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제 1 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Klein-Gordon 방정식에 평면파 해를 대입하여 분산 관계를 유도하기

\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0 \]

에 평면파 해 \(\phi(\mathbf{x}, t) = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - Et)}\) 를 대입하여 분산 관계 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) 를 유도하세요. 각 미분의 계산을 명시하세요.

힌트

\(\partial^2 \phi / \partial t^2\) 를 계산하면 \((-iE)^2 \phi = -E^2 \phi\) 가 돼요. \(\nabla^2 \phi\) 에 대해서도 마찬가지로 \((i\mathbf{p})\) 의 제곱을 생각하세요.

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B-2. 음에너지 해에 대한 확률밀도 계산

\[ \rho = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]

에 음에너지 해 \(\phi = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + |E|t)}\) (단, \(E = -|E|\), \(|E| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\))를 대입하여 \(\rho\)를 \(|A|^2\), \(|E|\), \(m\)으로 나타내세요. \(\rho < 0\)이 되는 것을 확인하세요.

힌트

\(E = -|E|\)를 대입한 평면파의 시간 미분은 \(\partial\phi/\partial t = i|E|\,\phi\)가 돼요. 식 (1.10)의 도출과 같은 절차로, \(E\)의 부호에 주의하며 계산하세요.

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B-3. Dirac 방정식의 조건식 (1.12)의 반교환 관계

\[ \{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}, \qquad \{\alpha^i, \beta\} = 0, \qquad \beta^2 = 1 \]

을 이용하여 다음을 보이세요:

(a) \((\alpha^1)^2 = 1\)

(b) \(\alpha^1 \beta = -\beta \alpha^1\)

(c) \(\alpha^i\) 의 고유값은 \(\pm 1\) 뿐이다 (힌트: \((\alpha^i)^2 = 1\) 을 이용)

힌트

(a) \(\{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}\) 에서 \(i = j\) 로 놓으세요. (c) \(A^2 = 1\) 이고 \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) 이면 \(A^2 \mathbf{v} = \lambda^2 \mathbf{v} = \mathbf{v}\) 로부터 \(\lambda^2 = 1\) 이 됩니다.

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B-4. 연속 방정식의 항등식 증명

\[ \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]
힌트

우변을 시간으로 미분하여 전개하세요. \(\frac{\partial}{\partial t}(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}) = \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\) 등을 이용하여 상쇄되는 항을 찾으세요.

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B-5. Compton 파장의 계산

  • \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\) J·s
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg
  • \(c = 2.998 \times 10^{8}\) m/s

추가로, 양성자（\(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg）의 Compton 파장도 계산하고, 전자의 경우와 비교하세요.

힌트

\(\lambda_C = \hbar/(mc)\) 에 수치를 대입하기만 하면 돼요. 양성자의 Compton 파장은 전자의 약 \(m_e/m_p \approx 1/1836\) 배가 되어야 해요.

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B-6. 자연단위계에서의 질량 차원

(a) 시간 \(t\)

(b) 길이 \(x\)

(c) 질량 \(m\)

(d) Klein-Gordon 방정식의 장 \(\phi(\mathbf{x}, t)\)（3+1 차원, 라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) 의 작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) 이 무차원임을 이용）

힌트

\(\hbar = c = 1\) 에서는 \([E] = [p] = [m] = 1\)（질량 차원 1）, \([x] = [t] = -1\)（질량 차원 \(-1\)）이에요. 작용 \(S\) 는 \([\hbar] = 0\)（무차원）이므로 \([d^4x] + [\mathcal{L}] = 0\) 으로부터 \([\mathcal{L}]\) 을 구하고, \([\phi]\) 를 결정하세요.

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B-7. 불확정성 관계에 의한 쌍생성의 시간 스케일

(a) 전자·양전자 쌍(정지 에너지 \(2m_e c^2 \approx 1.022\) MeV)이 가상적으로 생성될 수 있는 최대 시간 \(\Delta t\)를 추정하세요.

(b) 그 시간 동안 빛이 진행하는 거리를 계산하고, 콤프턴 파장과 비교하세요.

힌트

(a) \(\Delta t \sim \hbar / \Delta E = \hbar / (2m_e c^2)\)。(b) \(c \cdot \Delta t = \hbar/(2m_e c) = \lambda_C / 2\)。

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B-8. 달랑베르 연산자와 Klein-Gordon 방정식의 공변 형식

\[ \Box \equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \partial_\mu \partial^\mu \]

를 이용하여, 식 (1.1)을 \((\Box + m^2)\phi = 0\)으로 쓸 수 있음을 확인하세요. 여기서 계량 텐서 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\)를 사용하고, \(\partial_\mu \partial^\mu\)를 성분으로 전개하여 보이세요.

