|^2 + \sum_{j \neq k} \phi_j \phi_k^*\]

가 됨을 보이세요.

  1. 간섭항(교차항)의 개수가 \(N(N-1)\) 개임을 설명하세요.

  2. 모든 진폭의 절댓값이 같아서 \(|\phi_k| = A\) 이고, \(\phi_k\) 와 \(\phi_j\)（\(j \neq k\)）의 위상차가 모두 무작위로 분포하는 경우, 간섭항의 기여가 평균적으로 영이 되는 이유를 정성적으로 설명하세요.

힌트

\(\left|\sum_k \phi_k\right|^2 = \left(\sum_j \phi_j\right)\left(\sum_k \phi_k\right)^* = \sum_j \sum_k \phi_j \phi_k^*\) 를 \(j = k\) 와 \(j \neq k\) 로 나누어 정리해요. 위상이 무작위이면 \(\cos\delta_{jk}\) 의 평균은 0이에요.

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M-2. 등진폭·등간격 \(N\) 슬릿의 간섭 패턴

\(N\) 개의 슬릿이 등간격 \(d\) 로 배열되어 있고, 입자의 운동량을 \(p\) 라 해요. 각 슬릿에서 검출기 위치 \(x\) 까지의 경로차가 인접 슬릿 간에 일정한 값 \(\Delta r\) 이라 하고, 위상차를 \(\delta = p\Delta r / \hbar\) 로 정의해요. 각 슬릿을 통과하는 진폭의 절댓값은 모두 같으며 \(A\) 라 해요.

  1. \(k\) 번째 슬릿（\(k = 0, 1, \ldots, N-1\)）을 통과하는 진폭을 \(\phi_k = A e^{ik\delta}\) 로 쓸 수 있음을 설명하세요.

  2. 전체 진폭 \(\phi = \sum_{k=0}^{N-1} A e^{ik\delta}\) 을 등비급수의 공식을 이용하여 닫힌 형태로 쓰세요.

  3. 확률 \(P = |\phi|^2\) 이

\[P = A^2 \frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}\]

가 됨을 보이세요.

  1. \(N = 2\) 일 때, 이 식이 식 (4.14)（\(|\phi_1| = |\phi_2| = A\) 인 경우）와 일치함을 확인하세요.
힌트

등비급수의 합：\(\sum_{k=0}^{N-1} r^k = \frac{1 - r^N}{1 - r}\)。\(r = e^{i\delta}\) 를 대입하고, \(|1 - e^{iN\delta}|^2 = 4\sin^2(N\delta/2)\) 를 이용해요（\(|1 - e^{i\alpha}|^2 = 2 - 2\cos\alpha = 4\sin^2(\alpha/2)\) 임을 보이면 돼요）.

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M-3. 「관측한다」와 간섭이 사라지는 현상: 수식에 의한 설명

이중 슬릿 실험에서, 슬릿 1을 통과하는 진폭을 \(\phi_1\), 슬릿 2를 통과하는 진폭을 \(\phi_2\)라 해요.

  1. 어느 슬릿을 통과했는지 관측하지 않는 경우의 확률이 \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)임을, 제2 규칙을 사용하여 설명하세요.

  2. 어느 슬릿을 통과했는지를 관측한 경우, 입자가 슬릿 1을 통과했다고 판명될 확률은 \(P_1 = |\phi_1|^2\), 슬릿 2를 통과했다고 판명될 확률은 \(P_2 = |\phi_2|^2\)이며, 검출기 \(x\)에 도달하는 전체 확률은

\[P_{\text{obs}} = P_1 + P_2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\]

이 돼요. 이 식에 간섭항이 나타나지 않는 이유를, "경로가 구별 가능하게 되었다"는 관점에서 제2 규칙의 적용 조건을 사용하여 설명하세요.

  1. \(|\phi_1| = |\phi_2|\)인 경우에 대해, \(P\)와 \(P_{\text{obs}}\)의 차이(즉, 간섭항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\))가 검출기 위치 \(x\)의 함수로서 어떻게 행동하는지를 정성적으로 설명하고, "간섭무늬가 사라진다"는 것이 무슨 의미인지 서술하세요.
힌트

제2 규칙의 적용 조건은 "경로가 원리적으로 구별 불가능하다"는 것이에요. 관측에 의해 어느 경로를 통과했는지의 정보가 얻어지면, 두 경로는 더 이상 "구별 불가능하다"고 할 수 없어요. 그 경우, 진폭을 더하는 것이 아니라 확률을 더하게 되며(고전적인 확률의 덧셈 법칙으로 돌아감), 간섭항이 사라져요.

