제2장 특수상대론과 Lorentz 불변성의 복습¶
지금까지의 이야기:
제 1 장에서는, 양자역학과 특수상대론을 동시에 만족시키려 하면 입자의 생성·소멸이 불가피하다는 것, 그리고 그것을 기술하기 위해 「장의 양자론」이라는 새로운 틀이 필요하다는 것을 확인했다. 「양자역학」편 제 27 장에서 예고된 Klein-Gordon 방정식이나 Dirac 방정식의 어려움을 되돌아보고, 「장의 진동 모드가 입자이다」라는 세계관으로의 가교를 놓았다.
이 장의 목표
- 특수상대론의 수학적 도구(Lorentz 변환, Minkowski 계량, 4원벡터, 첨자 올리기·내리기, Einstein의 축약 규칙)의 요점을 복습하고, 장의 양자론에서 특히 중요해지는 3가지 관점——(i) 부호 규약 \((+,-,-,-)\), (ii) Lorentz 군의 분류와 Poincaré 군, (iii) 「첨자의 균형」만으로 Lorentz 공변성을 판정하는 실무——을 새로이 익힌다
- 이것으로 다음 장 이후, Lagrangian을 써 내려가고 장 방정식을 유도하는 토대가 마련된다
2.1 특수상대론의 수학적 골격을 속습¶
🟡 리나: 제 1 장에서, 장의 양자론이 「양자역학과 특수상대론을 융합시킨 이론」이라고 이야기했지. 오늘은 특수상대론의 수학적 골격을, 장의 양자론에서 사용할 수 있는 형태로 정비하는 게 목표야.
🔵 카이: 「일반상대론」편 제 3 장과 「일반상대론」편 제 4 장에서, 특수상대론과 Minkowski 시공의 수학은 이미 했잖아요. 중복되지 않아요?
🟡 리나: 날카로운 질문이네. 물리적인 내용의 핵심은 같으니까, 이 장에서는 「일반상대론」편 제3-4장을 전제로 해서, 결과만 빠르게 확인할게. 그 대신, 장의 양자론에서 새롭게 필요해지는 관점——Lorentz 군의 분류, Poincaré 군, 「첨자의 균형」으로 공변성을 판정하는 실무——에 시간을 할애할 생각이야.
⚪ 메이: 「일반상대론」편 제3-4장을 이미 배운 사람은, 이 섹션은 결과만 훑어보고 다음으로 넘어가면 되는 거네.
🟡 리나: 그 말이 맞아. 그러면 요점을 표로 정리할게.
특수상대론의 수학적 골격(「일반상대론」편 제3-4장의 요약)
Lorentz 변환(\(x\) 방향 부스트) — 「일반상대론」편 제 3 장
래피디티 \(\varphi\)(\(\tanh\varphi = v\))를 사용하면, 회전과 같은 형태의 「쌍곡선 회전」으로 쓸 수 있다——「일반상대론」편 제 3 장 참조.
4원벡터와 첨자 — 「일반상대론」편 제 4 장
그리스 첨자 \(\mu, \nu, \ldots\)는 \(0, 1, 2, 3\)(시공), 라틴 첨자 \(i, j, \ldots\)는 \(1, 2, 3\)(공간만).
Einstein의 축약 규칙 — 같은 첨자가 위아래에 1번씩 나타나면 \(0\)부터 \(3\)까지 합을 취한다. \(\sum\)은 생략.
첨자 올리기·내리기 — 계량 텐서 \(\eta_{\mu\nu}\)로 첨자를 내리고, 역계량 \(\eta^{\mu\nu}\)로 올린다.
4원운동량과 질량각 조건 — 「일반상대론」편 제 4 장
🔵 카이: 자연단위계 \(c = \hbar = 1\)은 어떻게 하나요?
🟡 리나: 「일반상대론」편 제 4 장에서 \(c = 1\)을 도입했었지. 장의 양자론에서는 양자역학도 융합하니까, 추가로 \(\hbar = 1\)도 넣어——이것을 「입자물리의 자연단위계」라고 불러. 자세한 약속은 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장의 말미에 있는 「관련 단위계」 노트를 참조해줘.
\(\hbar = 1\)을 추가하면, 에너지와 질량과 진동수가 모두 같은 차원이 돼. 왜 진동수도 그런가 하면, \(E = \hbar\omega\)에서 \(\hbar = 1\)이면 \(E = \omega\)——즉 진동수가 그대로 에너지의 단위로 측정되는 거야. 마찬가지로 \(E = mc^2\)에서 \(c = 1\)이면 \(E = m\)이니까 질량도 에너지와 같은 차원이지.
🔵 카이: 질량도 진동수도 에너지와 같은 차원……이라면, 전자의 질량을 MeV로 쓸 수 있는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 예를 들어 전자의 질량 \(m_e \approx 0.511\,\text{MeV}\)는, \(c\)나 \(\hbar\)를 쓰지 않고 「에너지 그 자체」로 다룰 수 있어. 길이나 시간은 어떻게 되냐면, \(\hbar = 1\)은 \([\text{Energy}] \times [\text{Time}] = 1\)(무차원)을 의미하니까 \([\text{Time}] = [\text{Energy}]^{-1}\). 게다가 \(c = 1\)은 \([\text{Length}] = [\text{Time}]\)을 의미하니까, 결국 \([\text{Length}] = [\text{Time}] = [\text{Energy}]^{-1}\)이 돼. 즉 고에너지일수록 짧은 거리·짧은 시간에 대응해——입자물리에서 「고에너지 실험 = 짧은 거리의 물리를 탐구한다」고 하는 이유가 여기에 있어. 각 물리량의 차원이 어떻게 바뀌는지, 표 2.1「자연단위계 (\(c = \hbar = 1\))에서의 차원 통일」에 정리해둘게.
⚪ 메이: 길이가 에너지의 역수가 되니까, 에너지를 올리면 볼 수 있는 스케일이 작아지는 거네——가속기에서 고에너지로 하는 의미가 거기에 있구나.
표 2.1: 자연단위계 (\(c = \hbar = 1\))에서의 차원 통일
| 물리량 | SI 단위에서의 차원 | 자연단위계에서의 차원 | 예 |
|---|---|---|---|
| 에너지 | \(\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2\) | \([\text{Energy}]\) | \(E = 0.511\,\text{MeV}\) |
| 질량 | \(\text{kg}\) | \([\text{Energy}]\) | \(m_e = 0.511\,\text{MeV}\) |
| 운동량 | \(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}\) | \([\text{Energy}]\) | \(p = 1\,\text{GeV}\) |
| 길이 | \(\text{m}\) | \([\text{Energy}]^{-1}\) | \(1\,\text{GeV}^{-1} \approx 0.2\,\text{fm}\)(\(1\,\text{fm} = 10^{-15}\,\text{m}\); 양성자의 반지름 \(\approx 0.8\,\text{fm}\)보다 작은 스케일) |
| 시간 | \(\text{s}\) | \([\text{Energy}]^{-1}\) | \(1\,\text{GeV}^{-1} \approx 6.6 \times 10^{-25}\,\text{s}\) |
✅ 이해도 체크: 장의 양자론에서 채용하는 자연단위계에서는 어떤 상수를 1로 놓을까요? 또 그 결과, 질량은 어떤 차원의 양으로 다룰 수 있을까요?
답
\(c = 1\)과 \(\hbar = 1\) 둘 다 놓는다(입자물리의 자연단위계). 그 결과, 질량·에너지·진동수가 모두 같은 차원이 되어, 예를 들어 전자의 질량을 \(m_e \approx 0.511\,\text{MeV}\)로 에너지의 단위로 그대로 나타낼 수 있다.
2.2 부호 규약의 차이——QFT 류와 GR 류¶
🟡 리나: 여기서, 장의 양자론을 배울 때 처음으로 혼란스러운 점을 먼저 정리해둘게. 계량 텐서의 부호 규약이야. 그림 2.1「부호 규약의 차이(QFT 류 vs GR 류)」에 2가지 유파의 전체상을 정리해놨으니, 먼저 살펴봐.
그림 2.1: 부호 규약의 차이(QFT 류 vs GR 류). 계량 텐서의 부호 규약에는 QFT 류 \((+,-,-,-)\)와 GR 류 \((-,+,+,+)\)의 2종류가 있다. 물리적 결론은 같지만, 중간 식의 부호가 다르므로, 교과서 참조 시에는 반드시 확인이 필요하다.
🔵 카이: 부호 규약……「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장에서는 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, +1, +1, +1)\)이었잖아요?
🟡 리나: 맞아. 이것은 GR 류의 부호 규약(mostly-plus, \((-,+,+,+)\))이야. 그런데 입자물리·장의 양자론 교과서에서는, 반대의
——QFT 류(mostly-minus, \((+,-,-,-)\))——를 사용하는 게 표준이야. 이 책도 QFT 류를 채용할게.
⚪ 메이: 왜 유파가 2개 있는 거야?
🟡 리나: 역사적 경위 때문이야. 어느 쪽이든 물리적 결론은 같지만, 도중의 식 부호가 몇 개 반전돼. 대응표를 만들어둘게.
