Appendix C 텐서와 미분기하의 기초¶
지금까지의 줄거리: 제 6 장에서 Einstein 방정식 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)이 등장했고, 제 13 장 이후에서는 끈의 세계면에 계량 \(h_{ab}\)를 도입했다. 이 식들에 나타나는 「텐서」「첨자의 상하」「공변미분」「곡률」의 체계는, 「일반상대론」편의 제4장~「일반상대론」편 제 8 장·제12~14장·부록 B에서 상세히 다루고 있다.
이 장의 목표
- 「일반상대론」편에서 배운 텐서와 미분기하의 도구를 「사용하는 쪽」으로서 일람화하고, 끈이론 고유의 맥락——세계면의 2차원 계량 \(h_{ab}\), Polyakov 작용, 2차원 시공간에서의 곡률——로의 다리놓기를 수행한다
- 일반적인 텐서 해석의 상세(좌표변환, Christoffel 기호의 도출, 측지선 방정식의 변분, Riemann 텐서의 대칭성, Einstein 방정식의 도출)는 「일반상대론」편에 맡기고, 중복을 피하면서 끈이론에서 새로이 필요해지는 요소에 집중한다
🟡 리나: 「일반상대론」편을 이미 읽은 분은, 이 부록을 가볍게 요점만 확인하는 것으로 충분해요. 끈이론 고유의 부분은 C.3과 C.4뿐이니까, 거기에 집중해서 읽어도 괜찮아요.
🔵 카이: 「일반상대론」편에서 이것저것 많이 했었죠. 첨자의 상하라든지, 휘어진 공간에서의 미분이라든지……꽤 많았던 기억이 있어요.
🟡 리나: 맞아요. 계량 텐서, Christoffel 기호, 측지선, Riemann 텐서, Einstein 방정식——전부 다뤘었지요. 여기서는 중복을 피하고, 끈이론에서 새로이 필요해지는 부분——「끈의 세계면이라는 2차원 시공간의 기하학」——에 집중할 거예요. 2차원은 좀 특수해서, 일반상대론과 다른 행동을 보여주거든요.
C.1 「일반상대론」편의 요점 요약¶
🟡 리나: 이 부록에서 사용하는 도구를 일람으로 정리해 둘게요. 상세한 도출·증명·계산 예시는 모두 「일반상대론」편에 있으니, 그쪽을 참조하세요.
텐서의 기초（「일반상대론」편 제04장, Appendix B）¶
- 반변벡터 \(A^\mu\)（위 첨자）와 공변벡터 \(A_\mu\)（아래 첨자）는 좌표변환에서 서로 역의 변환 법칙을 따른다:
- \(A'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}A^\nu\)（반변）
- \(B'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}B_\nu\)（공변）
- Einstein의 축약 규칙: 같은 첨자가 위아래로 한 번씩 나타나면 합을 취한다
- 텐서곱 \(\otimes\)으로 고계 텐서를 구성
- 물리법칙을 텐서 방정식으로 쓰면 좌표계에 의존하지 않는 형태（일반 공변성）가 된다
계량 텐서（「일반상대론」편 제06장, ch07）¶
- 시공간의 선소는 \(ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu\)
- Minkowski 계량: \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\)（「일반상대론」편·「양자중력 문제에의 도전」편를 관통하는 규약. 「장의 양자론」편에서는 반대의 \((+,-,-,-)\)를 사용. 제 5 장에서 광원뿔 좌표를 도입할 때도 이 규약을 확인했다）
- 역계량 \(g^{\mu\nu}\)는 \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\)를 만족한다
- 첨자 올리기·내리기: \(A_\mu = g_{\mu\nu}A^\nu\), \(A^\mu = g^{\mu\nu}A_\nu\)
- 대표적 예: Schwarzschild 계량（구대칭·정적）, FRW 계량（우주론）
공변미분과 Christoffel 기호（「일반상대론」편 제12장）¶
- 보통의 편미분 \(\partial_\mu V^\nu\)는 텐서가 아니다（좌표변환에서 여분의 항이 나온다）
- 공변미분 \(\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\rho}V^\rho\)는 텐서이다
- Christoffel 기호: 계량 적합 \(\nabla_\alpha g_{\mu\nu} = 0\)과 비틀림 없음으로부터
계량의 1계 미분으로부터 기계적으로 계산할 수 있다.
평행이동과 측지선（「일반상대론」편 제08장, ch12）¶
- 벡터 \(V^\mu\)를 곡선 \(x^\mu(\lambda)\)를 따라 평행이동: \(\frac{dV^\mu}{d\lambda} + \Gamma^\mu_{\nu\rho}\frac{dx^\nu}{d\lambda}V^\rho = 0\)
- 측지선 방정식（곡선을 「곧장」 따라가는 입자의 운동방정식）:
변분원리（작용 \(S = \frac{1}{2}\int d\lambda\, g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\)의 정류）로부터 도출된다.
곡률 텐서（「일반상대론」편 제13장）¶
- Riemann 곡률 텐서（공변미분의 교환자로부터）:
- Ricci 텐서: \(R_{\mu\nu} = R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}\)
- 스칼라 곡률: \(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\)
- 기하학적 의미: 닫힌 경로를 따른 평행이동에서 생기는 방향의 어긋남
Einstein 방정식（「일반상대론」편 제14장, Appendix G）¶
- 좌변은 시공간의 휘어짐（순수 기하학）, 우변은 물질·에너지의 분포（물리）
- Bianchi 항등식으로부터 \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\), 이것이 에너지-운동량 보존 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\)과 정합된다
🟡 리나: 여기까지의 도구는 전부, 계량 \(g_{\mu\nu}\)에서 출발해서 계산할 수 있어요——계량 → Christoffel → Riemann → Ricci → Einstein 방정식이라는 파이프라인이었죠. 그리고 이 파이프라인은, 세계면의 계량 \(h_{ab}\)에도 그대로 적용할 수 있어요.
⚪ 메이: 즉 \(g_{\mu\nu}\)를 \(h_{ab}\)로 바꾸기만 하면, 같은 절차를 쓸 수 있다는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그것을 C.3과 C.4에서 구체적으로 살펴볼 거예요.
C.2 연습문제 맵¶
🟡 리나: 이 부록의 연습문제는, 「일반상대론」편의 내용을 끈이론의 맥락에서 복습·확인하는 것들이에요.
표 C.1: 부록C 연습문제의 토픽과 참조처
| 연습문제 | 토픽 | 참조 |
|---|---|---|
| C.1–C.3 | 첨자의 상하, Einstein의 축약 | 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장, 부록 B |
| C.4–C.6 | 계량 텐서의 구체적 예（구면·극좌표·Schwarzschild） | 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 6 장, ch07 |
| C.7–C.9 | Christoffel 기호·측지선 방정식 | 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 8 장, ch12 |
| C.10 | Einstein 텐서의 보존법칙 | 「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 14 장, 부록 G |
📝 전체 연습문제 → Appendix C 연습문제
C.3 끈이론을 위한 2차원 계량과 세계면¶
🟡 리나: 여기서부터가 끈이론 고유의 부분이에요. 끈의 세계면은 시간 매개변수 \(\tau\)와 공간 매개변수 \(\sigma\)의 2차원적 넓이를 가져요. 세계면 위의 「거리」를 재는 데 2차원의 계량 \(h_{ab}(\tau, \sigma)\)를 사용해요. 첨자 \(a, b\)는 세계면의 좌표를 돌고, \(a, b \in \{0, 1\}\)에서 \(\sigma^0 = \tau\), \(\sigma^1 = \sigma\)로 대응시켜요. 2차원의 적분 측도는 \(d^2\sigma \equiv d\sigma^0\,d\sigma^1 = d\tau\,d\sigma\)로 써요（여기서 \(d^2\sigma\)는 「2개의 좌표 \(\sigma^a\)에 대한 적분」의 약기이지, \(\sigma\)의 제곱이 아니에요）. 참고로, \(\sigma\)라는 글자가 「공간 매개변수」와 「좌표 전체의 약기 \(\sigma^a\)」 양쪽에 사용되는데, 첨자가 붙어 있으면 좌표 전체, 붙어 있지 않으면 공간 매개변수로 구별해서 읽어주세요.
