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제 5 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Poisson 방정식과 파동 방정식의 비교

Newton의 Poisson(푸아송) 방정식

\[ \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho \]

을 3차원 직교좌표 \((x, y, z)\)로 전개하고, \(\nabla^2 \Phi\)를 \(\Phi\)의 편미분으로 써 내려가세요. 나아가 전자기 퍼텐셜(electromagnetic potential)이 만족하는 파동 방정식

\[ \left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

과 비교하여, Poisson 방정식에 빠져 있는 항을 지적하고, 그 물리적 의미를 서술하세요.

힌트

\(\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\). 파동 방정식과의 차이는 시간 미분 항의 유무에요.

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B-2. 관성질량과 중력질량에 의한 낙하 가속도

질량 \(m\)인 물체가 균일한 중력장 \(\mathbf{g}\) 안에 있어요. 관성질량(inertial mass)을 \(m_I\), 중력질량(gravitational mass)을 \(m_G\)로 하여, 이 물체의 낙하 가속도 \(a\)를 \(m_I\), \(m_G\), \(g\)로 나타내세요.

힌트

운동방정식 \(m_I a = m_G g\)에서 \(a\)에 대해 풀어요.

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B-3. Eötvös 파라미터의 선형 근사

물질 A의 관성질량을 \(m_{A,I}\), 중력질량을 \(m_{A,G}\), 물질 B의 관성질량을 \(m_{B,I}\), 중력질량을 \(m_{B,G}\)라 해요. Eötvös (에트뵈시) 파라미터 (Eötvös parameter)

\[ \eta \equiv \frac{m_{A,G}/m_{A,I} - m_{B,G}/m_{B,I}}{(m_{A,G}/m_{A,I} + m_{B,G}/m_{B,I})/2} \]

에 대해, \(m_{A,G}/m_{A,I} = 1 + \epsilon_A\), \(m_{B,G}/m_{B,I} = 1 + \epsilon_B\) (\(|\epsilon_A|, |\epsilon_B| \ll 1\))로 놓고, \(\eta\)를 \(\epsilon_A\)와 \(\epsilon_B\)의 1차까지 근사하세요.

힌트

분모는 \(1 + (\epsilon_A + \epsilon_B)/2 \approx 1\)로 근사할 수 있어요.

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B-4. 자유낙하 좌표로의 변환에서의 속도와 가속도

균일 중력장 \(\mathbf{g}\) 속 입자의 위치 \(\bar{x}(t)\)에 대해, 자유낙하 좌표로의 변환

\[ \bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

을 적용해요. 속도 \(\dot{\bar{x}}' \equiv d\bar{x}'/dt'\)를 \(\dot{\bar{x}}\)와 \(\mathbf{g}\), \(t\)를 사용하여 나타내세요. 또한 가속도 \(\ddot{\bar{x}}'\)를 \(\ddot{\bar{x}}\)와 \(\mathbf{g}\)로 나타내세요.

힌트

\(t' = t\)이므로 \(d/dt' = d/dt\)예요. \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\)의 양변을 \(t\)로 미분해요.

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B-5. \(m_I \neq m_G\) 인 경우의 자유낙하 좌표변환

참고 그림: 그림 4.1: 등가원리의 사고실험

자유낙하 좌표계에서 중력이 사라지는 것을 보이는 계산에서, 운동방정식

\[ m_I \frac{d^2 \bar{x}}{dt^2} = m_G \,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

에 대해, \(m_I \neq m_G\) 인 경우에 좌표변환 \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) 을 적용하면, 변환 후의 운동방정식이 어떻게 되는지 구하세요. 중력항이 완전히 사라지지 않음을 보이세요.

힌트

\(\ddot{\bar{x}}' = \ddot{\bar{x}} - \mathbf{g}\) 를 대입하면 \(m_I(\ddot{\bar{x}}' + \mathbf{g}) = m_G \mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}}\) 가 돼요. \(m_I \neq m_G\) 일 때 무엇이 남는지 생각해 보세요.

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B-6. 빛의 이동 시간과 지면 장치의 획득 속도

탑의 꼭대기(높이 \(h\))에서 지면을 향해 빛을 발사해요. 자유낙하하는 관측자가 볼 때, 빛이 지면에 도달할 때까지의 시간 \(\Delta t\)를 \(h\)와 \(c\)로 근사적으로 나타내세요. 또한, 그 동안 지면의 장치가 자유낙하계에 대해 획득하는 속도 \(v\)를 \(g\), \(h\), \(c\)로 나타내세요.

힌트

빛의 이동 시간은 \(\Delta t \approx h/c\)예요. 지면의 장치는 자유낙하계에 대해 가속도 \(g\)로 가속하고 있어요.

