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부록 H 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 중심 전하의 일반 공식

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풀이:

일반 공식 \(c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)에 대입해요.

(a) \(\lambda = 2\): $$ c = -2(6 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 1) = -2(24 - 12 + 1) = -2 \cdot 13 = \boxed{-26} $$

(b) \(\lambda = 3/2\): $$ c = -2\left(6 \cdot \frac{9}{4} - 6 \cdot \frac{3}{2} + 1\right) = -2\left(\frac{27}{2} - 9 + 1\right) = -2 \cdot \frac{11}{2} = \boxed{-11} $$

주: \(\beta\gamma\) 계는 보손적인 반교환장(통계가 반대)이므로, 공식의 전체 부호가 반전되어 유효 중심 전하는 \(\boxed{+11}\)이 돼요(본문 H.7「일반 \(\lambda\)의 경우 — 공식 \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)」 참조).

(c) \(\lambda = 1/2\): $$ c = -2\left(6 \cdot \frac{1}{4} - 6 \cdot \frac{1}{2} + 1\right) = -2\left(\frac{3}{2} - 3 + 1\right) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \boxed{+1} $$

자유 페르미온 1개의 중심 전하 \(c = 1/2\)와 정합시키기 위해, 이 공식은 복소 페르미온(실수 성분 2개)에 대한 것이에요.

(d) \(\lambda = 0\): $$ c = -2(0 - 0 + 1) = \boxed{-2} $$

Medium（표준）

M-1. \(T_{\text{ghost}} b\) OPE

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풀이:

\(T_{\text{ghost}}(z) = \alpha\, :b(z)\partial c(z): + \beta\, :\partial b(z)\, c(z):\) 를 가정하고, \(T_{\text{ghost}}(z)\, b(w)\) 의 OPE를 Wick의 정리로 계산해요.

기본 OPE \(b(z)c(w) \sim 1/(z-w)\) 로부터:

\[ \langle \partial c(z)\, b(w)\rangle = \partial_z\frac{1}{z-w} = -\frac{1}{(z-w)^2} \]
\[ \langle c(z)\, b(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \]

제1항 \(\alpha :b\partial c:(z)\, b(w)\):

\(\partial c(z)\) 와 \(b(w)\) 를 축약하고, \(b(z)\) 는 남겨요. 반교환장의 부호를 고려하면:

\[ \alpha \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{1}{(z-w)^2}\right) \cdot b(z) = \frac{\alpha\, b(z)}{(z-w)^2} \]

\(b(z) = b(w) + (z-w)\partial b(w) + \cdots\) 로 전개하면:

\[ = \frac{\alpha\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\alpha\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

제2항 \(\beta :\partial b\, c:(z)\, b(w)\):

\(c(z)\) 와 \(b(w)\) 를 축약하고, \(\partial b(z)\) 는 남겨요:

\[ \beta \cdot (-1) \cdot \frac{1}{z-w} \cdot \partial b(z) = -\frac{\beta\, \partial b(z)}{z-w} \]

\(\partial b(z) = \partial b(w) + (z-w)\partial^2 b(w) + \cdots\) 로 전개하면:

\[ = -\frac{\beta\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

합계:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) = \frac{\alpha\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{(\alpha - \beta)\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

1차장의 형태 \(\frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w}\) 와 비교하면:

  • \(\alpha = \lambda\)
  • \(\alpha - \beta = 1 \Rightarrow \beta = \lambda - 1 = -(1-\lambda)\)

따라서:

\[ \boxed{T_{\text{ghost}} = \lambda\, :b\partial c: - (1-\lambda)\, :\partial b\, c:} \]

주: 본문 H.5「\(bc\) 계의 에너지-운동량 텐서」 의 표기 \(T_{\text{ghost}} = -\lambda :bc': + (1-\lambda):b'c:\) 와는 전체 부호가 반대이지만, 이는 켤레장의 정의(\(b \leftrightarrow \bar{b}\) 나 \(:bc:\) 의 순서 선택)의 차이에 의한 것이에요. 물리적인 결론(중심 전하 \(-26\))은 동일해요.

Advanced（발전）

A-1. 초끈의 임계 차원 \(D=10\) 의 도출

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풀이:

초끈의 전체 중심 전하:

\[ c_{\text{total}} = c_{\text{matter}} + c_{bc} + c_{\beta\gamma} \]

각 항을 써 내려가면:

  • 물질장: \(D\) 개의 보손(각 \(c = 1\))과 \(D\) 개의 페르미온(각 \(c = 1/2\))
\[ c_{\text{matter}} = D \cdot 1 + D \cdot \frac{1}{2} = \frac{3D}{2} \]
  • 재매개변수화 고스트: \(c_{bc} = -26\)
  • 초대칭 고스트: \(c_{\beta\gamma} = +11\)

\(c_{\text{total}} = 0\) 조건:

\[ \frac{3D}{2} - 26 + 11 = \frac{3D}{2} - 15 = 0 \]
\[ \frac{3D}{2} = 15 \;\Longrightarrow\; \boxed{D = 10} \]

A-2. 물질장 중심전하의 감소

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해답:

  • 보손 끈：물질장은 \(D = 26\)개의 보손만 $$ c_{\text{matter}}^{\text{보손 끈}} = 26 \cdot 1 = 26 $$ 고스트는 \(c_{bc} = -26\)만. \(c_{\text{total}} = 26 - 26 = 0\) ✓

  • 초끈：문제 H.3에서 \(D = 10\) $$ c_{\text{matter}}^{\text{초끈}} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15 $$ 고스트는 \(c_{bc} + c_{\beta\gamma} = -26 + 11 = -15\). \(c_{\text{total}} = 15 - 15 = 0\) ✓

해석: \(\beta\gamma\) 계의 중심전하 \(+11\)이 고스트 전체의 기여를 \(-15\)까지 "경감"해요. 이에 맞추어 물질장도 \(26 \to 15\)까지 줄일 수 있으므로, 필요한 시공간 차원이 \(D = 26 \to 10\)으로 낮아져요. 초대칭성의 도입이 시공간 차원의 감소와 불가분의 관계에 있다는 것을 알 수 있어요.