GR 류 \((-,+,+,+)\)와 QFT 류 \((+,-,-,-)\)의 대응표
| 양 | GR 류 | QFT 류(본서) |
|---|---|---|
| 계량 | \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1)\) | \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1)\) |
| 시공간격 | \(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x}^2\) | \(ds^2 = dt^2 - d\mathbf{x}^2\) |
| 4원운동량의 내적 | \(p_\mu p^\mu = -m^2\) | \(p_\mu p^\mu = +m^2\) |
| 4원속도의 노름(\(U^\mu = dx^\mu/d\tau\); 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장 참조) | \(U_\mu U^\mu = -1\) | \(U_\mu U^\mu = +1\) |
| 시간적 벡터 \(V\) | \(V_\mu V^\mu < 0\) | \(V_\mu V^\mu > 0\) |
| 공간적 벡터 \(V\) | \(V_\mu V^\mu > 0\) | \(V_\mu V^\mu < 0\) |
| 빛꼴(null) 벡터 | \(V_\mu V^\mu = 0\) | \(V_\mu V^\mu = 0\)(같음) |
「일반상대론」편 제3-4장의 식을 QFT 류로 번역하려면, \(\eta_{\mu\nu}\) 전체의 부호를 반전시키면 된다. 이에 따라, 내적의 값과 「시간적/공간적」의 부호 규약이 바뀐다.
🔵 카이: \(p^\mu p_\mu = m^2\)로 부호가 플러스가 되는 게 QFT 류군요. 확실히 「질량의 제곱이 양」인 쪽이 직관적……
🟡 리나: 그렇지. QFT 류는 「시간 성분이 플러스」이고 「질량각 조건 \(p^\mu p_\mu = m^2\)가 그대로 양」이라는 보기 쉬움이 있어. 반면 GR 류는 「공간 부분의 계량이 \(\eta_{ij} = +\delta_{ij}\)이므로, 공간 벡터의 내적이 고등학교에서 배운 \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\)와 그대로 일치하는」 별도의 보기 쉬움이 있어. 취향의 문제이므로, 다른 교과서를 참조할 때는 먼저 부호 규약을 확인하는 습관을 들여——이걸 게을리하면 중간 식의 부호가 맞지 않아서 혼란스러워.
⚪ 메이: 본서는 QFT 류. 「일반상대론」편 제3-4장을 참조할 때는 부호에 주의, 알겠어.
🟡 리나: 맞아. 구체적으로 QFT 류로 식을 다시 써둘게.
첨자를 내리면
시간 성분은 그대로, 공간 성분의 부호가 반전돼(GR 류와는 반대). 4원벡터의 내적은
4원운동량의 질량각 조건은
✅ 이해도 체크: QFT 류 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1)\) 하에서, 4원벡터 \(A^\mu = (3, 1, 2, 0)\)에 대해 \(A_\mu\)를 구하세요. 또한 \(A^\mu A_\mu\)를 계산해 봅시다.
답
\(A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu = (3, -1, -2, 0)\)(시간 성분은 그대로, 공간 성분의 부호가 반전).
\(A^\mu A_\mu = A^0 A_0 + A^1 A_1 + A^2 A_2 + A^3 A_3 = 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 9 - 1 - 4 = 4\).
\(A^\mu A_\mu > 0\)이므로, QFT 류의 부호 규약에서 이것은 시간적 벡터이다.
📝 연습문제:
- 첨자 올리기·내리기·내적·축약 → 문제 B-1. 지표의 올림과 내림, 문제 B-2. 4원벡터의 내적, 문제 B-3. Einstein 축약 규칙의 전개
2.3 Lorentz 군의 구조¶
🟡 리나: 부호 규약의 정리가 끝났으니, 이제 장의 양자론 고유의 새로운 이야기로 들어갈게. 여기까지는 GR Ch.3-4와 내용이 겹쳤지만, 여기서부터는 새로운 지평이야. Lorentz 변환 전체가 어떤 구조를 갖는지 살펴볼 거야. 장의 양자론에서 「어떤 장이 허용되는가」 「어떤 입자가 존재할 수 있는가」를 결정하는 것이 바로 이 군 구조니까.
Lorentz 변환 행렬의 일반적 정의¶
🟡 리나: 4원벡터 \(x^\mu\)에 대한 일반적인 Lorentz 변환을
이라고 써. \(\Lambda^\mu{}_\nu\)는 \(4 \times 4\) 행렬로, Lorentz 변환 행렬이야. 정의적 성질은 「불변 간격을 보존하는 것」——임의의 \(x^\mu\)에 대해 \(\eta_{\mu\nu}\, x'^\mu\, x'^\nu = \eta_{\mu\nu}\, x^\mu\, x^\nu\).
이것을 정리해 보자. \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\, x^\alpha\)를 불변 간격의 조건에 대입하면
이것이 임의의 \(x^\alpha\)에 대해 \(\eta_{\alpha\beta}\, x^\alpha\, x^\beta\)와 같으려면, 괄호 안의 내용 자체가 같아야 해:
🔵 카이: 「임의의 \(x\)에서 성립」하니까, \(x\)를 포함하지 않는 부분끼리 같아지는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 행렬 형식으로는(행렬의 성분을 \((\Lambda)^\mu{}_\nu = \Lambda^\mu{}_\nu\)로 정의해서)
이라고 쓸 수 있어. 여기서 \(\Lambda^T\)는 전치행렬——행과 열을 바꾼 것(보통의 행렬로 말하면 \((A^T)_{ij} = A_{ji}\), 즉 전치행렬의 제 \(i\) 행 제 \(j\) 열은 원래 행렬의 제 \(j\) 행 제 \(i\) 열과 같다). (2.8)이 (2.7)과 같은 내용임을 아래에서 확인하자.
구체적으로 \(2 \times 2\) 예시로 확인해 보자. 행렬 \(M\)의 「제 \(i\) 행·제 \(j\) 열」 성분을 \(M^i{}_j\)로 쓰기로 하면, \(M = \begin{pmatrix} M^1{}_1 & M^1{}_2 \\ M^2{}_1 & M^2{}_2 \end{pmatrix}\). 여기서 주의——이 \(M^i{}_j\)의 위·아래 첨자는 「행 번호·열 번호」를 구별하기 위한 편의적 표기로, 텐서의 반변·공변과는 별개의 이야기야. 다만 Lorentz 변환 행렬 \(\Lambda^\mu{}_\nu\)의 경우는, \(\Lambda\)가 「반변벡터 \(x^\mu\)를 다른 반변벡터 \(x'^\mu\)로 보내는」 행렬이므로, 첫 번째 첨자 \(\mu\)(행 번호에 대응)가 반변, 두 번째 첨자 \(\nu\)(열 번호에 대응)가 공변——즉 행렬로서의 행·열 구별과 텐서로서의 반변·공변 구별이 자연스럽게 일치해. 그래서 이 표기법을 그대로 쓸 수 있어. 전치 \(M^T\)는 행과 열을 바꾸니까, \(M^T\)의 「제 \(i\) 행·제 \(j\) 열」 성분은 \(M\)의 「제 \(j\) 행·제 \(i\) 열」 성분——즉 \((M^T)^i{}_j = M^j{}_i\). 따라서 \(M^T = \begin{pmatrix} M^1{}_1 & M^2{}_1 \\ M^1{}_2 & M^2{}_2 \end{pmatrix}\).
🔵 카이: 아, 대각 성분은 그대로고, 비대각 성분이 서로 바뀌는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 이것을 \(4 \times 4\) Lorentz 변환 행렬에 적용할게. \(\Lambda\)의 「제 \(\mu\) 행·제 \(\nu\) 열」 성분은 \(\Lambda^\mu{}_\nu\)야. 전치 공식 \((M^T)^i{}_j = M^j{}_i\)를 적용하면, \((\Lambda^T)^\alpha{}_\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\)——즉 전치 \(\Lambda^T\)의 「제 \(\alpha\) 행·제 \(\mu\) 열」은 \(\Lambda\)의 「제 \(\mu\) 행·제 \(\alpha\) 열」의 성분 \(\Lambda^\mu{}_\alpha\)야.
⚪ 메이: 즉, 아까의 \(2 \times 2\) 예시와 같이, 행과 열을 바꾸면 \((\Lambda^T)^\alpha{}_\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\)가 되는 거네——행 번호와 열 번호가 바뀐 형태.
🔵 카이: 그래서 이걸 사용해서 행렬곱 \(\Lambda^T \eta\, \Lambda\)의 성분을 계산하는 거죠. 3개 행렬의 곱은 어떻게 쓰나요?
🟡 리나: 보통의 행렬곱 \((AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}\)와 같은 요령으로, 이웃한 첨자끼리 축약해 나가면 돼. 3개 행렬의 곱 \(ABC\)라면, 한꺼번에 \((ABC)_{ij} = \sum_k \sum_l A_{ik} B_{kl} C_{lj}\)라고 쓸 수 있어——먼저 \(AB\)를 계산하고 \(C\)를 곱해도, \(A\)에 \(BC\)를 곱해도 같은 결과가 나오니까.
이걸 사용하면: \((\Lambda^T \eta\, \Lambda)\)의 제 \(\alpha\) 행·제 \(\beta\) 열 성분은, 행렬곱의 정의에 의해 \(\sum_{\mu}\sum_{\nu}(\Lambda^T)^\alpha{}_\mu\, \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\nu{}_\beta\)야——여기서 행렬 \(\eta\)의 「제 \(\mu\) 행·제 \(\nu\) 열」 성분을 \(\eta_{\mu\nu}\)로 쓰고 있어(행렬로서의 행·열 번호를 텐서 첨자 표기법으로 나타낸 것뿐). \((\Lambda^T)^\alpha{}_\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\)를 대입하면 \(\sum_{\mu}\sum_{\nu}\Lambda^\mu{}_\alpha\, \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\nu{}_\beta\)——Einstein의 축약 규칙으로 \(\sum\)을 생략하면 \(\Lambda^\mu{}_\alpha\, \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\nu{}_\beta\)가 돼. 이것이 \(\eta_{\alpha\beta}\)와 같다는 게 바로 (2.7)이야.
