제2장 전기와 자기는 통일할 수 없을까? — 전자기학의 탄생¶
이전까지의 줄거리: 제 1 장에서, Newton이 만유인력이라는 하나의 모델로 행성의 궤도·조수의 밀물과 썰물·포탄의 탄도를 통일적으로 설명할 수 있음을 보았다. 해왕성의 발견은 수식에 의한 정량적 예측의 위력을 극적으로 보여주었다. 하지만 Newton의 모델에는 "왜 서로 끌어당기는지"를 설명할 수 없다는 것, "중력이 순간적으로 전달된다"는 문제가 남겨졌다. 이 장에서는 Newton과는 다른 영역——전기와 자기——에서 일어난 또 하나의 통일 이야기를 살펴본다.
이 장의 목표
- "별개의 현상으로 보이는 것이 실은 하나의 모델로 기술할 수 있다"는 통일의 위력을 체험한다
- Maxwell이 전기와 자기를 4개의 방정식으로 통일하고, 그 부산물로서 "빛의 정체는 전자기파이다"라는 예언을 이끌어낸 이야기를 따라간다
- 나아가 전자기 퍼텐셜과 게이지 변환을 배우고, 통일이 새로운 수수께끼——광속의 불변성——를 낳는 것을 확인한다
2.1 동기: 전기와 자기는 별개의 현상인가?¶
🟡 리나: 제 1 장에서는 Newton이 중력 모델을 만든 이야기를 했지. 오늘은 다른 영역——전기와 자기 이야기야.
🔵 카이: 전기와 자기는 고등학교에서 따로따로 배우잖아요. 정전기의 Coulomb 법칙이랑 자석 이야기랑요.
🟡 리나: 맞아. 18세기까지는 전기와 자기가 완전히 별개의 현상이라고 여겨졌어. 전기는 호박을 문지르면 생기는 것, 자기는 자철석이 가진 성질. 관계가 있다고는 아무도 생각하지 않았지.
🔵 카이: 전기와 자기에 관계가 있다는 건 언제 알게 됐나요?
🟡 리나: 1820년에 Ørsted가 "전류 근처에서 나침반 바늘이 움직인다"는 것을 발견했어. 전기가 자기를 만든다는 게 밝혀진 거야. 그리고 그 반대——자기가 전기를 만든다——를 발견한 게 Faraday야. 1831년의 전자기 유도 발견이지. 자석을 코일 안에서 움직이면 전류가 흐르는 거야.
⚪ 메이: 즉, 전기→자기와 자기→전기 양방향이 실험으로 확인된 거네.
🔵 카이: 모터와 발전기의 원리죠.
🟡 리나: 맞아. 여기까지는 실험적 사실이야. 하지만 "왜 전기가 자기를 만들고, 자기가 전기를 만드는지"를 하나의 모델로 통일적으로 설명한 사람이 Maxwell이야.
⚪ 메이: 제 1 장에서 Newton이 "사과의 낙하"와 "달의 공전"을 통일한 것과 같은 구조네.
🔵 카이: Newton 때는 해왕성이 예언됐잖아요. Maxwell의 통일에서도 뭔가 예언이 나오나요?
🟡 리나: 바로 그걸 지금부터 볼 거야. Maxwell의 통일은 Newton의 통일과 같은 정도로——아니, 어떤 의미에서는 그 이상으로——충격적인 예언을 낳게 돼. 이 흐름을 연표로 정리했으니 봐 (그림 2.1「전자기학의 통일에 이르는 역사」).
그림 2.1: 전자기학의 통일에 이르는 역사. Coulomb의 정전기 법칙(1785)에서 Hertz에 의한 전자기파의 실험적 확인(1888)까지, 실험적 사실의 축적과 Maxwell에 의한 이론적 통일, 그리고 예언의 실증에 이르는 흐름.
✅ 이해도 체크: 1820년에 Ørsted가 발견한 현상은 무엇일까요?
답
전류 근처에서 나침반 바늘이 움직이는 것(전기가 자기를 만드는 것).
✅ 이해도 체크: Faraday가 1831년에 발견한 "전자기 유도"란 어떤 현상일까요?
답
자석을 코일 안에서 움직이면 전류가 흐르는 현상. 자기가 전기를 만드는 것.
2.2 Faraday의 "장"이라는 아이디어¶
🟡 리나: Maxwell의 작업을 이해하려면 먼저 Faraday의 아이디어를 알아둘 필요가 있어.
🔵 카이: Faraday는 어떤 사람이에요?
🟡 리나: 정규 대학 교육을 받지 않은, 제본소 견습공에서 독학으로 과학자가 된 인물이야. 하지만 실험의 천재였어. 그리고 물리학의 역사를 바꾸는 개념을 만들어냈지. 장(field)이라는 개념이야.
🔵 카이: 장? 제 1 장에서 중력 퍼텐셜 부분에 나왔었죠.
🟡 리나: 맞아. Newton의 중력에서는 "떨어진 물체가 직접 끌어당긴다"고 생각해——원격 작용(action at a distance)이지. 하지만 Faraday는 다른 관점을 가졌어. "공간 자체에 힘의 장이 퍼져 있고, 물체는 그 장을 통해 힘을 받는다"고. 이것을 근접 작용(local action)이라 불러.
🔵 카이: 자석 주위에 철가루를 뿌리면 무늬가 생기는 실험, 고등학교에서 했잖아요. 그게 "장"이라는 거예요?
🟡 리나: 맞아, 바로 그게 Faraday의 "장"에 대한 직관적 이미지야. Faraday는 수식을 쓸 수 없었지만 "장"이라는 개념을 도입했어. 그리고 그 개념을 수식으로 정식화한 사람이 Maxwell이야. 이 두 사람의 릴레이는 물리학사에서도 가장 아름다운 것 중 하나야. 원격 작용과 근접 작용의 차이를 그림으로 정리했으니 봐 (그림 2.2「원격 작용과 근접 작용의 비교」).
그림 2.2: 원격 작용과 근접 작용의 비교. Newton의 원격 작용(왼쪽)에서는 물체가 직접 끌어당긴다. Faraday의 근접 작용(오른쪽)에서는 공간에 장이 퍼져 있고, 물체는 장을 통해 힘을 받는다.
🔵 카이: 제 1 장의 중력 퍼텐셜 \(\Phi(\mathbf{r})\)도 "장"의 일종이었군요.
🟡 리나: 맞아. 중력 퍼텐셜은 각 점에 하나의 수치를 할당하는 스칼라장이었어. 전자기학에서는 각 점에 벡터를 할당하는 장이 등장해. 다음 섹션에서 정리하자.
✅ 이해도 체크: Faraday가 도입한 "장(field)"이란 어떤 생각일까요?
답
공간 자체에 힘의 장이 퍼져 있고, 물체는 그 장을 통해 힘을 받는다는 생각(근접 작용).
✅ 이해도 체크: Faraday의 "장" 개념을 수식으로 정식화한 사람은 누구일까요?
답
Maxwell.
2.3 스칼라장과 벡터장¶
🟡 리나: Maxwell 방정식에 들어가기 전에 하나 중요한 구별을 설명해 둘게. 제 1 장에서 중력 퍼텐셜 \(\Phi(x,y,z)\)를 도입했잖아? 그건 각 점에 하나의 수치를 할당하는 함수——스칼라장이었어.
🔵 카이: 온도 분포도 같은 거였죠.
🟡 리나: 맞아. 하지만 전기장 \(\mathbf{E}\)는 달라. 각 점에 방향과 크기를 가진 화살표(벡터)를 할당하는——벡터장이야. 자기장 \(\mathbf{B}\)도 마찬가지야.
🔵 카이: 벡터는 고등학교에서 배웠어요. 힘이나 속도 같은 거요. 근데 전기장은 눈에 보이지 않는데 "방향"이 있다는 건 어떻게 확인하나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 작은 양(+)의 시험전하를 그 점에 놓았을 때, 전하가 받는 힘의 방향과 크기——그게 전기장의 방향과 크기야. 전기장 \(\mathbf{E}\)는 3개의 성분 \((E_x, E_y, E_z)\)를 가진 벡터야. 이 책에서는 벡터를 굵은 글씨(\(\mathbf{E}\))로 나타내고, 스칼라(보통 수치)는 보통 서체(\(\Phi\))로 쓸게.
⚪ 메이: 정리하면:
| 종류 | 각 점에 할당하는 것 | 예 |
|---|---|---|
| 스칼라장 | 수치 1개 | 온도 \(T(\mathbf{r})\), 중력 퍼텐셜 \(\Phi(\mathbf{r})\) |
| 벡터장 | 벡터(방향＋크기) | 전기장 \(\mathbf{E}(\mathbf{r})\), 자기장 \(\mathbf{B}(\mathbf{r})\) |
표 2.1: 스칼라장과 벡터장의 비교
🔵 카이: 중력 퍼텐셜은 스칼라장이고, 전기장과 자기장은 벡터장——성분의 수가 다른 거네요.
그림 2.3: 스칼라장과 벡터장의 시각화. 왼쪽: 스칼라장(각 점에 수치를 할당하고 등고선으로 표시). 오른쪽: 벡터장(각 점에 화살표를 할당).
