제4장 스칼라장의 양자화 — 입자가 장에서 태어나다¶
지금까지의 줄거리:
제 3 장에서는 고전장의 Lagrangian 형식과 Euler-Lagrange 방정식을 배우고, Noether의 정리에 의해 연속 대칭성이 보존량을 만들어냄을 확인했다. 실수 스칼라장의 Lagrangian 밀도로부터 Klein-Gordon 방정식이 유도되고, Hamiltonian 밀도가 에너지의 공간 분포를 기술함을 보았다.
이 장의 목표
- 고전적인 Klein-Gordon 장을 「정준양자화」하고, 장의 Fourier 전개로부터 생성·소멸 연산자를 추출한다
- 그 결과, 장의 들뜸이 「입자」로서 자연스럽게 나타나는 것을 수학적으로 실현한다
- 나아가, 복소 스칼라장의 양자화로부터 반입자가 자동적으로 출현하는 구조를 이해하고, 영점 에너지의 물리적 귀결로서 Casimir 효과를 확인한다
4.1 정준양자화란 무엇인가——양자역학의 방법을 장으로 확장한다¶
🟡 리나: 자, 이제 드디어 장의 양자론의 핵심으로 들어갈게요. 제 3 장까지 고전장의 Lagrangian 형식을 정비해 왔어요. 오늘은 그 고전장을 「양자화」해요——즉, 장을 연산자로 승격시켜서, 양자역학적 입자를 장에서 끄집어내는 거예요. 그림 4.1「정준양자화의 흐름: 고전장에서 입자로」에 전체 흐름을 정리해 뒀으니, 먼저 큰 지도를 확인해 둬요. Lagrangian에서 출발해서, 켤레운동량과 Hamiltonian을 구하고, 동시각 교환관계를 부과하고, Fourier 전개로 생성·소멸 연산자를 도입하는——이 4단계로 장의 들뜸이 입자로서 나타나요.
그림 4.1: 정준양자화의 흐름: 고전장에서 입자로. Lagrangian → 켤레운동량·Hamiltonian → 동시각 교환관계 → Fourier 전개·생성소멸 연산자라는 4단계로, 장의 들뜸이 입자로서 나타난다.
🔵 카이: 「양자화」라는 건, 양자역학에서 \([\hat{x}, \hat{p}] = i\)를 부과한 것과 같은 일을 장에서 한다는 뜻인가요?
🟡 리나: 바로 그래요. 양자역학에서는, 고전적인 좌표 \(q\)와 운동량 \(p\)를 연산자 \(\hat{q}\), \(\hat{p}\)로 승격시키고, 교환관계 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\)를 부과했잖아요. 장의 이론에서도 완전히 같은 일을 해요. 단, 양자역학에서는 자유도가 「1번째 스프링, 2번째 스프링, ……」처럼 이산적인 인덱스 \(i\)로 구별되었지만, 장의 이론에서는 공간의 각 점 \(\mathbf{x}\)가 각각 독립적인 자유도를 가져요——즉 연속적인 좌표 \(\mathbf{x}\)가 자유도의 라벨이 돼요. 다시 말해, 장의 이론에서는 무한개의 자유도를 다루게 되는 거예요.
⚪ 메이: 이산적인 인덱스 \(i\)가 연속적인 좌표 \(\mathbf{x}\)로 바뀌는 거네요. 유한개에서 무한개로의 확장.
🟡 리나: 맞아요. 이 절차를 정준양자화 (canonical quantization) 라고 불러요. 전체 흐름을 먼저 보여줄게요.
표 4.1: 정준양자화의 절차
| 단계 | 하는 일 |
|---|---|
| Step I | 고전적인 Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L}\)을 써 내린다 |
| Step II | 켤레운동량 밀도 \(\pi(x)\)와 Hamiltonian 밀도 \(\mathcal{H}\)를 구한다 |
| Step III | 장과 운동량 밀도를 연산자로 만들고, 동시각 교환관계를 부과한다 |
| Step IV | 장을 Fourier 전개하고, 생성·소멸 연산자를 도입한다 |
Step I과 Step II는 제 3 장에서 이미 했으니, 오늘은 Step III부터 시작할게요.
🔵 카이: 제 3 장의 결과를 쓸 수 있는 거군요. 음, Lagrangian 밀도에서 켤레운동량 밀도와 Hamiltonian 밀도를 구했었죠.
🟡 리나: 그래요. 복습해 둘게요. Lagrangian 밀도는
켤레운동량 밀도는
🔵 카이: 켤레운동량이 장의 시간미분 그 자체가 되는 건, 실수 스칼라장의 단순함 덕분이죠.
🟡 리나: 맞아요. Hamiltonian 밀도는
예요. 그럼 Step III로 넘어갈게요.
✅ 이해도 체크: 정준양자화의 Step III에서는 무엇을 할까요? 양자역학의 정준양자화와의 유사점과 차이점을 설명해 보세요.
답
Step III에서는, 고전적인 장 \(\phi(x)\)와 켤레운동량 밀도 \(\pi(x)\)를 연산자로 승격시키고, 동시각 교환관계를 부과한다. 양자역학에서 \([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\,\delta_{ij}\)를 부과한 것과 같은 정신이지만, 자유도의 라벨이 이산적인 인덱스 \(i\)가 아니라 연속적인 공간 좌표 \(\mathbf{x}\)이기 때문에, Kronecker 델타가 Dirac 델타함수 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)로 바뀐다.
4.2 동시각 교환관계——장을 연산자로 만든다¶
🟡 리나: 고전적인 장 \(\phi(x)\)와 켤레운동량 밀도 \(\pi(x)\)를, 지금부터 연산자로 승격시킬게요. 「양자역학」편 제 5 장에서 배웠듯이, 연산자란 상태벡터에 작용하여 다른 상태벡터를 돌려주는 수학적 대상으로, 일반적으로는 곱셈의 순서를 바꾸면 결과가 달라지는(비가환) 것이었어요. 여기서 중요한 건, 장의 연산자 \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\)는 공간의 각 점 \(\mathbf{x}\)마다 하나의 연산자가 있다는 것이에요. 양자역학에서는 \(\hat{q}_1, \hat{q}_2, \ldots\)와 유한개의 연산자가 있었지만, 장의 이론에서는 공간의 각 점에 연산자가 「붙어 있어요」.
🔵 카이: 공간의 모든 점에 하나씩 연산자가 배치되어 있다니…… 엄청난 수네요.
🟡 리나: 그래요, 연속 무한개예요. 양자역학에서
를 부과한 것과 같은 정신으로, 장의 이론에서는 동시각 교환관계 (equal-time commutation relations) 를 부과해요.
🔵 카이: 양자역학의 \(\delta_{ij}\)가 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)로 바뀌어 있네요. 그런데, 왜 Dirac(디랙) 델타함수가 나오는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 양자역학에서는 자유도가 이산적이었으니까, 「같은 자유도면 1, 다른 자유도면 0」을 나타내는 데 Kronecker(크로네커) 델타 \(\delta_{ij}\)로 충분했어요. 하지만 장의 이론에서는, 공간의 각 점 \(\mathbf{x}\)가 독립적인 자유도를 가지고 있어요. 연속적인 라벨에 대해 「같은 점이면 비자명, 다른 점이면 0」을 표현하려면, Dirac 델타함수 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)가 필요해요.
⚪ 메이: 리나 선생님의 설명을 표로 정리하면, 이렇게 되네요.
표 4.2: 양자역학과 장의 양자론의 대응관계
| 양자역학(유한 자유도) | 장의 양자론(무한 자유도) |
|---|---|
| 인덱스 \(i = 1, 2, \ldots, n\) | 공간 좌표 \(\mathbf{x}\) |
| \(\hat{q}_i(t)\) | \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) |
| \(\hat{p}_i(t)\) | \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x})\) |
| \(\delta_{ij}\) | \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) |
🟡 리나: 잘 정리했네요. 한 줄 더 추가하자면, 이산적인 자유도의 합산 \(\sum_i\)가 연속적인 자유도에서는 공간적분 \(\int d^3x\)로 바뀌어요. 델타함수의 대응과 같은 정신이에요.
⚪ 메이: 그렇구나, \(\sum_i \to \int d^3x\)도 대응에 들어가는 거네요. 그리고 식 (4.4)는 「동시각」교환관계라고 불리는데, 이건 같은 시각 \(t\)에서만 성립한다는 뜻이죠?
🟡 리나: 맞아요. 식 (4.4)는 같은 시각 \(t\)에서만 성립해요. 그래서 「동시각」교환관계라고 부르는 거예요. 다른 시각의 장의 교환관계는, 시간 발전을 통해 별도로 결정되는 것이에요.
🔵 카이: 시간과 공간을 대등하게 다루는 게 상대론의 정신인데, 여기서는 시간을 특별 취급하고 있지 않나요?
🟡 리나: 예리하네요. 정준양자화에서는, Hamiltonian을 쓰기 위해 시간 방향을 골라내야 하니까, Lorentz 불변성의 전망이 일시적으로 나빠져요. 하지만 안심해도 돼요——최종적으로 얻어지는 이론은 제대로 Lorentz 불변이에요. 비유하자면, 지구의 지도를 그릴 때 구면을 평면에 펼치기 위해 「어딘가를 잘라야」 하지만, 지구 자체는 구 그대로——그것과 비슷한 상황이에요. 계산 도중에 시간 방향을 선택하고 있을 뿐, 물리법칙 자체는 시공간의 방향에 의존하지 않아요. 구체적으로는, 다른 시각의 장의 교환관계(Lorentz 불변 전파함수)를 제 6 장에서 계산할 때, 그것을 확인할 수 있을 거예요.