🔵 카이: 회전이 \(R^T R = \mathbf{1}\)을 만족하는 것과 비슷하네요. 단위행렬이 계량 \(\eta\)로 바뀌었을 뿐이군요.
🟡 리나: 맞아. 회전은 \(\delta_{ij}\)를 보존하는 변환, Lorentz 변환은 \(\eta_{\mu\nu}\)를 보존하는 변환. 구조가 평행해. 「일반상대론」편 제 3 장의 「쌍곡선 회전」이 바로 이 구조야.
Lorentz 군의 4개의 연결 성분¶
🟡 리나: 자, 조건 (2.8)의 양변의 행렬식을 취해볼게. 여기서 행렬식의 중요한 성질 2가지를 사용해. 첫 번째는 「행렬 곱의 행렬식은 각 행렬식의 곱과 같다」——즉 \(\det(ABC) = \det A \cdot \det B \cdot \det C\)야. 직관적으로는, 행렬식은 「공간의 부피가 그 변환으로 몇 배 늘어나거나 줄어드는가」를 나타내는 양이니까, 변환을 2번 연속으로 했을 때의 부피 변화율은 각 변환의 부피 변화율의 곱이 되는 거야. \(2 \times 2\)의 경우로 확인해 보면, \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)일 때 \(\det A = ad - bc\)이고, 실제로 \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\)가 성립하는 것을 직접 계산으로 확인할 수 있어(「일반상대론」편 @chapter:gr/appendix_a의 여인수 전개도 참조). 두 번째는 「전치해도 행렬식은 변하지 않는다」(\(\det\Lambda^T = \det\Lambda\))——이것은 여인수 전개(「일반상대론」편 @chapter:gr/appendix_a 참조)를 행으로 해도 열로 해도 같은 값이 나오는 것으로부터 증명할 수 있어. 직관적으로는, \(2 \times 2\)의 경우로 확인하면 \(\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\)이고, 전치하면 \(\det\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = ad - cb = ad - bc\)——확실히 같지. 일반적인 경우에도 마찬가지로 성립해.
🔵 카이: 그렇군요, 부피 변화율의 곱과, 전치해도 불변——이 2가지 성질을 사용하는 거군요.
🟡 리나: 이 2가지를 사용하면, 좌변은 \(\det(\Lambda^T \eta\, \Lambda) = \det\Lambda^T \cdot \det\eta \cdot \det\Lambda = (\det\Lambda)^2\, \det\eta\)가 돼. 우변은 \(\det\eta\)야. \(\det\eta = \det(\text{diag}(+1,-1,-1,-1)) = (+1)(-1)(-1)(-1) = -1 \neq 0\)이니까, 양변을 \(\det\eta\)로 나누면
⚪ 메이: \(\det\Lambda\)는 \(+1\) 아니면 \(-1\)밖에 될 수 없어——중간값은 취할 수 없는 거네.
🟡 리나: 또한 (2.7)은 임의의 \(\alpha, \beta\)에 대해 성립하니까, 특히 \(\alpha = \beta = 0\)을 대입해 보면
좌변을 QFT 류의 계량 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1)\)로 전개해 볼게. \(\mu\)와 \(\nu\)는 각각 독립적으로 0부터 3까지 달리니까, 원래는 \(4 \times 4 = 16\)항이 있어. 하지만 \(\eta_{\mu\nu}\)는 대각행렬이므로 \(\mu \neq \nu\)일 때 \(\eta_{\mu\nu} = 0\)——즉 \(\mu = \nu\)인 4항만 살아남아:
\(\eta_{00} = +1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1\)을 대입하면
이항하면
(등호는 \(\Lambda^i{}_0 = 0\)(\(i = 1, 2, 3\))일 때——즉 변환 행렬의 제0열의 공간 행 성분이 모두 0일 때——에 성립한다. 항등변환이나 순수한 시간 반전이 이 경우에 해당한다.) \(x^2 \geq 1\)을 만족하는 실수는 \(|x| \geq 1\), 즉 \(x \geq 1\) 또는 \(x \leq -1\)밖에 없다(만약 \(|x| < 1\)이면 \(x^2 < 1\)이 되어 모순이니까——2차함수 \(y = x^2\)의 그래프에서 \(y \geq 1\)인 영역을 떠올려 봐). 따라서 \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) 또는 \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\)이야. 예를 들어 항등변환(아무것도 하지 않는 변환, \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu\))에서는 \(\Lambda^0{}_0 = 1\)(\(\det\Lambda = +1\)), 순수한 시간 반전(\(t \to -t\), 공간은 그대로, 즉 \(\Lambda = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)\))에서는 \(\Lambda^0{}_0 = -1\)(대각행렬의 행렬식은 대각 성분의 곱이므로 \(\det\Lambda = (-1)(1)(1)(1) = -1\))이야.
✅ 이해도 체크: Lorentz 변환 행렬 \(\Lambda\)를 4개의 연결 성분으로 분류하는 2가지 판정 기준은 무엇일까요? 각각 어떤 값을 취할 수 있을까요?
답
(1) \(\det\Lambda = +1\)인가 \(-1\)인가, (2) \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\)인가 \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\)인가, 이 2가지이다. 이들의 조합에 의해, Lorentz 군은 4개의 연결 성분으로 나뉜다. 연속적인 매개변수 변화로는 이 값들이 점프할 수 없으므로, 다른 연결 성분 사이를 연속적으로 오갈 수 없다.
🔵 카이: \(\det\Lambda = +1 / -1\)과 \(\Lambda^0{}_0 \geq 1 / \leq -1\)의 조합으로, Lorentz 군이 4개로 나뉘는 거군요. 그런데 「나뉜다」는 게 구체적으로 어떤 의미예요? 왜 섞이지 않는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 여기서 연결 성분 (connected component)이라는 말을 도입할게. 변환의 매개변수(회전각이나 부스트 속도)를 연속적으로 조금씩 바꿔서 도달할 수 있는 변환들의 모임을 하나의 연결 성분이라고 불러. 왜 \(\det\Lambda\)나 \(\Lambda^0{}_0\)가 도중에 점프할 수 없냐면, 매개변수를 조금씩 바꾸면 \(\Lambda\)의 성분도 조금씩 변해——즉 \(\det\Lambda\)도 \(\Lambda^0{}_0\)도 연속함수이니까, \(+1\)에서 \(-1\)로 뛰려면 도중에 \(0\)을 지나야 해. 하지만 도중의 어떤 \(\Lambda\)도 역시 Lorentz 변환 행렬(조건 (2.8)을 만족)이므로, (2.9)에 의해 \(\det\Lambda = 0\)은 있을 수 없고, (2.10)에 의해 \(|\Lambda^0{}_0| < 1\)도 있을 수 없어. 그래서 점프는 불가능한 거야. 이미지로 말하면, 4개의 섬이 바다로 격리되어 있는 것과 같아——같은 섬 안에서는 걸어서(= 매개변수를 연속적으로 바꿔서) 어디든 갈 수 있지만, 다른 섬으로는 수영해도 건너갈 수 없어.
🔵 카이: 아, 연속적으로 바꿔도 「금지된 값」을 통과할 수 없으니까, 영원히 다른 섬에는 갈 수 없는 거군요.
🟡 리나: 이름 붙이는 방법을 먼저 설명해둘게. 「고유 (proper)」는 \(\det\Lambda = +1\)(공간의 방향을 보존), 「직교 (orthochronous)」는 \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\)(시간의 방향을 보존)을 의미해. 「비고유」 「비직교」는 각각의 부정이야. 이 명명 규칙을 머릿속에 넣고, 표 2.2「Lorentz군의 4개의 연결 성분」를 봐줘.
표 2.2: Lorentz군의 4개의 연결 성분
| 연결 성분 | 조건 | 포함되는 변환 |
|---|---|---|
| 고유직교(proper orthochronous) \(L_+^\uparrow\) | \(\det\Lambda = +1\) 그리고 \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) | 통상적인 회전·부스트 |
| 비고유직교 \(L_-^\uparrow\) | \(\det\Lambda = -1\) 그리고 \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) | 패리티 \(P\)를 포함 |
| 고유비직교 \(L_+^\downarrow\) | \(\det\Lambda = +1\) 그리고 \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\) | \(PT\)(패리티×시간반전)를 포함 |
| 비고유비직교 \(L_-^\downarrow\) | \(\det\Lambda = -1\) 그리고 \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\) | 시간반전 \(T\)를 포함 |
전체상을 그림 2.2「Lorentz군과 Poincaré군의 구조」에 정리했으니 봐줘. 이 그림에는 Poincaré 군——Lorentz 변환에 시공 병진(시간 방향 1개 + 공간 방향 3개 = 4 매개변수)을 더한 것으로, 합계 10 매개변수의 군——도 그려져 있는데, 그건 2.4「Poincaré 군——Lorentz 변환 + 시공 병진」에서 자세히 할게.