힌트

\(\partial_\mu = (\partial/\partial t, \partial/\partial x^1, \partial/\partial x^2, \partial/\partial x^3)\), \(\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu = (\partial/\partial t, -\partial/\partial x^1, -\partial/\partial x^2, -\partial/\partial x^3)\)이므로, \(\partial_\mu \partial^\mu = (\partial/\partial t)^2 - (\nabla)^2\)이 돼요.

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Medium（표준）

M-1. Klein-Gordon 방정식의 확률 흐름 밀도의 Lorentz 공변성

본문의 식 (1.6), (1.7)에서 정의된 \(\rho\)와 \(\mathbf{j}\)를 4원 전류 밀도

\[ j^\mu = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi\, \partial^\mu \phi^*\right) \]

로 통일적으로 쓸 수 있음을 보이세요. 구체적으로:

(a) \(j^0 = \rho\) (식 (1.6))임을 확인하세요.

(b) \(j^k\) (\(k = 1, 2, 3\))가 식 (1.7)의 \(\mathbf{j}\)의 각 성분과 일치함을 확인하세요 (계량의 부호에 주의).

(c) 연속 방정식 (1.5)가 \(\partial_\mu j^\mu = 0\)으로 쓸 수 있음을 보이고, 이것이 Lorentz 스칼라 조건임을 논하세요.

힌트

계량 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)를 사용하면 \(\partial^0 = \partial/\partial t\)이지만 \(\partial^k = -\partial/\partial x^k\)이에요. (b)에서는 부호 처리에 주의하세요. (c) \(\partial_\mu j^\mu = 0\)은 Lorentz 변환에서 형태가 변하지 않는다는 것(스칼라 방정식)을 서술하세요.

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M-2. Dirac 방정식의 확률 밀도 비음성

Dirac 방정식 (1.11)과 그 에르미트 켤레로부터 출발하여, 확률 밀도 \(\rho = \psi^\dagger \psi\)와 확률 흐름 밀도 \(\mathbf{j} = \psi^\dagger \boldsymbol{\alpha} \psi\)가 연속 방정식

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \]

을 만족함을 유도하세요. 유도의 각 단계를 명시하세요.

힌트

식 (1.11)로부터 \(i\partial_t \psi = H_D \psi\)（\(H_D = -i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m\)）. 에르미트 켤레는 \(-i\partial_t \psi^\dagger = \psi^\dagger H_D^\dagger\). \(H_D\)가 에르미트임（\(\alpha^i\), \(\beta\)가 에르미트 행렬）을 이용하여, \(\partial_t(\psi^\dagger\psi)\)를 계산하세요.

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M-3. Compton 파장과 위치의 국소화

질량 \(m\)인 스칼라 입자를 1차원 상자(폭 \(L\))에 가두는 사고 실험을 생각해요.

(a) 불확정성 원리로부터, 상자 안 입자의 운동량 불확정성 \(\Delta p \sim \hbar/L\)을 추정하고, 이에 대응하는 상대론적 에너지 불확정성 \(\Delta E\)를 구하세요(\(\Delta p \gg mc\)인 극한과 \(\Delta p \ll mc\)인 극한 모두에 대해 논의하세요).

(b) \(\Delta E \geq 2mc^2\)이 되는 조건으로부터, 상자의 폭 \(L\)의 임계값을 Compton 파장 \(\lambda_C = \hbar/(mc)\)으로 나타내세요.

(c) 이 결과가 "Compton 파장보다 짧은 거리 스케일에서는 1입자 묘사가 파탄난다"는 본문의 논의와 정합적임을 설명하세요.

힌트

(a) 상대론적 에너지는 \(E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\)이지만, \(\Delta p \gg mc\)인 경우에는 \(\Delta E \approx c\,\Delta p\). (b) \(c \cdot \hbar / L \geq 2mc^2\)을 풀면 \(L \lesssim \lambda_C / 2\).

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M-4. Klein-Gordon 장의 일반해와 양·음 진동수 모드

Klein-Gordon 방정식의 일반해를 Fourier 전개로

\[ \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a(\mathbf{p})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + b^*(\mathbf{p})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \right] \]

와 같이 써요. 여기서 \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} > 0\)이에요.

(a) 이 \(\phi\)가 Klein-Gordon 방정식을 만족하는 것을 직접 대입하여 확인하세요.