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B-7. Doppler 효과로 본 빛의 진동수

특수상대론 (special relativity)의 Doppler (도플러) 효과의 비상대론적 근사로서, 광원을 향해 속도 \(v\)（\(v \ll c\)）로 다가가는 관측자가 받는 진동수 \(\nu\)는

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' \]

로 주어져요（\(\nu'\)는 광원의 진동수）. 문제 B-6. 빛의 이동 시간과 지면 장치의 획득 속도의 결과를 대입하여, 지면에서 받는 빛의 진동수 \(\nu\)를 \(\nu'\), \(g\), \(h\), \(c\)로 나타내세요.

힌트

문제 B-6. 빛의 이동 시간과 지면 장치의 획득 속도에서 구한 \(v = gh/c\)를 그대로 대입해요.

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B-8. 퍼텐셜 형식의 중력 적색편이 공식

중력 적색편이 (gravitational redshift) 공식

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{g h}{c^2} \]

는 지면에서 꼭대기로 빛을 보낸 경우의 진동수 변화를 나타내요. 일반적인 중력 퍼텐셜 (gravitational potential) \(\Phi\)를 사용하면, 퍼텐셜 차이 \(\Delta\Phi\)인 장소 사이에서

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

와 같이 쓸 수 있어요. 균일 중력장에서 \(\Phi = gh\) (지면을 기준)로 놓고, 위의 두 식이 정합하는 것을 확인하세요.

힌트

\(\Delta\Phi = \Phi_{\text{top}} - \Phi_{\text{bottom}} = gh - 0 = gh\)로 놓고 대입하세요.

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Medium（표준）

M-1. 서로 다른 물질의 자유낙하 엘리베이터 실험

관성질량 \(m_I\)와 중력질량 \(m_G\)가 물질에 따라 서로 다른 값을 가진다고 가정해요. 자유낙하하는 엘리베이터 안에서 철 공과 알루미늄 공을 동시에 손에서 놓았을 때, 무엇이 관찰되는지 설명하세요. 왜 이것이 등가원리의 깨짐을 의미하는지도 서술하세요.

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M-2. 다입자계에서의 등가원리

\(N\) 개의 입자가 균일 중력장 \(\mathbf{g}\) 안에 있고, 입자 간에 비중력적인 힘 \(\bar{F}\)가 작용하고 있어요. 관성질량과 중력질량이 같을 때（\(m_I = m_G = m\)）, 자유낙하 좌표로의 변환

\[ \bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

을 적용하면 모든 입자의 운동방정식에서 동시에 중력 항이 사라지는 것을 보이세요. 또한, \(m_{I} \neq m_{G}\)인 경우에 이 논의가 성립하지 않는 이유를 설명하세요.

힌트

\(i\) 번째 입자의 운동방정식을 쓰고, 좌표 변환 후에 중력 항이 상쇄되는 조건을 확인하세요. \(m_G/m_I\)가 입자마다 다르면 어떤 일이 일어나는지 생각해 보세요.

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M-3. 조석력과 등가원리의 국소성

조석력(tidal force)에 대해 다음 물음에 답하세요.

(a) 지구 중심으로부터 거리 \(r\)인 위치에서의 중력가속도는 \(g(r) = GM/r^2\)이에요. 지구 중심으로부터 거리 \(r_0\)에 있는 자유낙하계에서, \(r_0\)로부터 미소 거리 \(\delta r\)만큼 떨어진 점에서의 중력가속도 차이(조석 가속도) \(\delta g\)를 \(G\), \(M\), \(r_0\), \(\delta r\)을 사용하여 나타내세요.

(b) 등가원리가 "충분히 작은 영역"에서만 성립한다는 것은 어떤 의미인지, (a)의 결과를 이용하여 정량적으로 설명하세요.

힌트

(a) \(g(r_0 + \delta r)\)을 \(\delta r\)에 대해 Taylor(테일러) 전개해요. (b) 조석 가속도가 무시할 수 있는 조건을 \(\delta r\)에 대한 제약으로 나타내요.

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M-4. 등가원리로부터의 중력 적색편이 유도

등가원리 (equivalence principle)를 이용하여 중력 적색편이 공식

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2} \]

을 유도하세요. 아래의 절차를 따르세요.

(a) 탑의 꼭대기에서 빛이 발사되는 순간에 자유낙하를 시작하는 관측자를 설정하고, 이 관측자가 관성계에 있다는 것을 등가원리로부터 설명하세요.

(b) 빛이 지면에 도달할 때까지의 시간 \(\Delta t\)와, 그동안 지면의 장치가 자유낙하계에 대해 획득하는 속도 \(v\)를 구하세요.

(c) 도플러 효과의 비상대론적 근사를 적용하여, 지면에서 꼭대기로 빛을 보낸 경우의 진동수 변화를 유도하세요.

힌트

본문 중의 엘리베이터 사고실험을, 탑과 빛의 설정으로 바꾸어 재구성해 보세요. 자유낙하계에서는 특수상대론을 사용할 수 있다는 것이 포인트예요.