세계면 계량과 Polyakov 작용¶
🟡 리나: Polyakov 작용은 세계면의 계량을 명시적으로 포함하는 형태예요:
여기서 \(T\)는 끈의 장력（제 13 장에서 도입한 \(T = \frac{1}{2\pi\alpha'}\)）, \(h = \det(h_{ab})\)는 \(h_{ab}\)의 행렬식（2×2 행렬이면 \(h = h_{\tau\tau}h_{\sigma\sigma} - h_{\tau\sigma}^2\)）, \(h^{ab}\)는 \(h_{ab}\)의 역계량이에요. \(X^\mu(\tau, \sigma)\)는 끈 위의 각 점이 시공간의 어디에 있는지를 주는 함수로, \(\mu = 0, 1, \ldots, D-1\)은 시공간의 좌표예요. \(\partial_b X_\mu\)의 아래 첨자 \(\mu\)는 시공간 계량으로 첨자를 내린 것, 즉 \(\partial_b X_\mu \equiv \eta_{\mu\nu}\partial_b X^\nu\)（평탄 시공간의 경우）이고, Einstein의 축약 규칙에 의해 \(\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu = \eta_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu\)와 같은 의미예요.
🔵 카이: 세계면 계량 \(h_{ab}\)와 시공간 계량 \(\eta_{\mu\nu}\)（또는 일반적인 \(g_{\mu\nu}\)）, 2개의 계량이 등장하는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 이 구조를 혼동하지 않는 게 중요해요. \(h_{ab}\)는 세계면 위의 계량으로, \(\tau, \sigma\)의 함수예요. 한편 \(g_{\mu\nu}(X)\)는 시공간 위의 계량으로, 끈이 살고 있는 배경 시공간의 계량이에요. 끈이론을 평탄 시공간에서 다룰 때는 \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\)이지만, 휘어진 시공간을 끈이 전파하는 경우에는 \(g_{\mu\nu}(X)\)가 좌표 의존이 돼요.
세계면 계량의 성분¶
2차원 대칭행렬이므로 독립 성분은 3개:
여기서 \(\det(h_{ab}) = h_{\tau\tau}h_{\sigma\sigma} - h_{\tau\sigma}^2\). 세계면이 시간 방향 \(\tau\)와 공간 방향 \(\sigma\)를 가질 때, 계량의 부호 구조는 \((-,+)\)가 된다（이것을 Lorentz적 (Lorentzian)이라고 부른다）. 이때 \(\det(h_{ab}) < 0\)이므로, 작용에 나타나는 \(\sqrt{-h}\)는 실수가 된다.
Weyl 변환과 게이지 자유도¶
🟡 리나: 2차원 계량의 매우 중요한 성질로서, Weyl 변환 아래에서의 자유도가 있어요:
임의의 함수 \(\omega(\tau, \sigma)\)로 계량 전체를 스케일링하는 조작이에요. 놀랍게도, Polyakov 작용은 이 변환 아래에서 불변이에요.
🔵 카이: 불변이라니, \(\sqrt{-h}\)도 \(h^{ab}\)도 변하는데 전체적으로 상쇄된다는 거예요? 왜 그런 거죠?
🟡 리나: 맞아요. 구체적으로 확인해 봐요. \(h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}\)일 때, 각 성분이 같은 인자 \(e^{2\omega}\) 배가 되고 있어요. \(n \times n\) 행렬의 전 성분을 같은 값 \(c\) 배하면 행렬식은 \(c^n\) 배가 돼요. 왜냐하면, \(2 \times 2\)의 경우로 구체적으로 보면 \(\det\begin{pmatrix} ca & cb \\ cc & cd \end{pmatrix} = (ca)(cd) - (cb)(cc) = c^2(ad - bc) = c^2 \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)——각 항이 2개의 성분의 곱이니까, 전 성분을 \(c\) 배하면 각 항이 \(c^2\) 배가 되는 거예요. 일반의 \(n \times n\)에서도 같은 논리로 \(c^n\) 배가 돼요（행렬식은 각 항이 \(n\)개의 성분의 곱이니까, 전 성분을 \(c\) 배하면 각 항이 \(c^n\) 배가 된다）. 여기서 \(c = e^{2\omega}\)는 좌표 \((\tau, \sigma)\)의 함수이지만, 행렬식 계산은 각 점 \((\tau, \sigma)\)마다 독립적으로 수행하는 것이에요. 어떤 한 점에 주목하면 \(e^{2\omega}\)는 그냥 상수이니까, 「전 성분을 같은 상수 배하면 행렬식은 \(c^n\) 배」라는 성질이 그대로 사용돼요. 2×2이므로 \(\det(e^{2\omega}h_{ab}) = (e^{2\omega})^2\det(h_{ab}) = e^{4\omega}\det(h_{ab})\). 따라서 \(\sqrt{-h} \to \sqrt{e^{4\omega}}\sqrt{-h} = e^{2\omega}\sqrt{-h}\). 그리고 역계량은 \(h^{ab}h_{bc} = \delta^a_c\)를 유지해야 하니까, \(h^{ab} \to e^{-2\omega}h^{ab}\)가 돼요.
⚪ 메이: \(\sqrt{-h}\)가 \(e^{2\omega}\) 배, \(h^{ab}\)가 \(e^{-2\omega}\) 배——곱하면 딱 상쇄되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. \(\partial_a X^\mu\)는 계량에 의존하지 않으니까 변하지 않아요. 전부 합하면 \(e^{2\omega} \cdot e^{-2\omega} = 1\)로, 곱 전체가 불변이 돼요.
🔵 카이: 그렇군요, 지수의 어깨가 \(+2\omega\)와 \(-2\omega\)로 더하면 영——그래서 상쇄되는 거네요. 그런데 이거 2차원이라서 성립하는 건가요? 3차원이면 \(\sqrt{-h}\)의 변환이 달라질 것 같은데요.
🟡 리나: 날카로워요. 3차원이면 \(\sqrt{-h} \to e^{3\omega}\sqrt{-h}\)가 되니까 \(e^{3\omega} \cdot e^{-2\omega} = e^{\omega} \neq 1\)로 상쇄되지 않아요. Weyl 불변성은 2차원에 특유한 성질이에요. 이 Weyl 대칭성이 끈이론의 기반이고, 제 14 장에서 자세히 다루는 공형장론 (Conformal Field Theory, CFT)의 출발점이 돼요.
✅ 이해도 체크: Weyl 변환 \(h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}\) 아래에서 Polyakov 작용이 불변이 되는 이유를, \(\sqrt{-h}\)와 \(h^{ab}\)의 변환성으로부터 간결하게 설명해 봅시다.
답
2차원에서는 \(\sqrt{-h} \to e^{2\omega}\sqrt{-h}\)（행렬식이 \(e^{4\omega}\) 배가 되므로）, 역계량은 \(h^{ab} \to e^{-2\omega}h^{ab}\)로 변환한다. \(\partial_a X^\mu\)는 계량에 의존하지 않으므로 불변. 이들을 곱하면 \(e^{2\omega} \cdot e^{-2\omega} = 1\)이 되어, 작용 전체가 불변이 된다.
공형 게이지¶
🟡 리나: 아까 본 것처럼 독립 성분은 3개예요. 한편, 좌표변환 \(\tau \to \tau'(\tau, \sigma)\), \(\sigma \to \sigma'(\tau, \sigma)\)로 2개의 임의함수를 쓸 수 있으니까, 계량의 2개 성분을 원하는 형태로 고정할 수 있어요. 거기에 Weyl 변환으로 나머지 1개 성분도 고정할 수 있어요. 합계 \(3 - 2 - 1 = 0\)으로, 계량을 완전히 고정해서 평탄한 형태로 만들 수 있어요:
이것을 공형 게이지 (conformal gauge)라고 불러요. 여기서 \(\eta_{ab}\)는 2차원의 Minkowski 계량（\(a, b \in \{\tau, \sigma\}\)）으로, C.1에서 나왔던 4차원의 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\)의 2차원 버전이에요. 이 게이지에서 Polyakov 작용은
\(\eta^{ab}\)는 \(\eta_{ab}\)의 역행렬인데, 대각행렬의 역행렬은 각 대각 성분의 역수를 나열한 것（\((-1)^{-1} = -1\), \((+1)^{-1} = +1\)）이니까 \(\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\)으로 원래와 같은 형태가 돼요. Einstein의 축약 규칙으로 \(a, b\)에 대해 합을 취하면, \(\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu = \sum_{a}\sum_{b}\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu\). \(\eta^{ab}\)는 대각행렬이니까 비대각 성분 \(\eta^{\tau\sigma} = \eta^{\sigma\tau} = 0\)이고, 대각 성분만 살아남아요: \(\eta^{\tau\tau}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu + \eta^{\sigma\sigma}\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X_\mu = (-1)\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu + (+1)\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X_\mu\).
