제5장　광속이 일정한 이유는? — 특수상대성이론¶

← 제4장 왜 모델이 파탄나는가?제6장 중력의 본질은 무엇인가? →

지금까지의 줄거리: 제 4 장에서 고전물리의 3가지 위기를 살펴봤어요. 흑체복사, 광전효과, 수성의 근일점 이동. 특히 Maxwell 방정식이 예언하는 광속 $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$에는 "누구의 관점에서"라는 정보가 없어서, 광속이 관측자에 의존하지 않고 일정하다는 수수께끼가 남아 있었어요.

이 장의 목표

「일반상대론」편에서 이미 정비한 특수상대론의 결과를 짧게 복습하고, 「양자중력 문제에의 도전」편 고유의 도구인 광원뿔좌표 $x^\pm$를 도입한다
광원뿔좌표는 제 14 장의 광원뿔 양자화의 핵심에 해당한다
수식의 유도 자체는 「일반상대론」편 제 3 장〜「일반상대론」편 제 4 장에서 한 번 자세히 다루었으므로, 이 장에서는 요점 확인에 그치고, 끈이론에서 사용하는 도구에 초점을 맞춘다

이 장의 읽는 법

「일반상대론」편 제 3 장〜「일반상대론」편 제 4 장를 읽은 것을 전제로 하므로, 5.1〜5.3은 기존 내용의 정리예요. 페이지 수는 짧지만, 첨자 표기법이나 4원운동량의 정의는 뒤 장에서도 자주 사용하니까, 자신 없는 항목이 있으면 각 절 끝의 참조처로 돌아가 보세요. 광원뿔좌표(5.4)가 이 장의 주인공이에요.

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flowchart TD
    A["「일반상대론」편 제3〜4장<br>에서 정비 완료"] --> B["특수상대론의 요점"]
    B --> C["Lorentz 변환 γ"]
    B --> D["Minkowski 계량 η_μν"]
    B --> E["4원운동량 pᵘ<br>E² = |p|² + m²"]
    B --> F["광원뿔 구조<br>시간적·공간적·빛과 같은"]
    F --> G["<b>광원뿔좌표 x±</b><br>(이 장의 새로운 내용)"]
    G --> H["끈이론의 광원뿔 양자화<br>(제14장)"]
    D --> I["등가원리 → 일반상대론<br>(제6장)"]

그림 5.1: 제 5 장의 위치와 광원뿔좌표로의 경로

5.1　동기의 재확인 — 16세의 Einstein과 광속의 수수께끼¶

🟡 리나: 제 2 장에서 Maxwell 방정식으로부터 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$가 유도됐어요. 그리고 제 4 장에서, 이 $c$에 "누구의 관점에서 측정한 속도인지"라는 정보가 없다는 것이 수수께끼로 남았죠.

🔵 카이: Einstein이 16세 때 "빛과 같은 속도로 달리면 빛이 멈춰 보일까?"라고 고민했던 거죠.

🟡 리나: 맞아요. Maxwell 방정식에는 "정지한 전자기파"의 해가 존재하지 않으니까, 빛과 나란히 달리는 것 자체가 불가능하다고 Einstein은 결론지었어요. 1887년의 Michelson-Morley 실험부터 현대의 레이저 공진기 실험($10^{-18}$의 등방성)까지, 광속은 관측자에 의존하지 않고 일정하다는 사실은 극도로 견고해요.

⚪ 메이: 「일반상대론」편 제 3 장에서 배웠지만, Einstein은 "왜 일정한지"를 설명한 게 아니라, "일정하다"는 것을 출발점으로 받아들인 거였죠.

🟡 리나: 그래요. 공리로 설정하고, 거기서 무엇이 논리적으로 도출되는지를 추구한 것——그게 특수상대성이론이에요. 이 뒤로는 「일반상대론」편 제 3 장에서 자세히 다뤘으니까, 여기서는 결과만 확인할게요.

✅ 이해도 체크: Einstein은 광속이 일정한 것을 "설명"했을까요, 아니면 다른 접근법을 취했을까요?

답

Einstein은 광속이 일정한 이유를 설명한 것이 아니라, "광속은 관측자에 의존하지 않고 일정하다"는 것을 공리(출발점)로 받아들였어요. 거기서 무엇이 논리적으로 도출되는지를 추구한 것이 특수상대성이론이에요.

📖 「일반상대론」편과의 접속: 광속불변의 실험적 기반, Einstein의 착상, Michelson-Morley 실험의 상세는 「일반상대론」편 제 3 장에서 다뤘어요. 광속불변이 "$ds^2$의 형태를 결정하는" 논리는 「일반상대론」편 제 3 장을 참조하세요.

5.2　특수상대론의 요점 요약¶

🟡 리나: 「일반상대론」편 제 3 장에서 유도한 결과를, 끈이론에서 사용하는 도구로서 손에 펼쳐놓을게요. 유도 과정은 참조처에 맡기고, 여기서는 "무엇을 사용할 수 있는가"의 재고조사예요.

두 가지 공리(「일반상대론」편 제 3 장)¶

상대성 원리: 물리법칙은 모든 관성계에서 같은 형태를 취한다
광속불변의 원리: 진공 중의 광속 $c$는 광원이나 관측자의 운동에 의존하지 않고 일정하다

Lorentz 변환(「일반상대론」편 제 3 장)¶

관성계 $S$와, $S$에 대해 $x$ 방향으로 속도 $v$로 움직이는 $S'$ 사이의 좌표변환:

\[ \boxed{t' = \gamma(t - vx/c^2), \qquad x' = \gamma(x - vt), \qquad y' = y, \qquad z' = z} \]

여기서 Lorentz 인자는

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

그림 5.2: Lorentz 변환의 시공간도. 관성계 $S$의 좌표축(검정)과 속도 $v$로 움직이는 $S'$의 좌표축(파랑). $S'$의 시간축과 공간축이 대칭적으로 기울어지고, 빛의 세계선 $x = ct$는 어느 계에서든 45°를 유지한다.

$v \ll c$이면 $\gamma \approx 1$로 Galilei 변환으로 돌아가요. $v \to c$이면 $\gamma$가 발산해요——그림 5.3「로렌츠 인자 γ의 속도 의존성」를 보면, 일상적인 속도에서는 거의 1이지만 광속에 가까워지면 급격히 치솟는 게 보여요. 기하학적으로는 쌍곡각도(rapidity) $\varphi$($\tanh\varphi = v/c$)를 사용하여 $t$-$x$ 평면의 쌍곡선 회전으로 쓸 수 있어요(자세한 내용은 「일반상대론」편 제 3 장 참조).

