부록 A 연습문제 풀이¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 벡터곱의 성분 계산
- B-2. 벡터곱의 직교성
- B-3. 스칼라 삼중곱
- B-4. 스칼라장의 기울기
- B-5. 벡터장의 발산
- B-6. 벡터장의 회전
- B-7. 스칼라장의 라플라시안
- B-8. Lagrange 항등식의 확인
- B-9. BAC-CAB 공식의 확인
- B-10. rot(grad) = 0 의 확인
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 벡터곱의 성분 계산¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{a} = (2, 1, -1)\) 과 \(\boldsymbol{b} = (0, 3, 2)\) 의 벡터곱 \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) 을 계산하세요.
풀이 방침: 형식적 행렬식을 제1행으로 여인수 전개해요.
계산:
검산: 반교환 법칙에 의해 \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = (-5, 4, -6)\) 이 되어야 해요. 실제로 \((\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a})_x = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -5\) ✓
B-2. 벡터곱의 직교성¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (5, -4, 6)\) 이 \(\boldsymbol{a} = (2, 1, -1)\) 에 직교하는 것을 확인하세요.
계산:
검산: \(\boldsymbol{b}\) 와의 내적도 확인: \(5 \cdot 0 + (-4) \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 0 - 12 + 12 = 0\) ✓
B-3. 스칼라 삼중곱¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{a} = (1, 0, 2)\), \(\boldsymbol{b} = (3, 1, 0)\), \(\boldsymbol{c} = (0, -1, 1)\) 의 스칼라 삼중적을 행렬식으로 계산하세요.
계산:
제1행으로 여인수 전개:
검산 (Sarrus 방법):
오른쪽 아래 대각선의 합: \(a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 0 - 6 = -5\)
왼쪽 아래 대각선의 합: \(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32} = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-1) = 0 + 0 + 0 = 0\)
행렬식 \(= -5 - 0 = -5\) ✓
B-4. 스칼라장의 기울기¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\varphi(x, y, z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x\) 의 기울기(gradient)를 구하세요.
계산:
검산: 각 항의 차원(\(\varphi\)의 각 단항식의 변수에 대한 편미분)을 확인해요. \(\partial(x^2 y)/\partial x = 2xy\) ✓, \(\partial(y^2 z)/\partial x = 0\) ✓, \(\partial(z^2 x)/\partial x = z^2\) ✓. 다른 성분도 마찬가지예요.
B-5. 벡터장의 발산¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{F} = (x^2 y,\; y^2 z,\; z^2 x)\) 의 발산을 계산하세요.
계산:
검산: 각 편미분을 개별적으로 확인해요. \(\partial(x^2 y)/\partial x = 2xy\) (\(y\)는 상수 취급) ✓
B-6. 벡터장의 회전¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{F} = (yz,\; xz,\; xy)\) 의 회전을 계산하세요.
계산:
검산: \(\boldsymbol{F} = (yz, xz, xy) = \nabla(xyz)\) 이므로, 기울기장의 회전은 항등적으로 영이에요. 실제로 \(\partial(xyz)/\partial x = yz\), \(\partial(xyz)/\partial y = xz\), \(\partial(xyz)/\partial z = xy\) ✓
B-7. 스칼라장의 라플라시안¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\varphi = e^x \sin y + z^3\) 의 라플라시안을 계산하세요.
계산:
검산: \(e^x \sin y\) 부분은 2차원 조화함수(\(\Delta_{2D}(e^x \sin y) = 0\))이므로, 라플라시안에 대한 기여는 0이에요. \(z^3\) 의 라플라시안은 \(6z\)이에요. 일치 ✓
B-8. Lagrange 항등식의 확인¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{a} = (1, 2, 0)\), \(\boldsymbol{b} = (0, 1, 3)\) 에 대해 Lagrange의 항등식을 확인하세요.
계산(우변):
계산(좌변):
양변 일치 ✓
B-9. BAC-CAB 공식의 확인¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\boldsymbol{a} = (1,0,0)\), \(\boldsymbol{b} = (0,1,0)\), \(\boldsymbol{c} = (0,0,1)\) 에서 BAC-CAB 공식을 확인하세요.