그림 2.2: Lorentz군과 Poincaré군의 구조. Lorentz 군은 4개의 연결 성분으로 나뉘며, 고유직교 Lorentz 군 \(SO^+(1,3)\)은 회전 3 + 부스트 3 = 6 매개변수의 연속군이다. 여기에 시공 병진 4 매개변수를 더한 Poincaré 군(10 매개변수)에 대해서는 2.4「Poincaré 군——Lorentz 변환 + 시공 병진」에서 자세히 설명한다.
🟡 리나: 장의 양자론에서 가장 중요한 것은 고유직교 Lorentz 군 \(SO^+(1,3)\)(\(L_+^\uparrow\))——공간의 방향도 시간의 방향도 보존하는 변환의 집합이야. 기호의 의미를 분해하면, \(S\)는 special(\(\det\Lambda = +1\)), \(O\)는 orthogonal(직교)의 일반화——보통의 회전군이 \(R^T R = \mathbf{1}\)(유클리드 계량 \(\delta_{ij}\)를 보존)이었던 것에 대해, 여기서는 \(\Lambda^T \eta\, \Lambda = \eta\)(Minkowski 계량 \(\eta_{\mu\nu}\)를 보존)로 확장한 것——, \(+\)는 orthochronous(시간의 방향을 보존), \((1,3)\)은 시간 1차원·공간 3차원을 나타내고 있어. \(SO^+(1,3)\)은 회전 3 매개변수 + 부스트 3 매개변수 = 6 매개변수로, 매개변수가 연속적으로 변화하는 군(연속군)이야.
🔵 카이: 「연속군」이란, 회전군처럼 각도를 조금씩 바꿀 수 있는 거죠. 그거에 무슨 특별한 이름이 있나요?
🟡 리나: 있어. 군의 정의——닫혀 있다·결합법칙·항등변환·역변환의 4조건——은 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장에서 다뤘지. 수학에서는 그 중에서도, 매개변수를 연속적으로 바꿀 수 있는 군을 리(Lie) 군이라고 불러. 구체적으로 말하면, 회전각 \(\theta\)를 바꿨을 때 회전행렬의 성분 \(\cos\theta\)나 \(\sin\theta\)는 \(\theta\)로 몇 번을 미분해도 유한한 값을 돌려주잖아? 이처럼 「변환의 매개변수를 바꿨을 때, 행렬의 성분이 매끄럽게(몇 번이든 미분할 수 있도록) 변화하는」 군을 리 군이라고 불러. 이 장에서는 「매개변수를 연속적으로 조금씩 바꿀 수 있는 군」과 거의 같은 의미라고 생각해 줘도 괜찮아. 이름만 기억해둬——참고문헌에서는 「Lorentz 군은 리 군이다」라는 표현이 자주 나오고, 다음 장 이후에서 무한소 변환을 다룰 때도 이 용어가 나올 거야.
⚪ 메이: 즉, 회전군이 각도를 연속적으로 바꿀 수 있는 것과 같은 의미에서, Lorentz 군도 매개변수를 연속적으로 바꿀 수 있으니까 리 군——이라는 거네.
🟡 리나: 맞아. 참고로, \(\det\Lambda = -1\)을 포함하는 변환은 패리티 (parity, 공간 반전) \(P\), \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\)을 포함하는 변환은 시간 반전 (time reversal) \(T\)에 각각 대응해. 이것들은 연속 매개변수로는 \(SO^+(1,3)\)에 연결되지 않아——즉 이산 변환 (discrete transformation)이야.
🔵 카이: 아, 「양자역학」편 「양자역학」편 제 26 장에서 했던 이산 대칭성이네요! 패리티가 깨진다든지, CP가 깨진다든지. 그런데, 왜 이산 변환만 따로 취급하는 건가요? 연속 변환과 본질적으로 뭐가 다른 건가요?
🟡 리나: 아까의 「섬」 비유로 말하면, 연속 변환은 같은 섬 안을 돌아다닐 수 있지만, 이산 변환은 다른 섬으로 점프하는 것——매개변수를 조금씩 바꿔도 도달할 수 없으니까 「별개의 것」으로 다룰 수밖에 없어. 그리고 장의 양자론에서는 「\(P\)나 \(T\)의 대칭성이 깨져 있는지 여부」가 실험적으로 중대한 문제가 돼——약한 상호작용에서의 P 깨짐(1956년, Lee-Yang), CP 깨짐(1964년, Cronin-Fitch) 등이 그 예야. 자세한 것은 뒤의 장에서 다룰게.
⚪ 메이: 즉, 연속 변환은 매개변수를 움직여 같은 연결 성분 안을 이동할 수 있지만, 이산 변환은 연결 성분을 넘기 때문에 연속적으로는 도달할 수 없다——그래서 물리적으로도 별도의 대칭성으로 다룰 필요가 있다는 거네.
✅ 이해도 체크: 고유직교 Lorentz 군 \(SO^+(1,3)\)이 갖는 연속 매개변수는 합계 몇 개일까요? 내역도 나타내 봅시다.
답
6 매개변수. 공간 회전 3개(\(x, y, z\) 축 둘레) + Lorentz 부스트 3개(\(x, y, z\) 방향).
2.4 Poincaré 군——Lorentz 변환 + 시공 병진¶
🟡 리나: 물리에서 진정으로 중요한 것은 Lorentz 군만이 아니라, 거기에 시공의 병진 (spacetime translation)을 더한 군이야.
\(a^\mu\)는 상수의 4원벡터(병진량). 이 변환 전체가 이루는 군을 푸앵카레 (Poincaré) 군 (Poincaré group)이라고 불러.
🔵 카이: 병진이 4 매개변수(\(a^0, a^1, a^2, a^3\)), Lorentz 변환이 6 매개변수니까, 합쳐서 10 매개변수네요.
🟡 리나: 맞아. 그리고 장의 양자론의 기본적인 요청은 다음과 같아.
장의 양자론의 방정식은, Poincaré 군의 변환 하에서 형태가 변하지 않아야 한다.
이 요청이, 이론의 구조를 놀라울 만큼 강하게 제약해. 역으로 말하면, 「양자역학」편 제 27 장에서 문제가 됐던 「Schrödinger 방정식이 Lorentz 공변이 아니다」라는 출발점의 어려움은, 처음부터 Poincaré 불변성을 요청함으로써 회피할 수 있어. 「양자역학」편 제 27 장에서는 「기존의 방정식이 Lorentz 공변이 아니다」라는 것을 알아차린 후에 Klein-Gordon 방정식이나 Dirac 방정식을 모색했지만, 장의 양자론에서는 처음부터 Poincaré 불변성을 설계 원리로 해서 방정식을 구축해——순서가 역전되는 거야.
⚪ 메이: 뒤늦게 수정하는 게 아니라, 처음부터 대칭성을 출발점으로 하는 거네.
🟡 리나: 실제로 Wigner(1939년)는 이 관점을 철저히 해서, 「장의 양자론의 입자란 무엇인가」라는 물음을 수학의 물음으로 변환했어.
🔵 카이: 입자가 뭔지를, 수학으로 답이 나오나요?
🟡 리나: 나와. 발상은 이래——만약 자연이 Poincaré 대칭성을 가진다면, 양자역학의 상태도 Poincaré 변환에 대해 「제대로 행동하는」 것이 맞을 거야. 즉, 회전이나 부스트를 했을 때, 양자 상태가 어떻게 변하는지의 규칙이 정해져 있을 거야.
먼저 구체적인 예시로 감각을 잡아보자. 2차원 평면에서 벡터 \((v_x, v_y)\)를 각도 \(\theta\)만큼 회전시킬 때,
라고 쓸 수 있지. 여기서 「회전」이라는 추상적인 조작에 구체적인 행렬을 대응시키고 있잖아?
🔵 카이: 네, 회전각마다 행렬이 하나 정해진다는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 게다가, 「\(30°\) 회전하고 나서 \(45°\) 회전하는 것」과 「\(75°\) 회전하는 것」이 같은 결과가 되도록, 변환을 2개 연속으로 수행한 결과가, 대응하는 행렬의 곱과 일치하는——이 성질을 보존하는 대응을 표현 (representation)이라고 불러. 좀 더 풀어서 말하면, 「군의 각 원소(여기서는 각 회전각)에 행렬을 하나씩 배정해서, 군의 곱셈(변환의 합성)이 행렬의 곱셈으로 재현되도록 한 것」이 표현이야.
🔵 카이: 그렇군요, 회전이라는 조작을 행렬로 「대리」시키는 거네요. 그런데, 회전 이외의 조작——예를 들어 스칼라량에 대해서는 행렬은 어떻게 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 같은 「회전」이라도, 작용하는 대상이 다르면 행렬의 크기도 내용도 달라져. 3차원 벡터에 작용시키면 \(3 \times 3\) 행렬이 되고, 스칼라(그냥 숫자)에 작용시키면 「아무것도 하지 않는다」(\(1 \times 1\)의 항등행렬)가 돼. 온도 같은 스칼라량은 회전해도 값이 변하지 않으니까, 대응하는 「행렬」은 그냥 숫자 \(1\)——이것도 엄연한 표현이야. 즉 같은 군에 대해, 크기가 다른 여러 표현이 있을 수 있어.
⚪ 메이: 같은 군이라도 「무엇에 작용시키느냐」에 따라 표현이 달라져——아까의 2차원 평면 벡터라면 \(2 \times 2\), 3차원 벡터라면 \(3 \times 3\), 스칼라라면 \(1 \times 1\)이라는 거네.
