콘텐츠로 이동

제 5 장 연습문제

← 본문으로 돌아가기　|　풀이 보기

목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Clifford 대수의 기본 계산

Clifford (클리포드) 대수 \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\) 를 이용하여 다음을 계산하세요. 단, \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) 로 합니다.

(a) \(\gamma^0 \gamma^0\)

(b) \(\gamma^2 \gamma^2\)

(c) \(\gamma^1 \gamma^3 + \gamma^3 \gamma^1\)

(d) \(\gamma^0 \gamma^2 \gamma^0\) (힌트를 참조하여 단계적으로 계산할 것)

힌트

(a)–(c)는 \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\) 에 \(\mu, \nu\) 를 직접 대입하기만 하면 돼요. (d)에서는 먼저 \(\gamma^0 \gamma^2 = -\gamma^2 \gamma^0\) (서로 다른 첨자의 반교환성)을 사용하여 \(\gamma^0\) 를 오른쪽으로 이동시키세요.

→ 풀이 보기

B-2. \(\gamma^\mu \gamma_\mu\) 의 계산

\(\gamma^\mu \gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\mu \gamma^\nu\) 를 Clifford 대수의 반교환 관계를 이용하여 계산하고, 결과가 \(d\,\mathbf{1}\) (\(d\)는 시공간 차원)이 됨을 보이세요. 여기서는 \(d = 4\)로 놓고 구체적인 값을 구하세요.

힌트

\(\gamma^\mu \gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\mu \gamma^\nu\) 를 대칭 부분으로 다룹니다. \(\eta_{\mu\nu}\gamma^\mu \gamma^\nu = \eta_{\mu\nu} \cdot \frac{1}{2}\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = \eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\) 로 변형하고, \(\eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = d\) 를 사용합시다.

→ 풀이 보기

B-3. Dirac 켤레의 변환

Dirac 켤레 (Dirac adjoint) \(\bar{\psi} \equiv \psi^\dagger \gamma^0\) 의 정의를 이용하여 다음을 보이세요.

(a) \(\overline{(\gamma^\mu \psi)} = \bar{\psi}\gamma^\mu\) 를 보이세요. 단, \(\gamma^0\) 의 에르미트성 \((\gamma^0)^\dagger = \gamma^0\) 및 공간 성분의 반에르미트성 \((\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i\) 을 사용해도 좋아요.

(b) 위의 결과를 이용하여 \(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\) 가 실수(즉, \((\bar{\psi}\gamma^\mu\psi)^\dagger = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi\))임을 보이세요.

힌트

(a) 먼저 \((\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0\) 이 성립함을 \(\mu = 0\) 인 경우와 \(\mu = i\) 인 경우로 나누어 확인해 봅시다. 이를 사용하면 \((\gamma^\mu \psi)^\dagger \gamma^0 = \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0 \gamma^0 = \bar{\psi}\gamma^\mu\) 로 정리할 수 있어요. (b) 에서는 스피너의 성분을 명시적으로 쓰거나, (a) 의 결과를 직접 적용해 보세요.

→ 풀이 보기

B-4. Lorentz 대수의 재조합

본문의 식 (5.4)에서 정의된 생성자

\[ J^i_+ = \frac{1}{2}(J^i + iK^i), \qquad J^i_- = \frac{1}{2}(J^i - iK^i) \]

를 이용하여, \([J^i_+, J^j_-] = 0\) (식 (5.5c))을 유도하세요. 중간 계산을 생략하지 말고, 식 (5.3a)–(5.3c)의 교환 관계를 하나씩 대입하세요.

힌트

본문에서 \([J^i_+, J^j_+]\)를 계산한 절차와 완전히 동일해요. \([J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}[(J^i + iK^i),(J^j - iK^j)]\)를 전개하고, 4개의 교환자 \([J^i,J^j]\), \([J^i,-iK^j]\), \([iK^i,J^j]\), \([iK^i,-iK^j]\)를 각각 계산하여 더해 봅시다. \(K\) 항과 \(J\) 항이 각각 상쇄되어야 해요.

