제 4 장 연습문제 풀이¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 자연단위계로의 변환과 \(c\) 의 복원
- B-2. 자연단위계에서의 시간과 길이
- B-3. Minkowski 내적의 계산
- B-4. 공변 벡터의 각 성분
- B-5. 시공 간격의 16개 항 전개
- B-6. 더미 첨자의 재명명
- B-7. 4원속도의 규격화 조건 확인
- B-8. 상대론적 에너지의 저속 극한
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 자연단위계로의 변환과 \(c\) 의 복원¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 차원 해석을 사용하여, 양변의 차원이 맞도록 \(c\)를 삽입하거나 제거해요.
(a) \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\)를 자연단위계로¶
자연단위계에서는 \(c = 1\)로 놓으므로, \(c^2\)와 \(c^4\)를 모두 1로 대체해요:
이 식에서는 \(E\), \(p\), \(m\)이 모두 같은 차원(예를 들어 kg 또는 eV)으로 다뤄져요.
(b) \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\)를 SI 단위계로¶
SI 단위에서는 속도 \(v\)가 m/s의 차원을 가져요. \(v^2\)는 속도의 제곱(\(\text{m}^2/\text{s}^2\))이므로, \(1\)과 뺄셈을 하려면 무차원화가 필요해요. 따라서 \(v\)를 \(v/c\)로 대체해요:
(c) 자연단위계에서 \(E = 5\)의 SI 단위 값¶
자연단위계에서는 에너지와 질량이 같은 단위로 측정돼요. SI 단위로 되돌리려면 \(E_{\text{SI}} = E_{\text{자연}} \cdot c^2\)의 관계를 사용해요. 단, "\(E = 5\)"의 단위가 무엇인지(kg인지 eV인지)에 따라 결과가 달라져요.
자연단위계에서 에너지가 kg으로 \(E = 5\) kg인 경우:
자연단위계에서 에너지가 eV로 \(E = 5\) eV인 경우:
이미 에너지의 단위이므로, SI의 줄로 변환하기만 하면 돼요:
(d) 전자의 정지 에너지¶
SI 단위(줄):
전자볼트로 환산하면 \(\approx 511\;\text{keV} = 0.511\;\text{MeV}\)이에요.
자연단위(kg):
자연단위계에서는 \(E = m\)이므로,
검산¶
(a) 자연단위계에서 \(E^2 = p^2 + m^2\)를 SI로 되돌릴 때, \(p^2\)의 차원을 \(E^2\)에 맞추려면 \(c^2\)를 곱해야 해요(\([p^2] = (\text{kg}\cdot\text{m/s})^2\), \([E^2/c^2] = (\text{kg}\cdot\text{m/s})^2\)). \(m^2\)를 \(E^2\)에 맞추려면 \(c^4\)를 곱해야 해요. 결과적으로 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\)와 일치해요. ✓
(c) 전자의 경우, 자연단위계에서 \(E = m_e = 9.11 \times 10^{-31}\) kg이에요. SI로 되돌리면 \(E = m_e c^2 \approx 8.2 \times 10^{-14}\) J이에요. 이는 잘 알려진 전자의 정지 에너지 \(0.511\) MeV와 일치해요. ✓
B-2. 자연단위계에서의 시간과 길이¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 자연단위계에서는 \(c = 1\)이므로, 시간과 길이가 같은 단위로 측정돼요. \(c = 3 \times 10^8\) m/s를 환산 계수로 사용해요.
(a) 1초를 길이로¶
빛이 1초 동안 진행하는 거리는 \(c \times 1\;\text{s} = 3 \times 10^8\) m. 자연단위계에서는 이것이 "1초"의 길이 표현이에요:
(b) 1미터를 시간으로¶
빛이 1미터를 진행하는 데 걸리는 시간은 \(1\;\text{m}/c = 1/(3 \times 10^8)\;\text{s}\):
(c) 지구-태양 간 거리를 시간으로¶
물리적 의미: 이것은 빛이 태양에서 지구에 도달하는 데 걸리는 시간이에요. 자연단위계에서는 거리가 "빛이 도달하기까지의 시간"으로 표현되므로, "태양은 지구에서 500초 떨어져 있다"라고 말할 수 있어요. 우리가 보고 있는 태양은 500초 전의 모습이에요.
(d) 사람의 걷는 속도를 자연단위계로¶
자연단위계에서는 속도는 무차원(광속을 1로 하는 비)이에요. 사람의 걷는 속도는 광속의 약 30억분의 1이에요.
