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프롤로그 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 광자의 에너지 계산

Einstein의 광양자 가설에 따르면, 진동수 \(\nu\)인 광자의 에너지는 \(E = h\nu\)로 주어져요. Planck(플랑크) 상수를 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}\)로 하여, 다음 각 빛의 광자 1개의 에너지를 구하세요.

(a) 나트륨의 노란 빛(진동수 \(\nu = 5.09 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\))

(b) 적색 레이저(파장 \(\lambda = 633\ \mathrm{nm}\), 광속 \(c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}\)를 사용할 것)

(c) 휴대전화의 전파(진동수 \(\nu = 2.0 \times 10^{9}\ \mathrm{Hz}\))

힌트

\(E = h\nu\)를 직접 대입해요. (b)에서는 \(\nu = c/\lambda\)의 관계를 사용하여 진동수로 변환한 후 계산해요.

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B-2. 확률진폭과 확률의 관계

복소수의 확률진폭 \(\phi = 3 + 4i\) 가 주어져 있을 때, 다음을 계산하세요.

(a) \(\phi\) 의 켤레복소수 \(\phi^*\)

(b) \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\)

(c) 확률진폭이 \(\phi = A e^{i\theta}\)（\(A > 0\), \(\theta\) 는 실수）로 쓰여 있을 때, \(|\phi|^2\) 를 \(A\) 와 \(\theta\) 로 나타내세요.

힌트

(a) \(i\) 를 \(-i\) 로 치환해요. (b) \((3-4i)(3+4i)\) 를 전개해요. (c) \(e^{i\theta}\) 의 켤레복소수는 \(e^{-i\theta}\) 임을 이용해요.

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B-3. 간섭항의 계산

두 확률진폭이 \(\phi_1 = e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = e^{i\beta}\) 로 주어져 있어요 (\(\alpha, \beta\) 는 실수).

(a) \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) 을 전개하여 \(\alpha\) 와 \(\beta\) 로 나타내세요.

(b) \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\) 을 계산하세요.

(c) 간섭항 \(|\phi_1 + \phi_2|^2 - (|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2)\) 을 위상차 \(\delta = \alpha - \beta\) 를 사용하여 나타내세요.

(d) \(\delta = 0\) (동위상)일 때와 \(\delta = \pi\) (역위상)일 때의 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) 을 각각 구하세요.

힌트

\(|\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1^* + \phi_2^*)(\phi_1 + \phi_2)\) 를 전개하여 \(\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\cos(\alpha - \beta)\) 임을 보이세요.

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B-4. 탄환과 전자의 확률 분포

이중 슬릿 실험에서, 구멍 1만 열었을 때의 확률(탄환의 경우) 또는 확률진폭의 절댓값의 제곱(전자의 경우)이 스크린 위의 위치 \(x\)에서 다음과 같이 주어진다고 하자.

\[ P_1(x) = |\phi_1(x)|^2 = e^{-(x-a)^2}, \quad P_2(x) = |\phi_2(x)|^2 = e^{-(x+a)^2} \]

단, \(a > 0\)으로 한다.

(a) 탄환의 경우 합성 확률 \(P_{12}^{\text{탄환}}(x) = P_1(x) + P_2(x)\)를 \(x = 0\)에서 구하세요.

(b) 전자의 경우, 확률진폭이 \(\phi_1(x) = e^{-(x-a)^2/2}\), \(\phi_2(x) = e^{-(x+a)^2/2}\)로 주어질 때(여기서는 실수인 경우를 고려한다), \(P_{12}^{\text{전자}}(x) = |\phi_1(x) + \phi_2(x)|^2\)를 \(x = 0\)에서 구하세요.

(c) (a)와 (b)의 결과를 비교하여, \(P_{12}^{\text{전자}}(0)\)와 \(P_{12}^{\text{탄환}}(0)\) 중 어느 쪽이 더 큰지 답하세요.

힌트

\(x = 0\)을 대입하면 \(P_1(0) = P_2(0) = e^{-a^2}\)가 된다. (b)에서는 \((\phi_1(0) + \phi_2(0))^2\)를 계산하고, (a)의 \(P_1(0) + P_2(0)\)와 비교한다.