🔵 카이: 지도 비유가 이해하기 쉬워요. 계산의 「도구」로서 시간을 선택하고 있을 뿐, 물리의 결과는 선택 방법에 의존하지 않는다는 거군요. 좀 찝찝하지만, 앞으로 나아갈게요.
✅ 이해도 체크: 동시각 교환관계 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)에서, \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\)일 때 교환자의 값은 얼마일까요? 그 물리적 의미는?
답
\(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\)일 때 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = 0\)이므로, 교환자는 0이다. 즉, 다른 공간점의 장과 운동량 밀도는 서로 독립적인 자유도이며, 동시에 확정된 값을 가질 수 있다. 이것은 「장의 이론의 국소성」——멀리 떨어진 점의 물리량은 서로 간섭하지 않는다——을 반영하고 있다.
4.3 직관적인 그림——「입자는 장의 들뜸이다」¶
🟡 리나: 수식 계산에 들어가기 전에, 지금부터 무엇을 실현하려고 하는지, 직관적인 그림을 공유해 두고 싶어요. 장의 양자론의 핵심적인 아이디어를 한마디로 말하면——입자는 장의 들뜸(excitation)이다.
🔵 카이: 「들뜸」이라는 건, 에너지를 받아서 높은 상태가 된다는 뜻인가요?
🟡 리나: 바로 그래요. 고무시트를 상상해 봐요. 시트가 조용하게 쭉 펴져 있는 상태가 「진공」. 시트를 손가락으로 튕겨서, 어떤 한 점이 진동하고 있다면, 그게 「입자 1개」. 다른 장소에서도 동시에 진동하고 있다면, 「입자 2개」 이런 식이에요. 즉, 입자는 독립적으로 존재하는 「물건」이 아니라, 장 그 자체의 상태예요. 입자는 「장이 조용한 배경 위에서 출렁이는 국소적인 요동」으로서 나타나는 거예요.
⚪ 메이: 즉, 입자의 정체는 장의 국소적인 진동이고, 배경의 조용한 시트가 진공에 대응하는 거네요.
🟡 리나: 바로 그래요. 이 그림의 아름다운 점은:
표 4.3: 장의 들뜸으로서의 입자의 고무시트 그림
| 현상 | 고무시트 그림 |
|---|---|
| 진공 | 시트가 정지해 있다 |
| 입자 1개 | 1곳에서 진동하고 있다 |
| 입자 2개 | 2곳에서 진동하고 있다 |
| 입자의 생성 | 새로운 진동이 시작된다 |
| 입자의 소멸 | 진동이 가라앉아 정지로 돌아간다 |
| 같은 종류의 입자를 구별할 수 없는 이유 | 어떤 진동이든 같은 시트의 출렁임이니까 |
🔵 카이: 입자의 수가 바뀌는 과정이, 시트가 정지·진동·정지로 자연스럽게 기술된다! 양자역학에서는 입자 수를 고정하고 있었는데, 장의 그림이라면 생성·소멸이 자연스럽게 들어오는군요.
🟡 리나: 그래요. 그리고 장의 양자론이 필요해진 최대의 동기——입자 수의 비보존(제1장 참조)——이, 이 그림에서는 설계 시점부터 내장되어 있어요. 광자는 전자기장의 들뜸, 전자는 전자장의 들뜸, 쿼크는 쿼크장의 들뜸——우주에는 몇 가지 장이 있고, 입자는 그 장의 출렁임으로서 나타나요. 이것이 장의 양자론의 세계관이에요.
✅ 이해도 체크: 「입자는 장의 들뜸이다」라는 그림에서, 입자의 생성·소멸은 어떻게 이해될까요?
답
장이 조용한 상태(진공) 위에 새로운 진동이 시작되는 것이 「입자의 생성」, 진동이 가라앉아 정지로 돌아가는 것이 「입자의 소멸」에 대응한다. 입자는 독립적으로 존재하는 「물건」이 아니라 장 그 자체의 상태이기 때문에, 입자 수의 변화는 장의 진동 상태의 변화로서 자연스럽게 기술된다.
🟡 리나: 그리고 또 하나 중요한 관점이 있어요. 양자역학에서는 입자를 처음부터 가정했어요——즉 「진동하는 점」이 출발점이었어요. 하지만 장의 양자론에서는 「시트 그 자체」가 출발점이고, 진동(＝입자)은 양자화의 결과로서 나와요. 장이라는 보다 근본적인 대상에서 입자가 도출되는——이것이 틀로서 더 근본적인 거예요. 출발점이 한 단계 깊어졌다고 할 수 있어요.
⚪ 메이: 즉, 양자역학에서는 「입자가 있다」는 것을 전제로 파동함수를 썼지만, 장의 양자론에서는 「장이 있다」는 것만을 전제로, 입자의 존재도 입자 수의 변화도 전부 거기서 도출되는 거네요. 전제가 한 단계 줄어든 만큼, 설명력이 올라간 거야.
🟡 리나: 맞아요. 지금부터 다음 절 이후에서 할 일은, 이 직관적인 그림을 수식으로 엄밀하게 실현하는 것이에요. 구체적으로는:
- 장 \(\phi(x)\)를 Fourier 전개하여 「무한개의 독립적인 진동 모드」로 분해한다
- 각 모드를 조화진동자로서 양자화하고, 생성·소멸 연산자를 얻는다
- 생성 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)로 「진동을 1개 늘린다」= 입자를 1개 생성한다
- 다입자 상태를 포함하는 Fock 공간을 구성한다
고무시트의 비유로 말하면, 「시트에 달리는 파를 정현파의 중첩으로 분해하고, 각 파를 양자화하는」 절차가 돼요. 그럼 수식으로 실현해 나갈게요.
4.4 Fourier 전개와 조화진동자로의 분해¶
🟡 리나: 그럼 실제로 손을 움직여 볼게요. 먼저 장을 Fourier(푸리에) 전개해요.
🔵 카이: Fourier 전개는, 파의 중첩으로 나타내는 거죠. 왜 그렇게 하면 계산이 쉬워지나요?
🟡 리나: 핵심을 찌르는 질문이네요. Klein-Gordon 방정식을 떠올려 봐요.
이것을 성분으로 쓰면
여기서 장을 공간 방향만 Fourier 변환해요. 목적은 「편미분방정식을, 각 모드별 상미분방정식(시간만의 방정식)으로 분해하는」 것이에요. 공간 미분 \(\nabla^2\)는 Fourier 변환으로 대수적인 인자로 바뀌지만, 시간 미분 \(\ddot{\phi}\)는 그대로 남기고 싶어요——그래서 시간은 그대로 두고 공간만 변환하는 거예요.
⚪ 메이: 편미분방정식을, 독립적인 모드별 상미분방정식으로 「풀어내기」 위해 Fourier 변환하는 거네요.
🟡 리나: 그래요. Fourier 변환이란, 장을 「다양한 파장의 평면파 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)의 중첩」으로 나타내는 것이에요.
\(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\)는 「운동량 \(\mathbf{p}\)에 대응하는 평면파가 얼마나의 진폭으로 포함되어 있는가」를 나타내는 Fourier 계수로, 시간의 함수예요. 공간 미분 \(\nabla^2\)는 Fourier 변환으로 대수적인 인자 \(-|\mathbf{p}|^2\)로 바뀌지만, 시간 미분 \(\ddot{\phi}\)는 그대로 남기고 싶어요——그러면 각 모드가 「시간만의 미분방정식」이 되어서, 조화진동자로 다룰 수 있어요. 여기서 Fourier 변환의 변수 \(\mathbf{p}\)를 「운동량」이라고 부르는 건, 양자역학의 de Broglie(드브로이) 관계 \(p = \hbar k\)에서 유래해요. 자연단위계(\(\hbar = 1\))에서는 파수 \(k\)와 운동량 \(p\)가 같은 수치가 되니까, Fourier 변환의 변수를 그대로 운동량이라고 부를 수 있어요. 분모의 \((2\pi)^{3/2}\)는 규격화 인자예요. 이것은 「변환하고 나서 역변환하면 원래대로 돌아온다」는 것을 보장하기 위한 약속이고, 역변환은
예요. 변환 (4.8)과 역변환 (4.8') 양쪽에 \((2\pi)^{3/2}\)가 균등하게 들어가는 유파를 쓰고 있어요.
🔵 카이: 왜 이 규격화로 정합성이 맞는 건가요?
🟡 리나: 구체적으로 해볼게요. 식 (4.8)의 \(\phi(t, \mathbf{x})\)에 역변환 식을 대입해서 \(\tilde{\phi}\)를 소거해 봐요. 그러면 \(\mathbf{x}'\) 적분 앞에 \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \times \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} = \frac{1}{(2\pi)^3}\)이 나와요. 남은 \(\mathbf{x}'\) 적분은
이것은 @chapter:qm/appendix_c의 식 (C.30)의 3차원판이에요. 델타함수가 나오니까, \(\mathbf{q}\) 적분이 \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\)로 고정되어서, 원래의 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p})\)가 복원돼요. 요컨대, 변환→역변환의 왕복에서 분모에 \((2\pi)^3\)이 나오고, 그것이 델타함수의 적분 표현의 \((2\pi)^3\)과 딱 일치하니까, 원래 함수가 복원되는——그것뿐이에요. 교과서에 따라서는 \((2\pi)^3\)을 한쪽에 모으는 유파도 있지만, 물리적 결과에는 영향을 주지 않아요.
