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부록 C 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 지표의 올림과 내림

민코프스키 계량 \(\eta_{\mu\nu}\)를 사용하여, 4원벡터 \(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\)의 아래 첨자 성분 \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\)를 계산하세요.

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B-2. Kronecker 델타의 축약

Einstein의 축약 규칙을 사용하여, Kronecker 델타 \(\delta^\mu_\nu\)（\(\mu = \nu\)일 때 1, 그 외에는 0）와 반변 벡터 \(A^\nu\)의 축약

\[ \delta^\mu_\nu A^\nu \]

을 계산하세요.

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B-3. 구면의 계량과 역계량

2차원 구면(반지름 \(R\))의 계량 \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\) 으로부터 \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\phi\phi}\), \(g_{\theta\phi}\) 를 읽어내세요. 역계량 \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\phi\phi}\) 도 구하세요.

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B-4. Schwarzschild 계량의 점근 Minkowski

공변미분과 곡률（C.5-C.6）

Schwarzschild 계량

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2 \]

에서 \(r \to \infty\) 의 극한을 취하면 Minkowski 계량에 점근함을 보이세요.

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B-5. 평탄한 공간에서 Christoffel 기호가 0

평탄한 공간(\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\))에서 모든 Christoffel 기호가 0임을 확인하세요.

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B-6. 평탄 공간에서의 측지선이 등속 직선 운동

측지선 방정식 \(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\) 이 \(\Gamma = 0\) 일 때 등속 직선 운동 \(\ddot{x}^\mu = 0\) 으로 귀착됨을 확인하세요.

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Medium（표준）

M-1. 4원운동량과 질량껍질 조건

4원운동량 \(p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)\) 의 내적 \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu\) 를 계산하고, \(p^\mu p_\mu = -m^2c^2\) 가 상대론적 에너지-운동량 관계 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) 와 동치임을 보이세요.

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M-2. 극좌표의 계량과 \(r=0\) 에서의 거동

극좌표 \((r, \theta)\) 에서의 2차원 평탄 공간의 계량 \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\) 를 적어내고, \(g_{rr}\), \(g_{\theta\theta}\) 를 읽어내세요. \(r = 0\) 에서 무엇이 일어나는지 논의하세요.

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M-3. 구면의 \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\)

2차원 구면의 계량으로부터 \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\)를 크리스토펠 기호의 공식으로 계산하세요.

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Advanced（발전）

A-1. Bianchi 항등식과 에너지 보존

Einstein 방정식의 좌변 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) 가 \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) (Bianchi 항등식의 귀결)을 만족한다는 것을 인정하고, 이것이 우변의 에너지-운동량 보존 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) 과 정합적임을 설명하세요.

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