🟡 리나: 그림 2.3「스칼라장과 벡터장의 시각화」을 보면, 스칼라장은 등고선으로, 벡터장은 화살표로 표현되어 있는 게 보이지. 앞으로 사용할 미분 연산자——\(\nabla\)(나블라), \(\nabla \cdot\)(발산), \(\nabla \times\)(회전)——의 정의는 부록 A에 정리해 두었으니, 필요할 때 참고해. \(\nabla\)는 "공간적 변화의 방향과 크기"를 나타내는 벡터 연산자로, 3차원에서는 \(\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\)로 쓸 수 있어. 이걸 사용한 물리적 의미만 간단히 말해둘게 (그림 2.4「발산과 회전의 직관적 이미지」도 참조):
- \(\nabla \cdot \mathbf{F}\)(발산): 벡터장 \(\mathbf{F}\)가 그 점에서 "솟아나는" 정도
- \(\nabla \times \mathbf{F}\)(회전): 벡터장 \(\mathbf{F}\)가 그 점 주위에서 "소용돌이치는" 정도
- \(\nabla^2 f\)(라플라시안): 스칼라장 \(f\)의 "어떤 점의 값이 주위 평균에서 얼마나 벗어나 있는지"를 나타내는 양(2.5「빛의 정체 — Maxwell 방정식으로부터의 예언」의 파동방정식에서 중심적 역할을 함). 구체적으로는 \(\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\). 벡터장 \(\mathbf{F}\)에 대해서는, 각 성분 \(F_x, F_y, F_z\)가 각각 독립적인 스칼라장이므로, 각 성분에 각각 \(\nabla^2\)를 적용한 것 \(\nabla^2 \mathbf{F} = (\nabla^2 F_x,\; \nabla^2 F_y,\; \nabla^2 F_z)\)으로 정의해(즉 "각 방향의 전기장이 공간적으로 어떻게 휘어 있는지"를 방향별로 조사하는 연산)
🔵 카이: "솟아남" "소용돌이" "주위와의 평균 차이"——전부 공간 안에서의 변화를 나타내는 도구군요.
그림 2.4: 발산과 회전의 직관적 이미지. 왼쪽: 발산(div)이 양인 점에서는 장이 솟아난다. 오른쪽: 회전(rot)이 0이 아닌 점에서는 장이 소용돌이친다.
✅ 이해도 체크: 스칼라장과 벡터장의 차이는 무엇일까요?
답
스칼라장은 각 점에 하나의 수치를 할당하는 함수(예: 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)). 벡터장은 각 점에 방향과 크기를 가진 벡터를 할당하는 함수(예: 전기장 \(\mathbf{E}\)).
2.4 Maxwell 방정식 — 전기와 자기의 통일¶
🟡 리나: Maxwell은 1860년대에 전기와 자기에 관한 모든 실험적 사실을 4개의 방정식으로 정리했어.
🔵 카이: 겨우 4개요?
🟡 리나: 겨우 4개. 하나씩 식과 의미를 세트로 봐보자.
제1식: Gauss의 법칙¶
🟡 리나: \(\rho\)(로)는 전하밀도——공간의 각 점에 전하가 얼마나 있는지. \(\varepsilon_0\)(엡실론 제로)는 진공의 유전율——전기에 관한 진공의 성질을 나타내는 상수. \(\nabla \cdot\)(나블라 도트)는 "발산"(부록 A 참조)——벡터장이 그 점에서 솟아나고 있는지를 나타내.
🟡 리나: 즉 이 식은 전하 \(\rho\)가 있는 곳에서 전기장의 선(전기력선)이 솟아난다는 것을 말하고 있어. 양전하에서는 바깥 방향으로, 음전하에는 안쪽 방향으로.
✅ 이해도 체크: Maxwell 방정식의 제1식(Gauss의 법칙) \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\)는 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
전하가 있는 곳에서 전기장의 선이 솟아난다는 것을 의미한다. 양전하에서는 바깥 방향으로, 음전하에는 안쪽 방향으로 전기장의 선이 나온다.
제2식: 자기에 대한 Gauss의 법칙¶
🟡 리나: \(\mathbf{B}\)는 자기장(자속밀도). 이것도 벡터장이야. 우변이 0이라는 것은 자기장의 선에 "솟아남"이 없다는 뜻이야. 즉, 자기의 N극만, S극만이라는 "자기 단극자"는 존재하지 않아. 자기력선은 반드시 루프를 그려.
🔵 카이: 자석을 쪼개도 반드시 N극과 S극이 세트로 나오는 게, 이 식이 말하는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 아무리 작게 쪼개도 단극이 되지 않아——그게 이 식의 물리적 내용이야.
제3식: Faraday의 법칙¶
🟡 리나: \(\nabla \times\)(나블라 크로스)는 "회전(rot)"(부록 A 참조)——벡터장이 그 점 주위에서 소용돌이치고 있는지를 나타내. 우변의 \(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)는 "위치를 고정하고, 그 점의 자기장이 시간에 따라 어떻게 변하는지"를 나타내——각 성분 \(B_x, B_y, B_z\)를 각각 시간으로 미분한 벡터야.
🟡 리나: 즉, 자기장 \(\mathbf{B}\)가 시간 변화하면, 전기장 \(\mathbf{E}\)의 소용돌이가 생긴다. 이것이 전자기 유도——Faraday가 발견한 현상의 수식 표현이야.
✅ 이해도 체크: Maxwell 방정식의 제3식(Faraday의 법칙)은 전기장의 소용돌이가 어떤 조건에서 생기는지를 말하고 있을까요?
답
자기장 \(\mathbf{B}\)가 시간 변화할 때, 전기장 \(\mathbf{E}\)의 소용돌이가 생긴다. 이것은 Faraday가 발견한 전자기 유도의 수식 표현이다.
제4식: Ampère-Maxwell의 법칙¶
🟡 리나: \(\mathbf{j}\)(제이)는 전류밀도——공간의 각 점에서 어느 방향으로 얼마나 전류가 흐르고 있는지(벡터장). \(\mu_0\)(뮤 제로)는 진공의 투자율——자기에 관한 진공의 성질을 나타내는 상수야.
🟡 리나: 전류 \(\mathbf{j}\)가 흐르면 자기장의 소용돌이가 생긴다(Ampère의 법칙). 그리고——여기가 Maxwell의 천재적 공헌인데——전기장이 시간 변화해도 자기장의 소용돌이가 생긴다.
🟡 리나: 이 마지막 항 \(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)야말로 Maxwell이 추가한 부분이야.
🔵 카이: 실험으로 발견한 게 아니라, 수식의 앞뒤를 맞추기 위해 추가한 건가요?
🟡 리나: 맞아. 구체적으로 왜 앞뒤가 맞지 않는지 보여줄게. 이게 "변위전류"의 도출이야. 하지만 그 전에, 4개의 식을 일람으로 정리해 두자. 전체 그림을 본 다음에, 제4식의 수정이 왜 필요한지 확인할게.
표 2.2: Maxwell 방정식 4개 식과 그 물리적 의미
| 식 | 수식 | 물리적 의미 |
|---|---|---|
| 제1식(Gauss) | \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) | 전하에서 전기장이 솟아남 |
| 제2식(자기 Gauss) | \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) | 자기 단극자는 존재하지 않음 |
| 제3식(Faraday) | \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) | 자기장의 변화→전기장의 소용돌이 |
| 제4식(Ampère-Maxwell) | \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) | 전류＋전기장의 변화→자기장의 소용돌이 |
🟡 리나: 여기까지의 4개 식이 나타내는 물리적 상황을 그림으로 확인해 두자 (그림 2.5「Maxwell 방정식의 물리적 의미」).
그림 2.5: Maxwell 방정식의 물리적 의미. Maxwell 방정식의 각 식이 나타내는 물리적 상황의 모식도.
변위전류의 필요성 — 전하 보존으로부터의 도출¶
🟡 리나: 전하 보존 법칙——"전하는 생기지도 사라지지도 않는다"——를 수식으로 써보자. 어떤 작은 영역을 생각해 봐. 그 영역에서 전류가 흘러나가면, 안의 전하가 줄어들지?
🔵 카이: 네. 물이 양동이에서 흘러나가면 안의 물이 줄어드는 것과 같죠.
🟡 리나: 맞아. \(\nabla \cdot \mathbf{j}\)는 전류밀도의 발산——어떤 점에서 전류가 얼마나 "흘러나가고 있는지"를 나타내. 전류가 흘러나간다(\(\nabla \cdot \mathbf{j} > 0\))는 것은, 그 장소에서 전하가 떠나가고 있다는 뜻이야. 즉 전하밀도 \(\rho\)는 시간에 따라 줄어들어(\(\frac{\partial \rho}{\partial t} < 0\)).
🔵 카이: 유출량이 양인데, 전하의 변화율이 음……부호가 반대가 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 카이가 말한 양동이 예시로 말하면, 물의 유출량(\(\nabla \cdot \mathbf{j}\))이 양일 때, 양동이 안의 물의 양의 변화율(\(\frac{\partial \rho}{\partial t}\))은 음——즉 부호가 반대. 그래서 \(\nabla \cdot \mathbf{j} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\). 이것을 이항하면 연속 방정식:
⚪ 메이: 즉 "어떤 영역에서 전하가 흘러나간 만큼, 그 영역의 전하가 줄어든다"는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그러면, 만약 제4식이 원래의 Ampère 법칙——즉 \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}\)만——이었다면 무슨 일이 생기는지 봐보자. 양변의 발산 \(\nabla \cdot\)를 취하면:
🟡 리나: 좌변은, 벡터 해석의 항등식(부록 A 참조)에 의해 항상 0이야:
따라서:
🔵 카이: 어? 이러면 "전류의 발산이 0"——즉 "전하가 쌓이거나 줄어들지 않는다"가 되잖아요.
🟡 리나: 바로 그래. 하지만 연속 방정식은 \(\nabla \cdot \mathbf{j} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\)라고 말하고 있어. 전하가 시간 변화하는 상황(예를 들어 축전기 충전 중)에서는 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0\)이니까, \(\nabla \cdot \mathbf{j} \neq 0\). 모순이야.
⚪ 메이: 즉, 원래의 Ampère 법칙만으로는 전하 보존과 정합하지 않는 거네.
🟡 리나: 그래서 Maxwell은 제4식에 항을 추가해서 정합성을 회복시켰어. 제1식 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\)의 양변을 시간 미분하면:
연속 방정식 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{j}\)를 대입하면:
정리하면:
🔵 카이: 오오, \(\mathbf{j}\)만으로는 발산이 0이 안 되지만, 전기장의 시간 변화를 더하면 0이 되는 거네요!