🔵 카이: Fourier 계수 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\)는 일반적으로 복소수잖아요? 그런데 \(\phi\)는 실수 스칼라장이니까 실수일 텐데…… 모순되지 않나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 실수 스칼라장의 경우에는 \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}, t) = \tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)^*\)라는 조건이 붙으니까, 전체적으로 \(\phi(t, \mathbf{x})\)는 실수가 돼요(이건 나중에 모드 전개할 때 중요해질 거예요). 왜 이 조건으로 실수가 되는지 간단히 봐두면, 식 (4.8)의 복소켤레를 취하면 \(\phi^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \tilde{\phi}(\mathbf{p})^*\)이고, 여기서 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)로 치환하면 \(\phi^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \tilde{\phi}(-\mathbf{p})^*\)이 돼요. \(\phi = \phi^*\)가 성립하려면 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}) = \tilde{\phi}(-\mathbf{p})^*\)가 필요——즉 실수성과 Fourier 계수의 조건은 동치예요. 이것을 식 (4.7)에 대입하면——
⚪ 메이: 실수성이 Fourier 계수에 조건을 부과하는 거네요. 그래서 편미분방정식이 어떻게 되는지 봐볼까요.
🟡 리나: \(\nabla^2\)가 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)에 작용하면 \(-|\mathbf{p}|^2\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)가 되니까(확인: \(\frac{\partial}{\partial x}e^{i p_x x} = i p_x\, e^{i p_x x}\)이니까 2번 미분하면 \((i p_x)^2 = -p_x^2\)이 나와요. \(y\), \(z\) 방향도 마찬가지로, 합계 \(\nabla^2 e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} = -(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} = -|\mathbf{p}|^2\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)), 식 (4.8)을 식 (4.7)에 대입하면
\(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)는 서로 다른 \(\mathbf{p}\)에 대해 선형독립이니까, 괄호 안이 모든 \(\mathbf{p}\)에서 0이어야 해요. (이것은 「\(a\sin x + b\sin 2x + \cdots = 0\)이 모든 \(x\)에서 성립하면 \(a = b = \cdots = 0\)」이라는 Fourier 급수의 유일성과 같은 논리예요. 구체적으로는, 양변에 \(e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\)를 곱해서 \(\mathbf{x}\)로 적분하면, 직교성에 의해 \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)인 항만 남아서, 괄호 안이 0임이 보여져요.) 따라서, 각 \(\mathbf{p}\)에 대해
⚪ 메이: 각 운동량 모드가 독립적인 미분방정식을 만족하는 거네요. 게다가 \(t\)만의 미분방정식이 되었어요.
🔵 카이: 이거, \(\ddot{X} + \omega^2 X = 0\) 형태잖아요! 양자역학에서 엄청 많이 했던 조화진동자의 운동방정식이죠!
🟡 리나: 바로 그래요! 여기가 장의 양자론의 핵심이에요. Klein-Gordon 장을 Fourier 변환하면, 운동량 \(\mathbf{p}\)로 라벨된 무한개의 독립적인 조화진동자의 모임으로 분해되는 거예요. 각 진동자의 각진동수는
이고, 이것은 상대론적 에너지-운동량 관계 \(E = \sqrt{p^2 + m^2}\) 그 자체예요.
⚪ 메이: 즉, 장의 양자화는 「무한개의 조화진동자를 양자화하는」 것으로 귀착되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 조화진동자의 양자화라면, 「양자역학」편 제 12 장에서 배운 생성·소멸 연산자를 그대로 쓸 수 있어요. 그럼, 그 방법을 장의 언어로 번역해 나갈게요. 전체상을 그림 4.2「Klein-Gordon장의 Fourier 모드 분해」에 정리해 뒀으니, 확인해 봐요.
그림 4.2: Klein-Gordon장의 Fourier 모드 분해. Klein-Gordon 장을 Fourier 전개하면, 각 운동량 모드가 독립적인 조화진동자가 된다. 진동수 \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)는 상대론적 에너지-운동량 관계 그 자체.
✅ 이해도 체크: Klein-Gordon 장을 공간 방향으로 Fourier 변환하면, 편미분방정식이 어떤 형태의 방정식으로 분해될까요? 그것은 왜 중요할까요?
답
각 운동량 모드 \(\mathbf{p}\)마다 독립적인 상미분방정식 \(\ddot{\tilde{\phi}} + \omega_{\mathbf{p}}^2 \tilde{\phi} = 0\)으로 분해된다. 이것은 조화진동자의 운동방정식과 같은 형태이며, 양자역학에서 확립된 생성·소멸 연산자 방법을 그대로 적용할 수 있기 때문에, 장의 양자화가 체계적으로 수행 가능하게 된다.
✅ 이해도 체크: Klein-Gordon 장을 Fourier 변환하면, 각 모드의 진동수 \(\omega_{\mathbf{p}}\)는 어떻게 표현될까요? 이것은 어떤 관계식에 대응할까요?
답
\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\). 이것은 상대론적 에너지-운동량 관계 \(E^2 = p^2 + m^2\)(자연단위계)에 대응한다. 즉, 각 Fourier 모드의 진동수가, 그 모드에 대응하는 입자의 에너지를 준다.
4.5 생성·소멸 연산자의 도입——장의 모드 전개¶
조화진동자의 복습에서 장의 이론으로¶
🟡 리나: 양자역학의 조화진동자에서, 생성·소멸 연산자가 어떻게 정의되었는지 기억나요?
🔵 카이: 네. 확실히 Hamiltonian \(\hat{H} = \frac{1}{2}\hat{p}^2 + \frac{1}{2}\omega^2 \hat{q}^2\)(자연단위계 \(\hbar = 1\)에서, 진동자의 질량을 \(m = 1\)로 한 경우)에 대해, 소멸 연산자와 생성 연산자를
로 정의하고, 교환관계 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\)이 성립하는 거였어요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 장의 이론에서 이 공식이 그대로 쓸 수 있는 이유를 보충해 둘게요. 식 (4.9)를 보면, 각 Fourier 모드 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\)는 \(\ddot{\tilde{\phi}} + \omega_{\mathbf{p}}^2 \tilde{\phi} = 0\)을 만족해요. 켤레운동량은 \(\tilde{\pi} = \dot{\tilde{\phi}}\)예요. 여기서 유한한 상자(부피 \(V\))에 넣어서 운동량을 이산화하면, 장의 동시각 교환관계 (4.4)의 우변 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)가 \(V^{-1}\sum_{\mathbf{p}} e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\)로 바뀌어요. 이것을 Fourier 변환하면, 각 모드의 교환관계가 \([\tilde{\phi}_{\mathbf{p}}, \tilde{\pi}_{\mathbf{q}}] = i\,\delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\)가 돼요——즉 다른 모드 간은 0이고, 같은 모드에서는 \(i\)가 되는 거예요. 이것은 각 모드가 독립적인 「질량 1, 각진동수 \(\omega_{\mathbf{p}}\)」의 조화진동자와 같은 구조를 가지고 있다는 뜻이에요. 그래서 위의 공식이 그대로 적용될 수 있는 거예요(연속 극한에서는 \(\delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\)가 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)로 돌아가지만, 연산자의 정의 자체는 이산의 경우와 같은 형태가 돼요).
🔵 카이: 그렇군요, 각 Fourier 모드가 독립적인 조화진동자와 같은 교환관계를 가지니까, 양자역학의 공식을 그대로 쓸 수 있는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 역으로 풀면
이고, Hamiltonian은 \(\hat{H} = \omega\left(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right)\)가 돼요. 확인해 봐요——\(\hat{a}^\dagger \hat{a} = \left(\sqrt{\frac{\omega}{2}}\hat{q} - \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\hat{p}\right)\left(\sqrt{\frac{\omega}{2}}\hat{q} + \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\hat{p}\right)\)를 전개하면, \(\hat{q}\hat{q}\)와 \(\hat{p}\hat{p}\)의 항에 더해서, \(\hat{q}\hat{p}\)와 \(\hat{p}\hat{q}\)의 교차항이 나와요. 구체적으로는 \(\frac{\omega}{2}\hat{q}^2 + \frac{1}{2\omega}\hat{p}^2 + \frac{i}{2}(\hat{q}\hat{p} - \hat{p}\hat{q})\)이고, 마지막 괄호는 교환자 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\) 그 자체예요. 대입하면 \(\frac{\omega}{2}\hat{q}^2 + \frac{1}{2\omega}\hat{p}^2 - \frac{1}{2}\)이 돼요. \(\hat{H} = \frac{1}{2}\hat{p}^2 + \frac{1}{2}\omega^2\hat{q}^2\)이니까 \(\frac{\omega}{2}\hat{q}^2 + \frac{1}{2\omega}\hat{p}^2 = \frac{1}{\omega}\hat{H}\)이고, 결국 \(\hat{a}^\dagger \hat{a} = \frac{1}{\omega}\hat{H} - \frac{1}{2}\)이 되어서, \(\hat{H} = \omega(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2})\)가 얻어져요. 「양자역학」편 제 9 장에서 자세히 했으니, 여기서는 결과만 사용할게요.
