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부록 A 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 범함수의 값 계산

범함수 \(H[f] = \int_0^3 [f(x)]^2\,dx\) 에 \(f(x) = 2x\) 를 대입하여 \(H[f]\) 의 값을 구하세요.

힌트

\([f(x)]^2 = (2x)^2 = 4x^2\) 를 대입하여 정적분을 실행하면 돼요.

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B-2. 범함수 미분의 기본 계산

범함수 \(F[f] = \int_0^1 [f(x)]^4\,dx\) 의 범함수 미분 \(\frac{\delta F}{\delta f(x_0)}\)（\(0 \leq x_0 \leq 1\)）을 구하세요.

힌트

본문의 계산 예 2에서 \(p = 4\), \(\varphi(y) = 1\)로 놓은 경우에 해당해요. 거듭제곱의 미분과 같은 패턴 「\(p\) 제곱을 \((p-1)\) 제곱으로 내리고 계수 \(p\)를 앞에 붙인다」를 사용해요.

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B-3. 가중 범함수 미분

범함수 \(G[f] = \int_{-\infty}^{\infty} [f(y)]^2\,e^{-y^2}\,dy\) 의 범함수 미분 \(\frac{\delta G}{\delta f(x)}\) 을 구하세요.

힌트

계산 예제 2의 공식에서 \(p = 2\), \(\varphi(y) = e^{-y^2}\) 으로 놓으세요. 델타 함수의 "추출" 성질을 마지막에 사용해요.

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B-4. 델타 함수를 이용한 범함수 미분

범함수 \(F[f] = f(a)\)（어떤 고정점 \(a\)에서의 함수값）를 적분 표시 \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y - a)\,dy\) 로 쓰고, 정의에 따라 \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) 를 계산하세요.

힌트

\(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\) 로 치환하여, \(\epsilon\)의 1차 항을 추출해요. 최종 결과는 델타 함수로 표현돼요.

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B-5. Euler-Lagrange 방정식의 적용（1차원 조화진동자）

라그랑지안 \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}k x^2\) 에 대해 다음을 순서대로 계산하세요.

  1. \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)
  2. \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)\)
  3. \(\frac{\partial L}{\partial x}\)
  4. Euler-Lagrange 방정식을 쓰고, 얻어지는 운동방정식을 확인하세요.
힌트

\(\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right) = m\dot{x}\) 등, 편미분을 하나씩 차근차근 수행해요. 최종적으로 \(m\ddot{x} = -kx\) 가 얻어져야 해요.

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B-6. 정준 운동량의 계산

다음 각 Lagrangian에 대해 정준 운동량 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)를 구하세요.

(a) \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - mg q\) (균일 중력장에서의 자유 낙하)

(b) \(L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)\) (2차원 극좌표)에 대해 \(p_r\)과 \(p_\theta\)를 각각 구하세요.

힌트

(a)는 \(\dot{q}\)로 편미분하기만 하면 돼요. (b)에서는 \(\dot{r}\)로 미분하여 \(p_r\)을, \(\dot{\theta}\)로 미분하여 \(p_\theta\)를 얻어요. \(p_\theta = mr^2\dot{\theta}\)는 각운동량에 대응해요.

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B-7. Hamiltonian의 구성

1차원 조화진동자의 Lagrangian \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) 에 대해:

  1. 정준운동량 \(p\) 를 구하세요.
  2. \(\dot{q}\) 를 \(p\) 와 \(m\) 으로 나타내세요.
  3. Hamiltonian \(H = p\dot{q} - L\) 을 \(q\) 와 \(p\) 의 함수로 써 내세요.
힌트

\(p = m\dot{q}\) 로부터 \(\dot{q} = p/m\). 이것을 \(H = p\dot{q} - L\) 에 대입하여 \(\dot{q}\) 를 소거해요. 결과는 \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) 가 되어야 해요.

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B-8. 장의 Euler-Lagrange 방정식의 적용

라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) (질량항 없음)에 대해, 장의 Euler-Lagrange 방정식을 적용하여 운동방정식을 유도하세요.

힌트

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\) (\(\phi\) 자체를 포함하는 항이 없음), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\). 방정식 \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi) = 0\)은 무엇이라 불리나요?

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B-9. \(\phi^3\) 이론의 운동방정식

라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{g}{3!}\phi^3\) 에 대해, 장의 오일러-라그랑주 방정식을 적용하여 운동방정식을 유도하세요.

힌트

\(\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{g}{3!}\phi^3\right) = \frac{g}{3!}\times 3\phi^2 = \frac{g}{2}\phi^2\). 나머지는 본문의 \(\phi^4\) 이론의 예와 동일한 절차를 따르면 돼요.