그림 5.3: 로렌츠 인자 γ의 속도 의존성. $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$는 $v \to c$에서 발산한다. 일상적인 속도에서는 $\gamma \approx 1$.

물리적 귀결(「일반상대론」편 제 3 장)¶

표 5.1: Lorentz 변환의 주요 물리적 귀결

현상	식	의미
동시성의 상대성	$\Delta t' = -\gamma(v/c^2)\Delta x$ ($\Delta t = 0$일 때)	$S$에서 동시·떨어진 2 사건은 $S'$에서는 동시가 아니다
시간 지연	$\Delta t = \gamma\,\Delta t'$	움직이는 시계는 느리게 간다
길이 수축	$L = L_0/\gamma$	움직이는 막대는 운동 방향으로 줄어들어 보인다

그림 5.4: 시간 지연. 움직이는 계 $S'$의 시계가 새기는 고유시간 $\Delta t'$는 정지계 $S$에서 관측하면 $\Delta t = \gamma\,\Delta t' > \Delta t'$로 늘어난다. 속도가 광속에 가까워질수록 지연이 현저해진다.

그림 5.5: 길이 수축. 정지계에서 길이 $L_0$인 막대가 속도 $v$로 운동할 때 $L = L_0/\gamma < L_0$로 줄어들어 관측된다. 수축은 운동 방향으로만 발생한다.

🔵 카이: "$S$에서 봤을 때 $S'$의 시계가 느려진다면, $S'$에서 봐도 $S$의 시계가 느려지는 거 아닌가요?"——쌍둥이 역설이죠. 서로 "상대방이 느리다"고 말한다면, 결국 누가 젊은 건가요?

🟡 리나: 로켓을 탄 쪽이 젊어요, 그걸로 결론이 나요. 가속을 경험하는 쪽이 관성계를 바꾸기 때문에, 두 사람의 대칭성이 깨지는 거예요. 자세한 내용은 「일반상대론」편 제 3 장의 Dive Deep 참조. 뮤온의 수명, GPS의 시각 보정도 거기서 다뤘어요.

🔵 카이: 가속한 순간에 대칭성이 깨진다……. 그러면 "가속의 크기"나 "가속하고 있는 시간"에 따라 나이 차이가 달라지나요?

🟡 리나: 맞아요. 고유시간의 차이는 경로 전체의 적분으로 결정돼요. 같은 출발점과 도착점이라도, 도중에 격렬하게 가속한 경로와 완만한 경로에서 나이 차이가 달라져요. 정량적인 계산은 「일반상대론」편 제 3 장의 Dive Deep에서 다루고 있으니, 궁금하면 봐 보세요.

🔵 카이: "경로 전체의 적분"이란, 요컨대 가속하는 방식을 전부 합산해서 비교한다는 건가요.

⚪ 메이: 즉 "둘 다 대등하다"고 보이는 건, 양쪽 모두 관성계에 있는 동안뿐이에요. 한쪽이 가속한 시점에서 상황이 비대칭이 되는 거죠.

✅ 이해도 체크: 쌍둥이 역설에서 "로켓을 탄 쪽이 젊다"고 결론이 나는 이유는 무엇일까요?

답

로켓을 탄 쪽은 가속(감속·방향 전환)을 경험하고, 관성계를 바꿔요. 이로 인해 두 사람의 상황의 대칭성이 깨지기 때문에, 가속을 경험한 쪽의 경과 시간이 짧아져서 젊은 채로 남게 돼요.

5.3　Minkowski 시공간의 도구(끈이론에서 사용하는 것)¶

🟡 리나: 끈이론에서는 4차원에 한정되지 않고, 더 많은 차원을 가진 시공간을 다루게 돼요(왜 차원이 늘어나는지는 제 14 장 이후에서 밝혀져요). 우선 가장 단순한 경우로서, 끈이 움직이는 배경 시공간을 $D$차원의 평탄한 Minkowski 시공간으로 잡아요. 굽은 시공간에서도 각 점의 근방은 Minkowski 시공간으로 근사할 수 있으니까(국소 평탄성 정리, 「일반상대론」편 제 7 장 참조), 여기서 정비하는 도구는 끝까지 사용해요. 이 절에서는 구체적인 식을 4차원($D = 4$)으로 쓰지만, $D$차원으로의 일반화는 간단해요——좌표가 $x^0, x^1, \ldots, x^{D-1}$로 늘어날 뿐이고, 광원뿔좌표에서는 횡방향 성분이 $x^2, x^3, \ldots, x^{D-1}$의 $D - 2$개가 돼요. 요점을 나열할게요.

단위계와 부호 규약

여기서부터 이 절 이후는 $c = 1$의 자연단위계를 기본으로 해요(「일반상대론」편 제 4 장 참조). 시간과 공간을 같은 단위로 측정하고, 식 안에 $c$를 명시적으로 쓰지 않아요. 끈이론에서는 추가로 $\hbar = \alpha' = 1$도 취하는 경우가 많지만, 그건 필요할 때 도입할게요. SI 단위의 수치가 필요할 때는 차원분석으로 $c$를 복원해요.

부호 규약은 「일반상대론」편과 같은 $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)$(mostly plus)를 채택해요. 「장의 양자론」편에서는 $(+,-,-,-)$(mostly minus)를 사용했지만, 끈이론의 표준적인 교과서(Zwiebach, Polchinski 등)는 mostly plus를 채택하고 있어서, 본편에서는 이쪽으로 통일해요.

좌표와 첨자(「일반상대론」편 제 4 장)¶

\[ x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z) \]

Einstein의 축약 규칙: 위아래에 같은 첨자가 나오면 합을 취해요. $A^\mu B_\mu \equiv \sum_\mu A^\mu B_\mu$.

Minkowski 계량(「일반상대론」편 제 4 장)¶

\[ \boxed{ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2} \]

\[ \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1) \]

모든 관성계에서 같은 성분을 갖는 불변량이에요. $c$를 복원하면 $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$.

4원운동량과 에너지-운동량 관계(「일반상대론」편 제 4 장)¶

입자의 4원운동량($U^\mu$는 4원속도, 「일반상대론」편 제 4 장 참조):

\[ p^\mu = mU^\mu = (E,\, \vec{p}) \]

불변 노름 $p^\mu p_\mu = -m^2$로부터, 에너지-운동량 관계는

\[ \boxed{E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2} \]

(왜 $-m^2$로 마이너스가 붙는가 하면, $p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -E^2 + |\vec{p}|^2$에서, $\eta_{00} = -1$ 때문에 에너지 항에 마이너스가 붙기 때문이에요. 정지 입자 $\vec{p} = 0$에서 $p^\mu p_\mu = -E^2 = -m^2$이 되어 정합해요.)