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B-5. 복소수의 극형식과 Euler(오일러)의 공식

Euler의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 를 이용하여 다음을 계산하세요.

(a) \(e^{i\pi}\)

(b) \(e^{i\pi/2}\)

(c) \(e^{i\pi/4}\) 의 실수부와 허수부

(d) \(|e^{i\theta}|^2\) 를 \(\theta\) 에 무관하게 구하세요.

힌트

Euler의 공식에 \(\theta\) 의 값을 대입해요. (d)에서는 \(|e^{i\theta}|^2 = e^{-i\theta} \cdot e^{i\theta}\) 를 계산해요.

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B-6. 파동의 세기와 간섭

본문의 표기법에 따라, 두 파동의 높이가

\[ h_1 = A\cos(\omega t), \quad h_2 = A\cos(\omega t + \delta) \]

로 주어진다고 하자 (\(A > 0\), \(\delta\)는 위상차).

(a) 합을 곱으로 변환하는 공식을 이용하여 \(h_1 + h_2\)를 곱의 형태로 다시 쓰세요.

(b) \(\delta = 0\)일 때 \(h_1 + h_2\)의 진폭을 구하세요.

(c) \(\delta = \pi\)일 때 \(h_1 + h_2\)를 구하세요.

힌트

\(\cos P + \cos Q = 2\cos\!\left(\frac{P+Q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{P-Q}{2}\right)\)를 사용하세요.

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B-7. 에너지의 불연속성 — 계단 비유를 수치로

본문에서 "원자의 에너지는 계단처럼 띄엄띄엄"이라고 서술되어 있어요. 수소 원자의 에너지 준위는

\[ E_n = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \]

로 주어져요 (이것은 제 16 장에서 유도해요). 다음을 계산하세요.

(a) 바닥상태 (\(n = 1\))와 제1 들뜬상태 (\(n = 2\))의 에너지를 각각 구하세요.

(b) \(n = 2\)에서 \(n = 1\)로 전이할 때 방출되는 광자의 에너지 \(\Delta E = E_2 - E_1\)를 구하세요.

(c) \(E = h\nu\)를 이용하여 이 광자의 진동수 \(\nu\)를 구하세요 (\(1\ \mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\)를 사용할 것).

(d) 이 빛은 가시광선(진동수 \(4.3 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) ~ \(7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\)) 범위에 들어가나요?

힌트

(b) \(\Delta E = E_2 - E_1\)를 계산하면 양의 값이 돼요 (방출되는 광자의 에너지). (c) \(\nu = \Delta E / h\)에서 \(\Delta E\)를 J (줄) 단위로 변환한 후 계산하세요.

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B-8. 확률진폭의 중첩 — 수치 예제

어떤 2상태계에서, 상태 \(|1\rangle\)에 있을 확률진폭이 \(\phi_1 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), 상태 \(|2\rangle\)에 있을 확률진폭이 \(\phi_2 = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\, e^{i\pi/3}\)라고 해요.

(a) 상태 \(|1\rangle\)이 관측될 확률 \(P_1 = |\phi_1|^2\)을 구하세요.

(b) 상태 \(|2\rangle\)이 관측될 확률 \(P_2 = |\phi_2|^2\)을 구하세요.

(c) \(P_1 + P_2 = 1\) (규격화 조건)이 성립함을 확인하세요.

(d) \(\phi_2\)의 실수부와 허수부를 구하세요.

힌트

\(|c\, e^{i\theta}|^2 = |c|^2\)임을 이용해요. (d)에서는 \(e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)\)을 대입하세요.

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Medium（표준）

M-1. 고전 확률과 양자 확률의 비교

본문에서 서술한 Feynman(파인만) 방식의 총알·파동·전자 비교에 기초하여, 아래에 답하세요.

(a) 총알의 이중 슬릿 실험에서 \(P_{12} = P_1 + P_2\)가 성립하는 물리적 이유를, "총알은 둘 중 하나의 구멍을 통과한다"는 사실에 기초하여 설명하세요.

(b) 전자의 이중 슬릿 실험에서는, 전자가 하나씩 입자로 검출됨에도 불구하고, 다수의 전자를 축적하면 간섭 패턴이 나타나요. 이 사실을 확률진폭의 수학적 구조

\[ P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2 \]

를 이용하여 설명하세요. 특히, \(P_{12} \neq P_1 + P_2\)가 되는 원인을 명시하세요.