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B-10. 범함수 미분의 연쇄율

범함수 \(S[q] = \int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}m[\dot{q}(t)]^2\,dt\) 의 범함수 미분 \(\frac{\delta S}{\delta q(t')}\)（\(t_1 < t' < t_2\)）를 계산하세요. 단, 끝점 조건 \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\) 을 사용해도 좋아요.

힌트

\(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\delta(t - t')\) 로 치환하면 \(\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \epsilon\,\frac{d}{dt}\delta(t - t')\) 가 돼요. \(\epsilon\) 의 1차 항을 골라내고, 부분적분을 사용하여 \(\delta(t - t')\) 앞의 계수를 구하세요. 결과는 \(-m\ddot{q}(t')\) 가 돼요.

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Medium（표준）

M-1. 작용 원리로부터 Newton의 중력 운동방정식 도출

질량 \(m\)인 입자가 균일 중력장에서 연직 방향으로 운동해요. Lagrangian은

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{z}^2 - mgz \]

예요. 다음을 보이세요.

  1. 작용 \(S[z] = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt\)의 변분 \(\delta S\)를 계산하고, \(\delta z(t)\)를 포함하는 적분의 형태로 정리하세요(부분적분을 명시할 것).
  2. \(\delta S = 0\)으로부터 Euler-Lagrange 방정식을 도출하여 \(m\ddot{z} = -mg\)를 얻으세요.
  3. 얻어진 방정식이 Newton의 운동방정식 \(F = ma\)와 일치함을 확인하세요.
힌트

본문 A.4.3절의 도출과 완전히 동일한 절차예요. \(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m\dot{z}\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = -mg\)를 사용해요. 부분적분에서 경계항이 사라지는 것을 끝점 조건으로부터 보이세요.

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M-2. 장의 정준 운동량과 Hamiltonian 밀도

Klein-Gordon 장의 Lagrangian 밀도

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2 \]

에 대해 다음을 수행하세요.

  1. 정준 운동량 밀도 \(\pi(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\)를 구하세요.
  2. Hamiltonian 밀도 \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\)를 \(\phi\), \(\pi\), \(\nabla\phi\)로 써 내세요.
  3. 얻어진 \(\mathcal{H}\)가 에너지 밀도(양의 정부호)임을 확인하세요.
힌트

\(\pi = \dot{\phi}\). \(\dot{\phi} = \pi\)를 \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\)에 대입하여 정리해요. 결과는 \(\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2\)이고, 모든 항이 제곱의 형태이므로 양의 정부호예요.

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M-3. Poisson 괄호와 Hamilton의 운동방정식

1차원 입자에 대해 해밀토니안이 \(H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + V(q)\)로 주어진다고 해요. Poisson 괄호(푸아송 괄호)는

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q} \]

로 정의돼요. 다음을 보이세요.

  1. \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\)을 확인하세요.
  2. Hamilton의 운동방정식 \(\dot{q} = \{q, H\}_{\mathrm{PB}}\), \(\dot{p} = \{p, H\}_{\mathrm{PB}}\)를 계산하여, 각각 \(\dot{q} = p/m\), \(\dot{p} = -\frac{dV}{dq}\)를 얻으세요.
  3. 정준양자화의 처방 「\(\{A, B\}_{\mathrm{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\)」을 사용하여, \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\)가 얻어지는 것을 확인하세요.
힌트

Poisson 괄호의 정의에 \(A = q\), \(B = p\)를 대입해요. \(\frac{\partial q}{\partial q} = 1\), \(\frac{\partial p}{\partial p} = 1\) 등을 사용해요. Hamilton의 운동방정식에서는 \(\{q, H\}_{\mathrm{PB}} = \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}\)를 계산해요.

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M-4. 다자유도계의 Legendre 변환

\(N\) 개의 일반화 좌표 \(q_1, \ldots, q_N\) 을 가지는 계의 Lagrangian \(L(q_i, \dot{q}_i)\) 에 대해:

  1. 정준 운동량 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) 를 정의하고, Hamiltonian을
\[ H = \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i - L \]

으로 구성해요. \(H\) 가 \(\dot{q}_i\) 를 포함하지 않고 \((q_i, p_i)\) 만의 함수가 됨을 \(H\) 의 전미분 \(dH\) 를 계산하여 보이세요.

  1. \(dH\) 의 표현으로부터 Hamilton의 정준 방정식
\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

을 유도하세요.

힌트

\(dH = \sum_i(\dot{q}_i\,dp_i + p_i\,d\dot{q}_i) - \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\) 를 계산해요. \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) 의 정의와 Euler-Lagrange 방정식 \(\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\) 를 사용하면 \(d\dot{q}_i\) 항이 사라져요.

