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프롤로그 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 태양-지구 간 중력 계산

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문제: 태양–지구 간의 중력의 크기를 계산하세요.

계산

\[ F = \frac{G M_\odot M_\oplus}{r^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times 6.0 \times 10^{24}}{(1.5 \times 10^{11})^2} \]

분자: \(6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.334 \times 10^{20}\)

\(1.334 \times 10^{20} \times 6.0 \times 10^{24} = 8.00 \times 10^{44}\)

분모: \((1.5 \times 10^{11})^2 = 2.25 \times 10^{22}\)

\[ F = \frac{8.00 \times 10^{44}}{2.25 \times 10^{22}} \approx 3.6 \times 10^{22}\ \text{N} \]
\[ \boxed{F \approx 3.6 \times 10^{22}\ \text{N}} \]

검산

이것은 약 \(3.6 \times 10^{18}\) 톤중에 해당해요. 태양계에서 가장 큰 힘이며, 지구를 공전 궤도에 유지하는 힘으로서 타당해요.

B-2. 양성자 간의 중력과 Coulomb 력의 비

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문제: 양성자 2개 사이의 중력과 쿨롱 힘의 비를 계산하세요.

계산

\[ F_{\text{grav}} = \frac{G m_p^2}{r^2}, \qquad F_{\text{em}} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]

비를 취하면 \(r^2\)이 약분돼요:

\[ \frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} = \frac{G m_p^2}{e^2/(4\pi\varepsilon_0)} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9.0 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2} \]

분자: \(6.67 \times 10^{-11} \times 2.79 \times 10^{-54} = 1.86 \times 10^{-64}\)

분모: \(9.0 \times 10^{9} \times 2.56 \times 10^{-38} = 2.30 \times 10^{-28}\)

\[ \frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} = \frac{1.86 \times 10^{-64}}{2.30 \times 10^{-28}} \approx 8.1 \times 10^{-37} \]
\[ \boxed{\frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} \sim 10^{-36}} \]

검산

본문의 값 \(\sim 10^{-36}\)과 일치해요. 중력이 전자기력에 비해 엄청나게 약하다는 것을 정량적으로 확인할 수 있었어요.

B-3. 2차원 포텐셜의 기울기

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문제: \(\Phi(x, y) = x^2 + 4y^2\) 에 대해, (a) 기울기, (b) 점 \((1,1)\)에서의 크기와 방향, (c) 힘의 방향과 등퍼텐셜선의 관계를 구하세요.

(a) 기울기(gradient) 계산

\[ \frac{\partial\Phi}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y} = 8y \]
\[ \boxed{\nabla\Phi = (2x,\;8y)} \]

(b) 점 \((1, 1)\)에서의 기울기 벡터

\((x, y) = (1, 1)\)을 대입하면,

\[ \nabla\Phi\big|_{(1,1)} = (2 \times 1,\;8 \times 1) = (2,\;8) \]

크기:

\[ |\nabla\Phi| = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.25 \]

방향: \(x\)축 양의 방향으로부터의 각도 \(\theta\)는,

\[ \tan\theta = \frac{8}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \theta = \arctan 4 \approx 76° \]
\[ \boxed{|\nabla\Phi|_{(1,1)} = 2\sqrt{17} \approx 8.25, \quad \theta \approx 76°\ (x\text{축에서 반시계 방향})} \]

(c) 힘의 방향과 등퍼텐셜선의 관계

힘은

\[ \boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\big|_{(1,1)} = -m\,(2,\;8) = m\,(-2,\;-8) \]

이며, 기울기 벡터 \((2, 8)\)의 역방향을 향해요.

