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부록 C 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 기본 가우스 적분의 계산

다음 가우스 적분을 식 (C.1)을 이용하여 구하세요.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-3q^2} \]
힌트

\(e^{-3q^2} = e^{-\frac{a}{2}q^2}\)와 비교하여 \(a = 6\)으로 읽어내세요.

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B-2. 소스가 있는 가우스 적분의 완전제곱식

다음 적분을 완전제곱식 방법을 사용하여 계산하세요.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-2q^2 + 6q} \]
힌트

지수를 \(-\frac{a}{2}q^2 + bq\) 의 형태로 정리하고, 식 (C.3)（\(J \to -b\) 의 치환）을 적용하세요. 먼저 \(a = 4\), \(b = 6\) 을 확인하세요.

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B-3. \(q^n\) 을 포함하는 가우스 적분 (점화식의 적용)

점화식 (C.7)을 반복적으로 사용하여, 다음 적분을 계산하세요.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^6 \, e^{-\frac{1}{2}q^2} \]
힌트

\(a = 1\)로 놓고 \(I_6(1) = \frac{5}{1}\,I_4(1)\)에서 출발하여, \(I_4(1) = 3\,I_2(1)\), \(I_2(1) = I_0(1) = \sqrt{2\pi}\)로 순서대로 내려가세요. 이중 계승 \((2m-1)!! = 15\) (\(m=3\))을 사용해도 좋아요.

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B-4. 홀수 차수 가우스 적분이 0이 되는 것의 확인

피적분함수의 대칭성을 이용하여, 다음 적분이 0이 되는 것을 설명하세요.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^3 \, e^{-\frac{a}{2}q^2} \qquad (\mathrm{Re}(a) > 0) \]
힌트

\(q \to -q\) 의 변수 변환을 수행하여, 피적분함수가 홀함수임을 보이세요.

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B-5. 2변수 가우스 적분

행렬

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

에 대해, 식 (C.8)을 이용하여 다음 적분을 구하세요.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 \int_{-\infty}^{\infty} dq_2 \; e^{-\frac{1}{2}(q_1, q_2)\,A\begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix}} \]
힌트

\(\det A = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5\)를 계산하고, 식 (C.8)에 \(n = 2\)를 대입해요.

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B-6. Grassmann 수의 반교환 관계 전개

3개의 독립적인 Grassmann(그라스만) 수 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\)에 대해, 다음 곱을 간단히 하세요.

\[ (\eta_1 + \eta_2)(\eta_2 + \eta_3) \]
힌트

분배법칙으로 전개하고, \(\eta_i^2 = 0\) 및 \(\eta_i\eta_j = -\eta_j\eta_i\)를 적용하세요.

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B-7. Berezin 적분의 기본 계산

Berezin 적분의 정의 (C.16)을 이용하여, 다음 적분을 계산하세요.

\[ \int d\eta \; (3 + 5\eta) \]
힌트

\(\int d\eta\;1 = 0\)과 \(\int d\eta\;\eta = 1\)을 각 항에 적용해요.

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B-8. 1변수 Grassmann 가우스 적분

독립적인 Grassmann 변수 \(\bar{\eta}, \eta\)에 대해, 식 (C.18)을 직접 검증하는 형태로 다음을 계산하세요.

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta \; e^{-5\bar{\eta}\eta} \]
힌트

\(e^{-5\bar{\eta}\eta} = 1 - 5\bar{\eta}\eta\)로 전개하고 (\(\bar{\eta}^2 = \eta^2 = 0\)이므로 2차 이상은 사라짐), Berezin 적분의 정의를 순서대로 적용하세요.

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B-9. Grassmann 미분의 부호

두 개의 독립적인 Grassmann 변수 \(\theta, \phi\)에 대해 다음을 계산하세요.

\[ \frac{\partial}{\partial\phi}\bigl(\theta\,\phi\,\theta\bigr) \]
힌트

먼저 \(\theta\,\phi\,\theta\)를 반교환 관계로 정리하세요. \(\theta^2 = 0\)에 주의하세요.

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B-10. 소스가 있는 다변수 가우스 적분

식 (C.9)를 이용하여, \(A = \begin{pmatrix}4 & 0\\0 & 4\end{pmatrix}\), \(\mathbf{J} = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\) 일 때

\[ \int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T\mathbf{q}} \]

를 계산하세요.