🟡 리나: 맞아. 즉, \(\mathbf{j}\) 단독으로는 발산이 0이 안 되지만, \(\mathbf{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)라면 발산이 0이 돼. 그래서 Ampère의 법칙을:
로 수정하면, \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = 0\)과 모순되지 않게 돼.
⚪ 메이: 수학적 정합성만으로, 추가해야 할 항의 형태가 유일하게 결정되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이 추가항 \(\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)를 변위전류(displacement current)라고 불러. Maxwell은 이 항을 "실험으로 발견한" 게 아니라, 전하 보존이라는 원리로부터 논리적으로 도출한 거야. 축전기 충전 회로에서 변위전류가 왜 필요한지를 그림으로 만들었으니 봐 (그림 2.6「변위전류의 개념도」).
그림 2.6: 변위전류의 개념도. 축전기 충전 중, 극판 사이에 전류는 흐르지 않지만 전기장이 시간 변화한다. 원래의 Ampère 법칙에서는 어떤 면을 선택하느냐에 따라 결과가 달라져 버린다(왼쪽). 변위전류 \(\varepsilon_0 \partial_t E\)를 추가하면 모순이 해소된다(오른쪽).
🟡 리나: 그리고 이 작은 수정이 어마어마한 예언을 낳게 돼.
✅ 이해도 체크: Maxwell 방정식의 제2식 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)은 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
자기장의 선에 솟아남이 없고, 자기 단극자(N극만·S극만)는 존재하지 않는다는 것을 의미한다.
✅ 이해도 체크: 제4식(Ampère-Maxwell의 법칙)에서 Maxwell이 추가한 항 \(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)는 무엇에 근거하여 도입되었을까요?
답
전하 보존 법칙(연속 방정식)과의 수학적 정합성 요청으로부터 도입되었다. 원래의 Ampère 법칙만으로는 전하 보존과 모순되기 때문이다.
2.5 빛의 정체 — Maxwell 방정식으로부터의 예언¶
🟡 리나: Maxwell 방정식의 제3식과 제4식을 조합하면, 이런 것을 알 수 있어. 전기장의 변화가 자기장을 만들고, 그 자기장의 변화가 다시 전기장을 만들고……라는 연쇄가 일어나서, 전자기장의 파동이 공간을 전파해 나가는 거야.
%%{init: {"theme": "default", "themeCSS": ".edgePath .path, .flowchart-link { stroke-width: 2px !important; }"}}%%
flowchart LR
E1["전기장 E의 변화"] -->|"제4식: 자기장의 소용돌이를 생성"| B1["자기장 B의 변화"]
B1 -->|"제3식: 전기장의 소용돌이를 생성"| E2["전기장 E의 변화"]
E2 -->|"제4식"| B2["자기장 B의 변화"]
B2 -->|"제3식"| E3["…"]그림 2.7: 전기장과 자기장의 상호 유도에 의한 전자기파의 전파
🔵 카이: 파동이요? 수면파 같은 건가요?
🟡 리나: 비슷하지만, 수면파는 물이라는 매질이 진동하는 거야. 전자기파는 매질 없이, 전기장과 자기장이 서로를 생성하면서 전파돼. 구체적으로 도출해 보자.
파동방정식의 도출¶
🟡 리나: 진공 중(전하도 전류도 없음: \(\rho = 0\), \(\mathbf{j} = \mathbf{0}\))의 Maxwell 방정식을 써보면:
🟡 리나: 전기장 \(\mathbf{E}\)만의 방정식을 만들고 싶어. 제3식 (III)에는 \(\mathbf{B}\)가 포함되어 있지만, 제4식 (IV)는 \(\nabla \times \mathbf{B}\)를 \(\mathbf{E}\)의 시간 미분으로 표현하고 있어. 그러니까 제3식의 양변에 한 번 더 \(\nabla \times\)를 작용시키면, 좌변에 \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\)가 나오고, 우변에 \(\nabla \times \mathbf{B}\)가 나타나——거기에 제4식을 대입하면 \(\mathbf{B}\)가 사라질 거야. 해보자:
🔵 카이: \(\nabla \times\)를 한 번 더 걸어서 \(\mathbf{B}\)를 없애는 거군요. 대입을 위한 "발판"을 만드는 느낌이네요.
🟡 리나: 맞아. 우변에서 \(\nabla \times\)와 \(\partial/\partial t\)의 순서를 교환해. \(\nabla \times\)는 공간좌표 \((x,y,z)\)에 관한 미분, \(\partial/\partial t\)는 시간에 관한 미분으로, 서로 다른 변수에 대한 미분이니까 순서를 바꿔도 결과가 같아(\(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial t}\)가 성립):
🟡 리나: 우변의 \(\nabla \times \mathbf{B}\)에 제4식 (IV)를 대입해:
정리하면:
🔵 카이: 좌변의 \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\)는 회전의 회전이잖아요. 이걸 어떻게 계산해요?
🟡 리나: 좋은 질문. 벡터 해석의 항등식(부록 A에서 증명되어 있음)을 사용해:
🔵 카이: 음, 좌변은 "소용돌이의 소용돌이"잖아요. 우변의 2개 항은 각각 뭘 의미해요?
🟡 리나: 우변의 제1항 \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})\)는 "전기장의 솟아남 세기가 장소에 따라 어떻게 변하는지"를 나타내는 양, 제2항 \(\nabla^2 \mathbf{E}\)는 "전기장의 각 성분이 공간적으로 어떻게 휘어 있는지"를 나타내는 라플라시안이야. 하지만 지금 도출에서 중요한 건, 이 항등식의 물리적 의미를 깊이 이해하는 게 아니라, 진공 중에서는 제1항이 통째로 사라진다는 사실이야. 왜냐하면, 진공 중에서는 제1식 (I)로부터 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\)(전하가 없으니까 솟아남이 없음)이니까, \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = \nabla(0) = \mathbf{0}\)으로 제1항이 사라져. 항등식 자체의 증명은 성분을 써서 확인할 수 있지만(부록 A 참조), 지금은 "이런 분해가 가능하다"는 결과만 사용할게:
⚪ 메이: 진공이라는 조건이 작용해서 깔끔하게 간단해지는 거네.
🟡 리나: 이것을 대입하면:
양변에 \(-1\)을 곱하면:
🟡 리나: 여기서 \(\nabla^2 \mathbf{E}\)는 2.3「스칼라장과 벡터장」에서 설명한 "벡터장의 라플라시안"——각 성분 \(E_x, E_y, E_z\)에 각각 스칼라의 라플라시안 \(\nabla^2\)를 적용한 것, 즉 \((\nabla^2 E_x,\; \nabla^2 E_y,\; \nabla^2 E_z)\)야.
⚪ 메이: \(\mathbf{B}\)가 완전히 사라지고, \(\mathbf{E}\)만의 방정식이 됐네.
🔵 카이: 좌변이 공간의 2계 미분이고, 우변이 시간의 2계 미분……. 근데 이게 "파동"과 무슨 관계가 있어요?
🟡 리나: 좋은 질문. 좌변의 \(\nabla^2\)는 라플라시안이라 불리는 연산자로, 공간에 관한 2계 미분의 합이야. 구체적으로는:
직관적으로는 "어떤 점의 값이 주위 평균에서 얼마나 벗어나 있는지"를 나타내. 전기장으로 말하면, "전기장이 공간적으로 어떻게 휘어 있는지"라는 거야(자세한 건 부록 A 참조). 우변의 \(\partial^2/\partial t^2\)는 시간에 관한 2계 미분——"전기장이 시간적으로 어떻게 가속되고 있는지"를 나타내.
🔵 카이: 이건 전기장의 파동방정식이죠. 자기장은 어떻게 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문. 같은 절차를 자기장 \(\mathbf{B}\)에 대해서도 하면, 같은 형태의 파동방정식이 나와. 제4식 (IV)에 \(\nabla \times\)를 작용시켜서 같은 계산을 하면:
전기장도 자기장도 같은 형태의 파동방정식을 만족해.
🔵 카이: 같은 형태의 식이 되는군요. 그러면 전기장의 파동과 자기장의 파동은 따로따로 전파되나요? 아니면 함께?
🟡 리나: 함께야. 제3식과 제4식으로 서로 결합되어 있으니까, 전기장만의 파동이나 자기장만의 파동은 존재하지 않아. 항상 세트로 전파돼——그래서 "전자기파"라고 부르는 거야.
⚪ 메이: 그렇구나. 제3식이 "자기장의 변화→전기장의 소용돌이", 제4식이 "전기장의 변화→자기장의 소용돌이"니까, 어느 한쪽만으로는 성립하지 않는 거네.
🔵 카이: 근데 수면파라면 물이 위아래로 움직이는 게 보이잖아요. 전자기파는 "흔들리는 물질"이 아무것도 없는데 파동이 전파된다고요? 그거 엄청 신기하지 않아요?
🟡 리나: 바로 거기가 19세기 물리학자들도 고민했던 점이야. "빛을 전달하는 매질(에테르)이 있을 것이다"라고 생각한 사람이 많았어. 하지만 에테르는 발견되지 않았어——이 이야기는 제 5 장에서 자세히 다룰게.
🔵 카이: 당시 사람들도 같은 의문을 가졌군요. 그러면 지금은 "장 자체가 진동한다"고 생각한다는 거예요?
🟡 리나: 맞아. 전기장과 자기장이라는 "장"이 실체로서 공간에 존재하고, 그 자체가 진동하며 전파된다——Faraday의 "장" 개념이 여기서 효력을 발휘하는 거야.
파동방정식과 파동의 속력¶
🟡 리나: 아까 도출한 식을 좀 더 일반적인 파동 방정식과 비교해 보자. 물리에서 "파동"이 전파될 때, 그 방정식은 다음 형태가 돼:
여기서 \(v\)는 파동의 전파 속도야.