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M-5. 범함수 미분과 Euler-Lagrange 방정식의 관계

작용

\[ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t))\,dt \]

에 대해 범함수 미분 \(\frac{\delta S}{\delta q(t')}\)을 계산하고, 결과가

\[ \frac{\delta S}{\delta q(t')} = \frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{t=t'} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\bigg|_{t=t'} \]

가 됨을 보이세요. 이를 통해 \(\delta S = 0\)이 Euler-Lagrange 방정식과 동치임을 범함수 미분의 언어로 재확인하세요.

힌트

\(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\delta(t - t')\)로 치환하고, \(L\)을 \(\epsilon\)의 1차까지 전개해요. \(\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \epsilon\,\frac{d}{dt}\delta(t - t')\)가 되는 것에 주의하고, \(\frac{d}{dt}\delta(t - t')\)를 포함하는 항을 부분적분으로 처리해요.

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Advanced（발전）

A-1. 전자기장 속 하전입자와 정준운동량의 게이지 의존성

전자기장 \((V, \mathbf{A})\) 속의 하전입자(전하 \(e\), 질량 \(m\))의 Lagrangian은

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 - eV(\mathbf{r}, t) + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \]

로 주어져요. 다음을 수행하세요.

  1. 정준운동량 \(\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\) 을 구하고, 이것이 역학적 운동량 \(m\dot{\mathbf{r}}\) 과 다름을 보이세요.
  2. Hamiltonian \(H = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{r}} - L\) 을 \((\mathbf{r}, \mathbf{p})\) 로 써 내세요.
  3. 게이지 변환 \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi\), \(V \to V - \frac{\partial\chi}{\partial t}\) 하에서 정준운동량이 어떻게 변화하는지 보이고, Hamiltonian(따라서 운동방정식)이 게이지 불변임을 확인하세요.
  4. 이 결과가 본편 제 6 장(QED의 양자화)에서 「정준운동량을 \(\hat{\mathbf{p}} - e\hat{\mathbf{A}}\) 로 치환하는」 처방(최소 결합)의 고전적 기원임을 논의하세요.
힌트

\(\mathbf{p} = m\dot{\mathbf{r}} + e\mathbf{A}\) 가 돼요. \(\dot{\mathbf{r}} = (\mathbf{p} - e\mathbf{A})/m\) 을 대입하여 \(H\) 를 구성하세요. 게이지 변환에서 \(\mathbf{p} \to \mathbf{p} + e\nabla\chi\) 이지만, \(H\) 속의 \((\mathbf{p} - e\mathbf{A})\) 조합은 게이지 불변이에요.

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A-2. 장의 Poisson 괄호에서 정준 양자화로

스칼라장 \(\phi(\mathbf{x}, t)\)와 정준 운동량 밀도 \(\pi(\mathbf{x}, t) = \dot{\phi}(\mathbf{x}, t)\)에 대해, 장의 Poisson 괄호는

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \int d^3x\left(\frac{\delta A}{\delta\phi(\mathbf{x})}\frac{\delta B}{\delta\pi(\mathbf{x})} - \frac{\delta A}{\delta\pi(\mathbf{x})}\frac{\delta B}{\delta\phi(\mathbf{x})}\right) \]

로 정의돼요. 다음을 보이세요.

  1. \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)를 확인하세요.
  2. \(\{\phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = 0\), \(\{\pi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = 0\)을 확인하세요.
  3. 해밀토니안 \(H = \int d^3x\,\mathcal{H}\)（\(\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2\)）에 대해 Hamilton의 운동방정식 \(\dot{\phi}(\mathbf{x}) = \{\phi(\mathbf{x}), H\}_{\mathrm{PB}}\)를 계산하여 \(\dot{\phi} = \pi\)를 얻으세요.
  4. 마찬가지로 \(\dot{\pi}(\mathbf{x}) = \{\pi(\mathbf{x}), H\}_{\mathrm{PB}}\)를 계산하여 \(\dot{\pi} = \nabla^2\phi - m^2\phi\)를 얻으세요. 이들을 결합하여 Klein-Gordon 방정식이 재현됨을 확인하세요.
  5. 정준 양자화의 처방 \(\{\cdot, \cdot\}_{\mathrm{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot, \cdot]\)을 적용하여, 본편제 4 장의 등시각 교환관계 \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)가 얻어짐을 확인하세요.
힌트

1에서는 \(A = \phi(\mathbf{x})\), \(B = \pi(\mathbf{y})\)로 놓고 범함수 미분을 계산해요. \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{z})\)를 사용해요. 4에서는 \(\frac{\delta H}{\delta\phi(\mathbf{x})}\)를 계산할 때 \((\nabla\phi)^2\) 항에 주의하세요: 부분적분을 사용하면 \(-\nabla^2\phi\)가 나와요.

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