🟡 리나: 맞아. 참고로 「기약」의 의미를 먼저 직관적으로 말해둘게, 표현 중에는 「사실은 작은 표현들의 모음으로 분해할 수 있는 것」이 있어. 구체적 예를 들어볼게. 3차원 공간의 회전을 생각하고, 4개의 양——온도 \(T\)와 속도 벡터 \((v_x, v_y, v_z)\)——를 모아서 4성분 벡터로 다뤘다고 해. 회전하면 속도의 3성분은 서로 섞이지만, 온도는 스칼라니까 변하지 않아. 즉 회전행렬을 \(4 \times 4\)로 쓰면
라는 형태가 돼——왼쪽 위의 \(1 \times 1\) 블록(온도)과 오른쪽 아래의 \(3 \times 3\) 블록(속도)이 독립적으로 움직이고, 섞이지 않잖아? 이처럼 큰 행렬이 「왼쪽 위의 작은 정사각 행렬과 오른쪽 아래의 작은 정사각 행렬로 나뉘어 있고, 그 외(오른쪽 위와 왼쪽 아래)가 모두 0」인 형태를 블록 대각이라고 불러. 이 예에서는 \(4 \times 4\) 표현이 \(1 \times 1\)(스칼라)과 \(3 \times 3\)(벡터)으로 분해될 수 있어——이것은 가약 (reducible) 표현이야. 반대로, \(3 \times 3\) 회전행렬은 어떻게 기저를 바꿔도(즉 좌표축을 어떻게 돌려도) 더 이상 작은 블록으로 나눌 수 없어——이것이 기약 (irreducible) 표현, 「더 이상 분해할 수 없는 최소의 묶음」이야. 화학으로 말하면, 분자를 더 이상 분해할 수 없는 원자로 나누는 것과 같은 이미지야.
🔵 카이: 그렇군요, 분자를 원자로 분해하는 이미지구나. 기약 = 더 이상 쪼갤 수 없는 최소 단위.
🟡 리나: 그리고 양자역학에서는, 물리계의 상태는 「상태벡터」로 표현되는 거였지(「양자역학」편 참조). 그래서 같은 발상으로, Poincaré 군의 각 변환(회전·부스트·병진)을 「양자 상태를 이렇게 바꾼다」라는 구체적인 조작으로 써 나타내는 방법을 찾는 거야——관측자가 회전하면, 양자 상태도 그에 따라 변할 테니까. 그리고 그 중에서 「더 이상 작은 부분으로 나눌 수 없는 최소의 묶음」——즉, 어떤 변환을 가해도 서로 섞이는 상태의 최소 세트——를 기약표현이라고 불러. 여기서의 포인트는, 회전만이 아니라 부스트와 병진도 포함한 Poincaré 군 전체에서 「섞이는 최소 세트」를 찾는다는 것——왜 그것이 질량과 스핀이라는 2개의 라벨로 귀결되는지는, Wigner의 결과를 본 뒤에 설명할게.
Wigner가 찾은 답은 놀라울 만큼 심플해——먼저 결론을 말하고 나서, 왜 그렇게 되는지 설명할게. 그림 2.3「Wigner의 분류: Poincaré 군의 기약표현과 입자의 대응」에 결과를 정리했으니 봐.
그림 2.3: Wigner의 분류: Poincaré 군의 기약표현과 입자의 대응. 입자는(질량 \(m\), 스핀 \(s\))의 단 2개의 라벨로 완전히 분류된다. Poincaré 대칭성만으로부터 입자의 개념과 분류가 유도된다.
입자 = Poincaré 군의 기약표현(더 이상 분해할 수 없는 최소의 표현) = (질량, 스핀)의 라벨로 분류된다
\((m, s)\)라는 단 2개의 수로, 1입자 상태의 성질이 완전히 결정돼. 이것이 Wigner의 분류 (Wigner's classification)라고 불리는 결과야. 「왜 단 2개로 결정되는가」는 이 뒤에 바로 카이의 질문에 답하는 형태로 설명할게. 구체적으로는
- \(m > 0\): 스핀 \(s = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots\)
- \(m = 0\): 헬리시티 \(h = 0, \pm 1/2, \pm 1, \ldots\)
⚪ 메이: 질량 제로인 경우만 「스핀」이 아니라 「헬리시티」가 되는 거네. 뭐가 다른 거야?
🟡 리나: 헬리시티 (helicity)란, 입자의 운동 방향에 대한 스핀의 사영——즉 「스핀이 진행 방향을 향하고 있는가, 반대를 향하고 있는가」를 나타내는 양이야. 질량이 있는 입자라면, 관측자가 그 입자를 추월함으로써 「진행 방향」이 반전되니까, 헬리시티는 관측자에 의존해 버려. 하지만 질량 제로인 입자는 광속으로 날아가니까 누구도 추월할 수 없어——그래서 헬리시티가 관측자에 의존하지 않는 불변량이 되고, 스핀 대신에 입자를 분류하는 라벨로 사용할 수 있는 거야.
와 같은 분류가 돼. 자세한 것은 부록 B에서 다루지만, 「Poincaré 대칭성만으로 입자의 개념이 나온다」라는 깊이는 눌러놓아둬.
✅ 이해도 체크: Wigner의 분류에 따르면, 장의 양자론에서의 입자는 어떤 양의 라벨로 분류될까요? 또, 이 분류는 어떤 대칭성으로부터 유도될까요?
답
입자는(질량 \(m\), 스핀 \(s\))의 2개 라벨로 분류된다. 이 분류는 Poincaré 군의 기약표현을 조사하는 것으로부터 유도된다. 즉, Poincaré 대칭성(Lorentz 변환 + 시공 병진의 대칭성)만으로부터 입자의 개념과 분류가 나온다.
🔵 카이: 대단하네요……그런데 2가지 의문이 있어요. 먼저 「기약표현」이 아직 확 와닿지 않아요. 「더 이상 작은 부분으로 나눌 수 없는 최소의 묶음」이란, 구체적으로 어떤 상황인가요? 그리고, 왜 질량과 스핀 딱 2개로 입자가 완전히 결정되는 건가요? 다른 양자수도 필요할 것 같은데……
🟡 리나: 좋은 질문이야. 먼저 「기약」의 감각을 잡기 위해, 회전군만의 간단한 예시부터 시작할게. 스핀 \(1/2\)인 전자를 생각해 봐. 「위 방향」과 「아래 방향」의 2가지 상태가 있지. 공간을 회전시키면, 이 2가지 상태는 서로 섞여——양자역학의 말로 하면 중첩이 돼. 「위 방향」이었던 것이 「약간 위 방향 + 약간 아래 방향」이라는 중첩 상태가 되는 거야. 하지만 회전을 어떻게 조합해도, 이 2가지 상태의 밖으로는 나가지 않아——제3의 상태가 필요해지는 일은 절대 없어. 즉 이 2상태의 세트가, 회전군에 대한 「더 이상 나눌 수 없는 최소의 묶음」——기약표현인 거야.
🔵 카이: 그렇구나, 2가지 상태가 회전으로 섞이지만, 그 2개 안에서 닫혀 있다——그게 「기약」이구나.
🟡 리나: 맞아. 다만 이건 회전군만의 예시야. Poincaré 군에서는 나아가 부스트와 병진도 포함해서 생각해. 병진을 더하면 운동량 \(\mathbf{p}\)가 바뀌고, 부스트에서도 운동량이 바뀌어——즉 운동량이 다른 상태끼리 섞이는 거야.
🔵 카이: 그러면, 온갖 운동량의 상태가 전부 섞여버려서, 분류가 안 되지 않나요?
🟡 리나: 좋은 걱정이야. 하지만 질량각 조건 \(E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2\)을 떠올려 봐. 부스트나 병진으로 \(E\)나 \(\mathbf{p}\)는 변하지만, \(m^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2\)라는 조합은 Lorentz 불변량이니까 변하지 않아. 그래서 「질량 \(m\)이 같은 상태의 모임」은 변환으로 닫혀 있어. 게다가 그 안에서, 스핀의 크기 \(s\)도 불변량이 돼——부스트하면 스핀의 방향은 변할 수 있지만, 스핀의 크기(\(s = 0, 1/2, 1, \ldots\))는 변하지 않아. 결과적으로 「질량이 같고 스핀이 같은 상태의 모임」이 하나의 기약표현이 돼——그래서 입자가 \((m, s)\)로 분류되는 거야.
🔵 카이: 상대성이론과 양자론을 결합시키는 것만으로, 입자가 뭔지까지 정해지다니……. 그런데 전하 같은 건요? 전자와 양전자는 질량도 스핀도 같지만 다른 입자잖아요?
🟡 리나: 좋은 지적이야. 전하나 색전하 같은 내부 양자수는, Poincaré 군과는 별도의 대칭성(게이지 대칭성)에서 오는 거야. Wigner의 분류는 「시공의 대칭성만으로 결정되는 입자의 라벨」을 알려줘——내부 양자수는 그 위에 추가되는 정보야. 게이지 대칭성에 대해서는 뒤의 장에서 자세히 할게.