정지 시: $E = m$ (SI 단위로 되돌리면 $E = mc^2$)
저속 극한: $E \approx m + \frac{1}{2}m v^2$ (SI로 되돌리면 $E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$, 전개 계산은 「일반상대론」편 제 4 장 참조)
질량 제로: $E = |\vec{p}|$, 반드시 광속으로 운동한다

🔵 카이: 정지해 있는 것만으로 에너지 $m$을 가진다니, 다시 봐도 대단한 관계네요.

🟡 리나: 이 관계를 그림으로 그리면 쌍곡선이 돼요(그림 5.6「에너지-운동량 관계 $E^2 = p^2 + m^2$의 기하학적 표현」). $E^2 - |\vec{p}|^2 = m^2$을 만족하는 점의 모임이 쌍곡선을 그려요. 입자는 반드시 이 곡선 위에 있으니까, "입자가 올라타 있는 껍질"이라는 의미로 질량각（mass shell）이라고 불러요. 질량 제로인 빛은 직선 $E = |p|$ 위에 놓이고, 질량이 있는 입자는 쌍곡선 위에 놓여요.

그림 5.6: 에너지-운동량 관계 $E^2 = p^2 + m^2$의 기하학적 표현. 질량각(쌍곡선) 위에 입자가 놓이고, $m = 0$인 빛은 직선 $E = |p|$에 일치한다. 저속에서는 포물선 근사(Newton 역학의 운동에너지)로 귀결된다.

✅ 이해도 체크: $E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2$ ($c=1$)에서, 입자가 정지해 있을 때($\vec{p}=0$) 에너지는 얼마일까요?

답

$E = m$ ($c=1$의 자연단위계). SI 단위로 되돌리면 $E = mc^2$이 돼요. 이것이 유명한 질량과 에너지의 등가 관계예요.

그림 5.7: 에너지-운동량의 삼각 관계. $E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2$ ($c = 1$)는 직각삼각형의 피타고라스 정리로 시각화할 수 있다. 정지 에너지 $m$을 밑변, 운동량 $|\vec{p}|$를 높이로 하면, 빗변이 전체 에너지 $E$에 대응한다.

🔵 카이: 질량 제로에 광속이라는 성질, 끈이론에서 중력자가 나올 때(제 15 장) 또 쓰는 거죠. 그런데 $E = \sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}$에 제곱근이 있으니까, 양자화할 때 다루기 어려울 것 같은데요?

🟡 리나: 바로 그게 문제예요. 다음 절에서는, 이 에너지-운동량 관계가 1차 방정식으로 풀리는 좌표——광원뿔좌표——를 도입할 거예요. 그 덕분에 $p^-$가 다른 성분으로부터 유일하게 결정되어, 끈의 양자화가 극적으로 쉬워져요.

🔵 카이: 제곱근이라는 건 $E = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}$으로 마이너스 해도 있다는 거잖아요? 에너지가 음이라는 건 무슨 의미인가요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 수학적으로는 $p^0 = -\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}$이라는 해가 존재해요. 물리적인 해석은 장의 양자론(「장의 양자론」편)에서 반입자로 이해되지만, 지금은 "제곱근을 취하면 $\pm$ 두 개의 해가 나와 버린다"는 수학적인 불편함만 기억해 두세요. 광원뿔좌표에서는 이 $\pm$가 사라지는 게 포인트예요.

📖 기존 학습 항목으로의 복귀: 반변·공변 벡터의 구별, 첨자 올리고 내리기 $A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu$, 텐서의 축약과 계수에 대해서는 「일반상대론」편 제 4 장를 참조하세요. 제13장 이후에서 끈의 세계면 위의 텐서를 다룰 때, 거기서의 표기법을 자연스럽게 이어받아요.

5.4　광원뿔 구조와 광원뿔좌표 — 끈이론의 주역¶

🟡 리나: 여기서부터 이 장의 고유 내용이에요. 광원뿔좌표는, 끈의 양자화(제 14 장)에서 "어떤 자유도가 물리적인가"를 가장 빨리 분리하기 위한 열쇠 도구예요. 먼저 밑준비로 광원뿔 구조(인과율)를 짧게 복습한 뒤, 광원뿔좌표를 정의해 나갈게요.

광원뿔 구조(인과율)의 복습¶

🟡 리나: 두 사건 사이의 $ds^2$의 부호로, 사건의 인과관계가 3종류로 분류돼요.

표 5.2: 사건 간격의 부호에 의한 인과 분류

$ds^2$의 부호	명칭	물리적 의미
$ds^2 < 0$	시간적(timelike)	광속 이하의 신호로 연결할 수 있다. 인과관계 있음
$ds^2 = 0$	빛과 같은(null / lightlike)	빛으로 연결할 수 있다. 광원뿔 위
$ds^2 > 0$	공간적(spacelike)	빛으로도 연결할 수 없다. 인과관계 없음

그림 5.8: 광원뿔 구조와 인과율. 원점의 사건에서 본 광원뿔. 시간적 영역(미래·과거)과 공간적 영역(인과적으로 무관)으로 시공간이 분할된다.

$ds^2 = 0$인 면이 광원뿔(light cone)을 형성하고, 시공간을 과거·미래·인과적으로 무관한 영역으로 나눠요(그림 5.8「광원뿔 구조와 인과율」). 자세한 내용은 「일반상대론」편 제 3 장의 "시공간격의 3분류"를 참조하세요.

광원뿔좌표의 정의¶

🟡 리나: 시간좌표 $x^0$와 공간좌표 중 하나 $x^1$을 조합해서, 새로운 좌표를 정의할게요:

\[ \boxed{x^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 + x^1), \qquad x^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 - x^1)} \]

나머지 좌표 $x^2, x^3$은 그대로예요.

🔵 카이: 왜 "광원뿔" 좌표라고 부르나요?

🟡 리나: 원점을 출발해서 $x^1$ 방향으로만 진행하는 빛을 생각하면 $dx^2 = dx^3 = 0$이고, $ds^2 = 0$으로부터 $-(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = 0$, 즉 $dx^0 = \pm dx^1$이에요. 정방향으로 진행하는 빛은 $dx^0 = dx^1$을 만족하니까, 적분하면 $x^0 = x^1 + C$ ($C$는 상수). 원점 출발이면 $C = 0$이므로 $x^1 = x^0$ ($c = 1$의 자연단위계). 이때

\[ x^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 - x^1) = 0 \]

역방향의 빛은 $x^1 = -x^0$이므로 $x^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 + x^1) = 0$. 즉 원점에서 나온 빛의 세계선을 따라 $x^+$ 또는 $x^-$가 일정한 값(0)을 취해요.