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M-4. 2개의 벽을 통과하는 진폭의 계산

원천 \(s\)와 검출기 \(x\) 사이에 2개의 벽이 있어요. 첫 번째 벽에는 슬릿 \(A_1, A_2\)가, 두 번째 벽에는 슬릿 \(B_1, B_2, B_3\)이 있어요. 어떤 슬릿을 통과했는지는 관측하지 않아요.

  1. 입자가 \(s\)에서 \(x\)에 도달하는 모든 가능한 경로를 열거하세요 (경로의 수를 답하세요).

  2. 세 번째 규칙을 사용하여, 경로 「\(s \to A_j \to B_k \to x\)」의 진폭을 Dirac 표기법으로 쓰세요.

  3. 두 번째 규칙을 사용하여, 전체 진폭 \(\langle x | s \rangle\)을 써 내려가세요.

  4. 각 단계의 진폭이 모두 실수이고 같은 값 \(c\) (즉, \(\langle A_j | s \rangle = \langle B_k | A_j \rangle = \langle x | B_k \rangle = c\))라고 가정한 경우, 확률 \(P = |\langle x | s \rangle|^2\)를 \(c\)를 사용하여 나타내세요.

힌트

경로의 수는 첫 번째 벽의 선택지 × 두 번째 벽의 선택지예요. 각 경로의 진폭은 3단계의 곱 (세 번째 규칙)이에요. 모든 경로의 진폭을 더해요 (두 번째 규칙). 진폭이 모두 같으면, \(N\)개 경로의 진폭의 합은 \(N \times (\text{1개 경로의 진폭})\)이에요.

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M-5. 위상차와 경로차의 관계

이중 슬릿 실험에서, 슬릿 간격을 \(d\), 슬릿이 있는 벽에서 검출기 스크린까지의 거리를 \(L\)（\(L \gg d\)）이라 해요. 스크린 위의 위치 \(x\)（스크린 중앙을 원점으로 함）에 대해,

  1. 슬릿 1에서 \(x\)까지의 거리 \(r_1\)과 슬릿 2에서 \(x\)까지의 거리 \(r_2\)의 차 \(\Delta r = r_1 - r_2\)가, \(L \gg d\) 근사에서
\[\Delta r \approx \frac{dx}{L}\]

가 됨을 기하학적으로 유도하세요.

  1. 식 (4.22)를 이용하여 위상차 \(\delta\)를 \(x\)의 함수로 나타내세요.

  2. 간섭의 밝은 무늬 조건（보강 간섭）\(\delta = 2n\pi\)（\(n\)은 정수）으로부터, 밝은 무늬의 위치 \(x_n\)을 구하세요.

  3. de Broglie（드브로이）관계 \(p = h/\lambda\)를 이용하여, 인접한 밝은 무늬의 간격 \(\Delta x\)를 파장 \(\lambda\)로 나타내세요.

힌트

2개의 슬릿에서 검출기 위치 \(x\)까지의 경로를 그리고, \(L \gg d\)일 때 2개의 경로가 거의 평행함을 이용해요. 경로차는 \(d\sin\theta \approx d \cdot x/L\)이 돼요. \(p/\hbar = 2\pi/\lambda\)를 사용하세요.

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Advanced（발전）

A-1. Mach–Zehnder (마흐-젠더) 간섭계의 양자역학적 해석

광자 1개가 Mach–Zehnder 간섭계에 입사해요. 간섭계는 다음 요소로 구성돼요:

  • 빔 스플리터 BS1: 입사 광자를 2개의 경로(경로 \(A\)와 경로 \(B\))로 나눠요. 반사의 진폭은 \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), 투과의 진폭은 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)로 해요.
  • 거울 \(M_A\), \(M_B\): 각 경로에서 광자를 반사해요. 반사의 진폭은 \(i\)(위상 \(\pi/2\) 이동)로 해요.
  • 빔 스플리터 BS2: 2개의 경로를 다시 합류시켜요. BS1과 같은 성질(반사 \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), 투과 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))을 가져요.
  • 2개의 출력 포트: 검출기 \(D_1\)과 검출기 \(D_2\).