등퍼텐셜선은 \(\Phi = x^2 + 4y^2 = C\) (상수)로 정해지는 타원이에요. 기울기 \(\nabla\Phi\)는 등퍼텐셜선에 수직이며, \(\Phi\)가 증가하는 방향을 향해요 (미분기하학의 일반적 성질). 따라서 힘 \(\boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\)는 등퍼텐셜선에 수직이며, \(\Phi\)가 감소하는 방향 (타원의 안쪽, 원점을 향하는 방향)을 향해요.

\[ \boxed{\text{힘은 등퍼텐셜선(타원)에 수직이며, 퍼텐셜이 감소하는 방향(원점 쪽)을 향한다}} \]

검산

  • \(\Phi(1,1) = 1 + 4 = 5\) 이므로, 등퍼텐셜선은 타원 \(x^2 + 4y^2 = 5\)이에요. 점 \((1,1)\)은 이 타원 위에 있어요.
  • 타원 \(x^2 + 4y^2 = C\)의 점 \((x_0, y_0)\)에서의 법선 벡터는 \((2x_0, 8y_0)\)이며, \((1,1)\)에서는 \((2, 8)\)이에요. 이것은 \(\nabla\Phi|_{(1,1)}\)와 일치해요. 기울기가 등퍼텐셜선에 수직임을 확인할 수 있었어요.

B-4. 천체별 상대론 판정 기준

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(a) 태양

\[ GM_\odot = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.33 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]
\[ R_\odot c^2 = 7.0 \times 10^{8} \times (3.0 \times 10^{8})^2 = 7.0 \times 10^{8} \times 9.0 \times 10^{16} = 6.3 \times 10^{25}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]
\[ \Phi_{\rm rel} = \frac{1.33 \times 10^{20}}{6.3 \times 10^{25}} \approx 2.1 \times 10^{-6} \]
\[ \boxed{\Phi_{\rm rel}(\text{태양}) \sim 10^{-6}} \]

뉴턴 모델은 태양 표면 근처에서 매우 좋은 근사이지만, \(10^{-6}\) 수준의 정밀 측정(수성의 근일점 이동, 빛의 편향)에서는 일반상대론적 보정이 필요해요.

(b) 중성자별

매개변수:

  • \(M = 1.4\,M_\odot = 1.4 \times 2.0 \times 10^{30}\ \text{kg} = 2.8 \times 10^{30}\ \text{kg}\)
  • \(R = 10\ \text{km} = 1.0 \times 10^{4}\ \text{m}\)
  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m/s}\)

계산:

분자: \(GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30} = 1.87 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)

분모: \(Rc^2 = 1.0 \times 10^{4} \times (3.0 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)

비:

\[ \Phi_{\rm rel} = \frac{1.87 \times 10^{20}}{9.0 \times 10^{20}} \approx 0.21 \]
\[ \boxed{\Phi_{\rm rel} \approx 0.2} \]

논의:

\(\Phi_{\rm rel} \approx 0.2\) 는 1의 자릿수에 가까워요. 이는 뉴턴 모델이 중성자별의 기술에 불충분하며, 일반상대론적 효과(시공간의 휘어짐)가 뚜렷하게 나타남을 의미해요. 뉴턴 역학에 의한 계산은 정성적인 기준이 될 수는 있지만, 정량적인 정밀도는 기대할 수 없어요.

검산: 본문의 표에서 중성자별의 \(GM/(Rc^2)\) 는 \(\sim 10^{-1}\) 자릿수로 되어 있으며, \(0.2\) 는 이와 일치해요.

B-5. 슈바르츠실트 반지름의 도출

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문제: \(v_{\rm esc} = c\) 가 되는 반지름 \(R_s\) 를 구하세요.

계산

\[ v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \]

양변을 제곱하면,

\[ \frac{2GM}{R} = c^2 \]

\(R\) 에 대해 풀면,

\[ \boxed{R_s = \frac{2GM}{c^2}} \]

이것이 Schwarzschild 반지름이에요.

검산

차원 확인: \([GM/c^2] = [\text{m}^3\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}/(\text{m}^2\text{s}^{-2})] \cdot [\text{kg}]^{-1} \cdot \text{kg} = \text{m}\). 올바르네요.

태양의 경우: \(R_s = 2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} / (9.0 \times 10^{16}) \approx 3.0 \times 10^{3}\ \text{m} = 3\ \text{km}\). 이는 태양의 Schwarzschild 반지름의 알려진 값과 일치해요.

B-6. Schwarzschild 반지름에서의 판정 기준

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문제: \(R = R_s\) 일 때 \(GM/(Rc^2)\) 를 계산하세요.