🔵 카이: 왜 이 형태가 "파동"인 거예요? 겉모습만 봐서는 모르겠는데……
🟡 리나: 좋은 질문. 먼저 1차원 경우로 구체적으로 보여줄게:
임의의 형태의 함수 \(g\)에 대해, \(f(x,t) = g(x - vt)\)는 이 방정식의 해가 돼. 확인해 보자. \(u = x - vt\)로 놓으면, \(x\)로 미분할 때 \(\frac{\partial u}{\partial x} = 1\)이니까 \(\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u)\), 한 번 더 미분하면 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\). 한편, \(t\)로 미분할 때 \(\frac{\partial u}{\partial t} = -v\)이니까 \(\frac{\partial f}{\partial t} = -v\,g'(u)\), 한 번 더 미분하면 \(\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\). 따라서 \(g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u)\)로 확실히 성립해. 이것은 "형태 \(g\)가 그대로 속력 \(v\)로 오른쪽으로 이동해 간다"는 것을 나타내——그래서 "파동 방정식"인 거야.
🔵 카이: 그렇구나, 파형이 그대로 옆으로 슬라이드해 가는 이미지네요. 근데 구체적으로 어떤 형태의 파동이 전파되나요?
🟡 리나: 전형적인 것은 주기적인 파동이야. \(f(x,t) = f_0 \sin(kx - \omega t)\)라는 형태. \(f_0\)은 진폭——파동의 마루 높이를 나타내는 상수야. 새로운 기호가 2개 나오니까 하나씩 설명할게.
🟡 리나: 먼저 \(k\)(파수). 파장 \(\lambda\)(파동의 마루에서 다음 마루까지의 거리)를 사용하면 \(k = 2\pi/\lambda\). 왜 \(2\pi\)가 들어가냐면, \(\sin\) 함수는 인수가 \(2\pi\) 변하면 1주기분 진동하잖아? 거리 \(\lambda\) 진행했을 때 \(kx\)의 변화가 \(k\lambda = 2\pi\)가 되도록 \(k\)를 정의한 거야. \(k\)가 클수록 파장이 짧고 세밀한 파동이라는 뜻이야.
🟡 리나: 다음으로 \(\omega\)(각진동수). 진동수(1초당 진동 횟수)를 \(\nu\)라 하면 \(\omega = 2\pi \nu\). 이쪽도 같은 이유로, 1주기(\(1/\nu\)초)가 지났을 때 \(\omega t\)의 변화가 \(2\pi\)가 되도록 정의한 거야. \(\omega\)가 클수록 빠르게 진동하는 파동이야.
🔵 카이: 즉 \(k\)와 \(\omega\)는 "\(\sin\)의 인수에 직접 넣을 수 있도록" \(2\pi\)를 흡수한 양이라는 거죠?
🟡 리나: 맞아. 왜 \(\sin\)을 시도하냐면, 아까 \(g(x - vt)\)가 일반해라는 걸 알았으니까, 그 중에서 가장 기본적인 주기적 파동——즉 일정한 파장으로 반복되는 파동——을 선택하고 있는 거야. \(\sin\)은 "일정한 파장으로 매끄럽게 반복되는" 가장 단순한 함수잖아? 그리고 사실, 어떤 복잡한 파형이라도 \(\sin\) 파의 중첩으로 쓸 수 있다는 것이 수학적으로 증명되어 있어(Fourier 분해라고 불려——자세한 건 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 C 참조). 그래서 \(\sin\) 파의 성질을 조사하면 충분한 거야.
⚪ 메이: \(k\)가 클수록 파장이 짧고 세밀한 파동, \(\omega\)가 클수록 빠르게 진동하는 파동이라는 거네.
🟡 리나: 맞아. 실제로 이 \(f = f_0\sin(kx - \omega t)\)를 파동방정식에 대입해서 확인해 보자. \(x\)로 1번 미분하면 \(\frac{\partial f}{\partial x} = k f_0\cos(kx - \omega t)\), 한 번 더 미분하면 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -k^2 f_0\sin(kx - \omega t) = -k^2 f\). 마찬가지로 \(t\)로 2번 미분하면 \(\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = -\omega^2 f\).
🔵 카이: 좌변이 \(-k^2 f\)이고, 우변이 \(\frac{1}{v^2}(-\omega^2 f)\)니까……같아지려면 \(k^2 = \omega^2/v^2\), 즉 \(v = \omega/k\)네요! 근데 이 \(v\)는 \(k\)나 \(\omega\)의 값에 따라 달라지지 않나요? 파장이 짧은 파동도 긴 파동도 같은 속력으로 전파된다는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문. 이 파동방정식의 경우에는 그래——\(v\)는 방정식 안에서 상수로 결정되니까, \(k\)나 \(\omega\)에 무관하게 일정해. 즉, 어떤 파장의 파동이든 같은 속력으로 전파돼. 이런 성질을 "분산이 없다"고 말해(반대로, 파장에 따라 속력이 달라지는 경우를 "분산이 있다"고 말해——프리즘에서 백색광이 무지개색으로 나뉘는 것은, 유리 안에서 파장마다 속력이 다르기 때문이야). 전자기파는 진공 중에서 분산이 없고, 어떤 파장의 빛이든 같은 속력 \(c\)로 전파돼. 직관적으로는, "공간적 휘어짐(좌변)이 클수록, 시간적 변화(우변)도 격렬하다"는 관계가 파동을 만들어내는 거야. 자세한 건 부록 A를 참고해.
🟡 리나: Maxwell 방정식에서 나온 파동방정식과 비교하면:
따라서, 전자기파의 속력 \(c\)는:
🔵 카이: 파동의 속력이 \(\mu_0\)과 \(\varepsilon_0\)만으로 결정돼 버리네요.
🟡 리나: 전자기파가 어떻게 전파되는지를 그림 2.8「전자기파의 E와 B의 직교 진동」에 나타냈어. 전기장과 자기장이 서로 직교하고, 진행 방향에도 직교하며 진동하면서 전파돼 가.
그림 2.8: 전자기파의 E와 B의 직교 진동. 전자기파에서는 전기장 E와 자기장 B가 서로 직교하고, 진행 방향에도 직교하며 진동하면서 전파된다.
광속의 수치 계산¶
🟡 리나: \(\mu_0\)과 \(\varepsilon_0\)은 전기와 자기 실험에서 독립적으로 측정할 수 있는 상수야. 값을 대입해 보자:
곱을 계산하면:
🔵 카이: 단위가 \(\text{s}^2/\text{m}^2\)이 되는 건 왜 그런 거예요?
🟡 리나: 단위를 확인해 보자. \(\mu_0\)의 단위는 \(\text{T·m/A}\). 테슬라(T)는 자속밀도의 단위로, 기본 단위로 분해하면 \(\text{T} = \text{kg/(A·s}^2\text{)}\)(이것은 \(\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}\)의 힘의 식에서 유도할 수 있어). 이것을 대입하면 \(\text{T·m/A} = \frac{\text{kg}}{\text{A·s}^2} \cdot \frac{\text{m}}{\text{A}} = \text{kg·m/(A}^2\text{·s}^2\text{)}\). \(\varepsilon_0\)의 단위는 \(\text{C}^2/(\text{N·m}^2)\). 여기서 \(\text{C} = \text{A·s}\)(쿨롬=암페어×초), \(\text{N} = \text{kg·m/s}^2\)이니까, \(\text{C}^2/(\text{N·m}^2) = (\text{A·s})^2/(\text{kg·m/s}^2 \cdot \text{m}^2) = \text{A}^2\text{·s}^4/(\text{kg·m}^3)\). 곱하면 \(\mu_0\varepsilon_0\)의 단위는 \(\frac{\text{kg·m}}{\text{A}^2\text{·s}^2} \times \frac{\text{A}^2\text{·s}^4}{\text{kg·m}^3} = \frac{\text{s}^2}{\text{m}^2}\). 즉 \(1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\)의 단위는 \(\text{m/s}\)——속력의 단위가 되는 거야. 단위 변환의 전체 스텝은 부록 A에 실어놨으니 확인해 봐.
🔵 카이: \(\text{N}\)을 킬로그램과 미터로 분해하는 부분이 포인트군요.
⚪ 메이: 단위가 속력이 되는 건 확인됐네. 이제 수치를 보자.
제곱근의 역수를 취하면:
🔵 카이: ……그거 빛의 속력 아니에요! 근데 왜 전기와 자기의 상수를 조합한 것만으로 빛의 속력이 나오는 거예요? 빛이 전기나 자기와 관계가 있었어요?
🟡 리나: 거기가 충격적인 부분이야. Maxwell 자신도 이렇게 썼어. "이 속도는 빛의 속도와 매우 가까우므로, 빛이 전자기적 현상이라는 강력한 근거가 된다"고. 즉, 빛은 전기장과 자기장의 파동——전자기파——였다는 거야.
⚪ 메이: 전기와 자기를 통일한 모델이, 빛의 정체는 전자기파이다라는 것을 예언한 거네.
🔵 카이: 해왕성 때랑 같아……. 목적과는 다른 곳에서, 생각지도 못한 발견이 나와요.
🟡 리나: 맞아. 이게 "모델의 예언"의 위력이야. Maxwell은 빛을 연구하고 있던 게 아니야. 전기와 자기의 통일을 추구하고 있었더니, 부산물로서 빛의 정체가 밝혀진 거야. 제 1 장에서 Newton의 모델로부터 해왕성이 예언된 것과 같은 구조지.
📝 연습문제:
- Maxwell 방정식에서 파동방정식 도출 → 문제 M-1. 전자기파의 속도 도출
- 광속의 수치 계산 → 문제 B-1. 광속의 수치 계산
✅ 이해도 체크: Maxwell 방정식에서 도출되는 전자기파의 속력 \(c\)를 \(\mu_0\)과 \(\varepsilon_0\)으로 나타내는 식은 무엇일까요?