⚪ 메이: 원점 출발의 경우는 0이 되지만, 원점 이외에서 출발하는 빛에도 같은 말을 할 수 있나요?

🟡 리나: 좋은 확인이에요. $x^1$ 방향으로 진행하는 빛은 항상 $dx^0 = \pm dx^1$을 만족하니까, $dx^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 - dx^1) = 0$(정방향) 또는 $dx^+ = 0$(역방향)이에요. 즉 빛의 세계선을 따라 $x^+$나 $x^-$ 중 하나가 상수가 돼요(상수값이 0은 아닐 수 있지만, 변하지 않아요). 그런데 아까 그림 5.8「광원뿔 구조와 인과율」에서 봤듯이, 광원뿔은 말 그대로 "원뿔"의 형태를 하고 있죠——원점에서 빛이 전 방향으로 퍼져나가는 모습을 시공간 도표에 그리면, 원뿔의 표면이 돼요. 그 원뿔의 꼭짓점에서 표면을 따라 그을 수 있는 직선 하나하나를 모선(母線)이라고 불러요.

🔵 카이: 모선? 들어본 것 같은데……원뿔의 표면을 이루고 있는 직선을 말하는 건가요?

🟡 리나: 맞아요. 모선이란 원뿔의 표면을 구성하는 직선을 말해요——꼭짓점에서 표면을 따라 곧게 그을 수 있는 선이에요. 아이스크림 콘의 뾰족한 꼭대기에서 가장자리를 향해 자를 대었을 때의 직선을 상상해 보세요. 광원뿔도 원뿔의 일종이니까, 꼭짓점(원점의 사건)에서 빛이 진행하는 방향으로 그은 직선이 광원뿔의 모선에 해당해요. 광원뿔의 모선을 따른 좌표이기 때문에 "광원뿔좌표"라고 하는 거예요. 그림으로 보면 알기 쉬워요(그림 5.9「광원뿔좌표의 기하학적 의미」)——일반적인 $(x^0, x^1)$ 좌표를 45도 회전시킨 형태가 되어 있고, 빛의 세계선이 그대로 새로운 좌표축에 일치하고 있죠.

🔵 카이: 콘 표면에 자를 댄 직선……그렇군요, 원뿔의 "뼈대" 같은 거네요. 빛의 궤적이 그 뼈대의 하나하나에 대응한다고. 그러면 $x^+$ 축과 $x^-$ 축은, 그 뼈대 중에서 특히 $x^1$ 방향의 양과 음으로 진행하는 빛의 2개를 선택한 거라는 건가요?

🟡 리나: 맞아요. 광원뿔에는 전 방향의 모선이 있지만, $x^1$ 방향에 주목해서 2개를 선택하고, 그것을 새로운 좌표축으로 삼은 게 광원뿔좌표예요.

그림 5.9: 광원뿔좌표의 기하학적 의미. 일반적인 $(x^0, x^1)$ 좌표를 45도 회전시킨 좌표계. 빛의 세계선이 좌표축에 일치한다.

🔵 카이: 아, 그림 5.9「광원뿔좌표의 기하학적 의미」를 보니까, 확실히 $x^+$ 축과 $x^-$ 축이 빛의 방향을 따라가고 있네요.

🔵 카이: 계수 $1/\sqrt{2}$가 붙어 있는 건 왜인가요? $x^+ = x^0 + x^1$이면 안 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 만약 $1/\sqrt{2}$를 붙이지 않고 $\tilde{x}^+ = x^0 + x^1$, $\tilde{x}^- = x^0 - x^1$로 정의하면, $d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^- = (dx^0)^2 - (dx^1)^2$이니까 $ds^2 = -d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2$이 돼요. 여기서 $ds^2 = \tilde{\eta}_{\mu\nu}\,d\tilde{x}^\mu d\tilde{x}^\nu$라고 썼을 때, Einstein의 축약 규칙으로 $\mu$와 $\nu$의 모든 조합에 대해 합을 취하죠.

🔵 카이: "모든 조합"이란, 구체적으로 어떻게 전개되나요?

🟡 리나: 예를 들어 좌표가 $(\tilde{x}^+, \tilde{x}^-, \tilde{x}^2, \tilde{x}^3)$의 4개니까, $\mu$를 $+, -, 2, 3$ 중 하나, $\nu$도 $+, -, 2, 3$ 중 하나, 전부 $4 \times 4 = 16$가지의 항을 합산해요. 그 중에서 $+$와 $-$가 관련된 항을 뽑으면, $\mu = +, \nu = -$인 항과 $\mu = -, \nu = +$인 항의 2개가 나와요.

🔵 카이: 2개가 나오는 건, $\mu$와 $\nu$를 독립적으로 돌리니까 그런 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 즉 $\tilde{\eta}_{+-}d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^- + \tilde{\eta}_{-+}d\tilde{x}^- d\tilde{x}^+$의 2항이 나와요. 계량 텐서는 대칭($\tilde{\eta}_{+-} = \tilde{\eta}_{-+}$)이고, $d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^-$와 $d\tilde{x}^- d\tilde{x}^+$는 같은 것(그냥 수의 곱이라 순서를 바꿔도 같아요)이므로, 합쳐서 $2\tilde{\eta}_{+-}\,d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^-$가 돼요. 이것이 $-d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^-$와 같으니까, $2\tilde{\eta}_{+-} = -1$ 즉 $\tilde{\eta}_{+-} = -1/2$가 돼요.

🔵 카이: $-1/2$라니 확실히 어중간하네요. $1/\sqrt{2}$를 붙이면 어떻게 되나요?

🟡 리나: $1/\sqrt{2}$를 붙인 정의에서는——바로 다음에 유도하겠지만——$ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + \cdots$가 돼요. 이때 광원뿔좌표에서의 계량 성분을 $\hat{\eta}_{\mu\nu}$라고 쓸게요. 같은 Minkowski 계량이라도 좌표가 바뀌면 성분의 수치가 바뀌니까, 일반좌표의 $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$와 구별하기 위해 햇(hat, $\hat{}$)을 붙이는 거예요. 아까와 같은 전개를 하면, $\hat{\eta}_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu$ 중에서 $+$와 $-$가 관련된 항은 $2\hat{\eta}_{+-}\,dx^+dx^-$가 돼요. 이것이 $-2\,dx^+dx^-$와 같으므로 $2\hat{\eta}_{+-} = -2$, 즉 $\hat{\eta}_{+-} = -1$ 딱 맞게 정리돼요.