계산

\(R_s = 2GM/c^2\) 를 대입하면,

\[ \frac{GM}{R_s c^2} = \frac{GM}{\dfrac{2GM}{c^2} \cdot c^2} = \frac{GM}{2GM} = \frac{1}{2} \]
\[ \boxed{\frac{GM}{R_s c^2} = \frac{1}{2}} \]

논의

블랙홀(\(R = R_s\))에서는 판정 기준이 \(1/2\) 이 되어 1의 자릿수(order)에 도달해요. 이는 Newton 역학이 완전히 파탄나며, 일반상대론이 불가결하다는 것을 보여줘요. 사건의 지평면(event horizon)의 형성 등, Newton 역학으로는 기술할 수 없는 현상이 발생해요.

검산

\(\Phi_{\rm rel} = 1/2\) 는 \(v_{\rm esc} = c\) 에 대응해요. \(v/c \sim \sqrt{\Phi_{\rm rel}} = 1/\sqrt{2} \approx 0.71\) 이며, 광속에 필적하는 속도이므로 일반상대론이 필수적이라는 것과 정합해요.

B-7. 관성질량과 중력질량의 등가 조건

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문제: 물체 A와 물체 B가 같은 가속도로 낙하하는 조건을 구하시오.

계산

각 물체의 가속도는 운동방정식으로부터,

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}_A = \frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}}\,\mathbf{g}, \qquad \ddot{\boldsymbol{x}}_B = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}}\,\mathbf{g} \]

양자가 같아지는 조건 \(\ddot{\boldsymbol{x}}_A = \ddot{\boldsymbol{x}}_B\) 는,

\[ \frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}} = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}} \]
\[ \boxed{\frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}} = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}}} \]

즉, 모든 물체에 대해 중력질량과 관성질량의 비 \(m_g/m_i\) 가 보편적인 상수（적절한 단위계에서는 1）인 것이 조건이에요.

검산

\(m_g/m_i = \text{const.}\) 이면, 가속도 \(\ddot{\boldsymbol{x}} = (m_g/m_i)\,\mathbf{g}\) 는 물체의 종류·질량에 관계없이 같은 값이 돼요. 이것은 Galileo의 낙체 실험 결과（모든 물체가 같은 가속도로 낙하한다）와 일치해요. 또한, \(m_g/m_i = 1\)（등가원리）로 놓으면 \(\ddot{\boldsymbol{x}} = \mathbf{g}\) 가 되어 통상적인 자유낙하 공식을 얻을 수 있어요.

B-8. 편미분의 기초 계산

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문제: 편미분 계산 연습.

(a) \(f(x, y) = 3x^2 y + 2y^3\)

\(x\)로 편미분할 때, \(y\)는 상수로 취급해요:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy \]

\(y\)로 편미분할 때, \(x\)는 상수로 취급해요:

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 + 6y^2 \]

(b) \(g(x, y, z) = x^2 y z^3\)

\[ \frac{\partial g}{\partial x} = 2xyz^3 \]
\[ \frac{\partial g}{\partial y} = x^2 z^3 \]
\[ \frac{\partial g}{\partial z} = 3x^2 y z^2 \]

(c) \(h(r, \theta) = r^2 \cos\theta\)

\[ \frac{\partial h}{\partial r} = 2r\cos\theta \]
\[ \frac{\partial h}{\partial \theta} = -r^2 \sin\theta \]

B-9. 기울기 벡터와 등온선

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문제: 편미분과 기울기의 관계. \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\).

(a) 편미분

\[ \frac{\partial T}{\partial x} = -2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = -8y \]

(b) 점 \((1, 2)\)에서의 값과 물리적 의미

\[ \frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = -2(1) = -2 \]
\[ \frac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = -8(2) = -16 \]

물리적 의미:

  • \(\partial T/\partial x = -2\): \(x\) 방향으로 조금 나아가면 온도가 내려가요 (1 나아갈 때마다 약 2도 하강)
  • \(\partial T/\partial y = -16\): \(y\) 방향으로 조금 나아가면 온도가 훨씬 더 급격하게 내려가요 (1 나아갈 때마다 약 16도 하강)

\(y\) 방향의 변화가 훨씬 더 급격하다는 것을 알 수 있어요.