(c) 만약 확률진폭이 복소수가 아니라 실수로 한정된다고 가정해요. 그 경우에도 간섭항은 나타날까요? 간섭항의 부호에 관하여, 복소수의 경우와 비교했을 때 어떤 제한이 생기는지 논하세요.

힌트

(b) \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1\)을 전개하고, 마지막 2개의 항이 간섭항임을 보인다. (c) 실수의 경우 \(\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\phi_1\phi_2\)가 되며, 위상차 \(\delta\)가 \(0\) 또는 \(\pi\)만 취할 수 있다는 것을 생각한다.

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M-2. 광량자 가설과 광전효과

Einstein의 광량자 가설 \(E = h\nu\)에 기초하여, 다음 물음에 답하세요.

(a) 금속의 일함수(work function)를 \(W\)라 해요. 진동수 \(\nu\)의 빛을 조사했을 때, 튀어나오는 전자의 최대 운동에너지 \(K_{\max}\)를 \(h\), \(\nu\), \(W\)를 사용하여 나타내세요.

(b) 광전효과에서, 빛의 진동수가 어떤 값 \(\nu_0\) 이하이면 빛의 세기를 아무리 높여도 전자가 튀어나오지 않아요. 이 문턱 진동수 \(\nu_0\)를 \(W\)와 \(h\)로 나타내세요.

(c) 고전적인 파동론(Maxwell의 전자기학)에서는, 빛의 세기를 높이면 전자에 충분한 에너지를 줄 수 있어야 해요. 그럼에도 불구하고, 문턱 진동수 이하에서는 전자가 튀어나오지 않는다는 실험 사실이 고전론의 어떤 전제와 모순되는지 설명하세요.

(d) 일함수 \(W = 2.3\ \mathrm{eV}\)인 금속에 파장 \(\lambda = 400\ \mathrm{nm}\)의 빛을 조사했어요. 튀어나오는 전자의 최대 운동에너지 \(K_{\max}\)를 eV 단위로 구하세요.

힌트

(a) 에너지 보존으로부터 \(h\nu = W + K_{\max}\)를 유도해요. (b) \(K_{\max} = 0\)인 조건을 생각해요. (d) 먼저 \(E = hc/\lambda\)로 광자의 에너지를 구해요.

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M-3. 물리학의 모델과 반증 가능성

사이트 서두의 시작하며 — 4개의 여행을 떠나기 전에에서 서술된 과학철학적 입장(모델은 가설·수식은 반증 가능성을 위한 도구)에 기초하여, 아래 물음에 답하세요.

(a) Newton 역학이 "가설"이라는 것은 무슨 의미인가요? Newton 역학이 성공한 영역과 실패한 영역을 각각 1개씩 들어 설명하세요.

(b) 양자역학은 "100년 이상에 걸쳐 예측이 틀린 사례가 단 하나도 없다"고 본문에서 서술되어 있어요. 그럼에도 불구하고 양자역학을 "가설"이라고 부르는 이유를, 일반상대론과의 관계에 언급하면서 설명하세요.

(c) "반증 가능성(falsifiability)"이란 무엇인가요? "내일 날씨는 맑거나 비가 오거나 흐리다"라는 주장이 반증 가능하지 않은 이유를 서술하세요.

힌트

(a) 천체의 운동(성공)과 원자 스케일(실패)을 대비시키세요. (b) 양자중력 문제에 언급하세요. (c) 어떠한 관측 결과를 얻더라도 모순되지 않는 주장은 반증 불가능해요.

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M-4. Einstein의 이중성 — 창시자와 비판자

본문의 「Einstein과 양자역학」 절에 기초하여 아래 물음에 답하세요.

(a) Einstein이 양자론의 「창시자 중 한 명」이라고 할 수 있는 근거를, 1905년의 광양자 가설과 1917년의 유도 방출 예언의 2가지로 나누어 각각의 물리적 내용을 설명하세요.

(b) Einstein이 양자역학의 「비판자」가 된 이유를, 「신은 주사위를 던지지 않는다」라는 말의 의미를 바탕으로 설명하세요.