검산¶
(a)(b) \(c \times 1\;\text{s} = 3 \times 10^8\) m, \(1\;\text{m}/c = 1/(3\times 10^8)\) s로, 자연단위계에서는 양쪽이 같은 양을 나타내요. 정확히 \(c = 1\)이 되는 단위계예요. ✓
(c) 빛이 태양에서 지구에 도달하는 실제 시간(약 8분)과 일치해요. 일상에서 "태양은 8광분 거리에 있다"라는 표현은 바로 이 자연단위계적인 표현이에요. ✓
(d) 사람의 일상적인 속도가 광속의 \(10^{-9}\) 차수라는 것은, 특수상대론의 효과(\(\gamma \approx 1 + v^2/2\))가 일상에서는 관측하기 어려운 이유를 보여줘요. \(v = 3.3 \times 10^{-9}\)이면 \(\gamma - 1 \sim 10^{-17}\)로, 원자시계로도 검출이 어려워요. ✓
B-3. Minkowski 내적의 계산¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(\eta_{\mu\nu}\)는 대각행렬 \(\mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\)이므로, \(\mu = \nu\)인 항만 기여해요.
계산:
Einstein 축약 규칙에 의해,
\(\eta_{\mu\nu} = 0\)（\(\mu \neq \nu\)）이므로,
최종 답:
검산: 다른 표현으로 \(-A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -10 + 3 = -7\). ✓
B-4. 공변 벡터의 각 성분¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) 를 각 \(\mu\) 에 대해 계산해요.
계산:
최종 답:
즉 \(A_\mu = (-E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\) 이에요.
검산: \(A_\mu A^\mu = -E^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\). 이는 \(\eta_{\mu\nu}A^\mu A^\nu\) 와 일치해요. ✓
B-5. 시공 간격의 16개 항 전개¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu\) 를 \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\) 의 전체 16개 항에 대해 전개해요.
계산:
16개 항을 명시적으로 쓰면（\(x^0 = t,\, x^1 = x,\, x^2 = y,\, x^3 = z\)）：
| \(\mu \backslash \nu\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | \(\eta_{00}\,dt\,dt\) | \(\eta_{01}\,dt\,dx\) | \(\eta_{02}\,dt\,dy\) | \(\eta_{03}\,dt\,dz\) |
| 1 | \(\eta_{10}\,dx\,dt\) | \(\eta_{11}\,dx\,dx\) | \(\eta_{12}\,dx\,dy\) | \(\eta_{13}\,dx\,dz\) |
| 2 | \(\eta_{20}\,dy\,dt\) | \(\eta_{21}\,dy\,dx\) | \(\eta_{22}\,dy\,dy\) | \(\eta_{23}\,dy\,dz\) |
| 3 | \(\eta_{30}\,dz\,dt\) | \(\eta_{31}\,dz\,dx\) | \(\eta_{32}\,dz\,dy\) | \(\eta_{33}\,dz\,dz\) |
\(\eta_{\mu\nu}\) 는 대각행렬이므로, \(\mu \neq \nu\) 인 12개 항은 모두 0이에요. 남는 4개 항은：
\(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\) 을 대입하면,
검산: 빛의 경우 \(dx^2 + dy^2 + dz^2 = dt^2\) 이므로 \(ds^2 = 0\)이에요. 광속 불변과 일치해요. ✓
B-6. 더미 첨자의 재명명¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 양변을 명시적인 합으로 전개하여, 같은 식임을 확인해요.
계산:
좌변을 명시적으로 쓰면:
우변을 명시적으로 쓰면:
양변 모두 \(0\)부터 \(3\)까지의 모든 조합에 대해 합을 취하고 있어요. 합의 변수(더미 첨자)의 이름을 \((\mu, \nu)\)에서 \((\alpha, \beta)\)로 바꾸었을 뿐이며, 각 항의 값은 동일해요. 따라서,
검산: 이것은 \(\sum_{i=1}^{N} a_i = \sum_{j=1}^{N} a_j\)와 같은 구조예요. 합의 첨자는 단지 "순회"할 뿐이므로 이름에는 의미가 없어요. ✓
B-7. 4원속도의 규격화 조건 확인¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu\) 를 직접 계산해요.
계산:
\(\gamma^2 = 1/(1 - v^2)\) 를 대입하면 (\(c = 1\)),
최종 답:
검산: \(v = 0\) 일 때 \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) 이고 \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -1\). ✓
B-8. 상대론적 에너지의 저속 극한¶
→ 문제로 돌아가기
(a) 저속 극한에서 Newton 운동에너지의 회복¶
풀이 방침: \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\)를 Taylor 전개해요. 근사 공식 \((1 + x)^n \approx 1 + nx\)를 \(x = -v^2/c^2\), \(n = -1/2\)에 적용해요.