🔵 카이: 대각 성분만 남고, 나머지는 부호를 대입하기만 하면 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 앞의 \(-T/2\)와 합치면 \(S_P = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\,[(-1)\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu + (+1)\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X_\mu]\). \((-T/2) \times (-1) = +T/2\)와 \((-T/2) \times (+1) = -T/2\)이니까
가 돼요.
⚪ 메이: 결국, 공형 게이지로 고정하면 \(\sqrt{-h}\)도 \(h^{ab}\)도 사라지고, \(\tau\) 미분과 \(\sigma\) 미분의 차만 남는다——깔끔한 형태네요.
⚠️ 2개의 계량을 혼동하지 말 것: 여기서 \(\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu = \eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu = -(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2 + \cdots + (\partial_\tau X^{D-1})^2\)이며, 시공간 계량 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,\ldots,+1)\)의 부호에 의해 시간 성분 \(X^0\)의 기여가 음이 된다. 따라서 \(\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu\)는 반드시 양이라고 할 수 없다. 바로 앞에 나온 \(\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\)는 세계면의 계량（첨자 \(a, b\)）이고, 여기서의 \(\eta_{\mu\nu}\)（첨자 \(\mu, \nu\)）는 시공간의 계량——살고 있는 공간이 다르므로 혼동하지 않도록.
🔵 카이: 이 형태, 뭔가 본 적이 있어요. \(\tau\) 방향 미분의 제곱과 \(\sigma\) 방향 미분의 제곱의 차……파동방정식의 작용 버전 같은 느낌인가요?
🟡 리나: 좋은 직관이에요. 실제로, 역학에서 「운동에너지 \(-\) 위치에너지」가 라그랑지안이었던 것과 비슷한 구조로, \(\tau\) 미분이 「운동에너지적」, \(\sigma\) 미분이 「위치에너지적」으로 읽을 수 있어요. 여기서 운동방정식을 도출해 봐요. 역학에서는 작용 \(S = \int dt\,L\)을 정류시켜 운동방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)을 얻었죠. 장이론에서는 「입자의 위치 \(q(t)\)」 대신 「장 \(X^\mu(\tau, \sigma)\)」가 있고, 독립변수가 \(t\) 하나에서 \((\tau, \sigma)\) 둘로 늘어나요. 작용은 \(S = \int d\tau\,d\sigma\,\mathcal{L}\)로 쓰이고, \(\mathcal{L}\)을 라그랑지안 밀도라고 불러요.
🔵 카이: 역학의 라그랑지안 \(L\)과 뭐가 다른 거예요?
🟡 리나: 역학에서는 \(S = \int dt\,L\)로 시간만의 적분이었죠. 장이론에서는 공간 방향으로도 적분하니까 \(S = \int d\tau\,d\sigma\,\mathcal{L}\)이 돼요. \(\mathcal{L}\)은 각 점 \((\tau, \sigma)\)마다 정의되는 「밀도」예요.
⚪ 메이: 즉 \(L\)이 「계 전체에서 하나」였던 것에 비해, \(\mathcal{L}\)은 「각 점마다 있는 것」——적분해야 비로소 전체 작용이 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 역학에서는 \(q(t)\)를 조금 움직여서 \(q(t) + \delta q(t)\)로 했을 때 작용의 변화가 영이 되는 조건에서 운동방정식을 도출했죠. 장이론에서도 같은 것을 해요——\(X^\mu(\tau, \sigma)\)를 조금 움직여서 \(X^\mu + \delta X^\mu\)로 하고, 작용의 변화 \(\delta S = 0\)을 요구해요. 역학에서는 부분적분으로 \(\frac{d}{dt}\)를 \(\delta q\)에 옮겼는데, 지금은 독립변수가 \(\tau\)와 \(\sigma\) 둘이니까, 각각의 방향으로 부분적분이 필요해져요. 결과적으로, 역학의 \(\frac{d}{dt}\)가 \(\sum_a \partial_a\)（\(a = \tau, \sigma\)）로 바뀐 형태의 Euler-Lagrange 방정식이 얻어져요:
（\(a = \tau, \sigma\)로 합을 취한다. 역학에서는 \(\delta q\)에 걸리는 \(\frac{d}{dt}(\cdots)\)를 부분적분으로 1번 옮겼지만, 지금은 독립변수가 \(\tau\)와 \(\sigma\) 둘이니까, \(\delta X^\mu\)에 걸리는 \(\partial_\tau(\cdots)\)와 \(\partial_\sigma(\cdots)\)를 각각 부분적분으로 옮긴다——그래서 \(\sum_a \partial_a\)가 나타나는 거예요. 도출의 상세는 「일반상대론」편의 변분원리 장도 참조.）
⚪ 메이: 아까 리나 선생님이 쓴 역학 버전 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}\)와 비교하면, \(\frac{d}{dt}\)가 \(\sum_a \partial_a\)로, \(L\)이 \(\mathcal{L}\)로 바뀐 형태네요.
🔵 카이: 아, 그런데 하나 확인하고 싶어요. 역학에서는 \(q\)로 미분하는 것과 \(\dot{q}\)로 미분하는 것이 별개였잖아요. 장이론에서는 \(X^\mu\)로 미분하는 것과 \(\partial_a X^\mu\)로 미분하는 것이 별개라는 건가요? \(\partial_a X^\mu\)는 \(X^\mu\)의 미분인데, 독립적인 변수로 취급해도 되는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 역학에서도 \(q\)와 \(\dot{q}\)를 「시각 \(t\)를 정한 순간의 위치와 속도」로서 독립적으로 취급했잖아요. 장이론에서도 마찬가지예요——\(X^\mu\)와 \(\partial_a X^\mu\)를 「어떤 점 \((\tau, \sigma)\)에서의 장의 값과 그 기울기」로서 독립적인 변수로 간주하는 거예요. 변분법의 틀에서는, \(X^\mu\)를 조금 움직이면 \(\partial_a X^\mu\)도 연동해서 변하지만, Euler-Lagrange 방정식을 도출하는 단계에서는 형식적으로 독립으로 두고 편미분을 취해요——결과적으로 올바른 운동방정식이 나와요.
🔵 카이: 그렇군요, 역학 때와 같은 「형식적으로 독립으로 취급하는」 규칙이 그대로 사용되는 거네요. 그러면 실제로 이 식을 지금의 작용에 적용하면 어떻게 되나요?
🟡 리나: 해 봐요. 라그랑지안 밀도는 \(\mathcal{L} = \frac{T}{2}(\partial_\tau X^\nu \partial_\tau X_\nu - \partial_\sigma X^\nu \partial_\sigma X_\nu)\)예요. 먼저 \(X^\mu\) 자체는 \(\mathcal{L}\) 안에 직접 나타나지 않아요（나타나는 것은 미분 \(\partial_a X^\mu\)뿐）니까, \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^\mu} = 0\). 다음으로 \(\partial_\tau X^\mu\)에 의한 미분을 계산해요. \(\partial_\tau X^\nu \partial_\tau X_\nu = \eta_{\rho\lambda}\partial_\tau X^\rho \partial_\tau X^\lambda\)를 \(\partial_\tau X^\mu\)로 미분해 봐요. 이것은 \(\eta_{\rho\lambda} \cdot (\partial_\tau X^\rho) \cdot (\partial_\tau X^\lambda)\)라는 형태로, \(\partial_\tau X^\mu\)는 2군데에 나타나요——\(\rho = \mu\)일 때의 \(\partial_\tau X^\rho\)와, \(\lambda = \mu\)일 때의 \(\partial_\tau X^\lambda\). 곱의 미분법（\((fg)' = f'g + fg'\)）과 같은 요령으로, \(\rho = \mu\)인 항에서 \(\eta_{\mu\lambda}\partial_\tau X^\lambda\)가, \(\lambda = \mu\)인 항에서 \(\eta_{\rho\mu}\partial_\tau X^\rho\)가 나와요. \(\eta\)는 대칭（\(\eta_{\mu\lambda} = \eta_{\lambda\mu}\)）이고 더미 첨자의 이름은 자유롭게 바꿀 수 있으니까, 2개의 기여는 같은 것이고, 합치면 \(2\eta_{\mu\lambda}\partial_\tau X^\lambda = 2\partial_\tau X_\mu\)가 돼요. \(T/2\)를 곱하면 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\tau X^\mu)} = T\,\partial_\tau X_\mu\).