⚪ 메이: \(q\)를 \(a\)와 \(a^\dagger\)의 합으로 표현하는 형태네요. 이것이 장의 모드 전개에 쓰이는 건가.
🟡 리나: 바로 그래요. 이 역변환의 형태——\(q\)를 \(a\)와 \(a^\dagger\)로 표현하는 형태——가, 지금부터 장의 모드 전개에서 쓰는 형태에 직결돼요. 지금의 Klein-Gordon 장은, 각 운동량 \(\mathbf{p}\)마다 각진동수 \(\omega_{\mathbf{p}}\)의 조화진동자가 되어 있어요. 그러니까, 각 모드에 대해 소멸 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 생성 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)를 도입하는 거예요.
구체적으로는, 식 (4.8)의 Fourier 계수 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\)가 각진동수 \(\omega_{\mathbf{p}}\)의 조화진동자의 「좌표」에 해당하니까, 카이가 복습해 준 \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\)의 대응으로 쓰고 싶어요. 조화진동자에서는 \(q\)를 \(a\)와 \(a^\dagger\)로 표현했잖아요. 마찬가지로, 각 모드 \(\mathbf{p}\)에 소멸 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)를 배정해서
라고 써요. 왜 \(\hat{a}_{-\mathbf{p}}^\dagger\)가 들어가냐면, 실수 스칼라장의 조건을 만족시키기 위해서예요. 고전장에서 실수성 조건은 \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}) = \tilde{\phi}(\mathbf{p})^*\)(복소켤레)였잖아요. 양자화해서 연산자로 만든 후에는, 복소켤레 \(*\)가 에르미트 켤레 \(\dagger\)로 바뀌어요. 왜냐하면, 고전적으로 「\(\phi\)가 실수」라는 것은 \(\phi = \phi^*\)인 것이지만, 연산자의 세계에서는 「\(\hat{\phi}\)가 실수적(＝관측량으로서 실수의 측정값을 돌려준다)」이라는 것은 \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^\dagger\)인 것——즉 에르미트성——이니까요. 「양자역학」편 제 8 장에서 배웠듯이, 에르미트 연산자의 고유값은 반드시 실수가 되는 거였죠. 확인해 봐요: 이 식에서 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)로 하면 \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}) = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}(\hat{a}_{-\mathbf{p}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger)\)이 돼요. 한편, 원래 식의 에르미트 켤레는 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p})^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger + \hat{a}_{-\mathbf{p}})\)예요. 확실히 \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}) = \tilde{\phi}(\mathbf{p})^\dagger\)가 성립하네요.
🔵 카이: 그렇구나, 실수성이 에르미트성으로 번역되고, 그것이 \(\hat{a}_{-\mathbf{p}}^\dagger\)의 필요성을 결정하는 거군요.
🟡 리나: 이것을 식 (4.8)에 대입해서 정리할게요. \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)의 항은 그대로 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)가 곱해져요. \(\hat{a}_{-\mathbf{p}}^\dagger\)의 항은, 적분변수를 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)로 치환하면(적분 범위는 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)이니까 변하지 않아요), \(e^{i(-\mathbf{p})\cdot\mathbf{x}} = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)가 나오고, 연산자는 \(\hat{a}_{-(-\mathbf{p})}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 돼요. 이렇게 해서 장의 연산자의 모드 전개가 얻어져요. 먼저 시각 \(t = 0\)에서의 형태를 쓸게요(시간 발전은 바로 뒤에 넣을 테니까). 식 (4.8)의 Fourier 계수 \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\)는 시간의 함수이지만, \(t = 0\)에서의 값을 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)로 나타낸 게 다음 식이에요. 인수가 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\)로 공간 좌표만 되어 있는 건, \(t = 0\)으로 고정하고 있기 때문이에요.
🔵 카이: 잠깐 확인할게요. 나중에 켤레운동량 \(\hat{\pi} = \dot{\hat{\phi}}\)를 계산할 때, \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\) 인자는 어떻게 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(\hat{\phi}\)를 시간 미분하면, \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\)에서 \(-i\omega_{\mathbf{p}}\)가, \(e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\)에서 \(+i\omega_{\mathbf{p}}\)가 나와요. 그러니까 \(\hat{\pi}\)의 계수는 \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \times (-i\omega_{\mathbf{p}}) = (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}}\)가 돼요. 조화진동자에서 \(p = \dot{q}\)를 계산했을 때, \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a\,e^{-i\omega t} + a^\dagger e^{i\omega t})\)를 미분해서 \(p = (-i)\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a\,e^{-i\omega t} - a^\dagger e^{i\omega t})\)가 된 것과 같은 구조예요.
🔵 카이: 잠깐만요. 왜 \(\hat{a}\)와 \(\hat{a}^\dagger\) 둘 다 들어가 있는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 실수 스칼라장 \(\hat{\phi}\)는 에르미트(Hermitian) 연산자여야 해요. 즉 \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\)가 성립해야 해요. 식 (4.11)의 에르미트 켤레를 취하면, \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \to \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)이고 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \to e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)가 돼요. 거기에 적분변수를 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)로 치환하면(적분 범위는 전 공간이니까 변하지 않고, \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\)이니까), \(\hat{a}\)의 항과 \(\hat{a}^\dagger\)의 항이 뒤바뀌어서, 확실히 \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\)가 성립해요. 만약 \(\hat{a}\)만이었다면, 에르미트성이 깨져 버려요.
⚪ 메이: 조화진동자에서 \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\)라고 쓴 것과 같은 구조네요. \(q\)가 에르미트이니까 \(a\)와 \(a^\dagger\) 둘 다 필요했던 거야.
🟡 리나: 그래요. 식 (4.11)의 각 요소의 의미를 정리해 둘게요.
표 4.4: 장의 연산자 전개에서 각 기호의 의미
| 기호 | 의미 |
|---|---|
| \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) | 운동량 \(\mathbf{p}\)의 입자를 소멸시키는 연산자 |
| \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) | 운동량 \(\mathbf{p}\)의 입자를 생성하는 연산자 |
| $\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{ | \mathbf{p} |
| \(1/\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\) | 각 모드의 규격화 인자(조화진동자의 \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\)에서 유래. 이 형태를 선택하면 적분 측도 \(d^3p/(2\omega_{\mathbf{p}})\)가 Lorentz 변환에서 불변이 된다) |
| \((2\pi)^{3/2}\) | Fourier 변환의 규격화 인자 |
✅ 이해도 체크: 실수 스칼라장의 연산자 \(\hat{\phi}\)의 모드 전개에 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) 둘 다 포함되는 이유는 무엇일까요?
답
실수 스칼라장은 에르미트 연산자(\(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\))여야 한다. 에르미트 켤레를 취하면 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 바뀌므로, 양쪽 항이 포함되어 있지 않으면 에르미트성이 성립하지 않는다. 이것은 조화진동자에서 좌표 연산자 \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\)에 \(a\)와 \(a^\dagger\) 둘 다 필요한 것과 같은 이유이다.
켤레운동량 밀도의 모드 전개¶
🟡 리나: 식 (4.11)은 \(t = 0\)에서의 장의 연산자 전개예요(시간 의존은 아직 넣지 않았어요). 장의 양자론에서는 보통 Heisenberg(하이젠베르크) 묘사——연산자가 시간 발전하고, 상태벡터는 고정——를 써요. 왜냐하면, 장의 양자론에서는 공간과 시간을 대등하게 다루고 싶으니까, 장의 연산자 \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\)가 시공간의 함수로서 행동하는 Heisenberg 묘사가 자연스러워요.
🔵 카이: Schrödinger 묘사라면 상태벡터가 시간 발전하니까, 연산자는 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\)처럼 공간만의 함수가 되어 버려요. 그러면 시공간을 대등하게 다룰 수 없군요.
🟡 리나: 맞아요. 「양자역학」편 제 13 장에서 배웠듯이, Heisenberg 묘사에서는 연산자의 시간 의존성이 \(e^{iHt} \hat{O} e^{-iHt}\)로 주어져요. 자유장의 경우, 각 Fourier 모드는 각진동수 \(\omega_{\mathbf{p}}\)의 조화진동자이니까——양자역학의 조화진동자에서 \(a(t) = a(0)\,e^{-i\omega t}\)이었던 것과 같은 이치로——\(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)에는 \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\), \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)에는 \(e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\)가 곱해져요. 구체적으로는, Hamiltonian이 \(\omega(a^\dagger a + 1/2)\)이니까 교환관계 \([H, a] = -\omega a\)가 성립해요(\([a^\dagger a, a] = a^\dagger [a, a] + [a^\dagger, a]\,a = 0 + (-1)\,a = -a\)를 사용했어요). 이 교환관계는 「\(H\)를 \(a\)에 작용시키면 \(-\omega\)배의 \(a\)가 나온다」는 것을 의미하고, 연산자의 지수함수 공식 \(e^{iHt} a\, e^{-iHt} = a + (it)[H, a] + \frac{(it)^2}{2!}[H, [H, a]] + \cdots = a(1 + (-i\omega t) + \frac{(-i\omega t)^2}{2!} + \cdots) = a\, e^{-i\omega t}\)이 돼요. 즉 \([H, a] = -\omega a\)가 반복적으로 쓸 수 있으니까, Taylor 전개의 각 항이 \((-i\omega t)^n/n!\)을 만들어내서, 지수함수로 정리되는 거예요.