힌트

\(\det A = 16\), \(A^{-1} = \frac{1}{4}\mathbf{1}\). \(\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J} = (2,0)\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} = 1\) 을 대입해요.

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Medium（표준）

M-1. 소스가 있는 가우스 적분을 이용한 상관함수 생성

1변수 소스가 있는 가우스 적분

\[ Z(J) = \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2 + Jq} \]

을 이용하여 다음을 보이세요.

(a) \(\langle q^2 \rangle \equiv \dfrac{1}{Z(0)}\left.\dfrac{\partial^2 Z}{\partial J^2}\right|_{J=0} = \dfrac{1}{a}\)

(b) \(\langle q^4 \rangle \equiv \dfrac{1}{Z(0)}\left.\dfrac{\partial^4 Z}{\partial J^4}\right|_{J=0} = \dfrac{3}{a^2}\)

(c) (b)의 결과가 Wick의 정리(제 8 장)의 조합론적 구조 \(\langle q^4\rangle = 3\langle q^2\rangle^2\)와 일치함을 확인하고, "3"이 어떠한 쌍의 조합으로부터 발생하는지 설명하세요.

힌트

\(Z(J) = \sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)}\)를 \(J\)로 거듭제곱 전개하고, \(J\)에 의한 미분을 수행해요. (c)에서는 4개의 \(q\)를 2개씩 쌍으로 만드는 방법이 \(4!/(2^2 \cdot 2!) = 3\)가지임을 이용해요.

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M-2. 다변수 Grassmann 가우스 적분의 유도

\(n\) 개의 독립적인 Grassmann 변수 쌍 \((\bar{\eta}_1, \eta_1), \ldots, (\bar{\eta}_n, \eta_n)\) 과 \(n \times n\) 행렬 \(A\) 에 대해,

\[ \int \prod_{i=1}^n d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\sum_{i,j}\bar{\eta}_i A_{ij}\eta_j} = \det A \]

를 \(n = 2\) 의 경우에 명시적으로 보여주세요. 즉, \(A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) 로 놓고, 지수함수를 Grassmann 변수의 거듭제곱으로 전개하여 Berezin 적분을 수행함으로써 \(\det A = ad - bc\) 를 얻으세요.

힌트

\(\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} = a\bar{\eta}_1\eta_1 + b\bar{\eta}_1\eta_2 + c\bar{\eta}_2\eta_1 + d\bar{\eta}_2\eta_2\) 로 전개해요. \(e^{-X}\) 를 전개할 때, 4개의 Grassmann 변수가 모두 정확히 한 번씩 나타나는 항만이 적분에서 살아남는다는 점에 주의하세요.

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M-3. Grassmann 가우스 적분의 소스항과 역행렬

소스항 \(\bar{\boldsymbol{\xi}}, \boldsymbol{\xi}\)（Grassmann 변수）를 추가한 적분

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi}} = \det A \; e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \]

을, Grassmann 변수의 완전제곱식

\[ \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} = (\bar{\boldsymbol{\eta}}^T - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1})\,A\,(\boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}) - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi} \]

을 이용하여 도출하세요. 변수 변환의 야코비안이 1임을 확인하는 것도 포함해요.

힌트

\(\boldsymbol{\eta}' = \boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}\), \(\bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}} - (A^{-1})^T\bar{\boldsymbol{\xi}}\) 로 치환해요. Grassmann 변수의 선형 변환 \(\eta_i' = \eta_i + c_i\)（\(c_i\)는 Grassmann 상수）에 대한 측도의 변환 규칙을 확인하세요.

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M-4. 프레넬 적분으로서의 가우스 적분

식 (C.2)를 이용하여, 순허수 매개변수의 극한 \(a \to -i\alpha\)（\(\alpha > 0\) 실수）에서의 적분

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} \]

을 구하세요. 결과가 프레넬 적분(Fresnel integral) 공식

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\;e^{i\pi/4} \]

과 일치함을 보이세요. 또한, 이 결과가 민코프스키 공간의 경로적분（제 10 장）에서 \(e^{iS}\)의 가중치가 수렴하는 조건과 어떻게 관련되는지 논하세요.