🟡 리나: 여기까지의 논의를 정리해둘게. Wigner 분류의 논리는: (1) Poincaré 변환으로 양자 상태가 섞인다 → (2) 질량 \(m\)은 Lorentz 불변량이므로 「같은 \(m\)의 상태」로 닫힌다 → (3) 그 안에서 회전에 대한 행동이 스핀 \(s\)로 결정된다 → (4) 결국 \((m, s)\)가 기약표현의 라벨이 된다.
⚪ 메이: 먼저 질량으로 크게 나누고, 다음에 스핀으로 세분하는——두 단계의 분류네.
🔵 카이: 그러면, 스핀 \(3/2\)이나 \(2\) 같은 입자도 원리적으로는 존재할 수 있나요?
🟡 리나: 원리적으로는 그래. 실제로 스핀 \(3/2\)의 입자(\(\Delta\) 바리온 등)나 스핀 \(2\)의 입자(중력자——만약 존재한다면)가 알려져 있어. Poincaré 군의 표현으로서는 어떤 스핀이든 허용되지만, 자연계에 어떤 것이 실현되는지는 상호작용의 세부사항으로 결정돼——그건 뒤 장의 이야기야.
✅ 이해도 체크: Poincaré 군의 매개변수 수가 10임을, 변환의 종류별로 내역을 나타내어 설명해 봅시다.
답
공간 회전 3개(\(x, y, z\) 축 둘레) + Lorentz 부스트 3개(\(x, y, z\) 방향) + 시공 병진 4개(\(t, x, y, z\) 방향) = 합계 10 매개변수.
2.5 Lorentz 공변성과 「첨자의 균형」¶
🟡 리나: Poincaré 군이라는 「장의 양자론을 지배하는 대칭성」이 보인 곳에서, 다음은 그것을 매일의 계산에서 어떻게 사용하는가라는 실무 이야기로 내려올게. 방정식이 Lorentz 공변인지를 첨자의 위치만 보고 판정하는 기술이야. 이것을 익히면, 다음 장 이후의 수백 개 식이 훨씬 읽기 쉬워져.
텐서의 계수와 변환법칙¶
🟡 리나: 물리량을 「Lorentz 변환으로 어떻게 변하는가」로 분류하는 거야. 이것은 「일반상대론」편 제 4 장에서 했던 내용의 재게시——표 2.3「텐서의 계수와 변환법칙의 분류」에 정리해둘게.
표 2.3: 텐서의 계수와 변환법칙의 분류
| 이름 | 첨자의 수 | Lorentz 변환에서의 행동 | 예 |
|---|---|---|---|
| 스칼라 | 0 | 변하지 않는다 | 질량 \(m\), 불변 간격 \(s^2\) |
| 벡터 | 1 | \(V^\mu \to \Lambda^\mu{}_\nu\, V^\nu\) | 위치 \(x^\mu\), 운동량 \(p^\mu\) |
| 2계 텐서 | 2 | \(T^{\mu\nu} \to \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, T^{\alpha\beta}\) | 전자기장 \(F^{\mu\nu}\) |
\(n\)계 텐서에는 \(\Lambda\)가 \(n\)개 곱해져——이것이 텐서의 변환법칙이야.
🔵 카이: 첨자가 늘어날수록 변환이 복잡해지지만, 패턴은 같네요. \(\Lambda\)의 개수가 첨자의 개수와 일치하는군요.
Lorentz 공변성이라는 요청¶
🟡 리나: 장의 양자론에서의 가장 중요한 원칙을 실무의 말로 서술할게.
장의 방정식은 Lorentz 공변 (Lorentz covariant)이어야 한다.
구체적으로는: 양변의 첨자 위치와 개수가 일치하고 있을 것.
🔵 카이: 양변이 같은 종류의 텐서이면 된다는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 예를 들어 방정식이
라는 형태라면, 양변 모두 벡터야. Lorentz 변환하면 양변에 같은 \(\Lambda^\mu{}_\nu\)가 곱해지니까, \(A^\nu = B^\nu\)가 성립하면 \(A'^\mu = B'^\mu\)도 자동적으로 성립해. 방정식의 형태가 어떤 관성계에서도 같아. 반대로, 만약 좌변이 벡터이고 우변이 스칼라라면, Lorentz 변환했을 때 좌변만 변하고 우변은 변하지 않아——그런 방정식은 물리적으로 의미가 없어.
⚪ 메이: 즉, 첨자의 종류가 맞지 않는 방정식은, 관성계를 바꾸는 순간 파탄나는 거네.
🟡 리나: 장의 양자론의 계산에서는, 방정식을 쓸 때마다 「첨자의 수와 위치가 양변에서 일치하는가」를 체크해. 이것이 첨자의 균형이야.
🔵 카이: 첨자 표기법이라는 게, 단순히 약기법이라서만이 아니라, Lorentz 공변성을 자동적으로 보증하는 장치군요.
🟡 리나: 바로 그래. 이것이 장의 양자론에서 첨자 표기법을 사용하는 최대의 이유야. 그림 2.4「첨자의 균형에 의한 Lorentz 공변성의 판정」에 판정 규칙의 요점을 정리했으니 확인해둬. 포인트는, 위아래로 짝이 된 첨자(축약된 첨자)는 사라지고, 남은 자유첨자의 위치와 개수가 양변에서 일치하면 Lorentz 공변——이것이 판정의 기본 규칙이야.
그림 2.4: 첨자의 균형에 의한 Lorentz 공변성의 판정. 위아래로 짝이 된 첨자는 축약되어 사라지고, 남은 자유첨자의 위치와 개수가 양변에서 일치하면 Lorentz 공변. 이것은 필요조건이며 충분조건은 아닌 점에 주의.
달랑베르시안과 Klein-Gordon 방정식¶
🟡 리나: 구체적인 예를 해보자. 먼저 미분 연산자를 4원벡터로서 정의할게.
🔵 카이: 어라, \(\partial_\mu\)는 첨자가 아래(공변벡터)네요. 왜 그런 건가요?
🟡 리나: \(x^\mu\)(위 첨자)로의 미분이니까. 구체적으로 봐보자. Lorentz 변환은 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_{\nu}\, x^\nu\)였지. 역변환——즉 \(x'\)에서 원래 \(x\)를 구하는 변환——을 \(\Lambda^{-1}\)이라 쓰면, \(x^\nu = (\Lambda^{-1})^\nu{}_{\mu}\, x'^\mu\)(\(\Lambda\)를 곱하고 나서 \(\Lambda^{-1}\)을 곱하면 원래로 돌아간다는 의미)야. 여기서 다변수의 연쇄법칙을 사용해. 고등학교에서 배운 1변수 연쇄법칙은 \(\frac{df}{dx} = \frac{df}{du}\frac{du}{dx}\)였지. 다변수의 경우는, \(f\)가 \(x^0, x^1, x^2, x^3\)의 4개 변수를 통해 \(x'^\mu\)에 의존하니까, 각 경로에서의 기여를 전부 더하는 거야: \(\frac{\partial f}{\partial x'^\mu} = \frac{\partial x^0}{\partial x'^\mu}\frac{\partial f}{\partial x^0} + \frac{\partial x^1}{\partial x'^\mu}\frac{\partial f}{\partial x^1} + \cdots = \sum_\nu \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\frac{\partial f}{\partial x^\nu}\). 이것이 다변수의 연쇄법칙이야. 여기서 사용하고 있는 \(\frac{\partial}{\partial x^\mu}\)는 편미분——다른 변수를 고정하고 1개의 변수만으로 미분하는 조작(「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장에서 도입 완료)이야. 다변수 연쇄법칙은, 그 편미분의 자연스러운 확장이야.
🔵 카이: 1변수 연쇄법칙을 4변수로 확장해서, 전부 더하는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 자, \(x^\nu = (\Lambda^{-1})^\nu{}_{\mu}\, x'^\mu\)는 \(x'^\mu\)에 대한 1차식((\(\Lambda^{-1})^\nu{}_{\mu}\)는 상수)이니까, \(x'^\mu\)로 편미분하면 \(\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} = (\Lambda^{-1})^\nu{}_{\mu}\)가 돼(\(ax\)를 \(x\)로 미분하면 \(a\)가 되는 것과 같아). 이것을 연쇄법칙에 대입하고, \(f\) 자리에 아무것도 쓰지 않고 연산자로 다루면 \(\frac{\partial}{\partial x'^\mu} = (\Lambda^{-1})^\nu{}_{\mu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\)(\(\nu\)로 축약되는 게 그 합이야). 즉 \(\partial_\mu\)에는 \(\Lambda\)가 아니라 역행렬 \(\Lambda^{-1}\)이 곱해져. 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장에서 배웠듯이, 반변벡터(위 첨자) \(V^\mu\)는 \(V'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu\)로 \(\Lambda\)로 변환하고, 공변벡터(아래 첨자) \(W_\mu\)는 \(W'_\mu = (\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu W_\nu\)로 \(\Lambda^{-1}\)으로 변환하는 거였지. \(\partial_\mu\)는 정확히 이 공변벡터의 변환법칙을 따르고 있는 거야.
⚪ 메이: 그렇구나, \(\partial_\mu\)가 \(\Lambda^{-1}\)으로 변환하니까 아래 첨자——공변벡터인 거네.
🟡 리나: 맞아. 직관적으로는, 좌표의 눈금을 촘촘하게 하면 좌표값은 커지지만 미분은 작아져——변환의 「역」이 곱해지는 거야.
