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제 6 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 장의 세기 텐서의 반대칭성과 성분 확인

\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) 의 정의를 이용하여 다음을 계산하세요.

(a) \(F_{01}\) 을 \(A_0, A_1\) 의 편미분으로 써 보세요.

(b) \(F_{10}\) 을 마찬가지로 써 보고, \(F_{01} = -F_{10}\) 을 확인하세요.

(c) \(F_{12}\) 를 \(A_1, A_2\) 의 편미분으로 써 보고, 식 (6.4)의 행렬과 비교하여 이것이 \(-B_z\) 에 대응하는 것을 확인하세요.

힌트

정의 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) 에 그대로 첨자를 대입해요. \(\partial_0 = \partial/\partial t\), \(\partial_1 = \partial/\partial x\) 등을 사용하고, \(E_x = -\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0\) (부호 규약에 주의), \(B_z = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\) 과 비교하세요.

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B-2. Lagrangian의 전개

라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)를 전기장 \(\mathbf{E}\)와 자기장 \(\mathbf{B}\)로 표현하세요. 즉

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2) \]

가 됨을, 식 (6.4)의 성분을 이용하여 첨자를 모두 축약하여 보이세요.

힌트

\(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\)를 계산해요. 반대칭성으로부터 독립적인 성분은 \((\mu,\nu)\)에서 \(\mu < \nu\)인 것뿐이에요. \(F_{0i}F^{0i}\) 부분과 \(F_{ij}F^{ij}\) 부분을 나누어 계산하면 보기 좋아요. 계량 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)에 주의하세요.

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B-3. 게이지 변환에서의 전기장·자기장의 불변성

게이지 변환 \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \lambda\) 하에서, 식 (6.3)의 정의

\[ \mathbf{E} = -\nabla A_0 - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \]

를 이용하여, \(\mathbf{E}\) 및 \(\mathbf{B}\)가 각각 불변임을 직접 계산으로 보이세요.

힌트

\(A_0 \to A_0 + \partial_0 \lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\lambda\)를 대입해요. \(\mathbf{E}\)에 대해서는 \(-\nabla(\partial_0 \lambda) - \partial_t(\nabla \lambda)\)가 영이 되는 것을, \(\mathbf{B}\)에 대해서는 \(\nabla \times (\nabla \lambda) = 0\)(임의의 스칼라장의 기울기의 회전은 영)을 이용해요.

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B-4. 공변 미분의 게이지 변환 법칙

공변 미분 \(D_\mu = \partial_\mu + iqA_\mu\) 에 대해, \(\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi\), \(A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{q}\partial_\mu \alpha\) 의 변환을 대입하여,

\[ D_\mu \psi \to e^{i\alpha(x)} D_\mu \psi \]

가 성립함을 본문의 계산을 직접 손으로 재현하여 확인하세요. 도중의 각 항을 생략하지 말고 모두 써 내려가세요.

힌트

\(D_\mu' \psi' = (\partial_\mu + iq A_\mu - i\partial_\mu\alpha)(e^{i\alpha}\psi)\) 를 전개해요. \(\partial_\mu(e^{i\alpha}\psi)\) 에 곱의 미분법을 적용하고, \(e^{i\alpha}(i\partial_\mu\alpha)\psi\) 항이 \(-i(\partial_\mu\alpha)e^{i\alpha}\psi\) 와 상쇄됨을 확인하세요.

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B-5. 켤레 운동량의 계산

라그랑지안 \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) 에 대해, 켤레 운동량 \(\pi^\mu = \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_0 A_\mu)\) 를 \(\mu = 0, 1, 2, 3\) 의 각 성분에 대해 계산하고, 다음을 확인하세요.

(a) \(\pi^0 = 0\)

(b) \(\pi^i = F^{0i} = E^i\) （\(i = 1, 2, 3\)）

힌트

D2의 결과를 사용하여 \(\mathcal{L}\)를 \(\partial_0 A_\mu\)를 포함하는 항과 포함하지 않는 항으로 나누면 보기 쉬워요. \(F_{0i} = \partial_0 A_i - \partial_i A_0\) 에 \(\partial_0 A_0\)가 포함되지 않는 것이 \(\pi^0 = 0\)의 핵심이에요.