→ 풀이 보기

B-5. 스피너 표현의 부스트 생성자

왼손 Weyl(바일) 스피너 \((1/2, 0)\)의 부스트 생성자는 \(\mathbf{K}_L = -i\boldsymbol{\sigma}/2\)예요. \(x\) 방향으로 rapidity(래피디티) \(\eta\)의 부스트를 수행하는 변환 행렬

\[ S_L = \exp\left(-i\eta \, K_L^1\right) = \exp\left(-\frac{\eta}{2}\sigma^1\right) \]

을, \(\sigma^1\)의 성질 \((\sigma^1)^2 = \mathbf{1}\)을 이용하여 \(\cosh\)와 \(\sinh\)로 명시적으로 써 보세요.

힌트

\(e^{-\frac{\eta}{2}\sigma^1}\)을 Taylor 전개하고, \((\sigma^1)^{2n} = \mathbf{1}\), \((\sigma^1)^{2n+1} = \sigma^1\)을 사용하여 짝수 차수와 홀수 차수를 분리하세요. \(\cosh\)와 \(\sinh\)의 급수 정의와 비교해 보세요.

→ 풀이 보기

B-6. Dirac 장의 Euler-Lagrange 방정식（\(\psi\) 변분）

라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi\)에 대해, \(\psi\)（\(\bar{\psi}\)가 아닌）에 관한 Euler-Lagrange 방정식

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \bar{\psi}_\alpha} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \bar{\psi}_\alpha)} = 0 \]

을 계산하고, 디랙 방정식의 켤레 방정식

\[ i\partial_\mu \bar{\psi}\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0 \]

을 유도하세요. 여기서 \(\alpha\)는 스피너 성분의 첨자예요.

힌트

\(\mathcal{L}\)을 부분적분하여 \(\bar{\psi}\)에 미분을 옮기거나, 또는 직접 \(\bar{\psi}_\alpha\)로 편미분해요. \(\mathcal{L} = i\bar{\psi}_\alpha (\gamma^\mu)_{\alpha\beta}\partial_\mu \psi_\beta - m\bar{\psi}_\alpha \psi_\alpha\)와 같이 성분을 명시하면 계산하기 쉬워져요. \(\partial_\mu \bar{\psi}\)를 포함하는 항을 놓치지 않도록 주의하세요（부분적분이 필요해요）.

→ 풀이 보기

B-7. 켤레 운동량의 확인

본문의 식 (5.8)에서 \(\Pi = i\psi^\dagger\)가 얻어졌어요. 이 결과를 성분으로 확인하세요. 즉, \(\mathcal{L} = i\psi^\dagger_\alpha (\gamma^0)_{\alpha\beta}(\gamma^\mu)_{\beta\gamma}\partial_\mu \psi_\gamma - m\psi^\dagger_\alpha (\gamma^0)_{\alpha\beta}\psi_\beta\)로 썼을 때, \(\Pi_\alpha = \partial \mathcal{L}/\partial \dot{\psi}_\alpha\)를 계산하여 \(\Pi_\alpha = i\psi^\dagger_\alpha\)가 됨을 확인하세요.

힌트

\(\dot{\psi}_\alpha = \partial_0 \psi_\alpha\)를 포함하는 항은 \(\mu = 0\) 항뿐이에요. \(i\psi^\dagger_\alpha (\gamma^0)_{\alpha\beta}(\gamma^0)_{\beta\gamma}\partial_0 \psi_\gamma = i\psi^\dagger_\alpha [(\gamma^0)^2]_{\alpha\gamma}\partial_0 \psi_\gamma\)를 사용하고, \((\gamma^0)^2 = \mathbf{1}\)을 대입하세요.

→ 풀이 보기

B-8. Hamiltonian 밀도의 유도

본문의 식 (5.9)의 유도를 완성하세요. Legendre 변환

\[ \mathcal{H} = \Pi \dot{\psi} - \mathcal{L} \]

에 \(\Pi = i\psi^\dagger\), \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\)를 대입하고, \(\mathcal{L}\)를 \(\mu = 0\) 성분과 \(\mu = j\) (공간 성분)로 분리하여, 식 (5.9)

\[ \mathcal{H} = \psi^\dagger(-i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m\gamma^0)\psi \]

를 얻으세요.