(c) 기울기 벡터와 등온선의 관계

\[ \nabla T\big|_{(1,2)} = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\;\frac{\partial T}{\partial y}\right)\bigg|_{(1,2)} = (-2,\;-16) \]

기울기 벡터는 등온선(\(T = \text{const.}\)인 곡선, 이 경우 타원 \(x^2 + 4y^2 = \text{const.}\))에 대해 수직이며, 온도가 가장 급격하게 올라가는 방향을 가리켜요. 여기서는 \((-2, -16)\)이므로, 원점을 향하는 방향——즉 온도가 높아지는 방향——을 가리키고 있어요.

Medium（표준）

M-1. 중력의 4가지 성질의 정량적 평가

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문제: \(GM/(Rc^2)\) 의 값과 일반상대론적 효과의 현재화의 대응을 논하세요.

해답

\(GM/(Rc^2)\) 의 값은 뉴턴 모델에서 일반상대론으로의 전환이 어느 단계에서 필요해지는지를 나타내는 지표예요.

지구（\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\)）에서는 일반상대론적 효과가 극히 작지만, 그래도 0은 아니에요. GPS 위성의 시계는 지상의 시계에 대해 하루당 약 \(45\ \mu\text{s}\) 의 중력 적색편이에 의한 시각 차이가 발생하며, 이를 보정하지 않으면 위치 오차가 하루당 약 14 km에 달해요（문제 A-1. GPS 위성의 중력적 시간 어긋남 에서 자세히 계산해요）. 이처럼 \(10^{-9}\) 이라는 작은 값이라도 고정밀 기술에서는 일반상대론적 보정이 필수불가결해요.

태양（\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-6}\)）의 경우, 수성의 근일점 이동에서 뉴턴 역학으로는 설명할 수 없는 1세기당 약 43초각의 어긋남이 관측돼요. 이는 일반상대론에 의해 처음으로 정확히 설명된 역사적 검증 사례이며, \(10^{-6}\) 차수의 효과가 정밀한 천문 관측으로 검출 가능하다는 것을 보여줘요. 또한, 태양 근방을 통과하는 빛의 휨（중력 렌즈 효과）도 같은 정도의 효과로서 관측돼요.

백색왜성（\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-4}\)）에서는 중력 적색편이가 스펙트럼 관측으로 명확히 검출되며, 뉴턴 역학으로부터의 어긋남이 더욱 현저해져요.

중성자별（\(GM/(Rc^2) \sim 0.1\text{–}0.2\)）이 되면, 뉴턴 모델은 정량적으로 신뢰할 수 없게 돼요. 별의 구조（질량 상한, 상태방정식과의 관계）나 쌍성 펄서에서의 중력파 방출에 의한 궤도 감쇠 등, 일반상대론 없이는 기술할 수 없는 현상이 지배적이 돼요.

블랙홀（\(GM/(Rc^2) = 1/2\)）에서는 뉴턴 역학이 완전히 파탄해요. 사건의 지평선（event horizon）의 형성, 시공간의 특이점, 블랙홀 병합 시의 중력파 방출 등, 뉴턴의 틀에는 대응하는 개념조차 존재하지 않는 현상이 발생해요. 이처럼 \(GM/(Rc^2)\) 의 값이 커짐에 따라, "뉴턴으로 충분" → "미소하지만 검출 가능한 보정이 필요" → "뉴턴이 정량적으로 불충분" → "뉴턴이 완전히 파탄"이라는 단계적 전환이 일어나요.

M-2. Newton에서 GR로의 전환 단계

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문제: 일반상대론에서 \(m_i = m_g\)의 등가성이 「우연의 일치」가 아니게 되는 이유를 설명하세요.