🔵 카이: 그렇구나, 그래서 각 모드의 시간 발전이 \(e^{\pm i\omega_{\mathbf{p}} t}\)가 되는 거군요.
🟡 리나: 그래요, 각 모드에서 같은 일이 일어나요. (이 결과는 나중에 Hamiltonian을 모드 전개했을 때, 식 (4.24)에서 다시 확인할 수 있을 거예요.) 시간 발전을 포함한 완전한 형태는 이렇게 돼요.
⚪ 메이: \(t = 0\)의 식 (4.11)에 시간 인자 \(e^{\mp i\omega_{\mathbf{p}} t}\)가 붙은 형태네요. 4원 내적 \(p \cdot x\)를 쓰면 더 간결하게 쓸 수 있을 것 같아요.
🟡 리나: 맞아요. (나중에 4원 내적 표기를 도입하면, \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} = e^{-ip\cdot x}\)로 간결하게 쓸 수 있어요.) 이후, 시간 의존을 포함한 완전한 형태가 필요할 때는 식 (4.11a)를 참조해 주세요. 켤레운동량 밀도 \(\hat{\pi} = \dot{\hat{\phi}}\)는, 이것을 시간으로 미분하면 얻어져요.
동시각 교환관계의 검증에서는 임의의 동시각 \(t\)에서 성립하지만, \(e^{\pm i\omega_{\mathbf{p}} t}\)의 인자는 \(\hat{\phi}\)와 \(\hat{\pi}\)의 교환자를 취할 때 상쇄되니까, 결과는 \(t\)에 의존하지 않아요(구체적으로는, \(\hat{\phi}\)의 \(\hat{a}\) 항에는 \(e^{-i\omega t}\)가, \(\hat{\pi}\)의 \(\hat{a}^\dagger\) 항에는 \(e^{+i\omega t}\)가 곱해지니까, 곱을 취하면 \(e^{-i\omega t} \cdot e^{+i\omega t} = 1\)로 시간 인자가 사라져요). 계산의 전망을 좋게 하기 위해 \(t = 0\)으로 쓸게요. \(t = 0\)에서는 식 (4.11a)가 식 (4.11)로 돌아가고, 식 (4.12)에서 시간 인자 \(e^{\pm i\omega_{\mathbf{p}} t}\)를 1로 놓으면
이 돼요(식번호의 프라임 \('\)은 「식 (4.12)의 \(t = 0\) 버전」이라는 뜻이에요). 이하 교환관계의 검증에서는 이 \(t = 0\) 형태를 쓸게요.
🔵 카이: \(\hat{a}\) 앞이 플러스, \(\hat{a}^\dagger\) 앞이 마이너스로 되어 있어요. 조화진동자의 \(p = -i\sqrt{\omega/2}(a - a^\dagger)\)와 같은 구조네요.
생성·소멸 연산자의 교환관계¶
🟡 리나: 여기가 중요한 포인트예요. 장의 동시각 교환관계 (4.4)–(4.6)으로부터, 생성·소멸 연산자의 교환관계가 도출돼요. 결과는 이래요.
🔵 카이: 양자역학의 \([a, a^\dagger] = 1\)이 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)로 바뀌었어요! 이것도 이산→연속의 대응이네요.
🟡 리나: 맞아요. 확인해 볼게요. 식 (4.11)과 (4.12')(\(t = 0\) 형태)를 동시각 교환관계 (4.4)에 대입해요. 좀 긴 계산이지만, 핵심은 Fourier 변환의 직교성
을 쓰는 것이에요. (식 (4.8)의 규격화 인자 \((2\pi)^{3/2}\)가 2개 곱해져서 분모에 \((2\pi)^3\)이 나오니까, 식 (4.15)가 그대로 쓸 수 있어요.) 구체적으로 봐볼게요. \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\)를 계산할게요. 식 (4.11)과 (4.12)를 대입해서
전개를 꼼꼼히 봐볼게요. \(\hat{\phi}\)와 \(\hat{\pi}\)의 교환자를 계산할 때, \([\hat{a}, \hat{a}] = 0\)과 \([\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger] = 0\)으로부터, 살아남는 것은 \(\hat{a}\)-\(\hat{a}^\dagger\)의 교차항——즉 \(\hat{\phi}\)의 \(\hat{a}\) 부분과 \(\hat{\pi}\)의 \(\hat{a}^\dagger\) 부분, 또는 그 반대 조합——뿐이에요.
🔵 카이: 같은 종류끼리의 교환자는 0이니까, \(\hat{a}\)와 \(\hat{a}^\dagger\)가 「교차하는」 항만 남는 거군요.
🟡 리나: 맞아요. 식 (4.11)에서 \(\hat{\phi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 항의 계수는 \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) 항의 계수는 \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\).
식 (4.12')에서 \(\hat{\pi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) 항의 계수는 \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{q}}}{2}}\, e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\), \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) 항의 계수는 \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} (+i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{q}}}{2}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\)(식 (4.12')에서 \(\hat{a}^\dagger\) 앞에 마이너스가 있고, 게다가 전체에 \((-i)\)가 곱해지니까 \((-i) \times (-1) = +i\)).
교차항은 2개(이하에서는 Fourier 변환의 규격화 인자 \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\)는 생략하고, 연산자 앞의 부호와 진폭 인자에만 주목할게요. 최종적으로 \((2\pi)^{3/2}\)는 2개 곱해져서 \((2\pi)^3\)으로서 분모에 나와요):
- \(\hat{\phi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 항 × \(\hat{\pi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) 항 → 식 (4.12')에서 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) 앞에는 전체적으로 \((-i) \times (-1) \times \sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2} = (+i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\)가 곱해져 있어요(\(\hat{\pi}\)의 전개식에서 전체에 \((-i)\)가 곱해지고, 거기에 \(\hat{a}^\dagger\) 앞에 마이너스가 있으니까). 교환자는 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\). 전체 기여는 \((+i)\) × (양의 인자) × \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)
- \(\hat{\phi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) 항 × \(\hat{\pi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) 항 → 식 (4.12')에서 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) 앞에는 전체적으로 \((-i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\)가 곱해져 있어요. 교환자는 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = -[\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = -\delta^{(3)}(\mathbf{q} - \mathbf{p}) = -\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)(여기서 \([A, B] = -[B, A]\)라는 교환자의 반대칭성을 쓰고, 나아가 델타함수의 짝함수성 \(\delta^{(3)}(\mathbf{q} - \mathbf{p}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)(@chapter:qm/appendix_c 참조)를 썼어요). \(\hat{\pi}\)의 \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) 항의 계수 \((-i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\)와, 교환자에서 나오는 \((-1)\)을 곱하면 \((-i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2} \times (-1) = (+i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\)가 되어서, 전체 기여는 \((+i)\) × (양의 인자) × \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)
⚪ 메이: 2개의 교차항이 같은 부호로 기여하는 거네요. 합산이 쉬워질 것 같아요.
🟡 리나: 정리하면
\(\mathbf{q}\) 적분이 델타함수로 \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\)에 고정되고, \(\omega_{\mathbf{q}} = \omega_{\mathbf{p}}\)가 돼요. 또한 규격화 인자는 \((2\pi)^{3/2} \times (2\pi)^{3/2} = (2\pi)^3\)이 분모에 나오고, 진폭 인자는 \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \times \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} = \frac{1}{2}\)가 되니까
제2항에서 \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)로 치환하면(적분 범위는 전 공간이니까 변하지 않아요), 양쪽 항이 모두 \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\)가 되어서
🔵 카이: 오, 제대로 동시각 교환관계가 재현되었어요! 식 (4.13)의 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)를 가정하면, 식 (4.4)의 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)가 나오는 거군요.
⚪ 메이: 반대로 말하면, 장의 교환관계와 생성·소멸 연산자의 교환관계는 서로 동치인 조건이라는 거네요. 한쪽을 가정하면, 다른 쪽이 도출되는.
✅ 이해도 체크: 식 (4.13)에서 \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)일 때, \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger]\)의 값은 어떻게 될까요? 이것은 양자역학의 어떤 관계식에 대응할까요?
답
\([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{0})\). 이것은 형식적으로 무한대이지만, 이것은 연속적인 운동량 라벨을 사용하고 있는 데서 유래한다. 이산적인 상자에 넣은 경우에는 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = 1\)이 되어서, 양자역학의 조화진동자의 \([a, a^\dagger] = 1\)에 그대로 대응한다.
📝 연습문제:
- 동시각 교환관계의 도출 → 문제 M-1. 동시각 교환관계로부터 생성·소멸 연산자의 교환관계 도출
4.6 Fock 공간——입자가 장에서 태어나다¶
🟡 리나: 생성·소멸 연산자를 손에 넣었으니, 드디어 「입자」를 만들어낼 수 있어요. 양자역학의 조화진동자에서, 바닥상태 \(|0\rangle\)에 생성 연산자 \(a^\dagger\)를 반복해서 작용시켜서 들뜬상태를 만들었잖아요. 장의 양자론에서도 같은 일을 해요.