좌변의 계산:
우변의 계산:
검산: \(\boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1\), \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{e}_2\), \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{e}_3\) 는 서로 직교하는 표준 기저이므로 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 0\) 은 자연스러워요. 또한 \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \boldsymbol{e}_1 = \boldsymbol{a}\) 이므로 \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}\) 도 자연스러워요 ✓
B-10. rot(grad) = 0 의 확인¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\varphi = x^2 + y^2 + z^2\) 에 대해 \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\) 을 확인하세요.
계산:
\(\boldsymbol{G} = \nabla\varphi = (2x, 2y, 2z)\) 로 놓으면:
검산: 이것은 항등식 \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi) = \boldsymbol{0}\) 의 구체적인 예시예요. 각 성분은 \(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z \partial y} = 0\) 과 같이, 편미분의 순서 교환 가능성(\(\varphi\) 가 \(C^2\) 급)으로부터 자동적으로 영이 돼요 ✓
Medium（표준）¶
M-1. BAC-CAB 공식의 증명¶
→ 문제로 돌아가기
문제: BAC-CAB 공식을 \(x\) 성분의 비교를 통해 증명하세요.
풀이 방침¶
좌변 \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\) 의 \(x\) 성분을, 외적의 정의를 2회 적용하여 전개해요. 우변 \(\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\) 의 \(x\) 성분도 전개하여, 양자가 일치함을 보여요.
계산의 세부 사항¶
좌변의 \(x\) 성분:
먼저 \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\) 의 성분을 써 내려가요:
\(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\) 의 \(x\) 성분은:
여기서 \(a_1 c_1\) 과 \(a_1 b_1\) 을 더하고 빼요 (\(b_1 a_1 c_1 - c_1 a_1 b_1 = 0\) 이므로 값은 변하지 않아요):
우변의 \(x\) 성분:
최종 답¶
좌변과 우변의 \(x\) 성분이 일치했어요:
\(y\), \(z\) 성분에 대해: 위의 계산에서는 첨자 \(1, 2, 3\) 의 순환적 구조만을 사용했어요. 외적의 정의는 첨자의 순환 치환 \((1 \to 2 \to 3 \to 1)\) 에 대해 동일한 형태를 가지므로, \(x\) 성분의 증명에서 \(1 \to 2\), \(2 \to 3\), \(3 \to 1\) 로 치환하면 \(y\) 성분의 증명이, \(1 \to 3\), \(2 \to 1\), \(3 \to 2\) 로 치환하면 \(z\) 성분의 증명이 그대로 얻어져요.
따라서 3개 성분 모두에서 등호가 성립하며, BAC-CAB 공식이 증명되었어요. \(\blacksquare\)
검산¶
D9에서 구체적인 수치 예시(표준 기저)로 확인 완료 ✓
M-2. div(rot) = 0 의 증명¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\) 을 증명하고, 물리적 의미를 서술하세요.
풀이 방침¶
\(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) 의 각 성분을 써 내려가고, \(\operatorname{div}\) 를 취했을 때 편미분의 순서 교환에 의해 모든 항이 쌍을 이루어 소거됨을 보여요.