🔵 카이: \(\sigma\) 쪽도 같은 요령인가요? 부호만 바뀌고?
🟡 리나: 맞아요. \(\mathcal{L}\)의 \(\sigma\) 부분은 \(-\frac{T}{2}\partial_\sigma X^\nu \partial_\sigma X_\nu\)이고, \(\tau\) 때와 완전히 같은 요령으로 \(\partial_\sigma X^\nu \partial_\sigma X_\nu\)를 \(\partial_\sigma X^\mu\)로 미분하면 \(2\partial_\sigma X_\mu\)가 나와요. 앞의 계수 \(-T/2\)를 곱하면 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\sigma X^\mu)} = -\frac{T}{2} \times 2\partial_\sigma X_\mu = -T\,\partial_\sigma X_\mu\). \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^\mu} = 0\)이었으니까, Euler-Lagrange 방정식은 \(\sum_a \partial_a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_a X^\mu)} = 0\)으로 간략화돼요. 여기에 대입하면, \(\partial_\tau(T\,\partial_\tau X_\mu) + \partial_\sigma(-T\,\partial_\sigma X_\mu) = 0\), 즉 \(T(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X_\mu = 0\)이 돼요. 평탄 시공간에서는 \(\eta_{\mu\nu}\)가 상수이니까 첨자를 올려도 같은 방정식이 성립하고, 부록 A.3에서 본 2차원 파동방정식 \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0\)이 얻어져요.
✅ 이해도 체크: 2차원 세계면 계량의 독립 성분은 3개인데, 공형 게이지로 \(h_{ab} = \eta_{ab}\)에 완전히 고정할 수 있는 것은 왜일까요? 어떤 대칭성을 사용하고 있을까요?
답
좌표변환（미분동형사상）으로 2개의 임의함수를 사용하여 2개 성분을 고정하고, 나아가 Weyl 변환으로 나머지 1개 성분을 고정한다. 합계 \(3 - 2 - 1 = 0\)으로 독립 성분이 없어지며, 계량을 평탄한 \(\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\)로 완전히 고정할 수 있다.
🔵 카이: 계산 단계는 많았지만, 최종적으로 그냥 파동방정식 \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0\)에 떨어지는 건 알겠어요. 그런데 신경 쓰이는 건, 게이지를 고정해서 \(h_{ab}\)의 정보를 전부 버린 거잖아요? 뭔가 빠뜨리고 있는 조건은 없나요?
🟡 리나: 날카로워요. 사실 게이지 고정 전의 \(h_{ab}\)의 운동방정식이 구속조건으로 남아요. 이것이 Virasoro 구속조건으로, 제 14 장에서 자세히 다룰 거예요.
⚪ 메이: 즉, 파동방정식만으로는 불충분하고, 추가적인 조건을 만족하는 해만이 물리적으로 허용된다——는 거네요.
🔵 카이: 구속조건이란, 구체적으로 어떤 형태의 식이 되나요? 파동방정식의 해 중에서 「허용되지 않는 것」이란 어떤 거죠……
🟡 리나: 좋은 의문이에요. 구체적인 형태는 제14장에서 도출하겠지만, 직관적으로는 「에너지와 운동량의 배분에 제한이 걸린다」는 이미지예요. 끈의 각 진동 모드에 얼마나 에너지를 배분할 수 있는지에 제약이 붙는 거예요. 기대해 주세요.
🔵 카이: 진동 모드별 제약……그런데 솔직히, 「에너지 배분에 제한이 걸린다」고 해도, 그게 뭘 의미하는지 아직 감이 안 와요. 제14장에서 구체적인 식이 나올 때까지 기다리는 수밖에 없나요?
🟡 리나: 그렇네요, 구체적인 형태는 제14장에서 도출할 테니까 지금은 예고만 할게요. 다만 비유를 하나 들자면——끈의 각 진동 모드에 에너지를 자유롭게 배분할 수 있는 것처럼 보이지만, 사실은 「왼쪽으로 진행하는 파의 에너지」와 「오른쪽으로 진행하는 파의 에너지」가 같아야 한다는 제약이 걸려요. 이것이 레벨 매칭 조건이라 불리는 것으로, Virasoro 구속조건의 일부예요. 그리고 더 놀라운 귀결로서——Virasoro 구속조건이 양자 수준에서 모순 없이 성립하는 조건을 조사하면, 끈이 살고 있는 시공간의 차원이 특정한 값——임계차원——으로 결정돼 버려요.
🔵 카이: 에? 끈의 진동 조건에서 시공간의 차원이 결정된다고요? 왜 진동 이야기가 차원에 영향을 주는 거예요?
🟡 리나: 양자역학에서는 확률의 합계가 반드시 1이 되어야 하잖아요. 그런데 끈을 양자화하면, 시공간의 차원이 특정한 값이 아니면 확률의 합계가 1에서 어긋나거나, 확률이 음이 되는 상태가 사라져 주지 않거나——물리적으로 허용되지 않는 병적인 거동이 나타나 버려요. 그것을 피하는 조건이 차원을 결정해요——자세한 것은 제14장에서요.
C.4 2차원 시공간의 곡률의 특수성¶
🟡 리나: 2차원 시공간은 4차원 시공간에 비해 특수한 성질을 가져요. 이것이 끈이론에서 중요해져요.
2차원에서는 Einstein 텐서가 항등적으로 영¶
🟡 리나: 4차원에서는 Riemann 텐서의 독립 성분이 20개, Ricci 텐서는 10개, Einstein 방정식 \(G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}\)은 비자명한 방정식이었어요. 그러나 2차원에서는 독립 성분이 훨씬 적어요.
🔵 카이: 왜 2차원이면 독립 성분이 줄어드나요?
🟡 리나: Riemann 텐서 \(R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\)의 첨자는 각각 차원수 \(n\)의 값을 취하니까, 차원이 작을수록 조합이 줄어들어요. 게다가 Riemann 텐서에는 「첨자 쌍의 반대칭성」「쌍끼리의 교환 대칭성」「제1 Bianchi 항등식」이라는 대칭성이 있어서（「일반상대론」편 제13장 참조）, 이것들이 성분 간의 관계식을 만들어요——예를 들어 반대칭성 \(R_{abcd} = -R_{bacd}\)는 「\(ab\)를 교환하면 부호가 바뀐다」는 관계이니까, \(R_{0101}\)과 \(R_{1001}\)은 독립이 아니라 한쪽이 정해지면 다른 쪽도 정해지는 거예요. 이런 관계식을 전부 고려하면 독립 성분수는 \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}\)로 좁혀져요（도출은 「일반상대론」편 제13장 참조）. \(n = 4\)이면 \(\frac{16 \times 15}{12} = 20\)개, \(n = 2\)이면 \(\frac{4 \times 3}{12} = 1\)개.
🔵 카이: 겨우 1개! 그러면 곡률 정보가 거의 없다는 건가요?
🟡 리나: 맞아요. 2차원에서 실제로 확인하면, 첨자 \(a, b\)가 각각 0 또는 1밖에 취하지 못하니까, 반대칭성 \(R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc}\)에 의해 \(ab\)와 \(cd\)의 쌍은 각각 \((01)\)의 1가지뿐이고, 독립 성분은 \(R_{0101}\)의 1개뿐——공식과 일치하지요. 겨우 1개이니까, 스칼라 곡률 \(R\)만으로 Riemann 텐서가 완전히 결정돼 버려요.