(b) \(\phi\)가 실수 스칼라장(\(\phi = \phi^*\))인 경우, \(a(\mathbf{p})\)와 \(b(\mathbf{p})\) 사이에 어떤 관계가 성립하는지 구하세요.

(c) \(\phi\)가 복소 스칼라장인 경우, \(a(\mathbf{p})\)와 \(b(\mathbf{p})\)가 독립임을 서술하고, 후자가 "반입자"에 대응한다는 본문의 논의와의 관련을 논하세요.

힌트

(a) 각 Fourier 모드에 \(\Box + m^2\)를 작용시키면 \((-\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2) = 0\)이 나와요. (b) \(\phi^* = \phi\) 조건을 Fourier 성분별로 비교하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 인과율과 Klein-Gordon 전파함수

자유 Klein-Gordon 장에 대해, retarded Green 함수(전파함수) \(G_R(x - y)\)를

\[ (\Box_x + m^2)\, G_R(x - y) = -\delta^4(x - y) \]

로 정의해요.

(a) \(G_R\)의 Fourier 표현을 구하세요. 극점의 처리(\(i\varepsilon\) 처방)를 명시하고, retarded 경계 조건(\(x^0 < y^0\)에서 \(G_R = 0\))이 어떻게 실현되는지를 복소 \(p^0\) 평면의 적분 경로에 대한 논의로 보이세요.

(b) 공간적 간격 \((x - y)^2 < 0\)에서 \(G_R(x - y) = 0\)임을 보이고(또는 논의하고), 이것이 인과율의 표현임을 설명하세요.

(c) 이 결과를 바탕으로, "힘이 가상 입자의 교환을 통해 광속 이하로 전달된다"는 본문의 논의를 수학적으로 어떻게 정당화할 수 있는지 논하세요.

힌트

(a) Fourier 변환으로 \((\Box + m^2) \to (-p^2 + m^2)\)가 되어 \(\tilde{G}_R(p) = 1/(p^2 - m^2)\)이에요. retarded 조건은 두 극점을 모두 실수축 아래에 놓는 것(\(p^0 \to p^0 + i\varepsilon\))에 해당해요. (b) 공간적 간격에서는 \(x^0 - y^0\)의 부호를 Lorentz 변환으로 반전시킬 수 있다는 점과 \(G_R\)의 \(\theta(x^0 - y^0)\) 인자를 이용하세요.

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A-2. Dirac의 바다와 장의 양자론의 등가성

본문에서는 Dirac의 바다 묘사가 보손에 적용될 수 없다는 점이 지적되었어요. 이 문제를 더 깊이 파고들어 보겠습니다.

(a) Dirac의 바다 묘사에서, 진공 상태의 에너지가 형식적으로 \(E_{\text{vac}} = -\sum_{\mathbf{p}, s} \omega_{\mathbf{p}}\) (음의 에너지 상태를 모두 점유)로 발산함을 보이세요. 여기서 합은 모든 운동량 \(\mathbf{p}\)와 스핀 \(s\)에 대해 취해요.

(b) 장의 양자론(제2양자화)의 틀에서는, 반입자가 "바다의 구멍"이 아니라 "반입자의 생성 연산자로 만들어지는 양의 에너지 들뜸"으로 기술되어요. 이 두 묘사가 관측 가능한 물리량(에너지 차이, 전하 차이)에 대해 같은 결과를 준다는 것을, 하나의 구체적인 물리 과정(예: 전자·양전자 쌍의 생성)에 대해 보이세요.

(c) 스칼라장(스핀 0, 보스 통계)에 대해 Dirac의 바다 묘사를 구성할 수 없는 이유를 Pauli의 배타 원리 관점에서 명확히 설명하세요. 나아가, 장의 양자론에서는 이 문제가 어떻게 회피되는지 서술하세요.

힌트

(a) 음의 에너지 상태 \(E = -\omega_{\mathbf{p}}\)를 모두 점유하므로, 에너지는 \(\sum_{\mathbf{p},s}(-\omega_{\mathbf{p}})\)이에요. (b) Dirac의 바다에서 "구멍"을 만드는 에너지 비용 \(+\omega_{\mathbf{p}}\)와, 장의 양자론에서 반입자를 생성하는 에너지 \(+\omega_{\mathbf{p}}\)를 비교하세요. (c) 보손은 같은 상태에 얼마든지 들어갈 수 있으므로, "모두 채우는" 것이 불가능해요. 장의 양자론에서는 교환 관계(보손) 또는 반교환 관계(페르미온)의 선택으로 통계성이 자동적으로 내장되어요.

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