답
\(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
✅ 이해도 체크: Maxwell의 모델이 "빛의 정체"에 대해 예언한 내용은 무엇일까요?
답
빛의 정체는 전자기파라는 것. 전자기파의 속력이 광속과 일치하는 것으로부터 도출되었다.
2.6 전자기 퍼텐셜과 게이지 변환¶
🟡 리나: 여기서 전기장과 자기장을 퍼텐셜로 다시 써보자. 제 1 장에서 Newton의 중력을 퍼텐셜 \(\Phi\)로 다시 쓴 것과 같은 발상이야. 전자기장에도 퍼텐셜 \((\Phi, \mathbf{A})\)를 도입할 수 있어.
퍼텐셜의 도입¶
🔵 카이: 전기장과 자기장에도 퍼텐셜이 있어요?
🟡 리나: 맞아. 출발점은 Maxwell의 제2식 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)이야. 이건 "자기장에 솟아남이 없다"는 것을 말해. 벡터 해석에는 다음 항등식이 있어:
🟡 리나: 즉, \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)이 성립한다면, \(\mathbf{B}\)를 무언가의 회전으로 쓸 수 있어:
이 \(\mathbf{A}\)를 벡터 퍼텐셜이라 불러.
🔵 카이: "솟아남이 없다"는 것은 "무언가의 회전으로 쓸 수 있다"——논리적으로 도출되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 다음으로, 이것을 제3식 \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)에 대입해:
이항하면:
🟡 리나: "회전이 0"인 벡터장은, 어떤 스칼라장의 기울기로 쓸 수 있어(증명은 부록 A 참조):
(마이너스는 관습이야). 직관적으로는, "소용돌이치지 않는 흐름"은 반드시 "높은 곳에서 낮은 곳으로 내려가는" 구조를 가져——즉 퍼텐셜의 경사면을 내려가는 방향을 향한다는 뜻이야. 따라서:
정리하면:
⚪ 메이: \(\Phi\)는 스칼라 퍼텐셜(제 1 장의 중력 퍼텐셜과 같은 종류), \(\mathbf{A}\)는 벡터 퍼텐셜이네.
🟡 리나: 맞아. 정리하면:
이 표현의 장점은, Maxwell의 제2식 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)과 제3식 \(\nabla \times \mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{B}\)가 자동으로 성립한다는 것이야. 4개의 방정식 중 2개를 공짜로 얻을 수 있어.
🔵 카이: 4개 중 2개가 자동으로! 절반을 공짜로 얻는 건 대단하네요.
📝 연습문제:
- 벡터 퍼텐셜로부터 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)이 자동 성립함을 확인 → 문제 B-2. 퍼텐셜에서 Maxwell 방정식으로
게이지 변환 — 물리를 바꾸지 않는 "재기술"¶
🔵 카이: 퍼텐셜은 유일하게 결정되나요? 🟡 리나: 날카로운 질문. 사실 결정되지 않아. 다음 변환을 생각해 봐:
여기서 \(\Lambda(\mathbf{r}, t)\)는 임의의 스칼라 함수야. 이 변환을 게이지 변환(gauge transformation)이라 불러.
⚪ 메이: 임의의 함수로 변환해도 괜찮은 거야?
🟡 리나: 괜찮아. 왜냐하면, 물리적으로 관측할 수 있는 것은 \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)이지, \(\Phi\)나 \(\mathbf{A}\) 자체가 아니니까. 실제로 확인해 보자.
🟡 리나: 먼저 자기장. 변환 후의 \(\mathbf{B}'\)를 계산해:
🟡 리나: 벡터 해석의 항등식 \(\nabla \times (\nabla \Lambda) = \mathbf{0}\)(임의의 스칼라장의 기울기의 회전은 0)을 사용하면:
자기장은 변하지 않아. ✓
🟡 리나: 다음으로 전기장:
전개하면:
🔵 카이: 제2항과 제4항이, 부호가 같고……상쇄되나요?
🟡 리나: 맞아. 여기서 \(\nabla\frac{\partial \Lambda}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \Lambda)\)(공간 미분과 시간 미분의 순서 교환)이니까, 제2항과 제4항이 상쇄돼:
전기장도 변하지 않아. ✓
🔵 카이: 오오! \(\Lambda\)가 뭐든 간에, \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)는 불변이군요.
%%{init: {"theme": "default", "themeCSS": ".edgePath .path, .flowchart-link { stroke-width: 2px !important; }"}}%%
flowchart TD
A["퍼텐셜 (Φ, A)"] -->|"E = -∇Φ - ∂A/∂t"| C["전기장 E"]
A -->|"B = ∇×A"| D["자기장 B"]
B["퍼텐셜 (Φ', A')"] -->|"E = -∇Φ' - ∂A'/∂t"| C
B -->|"B = ∇×A'"| D
A <-->|"게이지 변환\nΦ→Φ−∂ₜΛ\nA→A+∇Λ"| B
style C fill:#f9f,stroke:#333
style D fill:#f9f,stroke:#333그림 2.9: 게이지 변환과 퍼텐셜의 비유일성
🟡 리나: 맞아. 퍼텐셜 \((\Phi, \mathbf{A})\)에는 잉여성(redundancy)이 있어. 같은 물리(같은 \(\mathbf{E}\), \(\mathbf{B}\))를 기술하는 퍼텐셜이 무수히 존재해. 이 잉여성을 게이지 자유도라고 불러.
✅ 이해도 체크: "게이지 자유도"란 무엇일까요?
답
같은 물리적 상황(같은 \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\))을 기술하는 퍼텐셜 \((\Phi, \mathbf{A})\)가 무수히 존재한다는 잉여성. 임의의 스칼라 함수 \(\Lambda\)에 의한 게이지 변환으로 다른 퍼텐셜을 얻을 수 있지만, 물리적으로 관측 가능한 양은 변하지 않는다.
🔵 카이: 근데 잉여하다면 뭣하러 굳이 퍼텐셜을 사용하는 거예요? 직접 \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)로 쓰면 되잖아요.
🟡 리나: 좋은 질문. 이유는 두 가지야. 첫째, 퍼텐셜을 사용하면 Maxwell 방정식의 절반이 자동으로 만족되어 계산이 편해져. 둘째——이게 더 깊은 이유인데——양자역학에서는 \(\mathbf{E}\)나 \(\mathbf{B}\)가 아니라 퍼텐셜 \(\mathbf{A}\)가 직접 물리에 영향을 미치는 상황이 있어(Aharonov-Bohm 효과, 「양자역학」편 「양자역학」편 제 26 장 참조).
⚪ 메이: "잉여해 보이는 기술"이 사실은 더 깊은 물리를 기술하는 데 필요한 거구나.
🟡 리나: 그리고 이 게이지 자유도는 단순한 수학적 편의가 아니라, 자연계의 근본적인 대칭성을 반영하고 있어. 제 9 장에서 배우는 게이지 대칭성과 표준모형, 그리고 Part IV의 끈이론에 이르기까지, 게이지 변환 개념은 반복적으로 등장하게 돼.
과학철학 메모: 게이지 변환은 "물리적으로 관측할 수 없는 자유도"를 포함하는 기술법을 사용하고 있다. 이것은 "모델의 기술과 물리적 실재의 구별"이라는 철학적 문제를 제기한다. 퍼텐셜은 "실재"인가, 아니면 편리한 계산 도구에 불과한가? 이 물음에 대한 답은 양자역학의 등장 후에 바뀌게 된다. 스스로 판단할 재료는 이 책을 읽어 나가면서 갖춰지게 될 거야.
✅ 이해도 체크: 전자기 퍼텐셜 \((\Phi, \mathbf{A})\)로부터 자기장 \(\mathbf{B}\)를 구하는 식은 무엇일까요?
답
\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)
✅ 이해도 체크: 게이지 변환 \(\Phi \to \Phi - \partial_t \Lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\Lambda\) 하에서 \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)는 어떻게 될까요?
답
둘 다 불변(변하지 않음). 물리적으로 관측 가능한 양은 게이지 변환으로 변하지 않는다.
2.7 Lagrangian 형식(발전)¶
🟡 리나: 여기서부터는 조금 발전적인 내용이야——이 섹션 전체는 처음 읽을 때 건너뛰고 제 3 장로 넘어가도 괜찮아. 다음 장 이후에서 이 섹션 내용을 전제로 하는 부분은 없으니 안심해. 제 5 장에서 특수상대론을 배운 뒤에 돌아오면, 4차원 표기법이 자연스럽게 이해될 거야. 다만, 읽어두면 "Maxwell 방정식의 4개 식이 따로따로 보이지만, 사실은 하나의 작용으로부터 전부 나온다"는 통일의 깊이를 알 수 있어——이 장의 테마 "통일"의 가장 아름다운 표현이 여기에 있어. 제 1 장에서 "작용 원리"를 소개했지. Newton의 운동방정식이 작용 \(S\)의 정류 조건에서 도출된다는 이야기. 같은 것을 Maxwell 방정식에 대해서도 할 수 있어.
🔵 카이: Maxwell 방정식도 작용 원리에서 나오나요?
🟡 리나: 맞아. 그러려면 먼저 전자기장 텐서 \(F_{\mu\nu}\)라는 도구를 도입할 필요가 있어. 이건 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장에서 배우는 4원 벡터의 언어를 사용할게.
4원 퍼텐셜과 전자기장 텐서¶
🟡 리나: 이 소절의 목표는, "전기장과 자기장이 사실은 하나의 오브젝트(텐서)의 서로 다른 성분이다"라는 것을 보는 거야. 그러기 위해 시간과 공간을 통합한 4차원 표기법을 도입할게.