구체적으로, 2차원에서는 Riemann 텐서가
로 쓸 수 있어요（\(R_{abcd}\)는 모든 첨자가 아래인 형태로, C.1의 「첨자 올리기·내리기」와 같은 요령으로 \(R_{abcd} = g_{a\rho}R^\rho{}_{bcd}\)로 정의된다——위 첨자 \(\rho\)를 계량 \(g_{a\rho}\)로 내려서 \(a\)로 만든 것）. 여기서 Ricci 텐서를 계산해 봐요. C.1의 정의 \(R_{\mu\nu} = R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}\)를 세계면의 첨자로 쓰면 \(R_{ab} = R^c{}_{acb}\)（\(\alpha \to c\), \(\mu \to a\), \(\nu \to b\)로 읽어 바꾼 것으로, 위 첨자 제1 첨자와 아래 첨자 제3 첨자가 모두 \(c\)가 되어 축약된다）. 공식 \(R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc})\)는 모든 첨자가 아래인 Riemann 텐서에 대한 것이니까, 먼저 \(R^c{}_{acb}\)를 모든 첨자가 아래인 형태로 바꿔 쓰고 싶어요. 모든 첨자가 아래인 Riemann 텐서와의 관계는 \(R_{eacb} = g_{e\rho}R^\rho{}_{acb}\)로 정의돼요（\(\rho\)는 더미 첨자）. 양변에 \(g^{ce}\)를 곱해서 \(e\)에 대해 축약하면, 좌변은 \(g^{ce}R_{eacb} = g^{ce}g_{e\rho}R^\rho{}_{acb}\). 여기서 C.1의 역계량 정의 \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\)를 사용해요——이 식은 「어떤 첨자 문자를 사용해도 성립한다」는 의미의 항등식이에요. \(\mu, \alpha, \nu\)는 그냥 이름표이니까, \(\mu\)를 \(c\)로, \(\alpha\)를 \(e\)로, \(\nu\)를 \(\rho\)로 바꿔도 같은 관계식이 성립해요. 즉 \(g^{ce}g_{e\rho} = \delta^c_\rho\)가 얻어져요. 따라서 \(g^{ce}g_{e\rho}R^\rho{}_{acb} = \delta^c_\rho R^\rho{}_{acb} = R^c{}_{acb}\)（\(\delta^c_\rho\)는 \(\rho = c\)일 때만 1이고 나머지는 0이니까, 합에서 \(\rho = c\)인 항만 살아남는다）. 따라서 \(R^c{}_{acb} = g^{ce}R_{eacb}\)로 쓸 수 있어요.
⚪ 메이: 역계량을 곱해서 첨자를 올려 되돌리는 조작이네요. 나머지는 공식을 \(R_{eacb}\)에 적용하면 되겠군요.
🟡 리나: 여기서 공식을 \(R_{eacb}\)에 적용하고 싶어요. 공식의 좌변의 첨자 위치와 \(R_{eacb}\)의 첨자 위치를 대응시켜 봐요. 공식 \(R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc})\)의 첨자 \((a,b,c,d)\)는 「제1, 제2, 제3, 제4 슬롯」을 나타내는 더미 라벨에 불과해요. 지금 하고 싶은 것은 「\(R_{eacb}\)의 구체적인 형태를 아는 것」——그러기 위해 공식의 좌변 \(R_{abcd}\)의 각 슬롯에 \(R_{eacb}\)의 첨자를 순서대로 대입하는 거예요. 공식의 제1 슬롯에 \(e\), 제2에 \(a\), 제3에 \(c\), 제4에 \(b\)를 넣어요:
공식 \(R_{abcd}\)의 첨자 슬롯과 이번 대응
| 공식의 슬롯 | 제1 | 제2 | 제3 | 제4 |
|---|---|---|---|---|
| 이번에 넣는 첨자 | \(e\) | \(a\) | \(c\) | \(b\) |
공식의 우변을 봐요. \(g_{ac}g_{bd}\)는 「제1과 제3의 첨자를 가진 \(g\)」×「제2와 제4의 첨자를 가진 \(g\)」, \(g_{ad}g_{bc}\)는 「제1과 제4의 첨자를 가진 \(g\)」×「제2와 제3의 첨자를 가진 \(g\)」라는 구조예요. 표에 따라 각 슬롯에 첨자를 대입하면:
- 제1항 \(g_{ac}g_{bd}\): 제1→\(e\), 제3→\(c\)로 \(g_{ec}\), 제2→\(a\), 제4→\(b\)로 \(g_{ab}\). 합치면 \(g_{ec}g_{ab}\)
- 제2항 \(g_{ad}g_{bc}\): 제1→\(e\), 제4→\(b\)로 \(g_{eb}\), 제2→\(a\), 제3→\(c\)로 \(g_{ac}\). 합치면 \(g_{eb}g_{ac}\)
따라서
🔵 카이: 표에 대입하기만 하면 기계적으로 되는 거네요. 이제 \(g^{ce}\)를 곱해서 축약하면 Ricci 텐서가 나오나요?
🟡 리나: 그 통리예요.
제1항: \(g^{ce}g_{ec} = \delta^c_c\)（역계량의 정의 \(g^{c\alpha}g_{\alpha c} = \delta^c_c\)로부터）. 여기서 \(\delta^c_c\)는 Einstein의 축약 규칙으로 \(c\)에 대해 합을 취하니까 \(\delta^c_c = \delta^0_0 + \delta^1_1 = 1 + 1 = 2\)（2차원에서는 첨자가 0과 1의 2개뿐）. 따라서 제1항 전체는 \(\frac{R}{2} \cdot 2 \cdot g_{ab}\). 제2항: \(g^{ce}g_{eb} = \delta^c_b\)이니까 \(g^{ce}g_{eb}g_{ac} = \delta^c_b g_{ac} = g_{ab}\), 제2항 전체는 \(\frac{R}{2} \cdot g_{ab}\).
정리하면
⚠️ 틀리기 쉬운 포인트: 공식의 첨자 대응을 \((a,b,c,d) \to (e,a,c,b)\)로 하지 않고 직관적으로 대입하면, \(g^{ce}g_{ea}g_{cb}\) 같은 항이 나타나서 「\(R_{ab} = 0\)?」이라는 잘못된 결과에 이르기 쉽다. 포인트는 \(R_{eacb}\)의 4개 첨자를 공식의 좌변 \(R_{abcd}\)에 정확히 대응시키는 것. 특히 제1항에서 \(g^{ce}g_{ec} = n\)（차원수）이 나오는 것이 2차원의 핵심.
🔵 카이: 첨자 읽어 바꾸기가 꽤 복잡하네요…… 그래도 요컨대, 2차원이면 \(g^{ce}g_{ec} = 2\)가 되는 게 효과를 발휘해서, 최종적으로 \(R_{ab} = \frac{R}{2}g_{ab}\)라는 비례관계에 떨어진다는 거죠?
🟡 리나: 맞아요. 4차원이면 \(g^{ce}g_{ec} = 4\)가 되어 결과가 달라지니까, \(R_{ab} = \frac{R}{2}g_{ab}\)는 2차원 고유의 항등식이에요.
이것으로 올바른 결과가 얻어졌어요. 본 「일반상대론」편에서 채택하고 있는 규약 \(R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\)（제1 첨자가 위）과 \(R_{\mu\nu} = R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}\) 아래에서, 2차원의 항등식은:
- Ricci 텐서: \(R_{ab} = \frac{1}{2}g_{ab}R\)（항등식）
- Einstein 텐서: \(G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R = \frac{1}{2}g_{ab}R - \frac{1}{2}g_{ab}R \equiv 0\)（항상 영）
⚪ 메이: \(R_{ab}\)와 \(\frac{1}{2}g_{ab}R\)이 완전히 같으니까, 빼면 아무것도 남지 않는다——깔끔하게 사라지네요.
（출발점 공식 \(R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc})\)의 증명은 「일반상대론」편 제13장의 연습문제를 참조.）
🔵 카이: 에, 2차원에서는 Einstein 방정식의 좌변이 항상 영이라고요? 그러면 2차원에서 중력 이론을 만들려고 하면 어떻게 되나요?