진공 상태¶
🟡 리나: 먼저 진공(vacuum) \(|0\rangle\)을 정의해요. 이것은 「입자가 하나도 없는 상태」로, 모든 소멸 연산자로 사라지는 상태예요.
🔵 카이: 조화진동자에서 「더 이상 사다리를 내려갈 수 없는」 바닥 상태 \(|0\rangle\)에 대응하는 거군요.
1입자 상태¶
🟡 리나: 진공에 생성 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)를 1번 작용시키면, 운동량 \(\mathbf{p}\)를 가진 입자가 1개 있는 상태가 만들어져요.
이 입자의 에너지는 \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)예요.
🔵 카이: 장을 양자화했을 뿐인데, 입자가 「나왔다」는 건가요? 처음부터 입자를 가정한 것도 아닌데?
🟡 리나: 거기가 장의 양자론에서 가장 아름다운 부분이에요. 우리는 「질량 \(m\)의 스칼라장」의 Lagrangian을 쓰고, 그것을 정준양자화했을 뿐이에요. 입자를 손으로 넣은 게 아니에요. 그런데, 장의 Fourier 모드를 양자화했더니, 각 모드의 들뜸이 자동적으로 입자로서 행동하는 거예요.
다입자 상태¶
🟡 리나: 생성 연산자를 여러 번 작용시키면, 다입자 상태도 만들 수 있어요.
여기서 중요한 성질이 있어요. 식 (4.14)에서 \([\hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{p}_2}^\dagger] = 0\)이니까
즉
🔵 카이: 입자를 바꿔도 상태가 변하지 않는다…… 이건 무슨 의미가 있나요?
🟡 리나: 대단히 큰 의미가 있어요. 이것은 Bose-Einstein(보즈-아인슈타인) 통계——즉, 교환관계로 양자화한 장의 입자는 자동적으로 보손이 된다는 것이에요. 「양자역학」편 제 25 장에서 배운 「동종 입자의 교환 대칭성」이, 여기서는 교환관계로부터 자동적으로 도출되고 있어요.
⚪ 메이: 그렇구나, 양자역학에서는 교환 대칭성을 「가정」으로 넣었지만, 장의 양자론에서는 교환관계라는 하나의 원리에서 도출되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 스칼라장을 교환관계로 양자화하면, 입자는 자동적으로 boson(보손)이 돼요. 이것은 우연이 아니라, 스핀과 통계의 관계——정수 스핀의 장은 교환관계로 양자화되어 boson이 되고, 반정수 스핀의 장은 반교환관계로 양자화되어 fermion(페르미온)이 된다——이라는 깊은 정리의 일부예요. 제 5 장에서 Dirac 장을 다룰 때, 이 대비가 분명하게 보일 거예요.
Fock 공간¶
🟡 리나: 진공 \(|0\rangle\), 1입자 상태, 2입자 상태, ……와, 모든 입자 수의 상태를 모은 공간을 Fock(포크) 공간이라고 불러요. 먼저 기호를 정의해 둘게요. \(\mathcal{H}_n\)은 「입자 수가 정확히 \(n\)개인 상태」가 사는 Hilbert 공간(상태 공간)이에요. 예를 들어 \(\mathcal{H}_0\)은 진공 \(|0\rangle\)만을 포함하는 1차원 공간, \(\mathcal{H}_1\)은 1입자 상태 \(|\mathbf{p}\rangle\) 전체가 펼치는 공간(모든 운동량 \(\mathbf{p}\)의 입자 상태를 중첩할 수 있어요), \(\mathcal{H}_2\)는 2입자 상태 \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\) 전체가 펼치는 공간, ……이에요.
Fock 공간 \(\mathcal{F}\)는, 이들 전부를 합한 것이에요:
여기서 \(\oplus\)는 직합(direct sum) 이라 불리는 기호로, 「서로 겹침이 없는 독립적인 공간들을 합쳐서, 더 큰 공간을 만든다」는 뜻이에요.
예를 들어, \(x\)축 방향의 벡터 전체(1차원 공간)와 \(y\)축 방향의 벡터 전체(1차원 공간)를 생각해 봐요. 이 2개는 영벡터 이외에는 공통 원소가 없잖아요. 직합이란, 이 2개의 독립적인 공간을 「합쳐서」, 어느 쪽 공간의 원소도 포함하는 \(xy\) 평면 전체(2차원 공간)를 만드는 연산——이것이 직합의 이미지예요. 중요한 건, \(x\) 성분과 \(y\) 성분을 독립적으로 지정할 수 있다는 거예요. Fock 공간의 경우는, 입자 수 0의 「방」, 입자 수 1의 「방」, 입자 수 2의 「방」……을 전부 연결한 큰 건물 같은 거예요. 각 방은 서로 독립이고, 양자역학적인 중첩에 의해 여러 방에 걸치는 상태도 허용돼요.
⚠️ 기호 주의: 물리학에서는 관례적으로 Hilbert 공간도 Hamiltonian 밀도도 같은 \(\mathcal{H}\)를 써요. 구별하는 법은 간단해요——인덱스 \(n\)이 붙어 있으면 Hilbert 공간(\(\mathcal{H}_n\)), 붙어 있지 않으면 Hamiltonian 밀도라고 생각하면 돼요(뒤의 식 (4.23)에서 \(\hat{\mathcal{H}}\)가 Hamiltonian 밀도로서 등장해요).
🔵 카이: 건물 비유는 이해하기 쉬워요. 하지만, 양자역학에서는 상태의 중첩이 있잖아요. 서로 다른 「방」에 걸치는 상태도 있을 수 있나요?
🟡 리나: 바로 거기가 중요한 포인트예요. 양자역학적인 중첩에 의해 여러 방에 걸치는 상태도 허용돼요. 예를 들어 「입자가 0개인 상태와 1개인 상태가 반반으로 섞인 상태」도 Fock 공간에 포함되는 정당한 상태예요. 이것이, 단순히 각 섹터를 나열한 것이 아니라 「직합」으로서 하나의 공간으로 정리하는 의의예요.
🔵 카이: 양자역학에서는 입자의 수가 고정되어 있었는데, Fock 공간에서는 입자의 수조차 중첩이 되는 거군요. 하지만, 입자 수가 확정되지 않은 상태를, 측정하면 어떻게 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 측정하면 입자 수는 확정된 값으로 「붕괴」해요——양자역학의 측정 이야기와 같아요. 하지만 측정 전에는, 입자 수가 다른 상태의 중첩으로서 존재할 수 있어요. 생성 연산자로 입자를 추가하고, 소멸 연산자로 제거하는——이 구조가 Fock 공간의 전체상이에요. 그림 4.3「Fock 공간의 에너지 준위」를 봐봐요. 예를 들어, 불안정한 입자가 붕괴하는 도중의 상태는 「아직 붕괴하지 않은(입자 1개)」과 「이미 붕괴한(입자 0개 + 붕괴 생성물)」의 중첩이 돼요——이런 상태를 기술하려면, 입자 수가 다른 섹터에 걸치는 Fock 공간이 필요해요. 「양자역학」편 제 27 장에서 「입자의 생성·소멸이 필연이 된다」고 예고했었죠? Fock 공간이야말로, 그 예고를 수학적으로 실현한 무대예요.
🔵 카이: 붕괴 도중의 입자가 「아직 있다」와 「이제 없다」의 중첩…… Schrödinger의 고양이 같네요. 하지만 고양이와 달리, 이쪽은 정말로 미시 세계에서 일상적으로 일어나는 거잖아요? 그런데 잠깐요——만약 입자 수가 중첩이 되어 있다면, 「에너지 보존」은 어떻게 되나요? 입자가 1개인 상태와 0개인 상태에서는 에너지가 다를 텐데요?
🟡 리나: 예리한 질문이에요. 사실, 에너지 보존은 성립하고 있어요. 붕괴 전 입자의 에너지는, 붕괴 후 생성물의 운동 에너지와 질량 에너지의 합계와 같아요. 붕괴 과정에서 중첩이 되는 것은 「아직 붕괴하지 않은 상태」와 「붕괴 후의 상태」이지만, 둘 다 같은 전체 에너지를 가지고 있어요——에너지가 확정된 초기 상태에서 출발하면, 시간 발전으로 섞여드는 상태는 모두 같은 에너지를 가져요(Hamiltonian의 고유값이 같아요). 가속기에서는 입자의 붕괴가 매초 몇억 번이나 일어나고 있어서, 바로 이 Fock 공간의 기술이 필요해요. 검출기가 입자를 포착한 순간에, 입자 수의 중첩 상태가 확정된 입자 수로 붕괴하는——그것이 「붕괴를 관측했다」는 거예요.
그림 4.3: Fock 공간의 에너지 준위. 생성 연산자 \(\hat{a}^\dagger\)로 입자를 추가하고, 소멸 연산자 \(\hat{a}\)로 제거한다. 보손은 같은 상태에 몇 개든 들어갈 수 있다.
✅ 이해도 체크: Fock 공간이 양자역학의 Hilbert 공간과 본질적으로 다른 점은 무엇일까요?