(c) EPR 역설(1935)과 Bell(벨)의 정리(1964)의 관계를, 아래의 키워드를 모두 사용하여 200자 정도로 설명하세요: 불완전성, 숨은 변수, 부등식, 실험.

힌트

(c) Einstein은 양자역학의 「불완전성」을 주장하며, 측정 전부터 값이 정해져 있는 「숨은 변수」의 존재를 상정했어요. Bell은 그 가정으로부터 도출되는 「부등식」을 제시했고, 「실험」이 이를 위반함으로써 Einstein의 입장이 부정되었다는 흐름을 정리하면 돼요.

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M-5. 확률진폭의 간섭 — 정량적 분석

이중 슬릿 실험에서, 스크린 위의 위치 \(x\)에서 두 구멍으로부터의 확률진폭이

\[ \phi_1(x) = A\, e^{i k r_1(x)}, \quad \phi_2(x) = A\, e^{i k r_2(x)} \]

로 주어진다고 해요. 여기서 \(A > 0\)은 실수 상수, \(k\)는 파수, \(r_1(x)\)와 \(r_2(x)\)는 각각 구멍 1과 구멍 2에서 스크린 위의 위치 \(x\)까지의 거리예요.

(a) 합성 확률 \(P_{12}(x) = |\phi_1(x) + \phi_2(x)|^2\)를 계산하고, \(\Delta r(x) = r_1(x) - r_2(x)\) (경로차)를 이용하여 나타내세요.

(b) \(P_{12}(x)\)가 최댓값을 갖는 조건을 \(\Delta r\), \(k\)를 이용하여 나타내세요. 또한, 그때의 \(P_{12}\)의 값을 구하세요.

(c) \(P_{12}(x)\)가 최솟값 \(0\)을 갖는 조건을 구하세요.

(d) 파장 \(\lambda = 2\pi/k\)를 이용하여, (b)와 (c)의 조건을 \(\Delta r\)와 \(\lambda\)로 다시 쓰세요.

힌트

(a) \(\phi_1 + \phi_2 = A e^{ikr_1}(1 + e^{ik(r_2 - r_1)})\)로 인수분해하고, \(|\cdot|^2\)를 계산해요. \(\cos\)를 포함하는 형태로 정리하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 복소 확률진폭의 불가결성

본문에서 "확률진폭은 복소수여야 한다. 실수만으로는 양자역학의 예측을 재현할 수 없다"고 서술되어 있어요. 이 주장을 아래의 절차에 따라 고찰하세요.

(a) 2상태계를 생각해요. 상태 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\)에 대한 확률진폭을 \(\phi_1\), \(\phi_2\)로 하고, 규격화 조건 \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\)을 만족한다고 해요. \(\phi_1\), \(\phi_2\)가 모두 실수인 경우, \((|\phi_1|, |\phi_2|)\)가 만족하는 기하학적 조건을 서술하세요.

(b) \(\phi_1\), \(\phi_2\)가 복소수인 경우, \(\phi_1 = |\phi_1| e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = |\phi_2| e^{i\beta}\)로 쓸 수 있어요. 실수인 경우와 비교하여, 자유도(독립적인 실수 매개변수의 수)가 몇 개 증가하는지 답하세요. 단, 전체 위상(\(\phi_1\)과 \(\phi_2\)에 공통인 위상인자 \(e^{i\gamma}\))은 물리적으로 관측 불가능하다는 점을 고려하세요.

(c) 이중 슬릿 실험의 간섭 패턴에서는, 스크린 위의 위치 \(x\)에 따라 위상차 \(\delta(x)\)가 연속적으로 변화하고, \(P_{12}(x)\)는 \(\cos\delta(x)\)를 포함하는 매끄러운 함수가 돼요. 만약 확률진폭이 실수로 제한되어 있었다면, 위상차는 \(0\) 또는 \(\pi\)의 2가지 값만 취할 수 있어요. 이때 간섭 패턴에 어떤 제한이 생기는지, 실험에서 관측되는 매끄러운 간섭무늬와 대비하여 논하세요.

(d) 이상의 고찰을 바탕으로, "양자역학에서 확률진폭이 복소수인 것의 물리적 의의"를 200자 정도로 서술하세요.