🟡 리나: 2차원에서는 Einstein-Hilbert 작용 \(S = \int d^2\sigma\sqrt{-h}\,R\)이 위상적인 양——즉 곡면을 연속적으로 변형해도 값이 변하지 않는 양——이 되어 버려요. 이것은 Gauss-Bonnet 정리라 불리는 결과로, 경계가 없는 2차원 곡면에서 성립해요. Gauss-Bonnet 정리는 본래 Euclid적（부호가 \((+,+)\)）인 계량에 대해 증명되는 정리예요. Lorentz적인 세계면 계량 \((-,+)\)에 적용하려면, Wick 회전이라 불리는 조작을 사용해요. 목적은 「시간 방향의 마이너스 부호를 플러스로 바꾸어 \((+,+)\)로 만드는 것」——그러기 위해 시간 좌표를 \(\tau = -i\tau_E\)（\(i\)는 허수단위, \(i^2 = -1\)）로 형식적으로 치환하는 거예요. \(\tau_E\)를 조금 변화시켰을 때 \(\tau\)가 얼마나 변하는지를 보면, \(-i\)는 상수이니까 \(d\tau = -i\,d\tau_E\)가 돼요（\(y = cx\)이면 \(dy = c\,dx\)와 같은 요령）. 선소의 시간 부분을 계산하면 \(-d\tau^2 = -(-i\,d\tau_E)^2\). 여기서 \((-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1\)이니까, \(-(-i\,d\tau_E)^2 = -((-1)\,d\tau_E^2) = +d\tau_E^2\)로 부호가 반전되어, 계량의 부호 구조가 \((-,+)\)에서 \((+,+)\)로 바뀌어요——의도한 대로네요（상세는 제 14 장에서 다룬다）.
🔵 카이: 잠깐만요. 시간을 허수로 만든다니……그래도 되는 건가요? 물리적으로 뭐가 일어나는 거예요?
🟡 리나: 좋은 의문이에요. 「허수의 시간」에 물리적 실체가 있는 건 아니에요. 동기를 먼저 말하자면, Gauss-Bonnet 정리——「곡률의 적분이 위상만으로 결정된다」는 강력한 정리——는, 계량의 부호가 \((+,+)\)（Euclid적）인 경우에 증명되어 있어요. 우리의 세계면 계량은 \((-,+)\)（Lorentz적）이니까, 그대로는 정리를 사용할 수 없어요. 그래서 Wick 회전이라는 수학적 트릭을 사용해서, 일시적으로 부호를 \((+,+)\)로 바꾸어 정리를 적용하고, 결론만 가져오는 거예요. 계산 결과（Euler 수가 정수가 되는 것）는 부호에 의존하지 않는 기하학적 사실이니까, 이 「갔다가 돌아오는」 조작은 정당화돼요.
⚪ 메이: 즉 「정리를 사용할 수 있는 세계에 일시적으로 이동해서 결과를 얻는」 테크닉이네요.
🟡 리나: 맞아요. 구체적으로는, Wick 회전으로 얻어지는 Euclid적 계량을 \(g_{ab}^{(E)}\)라 써요. 이때 행렬식이 양이 되므로 \(\sqrt{-h}\) 대신 \(\sqrt{g^{(E)}}\)로 쓸 수 있어요. 이 Euclid적 계량 \(g_{ab}^{(E)}\)에서 계산되는 스칼라 곡률을 \(R^{(E)}\)라 쓰면, Gauss-Bonnet 정리에 의해
가 성립해요. 이것은 「곡면 전체의 휘어진 정도를 다 더하면, 곡면의 형태（위상）만으로 결정되는 정수가 된다」는 놀라운 정리예요. Euler 수 \(\chi\)란 곡면의 형태（위상）만으로 결정되는 정수로, 곡면에 「손잡이」가 몇 개 붙어 있는지로 결정돼요. 손잡이의 이미지는, 커피컵의 손잡이를 떠올려 봐요——구면（풍선 표면）에 손잡이를 1개 붙이면 도넛（토러스）의 형태가 돼요. 손잡이의 수를 \(\mathfrak{g}\)（종수, genus라고 부른다. 계량의 행렬식 \(g\)와 구별하기 위해 독일 문자（프락투어체）로 쓴다）라 하면 \(\chi = 2 - 2\mathfrak{g}\). 구면（손잡이 없음, \(\mathfrak{g} = 0\)）이면 \(\chi = 2\), 토러스（손잡이 1개, \(\mathfrak{g} = 1\)）이면 \(\chi = 0\), 이중 도넛（손잡이 2개, \(\mathfrak{g} = 2\)）이면 \(\chi = -2\).
🔵 카이: 와, 곡률을 전부 더하면 정수가 되는 거군요. 곡면의 형태만으로 값이 결정된다니, 구부리는 방법이나 늘리는 방법에는 의존하지 않는다는 거죠?
🟡 리나: 그 통리예요. 식 앞의 \(1/(4\pi)\)은, 구면（\(\chi = 2\)）에서 좌변이 정확히 \(2\)가 되도록 정한 규격화 상수예요. 직관적으로는, 구면은 어디나 바깥쪽으로 휘어 있으니까 곡률의 합계가 양의 값이 되고, 안장형의 면은 음의 곡률을 가져요——이것들을 전부 합산하면, 곡면을 어떻게 변형해도（구멍을 뚫거나 막지 않는 한）합계 값이 변하지 않아요. 중요한 것은, 계량을 어떻게 바꿔도 \(\chi\)는 변하지 않는다는 것이에요. 기억해 줬으면 하는데, 운동방정식은 「작용을 변수로 미분해서 영으로 놓는 것」으로 얻어지죠（역학이면 \(\delta S/\delta q = 0\)）. 중력 이론에서는 계량 \(h_{ab}\)가 변수이니까, 운동방정식은 \(\delta S/\delta h_{ab} = 0\)의 형태가 돼요. 그런데 작용의 값이 위상（\(\chi\)）만으로 결정되어 계량의 구체적인 형태에 전혀 의존하지 않는다면, 계량을 어떻게 바꿔도 작용은 변화하지 않아요——즉 \(\delta S/\delta h_{ab}\)가 어떤 \(h_{ab}\)에 대해서도 영이 되어 버려요. 이것은 「방정식 \(0 = 0\)」과 같아서, \(h_{ab}\)에 아무 제약도 부과하지 않아요. 그래서 소박한 2차원 중력 이론에는 동역학적 자유도가 없는 거예요.
✅ 이해도 체크: 2차원에서 Einstein 텐서 \(G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R\)이 항등적으로 영이 되는 것은, 끈이론의 세계면 계량 \(h_{ab}\)의 물리적 역할에 어떤 귀결을 가져올까요?
답
Einstein 텐서가 항등적으로 영이므로, 2차원의 Einstein-Hilbert 작용은 위상적인 양（Euler 수）이 되어, \(h_{ab}\)의 변분으로부터 동역학적인 운동방정식이 나오지 않는다. 따라서 \(h_{ab}\)는 물리적인 자유도가 아니라 게이지 자유도（기술의 잉여성）에 불과하며, Weyl 변환과 좌표변환으로 완전히 제거할 수 있다.
🔵 카이: Euler 수란, 도넛의 구멍 수로 결정된다는 건가요? 구멍이 늘어날수록 Euler 수가 내려간다?
🟡 리나: 「구멍」이라기보다 「손잡이」라고 하는 게 더 정확해요. 아까 설명한 대로, 손잡이의 수 \(\mathfrak{g}\)가 늘어날수록 \(\chi = 2 - 2\mathfrak{g}\)로 Euler 수가 내려가요. 끈이론에서는, 끈의 상호작용을 「세계면의 위상이 바뀐다」고 파악하니까, 이 Euler 수가 섭동 전개의 매개변수가 돼요——제14장 이후에서 나올 거예요.
🔵 카이: 「위상이 바뀐다」는 건, 끈이 분열하거나 합체하면 세계면에 손잡이가 늘어난다는 건가요?
🟡 리나: 맞아요. 끈이 1개에서 2개로 분열하는 과정을 세계면으로 보면, 바지 모양——「팬츠 다이어그램」이라 불리는 거예요——이 돼요. 루프 보정이 들어가면 손잡이가 늘어서 \(\mathfrak{g}\)가 올라가요. \(\mathfrak{g}\)가 클수록 기여가 작아지니까, Euler 수가 섭동 전개의 차수를 제어하는 거예요. 자세한 건 제14장에서요.
⚪ 메이: 정리하면, 2차원의 Einstein-Hilbert 작용은 Euler 수 \(\chi = 2 - 2\mathfrak{g}\)라는 위상적인 양을 줄 뿐이고, 계량 \(h_{ab}\)의 형태를 제약하는 운동방정식을 만들지 않는다——그래서 \(h_{ab}\)는 동역학적 자유도가 아니다, 라는 거네요.
🔵 카이: 그런데 잠깐만요. \(h_{ab}\)가 동역학적 자유도가 아니라면, Polyakov 작용에 들어 있는 건 왜인가요? 작용에 들어 있는데 물리적으로 의미가 없다니 모순 아닌가요?