경로 \(A\)에는 추가 위상 이동 \(e^{i\varphi}\)를 도입할 수 있는 위상판이 있다고 해요(경로 \(B\)에는 추가 위상 없음).

  1. 광자가 입사 포트에서 \(D_1\)에 도달하는 2개의 경로(경로 \(A\) 경유와 경로 \(B\) 경유)의 진폭을, 제3 규칙을 이용하여 각각 계산하세요. (각 경로에서 광자가 경험하는 요소를 순서대로 나열하고, 진폭을 곱하세요.)

  2. 제2 규칙을 이용하여 전체 진폭을 구하고, \(D_1\)에서 광자가 검출될 확률 \(P_1(\varphi)\)를 계산하세요.

  3. 마찬가지로 \(D_2\)에서 검출될 확률 \(P_2(\varphi)\)를 계산하세요. \(P_1 + P_2 = 1\)이 성립하는지 확인하세요.

  4. \(\varphi = 0\)과 \(\varphi = \pi\)의 경우에 대해 \(P_1\)과 \(P_2\)의 값을 구하고, 물리적 의미를 서술하세요.

  5. 경로 \(A\) 도중에 "어느 경로를 통과했는지 검출하는 장치"를 삽입한 경우, 간섭이 어떻게 변화하는지를 제2 규칙의 적용 조건에 근거하여 논하세요.

힌트

경로 \(A\) 경유로 \(D_1\)에 이르는 과정: BS1에서 반사 → 위상판 → 거울 \(M_A\)에서 반사 → BS2에서 투과(또는 반사). 각 요소의 진폭을 순서대로 곱해요. \(D_1\)에 이를 때 BS2에서 투과하는지 반사하는지는 간섭계의 기하학적 배치에 의존해요. 전형적인 배치에서는, 경로 \(A\)는 BS2에서 투과하여 \(D_1\)으로, 경로 \(B\)는 BS2에서 반사하여 \(D_1\)으로 향해요(반대 설정도 가능하지만 일관성을 유지하세요).

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A-2. 3상태계에서의 간섭과 "양자 지우개"의 원리

입자가 원천 \(s\)에서 3개의 슬릿(\(1, 2, 3\))을 통해 검출기 \(x\)에 도달하는 실험을 생각해요. 각 슬릿을 통과하는 진폭은

\[\phi_k = A e^{i\alpha_k} \quad (k = 1, 2, 3)\]

이고, \(\alpha_1 = 0\), \(\alpha_2 = 2\pi/3\), \(\alpha_3 = 4\pi/3\)로 해요(등간격 슬릿의 중앙에서의 위상차에 대응).

Part I: 완전한 간섭

  1. 전체 진폭 \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3\)를 계산하고, \(P = |\phi|^2\)를 구하세요.

  2. 이 결과를 \(e^{i \cdot 2\pi/3}\)가 "1의 원시 3제곱근"이라는 것과 연결지어 해석하세요.

Part II: 부분적인 경로 정보

슬릿 1에 "마커"를 부착하여, 입자가 슬릿 1을 통과했는지 여부만 판별할 수 있지만 슬릿 2와 슬릿 3의 구별은 할 수 없는 장치를 도입해요.

  1. 이 경우, 확률을 어떻게 계산해야 하는지를 Feynman의 3가지 규칙에 기반하여 논의하세요. 구체적으로 \(P(x)\)를 식으로 나타내세요.

  2. Part I의 결과와 비교하여, "부분적인 경로 정보를 얻음으로써 간섭이 부분적으로 회복되는" 현상이 일어날 수 있는지 논의하세요.

Part III: 양자 지우개

  1. Part II의 마커 정보를 "소거"하면(읽지 않기로 하면), 간섭 패턴은 어떻게 되는지 설명하세요. 제2 규칙의 적용 조건으로 돌아가서 설명하세요. 이것이 "양자 지우개(quantum eraser)"의 기본 원리임을 서술하세요.
힌트

Part I: \(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3} = 0\) (1의 원시 \(n\)제곱근의 합은 0). Part II: 슬릿 1은 다른 것과 구별할 수 있으므로, 슬릿 1의 진폭은 독립적으로 확률로 변환해요. 슬릿 2와 3은 구별할 수 없으므로 진폭을 더해요. \(P = |\phi_1|^2 + |\phi_2 + \phi_3|^2\). Part III: 마커 정보를 소거하면, 다시 모든 경로가 구별 불가능해지고 진폭을 더하는 규칙이 부활해요.

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