첨자를 올리려면 역계량 \(\eta^{\mu\nu}\)를 사용해. Minkowski 계량의 경우, \(\eta^{\mu\nu}\)는 \(\eta_{\mu\nu}\)의 역행렬이야. 대각행렬의 역행렬은 각 대각 성분의 역수를 나열한 것(\(\text{diag}(a,b,c,d)^{-1} = \text{diag}(1/a, 1/b, 1/c, 1/d)\))이니까, \(1/(+1) = +1\), \(1/(-1) = -1\)으로 \(\eta^{\mu\nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1)\)——수치적으로 \(\eta_{\mu\nu}\)와 같아져. 이것을 사용하면
공간 미분의 부호가 반전되지(이건 GR 류와는 반대야). 이것을 사용해서 달랑베르시안 (d'Alembertian)을 정의할게.
🔵 카이: 첨자를 올렸더니 공간 성분에 마이너스가 붙네요. QFT 류에서는 시간 성분이 플러스 그대로.
🟡 리나: 축약 규칙으로 \(\mu = 0, 1, 2, 3\)의 합을 취하면
(2.12)와 (2.13)에서 \(\partial^0 = \partial_0 = \frac{\partial}{\partial t}\), \(\partial^i = -\frac{\partial}{\partial x^i}\), \(\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}\)이므로, 각 항을 대입하면
즉, 공간 성분에서는 \(\partial^i\)의 마이너스 부호((2.13)에서 온 것)와 \(\partial_i\)의 플러스 부호((2.12)에서 온 것)가 곱해져서, 각 공간 항에 마이너스가 붙는 거야.
⚪ 메이: 시간은 2계 미분이 플러스, 공간은 2계 미분이 마이너스——정확히 「시공간격 \(ds^2 = dt^2 - d\mathbf{x}^2\)」와 같은 부호 구조네.
🟡 리나: 주의: 본서의 「일반상대론」편 편 「일반상대론」편 제 19 장에서는 GR 류 \((-,+,+,+)\)의 계량을 사용하고, \(\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\)로 정의했었어(\(\partial^\mu\partial_\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\)이니까, 이건 같은 의미). GR 류에서는 \(\eta^{00} = -1\)이니까 \(\Box = -\partial^2/\partial t^2 + \nabla^2\)이 돼. 본 장의 QFT 류 \((+,-,-,-)\)에서는 \(\eta^{00} = +1\)이니까, 같은 정의 \(\Box = \partial^\mu\partial_\mu\)에서도 \(\Box = \partial^2/\partial t^2 - \nabla^2\)으로 부호가 반대가 돼. 같은 기호 \(\Box\)라도 계량의 부호 규약에 따라 내용이 다르다는 점에 주의해줘. 참고로, 일부 교과서에서는 \(\Box \equiv -\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\)(GR 류의 경우)처럼 정의 자체에 마이너스를 포함시켜, 어느 계량 규약에서도 \(\Box = \partial^2/\partial t^2 - \nabla^2\)의 형태가 되도록 하는 유파도 있어. 다른 교과서를 참조할 때는 부호 규약을 확인해줘.
🔵 카이: \(\partial^\mu \partial_\mu\)는 위 첨자와 아래 첨자의 같은 첨자로 축약하고 있잖아요. 이게 스칼라가 되나요?
🟡 리나: 맞아. 위 첨자와 아래 첨자의 같은 첨자로 축약하면, 그 첨자는 사라지고 Lorentz 스칼라가 돼——\(A^\mu B_\mu\)가 스칼라였던 것과 같은 구조야. 그래서 \(\Box = \partial^\mu \partial_\mu\)는 자동적으로 Lorentz 스칼라 연산자. 스칼라 연산자를 스칼라장 \(\phi\)에 작용시킨 결과도 스칼라 그대로——첨자가 늘어나지도 줄어들지도 않으니까.
⚪ 메이: 즉, 축약으로 첨자가 전부 사라진 연산자 \(\Box\)는 스칼라 연산자이고, 그것을 스칼라장 \(\phi\)에 작용시켜도 첨자가 늘지 않아——그래서 \(\Box\phi\)도 스칼라. 첨자의 수를 세는 것만으로 변환성을 알 수 있네.
🟡 리나: 맞아. Klein-Gordon 방정식은
🔵 카이: 「양자역학」편 제 27 장에서는
이라고 써 있었잖아요. 그거랑 지금의 (2.15)는 같은 건가요? \(c\)랑 \(\hbar\)가 어디로 사라진 건지……
🟡 리나: 자연단위계 \(c = \hbar = 1\)을 대입해 봐.
🔵 카이: 음, \(c = 1\)을 넣으면 \(1/c^2 = 1\)이니까 첫째 항은 \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\)가 되고, \(\hbar = 1\)을 넣으면 \(m^2 c^2/\hbar^2 = m^2\)이니까……\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0\). 아, 이거 \((\Box + m^2)\phi = 0\) 그 자체잖아!
⚪ 메이: 자연단위계로 바꾸기만 해도, 저 긴 식이 이렇게 간결해지는 거네.
🟡 리나: 자연단위계 + 첨자 표기법의 위력이야. (2.15)를 바라보면, 양변이 스칼라(\(\Box\)와 \(m^2\)는 스칼라 연산자, \(\phi\)는 스칼라장, 0도 스칼라). 첨자의 균형이 맞다 → 자동적으로 Lorentz 공변, 이라고 한눈에 판정할 수 있어.
응용: 첨자의 균형을 체크하는 연습¶
🟡 리나: 실제로 몇 가지 방정식을 보고, Lorentz 공변성을 판정해 보자.
예 1: Maxwell 방정식
좌변: \(\partial_\mu\)는 아래 첨자 \(\mu\), \(F^{\mu\nu}\)는 위 첨자 \(\mu, \nu\). \(\mu\)가 위아래로 축약되어 사라지고, 남는 것은 위 첨자 \(\nu\) 1개. 우변: \(J^\nu\)도 위 첨자 \(\nu\) 1개. → 양변 모두 같은 종류의 4원벡터 → Lorentz 공변 ✓
예 2: 잘못된 식의 예
좌변: 아래 첨자 \(\mu\) 1개(공변벡터). 우변: 위 첨자 \(\mu\) 1개(반변벡터). → 첨자의 위치가 맞지 않음 → Lorentz 공변이 아님 ✗
🔵 카이: 오, 첨자의 위아래만 보는 것으로 판정이 되네요! 그런데, 첨자의 균형이 맞으면 반드시 올바른 물리 방정식인 건가요? 균형은 맞는데 물리적으로 틀린 식도 있을 수 있잖아요?
🟡 리나: 날카롭네. 첨자의 균형은 필요조건이지 충분조건은 아니야. 균형이 맞지 않는 식은 확실히 틀려. 하지만 균형이 맞아도, 계수나 부호가 틀리면 물리적으로는 올바르지 않아. 첨자의 균형은 「명백한 실수를 걸러내는 필터」라고 생각해.
✅ 이해도 체크: 첨자의 균형이 맞는 것은, 방정식이 Lorentz 공변이기 위한 충분조건인가, 필요조건일까요? 그 이유를 간결하게 서술하세요.
답
필요조건이지 충분조건은 아니다. 첨자의 균형이 맞지 않으면 확실히 Lorentz 공변이 아니지만, 균형이 맞아도 계수나 부호가 틀리면 물리적으로 올바른 방정식이라고는 할 수 없다. 첨자의 균형은 「명백한 실수를 걸러내는 필터」로서 기능한다.
🟡 리나: 맞아. 앞으로 수백 개의 식이 나오겠지만, 「첨자의 균형이 맞는지」를 체크하는 것만으로 많은 계산 실수를 방지할 수 있어. 장의 양자론에서 평생 사용하는 기술이야.
✅ 이해도 체크: 다음 방정식이 Lorentz 공변인지, 첨자의 균형으로 판정해 봅시다: \(T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi\, \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu}\left(\frac{1}{2}\partial_\alpha \phi\, \partial^\alpha \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\right)\)
답
좌변: 위 첨자 자유첨자 \(\mu, \nu\) 2개 → 2계 반변 텐서. 우변 제1항: \(\partial^\mu \phi\)는 위 첨자 \(\mu\), \(\partial^\nu \phi\)는 위 첨자 \(\nu\) → 곱은 위 첨자 \(\mu, \nu\)의 2계 텐서. 우변 제2항: \(\eta^{\mu\nu}\)는 위 첨자 \(\mu, \nu\), 괄호 안은 \(\alpha\)가 위아래로 축약되어 스칼라, \(\phi^2\)도 스칼라 → 전체적으로 위 첨자 \(\mu, \nu\)의 2계 텐서. 양변 모두 위 첨자 \(\mu, \nu\)를 갖는 2계 반변 텐서이므로 Lorentz 공변 ✓.
📝 연습문제:
- Lorentz 변환 행렬의 조건·전자기장 텐서의 변환 → 문제 M-1. Lorentz 변환 행렬의 조건 유도, 문제 A-1. 반변 텐서와 공변 텐서의 변환 법칙, 및 전자기장 텐서에의 응용
2.6 장의 양자론을 위한 3가지 요청¶
🟡 리나: 이 장의 마지막으로, 장의 양자론의 기반이 되는 3가지 요청을 정리하자. 그림 2.5「장의 양자론의 3가지 요청과 스핀-통계 정리」에 전체상을 그림으로 나타내둘게.