답
양자역학의 Hilbert 공간은 입자 수가 고정된 상태만을 다루지만, Fock 공간은 입자 수 0(진공), 1, 2, ……의 모든 입자 수 섹터의 직합으로서 구성된다. 이에 따라, 입자 수가 변화하는 과정(생성·소멸)을 하나의 통일적인 틀에서 기술할 수 있다.
✅ 이해도 체크: 상태 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle\)는 무엇을 나타낼까요?
답
운동량 \(\mathbf{p}\)를 가진 동종 입자가 2개 있는 상태. boson이므로, 같은 운동량의 상태에 여러 입자가 들어가는 것이 허용된다. (정확한 규격화는 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger)^2 |0\rangle\)이지만, 연속적인 운동량 라벨의 경우에는 규격화의 취급에 주의가 필요하다.)
4.7 입자수 연산자와 Hamiltonian¶
입자수 연산자¶
🟡 리나: 양자역학의 조화진동자에서, 수 연산자 \(\hat{n} = a^\dagger a\)가 에너지 준위의 양자수를 셌던 거 기억나요? 장의 양자론에서도, 입자수 연산자(number operator) 를 정의할 수 있어요.
이것은 「운동량 \(\mathbf{p}\)를 가진 입자의 수」를 세는 연산자예요. 전체 입자수는
🔵 카이: 확인해 볼게요. \(\hat{N}_{\mathbf{p}}\)를 1입자 상태 \(|\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\)에 작용시키면
교환관계 \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)를 쓰면
\(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)일 때 「입자가 1개」, \(\mathbf{p} \neq \mathbf{q}\)일 때 「입자가 0개」를 돌려줘요. 제대로 입자 수를 세고 있어요!
Hamiltonian의 모드 전개¶
🟡 리나: 드디어 Hamiltonian을 생성·소멸 연산자로 다시 쓸게요. Hamiltonian은
식 (4.11a)와 (4.12)를 대입하고, 공간 적분을 실행하면——계산은 좀 길지만, 골격을 설명할게요. 예를 들어 \(\hat{\pi}^2\)의 항을 보면, \(\hat{\pi}\)에는 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 포함되어 있으니까, 제곱하면 \(\hat{a}\hat{a}\), \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\), \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\), \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\)의 4종류 항이 나와요. 공간 적분에서 Fourier의 직교성 (4.15)를 쓰면, \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\hat{a}_{\mathbf{q}}\)형의 항은 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})\)를 포함하고, \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\)형의 항은 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)를 포함해요.
🔵 카이: \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})\)와 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)의 2종류가 나오는 거군요.
🟡 리나: 그래요. \(\hat{\phi}^2\)와 \((\nabla\hat{\phi})^2\)의 항도 마찬가지로 처리하면, \(\hat{a}\hat{a}\)형과 \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\)형의 항은 Hamiltonian의 3개 항——\(\frac{1}{2}\hat{\pi}^2\), \(\frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2\), \(\frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\)——사이에서 부호가 반대가 되어 상쇄돼요(\(\hat{\pi}^2\)에서는 \(-\omega_{\mathbf{p}}^2\)의 계수로, \((\nabla\hat{\phi})^2\)에서는 \(+|\mathbf{p}|^2\)의 계수로, \(m^2\hat{\phi}^2\)에서는 \(+m^2\)의 계수로 나오지만, \(\omega_{\mathbf{p}}^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\)이니까 합계가 0이 돼요). 최종적으로 \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\)형과 \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\)형만 남아요.
⚪ 메이: 교차하지 않는 항이 딱 소거되네요——\(\omega_{\mathbf{p}}^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\)이라는 관계가 효과를 발휘하고 있어요.
🟡 리나: 맞아요. 자유장의 Lagrangian (4.1)은 시간 \(t\)에 명시적으로 의존하지 않으니까, 제 3 장의 Noether의 정리에서 봤듯이, 에너지(Hamiltonian)는 보존량——즉 시간에 의존하지 않아요. 그래서 \(t = 0\)에서 계산해도 일반적인 결과가 얻어져요. 결과는 이렇게 돼요.
🔵 카이: 제1항은 \(\omega_{\mathbf{p}} \hat{N}_{\mathbf{p}}\)이니까, 「각 모드의 입자 수 × 에너지」의 합산. 이건 이해돼요. 하지만 제2항의 \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)는 뭔가요? \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)는 무한대잖아요!
🟡 리나: 좋은 데 눈치챘네요. 이것이 영점 에너지(zero-point energy) 의 문제예요. 다음 섹션에서 자세히 논의할게요.
✅ 이해도 체크: Hamiltonian (4.24)의 제1항 \(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\)를 1입자 상태 \(|\mathbf{q}\rangle\)에 작용시키면 무엇이 얻어질까요?
답
\(\hat{H}|\mathbf{q}\rangle = \omega_{\mathbf{q}} |\mathbf{q}\rangle\)(영점 에너지 항을 무시한 경우). 즉, 운동량 \(\mathbf{q}\)의 1입자 상태의 에너지는 \(\omega_{\mathbf{q}} = \sqrt{|\mathbf{q}|^2 + m^2}\)이며, 상대론적 에너지-운동량 관계를 만족한다.
📝 연습문제:
- Hamiltonian의 모드 전개 계산 → 문제 M-2. Hamiltonian의 생성·소멸 연산자에 의한 표현
4.8 영점 에너지와 진공의 문제¶
🟡 리나: 식 (4.24)를 다시 한번 봐볼게요.
진공 상태 \(|0\rangle\)의 에너지를 계산하면
🔵 카이: 이거, 이중으로 무한대잖아요. \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)도 무한대이고, \(\omega_{\mathbf{p}}\)를 전 운동량에 걸쳐 적분하는 것도 무한대.
🟡 리나: 맞아요. 2종류의 무한대가 들어 있어요.
-
\(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)의 발산: 이것은 부피의 무한대에서 유래해요. 유한한 상자 \(V\)에 넣으면 \(\delta^{(3)}(\mathbf{0}) \to V/(2\pi)^3\)이 되니까, 에너지 밀도는 유한해요. 즉 공간이 무한히 넓으니까 전체 에너지가 무한대가 되는 것뿐이에요.
-
\(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\)의 발산: 이쪽은 더 심각해요. 운동량 \(|\mathbf{p}| \to \infty\)에서 \(\omega_{\mathbf{p}} \to |\mathbf{p}|\)이니까, 고운동량 모드가 무한히 기여해요. 이것은 자외 발산(ultraviolet divergence) 이라고 불려요.
🔵 카이: 진공의 에너지가 무한대라니…… 물리적으로 문제가 되지 않나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 여기서 2가지 사고방식이 있어요.
정규순서——실용적인 처방전¶
🟡 리나: 첫 번째 사고방식은, 「보통의 실험에서 측정할 수 있는 것은 에너지의 차이뿐이니까, 진공 에너지는 0으로 재정의해 버리자」는 거예요. 이것을 실현하는 수학적 조작이 정규순서(normal ordering) 예요. 기호 \(:\!A\!:\)로 표현해요.
정규순서란, 생성 연산자 \(\hat{a}^\dagger\)를 항상 소멸 연산자 \(\hat{a}\)의 왼쪽에 나열하는 조작이에요. 나열을 바꿀 때 교환관계에서 나오는 상수 항은 버려요. 여기서 「상수 항」이란, 연산자를 포함하지 않는 순수한 수치를 말하고, 장의 양자론에서는 c-수(c-number) 라고 불러요. 「c」는 classical(고전적)의 머리글자로, \(1\)이라든가 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) 같은, 연산자가 아닌 보통의 수를 가리켜요. 반면, 연산자를 q-수(q-number)(quantum의 머리글자)라고 부르기도 해요. 왜 버려도 되냐면, 아까 말했듯이 보통의 실험에서는 에너지의 차이밖에 측정할 수 없으니까, 전체에 상수를 더하거나 빼도 물리적 예측은 변하지 않아요. 정규순서는 「진공의 에너지를 0으로 설정한다」는 기준점의 선택에 해당해요.
🔵 카이: 그렇구나, 에너지의 「원점」을 진공에 맞추는 조작이군요.
🟡 리나: 그래요. 구체적으로 봐볼게요. 교환관계 (4.13)에서 \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)잖아요. 정규순서에서는, 이 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)(c-수)를 버리고, \(\hat{a}^\dagger\)를 왼쪽으로 가져온 부분만 남겨요.
이것을 Hamiltonian에 적용하면
영점 에너지 항이 사라졌어요!
⚪ 메이: 즉 \(:\!\hat{H}\!:\, |0\rangle = 0\)이 되니까, 진공의 에너지를 0으로 정의한 셈이 되는 거네요.
🔵 카이: 하지만, 영점 에너지를 「버려도 된다」는 건, 좀 난폭하지 않나요? 정말로 물리적으로 의미가 없는 건가요?
영점 에너지는 정말로 무의미한가?¶
🟡 리나: 사실 그렇게 단정할 수만은 없어요. 영점 에너지의 차이는 물리적으로 관측 가능해요. 그 가장 유명한 예가 Casimir(카시미르) 효과로, 이 장의 마지막에 구체적으로 계산할 거예요.