계산:
이것을 \(E = \gamma mc^2\)에 대입하면:
제1항이 정지 에너지, 제2항이 Newton의 운동에너지예요.
(b) 신칸센 수준의 속도에서의 평가¶
풀이 방침: \(v = 100\) m/s, \(c \approx 3 \times 10^8\) m/s를 대입하여 비를 구해요.
계산:
정지 에너지에 대한 운동에너지의 비는, (a)로부터,
물리적 의미: 일상적인 속도에서는 운동에너지가 정지 에너지의 \(10^{-13}\) 정도밖에 되지 않아요. Newton의 시대에는 운동을 \(\frac{1}{2}mv^2\)의 변화로 기술하는 것만으로 충분했고, 그 배후에 있는 \(mc^2\)(약 \(9 \times 10^{16}\) J, 히로시마형 원폭의 천수백 배)는 완전히 숨겨져 있었어요. 핵반응에서 비로소 \(mc^2\)의 극히 일부(\(\sim 10^{-3}\))가 방출되면서, 상대론적 에너지의 존재를 직접적으로 관측할 수 있게 되었어요.
(c) 질량이 0인 입자¶
풀이 방침: \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\)와 \(E = \gamma mc^2\) 양쪽을 \(m = 0\)에서 평가해요.
계산:
\(m = 0\)을 \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\)에 대입하면:
질량이 0이더라도 운동량 \(|\vec{p}|\)가 있으면 유한한 에너지를 가질 수 있어요.
한편, \(E = \gamma mc^2\)에서 \(m = 0\)이면서 \(E \neq 0\)을 동시에 만족시키려면,
이 되어 모순이 생겨요. 이 모순을 피하려면 \(\gamma \to \infty\)여야 하고, \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \to \infty\)는 \(v \to c\)를 의미해요. 따라서 질량이 0이면서 유한한 에너지를 가지는 입자는 반드시 광속으로 운동해요.
광자는 \(E = |\vec{p}|c\)를 만족하며, 제 25 장에서 등장하는 중력자도 같은 관계를 만족해요.
검산:
- (a) \(v \to 0\)에서 \(E \to mc^2\). 정지 에너지로 귀착. ✓
- (a) \(v \to c\)에서는 근사가 성립하지 않아요(\(\gamma \to \infty\)). 2차까지의 전개는 \(v \ll c\)에서만 유효해요. ✓
- (c) 광자의 에너지-운동량 관계 \(E = pc\)는 전자기학으로부터도 독립적으로 얻을 수 있으며, 일치해요. ✓
Medium（표준）¶
M-1. 텐서의 축약과 첨자의 분류¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 축약의 정의에 기반하여 자유 첨자와 더미 첨자를 식별해요.
계산¶
\(T^{\mu\nu}A_\nu\) 를 명시적으로 쓰면,
이 식에서:
-
더미 첨자(축약 첨자): \(\nu\) — 위 첨자와 아래 첨자 양쪽에 나타나며, \(0\) 부터 \(3\) 까지 합을 취해요. 합의 변수이므로 이름을 바꿔도 값은 변하지 않아요(예를 들어 \(T^{\mu\alpha}A_\alpha\) 로 써도 동일해요).
-
자유 첨자: \(\mu\) — 위 첨자에 1번만 나타나며, 합을 취하지 않아요. \(\mu\) 의 값(\(0, 1, 2, 3\))마다 서로 다른 값을 줘요.
텐서의 계수¶
\(T^{\mu\nu}\) 는 2계 반변 텐서(자유 첨자 2개), \(A_\nu\) 는 1계 공변 텐서(자유 첨자 1개)예요. 축약 \(T^{\mu\nu}A_\nu\) 에서는 \(\nu\) 가 1개 사라지므로, 남는 자유 첨자는 \(\mu\) 하나뿐이에요.
검산¶
텐서 계수의 일반 법칙: \(n\) 계 텐서와 \(m\) 계 텐서의 축약에서 \(k\) 개의 첨자를 축약하면, 결과는 \((n + m - 2k)\) 계 텐서가 돼요. 이 문제에서는 \(n = 2\), \(m = 1\), \(k = 1\) 이므로 \(2 + 1 - 2 = 1\) 계. ✓
구체적인 예로 확인: 에너지-운동량 텐서 \(T^{\mu\nu}\) 와 4원 속도 \(U_\nu\) 의 축약 \(T^{\mu\nu}U_\nu\) 는 에너지-운동량의 흐름을 나타내는 4원 벡터이며, 1계 텐서로서 물리적으로 의미를 가져요. ✓
Advanced（발전）¶
A-1. 4원속도와 4원가속도¶
→ 문제로 돌아가기
(a) 4원속도와 4원가속도의 직교성¶
풀이 방침: \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -1\) 을 \(\tau\) 로 미분해요.