⚪ 메이: 정리하면: $1/\sqrt{2}$ 없이면 $\tilde{\eta}_{+-} = -1/2$로 어중간하고, $1/\sqrt{2}$가 있으면 $\hat{\eta}_{+-} = -1$로 깔끔하게 정리되는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 계량 성분이 $\pm 1$이나 $0$만으로 되니까, 첨자 올리고 내리기가 편해져요. 행렬의 전체 모습은 바로 아래에서 써 볼게요. 그러면 $ds^2 = -2\,dx^+dx^-$를 실제로 유도해 봐요.

광원뿔좌표에서의 시공간격¶

🟡 리나: $ds^2$를 광원뿔좌표로 다시 써 봐요. 출발점은 일반좌표에서의 Minkowski 계량:

\[ ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

이 중의 $-(dx^0)^2 + (dx^1)^2$ 부분을 광원뿔좌표로 바꾸고 싶어요. 정의로부터

\[ dx^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 + dx^1), \qquad dx^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 - dx^1) \]

곱을 계산하면

\[ dx^+ dx^- = \frac{1}{2}(dx^0 + dx^1)(dx^0 - dx^1) = \frac{1}{2}\left[(dx^0)^2 - (dx^1)^2\right] \]

즉 $(dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+ dx^-$. $ds^2$에 나타나는 것은 부호가 반대인 $-(dx^0)^2 + (dx^1)^2$이니까, 양변에 $-1$을 곱하면

\[ -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = -2\,dx^+ dx^- \]

이것을 $ds^2$에 대입하면

\[ \boxed{ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2} \]

(여기서 $(dx^2)^2$는 "좌표 $x^2$의 미소 변화 $dx^2$의 제곱"이라는 뜻이에요. 위첨자의 2는 좌표의 라벨이지 거듭제곱이 아니니까, 헷갈리지만 $(dx^2)^2 = (dx^2) \times (dx^2)$으로 읽어 주세요. $(dx^3)^2$도 마찬가지예요.)

🔵 카이: 어라, 원래 식에서는 $(dx^0)^2$와 $(dx^1)^2$가 따로따로 나왔는데, 광원뿔좌표에서는 $dx^+$와 $dx^-$의 곱이 되어 있네요. 제곱의 합이 아니라 곱이라니, 감각적으로 뭐가 다른 건가요?

🟡 리나: 좋은 의문이에요. 제곱의 합이면 각 방향이 독립적으로 기여하지만, 곱이면 한쪽이 0이면 전체가 0이 돼요. 즉 한쪽 좌표가 변하지 않으면, 그 항은 통째로 사라져요. 예를 들어 $x^+$ 방향으로만 움직이면($dx^- = 0$, $dx^2 = dx^3 = 0$) $ds^2 = -2\,dx^+\cdot 0 + 0 + 0 = 0$이 돼요. $ds^2 = 0$은 빛의 조건이니까, 빛의 세계선이 $x^+$ 축에 놓인다는 아까의 이야기와 정합하죠.

🔵 카이: 아, 그렇구나. 일반좌표에서는 $ds^2 = 0$을 만족하는 조건을 찾으려면 "$-(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = 0$이니까 $dx^0 = \pm dx^1$"이라는 계산이 필요하지만, 광원뿔좌표라면 "$dx^-$가 0"이라고 한 방에 말할 수 있네요.

⚪ 메이: 맞아요, 곱의 구조이기 때문에 "한쪽 좌표가 일정 = 빛"이라는 대응이 직접 보이는 거예요.

🟡 리나: 아까 $1/\sqrt{2}$의 논의에서 미리 써 버렸지만, 다시 정리할게요. 중요한 것을 먼저 말해 두면, 물리적인 시공간은 같은 Minkowski 시공간——바뀐 것은 좌표의 잡는 방법뿐이에요. 하지만 좌표가 바뀌면 계량 텐서의 "성분의 수치"가 바뀌어요(지도의 그리는 방법을 바꾸면 위선·경선의 간격이 바뀌는 것과 같아요). 혼동을 피하기 위해, 광원뿔좌표로 표시한 성분을 $\hat{\eta}_{\mu\nu}$라고 쓸게요(햇은 "광원뿔좌표에서의 표시"라는 표시이지, 다른 계량이 아니에요). 일반좌표의 $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$와 수치가 다르니까 구별하는 것뿐이에요. 여기서 하나 주의할 점——광원뿔좌표에서는 좌표가 $(x^+, x^-, x^2, x^3)$이니까, 첨자 $\mu$가 취하는 값도 $0, 1, 2, 3$이 아니라 $+, -, 2, 3$의 4가지가 돼요. 아까 $x^+, x^-$를 정의했을 때부터 암묵적으로 사용하고 있었지만, 여기서 명시해 둘게요. 기호가 바뀔 뿐 "4개의 방향을 구별하는 라벨"이라는 역할은 같아요.

🔵 카이: 그렇군요, 첨자의 라벨이 숫자에서 $+, -$로 바뀔 뿐이고, 4방향이 있다는 본질은 같은 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 행과 열의 순서를 $+, -, 2, 3$으로 잡으면:

\[ \hat{\eta}_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \hat{\eta}_{++} & \hat{\eta}_{+-} & \hat{\eta}_{+2} & \hat{\eta}_{+3} \\ \hat{\eta}_{-+} & \hat{\eta}_{--} & \hat{\eta}_{-2} & \hat{\eta}_{-3} \\ \hat{\eta}_{2+} & \hat{\eta}_{2-} & \hat{\eta}_{22} & \hat{\eta}_{23} \\ \hat{\eta}_{3+} & \hat{\eta}_{3-} & \hat{\eta}_{32} & \hat{\eta}_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

왼쪽 행렬에서 각 성분의 위치를 확인해 보세요. 예를 들어 1행·2열이 $\hat{\eta}_{+-}$이고, 오른쪽 행렬을 보면 값은 $-1$. 대각 성분 $\hat{\eta}_{++}$와 $\hat{\eta}_{--}$가 0이고, 비대각 성분 $\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1$이 남아요. Minkowski 계량에서 "시간만 마이너스, 공간은 플러스"였던 것이, 여기서는 $+$와 $-$의 조합에 일괄적으로 담겨 있어요.

⚪ 메이: 대각에 $-1$이 있었던 것이, 비대각으로 이동한 느낌이네요. 익숙하지 않은 형태지만 성분이 $0, \pm 1$뿐인 건 확실히 깔끔해요.

🟡 리나: 역계량(첨자를 올릴 때 사용하는 행렬) $\hat{\eta}^{\mu\nu}$는, $\hat{\eta}^{\mu\alpha}\hat{\eta}_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu$를 만족하도록 결정돼요. 이 경우에는 성분의 수치가 $\hat{\eta}_{\mu\nu}$와 같아져요: $\hat{\eta}^{+-} = \hat{\eta}^{-+} = -1$, $\hat{\eta}^{22} = \hat{\eta}^{33} = +1$, 나머지는 0. 왜 같아지느냐 하면, 위의 행렬을 2번 곱하면 단위행렬이 되기 때문이에요(자기 자신이 역행렬). 확인은 연습문제로 넘길게요.