계산의 상세¶
\(\boldsymbol{F} = (F_1, F_2, F_3)\) 으로 놓아요. 회전의 각 성분은:
발산을 취하면:
\(\boldsymbol{F}\) 가 충분히 매끄러우면(\(C^2\) 급), 편미분의 순서는 교환 가능해요: \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_j \partial x_k} = \frac{\partial^2 F_i}{\partial x_k \partial x_j}\). 따라서:
- \(\frac{\partial^2 F_3}{\partial x \partial y}\) 와 \(-\frac{\partial^2 F_3}{\partial y \partial x}\) 가 상쇄
- \(-\frac{\partial^2 F_2}{\partial x \partial z}\) 와 \(\frac{\partial^2 F_2}{\partial z \partial x}\) 가 상쇄
- \(\frac{\partial^2 F_1}{\partial y \partial z}\) 와 \(-\frac{\partial^2 F_1}{\partial z \partial y}\) 가 상쇄
물리적 의미¶
전자기학에서 자기장 \(\boldsymbol{B}\) 는 벡터 퍼텐셜 \(\boldsymbol{A}\) 를 이용하여 \(\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}\) 로 쓸 수 있어요. 위의 항등식을 적용하면:
이것은 Maxwell 방정식 중 하나인 \(\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\) (자기 단극자가 존재하지 않음)에 대응해요. 즉, 자기장이 벡터 퍼텐셜의 회전으로 표현될 수 있다는 사실은 수학적 항등식 \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}) = 0\) 에 의해 자기 단극자의 비존재와 자동으로 정합해요. 역으로 말하면, 만약 자기 단극자가 존재한다면 \(\nabla \cdot \boldsymbol{B} \neq 0\) 이 되어, \(\boldsymbol{B}\) 를 단일 벡터 퍼텐셜의 회전으로 대역적으로 표현할 수 없게 돼요. \(\blacksquare\)
M-3. 벡터곱끼리의 내적 공식¶
→ 문제로 돌아가기
문제: 벡터곱끼리의 내적 공식으로부터 Lagrange의 항등식을 유도하고, \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\) 를 보여라.
계산의 상세¶
Lagrange의 항등식 유도:
벡터곱끼리의 내적 공식:
에 \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\) 를 대입해요:
\(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\) 의 유도:
\(\boldsymbol{a}\) 와 \(\boldsymbol{b}\) 가 이루는 각을 \(\theta\)（\(0 \leq \theta \leq \pi\)）라 하면, \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\) 이므로:
\(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때 \(\sin\theta \geq 0\) 이므로, 양변의 양의 제곱근을 취하면:
검산¶
\(\theta = 0\)（평행）일 때: \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = 0\) ✓（평행한 벡터의 외적은 영벡터）
\(\theta = \pi/2\)（직교）일 때: \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\) ✓（예를 들어 \(\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_3\) 에서 \(|\boldsymbol{e}_3| = 1 = 1 \cdot 1\)）
\(\theta = \pi\)（반평행）일 때: \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = 0\) ✓（\(\sin\pi = 0\) 이며, 반평행한 벡터의 외적도 영벡터）
D8의 수치 예에서도 확인 완료 ✓
M-4. 곱의 발산 공식¶
→ 문제로 돌아가기
문제: \(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F})\) 를 증명하세요.
풀이 방침¶
\(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F})\) 를 성분 표시로 써서, 각 항에 라이프니츠의 곱의 미분법칙을 적용하여 전개해요.
계산의 상세¶
\(\boldsymbol{F} = (F_1, F_2, F_3)\) 으로 놓을게요.
각 항에 라이프니츠의 곱의 미분법칙 \(\frac{\partial(\varphi F_i)}{\partial x_i} = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}F_i + \varphi\frac{\partial F_i}{\partial x_i}\) 을 적용해요:
모두 더하면:
첫 번째 괄호는 기울기와 벡터장의 내적 \((\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F}\), 두 번째 괄호는 벡터장의 발산 \(\operatorname{div}\boldsymbol{F}\) 이므로:
\(\blacksquare\)
검산¶
구체적인 예로 확인해요. \(\varphi = x\), \(\boldsymbol{F} = (y, 0, 0)\) 으로 놓으면:
- 좌변: \(\operatorname{div}(xy, 0, 0) = \frac{\partial(xy)}{\partial x} + 0 + 0 = y\)
- 우변: \((\nabla x) \cdot (y, 0, 0) + x \cdot \operatorname{div}(y, 0, 0) = (1, 0, 0) \cdot (y, 0, 0) + x \cdot 0 = y + 0 = y\)
일치 ✓
또 다른 예로, \(\varphi = x^2 + y^2 + z^2\), \(\boldsymbol{F} = (x, y, z)\) 으로 놓으면:
- \(\varphi\boldsymbol{F} = ((x^2+y^2+z^2)x,\; (x^2+y^2+z^2)y,\; (x^2+y^2+z^2)z)\)
- 좌변의 \(x\) 성분의 편미분: \(\frac{\partial}{\partial x}[(x^2+y^2+z^2)x] = (2x)x + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 + x^2+y^2+z^2\). 마찬가지로 \(y\), \(z\) 성분도 계산하여 더하면: \(2(x^2+y^2+z^2) + 3(x^2+y^2+z^2) = 5(x^2+y^2+z^2)\)
- 우변: \((\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi(\operatorname{div}\boldsymbol{F}) = (2x,2y,2z)\cdot(x,y,z) + (x^2+y^2+z^2) \cdot 3 = 2(x^2+y^2+z^2) + 3(x^2+y^2+z^2) = 5(x^2+y^2+z^2)\)
일치 ✓
M-5. Gauss의 정리와 쿨롱 전기장¶
→ 문제로 돌아가기
문제: 가우스 정리를 이용하여, 쿨롱 전기장의 전기선속이 \(q/\varepsilon_0\)임을 보여라.