🟡 리나: 맞아요. Polyakov 작용 안에서 \(h_{ab}\)는 동역학적 변수처럼 보이지만, 사실은 게이지 자유도——즉 기술의 잉여성에 불과해요. Weyl 변환과 미분동형사상으로 모든 정보를 제거할 수 있으니까, 물리적인 자유도는 \(X^\mu\)（끈의 시공간 내 위치）뿐이에요.
공형변환의 무한차원 대칭성¶
🟡 리나: 공형 게이지로 고정한 후에도, 게이지 자유도가 완전히 사라지지 않아요. 남는 대칭성이 공형변환이에요.
🔵 카이: 아까 「\(3 - 2 - 1 = 0\)으로 완전히 고정할 수 있다」고 했잖아요? 그런데 아직 대칭성이 남는다니 어떻게 된 거예요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 아까의 논의는 「국소적으로」 계량을 \(\eta_{ab}\)로 만들 수 있다는 이야기였어요. 하지만 좌표변환 중에는, \(\eta_{ab}\)의 형태를 유지한 채 좌표를 바꾸는 변환——즉 \(h_{ab} = \eta_{ab}\)라는 조건을 깨뜨리지 않는 좌표변환——이 존재해요. 이것이 「잔여 게이지 대칭성」이라 불리는 거예요. 구체적으로 봐요. 파동방정식 \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X = 0\)을 풀기 위해, 변수 \(\sigma^+ = \tau + \sigma\), \(\sigma^- = \tau - \sigma\)를 도입해요（부록 A.3에서 도입 완료）. 여기서는 이후 논의에서 사용하므로 인수분해를 간단히 복습해 둘게요. \(\sigma^+ = \tau + \sigma\), \(\sigma^- = \tau - \sigma\)로 놓으면, 연쇄법칙으로부터 \(\partial_\tau f = \frac{\partial f}{\partial \sigma^+}\frac{\partial \sigma^+}{\partial \tau} + \frac{\partial f}{\partial \sigma^-}\frac{\partial \sigma^-}{\partial \tau} = \partial_+ f \cdot 1 + \partial_- f \cdot 1\)이므로 \(\partial_\tau = \partial_+ + \partial_-\). 마찬가지로 \(\frac{\partial \sigma^+}{\partial \sigma} = 1\), \(\frac{\partial \sigma^-}{\partial \sigma} = -1\)로부터 \(\partial_\sigma = \partial_+ - \partial_-\). 따라서 \(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2 = (\partial_+ + \partial_-)^2 - (\partial_+ - \partial_-)^2\)로 쓸 수 있어요. 전개하면 \((\partial_+ + \partial_-)^2 = \partial_+^2 + 2\partial_+\partial_- + \partial_-^2\), \((\partial_+ - \partial_-)^2 = \partial_+^2 - 2\partial_+\partial_- + \partial_-^2\)이니까, 차를 취하면 \(\partial_+^2\)와 \(\partial_-^2\)가 상쇄되고 \(4\partial_+\partial_-\)가 남아요. 파동방정식은 \(4\partial_+\partial_- X = 0\)이 되고, \(4 \neq 0\)으로 나눌 수 있으니까 \(\partial_+\partial_- X = 0\)이 얻어져요.
⚪ 메이: 2계 편미분방정식이 \(\partial_+\partial_- X = 0\)으로 인수분해되어, 해가 \(X = f(\sigma^+) + g(\sigma^-)\)라는 좌우 독립적인 파의 중첩이 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 이처럼 「파동방정식이 가장 간단한 형태로 인수분해되는 변수의 조합」을 특성좌표 (characteristic coordinates)라고 불러요（편미분방정식론의 용어로, 「특성」이란 파가 전파하는 특정 방향을 가리키는 거예요——파동방정식의 해가 \(\sigma^+\) 방향과 \(\sigma^-\) 방향으로 독립적으로 전파하는 것에 대응해요）. 끈이론에서는 이것에 세계면 광원뿔 좌표라는 이름을 붙여요（정리하면 \(\sigma^\pm = \tau \pm \sigma\)）. 제 5 장에서 도입한 시공간의 광원뿔 좌표 \(x^\pm = (t \pm x)/\sqrt{2}\)와 같은 발상을 세계면에 적용한 것이에요. 다만 주의할 점은, 시공간의 광원뿔 좌표는 \(D\)차원 시공간 안의 좌표로 첨자가 \(\mu\)로 돌고, 세계면 광원뿔 좌표는 2차원 세계면 안의 좌표로 첨자가 \(a\)로 도는 것——살고 있는 공간이 다른 거예요.
이 좌표로 쓰면, 공형 게이지의 선소는 \(ds^2 = -d\sigma^+ d\sigma^-\)라는 형태가 돼요. 확인해 봐요. 공형 게이지에서는 \(h_{ab} = \eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\)이니까, 선소는 \(ds^2 = h_{ab}\,d\sigma^a d\sigma^b = -d\tau^2 + d\sigma^2\). 한편, \(d\sigma^+ = d\tau + d\sigma\), \(d\sigma^- = d\tau - d\sigma\)이니까, \(d\sigma^+ d\sigma^- = (d\tau + d\sigma)(d\tau - d\sigma) = d\tau^2 - d\sigma^2\). 따라서 \(-d\sigma^+ d\sigma^- = -d\tau^2 + d\sigma^2 = ds^2\).（참고로, 계량 텐서의 성분으로는 \(h_{+-} = h_{-+} = -\frac{1}{2}\)가 돼요. 이것은 \(ds^2 = h_{ab}\,d\sigma^a d\sigma^b\)의 이중합에서 \(a, b\)가 각각 \(+, -\)의 값을 취하므로, \((a,b) = (+,-)\)인 항과 \((a,b) = (-,+)\)인 항 모두가 기여하기 때문이에요. 미소량의 곱은 순서에 의존하지 않아 \(d\sigma^+ d\sigma^- = d\sigma^- d\sigma^+\)이니까, 2개의 항을 합치면 \(ds^2 = (h_{+-} + h_{-+})\,d\sigma^+ d\sigma^- = 2h_{+-}\,d\sigma^+ d\sigma^-\)（마지막 등호에서 \(h_{+-} = h_{-+}\)（계량의 대칭성）을 사용했다）. \(ds^2 = -d\sigma^+ d\sigma^-\)와 일치하려면 \(2h_{+-} = -1\), 즉 \(h_{+-} = -\frac{1}{2}\)가 필요해요.）여기서 중요한 것은, \(\sigma^+ \to f(\sigma^+)\), \(\sigma^- \to g(\sigma^-)\)로 독립적으로 좌표를 바꿀 때, 새 좌표에서의 미소 변화는 \(d\tilde\sigma^+ = f'(\sigma^+)\,d\sigma^+\), \(d\tilde\sigma^- = g'(\sigma^-)\,d\sigma^-\)가 된다는 것이에요（합성함수의 미분）. 새 좌표 \(\tilde\sigma^\pm = (f(\sigma^+), g(\sigma^-))\)에서의 계량은 \(ds^2 = -d\tilde\sigma^+ d\tilde\sigma^-\)와 같은 형태를 유지해요——새 좌표에서 보면 아무것도 변하지 않았어요.
🔵 카이: 새 좌표에서 보면 같은 형태……그런데 구 좌표에서 보면 뭐가 일어나는 거예요?
🟡 리나: 이렇게 생각해 봐요. 먼저 중요한 구별을 확인할게요. 좌표변환은 같은 기하학적 대상을 다른 좌표로 다시 기술하는 것뿐이니까, 선소 \(ds^2\)의 값 자체는 변하지 않아요——성분의 수치는 바뀌지만, 물리적인 「거리」는 같아요. 한편 Weyl 변환은 계량 자체를 스케일링하는 조작으로, 선소의 값이 바뀌어요. 이 둘은 본래 별개의 것이에요.
🔵 카이: 좌표변환은 「지도 그리는 방식을 바꾸는 것」뿐이고 지형은 같고, Weyl 변환은 「지형 자체를 부풀리거나 줄이는 것」이라는 이미지인가요?