광원뿔좌표에서의 4원운동량¶

🟡 리나: 광원뿔좌표에서는 4원운동량의 성분도

\[ p^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(p^0 + p^1), \qquad p^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(p^0 - p^1) \]

가 돼요(그림 5.10「광원뿔좌표에서의 운동량 분해」). 일반적인 $(p^0, p^1)$ 평면에서 보면, $p^+$ 축과 $p^-$ 축은 광원뿔의 모선 방향——즉 45도 기울어진 방향——에 대응해요. 그림의 쌍곡선이 질량각이고, 입자는 반드시 이 위에 있어요. 광원뿔좌표로 보면, $p^+$의 값을 정하면 쌍곡선 위의 점이 유일하게 정해져요——즉 $p^-$는 종속변수로서 결정돼요.

그림 5.10: 광원뿔좌표에서의 운동량 분해. 일반적인 $(p^0, p^1)$ 면에 $p^+$ 축과 $p^-$ 축을 겹쳐 그렸다. 질량각(쌍곡선) 위의 입자에 대해, $p^-$는 $p^+$와 횡운동량으로부터 유일하게 결정된다.

🟡 리나: 그리고 $p^\mu p_\mu = -m^2$을 광원뿔좌표로 써 봐요. 할 일은 아까 $ds^2$에서 $(dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+dx^-$를 보인 것과 완전히 같은 대수예요. 일반좌표에서는 $p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\nu$로 첨자를 내리니까(「일반상대론」편 제 4 장 참조), $p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2$이었죠. 광원뿔좌표에서도 같은 구조로, $p^\mu p_\mu = \hat{\eta}_{\mu\nu}\,p^\mu p^\nu$처럼 계량 텐서의 성분을 사용해서 계산해요(예를 들어 $p_+ = \hat{\eta}_{+-}p^- + \hat{\eta}_{++}p^+ = -p^-$처럼 첨자가 내려가지만, 지금은 $\hat{\eta}_{\mu\nu}$의 성분을 직접 대입하는 게 더 빨라요). 여기서 $p^+$와 $p^-$의 정의로부터

\[ p^+ p^- = \frac{1}{2}(p^0 + p^1)(p^0 - p^1) = \frac{1}{2}\left[(p^0)^2 - (p^1)^2\right] \]

이니까 $(p^0)^2 - (p^1)^2 = 2\,p^+ p^-$. 이것을 대입하면 $-(p^0)^2 + (p^1)^2 = -2\,p^+ p^-$이므로

\[ p^\mu p_\mu = \hat{\eta}_{\mu\nu}\,p^\mu p^\nu = -2\,p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -m^2 \]

🔵 카이: $ds^2$ 때와 완전히 같은 구조네요. 좌표의 미소 변화 $dx^\mu$를 운동량 $p^\mu$로 바꿨을 뿐이다.

🟡 리나: 맞아요. (이중합을 전개하면, $\hat{\eta}_{\mu\nu}$가 0이 아닌 성분은 $\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1$과 $\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = +1$뿐이니까, 살아남는 항은 4개: $\hat{\eta}_{+-}p^+p^- + \hat{\eta}_{-+}p^-p^+ + \hat{\eta}_{22}p^2 p^2 + \hat{\eta}_{33}p^3 p^3$. 여기서 $p^+, p^-, p^2, p^3$는 그냥 수(연산자가 아니에요)이니까 곱의 순서를 바꿔도 되고, $p^-p^+ = p^+p^-$. 따라서 $= (-1)p^+p^- + (-1)p^+p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -2p^+p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2$. 대각 성분 $\hat{\eta}_{++} = \hat{\eta}_{--} = 0$이므로 다른 항은 0이에요.)

여기서 $(p^2)^2$는 "$p^2$(운동량의 제2성분)의 제곱"이라는 뜻이에요. 첨자의 2와 거듭제곱의 2가 헷갈리니까, 필요에 따라 $(p^I)^2$ ($I = 2, 3$)처럼 대문자 라틴 첨자를 사용하기도 해요. $p^2$와 $p^3$는 광원뿔좌표의 정의에서 건드리지 않은 방향——$x^+, x^-$ 축에 횡방향(perpendicular)인 성분——이니까, 모아서 횡운동량 $\vec{p}_\perp = (p^2, p^3)$이라고 써요. $(p^2)^2 + (p^3)^2 = |\vec{p}_\perp|^2$이죠. 뒤 장에서도 이 표기를 사용할게요.

🔵 카이: 확실히 헷갈리네요……. $p^2$가 "$p$의 제곱"인지 "제2성분"인지 순간 혼동해요. $\vec{p}_\perp$ 쓰는 게 안심이에요.

🟡 리나: 그렇죠. 모호할 때는 $\vec{p}_\perp$를 쓸 테니 안심하세요. 그러면, 이것을 $p^-$에 대해 풀어 볼게요. $-2p^+p^- + |\vec{p}_\perp|^2 = -m^2$의 양변을 정리하면 $2p^+p^- = |\vec{p}_\perp|^2 + m^2$, 양변을 $2p^+$로 나누면

\[ \boxed{p^- = \frac{|\vec{p}_\perp|^2 + m^2}{2\,p^+}} \]

(여기서 $|\vec{p}_\perp|^2 = (p^2)^2 + (p^3)^2$.)

🔵 카이: 풀린다! $p^-$는 다른 성분($p^+, p^2, p^3$과 질량)으로 결정되어 버리는군요. 즉 독립 변수가 하나 줄어든다는 거죠——일반좌표에서는 $E$를 구하는 데 제곱근이 필요했는데, 여기서는 나눗셈 한 번으로 나와요. 그런데 잠깐요——$p^+$가 0이면 분모가 0이라서 발산하잖아요? 그게 무슨 의미인가요?

🟡 리나: 좋은 착안이에요. $p^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(E + p^1)$이니까, 질량이 있는 입자에서 양의 에너지 해($E > 0$)를 선택하면 $E > |p^1|$이 성립해요. 이유를 자세히 추적하면: $|\vec{p}|^2 = (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2$이고, $(p^2)^2$와 $(p^3)^2$는 0 이상이니까 $|\vec{p}|^2 \geq (p^1)^2$. 따라서 $E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2 \geq (p^1)^2 + m^2 > (p^1)^2$. 여기서 양의 에너지 해 $E > 0$을 선택하고 있으니까, 양변의 양의 제곱근을 취하면 $E = \sqrt{E^2} > \sqrt{(p^1)^2} = |p^1|$ (양수 $a, b$에 대해 $a^2 > b^2$이면 $a > b$이니까, $a = E > 0$과 $b = |p^1| \geq 0$에 적용한 거예요). $E > |p^1|$이라는 것은 $E > -p^1$ ($p^1$이 음이라도)이니까 $E + p^1 > 0$, 즉 반드시 $p^+ > 0$이 돼요.