계산:
좌변을 미분해요. \(\eta_{\mu\nu}\) 는 상수이므로,
\(a^\mu \equiv dU^\mu/d\tau\) 를 대입하면:
제1항에서 더미 첨자 \(\mu \leftrightarrow \nu\) 를 교환하고, \(\eta_{\mu\nu} = \eta_{\nu\mu}\) (대칭성)를 사용하면,
따라서,
4원속도와 4원가속도는 민코프스키 내적의 의미에서 항상 직교해요.
(b) 순간 정지계에서의 4원가속도¶
풀이 방침: 순간 정지계에서 \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) 을 (a)의 결과에 대입해요.
계산:
순간 정지계에서는 \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) 이에요. (a)의 결과로부터,
따라서, 순간 정지계에서는 \(a^\mu = (0, a^1, a^2, a^3)\) 이에요. 이것의 민코프스키 노름은
등호는 \(a^\mu = 0\) (가속도 없음)일 때만 성립해요. 가속하는 입자에 대해서는,
즉, 4원가속도는 순수하게 공간적인 벡터예요.
(c) 등가속도 운동의 세계선¶
풀이 방침: \(U^\mu\) 를 \(\tau\) 의 함수로 구하고, 적분하여 세계선을 얻어요.
계산:
1차원 운동(\(x\) 방향만)이므로 \(U^\mu = (U^0, U^1, 0, 0)\) 이에요.
규격화 조건:
이것은 \(U^0 = \cosh f(\tau)\), \(U^1 = \sinh f(\tau)\) 로 매개변수화할 수 있어요 (항등식 \(\cosh^2 - \sinh^2 = 1\) 에 의해 자동으로 만족돼요).
4원가속도:
여기서 \(\dot{f} = df/d\tau\) 예요.
일정한 고유가속도 조건:
따라서 \(\dot{f} = g\) (\(g > 0\) 을 선택)이에요. 적분하면,
초기 조건 \(\tau = 0\) 에서 \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\):
이로부터 \(f(0) = 0\), 따라서 상수 \(= 0\) 이에요.
세계선의 적분:
여기서 초기 조건 \(x(0) = 1/g\) 를 사용했어요.
쌍곡선 확인:
이것은 \(x\)-\(t\) 평면 위의 쌍곡선이며, 쌍곡선 운동 (hyperbolic motion)이라고 불려요.
검산:
- \(\tau = 0\) 에서 \(t = 0\), \(x = 1/g\). 초기 조건과 일치해요. ✓
- \(\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = g^2\) 를 직접 확인: \(a^\mu = (g\sinh(g\tau),\, g\cosh(g\tau),\, 0,\, 0)\) 이므로 \(\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = -g^2\sinh^2(g\tau) + g^2\cosh^2(g\tau) = g^2(\cosh^2(g\tau) - \sinh^2(g\tau)) = g^2\). ✓
- \(g\tau \ll 1\) (비상대론적 극한)에서 \(t \approx \tau\), \(x \approx 1/g + \frac{1}{2}g\tau^2\). \(x - 1/g \approx \frac{1}{2}gt^2\) 이 되어 뉴턴의 등가속도 운동으로 귀착돼요. ✓
A-2. 일반 방향의 Lorentz 부스트¶
→ 문제로 돌아가기
(a) 시공간 간격의 불변성 확인¶
풀이 방침: \(ds'^2 = -dt'^2 + d\mathbf{x}' \cdot d\mathbf{x}'\) 를 계산하여 \(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x}\) 와 일치함을 보여요.
계산:
주어진 변환（\(c = 1\)）：
미분 형태：
\(dt'^2\) 의 계산：
\(d\mathbf{x}' \cdot d\mathbf{x}'\) 의 계산：
\(d\mathbf{x}\) 를 \(\mathbf{v}\) 에 평행한 성분과 수직한 성분으로 분해해요. \(\mathbf{v} \cdot d\mathbf{x} \equiv \alpha\) 로 약기하고, \(\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{v}/v\) 로 놓으면,
식 (ii)를 다시 쓰면,
\(d\mathbf{x}_\perp\) 와 \(\mathbf{v}\) 는 직교하므로,
여기서 \(|d\mathbf{x}_\perp|^2 = |d\mathbf{x}|^2 - \alpha^2/v^2\) 이에요.