풀이 방침¶
원점을 포함하는 임의의 닫힌 곡면 \(S\) 내부에, 원점을 중심으로 하는 충분히 작은 반지름 \(\epsilon\)의 구면 \(S_\epsilon\)을 잡아요. \(S\)와 \(S_\epsilon\) 사이의 영역 \(V'\)에서는 \(r \neq 0\)이므로 \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\)이 성립해요. 이 영역에 가우스 정리를 적용하여, \(S\) 위의 면적분을 \(S_\epsilon\) 위의 면적분으로 귀착시켜요.
계산의 세부 사항¶
Step 1: \(r \neq 0\)에서 \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\) 확인
\(\boldsymbol{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)에 대해, \(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} = \left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\; \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\; \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\)의 발산을 계산해요.
\(x\) 성분의 편미분:
마찬가지로 \(y\), \(z\) 성분도 구해서 더하면:
Step 2: 가우스 정리의 적용
\(S\)와 \(S_\epsilon\)으로 둘러싸인 영역 \(V'\)를 생각해요. \(V'\)의 경계는 바깥쪽 \(S\)(바깥 방향 법선)와 안쪽 \(S_\epsilon\)(\(V'\)에 대한 바깥 방향 법선은 원점을 향하는 \(-\hat{\boldsymbol{r}}\) 방향)으로 이루어져 있어요.
\(V'\) 내에서 \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\)이므로, 가우스 정리에 의해:
\(S_\epsilon\) 위에서 \(V'\)에 대한 바깥 방향 법선은 \(-\hat{\boldsymbol{r}}\) 방향이므로 \(d\boldsymbol{S}_{V'\text{바깥 방향}} = -\hat{\boldsymbol{r}}\, dA\)예요. 따라서:
Step 3: 구면 위에서의 면적분 계산
\(S_\epsilon\) 위에서는 \(r = \epsilon\)(일정)이며, \(\boldsymbol{E}\)는 지름 방향을 향하고 크기가 일정해요:
따라서:
구면 전체에 대해 적분하면:
최종 답¶
원점을 포함하는 임의의 닫힌 곡면 \(S\)에 대해 성립해요. \(\blacksquare\)
검산¶
- 차원 분석: \([E] = \text{V/m}\), \([dS] = \text{m}^2\)이므로 \([E \cdot dS] = \text{V·m}\)이에요. \([q/\varepsilon_0] = \text{C}/(\text{C}^2\text{s}^2/(\text{kg·m}^3))\)를 정리하면 \(\text{kg·m}^3/(\text{C·s}^2) = \text{V·m}\)이에요. 일치 ✓
- 특수한 경우: \(S\) 자체가 반지름 \(R\)인 구면인 경우, 직접 계산으로 \(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \cdot 4\pi R^2 = q/\varepsilon_0\) ✓
- \(q < 0\)인 경우: 전기장은 원점을 향하는 방향(\(-\hat{\boldsymbol{r}}\))을 향하므로, 바깥 방향 법선과의 내적은 음이에요. 전기선속 \(q/\varepsilon_0 < 0\)이 되어 일치 ✓
Advanced（발전）¶
A-1. Levi-Civita 기호에 의한 항등식¶
→ 문제로 돌아가기
문제: Levi-Civita 기호를 이용한 첨자 계산.