⚪ 메이: 질량이 있는 한, 양의 에너지라면 $p^+$는 반드시 양——분모가 0이 되는 걱정은 없네요.

🟡 리나: 맞아요. $p^+ = 0$은 질량 0인 입자가 $x^1$의 음방향으로 정확히 광속으로 진행하는 경우($E = |p^1|$이고 $p^1 < 0$이라 $E + p^1 = 0$)에 대응해요. 광원뿔 양자화에서는 $p^+ > 0$인 입자만 다루는 약속을 해서, 이 문제를 회피해요. 일반좌표에서는 $p^\mu p_\mu = -(p^0)^2 + |\vec{p}|^2 = -m^2$이니까 $p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}$으로 $\pm$의 부호 모호성이 남아요($p^0 > 0$이 양의 에너지 해 = 보통 입자, $p^0 < 0$이 음의 에너지 해). 그런데 광원뿔좌표에서는 1차 방정식으로 $p^-$가 유일하게 결정돼요.

⚪ 메이: 부호 모호성이 사라지네요.

🟡 리나: 맞아요. 이게 제 14 장의 광원뿔 양자화에서, 물리적 상태만을 처음부터 뽑아낼 수 있는 이유예요.

🟡 리나: 여기까지의 일반좌표와 광원뿔좌표의 대비를 표로 정리해 둘게요.

표 5.3: 일반좌표와 광원뿔좌표의 비교

항목	일반좌표 $(x^0, x^1, x^2, x^3)$	광원뿔좌표 $(x^+, x^-, x^2, x^3)$
정의	$x^0 = t$, $x^1 = x$	$x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}$
계량 $ds^2$	$-(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2$	$-2\,dx^+dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2$
계량 텐서	$\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$	$\hat{\eta}_{+-} = -1$, $\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = +1$, 나머지 0
에너지-운동량	$E = \pm\sqrt{	\vec{p}
부호의 모호성	$\pm$ 있음(양·음 에너지 해)	없음($p^+$를 양으로 고정하면 유일)
빛의 세계선	$x^1 = \pm x^0$ (기울기 $\pm 1$)	$x^+ = \text{const}$ 또는 $x^- = \text{const}$

끈이론에서의 이점 예고¶

🔵 카이: 결국, 광원뿔좌표를 사용하면 뭐가 좋은 건가요? 일부러 좌표를 바꾸는 수고에 걸맞은 이점이 있다는 거죠?

🟡 리나: 제 14 장(끈의 양자화)에서 본격적으로 사용하겠지만, 예고로 3가지를 들어 볼게요. 지금은 분위기만 파악하면 충분해요.

$p^-$가 종속변수가 된다: 위에서 본 대로. 자유도가 줄어요
여분의 자유도 제거가 간단하다: 점입자가 시공간 중을 움직이면 1차원의 궤적 = 세계선을 그리잖아요. 마찬가지로, 1차원인 끈이 움직이면 2차원의 면을 그려요——이것을 세계면이라고 불러요. 이 세계면에는, 물리에 영향을 주지 않는 "좌표의 잡는 방법의 자유"가 있어요——지도의 그리는 방법을 바꿔도 지형은 변하지 않는 것과 같아서, 세계면 위의 좌표를 어떻게 잡아도 물리는 변하지 않아요. 그런데 계산할 때는 어떤 구체적인 좌표를 선택해야 하니까, "어떤 좌표를 선택했는가"라는 물리와 무관한 정보가 식에 들어오게 돼요. 그러면 방정식의 해 속에 "좌표의 선택만 바꾼, 물리적으로 같은 상태"가 대량으로 섞여들어, 진짜 물리적 자유도가 어느 것인지 알 수 없게 돼요. 광원뿔좌표를 사용하면, 세계면 위에서 "시간 방향"을 나타내는 파라미터 $\tau$를 $x^+$에 맞추는 자연스러운 선택(light-cone gauge)을 할 수 있어서, 그 중복을 한꺼번에 고정할 수 있어요. 결과적으로 횡방향의 진동 $x^2, x^3, \ldots$만이 물리적 자유도로 남아요

🔵 카이: 세계면이란, 끈이 움직인 "궤적의 면"이라는 거죠. 점이 움직이면 선이 되듯이, 선이 움직이면 면이 된다고. 지도의 비유는 알기 쉬운데, "light-cone gauge"의 구체적인 의미는 제 14 장까지 기다리면 되나요?

🟡 리나: 네, 지금은 "광원뿔좌표를 사용하면 여분의 자유도를 지울 수 있다"는 결론만 기억해 두세요. 구체적인 절차는 제 14 장에서 한 걸음씩 할게요.

물리적 스펙트럼을 직접 얻을 수 있다: 일반적인 방법에서는 계산 도중에 "확률이 음이 되는" 비물리적인 상태가 나타나서, 나중에 제거할 필요가 있어요. 광원뿔좌표에서는 그런 상태를 처음부터 배제할 수 있어요

⚪ 메이: 자유도를 줄이고, 비물리적인 상태도 배제할 수 있다——꽤 강력하네요.

🟡 리나: 다만 대가도 있어요. Lorentz 공변성은 명시적으로는 깨져요($x^+$를 특별 취급하고 있으니까). 하지만 물리적인 결과는 좌표계에 의존하지 않으니까 문제없어요——이것은 "특정 좌표에서 계산해도 일반적인 결과를 얻을 수 있다"는 상대론의 기본적인 성질이에요.

🔵 카이: 그런데 Lorentz 공변성이란 "물리법칙이 어떤 관성계에서도 같은 형태"라는 거잖아요? 그걸 명시적으로 잃는다니, 정말 괜찮은 건가요? 도중에 뭔가 놓치는 위험은 없나요?

🟡 리나: 날카로운 걱정이에요. 실제로, 광원뿔 양자화에서는 마지막에 "Lorentz 대칭성이 정말로 보존되고 있는지"를 검산할 필요가 있어요. 그 검산이 성공하는 조건으로서 시공간의 차원이 $D = 26$(보손 끈)이나 $D = 10$(초끈)으로 결정돼요——이것은 제 14 장에서 볼 큰 결과예요. 그러니까 "보이지 않게 된 공변성을 마지막에 확인한다"는 단계가 세트로 되어 있어요.

