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제 3 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. Carnot 효율 계산

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문제:

고온원 \(T_{\text{hot}} = 500\) K, 저온원 \(T_{\text{cold}} = 300\) K인 Carnot 순환의 최대 효율을 계산하세요. 또한, 저온원을 \(T_{\text{cold}} = 200\) K로 낮춘 경우의 효율도 계산하고 비교하세요.

풀이:

\(\eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\)

\(T_{\text{hot}} = 500\) K, \(T_{\text{cold}} = 300\) K인 경우: \(\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = \boxed{0.4 = 40\%}\)

\(T_{\text{cold}} = 200\) K로 낮춘 경우: \(\eta = 1 - \frac{200}{500} = 1 - 0.4 = \boxed{0.6 = 60\%}\)

포인트: 저온원의 온도를 낮추면 효율이 올라가요. 하지만 \(T_{\text{cold}} = 0\) K(절대 영도)가 아닌 한, 효율은 100%가 되지 않아요. 이것은 기술적인 제약이 아니라 열역학 제2법칙에 의한 근본적인 제약이에요.

Medium（표준）

M-1. 동전의 엔트로피

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문제:

동전을 \(N\) 개 던졌을 때, "정확히 절반이 앞면"이 되는 미시 상태의 수 \(\Omega\)는 이항계수 \(\binom{N}{N/2}\)로 주어져요. \(N = 4\)와 \(N = 100\)의 경우에 대해 \(\Omega\)를 계산하고, \(N\)이 커질수록 "정확히 절반이 앞면"인 상태가 얼마나 압도적으로 많은지 확인하세요.

풀이:

\(N = 4\) 인 경우: \(\Omega = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)

전체 상태 수는 \(2^4 = 16\) 이므로, "정확히 절반이 앞면"일 확률은 \(6/16 = 37.5\%\)예요.

\(N = 100\) 인 경우, 스털링 근사 \(\ln N! \approx N\ln N - N\) 을 사용해요:

\(\ln \binom{100}{50} = \ln 100! - 2\ln 50!\) \(\approx (100\ln 100 - 100) - 2(50\ln 50 - 50)\) \(= 100\ln 100 - 100\ln 50 - 100 + 100\) \(= 100(\ln 100 - \ln 50) = 100\ln 2 \approx 69.3\)

\(\boxed{\Omega \approx e^{69.3} \approx 10^{30}}\)

전체 상태 수는 \(2^{100} \approx 10^{30.1}\)이에요. 즉, "정확히 절반이 앞면"인 상태가 전체에서 상당한 비율을 차지해요. \(N\) 이 커질수록 "거의 절반이 앞면"인 상태가 압도적으로 많아져요.

M-2. 온도의 통계역학적 정의

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문제:

2개의 계(에너지 \(E_1\), \(E_2\), 전체 에너지 \(E = E_1 + E_2\)가 일정)가 열평형에 있을 때, 전체 엔트로피 \(S_{\text{total}} = S_1(E_1) + S_2(E_2)\)가 최대가 되는 조건으로부터 \(\frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\), 즉 \(T_1 = T_2\)를 도출하세요.

해답:

전체 엔트로피 \(S_{\text{total}} = S_1(E_1) + S_2(E - E_1)\)를 \(E_1\)으로 최대화해요.

\(\frac{dS_{\text{total}}}{dE_1} = \frac{\partial S_1}{\partial E_1} + \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\frac{dE_2}{dE_1} = 0\)

\(E_2 = E - E_1\)이므로 \(dE_2/dE_1 = -1\):

\(\frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\)

온도의 정의 \(1/T = \partial S / \partial E\)를 사용하면:

\(\boxed{\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_2} \quad \Rightarrow \quad T_1 = T_2}\)

포인트: 열평형의 조건은 "전체 엔트로피가 최대"예요. 이것은 "온도가 같다"와 동치예요. 온도의 통계역학적 정의가, 일상적인 "열평형에서는 온도가 같다"는 경험과 일치해요.