🟡 리나: 특수상대론에서는 시간과 공간을 통합하여 4차원 좌표 \(x^\mu = (ct, x, y, z)\)로 써. 마찬가지로, 스칼라 퍼텐셜 \(\Phi\)와 벡터 퍼텐셜 \(\mathbf{A}\)를 하나로 모아 4원 퍼텐셜을 정의해:
🟡 리나: 반변 성분(첨자가 위)으로는:
여기서 \(A_x, A_y, A_z\)는 이전 섹션에서 사용한 3차원 벡터 퍼텐셜 \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\)의 성분 그대로야.
🔵 카이: 왜 \(\Phi\)가 아니라 \(\Phi/c\)인 거예요?
🟡 리나: 4원 벡터의 각 성분은 같은 차원(단위)을 가져야 하니까. \(\mathbf{A}\)의 단위는 \(\text{V·s/m}\)(\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)에서 알 수 있어). \(\Phi\)의 단위는 \(\text{V}\)니까, \(\Phi/c\)로 하면 \(\text{V/(m/s)} = \text{V·s/m}\)이 되어서 \(\mathbf{A}\)와 맞게 돼.
🔵 카이: "반변" "공변"이 뭐예요? 왜 2종류의 쓰는 방법이 필요한 거예요?
🟡 리나: 좋은 질문. 자세한 건 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장에서 배우지만, 지금 단계에서는 "첨자가 위인지 아래인지에 따라 공간 성분의 부호가 바뀐다"는 계산 규칙만 기억해두면 돼. 이유는 제 5 장에서 특수상대론을 배우면 "아, 그래서 그렇구나"하고 납득할 수 있게 될 거야.
🟡 리나: 왜 2종류가 필요한지 한마디로 말하면, 시간과 공간을 하나의 틀에서 다룰 때 양자를 구별하기 위한 "가중치"가 필요하기 때문이야. 일상적인 예로 말하면, "북쪽으로 3 km 진행"과 "3시간 대기"는 같은 "3"이라도 물리적으로 완전히 다르잖아? 4차원에서 시간과 공간을 나란히 쓸 때, 그 차이를 부호로 표현해——그게 계량 텐서 \(\eta_{\mu\nu}\)야. 이것은 대각선 위에만 값이 나열되는 4×4 행렬로, 구체적으로는 \(\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)이야. 즉 시간 성분(\(\mu = \nu = 0\))에는 \(+1\), 공간 성분(\(\mu = \nu = 1, 2, 3\))에는 \(-1\)을 곱하는 규칙이야.
⚪ 메이: 시간과 공간의 "가중치 차이"를 부호로 표현하는 거구나.
🟡 리나: 반변 성분(위 첨자)에서는 3차원 성분이 그대로 들어가. 공변 성분(아래 첨자)은 \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\)로 얻어져. 공간 성분에 \(-1\)이 곱해지니까 부호가 반전돼:
🟡 리나: 그리고 전자기장 텐서를 다음과 같이 정의해:
여기서 \(\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}\)야. 정의식의 첨자가 모두 아래(공변)이니까, 계산에는 공변 성분 \(A_\mu = (\Phi/c, -A_x, -A_y, -A_z)\)를 사용한다는 점에 주의해.
🔵 카이: 정의는 알겠는데, 이걸 구체적으로 계산하면 뭐가 되나요?
🟡 리나: \(F_{\mu\nu}\)의 성분을 써내면 전기장과 자기장이 나와. 예를 들어:
🟡 리나: \(F_{\mu\nu}\)의 정의식의 첨자가 모두 아래(공변)이니까, 공변 성분 \(A_\mu = (\Phi/c, -A_x, -A_y, -A_z)\)를 사용해. \(x^0 = ct\)이니까 \(\partial_0 = \frac{\partial}{\partial x^0} = \frac{\partial}{\partial(ct)} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\). 마찬가지로 \(\partial_1 = \frac{\partial}{\partial x^1} = \frac{\partial}{\partial x}\)야. \(A_0 = \Phi/c\), \(A_1 = -A_x\)를 대입하면:
여기서 이전 섹션에서 도출한 \(E_x = -\frac{\partial \Phi}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial t}\)를 떠올리면, 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(\frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial A_x}{\partial t} = -E_x\)이니까:
🔵 카이: 텐서의 성분에 전기장이 들어가는군요!
🟡 리나: 마찬가지로 계산하면, \(F_{\mu\nu}\)는 전기장과 자기장의 성분을 모두 포함하는 반대칭 텐서가 돼. 즉, \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)라는 6개의 성분이 하나의 텐서 \(F_{\mu\nu}\)에 패키징되어 있어.
🔵 카이: 전기장과 자기장이 하나의 오브젝트로 정리되는 거군요.
그림 2.10: 전자기장 텐서의 성분 구조. 반대칭 텐서 F_μν의 성분에 전기장과 자기장이 어떻게 저장되는지를 보여준다.
🟡 리나: 맞아. 이것이 "전기와 자기의 통일"의 수학적 표현이야. Lorentz 변환(「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장 참조)으로 좌표를 바꾸면, \(F_{\mu\nu}\)의 성분이 섞여——즉, 어떤 관측자에게 "전기장"이었던 것이 다른 관측자에게는 "자기장"의 일부로 보여. 전기장과 자기장은 같은 것의 서로 다른 측면인 거야.
게이지 변환의 4차원 버전¶
🟡 리나: 아까 배운 게이지 변환을 4차원 언어로 써보자. 다만 여기서 하나 주의할 점이 있어. 4원 퍼텐셜의 공변 성분은 \(A_\mu = (\Phi/c, -A_x, -A_y, -A_z)\)로 공간 성분에 음의 부호가 붙으니까, 3차원 버전의 부호와 그대로 대응시키려면 약간 주의가 필요해.
🔵 카이: 부호가 복잡할 것 같은데……
🟡 리나: 그렇지. 사실 교과서마다 부호 관례가 달라. 그러니까 지금 단계에서는 본질만 파악하자. 본질은 "게이지 변환에서 전자기장 텐서 \(F_{\mu\nu}\)가 불변이다"——이것 하나야. 먼저 그걸 확인하고, 3차원 버전과의 부호 대응은 보충으로 볼게. 4차원 버전의 게이지 변환을:
라고 쓸게(\(\chi\)는 임의의 스칼라 함수). 왜 3차원 버전의 \(\Lambda\)와 다른 기호를 쓰냐면, 4차원에서는 "공변 성분 \(A_\mu\)에 \(\partial_\mu\chi\)를 더한다"는 형태가 가장 심플하게 쓸 수 있으니까——3차원 버전의 \(\Lambda\)와는 \(\chi = -\Lambda\) 관계이지만, 이건 나중에 확인할게. \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)에 대해 이 변환을 적용하면:
🟡 리나: 편미분의 순서는 교환 가능(\(\partial_\mu \partial_\nu \chi = \partial_\nu \partial_\mu \chi\))하니까, 추가 항이 상쇄돼:
전자기장 텐서는 게이지 불변. ✓
🔵 카이: 그렇군요, 3차원 버전과 같은 구조네요——여분의 항이 상쇄되어서 물리량이 변하지 않아요. 근데 3차원 버전의 게이지 변환 \(\Phi \to \Phi - \partial_t\Lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\Lambda\)와는 어떻게 대응되나요?
🟡 리나: \(\chi = -\Lambda\)로 놓으면 3차원 버전과 일치해. 왜 부호가 반대냐면, 공변 성분 \(A_\mu\)의 공간 부분은 \(A_i = -A_i^{\text{(3차원)}}\)으로 음의 부호가 붙으니까, \(A_i + \partial_i\chi\)의 \(\partial_i\chi = -\partial_i\Lambda\)가 3차원의 \(\mathbf{A} + \nabla\Lambda\)에 대응하는 거야. \(\mu = 0\) 성분을 확인하면 \(\Phi/c \to \Phi/c + \frac{1}{c}\partial_t(-\Lambda) = \Phi/c - \frac{1}{c}\partial_t\Lambda\), 즉 \(\Phi \to \Phi - \partial_t\Lambda\). 공간 성분은 \(A_i \to A_i + \partial_i\chi = -A_x + (-\partial_x\Lambda)\), 즉 3차원 벡터 퍼텐셜로서는 \(A_x \to A_x + \partial_x\Lambda\)——확실히 \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\Lambda\)가 재현돼. ✓
⚪ 메이: 즉, 3차원 버전과 4차원 버전에서 사용하는 함수의 부호가 반대일 뿐, 물리는 같다는 거네.
🟡 리나: 그래. 교과서에 따라 \(\chi\)와 \(\Lambda\) 중 어느 쪽을 사용할지 관례가 나뉘지만, 지금 단계에서 기억해야 할 것은: 게이지 변환에서 \(F_{\mu\nu}\)는 불변——이게 본질이야. 부호 관례의 세부사항은 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장에서 다시 정리할게.
전자기장의 Lagrangian 밀도¶
🟡 리나: 전자기장의 작용을 쓰기 위해 Lagrangian 밀도를 정의할게. 게이지 불변이면서 Lorentz 불변인 가장 단순한 양은:
🔵 카이: 왜 \(-\frac{1}{4\mu_0}\)이 붙나요?
🟡 리나: 계수 \(-\frac{1}{4\mu_0}\)는, 이 Lagrangian에서 Euler-Lagrange 방정식을 도출했을 때 정확히 SI 단위계의 Maxwell 방정식이 나오도록 선택한 규격화야. 자연단위계(\(c = 1\)에 더해 \(\mu_0 = 1\)로 놓는——즉 전자기의 단위도 "자연스러운" 크기로 재설정하는)에서는 단순히 \(-\frac{1}{4}\)이 돼.
🟡 리나: 실제로 \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)를 성분으로 전개하면, 전기장과 자기장 성분의 제곱 조합이 돼. 다만 \(c\)나 \(\mu_0\)을 일일이 쓰면 식이 길어져서 본질이 안 보여. 그래서 계산을 간결하게 하기 위해 자연단위계(\(c = 1\), \(\mu_0 = 1\)로 놓는 단위계)를 사용할게. 아까 계산에서는 \(F_{01} = E_x/c\)였지만, \(c = 1\)로 하면 \(F_{01} = E_x\)가 돼——식의 전망이 좋아지지?