제3항을 전개하면：
따라서,
\(ds'^2\) 의 계산：
\(2\gamma^2\alpha\,dt\) 항이 상쇄돼요. 정리하면,
\(dt^2\) 의 계수：\(\gamma^2(v^2 - 1) = \gamma^2 \cdot (-1/\gamma^2) = -1\).
\(\alpha^2\) 의 계수：
따라서,
시공간 간격은 불변으로 보존돼요. ✓
(b) \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\) 인 경우¶
\(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\) 일 때 \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x} = vx\), \(v^2 = v^2\) 이에요.
시간 성분：
공간 성분：
표준적인 \(x\) 방향 부스트로 귀착돼요.
(c) 토마스 회전¶
풀이 방침: 순수한 부스트의 행렬이 대칭임을 보이고, 서로 다른 방향의 두 부스트의 합성이 일반적으로 대칭이 아님을 통해 회전 성분의 존재를 논의해요.
순수한 부스트의 대칭성：
일반 방향의 부스트 \(\Lambda(\mathbf{v})\) 의 행렬 성분을 써 내려요. \(\beta^i = v^i\), \(\beta = |\mathbf{v}|\) 로 놓으면（\(c = 1\)）,
여기서 \(\Lambda^{0}{}_{i} = \Lambda^{i}{}_{0}\) 이고, \(\Lambda^{i}{}_{j}\) 는 \(i, j\) 에 대해 대칭이에요（\(\beta^i\beta^j = \beta^j\beta^i\)）. 따라서 순수한 부스트의 \(4 \times 4\) 행렬은 대칭행렬이에요：
합성의 비대칭성：
\(\mathbf{v}_1\) 과 \(\mathbf{v}_2\) 가 모두 \(x\)-\(y\) 평면 내에 있고, \(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \neq \mathbf{0}\) 이라고 해요. \(\Lambda_1 = \Lambda(\mathbf{v}_1)\) 과 \(\Lambda_2 = \Lambda(\mathbf{v}_2)\) 는 모두 대칭행렬이에요.
합성 변환 \(\Lambda_{21} = \Lambda_2 \Lambda_1\) 의 전치를 생각하면,
만약 \(\Lambda_{21}\) 이 대칭이라면 \(\Lambda_{21} = \Lambda_{21}^T\), 즉 \(\Lambda_2\Lambda_1 = \Lambda_1\Lambda_2\) 가 돼요. 그런데 서로 다른 방향의 부스트는 일반적으로 비가환（\(\Lambda_2\Lambda_1 \neq \Lambda_1\Lambda_2\)）이므로,
즉, 합성 변환 \(\Lambda_{21}\) 은 대칭행렬이 아니에요.
회전 성분의 규명：
임의의 proper 로렌츠 변환은 순수한 부스트 \(B\)（대칭행렬）와 공간 회전 \(R\)（직교행렬）의 곱으로 유일하게 분해할 수 있어요（극분해）：
\(\Lambda_{21}\) 이 대칭이 아니라는 것은 \(R \neq I\)（항등변환이 아님）를 의미하며, 즉 비자명한 공간 회전이 포함되어 있다는 뜻이에요.
이 회전을 토마스 회전（또는 위그너 회전）이라고 불러요. \(\mathbf{v}_1\) 과 \(\mathbf{v}_2\) 가 \(x\)-\(y\) 평면 내에 있는 경우, 회전축은 \(z\) 축이며, 회전각 \(\Omega\) 는 \(v_1, v_2\) 및 양자 사이의 각도에 의존해요.
물리적 의의: 토마스 회전은 원자물리학에서 스핀-궤도 상호작용의 토마스 인자 \(1/2\) 의 기원이며, 수소 원자의 미세 구조를 정확하게 계산하는 데 필수적이에요. 전자가 원자핵 주위를 곡선 운동할 때, 순간적인 부스트 방향이 시시각각 변하고, 그 합성이 회전을 만들어 내요.
검산:
- 같은 방향의 부스트（\(\mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{v}_2\)）인 경우：\(\Lambda_1\) 과 \(\Lambda_2\) 는 가환이며, 합성은 대칭행렬（순수한 부스트）이 돼요. 토마스 회전은 0. ✓
- \(v_1, v_2 \ll 1\) 의 극한에서 토마스 회전각은 \(\Omega \approx \frac{1}{2}(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)\) 정도의 2차 미소량이에요. 비상대론적 극한에서 사라져요. ✓
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