(a) 벡터곱끼리의 내적 공식¶
계산의 상세:
축약 공식 \(\sum_i \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}\)을 적용하면:
\(\blacksquare\)
(b) BAC-CAB 공식¶
계산의 상세:
\(\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{lmk}\) (순환 치환에 대해 불변)이므로, \(\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk}\)이에요.
축약 공식 \(\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}\)을 적용하면:
모든 \(i\)에 대해 성립하므로, BAC-CAB 공식이 증명되었어요. \(\blacksquare\)
(c) \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\)의 첨자 계산에 의한 증명¶
\(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\)의 제 \(i\) 성분:
여기서 \(\partial_j = \frac{\partial}{\partial x_j}\)이에요.
\(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})\)의 계산:
여기서 \(\partial_i \partial_j F_k\)는 첨자 \(i, j\)에 대해 대칭 (\(\boldsymbol{F}\)가 \(C^2\)급일 때 \(\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i\))인 반면, \(\varepsilon_{ijk}\)는 첨자 \(i, j\)에 대해 반대칭 (\(\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{jik}\))이에요.
대칭 텐서와 반대칭 텐서의 축약은 영이 돼요. 구체적으로 보이면:
첨자 \(i \leftrightarrow j\)의 더미 변수를 교환하면:
(첫 번째 등호에서 더미 변수의 이름을 \(i \leftrightarrow j\)로 되돌리고, 두 번째 등호에서 \(\varepsilon_{jik} = -\varepsilon_{ijk}\) (반대칭성)과 \(\partial_j \partial_i = \partial_i \partial_j\) (편미분의 순서 교환)를 사용했어요.)
따라서 \(S = -S\), 즉 \(2S = 0\)이므로:
\(\blacksquare\)
4차원과의 대응에 대해: 본편의 일반상대론에서는 4차원 Levi-Civita 텐서 \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)가 쌍대 텐서의 구성에 사용되었어요. 3차원의 \(\varepsilon_{ijk}\)가 회전(rot)을 정의하는 것과 마찬가지로, 4차원의 \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)는 전자기장 텐서 \(F_{\mu\nu}\)의 쌍대 \({}^*F^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\)를 정의해요. \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}) = 0\)의 4차원 버전은 Bianchi 항등식 \(\partial_{[\mu}F_{\nu\rho]} = 0\)에 대응하며, 이것이 Maxwell 방정식의 동차 방정식 (\(\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\)과 Faraday 법칙)을 줘요.
검산¶
(a) \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\)로 놓으면 Lagrange 항등식을 얻으며, S3과 정합 ✓
(b) D9의 수치 예와 정합 ✓
(c) S2의 성분 계산에 의한 증명과 정합 ✓
A-2. Stokes 정리의 응용¶
→ 문제로 돌아가기
문제: Stokes 정리를 이용한 논의.
(a) 기울기장의 닫힌 곡선 적분이 영임을 보이기¶
증명:
\(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\) 라 하자. 임의의 닫힌 곡선 \(C\) 에 대해, \(C\) 를 경계로 하는 곡면 \(S\) 를 택해요. Stokes 정리에 의해:
항등식 \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\) (D10에서 확인, 일반적으로는 편미분의 순서 교환으로부터 따라요)에 의해:
\(\blacksquare\)
별증 (Stokes 정리를 사용하지 않는 직접적 방법): \(C\) 를 \(\boldsymbol{r}(t)\) (\(t: a \to b\), \(\boldsymbol{r}(a) = \boldsymbol{r}(b)\))로 매개변수화하면:
(닫힌 곡선이므로 시점과 종점이 일치해요.) 이 별증은 Stokes 정리를 전제로 하지 않아요. ✓
(b) 비회전장이 스칼라 퍼텐셜을 가짐을 보이기¶
증명:
단일 연결인 영역 \(D\) 에서 \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\) 이 성립한다고 해요.
Step 1: \(\varphi\) 의 구성
고정점 \(\boldsymbol{r}_0 \in D\) 를 선택하고, 임의의 점 \(\boldsymbol{r} \in D\) 에 대해:
로 정의해요. 여기서 적분은 \(D\) 내에서 \(\boldsymbol{r}_0\) 에서 \(\boldsymbol{r}\) 까지의 임의의 곡선을 따라 수행해요.