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B-6. 편극 벡터의 횡파 조건

파수 벡터 \(\mathbf{k} = k(0, \sin\theta, \cos\theta)\)가 \(yz\) 평면 내에 있는 경우, 쿨롱 게이지의 횡파 조건 \(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) = 0\)을 만족하는 2개의 독립적인 편극 벡터 \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1)\), \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2)\)를 구체적으로 써 보세요. 단, 정규직교 조건 \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda') = \delta_{\lambda\lambda'}\)도 만족하도록 하세요.

힌트

\(\mathbf{k}\)에 수직인 방향을 2개 찾아야 해요. 하나는 \(x\) 방향 \((1, 0, 0)\)으로 명백히 \(\mathbf{k}\)와 직교해요. 다른 하나는 \(yz\) 평면 내에서 \(\mathbf{k}\)에 직교하는 방향을 취하면 돼요. \(\mathbf{k}\)와 첫 번째 편극 벡터의 외적을 계산하면 효율적이에요.

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B-7. Bianchi 항등식의 확인

Bianchi 항등식

\[ \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 \]

을 \((\lambda, \mu, \nu) = (0, 1, 2)\)의 경우에 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)를 대입하여 각 항을 써 내려가고, 전체가 0이 됨을 확인하세요.

힌트

\(F_{12} = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\) 등을 대입하면 6개의 항이 나타나요. 편미분의 순서 교환 가능성 \(\partial_\mu\partial_\nu = \partial_\nu\partial_\mu\)를 사용하여, 쌍별로 상쇄됨을 보이세요.

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B-8. 광자의 분산 관계

질량이 0인 장의 파동 방정식 \(\Box A_i = 0\)에 평면파 해 \(A_i \propto e^{-i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\)를 대입하여 분산 관계 \(\omega = |\mathbf{k}|\)를 유도하세요. 이를 질량 \(m\)인 Klein-Gordon 장의 분산 관계 \(\omega = \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m^2}\)와 비교하고, 광자의 질량이 0이라는 것과의 대응 관계를 설명하세요.

힌트

\(\Box = \partial_t^2 - \nabla^2\)를 평면파에 작용시키면 \((-\omega^2 + |\mathbf{k}|^2)\)이 나와요. 이를 0으로 놓으면 돼요.

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Medium（표준）

M-1. Euler-Lagrange 방정식으로부터 Maxwell 방정식을 유도하기

Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) 에 대해, 장 \(A_\nu\) 에 대한 Euler-Lagrange 방정식

\[ \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]

을 적용하여 운동방정식 \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) 을 유도하세요. 나아가, \(\nu = 0\) 인 경우와 \(\nu = i\) 인 경우를 3차원 벡터의 언어로 써 내려가고, 각각 Gauss의 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) 과 Ampère-Maxwell의 법칙 \(\partial_t \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{B}\) 에 대응함을 보이세요.

힌트

\(\mathcal{L}\) 은 \(A_\nu\) 자체에는 의존하지 않고 \(\partial_\mu A_\nu\) 에만 의존하므로 \(\partial\mathcal{L}/\partial A_\nu = 0\) 이에요. \(\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_\mu A_\nu)\) 의 계산에서는 \(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\) 를 \(\partial_\mu A_\nu\) 로 미분해요. \(F_{\alpha\beta}\) 가 \(\partial_\mu A_\nu\) 에 대해 선형이라는 점과 반대칭성을 이용하여 정리해요. \(\nu = 0\) 에서는 \(F^{i0} = E^i\) 를 사용하고, \(\nu = i\) 에서는 \(F^{0i}\) 와 \(F^{ji}\) 의 성분을 전기장·자기장으로 바꿔 써요.

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M-2. Coulomb 게이지의 자유도 세기

아래의 절차에 따라 전자기장의 물리적 자유도가 2임을 논증하세요.

(a) \(A_\mu\) 는 4개의 성분을 가져요. \(\pi^0 = 0\) 이라는 구속 조건이 \(A_0\) 를 독립적인 역학 변수에서 제외한다는 것을 설명하세요.

(b) Coulomb 게이지 조건 \(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\) 이 나머지 3개의 성분에서 추가로 1개의 자유도를 제거한다는 것을, Fourier 공간에서 \(\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{k}) = 0\) 으로 설명하세요.

(c) 진공에서 Gauss 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) 과 Coulomb 게이지 조건을 결합하여 \(A_0 = 0\) 이 도출됨을 보이세요 (경계 조건: 무한원에서 \(A_0 \to 0\)).