힌트

\(\mathcal{L} = i\bar{\psi}\gamma^0\partial_0\psi + i\bar{\psi}\gamma^j\partial_j\psi - m\bar{\psi}\psi\)로 분해해요. \(\bar{\psi}\gamma^0 = \psi^\dagger(\gamma^0)^2 = \psi^\dagger\)이므로, 제1항은 \(i\psi^\dagger\dot{\psi} = \Pi\dot{\psi}\)예요. 이것이 Legendre 변환에서 \(\Pi\dot{\psi}\)와 상쇄되고, 나머지 항이 \(\mathcal{H}\)가 돼요. \(\bar{\psi}\gamma^j = \psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\)임에 주의하세요.

→ 풀이 보기

B-9. 스칼라 장의 반교환 관계와 인과율의 파괴

실 스칼라 장 \(\phi(x)\) 에 대해 교환 관계가 아닌 반교환 관계 \(\{\phi(x), \phi(y)\} = i\Delta(x-y)\) 를 부과했다고 가정하세요. 공간적으로 떨어진 두 점 \((x - y)^2 < 0\) 에 대해 \(\{\phi(x), \phi(y)\} \neq 0\) 이 됨（인과율의 파괴）을 보이세요. 교환 관계의 경우에 인과율이 유지되는 이유와 대비하여 설명하세요.

힌트

\(\Delta(x-y) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2\omega_p}(e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{ip\cdot(x-y)})\) 는 홀함수예요. 반교환 관계에서는 \(+\) 부호가 되어 짝함수（공간적 영역에서도 영이 되지 않음）가 돼요.

→ 풀이 보기

Medium（표준）

M-1. 교환관계에 의한 양자화의 파탄

Dirac 장의 모드 전개

\[ \hat{\psi}(x) = \sum_{s=1}^{2}\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\, u^s(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x} + \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\, v^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x}\right] \]

를 생각해요. 여기서 \(u^s(\boldsymbol{p})\), \(v^s(\boldsymbol{p})\)는 Dirac 방정식의 양·음 에너지 해이고, \(E_{\boldsymbol{p}} = \sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}\)이에요.

(a) 만약 \(\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\), \(\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\)에 대해 교환관계

\[ [\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}] = (2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}), \qquad [\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}] = -(2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \]

를 부과하면, 해밀토니안이

\[ \hat{H} = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{상수}) \]

의 형태가 됨을 보이세요（완전한 유도가 아니어도 괜찮아요. \(d\) 섹터의 부호에 주목하여 논의하세요）.

(b) 위의 결과로부터, \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\)를 반복적으로 작용시키면 에너지를 얼마든지 낮출 수 있음을 설명하고, 이것이 물리적으로 받아들일 수 없는 이유를 서술하세요.

(c) 대신 반교환관계

\[ \{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}), \qquad \{\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \]

를 부과하면, \(d\) 섹터의 부호가 역전되어 해밀토니안이 양정치(영점 에너지를 제외하고)가 됨을 보이세요.

힌트

(a) 모드 전개를 해밀토니안에 대입하고, 스피너의 완전성 관계 \(\sum_s u^s(\boldsymbol{p})\bar{u}^s(\boldsymbol{p}) = \not\!p + m\) 등을 사용하여 정리해요. \(d\) 섹터에서 교환관계 \(\hat{d}\hat{d}^\dagger = \hat{d}^\dagger\hat{d} + [\hat{d},\hat{d}^\dagger]\)의 부호가 \(-1\)인 것이 핵심이에요. (b) \(\hat{d}^{s\dagger}\)가 "음의 에너지 입자"를 생성하는 연산자로 기능해 버리는 것을 논의하세요. (c) 반교환관계에서는 \(\hat{d}\hat{d}^\dagger = -\hat{d}^\dagger\hat{d} + \{\hat{d},\hat{d}^\dagger\}\)가 되어 부호가 바뀌는 것을 확인하세요.

→ 풀이 보기

M-2. Pauli 배타 원리의 유도

반교환 관계 \(\{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\) 를 이용하여 다음을 보이세요.

(a) \((\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2 = 0\) 을 보이세요.

(b) 이 결과가, 동일한 양자수 \((\boldsymbol{p}, s)\) 를 가진 페르미온을 2개 이상 같은 상태에 놓을 수 없다는 것(Pauli (파울리) 배타 원리)을 의미함을 설명하세요.

(c) 스칼라장의 교환 관계 \([\hat{a}_{\boldsymbol{p}}, \hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{q}}] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\) 의 경우에는 \((\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{p}})^n |0\rangle \neq 0\) (\(n\) 은 임의의 양의 정수)인 것과 대비하세요.