해답

Einstein의 일반상대론에서는 중력이 힘이 아니라 시공간의 기하학적 휨으로 기술돼요. 모든 물체는 외력이 작용하지 않는 한, 휘어진 시공간 속에서 측지선 (geodesic)——그 시공간에서의 「가장 곧은 경로」——을 따라 운동해요. 측지선 방정식은 시공간의 계량(메트릭)에 의해서만 결정되며, 운동하는 물체의 질량, 조성, 내부 구조에는 전혀 의존하지 않아요. 따라서 같은 초기 위치·초기 속도를 가진 물체는 그 질량이나 재질에 관계없이 완전히 동일한 궤도를 그려요. 이것은 바로 「모든 물체가 같은 가속도로 낙하한다」는 실험적 사실 그 자체예요. Newton의 체계에서는 이 사실이 관성질량 \(m_i\)과 중력질량 \(m_g\)이 우연히 같을 것을 요구하는 설명할 수 없는 일치였지만, 일반상대론에서는 중력이 시공간의 기하학에 내장되어 있기 때문에 \(m_i = m_g\)의 등가성이 이론의 출발점(등가원리)으로서 자연스럽게 포함되어 있으며, 더 이상 우연의 일치가 아니라 이론의 근간을 이루는 원리가 돼요.

M-3. 측지선과 등가원리의 관계

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풀이 방침: 일반상대론에서의 측지선 개념을 이용하여, 관성질량과 중력질량의 등가성이 자연스럽게 설명됨을 논해요.

해답

Newton 역학에서 물체의 운동방정식은 \(m_i \ddot{\boldsymbol{x}} = m_g \boldsymbol{g}\)로 쓰이며, 모든 물체가 같은 가속도 \(\boldsymbol{g}\)로 낙하하려면 \(m_i = m_g\)라는 등식이 모든 물질에 대해 성립해야 해요. 그러나 관성질량(힘에 대한 응답을 결정하는 양)과 중력질량(중력장의 원천 및 중력장과의 결합을 결정하는 양)은 개념적으로 전혀 다른 양이며, Newton의 틀 안에서는 이 등식에 이론적 근거가 없어요——단순한 실험적 사실(우연의 일치)로 받아들일 수밖에 없어요.

Einstein의 일반상대론에서는 중력이 "힘"이 아니라 시공간의 곡률로 기술돼요. 질량·에너지가 시공간을 휘게 하고, 모든 물체는 외력이 작용하지 않는 한 그 휘어진 시공간 속에서 측지선 (geodesic)——시공간에서의 "가장 곧은 경로"——을 따라 운동해요. 측지선 방정식은 시공간의 계량 \(g_{\mu\nu}\)에 의해서만 결정되며, 운동하는 물체의 질량, 조성, 내부 구조에는 전혀 의존하지 않아요. 따라서 같은 초기 위치·초기 속도를 가진 물체는 철이든 알루미늄이든, 질량이 크든 작든 완전히 같은 궤도를 그려요. 이것은 바로 "모든 물체가 같은 가속도로 낙하한다"는 실험적 사실 그 자체이며, \(m_i = m_g\)의 등가성은 이론의 출발점(등가원리)으로서 자연스럽게 내포되어 있어요. 더 이상 "우연의 일치"가 아니라, 중력이 시공간의 기하학이라는 것의 필연적 귀결이에요.

\[ \boxed{\text{측지선 방정식은 물체의 질량·조성에 의존하지 않으므로, } m_i = m_g \text{는 이론의 구조로부터 자동적으로 보장된다.}} \]

검산: 이 논의는 등가원리(약한 등가원리)의 내용 그 자체이며, Eötvös 실험(\(\eta < 10^{-13}\))의 정밀도로 실험적으로도 뒷받침되고 있어요. 또한 측지선 방정식 \(\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau} = 0\)에 물체의 질량이 나타나지 않는다는 점에서도 확인할 수 있어요.

Advanced（발전）

A-1. GPS 위성의 중력적 시간 어긋남

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문제: GPS 위성에 관한 일반상대론적 효과를 정량적으로 추정하라.