🟡 리나: 좋은 비유예요. 그 통리예요. 자, 여기서의 질문은 「공형 게이지의 형태 \(h_{ab} = \eta_{ab}\)를 보존하는 변환은 무엇인가?」라는 거예요. 원래 좌표 \(\sigma^\pm\)에서 계량 성분은 \(h_{+-} = -1/2\)이었어요. 새 좌표 \(\tilde\sigma^\pm\)로 이동하면, 새 좌표에서도 \(\tilde h_{+-} = -1/2\)가 돼요（새 좌표의 사람이 보면 공형 게이지 그대로）. 그러나 구 좌표 \(\sigma^\pm\)를 계속 사용하는 입장에서 새 좌표의 선소를 구 좌표의 미분으로 나타내면, \(d\tilde\sigma^+ = f'(\sigma^+)\,d\sigma^+\), \(d\tilde\sigma^- = g'(\sigma^-)\,d\sigma^-\)이니까, \(ds^2 = -d\tilde\sigma^+ d\tilde\sigma^- = -f'(\sigma^+)\,g'(\sigma^-)\,d\sigma^+ d\sigma^-\)로 쓸 수 있어요. 이것을 구 좌표 \(\sigma^\pm\)에서의 계량 성분으로 읽으면 \(h_{+-}^{\text{new}} = -f'g'/2\)가 되어, 원래의 \(h_{+-} = -1/2\)에서 어긋나요（여기서의 \(h_{+-}^{\text{new}}\)는 좌표변환으로 끌어온 계량의 성분）. 즉 구 좌표의 사람이 보면 「계량 성분이 변했다」고 보이는 거예요. 그러나 \(f'g'\) 배된 것을 원래대로 되돌리려면 \(1/(f'g')\) 배하면 되니까, Weyl 변환 \(h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}\)에서 \(e^{2\omega} = 1/(f'g')\)로 선택하면 \(h_{+-} \to e^{2\omega} \cdot (-f'g'/2) = (1/(f'g')) \cdot (-f'g'/2) = -1/2\)가 되어, 구 좌표의 성분 표시에서도 \(h_{+-} = -1/2\)로 되돌릴 수 있어요. 즉 「좌표변환＋적절한 Weyl 변환」의 조합이, 공형 게이지의 형태 \(ds^2 = -d\sigma^+ d\sigma^-\)를 구 좌표 그대로 보존하는 조작이 돼요——이것이 공형 게이지 고정 후에 남는 대칭성이에요.
⚪ 메이: 즉 새 좌표의 사람은 「공형 게이지 그대로」라고 생각하지만, 구 좌표의 사람이 보면 계량 성분이 \(f'g'\) 배되어 있다——여기서 Weyl 변환의 차례가 온다는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 좌표변환 부분만 쓰면:
\(f, g\)는 임의의 함수로, 각각에 대해 \(e^{2\omega} = 1/(f'g')\)가 되는 Weyl 변환이 자동으로 수반돼요. 이 「좌표변환＋Weyl 변환」의 쌍이 2차원에서는 무한개의 매개변수를 가진 대칭성이 돼요. 즉, \(f\)와 \(g\)라는 2개의 임의함수가 매개변수의 역할을 하고 있고, 함수 하나 안에 무한개의 자유도（각 점에서의 값）가 담겨 있으니까, 대칭성의 매개변수가 무한개라는 거예요. 비교를 위해 말하자면, 4차원 시공간에서 「각도를 보존하는 변환」（공형변환）을 전부 모아도, 매개변수는 합계 15개밖에 없는 유한차원의 군이 돼요（평행이동 4개＋Lorentz 변환 6개＋스케일링 1개＋특수공형변환 4개——내역은 지금 신경 쓰지 않아도 돼요）. 포인트는 「유한개」라는 것이에요. 2차원에서는 그것이 무한차원으로 확대돼요——이것이 공형장론의 강력함의 원천이에요.
⚪ 메이: 무한개의 매개변수를 가진 대칭성……4차원의 15차원과 비교하면 차원이 다르네요. 그만큼 강한 제약이 이론에 걸린다는 것?
🟡 리나: 맞아요. 실제로, 무한차원의 대칭성이 있으면 양자장론이 완전히 풀리는 경우가 있어요. 이것이 끈이론의 양자화를 가능하게 하는 열쇠 중 하나예요. 제14장~제 15 장에서 공형장론과 Virasoro 대수를 다룰 때, 이 무한차원 대칭성이 결정적인 역할을 할 거예요.
✅ 이해도 체크: 2차원의 공형 대칭성이 4차원의 공형 대칭성과 결정적으로 다른 점은 무엇일까요? 또한, 그것이 끈이론에 왜 중요할까요?
답
4차원의 공형군은 15차원（유한차원）이지만, 2차원에서는 광원뿔 좌표 \(\sigma^+, \sigma^-\)를 각각 임의함수 \(f(\sigma^+), g(\sigma^-)\)로 재매개변수화할 수 있으므로, 대칭성이 무한차원으로 확대된다. 이 무한차원 대칭성에 의해 이론에 매우 강한 제약이 걸리며, 양자장론이 완전히 풀리는 경우가 있다. 이것이 끈이론의 양자화를 가능하게 하는 열쇠 중 하나이다.
정리: 끈이론에서의 도구 사용법¶
🟡 리나: 이 부록에서 짚어둘 포인트를 정리할게요.
표 C.2: 일반상대론의 도구와 끈이론에서의 역할
| 토픽 | 참조처 | 끈이론에서의 역할 |
|---|---|---|
| 텐서의 기초 | 「일반상대론」편 ch04, 부록 B | 시공간 벡터 \(X^\mu\), 세계면 텐서 \(h_{ab}\)의 취급 |
| 계량 텐서 | 「일반상대론」편 ch06, ch07 | 세계면 계량 \(h_{ab}\), 배경 시공간 계량 \(g_{\mu\nu}\)의 2층 구조 |
| 공변미분·Christoffel | 「일반상대론」편 ch08, ch12 | 휘어진 배경 시공간을 끈이 전파하는 경우에 필요 |
| Riemann·Ricci·Einstein | 「일반상대론」편 ch13, ch14 | 2차원에서는 Einstein 텐서가 항등적으로 영 |
| 2차원의 특수성 | 본 부록 C.3, C.4 | Weyl 대칭성, 공형 게이지, 무한차원 공형 대칭성 |
⚪ 메이: 정리하면, 일반상대론의 도구를 「끈의 세계면」에 응용하는 것이 본질이고, 다만 2차원은 특수——Weyl 변환이라는 추가적인 대칭성이 있고, Einstein 텐서가 항등적으로 영. 이 2가지가 효과를 발휘하고 있는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 이 2가지가 끈이론의 세계면 취급을 크게 간단하게 만들어 주고 있어요.
🔵 카이: 2차원이니까 계량을 완전히 없앨 수 있고, 끈의 위치 \(X^\mu\)만이 물리가 된다——「차원이 낮은 것」이 오히려 강점이 되고 있네요. 그런데 반대로, 만약 1차원 끈이 아니라 2차원으로 펼쳐진 시트 같은 물체라면? 그 궤적은 더 높은 차원이 되겠죠? 그러면 이 특수성을 사용할 수 없게 되나요?
🟡 리나: 그 통리예요. 그런 2차원적으로 퍼진 물체를 막 (membrane)이라고 불러요. 막의 궤적——세계체적 (worldvolume)이라 불러요——은 3차원 이상이 돼요. 거기서는 Weyl 변환으로 계량을 완전히 제거할 수 없게 되니까, 끈 때처럼 간단하게 만들 수 없어요. 막 이론이 끈이론만큼 다루기 쉽지 않은 이유 중 하나가 바로 그거예요.
다음 장 예고¶
부록 D에서는, 물리법칙의 배후에 숨어 있는 대칭성을 체계적으로 다루는 「군론」의 기초를 소개한다. 회전군이나 Lorentz 군 같은 연속군에서, 끈이론에서 중심적 역할을 하는 게이지 군까지——대칭성이 왜 보존법칙과 입자의 분류를 지배하는지, 그 수학적 골격을 조립하자.
참고문헌¶
- 「일반상대론」편 제4장·제6–8장·제12–14장·Appendix B — 텐서, 계량, 공변미분, 곡률 텐서, Einstein 방정식의 자기완결적 해설（전4편 공통 허브）
- David Tong, Lectures on String Theory, Ch.2 — Polyakov 작용, 세계면 계량, 공형 게이지
- Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.6–13 — 상대론적 끈, Nambu-Goto 작용, Polyakov 작용, 공형 불변성
- Joseph Polchinski, String Theory Vol. 1, Ch.1–2 — 고전 끈이론, 세계면의 기하학（발전적）
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