힌트

(a) \(\{\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\} = 2(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2\) 를 계산해 봅시다. 반교환 관계에서 \(r=s\), \(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{q}\) 로 놓은 식과는 별도로, \(\{\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{r\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = 0\) 이라는 관계가 필요해요. (c) 보손의 경우는 \((\hat{a}^\dagger)^n |0\rangle = \sqrt{n!}|n\rangle\) 임을 떠올려 보세요.

→ 풀이 보기

M-3. Dirac 장의 등시각 반교환 관계

모드 전개와 기본적인 반교환 관계

\[ \{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}), \qquad \{\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \]

(다른 반교환자는 모두 영)로부터 출발하여, 등시각 반교환 관계

\[ \{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t)\} = \delta_{\alpha\beta}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \]

를 유도하세요. 여기서 \(\alpha, \beta\)는 스피너 성분의 첨자예요. 스피너의 완전성 관계

\[ \sum_{s=1}^{2} u^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, u^{s\dagger}_\beta(\boldsymbol{p}) + \sum_{s=1}^{2} v^s_\alpha(-\boldsymbol{p})\, v^{s\dagger}_\beta(-\boldsymbol{p}) = 2E_{\boldsymbol{p}}\,\delta_{\alpha\beta} \]

를 사용해도 좋아요.

힌트

모드 전개를 대입하여 반교환자를 계산하면, \(b\)와 \(d\)의 교차항은 사라져요(\(\{b, d^\dagger\} = 0\) 등의 이유로). \(b\) 부분과 \(d\) 부분으로부터의 기여를 더한 뒤, 운동량 적분 안에 스피너의 완전성 관계가 나타나는 것을 확인하세요. \(v^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x}\) 항에서는 적분 변수 \(\boldsymbol{p} \to -\boldsymbol{p}\)의 치환이 유용해요.

→ 풀이 보기

M-4. Noether 커런트와 페르미온 수의 보존

Dirac 장의 Lagrangian \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\not\!\partial - m)\psi\) 는 대역적 \(U(1)\) 변환

\[ \psi \to e^{i\alpha}\psi, \qquad \bar{\psi} \to \bar{\psi}\, e^{-i\alpha} \]

하에서 불변이에요.

(a) Noether의 정리를 이용하여 보존 커런트 \(j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi\) 를 유도하세요.

(b) 대응하는 보존 전하

\[ \hat{Q} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger \hat{\psi} \]

를 모드 전개로 다시 쓰고,

\[ \hat{Q} = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{상수}) \]

의 형태가 됨을 보이세요.

(c) 이 결과로부터 \(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) 가 생성하는 입자와 \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) 가 생성하는 입자의 전하가 반대 부호임을 읽어내고, \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) 가 반입자의 생성 연산자임을 설명하세요.

힌트

(a) 미소 변환 \(\delta\psi = i\alpha\psi\) 에 대한 Noether 커런트의 공식 \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\delta\psi + \delta\bar{\psi}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})}\) 를 사용해요. (b) \(\hat{Q} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger\hat{\psi}\) 에 모드 전개를 대입하고, 공간 적분에서 \(e^{i(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{x}}\) 가 \(\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\) 를 생성하는 것을 이용해요. \(b\)-\(d\) 교차항은 직교성（\(u^\dagger v\) 형의 항）으로 사라져요.

→ 풀이 보기

Advanced（발전）

A-1. 스핀과 통계의 정리——인과율로부터의 논의

Dirac 장에 대해, 공간적으로 떨어진 두 점 \((x - y)^2 < 0\) 에서의 인과율(측정의 독립성)을 논의해요.

(a) 스칼라 장(보손)에서는 교환관계를 부과한 경우에 공간적 간격에서 \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0\) 이 성립함을 제 4 장의 결과를 인용하여 서술하세요.

(b) Dirac 장에 대해, 만약 교환관계를 부과한 경우, 공간적 간격에서 \([\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)] \neq 0\) 이 되어 인과율이 깨짐을 양에너지·음에너지 기여의 상쇄가 일어나지 않음으로부터 논의하세요.