Step 2: 경로 독립성
\(\boldsymbol{r}_0\) 에서 \(\boldsymbol{r}\) 까지의 두 경로 \(C_1\), \(C_2\) 를 택해요. \(C_1\) 과 \(C_2^{-1}\) (\(C_2\) 의 역방향)을 연결하면 닫힌 곡선 \(C = C_1 + C_2^{-1}\) 을 얻어요. \(D\) 가 단일 연결이므로, \(C\) 를 경계로 하는 곡면 \(S \subset D\) 가 존재해요. Stokes 정리에 의해:
따라서:
그러므로 \(\varphi(\boldsymbol{r})\) 은 경로의 선택에 의존하지 않고 well-defined 해요.
Step 3: \(\nabla\varphi = \boldsymbol{F}\) 의 확인
\(\boldsymbol{r}\) 에서 \(\boldsymbol{r} + \delta\boldsymbol{r}\) (\(\delta\boldsymbol{r} = \delta x\, \boldsymbol{e}_1\) 로 놓아요)까지의 직선 경로를 고려하면:
따라서:
\(y\), \(z\) 성분도 마찬가지로 \(\frac{\partial\varphi}{\partial y} = F_2\), \(\frac{\partial\varphi}{\partial z} = F_3\) 을 얻으므로:
\(\blacksquare\)
주의: 단일 연결성의 가정은 본질적이에요. 예를 들어, \(D = \mathbb{R}^3 \setminus \{z\text{축}\}\) (\(z\) 축을 제외한 공간)에서 \(\boldsymbol{F} = \frac{1}{x^2+y^2}(-y, x, 0)\) 은 \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\) 을 만족하지만, \(z\) 축을 둘러싸는 닫힌 곡선을 따른 선적분은 \(2\pi \neq 0\) 이며, 대역적인 스칼라 퍼텐셜은 존재하지 않아요.
(c) Stokes 정리와 곡률의 관계¶
정성적 논의:
Stokes 정리는 벡터장 \(\boldsymbol{F}\) 의 닫힌 곡선 \(C\) 를 따른 순환(선적분)이, \(C\) 를 경계로 하는 곡면 \(S\) 위에서의 \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) 의 면적분과 같다고 말해요:
특히, 미소 닫힌 곡선 (면적 \(\delta A\), 법선 \(\hat{\boldsymbol{n}}\))에 대해서는:
즉, \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) 는 "단위 면적당 순환"을 나타내요.
일반상대론에서의 곡률 텐서 \(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma}\) 는 이것과 완전히 유사한 역할을 해요. 벡터 \(V^\mu\) 를 미소한 닫힌 평행사변형 (변이 \(\delta x^\rho\) 와 \(\delta x^\sigma\))을 따라 평행이동시키면, 한 바퀴 돌아왔을 때 벡터가 변해요. 그 변화량은
$$\delta V^\mu = R^\mu{}_{\nu\rho\sigma}\,V^\nu\,\delta x^\rho\,\delta x^\sigma $$ 로 주어져요. 이것은 Stokes 정리의 일반상대론 버전으로 볼 수 있어요:
| 벡터 해석 (\(\mathbb{R}^3\)) | 일반상대론 (휘어진 시공간) |
|---|---|
| 벡터장 \(\boldsymbol{F}\) 의 순환 | 벡터 \(V^\mu\) 의 평행이동에 의한 변화 |
| 회전 \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) | Riemann 곡률 텐서 \(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma}\) |
| 미소 닫힌 곡선의 면적 \(\delta A\) | 미소 평행사변형의 면적 \(\delta x^\rho \wedge \delta x^\sigma\) |
- 평탄한 공간 (\(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} = 0\))에서는 평행이동이 경로에 의존하지 않아요 (순환이 영).
- 휘어진 공간 (\(R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} \neq 0\))에서는 평행이동이 경로에 의존해요 (순환이 비영).
이 대응은 곡률 텐서가 "평행이동의 비가환성"을 측정하는 양임을 보여주며, 제 12 장에서 배운 Riemann 텐서의 도출과 정합해요. \(\square\)
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