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M-5. 도쿄 스카이트리에서의 시계 차이

높이 \(h = 450\) m인 도쿄 스카이트리의 꼭대기와 지면에서, 하루당 시계의 차이를 추정하세요. \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\), \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\)를 사용하세요.

힌트

\(\Delta\nu/\nu \approx gh/c^2\)를 사용하고, 1일 = 86400초로 하여 차이를 나노초로 나타내세요.

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M-6. Newton 역학과 일반상대론의 해석 전환

Newton 역학에서는 "지면에 정지해 있는 관측자가 관성계에 있고, 낙하하는 사과에 중력이라는 힘이 작용하고 있다"고 해석해요. 일반상대론에서는 이 해석이 어떻게 바뀌는지, 아래의 용어를 모두 사용하여 설명하세요: 자유낙하, 관성운동, 측지선 (geodesic), 시공간의 곡률 (curvature).

힌트

일반상대론에서는 "힘을 받지 않고 운동한다 = 측지선을 따라간다 = 자유낙하한다"이며, 지면에 서 있는 사람 쪽이 가속하고 있어요.

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Advanced（발전）

A-1. 중력 적색편이로부터 유도하는 계량의 수정

등가원리와 특수상대론의 지식을 조합하여 다음을 논하세요.

정지질량 \(m\)인 물체가 중력 퍼텐셜 \(\Phi_1\)인 위치에서 \(\Phi_2\)（\(\Phi_2 > \Phi_1\)）인 위치까지 들어올려졌어요.

(a) 중력 적색편이의 결과로부터, 퍼텐셜 \(\Phi\)인 위치에 놓인 시계의 고유시간(proper time) \(d\tau\)와 무한원（\(\Phi = 0\)）의 좌표시 \(dt\)의 관계가

\[ d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) dt \]

로 쓸 수 있음을 설명하세요（\(|\Phi|/c^2 \ll 1\)의 근사）.

(b) 이 결과를 이용하여, 민코프스키(Minkowski) 계량(metric) \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\)이 약한 중력장의 존재 하에서 어떻게 수정되는지, \(g_{00}\) 성분의 변화로 나타내세요.

(c) (b)의 결과는 「중력장이 있는 시공간은 민코프스키 시공간이 아니다」라는 것, 즉 시공간이 휘어져 있다는 것의 첫 번째 징후예요. 이 논의가 제 3 장의 로런츠 계의 개념과 어떻게 모순되며, 왜 일반상대론으로의 확장이 불가피한지를 논하세요.

힌트

(a) 진동수의 비는 고유시간의 역비에 대응해요. (b) 정지한 입자의 세계선에서는 \(dx = dy = dz = 0\)이므로 \(ds^2 = -c^2 d\tau^2\)이에요. (c) \(g_{00}\)이 위치에 의존한다는 것은 계량이 민코프스키 형이 아님을 의미해요.

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A-2. GPS 위성의 상대론적 보정

지구(질량 \(M\), 반지름 \(R\))의 표면에 서 있는 관측자 A와, 지상 높이 \(H\)의 궤도를 등속 원운동하는 위성에 탑승한 관측자 B가 있어요.

(a) 중력 적색편이 효과에 의해, B의 시계는 A의 시계에 대해 1초당 얼마나 빠르게 가는지 구하세요. 퍼텐셜 차이

\[ \Delta\Phi = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+H}\right) = \frac{gR^2 H}{R(R+H)} \]

를 이용하여, 비 \(\Delta\tau_{\text{grav}}/\Delta t\)를 구하세요. (주: \(H \ll R\)인 경우에는 \(\Delta\Phi \approx gH\)로 귀착되지만, GPS 위성에서는 \(H \approx 3.2R\)이므로 이 근사는 사용할 수 없어요.)

(b) 제 3 장에서 배운 특수상대론의 시간 지연(time dilation) 효과에 의해, 궤도 속력 \(v = \sqrt{gR^2/(R+H)} \approx \sqrt{g(R+H)}\)로 운동하는 위성의 시계는 A에 대해 얼마나 느리게 가는지 구하세요. \(v \ll c\)로 놓고 비 \(\Delta\tau_{\text{SR}}/\Delta t\)를 구하세요.

(c) GPS 위성(\(H \approx 20{,}200\;\text{km}\))의 경우에, (a)와 (b)의 효과의 크기를 비교하고, 어느 쪽이 지배적인지 판정하세요. 필요에 따라 \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\), \(R \approx 6{,}370\;\text{km}\), \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\)를 사용하세요.

힌트

(a) \(\Delta\tau_{\text{grav}}/\Delta t \approx \Delta\Phi/c^2 = gRH/[c^2(R+H)]\). (b) 특수상대론의 시간 지연은 \(\Delta\tau_{\text{SR}}/\Delta t \approx -v^2/(2c^2)\). (c) 수치를 대입하여 비교해요. 부호에 주의: 중력 효과는 시계를 빠르게 하고, 속도 효과는 시계를 느리게 해요.

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