매개변수 정리

  • \(M_\oplus = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}\)
  • \(R_\oplus = 6.4 \times 10^{3}\ \text{km} = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}\)
  • \(h = 2.0 \times 10^{4}\ \text{km} = 2.0 \times 10^{7}\ \text{m}\)
  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m/s}\)

위성의 궤도 반지름：

\[ r_{\text{sat}} = R_\oplus + h = 6.4 \times 10^{6} + 2.0 \times 10^{7} = 2.64 \times 10^{7}\ \text{m} \]

(a) 중력 퍼텐셜의 차이

\[ \Delta\Phi = \Phi(R_\oplus + h) - \Phi(R_\oplus) = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus + h} + \frac{GM_\oplus}{R_\oplus} \]
\[ = GM_\oplus\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\oplus + h}\right) \]

먼저 \(GM_\oplus\)를 계산해요：

\[ GM_\oplus = 6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} = 4.00 \times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]

각 항을 계산해요：

\[ \frac{1}{R_\oplus} = \frac{1}{6.4 \times 10^{6}} = 1.5625 \times 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus + h} = \frac{1}{2.64 \times 10^{7}} = 3.788 \times 10^{-8}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\oplus + h} = 1.5625 \times 10^{-7} - 3.788 \times 10^{-8} = 1.184 \times 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \Delta\Phi = 4.00 \times 10^{14} \times 1.184 \times 10^{-7} = 4.74 \times 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ \boxed{\Delta\Phi \approx 4.7 \times 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2} \]

\(\Delta\Phi > 0\)이므로, 위성의 위치가 퍼텐셜이 더 높아요（중력이 약해요）.

(b) 1일당 시각 어긋남

\[ \frac{\Delta\tau}{\tau} \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{4.74 \times 10^{7}}{(3.0 \times 10^{8})^2} = \frac{4.74 \times 10^{7}}{9.0 \times 10^{16}} = 5.27 \times 10^{-10} \]

1일 \(= 86400\) 초이므로, 1일당 시각 어긋남은：

\[ \Delta\tau = 5.27 \times 10^{-10} \times 86400 = 4.55 \times 10^{-5}\ \text{s} = 45.5\ \mu\text{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau \approx 46\ \mu\text{s/일}} \]

\(\Delta\tau > 0\)이므로, 위성의 시계는 지상의 시계보다 빠르게 진행해요. 이는 위성이 더 약한 중력장에 있기 때문에, 일반상대론적인 중력 적색편이 효과로 시간이 더 빠르게 흐르는 것에 대응해요.

（주：실제 GPS에서는 특수상대론적 효과（위성의 운동에 의한 시간 지연, 약 \(-7\ \mu\text{s/일}\)）도 존재하며, 순 효과는 약 \(38\ \mu\text{s/일}\) 정도가 돼요. 본 문제에서는 특수상대론적 효과는 무시하고 있어요.）

(c) 1일당 위치 오차

시각 어긋남 \(\Delta\tau\)가 보정되지 않는 경우, 광속 \(c\)로 전파하는 신호의 거리 측정에 오차가 발생해요. 그 크기는：

\[ \Delta x \approx c \cdot \Delta\tau = 3.0 \times 10^{8} \times 4.55 \times 10^{-5} = 1.37 \times 10^{4}\ \text{m} \]
\[ \boxed{\Delta x \approx 14\ \text{km/일}} \]

즉, 일반상대론적인 시각 보정을 하지 않으면, GPS의 위치 측정에는 1일당 약 14 km의 오차가 누적돼요. 이는 내비게이션 시스템으로서 전혀 쓸모없는 정밀도이며, GPS가 정상적으로 기능하기 위해서는 일반상대론에 기반한 시각 보정이 필수적이라는 것을 보여줘요.

검산

  • 차원 확인： \([\Delta\Phi/c^2]\)는 무차원이에요. \([c \cdot \Delta\tau] = \text{m/s} \times \text{s} = \text{m}\). 맞아요.
  • 자릿수 확인： \(\Delta\Phi/c^2 \sim 5 \times 10^{-10}\)은, 지구의 \(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\)과 같은 정도의 자릿수이며, 정합해요.
  • 알려진 값과의 비교： GPS의 일반상대론적 보정으로 널리 알려진 값은 약 \(45\ \mu\text{s/일}\)（중력 효과만）이며, 본 계산의 \(46\ \mu\text{s}\)과 잘 일치해요. 위치 오차에 대해서도, 개략적으로 널리 인용되는 「1일당 약 10 km」는 자릿수 수준의 추정이며, 본 계산의 보다 정밀한 결과인 약 14 km와 정합해요（개략값은 유효숫자 1자리의 반올림에 해당해요）.