그림 2.5: 장의 양자론의 3가지 요청과 스핀-통계 정리. Lorentz 공변성·미시 인과율·양의 에너지의 3가지 요청을 조합하면, 스핀-통계 정리(정수 스핀 → 보즈 통계, 반정수 스핀 → 페르미 통계)가 유도된다.
- Lorentz 공변성(Poincaré 불변성): 장의 방정식은 Poincaré 군의 변환 하에서 형태가 변하지 않는다
- 인과율(미시 인과율): 빛보다 빠르게 정보는 전달되지 않는다. 빛원뿔의 바깥쪽——즉 빛조차도 한쪽에서 다른 쪽에 도달할 수 없을 만큼 떨어진 2점(「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장 참조)——에서의 측정 결과는 서로 독립이어야 한다. 직관적으로는 「충분히 떨어진 2지점에서 동시에 하는 실험은 서로 영향을 미치지 않는다」는 것이다. 이것을 양자론의 수학으로 정확히 정식화하는 방법은 뒤의 장에서 다시 도입한다
- 양의 에너지: 물리적인 1입자 상태의 에너지는 양(진공이 안정)
🔵 카이: 인과율 부분에서, 「빛원뿔 바깥에서의 측정 결과는 서로 독립」이라는 건, 좀 더 구체적으로 말하면 어떤 건가요?
🟡 리나: 예를 들어, 서울에서 지금 이 순간 실험을 하고, 안드로메다 은하에서 별도의 실험을 했다고 해——2개의 사건이 공간적으로 떨어져 있다면(빛조차도 한쪽에서 다른 쪽에 도달할 수 없다면), 서울의 실험 결과가 안드로메다의 실험에 영향을 미치는 것은 있을 수 없어. 즉, 서울에서 어떤 조작을 하든, 안드로메다에서의 실험 결과의 통계(어떤 값이 얼마나 나오는지)는 일절 변하지 않아. 반대도 마찬가지야. 이것이 인과율의 직관적 의미야.
⚪ 메이: 양자 얽힘(「양자역학」편 「양자역학」편 제 23 장)의 경우에도, 상관이 보일 뿐 정보는 보낼 수 없었지——그것과 같은 정신이네.
🟡 리나: 「어라, 하지만 양자 얽힘(「양자역학」편 「양자역학」편 제 23 장)에서는 떨어진 입자에 상관이 있지 않았나?」라고 생각할 수도 있지만, 그때도 확인했듯이, 한쪽만의 데이터를 보면 랜덤으로밖에 보이지 않아——상관은 양쪽의 데이터를 대조해서 비로소 보여. 그래서 한쪽의 조작으로 다른 쪽의 통계를 바꾸는 것은 불가능해(no-signaling). 인과율은 이 의미에서 지켜지고 있어. 양자론의 말로 정확히 정식화하면——구체적으로는 「공간적으로 떨어진 2점에서의 장의 연산자가 교환한다」는 조건이 되는데——그것은 뒤의 장에서 다시 도입할게.
🔵 카이: 그렇군요. 그러면 이 3가지 요청으로, 이론의 형태가 꽤 많이 정해지나요?
🟡 리나: 놀라울 정도로 정해져. Lorentz 공변성(정확히는 Poincaré 불변성)만으로, 2.4「Poincaré 군——Lorentz 변환 + 시공 병진」에서 이야기한 Wigner의 분류가 나와——「장은(질량, 스핀)으로 분류된다」. 거기에 인과율과 양의 에너지를 결합하면, 스핀-통계 정리 (spin-statistics theorem)를 증명할 수 있어:
정수 스핀의 장 → 보즈 통계, 반정수 스핀의 장 → 페르미 통계
🔵 카이: 에, 단 3가지 요청에서 보손과 페르미온의 구별이 나온다고요!
✅ 이해도 체크: 스핀-통계 정리는, 장의 양자론의 어떤 3가지 요청으로부터 유도될까요? 또, 이 정리가 서술하는 내용을 간결하게 설명해 봅시다.
답
(1) Lorentz 공변성(Poincaré 불변성), (2) 인과율(미시 인과율), (3) 양의 에너지(진공의 안정성)의 3가지 요청으로부터 유도된다. 정리의 내용은 「정수 스핀의 장은 보즈 통계를 따르고, 반정수 스핀의 장은 페르미 통계를 따른다」는 것으로, 양자역학에서는 공리적으로 가정하고 있었던 보손·페르미온의 구별이, 장의 양자론에서는 이 3가지 원리로부터 증명된다.
⚪ 메이: 즉, 양자역학에서는 「전자는 페르미온, 광자는 보손」이라는 걸 당연한 것으로 가정하고 있었지만, 장의 양자론에서는 아까의 3가지 요청으로부터 유도할 수 있다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이것이 「대칭성이 물리를 결정한다」의 가장 극적인 예 중 하나야. 다음 장부터는 이 Lorentz 공변성을 무기로 삼아, 고전장의 이론——Lagrangian과 Noether의 정리——를 배워갈게.
🔵 카이: 스핀-통계 정리가, 단 3가지 요청에서 나오다니……. 하지만 솔직히 증명의 내용은 아직 상상이 안 가네요.
🟡 리나: 증명에는 장의 교환관계라는 도구가 필요하니까, 그것을 배운 뒤의 장에서 다시 할게. 기대해줘.
🔵 카이: 기대하고 있을게요. ……아, 2.5「Lorentz 공변성과 「첨자의 균형」」의 이야기로 돌아가도 될까요? 아까 첨자의 균형은 「필요조건이지 충분조건은 아니다」라고 했잖아요. 이거 차원해석이랑 비슷하지 않아요? 차원이 맞아도 식이 옳다고는 할 수 없는 것과 같은 느낌으로.
🟡 리나: 좋은 직감이야. 정확히 그래——차원해석이 「단위의 균형」으로 명백한 실수를 걸러내듯이, 첨자 체크는 「Lorentz 변환성의 균형」으로 실수를 걸러내. 둘 다 필요조건의 필터이지, 충분조건은 아니야. 그 유추는 정확해.
🔵 카이: 그러면 양쪽 필터를 통과해도 틀린 식이 있을 수 있는 거잖아요——최종적으로 「올바르다」고 판단하는 근거가 뭔가요?
🟡 리나: 2가지가 있어. 하나는 실험과의 일치——최종적으로는 자연이 답을 갖고 있어. 다른 하나는 작용원리로부터 유도되었다는 논리적 근거——「왜 이 방정식인가」를 원리로 거슬러 올라가 설명할 수 있는 것. 필터는 어디까지나 「명백한 실수를 걸러내는」 도구이고, 올바름의 보증은 다른 곳에 있어——그것이 다음 장에서 배울 Lagrangian의 역할이야. 즉, 첨자 체크로 「명백히 틀린 것」을 떨어뜨리고, 남은 것 중에서 작용원리로 「올바른 것」을 고르는——이중 구조로 되어 있어.
⚪ 메이: 필터로 「안 되는 것」을 떨어뜨리고, 원리로 「올바른 것」을 고르는——이중 구조의 장치네.
🔵 카이: 그렇구나. 그러면 다음 장의 Lagrangian에서는, 첨자의 균형이 맞는 스칼라량을 출발점으로 해서, 거기서 방정식을 유도하는 건가요?
🟡 리나: 바로 그래. Lagrangian은 스칼라여야 해——오늘 배운 첨자의 균형이, 다음 장에서 Lagrangian을 구성할 때의 설계 지침이 되는 거야. 이 장에서 손에 넣은 도구——QFT 류의 부호 규약, Lorentz 군과 Poincaré 군의 구조, 첨자의 균형에 의한 공변성 체크——를 사용해서, 다음 장에서는 드디어 장의 방정식을 「유도하는」 쪽으로 돌아설게.
🔵 카이: 대칭성에서 방정식을 「유도한다」——지금까지는 방정식이 먼저 있고 대칭성을 확인하는 쪽이었는데, 역전되는 거군요. 기대됩니다.
다음 장 예고¶
제 3 장 고전장의 이론 — Lagrangian과 Noether의 정리
다음 장에서는, Lorentz 공변인 장의 방정식을 체계적으로 유도하는 방법을 배운다. 핵심이 되는 것은 Lagrangian(작용원리)과 Noether의 정리——「연속 대칭성이 있으면 보존량이 있다」라는 깊은 정리이다. Klein-Gordon 장이나 전자기장의 방정식이, 단 하나의 Lagrangian으로부터 유도되는 것을 보게 된다.
참고문헌¶
- Quantum Field Theory and the Standard Model (Schwartz) 제2장 「Lorentz invariance and second quantization」
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제10장 「Transformations」
- 사카모토 마히토『장의 양자론 — 불변성과 자유장을 중심으로』 제1장 「장의 양자론으로의 초대」, 제14장 「푸앵카레 대수와 1입자 상태의 분류」
- Quantum Field Theory (David Tong 강의노트) 제1장 「Classical Field Theory」(도입부)
- Wigner, E. P. "On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group," Ann. Math. 40, 149 (1939)(Wigner 분류의 원논문)
- Lee, T. D. and Yang, C. N. "Question of Parity Conservation in Weak Interactions," Phys. Rev. 104, 254 (1956)
- Christenson, J. H., Cronin, J. W., Fitch, V. L. and Turlay, R. "Evidence for the \(2\pi\) Decay of the \(K_2^0\) Meson," Phys. Rev. Lett. 13, 138 (1964)
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