힌트

(a) \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\)은 단위원 위의 점이에요. 실수인 경우는 \(\phi\) 자체의 부호만이 자유도예요. (b) 전체 위상을 제외한 상대 위상 \(\alpha - \beta\)가 새로운 자유도예요. (c) 실수의 간섭항은 \(\pm 2|\phi_1||\phi_2|\)의 2가지 값만 취할 수 있어서, 매끄러운 줄무늬를 만들 수 없어요.

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A-2. 광양자 가설에서 유도 방출로 — Einstein 논리의 연쇄

Einstein은 1905년에 광양자 가설 \(E = h\nu\)를 제창하고, 1917년에 유도 방출을 예언했어요. 이 두 가지 업적은 독립적인 것이 아니라 논리적으로 연결되어 있어요. 아래의 물음을 따라 그 연쇄를 추적해 보세요.

(a) 온도 \(T\)의 열평형 상태에 있는 이준위 원자계를 생각해요. 에너지 준위 \(E_1\)(기저 상태)과 \(E_2\)(들뜬 상태, \(E_2 > E_1\))의 점유수 비는 Boltzmann(볼츠만) 분포를 따르며,

\[ \frac{N_2}{N_1} = \exp\!\left(-\frac{E_2 - E_1}{k_B T}\right) \]

로 주어져요(\(k_B\)는 Boltzmann 상수). \(T \to \infty\)일 때 \(N_2/N_1\)은 얼마에 가까워지나요? 또한, \(T \to 0\)일 때는 어떻게 되나요? 물리적 의미를 서술하세요.

(b) 열평형에서 원자와 빛(진동수 \(\nu = (E_2 - E_1)/h\))이 공존하고 있을 때, 원자는 빛을 흡수하여 \(E_1 \to E_2\)로 전이하는 과정과, 빛을 방출하여 \(E_2 \to E_1\)로 전이하는 과정을 반복해요. 방출에는 2종류가 있어요:

  • 자발 방출 (spontaneous emission): 들뜬 상태의 원자가 자발적으로 광자를 방출해요. 단위 시간당 전이율은 \(A \cdot N_2\)(\(A\)는 상수).
  • 유도 방출 (stimulated emission): 외부의 광자에 의해 유발되어 광자를 방출해요. 단위 시간당 전이율은 \(B \cdot \rho(\nu) \cdot N_2\)(\(B\)는 상수, \(\rho(\nu)\)는 빛의 에너지 밀도).

흡수의 전이율은 \(B' \cdot \rho(\nu) \cdot N_1\)로 해요. 열평형에서 흡수율과 방출율이 같다는 조건

\[ B'\, \rho(\nu)\, N_1 = A\, N_2 + B\, \rho(\nu)\, N_2 \]

으로부터, \(\rho(\nu)\)를 \(A\), \(B\), \(B'\), \(E_2 - E_1\), \(k_B T\)로 나타내세요.

(c) Planck의 흑체 복사 공식(제 1 장에서 자세히 배워요)은

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

로 주어져요. (b)의 결과와 이 식을 비교하여, \(B' = B\)임을 보이고, \(A/B\)의 값을 \(h\), \(\nu\), \(c\)로 나타내세요.

(d) 만약 유도 방출이 존재하지 않는다면(\(B = 0\)), (b)의 평형 조건으로부터 \(\rho(\nu)\)는 어떤 형태가 되나요? 그것이 Planck의 공식과 모순됨을 보이고, "유도 방출은 열평형의 요청으로부터 논리적으로 필연이다"라는 것을 설명하세요.

힌트

(b) 평형 조건의 식을 \(\rho(\nu)\)에 대해 풀어요. (a)의 Boltzmann 분포를 \(N_2/N_1\)에 대입해요. (c) \(T \to \infty\)의 극한에서 (b)의 결과와 Planck의 공식을 비교하면 \(B' = B\)를 얻을 수 있어요. 그 후, 유한 온도에서 비교하여 \(A/B\)를 구해요. (d) \(B = 0\)으로 놓으면 \(\rho(\nu) \propto e^{-h\nu/(k_BT)}\)가 되어, \(\nu^3\)의 인자가 빠지게 돼요.

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