(d) 이상을 종합하여, 남은 물리적 자유도가 2개의 횡편광에 대응함을 서술하세요.

힌트

(a) \(\pi^0 = 0\) 은 \(A_0\) 와 \(\pi^0\) 사이에 정준 교환 관계를 세울 수 없음을 의미해요. (b) 3차원 벡터 \(\tilde{\mathbf{A}}\) 에 대해 \(\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{A}} = 0\) 은 1개의 스칼라 조건이에요. (c) Coulomb 게이지에서 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = -\nabla^2 A_0 - \partial_t(\nabla \cdot \mathbf{A}) = -\nabla^2 A_0 = 0\) 이 되는 것을 이용하세요.

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M-3. 편극 벡터의 완전성 관계

쿨롱 게이지에서 2개의 편극 벡터 \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda)\)（\(\lambda = 1, 2\)）는 정규직교 조건

\[ \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda') = \delta_{\lambda\lambda'} \]

과 횡파 조건 \(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) = 0\)을 만족해요.

(a) 완전성 관계

\[ \sum_{\lambda=1}^{2} \epsilon_i(\mathbf{k}, \lambda)\, \epsilon_j(\mathbf{k}, \lambda) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|\mathbf{k}|^2} \]

가 성립함을 보이세요.

(b) 우변의 \(\delta_{ij} - k_i k_j / |\mathbf{k}|^2\)가 \(\mathbf{k}\) 방향으로의 사영을 제거하는 횡파 사영 연산자 (transverse projector)임을 \(k_j\)를 곱하여 확인하세요.

힌트

(a) \(\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k}/|\mathbf{k}|\)와 \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1)\), \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2)\)는 3차원 공간의 정규직교 기저를 이루어요. 3차원 단위 행렬의 완전성 관계 \(\delta_{ij} = \hat{k}_i \hat{k}_j + \sum_\lambda \epsilon_i \epsilon_j\)를 사용하세요. (b) \((\delta_{ij} - k_i k_j/|\mathbf{k}|^2) k_j\)를 계산하세요.

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M-4. Coulomb 게이지에서의 정준 교환관계와 횡파 델타 함수

Coulomb 게이지에서 \(\mathbf{A}\)의 Fourier 전개 (6.20)와 생성·소멸 연산자의 교환관계

\[ [a(\mathbf{k}, \lambda),\, a^\dagger(\mathbf{k}', \lambda')] = (2\pi)^3 \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}') \delta_{\lambda\lambda'} \]

로부터, 등시각 교환관계

\[ [A_i(\mathbf{x}, t),\, \pi_j(\mathbf{y}, t)] = i\delta_{ij}^{\perp}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

를 유도하세요. 여기서 \(\pi_j = E_j = \dot{A}_j\) (Coulomb 게이지)이며, \(\delta_{ij}^{\perp}\)는 횡파 델타 함수

\[ \delta_{ij}^{\perp}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \left(\delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|\mathbf{k}|^2}\right) e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \]

예요. 통상적인 \(i\delta_{ij}\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)가 아니라 횡파 델타 함수가 나타나는 물리적 이유를 설명하세요.

힌트

\(A_i\)와 \(\dot{A}_j\)의 Fourier 전개를 대입하고, \([a, a^\dagger]\)의 교환관계를 사용해요. 편극 벡터의 합은 S3의 완전성 관계로 처리해요. 물리적 이유로는, Coulomb 게이지 조건 \(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\)이 \(A_i\)의 종파 성분을 배제하고 있기 때문에, 교환관계에도 횡파 사영이 반영된다는 점을 서술하세요.

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Advanced（발전）

A-1. Proca 장（질량이 있는 벡터장）과의 비교

질량 \(m\)을 가지는 벡터장의 Lagrangian（Proca (프로카) Lagrangian）은

\[ \mathcal{L}_{\text{Proca}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}m^2 A_\mu A^\mu \]

으로 주어져요.

(a) Euler-Lagrange 방정식을 유도하고, 운동 방정식이

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0 \]

임을 보이세요.

(b) 위 운동 방정식의 양변에 \(\partial_\nu\)를 작용시켜, \(\partial_\nu A^\nu = 0\)（Lorenz 조건）이 \(m \neq 0\)인 경우에 운동 방정식의 귀결로서 자동적으로 성립함을 보이세요.