🔵 카이: 상수를 1로 해 버려도 되나요? 물리량의 값이 바뀌지 않아요?
🟡 리나: 좋은 질문. 이건 "상수의 값을 바꾸는" 게 아니라 "단위의 취하는 방법을 바꾸는" 거야. 예를 들어 거리를 km로 재든 m으로 재든 수치는 바뀌지만 물리는 안 변하잖아? 마찬가지로, 길이의 단위를 "빛이 1초에 진행하는 거리"로 잡으면 \(c = 1\)이 돼. \(\mu_0 = 1\)도 같은 발상으로, 전류의 단위를 적절히 다시 선택하면 \(\mu_0\)이 1이 되는 거야. 식의 전망이 좋아질 뿐이고, 마지막에 SI 단위계로 돌아가고 싶으면 차원 분석으로 \(c\)나 \(\mu_0\)을 복원할 수 있어(자세한 건 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장 참조).
⚪ 메이: 프로그래밍으로 말하면, 상수를 변수명에 저장하고 나중에 참조하는 것 같은 거네. 값 자체는 변하지 않아.
🟡 리나: 이 단위계에서는 \(F_{01} = E_x\)(앞에서의 \(E_x/c\)에서 \(c=1\))가 되고, Lagrangian 밀도는 \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)가 돼. 여기서 \(F^{\mu\nu}\)는 첨자를 계량으로 올린 것: \(F^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\).
🔵 카이: "첨자를 계량으로 올린다"는 게 뭐예요?
🟡 리나: 같은 첨자 \(\alpha\)가 위와 아래에 1번씩 나타나면, 그 첨자에 대해 0부터 3까지 합을 취해——이것을 Einstein의 축약 규칙이라 불러. 예를 들어 \(\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\)는 \(\sum_{\alpha=0}^{3}\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\)의 생략 표기야.
🔵 카이: 즉, \(\alpha\)가 위에도 아래에도 나오면 "\(\alpha = 0, 1, 2, 3\)을 전부 더하라"는 거죠?
🟡 리나: 맞아. 구체적으로 써보면 \(\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta} = \eta^{\mu 0}F_{0\beta} + \eta^{\mu 1}F_{1\beta} + \eta^{\mu 2}F_{2\beta} + \eta^{\mu 3}F_{3\beta}\)——4개의 항을 전부 더하는 거야. 하지만 계량 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)은 대각행렬이니까, \(\eta^{\mu\alpha}\)는 \(\alpha = \mu\)일 때만 값을 가지고 나머지는 0이야. 그래서 합을 취해도 \(\alpha = \mu\) 항만 살아남아. 결과적으로 "시간 성분은 그대로, 공간 성분은 부호를 반전시키는" 연산이 되는 거야.
🔵 카이: 대각행렬이니까, 실질적으로는 그 성분만 뽑는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 구체적인 예를 하나 해보자. \(F^{01}\)을 구하려면 \(F^{01} = \eta^{00}\eta^{11}F_{01}\)을 계산해(대각행렬이니까 \(\alpha = 0\), \(\beta = 1\) 항만 살아남아). \(\eta^{00} = +1\), \(\eta^{11} = -1\)이니까 \(F^{01} = (+1)(-1)E_x = -E_x\). 즉 "첨자를 올리면" 공간 방향의 부호가 반전되는 거야. 왜 이런 부호 규약인지는 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장에서 특수상대론을 배우면 자연스럽게 이해할 수 있으니, 지금은 "계산 규칙"으로 받아들여. 이 부호 반전이 \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)를 전개할 때 영향을 미쳐. 계량 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)을 사용해서 전 성분을 합산하면(이하 모두 자연단위계 \(c = 1\), \(\mu_0 = 1\)):
🔵 카이: 왜 \(\mathbf{E}^2\)에 음의 부호가 붙나요? 그리고 2는 어디서 나온 거예요?
🟡 리나: 핵심만 말할게. 첨자를 계량 \(\eta^{\mu\nu}\)로 올릴 때, 시간-공간 성분(예를 들어 \(F_{01} = E_x\))에는 \(\eta^{00}\eta^{11} = (+1)(-1) = -1\)이 걸려. 그래서 \(F_{01}F^{01} = E_x \cdot (-E_x) = -E_x^2\)——전기장의 기여가 음이 돼. 반면, 공간-공간 성분(예를 들어 \(F_{12} = B_z\))에는 \(\eta^{11}\eta^{22} = (-1)(-1) = +1\)이 걸리니까, \(F_{12}F^{12} = B_z^2\)——자기장의 기여는 양이야.
🔵 카이: 계량의 부호 \((+1,-1,-1,-1)\)이 효과를 발휘하는 거군요.
🟡 리나: 맞아. "2"에 대해서는 구체적으로 보여줄게. \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)는 \(\mu\)와 \(\nu\)를 0부터 3까지 전부 더해——즉 \(\mu = 0, \nu = 1\) 항과 \(\mu = 1, \nu = 0\) 항이 모두 포함돼. 반대칭성 \(F_{10} = -F_{01}\)이니까 \(F_{10}F^{10} = (-E_x)(+E_x) = -E_x^2\)로, \(F_{01}F^{01} = -E_x^2\)과 같은 값이야. 즉 같은 물리적 성분이 2번 세어지는 거야. 그래서 독립 성분만으로 쓰면 계수 2가 나와. 전개의 전체 세부사항은 부록 A에 실어놨으니, 관심 있으면 확인해 봐.
따라서:
🔵 카이: 전기장의 제곱 빼기 자기장의 제곱……. 제 1 장에서 나온 \(L = T - V\)와 비슷한 형태인가요?
🟡 리나: 좋은 직감이야. 입자역학의 Lagrangian \(L = T - V\)(운동에너지 빼기 퍼텐셜에너지)와 비슷한 구조지? 전기장이 "운동적" 부분, 자기장이 "퍼텐셜적" 부분에 대응한다고 생각하면 돼. 엄밀한 대응은 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 3 장에서 다룰게.
⚪ 메이: 즉, 제 1 장에서 본 \(T - V\)와 같은 "뭔가 빼기 뭔가" 형태가 장 이론에서도 반복되는 거네.
작용 원리로부터 Maxwell 방정식의 재도출(개요)¶
🟡 리나: 작용은:
여기서 \(d^4x = dt\,dx\,dy\,dz\)는 시간과 공간의 전 영역에 걸친 4차원 적분을 나타내. 좌표 \(x^\mu = (ct, x, y, z)\)를 사용하는 경우 \(d^4x = \frac{1}{c}dx^0\,dx^1\,dx^2\,dx^3\)으로 쓸 수 있어(자연단위계 \(c=1\)에서는 어느 쪽이든 같아).
🟡 리나: 제 1 장에서, 입자의 Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)을 배웠지. 장 이론에서는 입자의 위치 \(q(t)\) 대신 장 \(A_\nu(x)\)가 역학 변수가 돼. 대응하는 장의 Euler-Lagrange 방정식은(도출은 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 3 장에서 자세히 다룸):
🔵 카이: 입자 때는 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)로 "속도로 미분하는" 거였잖아요. 장의 경우 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\)는 뭘로 미분하는 거예요?
🟡 리나: 좋은 질문. 입자역학에서 \(\dot{q}\)를 \(q\)와 독립된 변수로 간주하고 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)를 계산한 것과 같은 발상이야. 장의 경우는 \(\partial_\mu A_\nu\)(장의 각 미분 성분)를 각각 독립된 변수로 간주하고, \(\mathcal{L}\)을 그것으로 편미분해. 다만 장의 경우에는 \(\partial_\mu A_\nu\)가 \(\mu = 0,1,2,3\)과 \(\nu = 0,1,2,3\)의 조합으로 여러 개 있으니까, "어떤 \(\mu\), \(\nu\) 조합의 미분 성분으로 편미분하는지"를 지정하는 거야.
🔵 카이: 입자 때는 \(\dot{q}\)가 1개뿐이었지만, 장이면 미분 성분이 많다는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 구체적인 예를 하나 보여줄게. \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\) 안에 \(F_{01} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0\)이 포함되어 있어. \(\partial_0 A_1\)로 편미분할 때, \(F_{01}\) 안의 \(\partial_0 A_1\)만 반응해서 1을 반환하고, \(\partial_1 A_0\) 부분은 0이 돼. 결과적으로 \(F^{01}\)에 비례하는 항이 나와——이런 계산을 모든 \(\mu\), \(\nu\) 조합에 대해 수행하는 거야. 그리고 좌변 제1항의 \(\partial_\mu\)는, 아까 배운 축약 규칙으로 \(\mu = 0, 1, 2, 3\)의 합을 취해——시공간의 전 방향 미분을 합산한다는 거야.
⚪ 메이: 즉, 입자역학의 \(\frac{d}{dt}\)가 시간 방향뿐이었던 것에 대해, 장 이론에서는 전 방향의 합이 되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 입자역학의 \(\frac{d}{dt}\)가 시간 방향뿐이었던 것에 대해, 장 이론에서는 시공간의 전 방향 미분의 합 \(\partial_\mu\)가 돼——이것이 입자에서 장으로의 확장 포인트야.
🔵 카이: 입자 때는 \(q\)와 \(\dot{q}\)로 미분했잖아요. 장의 경우는 \(A_\nu\)와 \(\partial_\mu A_\nu\)로 미분하고……"장의 값"과 "장의 공간적·시간적 변화율"이 대응하고 있다는 거죠?