⚪ 메이: 공변성을 안 보이게 하는 대신 계산을 편하게 하고, 마지막에 공변성의 검산을 한다——거기서 시공간의 차원까지 결정되는 거네요.

🔵 카이: 즉 "편하게 한 만큼의 대가를 마지막에 치른다" 같은 구조인데, 그 대가 지불에서 역으로 차원이 결정된다니……. 그런데 반대로 말하면, 만약 차원이 26이나 10이 아니면 Lorentz 대칭성이 깨져 버린다는 거잖아요? 그건 실험으로 확인할 수 있나요?

🟡 리나: 좋은 물음이에요. 여분 차원이 실험에서 어떻게 보이는지는 제 16 장에서 다룰게요. 지금 단계에서는 "광원뿔좌표는 공변성을 희생해서 계산 가능성을 얻는 첫걸음"이라고 기억해 두세요. 끈이론에서는 이 트레이드오프가 자주 일어나요.

🔵 카이: 그러면 반대로, 공변성을 유지한 채 양자화하는 방법도 있나요? 그쪽이면 뭐가 힘들어지는 건지……

🟡 리나: 있어요——공변 양자화라고 불리는 방법이에요. 그쪽에서는 확률이 음이 되는 비물리적인 상태가 도중에 나타나서, 그것을 나중에 제거하는 수고가 들어요. 어떤 방법을 쓰든 최종적인 물리적 결론은 같지만, 광원뿔 양자화 쪽이 "물리적인 자유도만을 처음부터 다룬다"는 의미에서 전망이 좋아요. 자세한 것은 제 14 장에서 비교할게요.

🔵 카이: 확률이 음이라니……물리적으로 있을 수 없는 것이 계산 도중에 나오는 건 기분이 안 좋네요. 광원뿔 양자화라면 그게 처음부터 나오지 않으니까, 그쪽이 안심이다. 그런데 "처음부터 배제한다"는 건, 배제해도 되는지의 판단을 처음에 해야 한다는 거잖아요——그 판단을 잘못하면 물리적으로 중요한 상태까지 버려 버리는 위험은 없나요?

🟡 리나: 그 걱정은 당연해요. 광원뿔 양자화에서 남기는 자유도는, 게이지 대칭성(세계면의 좌표변환의 자유도)을 완전히 고정한 뒤에 남는 것이니까, 물리적인 상태를 버려 버리는 일은 없어요. 그리고 마지막에 Lorentz 대칭성의 검산을 함으로써, "정말로 아무것도 빠뜨리지 않았는지"를 확인해요——아까 말한 $D = 26$의 조건이 바로 그 검산이에요. 자세한 것은 제 14 장에서 실제로 해 볼게요.

📝 연습문제:

광원뿔좌표에서의 스칼라곱, $p^-$의 표현, 광원뿔좌표에서의 Lorentz 변환 → 연습문제

✅ 이해도 체크: 광원뿔좌표 $x^+, x^-$의 정의를 써 보세요.

답

$x^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 + x^1)$, $x^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 - x^1)$. $c = 1$의 자연단위계에서 $x^0 = t$, $x^1 = x$이고, 나머지 좌표 $x^2, x^3$은 그대로.

✅ 이해도 체크: 광원뿔좌표에서 $ds^2$는 어떻게 쓸 수 있을까요?

답

$ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2$.

✅ 이해도 체크: 질량 $m$인 입자의 $p^-$가 $p^+$와 횡운동량 $p^2, p^3$으로 어떻게 결정되는지.

답

$p^\mu p_\mu = -m^2$을 광원뿔좌표로 쓰면 $-2p^+p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -m^2$. 이것을 풀면 $p^- = \dfrac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2p^+}$.

5.5　남겨진 물음 — 가속과 중력으로¶

🟡 리나: 특수상대론은 관성계——등속직선운동을 하고 있는 관측자——사이의 물리를 기술해요. 그런데, 가속하고 있는 관측자나 중력장 안의 관측자는 어떻게 되는 걸까요?

🔵 카이: 가속과 중력은 관계가 있나요?

🟡 리나: 좋은 직감이에요. 엘리베이터가 가속하고 있을 때, 안에 있는 사람은 중력이 강해진 것처럼 느껴요. 반대로, 자유낙하하고 있는 엘리베이터 안에서는 무중력이 돼요. 가속과 중력은 구별할 수 없다——이것이 등가원리예요. 다음 장의 출발점이에요.

🟡 리나: Minkowski 계량 $\eta_{\mu\nu}$는 "평탄한 시공간"을 기술해요. 하지만 중력이 있으면 시공간이 휘어져요——그러면 계량이 장소에 따라 변하는 $g_{\mu\nu}(x)$로 일반화돼요. 끈이론에서도, 끈이 움직이는 배경 시공간의 계량으로서 $g_{\mu\nu}$가 등장해요(배경 시공간을 "target space(표적 공간)"라고 부르지만, 공식적으로는 제 13 장에서 도입할게요). 특수상대론의 $\eta_{\mu\nu}$는 모든 것의 출발점이에요.

⚪ 메이: 즉 $\eta_{\mu\nu}$는 $g_{\mu\nu}(x)$의 "어디서나 같다"는 특별한 경우인 거네요.

✅ 이해도 체크: 등가원리란 무엇일까요?

답

가속과 중력은 국소적으로 구별할 수 없다는 원리예요. 예를 들어 가속하는 엘리베이터 안에서는 중력이 강해진 것처럼 느끼고, 자유낙하 중인 엘리베이터 안에서는 무중력이 돼요.

다음 장 예고¶

제 6 장「중력의 본질은 무엇인가? — 일반상대성이론」 ——등가원리에서 출발하여, "중력이란 시공간의 휘어짐이다"라는 Einstein의 일반상대론의 요점을 개관한다. 유도·계산의 상세는 「일반상대론」편에 맡기고, 이 장에서는 끈이론에서 사용하는 형태——계량 텐서, 측지선, Einstein 방정식——을 컴팩트하게 정리하며, 입자의 작용의 "편리한 형태"가 끈의 작용(제 13 장)으로 그대로 확장되는 구조를 밝힌다.

참고문헌¶

Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.2: "Special Relativity and Extra Dimensions" — 광원뿔좌표(끈이론에서의 사용법)
「일반상대론」편 제 3 장 특수상대론 — Lorentz 변환과 물리적 귀결 — 광속불변·Lorentz 변환의 유도
「일반상대론」편 제 4 장 Minkowski 시공간의 수학 — 계량·4원벡터·텐서 — 첨자 표기법·4원운동량·저속 극한 전개
「장의 양자론」편 제 2 장 특수상대론과 Lorentz 불변성의 복습 — 장의 이론에서의 Lorentz 불변성