(c) 이 결과를 이용하여, 질량이 있는 벡터장의 물리적 자유도가 3개（2개의 횡편광 + 1개의 종편광）임을 자유도의 수 세기를 통해 논하세요.

(d) \(m \to 0\)의 극한에서 종편광이 소실되고, 게이지 대칭성이 회복되는 과정을 정성적으로 논의하세요. 이 논의는 제 17 장 이후에서 배우는 Higgs 기구（힉스 기구）와 어떻게 관련되는지, 예상을 서술하세요.

힌트

(a) \(\partial\mathcal{L}/\partial A_\nu = m^2 A^\nu\)에 주의하세요. (b) \(\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu}\)는 \(F^{\mu\nu}\)의 반대칭성으로부터 0이 돼요. (c) \(A_\mu\)는 4성분, \(\partial_\nu A^\nu = 0\)이 1개의 구속 조건으로 \(4 - 1 = 3\)이에요. 게이지 대칭성이 없으므로 추가적인 게이지 고정은 불필요해요. (d) \(m = 0\)에서는 질량항이 게이지 대칭성을 깨고 있기 때문에, \(m \to 0\)에서 대칭성이 회복되고, 게이지 자유도가 1개 증가하여 \(3 \to 2\) 자유도가 돼요. Higgs 기구는 이 역과정（게이지 장이 질량을 획득하고, 자유도가 \(2 \to 3\)으로 증가하는 것）에 대응해요.

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A-2. 게이지 고정항을 포함한 Lagrangian과 광자 전파함수

Lorenz 게이지 조건 \(\partial_\mu A^\mu = 0\)을 실현하기 위해 게이지 고정항을 더한 Lagrangian

\[ \mathcal{L}_{\text{gf}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2 \]

을 생각해요. 여기서 \(\xi\)는 게이지 매개변수 (gauge parameter)예요.

(a) 이 Lagrangian으로부터 \(A_\nu\)에 대한 Euler-Lagrange 방정식을 유도하고,

\[ \left[\eta^{\mu\nu}\Box - \left(1 - \frac{1}{\xi}\right)\partial^\mu \partial^\nu\right] A_\nu = 0 \]

임을 보이세요.

(b) 운동량 공간에서 \(A_\nu(x) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \tilde{A}_\nu(k)\, e^{-ikx}\)로 Fourier 변환하고, 위의 방정식을 \(\tilde{A}_\nu\)에 대한 대수 방정식으로 다시 쓰세요.

(c) 광자 전파함수(Feynman 전파함수) \(D_F^{\mu\nu}(k)\)를 위의 미분 연산자의 역행렬로서 구하고,

\[ D_F^{\mu\nu}(k) = \frac{-1}{k^2 + i\epsilon}\left[\eta^{\mu\nu} - (1 - \xi)\frac{k^\mu k^\nu}{k^2}\right] \]

가 됨을 보이세요. 특히 \(\xi = 1\) (Feynman 게이지)에서 전파함수가 가장 간단한 형태 \(D_F^{\mu\nu} = -\eta^{\mu\nu}/(k^2 + i\epsilon)\)가 됨을 확인하세요.

(d) \(\xi = 0\) (Landau (란다우) 게이지)의 경우에 전파함수가 어떻게 되는지 써 내리고, \(k_\mu D_F^{\mu\nu}(k) = 0\)이 성립함을 확인하세요. 이것이 Lorenz 조건 \(\partial_\mu A^\mu = 0\)의 운동량 공간에서의 표현임을 설명하세요.

힌트

(a) \(\mathcal{L}\)을 \(A_\nu\)로 Euler-Lagrange 할 때, \(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)의 기여는 S1과 동일해요. 게이지 고정항 \(-\frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2\)로부터의 기여를 계산하세요. (b) \(\partial_\mu \to -ik_\mu\)로 치환해요. (c) 역행렬을 구하려면 \(\eta^{\mu\nu}\)와 \(k^\mu k^\nu / k^2\)의 두 독립적인 텐서 구조의 선형결합으로 \(D_F^{\mu\nu}\)를 가정하고, 미분 연산자와의 곱이 \(\eta^\mu{}_\nu\)가 되는 조건으로부터 계수를 결정하세요. (d) \(\xi = 0\)을 대입하고 \(k_\mu\)를 곱하여 축약하세요.

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