(c) 반교환관계를 부과한 경우에는 \(\{\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)\} = 0\) (\((x-y)^2 < 0\))이 성립함을 보이고, 이것이 인과율과 정합하는 이유를 설명하세요. 특히, 물리적 관측량(페르미온 장의 쌍일차형식 \(\bar{\psi}\Gamma\psi\) 등)의 교환관계가 공간적 간격에서 영이 됨을 논하세요.

(d) 이상의 논의를 일반화하여, "정수 스핀의 장은 보손(교환관계), 반정수 스핀의 장은 페르미온(반교환관계)이어야 한다"는 스핀과 통계의 정리(spin-statistics theorem)의 물리적 요청을, (i) 에너지의 양의 정부호성과 (ii) 인과율의 두 관점에서 정리하세요.

힌트

(a) 제 4 장에서 보인 \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\) 의 Lorentz 불변성과, 등시각 \(x^0 = y^0\) 에서의 소멸을 떠올려 보세요. (b) 보손의 경우, 입자와 반입자의 전파진폭이 공간적 간격에서 상쇄되는 것은 양자가 같은 통계를 따르기 때문이에요. 페르미온에 교환관계를 부과하면, 이 상쇄에 필요한 상대 부호를 얻을 수 없어요. (c) 반교환관계에서는 \(\hat{\psi}(x)\bar{\hat{\psi}}(y) = -\bar{\hat{\psi}}(y)\hat{\psi}(x) + \{\hat{\psi}(x), \bar{\hat{\psi}}(y)\}\) 이며, 반교환자가 영이면 장의 순서를 바꾸면 부호만 변해요. 페르미온 장의 관측량은 반드시 짝수 개의 페르미온 장의 곱으로 쓰인다는 점에 주의하세요. (d) S1의 결과와 본 문제의 결과를 조합하세요.

→ 풀이 보기

A-2. \(C\), \(P\), \(T\) 변환과 \(CPT\) 정리

Dirac 장에 대한 이산 대칭성 \(C\)(전하 켤레 (charge conjugation)), \(P\)(공간 반전 (parity)), \(T\)(시간 반전 (time reversal))를 생각해요.

(a) 패리티 변환 \(P\) 하에서 Dirac 장이

\[ \hat{P}\hat{\psi}(t, \boldsymbol{x})\hat{P}^{-1} = \eta_P \gamma^0 \hat{\psi}(t, -\boldsymbol{x}) \]

로 변환된다고 해요(\(\eta_P\)는 위상 인자). 이 변환 규칙 하에서 Dirac 방정식 \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\)이 불변임을 보이세요.

(b) 전하 켤레 변환 \(C\)를

\[ \hat{C}\hat{\psi}(x)\hat{C}^{-1} = \eta_C \, C\,\bar{\hat{\psi}}^T(x) \]

로 정의해요. 여기서 \(C\)는 전하 켤레 행렬로 \(C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu\)를 만족해요. 모드 전개를 이용하여 \(C\) 변환이 입자와 반입자를 교환하는 것(\(\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} \leftrightarrow \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\))을 보이세요.

(c) \(CPT\) 변환의 곱을 Dirac 장에 작용시켰을 때, Lagrangian \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\not\!\partial - m)\psi\)이 불변임을 확인하세요. \(CPT\) 정리가 Lorentz 불변성과 국소성으로부터 유도되는 일반적 정리임을 언급하면서, 이 구체적 예에서의 불변성을 보이세요.

힌트

(a) \(\psi'(t, \boldsymbol{x}) = \eta_P \gamma^0 \psi(t, -\boldsymbol{x})\)를 Dirac 방정식에 대입해요. \(\partial_0\)는 변하지 않지만, \(\partial_i \to -\partial_i'\)가 되는 것에 주의하세요. \(\gamma^0 \gamma^i \gamma^0 = -\gamma^i\)를 사용해요. (b) \(\bar{\psi}^T\)의 모드 전개를 써 내리고, \(C\) 행렬이 \(u\) 스피너와 \(v\) 스피너를 연결하는 것(\(C\bar{u}^T \propto v\) 등)을 이용해요. (c) 각 변환을 순서대로 적용하거나, \(CPT\) 변환의 합성을 한 번에 써 내려요. \(CPT\)는 장을 \(\hat{\psi}(x) \to \gamma^5 \hat{\psi}^c(-x)\)와 같은 형태로 변환하는 것을 확인하세요. \(\gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\)의 성질이 필요해요.

→ 풀이 보기