힌트

\(-\frac{a}{2}q^2 = \frac{i\alpha}{2}q^2\)로부터 \(a = -i\alpha\). \(a = \alpha e^{-i\pi/2}\)로 극형식으로 쓰고, 식 (C.2)를 적용해요. \(e^{-i(-\pi/2)/2} = e^{i\pi/4}\)에 주의하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 보손·페르미온 행렬식의 비와 초대칭성

\(n\) 개의 보손 변수 \(q_i\) 와 \(n\) 쌍의 그라스만 변수 \((\bar{\eta}_i, \eta_i)\) 가 같은 \(n \times n\) 양의 정부호 행렬 \(A\) 로 결합된 계를 생각해요.

\[ Z = \int d^n q \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; \exp\!\left[-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta}\right] \]

(a) 보손 부분과 페르미온 부분의 적분을 각각 수행하고, \(Z\) 를 \(\det A\) 와 \((2\pi)^{n/2}\) 로 나타내세요.

(b) \(A\) 가 단위행렬의 상수배 \(A = m^2 \mathbf{1}\) 일 때, \(Z\) 가 \(m\) 에 의존하지 않음을 보이세요.

(c) 이 "보손과 페르미온의 행렬식이 상쇄하는" 성질이, 초대칭성 (supersymmetry, SUSY) 이 존재할 때 진공 에너지의 영점 진동이 사라지는 메커니즘에 대응한다는 것을, 1루프 유효 퍼텐셜(제 14 장의 논의)의 관점에서 논하세요.

힌트

(a) 보손 부분은 \((2\pi)^{n/2}/(\det A)^{1/2}\), 페르미온 부분은 \(\det A\). (b) \((\det A)^{1/2} = m^n\) 을 대입. (c) 1루프 유효 퍼텐셜은 \(V_{\text{1-loop}} \propto \mathrm{STr}\,M^4\ln(M^2/\mu^2)\) 의 형태를 취하며, SUSY가 성립할 때 초트레이스 (supertrace) 가 영이 되는 것을 이용해요.

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A-2. Grassmann 적분에 의한 행렬식의 Faddeev–Popov 고스트 표현

비 Abel 게이지 이론（제 16 장）의 경로적분에서, 게이지 고정에 수반되는 Faddeev–Popov (파데예프·포포프) 행렬식

\[ \det\!\left(\frac{\delta G^a}{\delta\alpha^b}\right) \]

（\(G^a\)는 게이지 고정 조건, \(\alpha^b\)는 게이지 변환 매개변수）을 Grassmann 변수（고스트장 \(c^a, \bar{c}^a\)）의 적분으로 나타내는 절차를 다음 단계에 따라 수행하세요.

(a) 식 (C.19)를 인용하여, \(\det M = \int \prod_a d\bar{c}^a\,dc^a\;e^{-\bar{c}^a M_{ab}\,c^b}\)이 성립함을 확인하세요.

(b) Lorenz 게이지 \(G^a = \partial_\mu A^{a\mu}\)를 채택한 \(SU(N)\) Yang–Mills 이론에서, Faddeev–Popov 연산자 \(M_{ab}(x,y) = -\partial_\mu D^\mu_{ab}\,\delta^4(x-y)\)를 도출하세요. 여기서 \(D^\mu_{ab} = \delta_{ab}\partial^\mu + g f_{abc}A^{c\mu}\)는 수반 표현의 공변 미분이에요.

(c) 얻어진 고스트 작용

\[ S_{\text{ghost}} = \int d^4x \; \bar{c}^a(-\partial_\mu D^\mu_{ab})c^b \]

으로부터 고스트장의 Feynman 규칙（전파함수와 꼭짓점）을 읽어내고, 고스트가 스칼라장과 같은 전파함수를 가지면서도 Fermi 통계를 따르는 이유를 Grassmann 적분의 성질로부터 설명하세요.

힌트

(a)는 식 (C.19) 그 자체예요. (b)에서는 게이지 변환 \(\delta A^a_\mu = D_\mu^{ab}\alpha^b\)로부터 \(\delta G^a / \delta\alpha^b\)를 계산하세요. (c) 전파함수는 \(\langle c^a(k)\bar{c}^b(-k)\rangle = \delta^{ab}/k^2\)의 형태가 돼요. 고스트가 루프에서 \(\det M\)（분자）을 제공하는 것과, Grassmann 적분이 행렬식을 분자에 내놓는 성질 (C.19)을 연결하세요.

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