🟡 리나: 맞아, 좋은 이해야. 입자역학의 식과 비교하면, \(\frac{d}{dt} \to \partial_\mu\), \(\dot{q} \to \partial_\mu A_\nu\), \(q \to A_\nu\)라는 대응이 돼. \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)(진공 중)는 \(A_\nu\) 자체에는 의존하지 않고 \(\partial_\mu A_\nu\)에만 의존하니까, 제2항은 0이야. 제1항에서는 \(\mathcal{L}\)을 \(\partial_\mu A_\nu\)로 미분하니까, \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) 안의 \(\partial_\mu A_\nu\)를 미분하게 되고, 결과적으로 \(F^{\mu\nu}\)가 나와. 계산하면(도출의 상세는 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 3 장 참조):
🔵 카이: 단 한 줄의 식에 Maxwell 방정식이……!
🟡 리나: 이것은 진공 중의 Maxwell 방정식(제1식과 제4식의 진공 버전)을 4차원 언어로 정리한 거야. \(\nu\)는 0, 1, 2, 3의 값을 취하니까, 사실 4개의 식을 포함하고 있어. \(\nu = 0\)을 취하면 \(\partial_i F^{i0} = 0\)으로, 이것이 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\)(진공 중의 제1식)에 대응해. \(\nu = 1, 2, 3\)을 취하면 \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)(진공 중의 제4식)에 대응하는 거야. 전하·전류가 있는 경우에는, Lagrangian에 전류와의 결합항 \(-A_\nu j^\nu\)를 추가해. 그러면 \(\mathcal{L}\)이 \(A_\nu\)에도 의존하게 되고, Euler-Lagrange 방정식의 제2항이 \(j^\nu\)를 생성해. SI 단위계로 되돌리면(\(\mu_0\)을 복원하면):
여기서 \(j^\nu = (c\rho, \mathbf{j})\)는 4원 전류밀도.
🔵 카이: 대단해요. 4개의 Maxwell 방정식이 작용 원리에서 자연스럽게 나오는군요.
🟡 리나: 맞아. 제 1 장에서는 입자의 운동방정식이 작용 원리에서 나왔잖아? 이번에는 장의 방정식도 같은 원리에서 나와——작용 원리는 입자에도 장에도 사용할 수 있는 보편적 틀이야.
⚪ 메이: 같은 구조가 반복되고 있네. 입자든 장이든, Lagrangian을 쓰고 변분하면 운동방정식이 나와.
🟡 리나: 맞아. 그리고 이 Lagrangian 형식이 중요한 이유는, 장의 양자론(「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 6 장)에서 전자기장을 양자화할 때의 출발점이 되기 때문이야. 나아가 끈이론(제 13 장 이후)에서도 작용 원리가 중심적 역할을 해. 여기서 본 구조는 훨씬 먼 곳까지 계속 사용하게 될 거야.
과학철학 메모: Lagrangian \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)는, "게이지 불변" "Lorentz 불변" "2계 이하의 미분방정식을 준다"는 조건만으로 거의 유일하게 결정된다. 대칭성의 요청이 이론의 형태를 결정한다——이것이 게이지 원리의 싹이며, 제 9 장에서 본격적으로 전개하는 테마야.
✅ 이해도 체크: 전자기장 텐서 \(F_{\mu\nu}\)의 정의는 무엇일까요?
답
\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)
✅ 이해도 체크: 전자기장의 Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)에서 Euler-Lagrange 방정식을 도출하면 무엇을 얻을까요?
답
진공 중의 Maxwell 방정식 \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\).
2.8 남겨진 물음 — 복선¶
🟡 리나: Maxwell의 모델은 전기·자기·빛을 통일했어. 하지만 새로운 수수께끼도 생겼어.
🔵 카이: 뭔데요?
🟡 리나: 광속 \(c\)가 "누구에게서 보든 같다"는 문제야.
🔵 카이: 광속이 누구에게서 보든 같다니, 어떤 뜻이에요? 전철 안에서 공을 던지면, 지상에서 본 속도와 전철 안에서 본 속도가 다르잖아요.
🟡 리나: 맞아. 보통 파동의 속도는 관측자의 운동 상태에 따라 달라져. 하지만 Maxwell 방정식에서 도출되는 광속 \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\)에는 "누구에게서 보아"라는 정보가 들어있지 않아. \(\mu_0\)과 \(\varepsilon_0\)은 진공의 성질을 나타내는 상수로, 관측자의 속도에 의존하지 않아.
🔵 카이: 그러면, 빛과 같은 방향으로 달리면서 빛을 보면, 빛이 느리게 보여야 하는데……Maxwell의 식은 그렇게 되어 있지 않다고요?
🟡 리나: 맞아. Maxwell 방정식은 "광속은 \(c\)"라고만 말해. "누구에게서 보아 \(c\)인지"를 지정하지 않아. 이것은 Newton 역학의 상식——속도는 관측자에 따라 달라진다——과 정면으로 모순돼. 이 모순을 해결한 것이 Einstein의 특수상대론(제 5 장)이야.
🔵 카이: 통일했다고 생각했더니, 다음 문제가 나오는군요. 끝이 없어……
🟡 리나: 끝이 없는 것처럼 보이지만, 사실 거기에 패턴이 있어.
🔵 카이: 패턴이요?
🟡 리나: Newton은 중력을 통일하고 "왜 순간적으로 전달되는가"가 남았어. Maxwell은 전자기를 통일하고 "광속이 누구에게나 같은 건 왜인가"가 남았어. 통일할 때마다, 이전 모델에서는 보이지 않던 새로운 물음이 떠오르는 거야.
🔵 카이: 그러면 그 "남은 물음"을 해결하면, 또 새로운 물음이 나오는 건가요? 영원히 끝나지 않는다면, 궁극적인 통일 같은 게 정말 있는 건가요?
🟡 리나: 그것이야말로 물리학의 근본적인 물음 중 하나야. "궁극의 이론"이 존재하는지, 아니면 무한히 계속되는 중첩 구조인지——이 책의 마지막(Part IV)에서, 끈이론이 그 물음에 어떻게 답하려 하는지를 보게 될 거야.
⚪ 메이: 하지만 적어도, 통일할 때마다 "뭘 모르는지"가 분명해지는 건 확실하네.
🔵 카이: 근데 적어도 "다음에 뭘 물어야 하는지"는 통일할 때마다 뚜렷해지는 거네요. Newton 때는 "왜 순간적으로 전달되는가"가 남았고, Maxwell 때는 "왜 광속이 일정한가"가 남았어——둘 다 "속력"에 관한 문제네요. 우연인가요?
🟡 리나: 좋은 발견이야. 우연이 아니야. 통일할 때마다 정보의 전달 방식에 관한 물음이 첨예화되는 구조가 있어. 그리고 그 구조 자체가 물리학을 앞으로 밀고 나가는 원동력이 되고 있는 거야.
🟡 리나: 그리고 하나 더 복선을 깔아 둘게. 이 장에서 나온 게이지 변환의 자유도——그건 단순한 수학적 편의가 아니라, 자연계의 깊은 대칭성을 반영하고 있어.
⚪ 메이: 퍼텐셜의 "잉여한 기술"에 그런 깊은 의미가 있구나.
🟡 리나: 제 9 장에서는, 이 장에서 본 게이지 변환이 "\(U(1)\) 게이지 대칭성"이라 불리는 수학적 구조의 표현임을 배우고, 나아가 그것을 확장해서 표준모형에 이르는 길을 보게 될 거야(\(U(1)\) 등의 기호의 의미는 제 9 장에서 정의해. 자세한 건 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 17 장 참조).
%%{init: {"theme": "default", "themeCSS": ".edgePath .path, .flowchart-link { stroke-width: 2px !important; }"}}%%
flowchart TD
A["전기의 법칙\n(Coulomb)"] --> C["Maxwell 방정식\n4개 식으로 통일"]
B["자기의 법칙\n(Ampère, Faraday)"] --> C
D["전하 보존 법칙"] -->|"변위전류 도입"| C
C -->|"파동방정식 도출"| E["전자기파의 예언\nc = 1/√(μ₀ε₀)"]
E --> F["빛의 정체는 전자기파"]
C -->|"퍼텐셜 표시"| G["(Φ, A)와 게이지 변환"]
G --> H["게이지 대칭성\n→ 제9장 표준모형"]
F --> I["광속 불변의 수수께끼\n→ 제5장 특수상대론"]
C --> J["중력과의 통일은 미달\n→ Part IV 끈이론"]그림 2.11: Maxwell 방정식에서 빛의 예언으로의 논리 구조
✅ 이해도 체크: Maxwell 방정식에서 도출되는 광속 \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\)이 낳은 새로운 수수께끼는 무엇일까요?
답
광속 \(c\)에 "누구에게서 보아"라는 정보가 포함되어 있지 않아, 관측자의 운동 상태에 무관하게 같은 값이 된다는 문제.
다음 장 예고¶
제 3 장「증기기관의 효율을 높이고 싶다 — 열역학과 엔트로피의 탄생」 ——Carnot이 증기기관의 효율 한계를 추구하고, Boltzmann이 엔트로피의 통계적 의미를 밝혀낸 이야기. "필요성"에서 시작된 탐구가 우주의 근본적 성질에 도달한다.
참고문헌¶
이 장의 내용은 아래 문헌을 참고하여 구성했다.
- David Tong, Lectures on Quantum Field Theory, Ch.2: "Free Fields" — Maxwell 방정식의 Lagrangian 형식, 장의 세기 텐서 \(F_{\mu\nu}\)
- Lee Smolin, The Trouble with Physics, Ch.3: "The World As Geometry" — 통일의 역사적 동기와 평가 기준
- Lee Smolin, The Trouble with Physics, Ch.4: "Unification Becomes a Science" — 게이지 대칭성의 복선, \(U(1)\) 게이지 이론
- J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, Ch.6 — Maxwell 방정식, 파동방정식의 도출
- D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Ch.7 — 전자기파, 퍼텐셜과 게이지 변환
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.