또한, 또 하나 심각한 문제가 있어요. 일반상대론에서는, 에너지의 절대값이 중력장을 만들어 내요. 그래서 진공 에너지는 우주의 팽창에 영향을 줘요. 소박하게 계산한 진공 에너지 밀도와, 우주론적 관측에서 추정되는 값은, 무려 \(10^{120}\)배나 어긋나 있어요. 이것은 우주상수 문제(cosmological constant problem) 라고 불리며, 현대 물리학의 최대 미해결 문제 중 하나예요.
🔵 카이: \(10^{120}\)배!? 자릿수 차이에도 정도가 있지……
🟡 리나: 그래서, 정규순서는 「당장의 계산을 진행하기 위한 실용적 처방전」이지, 영점 에너지의 문제가 완전히 해결된 것은 아니에요. 이것은 장의 양자론의 한계 중 하나로서, 제 24 장에서 다시 다루게 될 거예요. 그림 4.4「영점 에너지와 정규순서」에 정규순서의 조작을 정리해 뒀으니 확인해 봐요.
그림 4.4: 영점 에너지와 정규순서. 정규순서 전에는 무한대의 영점 에너지가 존재하지만, 정규순서(생성 연산자를 왼쪽으로 나열)에 의해 진공 에너지를 0으로 재정의할 수 있다.
✅ 이해도 체크: 정규순서 \(:\!\hat{H}\!:\)를 취하면, 진공의 에너지는 얼마가 될까요? 왜 그렇게 될까요?
답
\(\langle 0|:\!\hat{H}\!:|0\rangle = 0\). 정규순서에서는 소멸 연산자가 오른쪽에 오므로, 진공에 작용하면 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\)에 의해 0이 된다. 즉, 진공 에너지를 0으로 재정의한 셈이 된다.
4.9 운동량 연산자¶
🟡 리나: 에너지뿐만 아니라, 운동량도 생성·소멸 연산자로 표현할 수 있어요. 제 3 장에서 Noether의 정리로부터, 공간 병진의 대칭성에 대응하는 보존량으로서 운동량을 도출했었잖아요. 정준 에너지-운동량 텐서 \(T^{\mu\nu}\)의 \(T^{0i}\) 성분이 운동량 밀도를 줘요. 구체적으로는 \(T^{0i} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\partial^i\phi = \pi\,\partial^i\phi\)예요. 여기서 주의할 점은, QFT 유파의 부호 규약(\(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\))에서는, 공간 인덱스를 올리면 부호가 반전된다는 거예요. 즉 \(\partial^i = \eta^{i\nu}\partial_\nu = \eta^{ii}\partial_i = (-1)\partial_i = -\partial_i\)예요(대각 계량이니까 \(\nu = i\)인 항만 남아요). \(\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}\)는 통상적인 공간 미분(\(\nabla\)의 \(i\) 성분)이니까, \(\partial^i\phi = -(\nabla\phi)_i\)가 돼요. 따라서 \(T^{0i} = -\pi\,(\nabla\phi)_i\)이고
예요. 음부호는 「QFT 유파의 계량으로 공간 인덱스를 올리면 마이너스가 붙는다」는 것에서 나와요.
🔵 카이: 부호 규약 때문에 음부호가 나오는 거군요. 직관적으로 이것이 올바른 운동량을 돌려주는지 확인할 수 있나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 부호가 올바른지 직관적으로 확인해 볼게요. 1차원에서 오른쪽으로 진행하는 파 \(\phi \propto e^{-i(\omega t - px)} = e^{i(px - \omega t)}\)(\(p > 0\))를 생각해 봐요. \(\nabla\phi = ip\,\phi\), \(\hat{\pi} = \dot{\phi} = -i\omega\,\phi\)이니까, \(-\hat{\pi}\,\nabla\hat{\phi} = -(-i\omega)(ip)\,|\phi|^2 = \omega p\,|\phi|^2 > 0\)으로, 제대로 양의 운동량을 돌려줘요. 직관적으로는, \(\nabla\hat{\phi}\)는 「장이 공간적으로 얼마나 변화하고 있는가」를 나타내고, \(\hat{\pi}\)는 「장의 시간 변화의 세기」를 나타내니까, 이 곱은 「장의 파가 어느 방향으로 얼마나의 세기로 진행하고 있는가」——즉 운동량 밀도——를 주는 거예요. 여기에 모드 전개 (4.11a), (4.12)를 대입하고 정규순서를 취하면——Hamiltonian 때와 마찬가지로 Fourier의 직교성을 쓰는 계산으로——
⚪ 메이: Hamiltonian (4.27)과 비교하면, 구조가 아주 비슷하네요. \(\omega_{\mathbf{p}}\)가 \(\mathbf{p}\)로 바뀌었을 뿐이야.
🔵 카이: 그렇다면, 에너지와 운동량을 하나로 합친 「4원 운동량」의 형태로도 쓸 수 있을 것 같네요.
🟡 리나: 맞아요. 4원 운동량 연산자로서 정리하면
1입자 상태 \(|\mathbf{q}\rangle\)에 작용시키면
🔵 카이: 1입자 상태는 에너지 \(\omega_{\mathbf{q}}\)와 운동량 \(\mathbf{q}\)를 가져요. 바로 질량 \(m\)의 상대론적 입자네요! 그런데, 2입자 상태 \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\)에 작용시키면, 에너지는 \(\omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2}\)가 되나요?
🟡 리나: 맞아요. 4원 운동량 전체로 말하면 \(:\!\hat{P}^\mu\!: |\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = (\omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2},\, \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2)\,|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\)예요. 에너지도 운동량도 단순히 더해져요——이것은 자유장이니까 상호작용이 없어서, 입자끼리 독립적으로 행동하는 것의 반영이에요. 장의 양자론에서는, 입자는 「장에 나중에 덧붙이는 것」이 아니라, 장의 양자적 들뜸으로서 자동적으로 나타나는 것이에요. 이것이 「양자역학」편 제 27 장에서 예고된 「장의 진동 모드가 입자이다」라는 세계관의 실현이에요.
✅ 이해도 체크: 4원 운동량 연산자 \(:\!\hat{P}^\mu\!:\)를 1입자 상태 \(|\mathbf{q}\rangle\)에 작용시키면 무엇이 얻어질까요? 이것은 무엇을 의미할까요?
답
\(:\!\hat{P}^\mu\!: |\mathbf{q}\rangle = (\omega_{\mathbf{q}}, \mathbf{q}) |\mathbf{q}\rangle\)가 얻어진다. 즉 1입자 상태는 에너지 \(\omega_{\mathbf{q}} = \sqrt{|\mathbf{q}|^2 + m^2}\)와 운동량 \(\mathbf{q}\)를 가지며, 상대론적 에너지-운동량 관계를 만족하는 질량 \(m\)의 입자로서 행동한다. 입자는 장의 양자화에서 자동적으로 나타난 것이며, 손으로 가정한 것이 아니다.
4.10 복소 스칼라장과 반입자의 출현¶
🟡 리나: 여기까지 실수 스칼라장을 양자화해 왔는데, 실수 스칼라장에서는 「입자」가 1종류밖에 나오지 않아요. 하지만 자연계에서는, 모든 입자에 반입자(antiparticle) 가 존재해요. 반입자는 어디서 오는 걸까요?
🔵 카이: 「양자역학」편 제 27 장에서, Dirac 방정식으로부터 반입자가 예언되었다는 이야기가 있었잖아요.
🟡 리나: 그래요. 하지만 실은, 더 단순한 장——복소 스칼라장(complex scalar field)——을 양자화하는 것만으로, 반입자가 자연스럽게 출현해요.
복소 스칼라장의 Lagrangian¶
🟡 리나: 복소 스칼라장 \(\psi(x)\)의 Lagrangian 밀도는 이렇게 쓸 수 있어요.
🔵 카이: 실수 스칼라장의 Lagrangian (4.1)과 비슷하지만, \(\phi^2\) 대신에 \(\psi^\dagger \psi\)로 되어 있어요. 왜 \(\psi^2\)가 아니라 \(\psi^\dagger \psi\)인가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(\psi\)는 복소수이니까, \(\psi^2\)은 일반적으로 복소수가 되어 버려요. 하지만 Lagrangian은 실수여야 해요(작용 \(S = \int d^4x\, \mathcal{L}\)이 실수가 아니면, 확률의 보존이 깨져요). \(\psi^\dagger \psi = |\psi|^2\)이면 항상 실수이고 비음이니까, 질량항으로서 적절해요. 운동에너지 항 \((\partial_\mu \psi^\dagger)(\partial^\mu \psi)\)도 같은 이유로 \(\psi^\dagger\)와 \(\psi\)의 쌍이 되어 있어요.
⚪ 메이: Lagrangian의 실수성이 \(\psi^\dagger \psi\)라는 조합을 요청하는 거네요.
🟡 리나: 그럼, 복소장의 구조를 좀 더 봐볼게요. 복소장 \(\psi\)는 2개의 실수 스칼라장 \(\phi_1, \phi_2\)를 써서
라고 쓸 수 있어요. 즉, 복소장은 2개의 독립적인 실수 자유도를 가지고 있어요. 실수 스칼라장이 1자유도였던 것에 비해, 복소 스칼라장은 2자유도. 이 「자유도가 2배」라는 것이, 입자와 반입자가 나오는 열쇠예요.
모드 전개——2종류의 연산자¶
🟡 리나: 실수 스칼라장의 모드 전개 (4.11)에서는, \(\hat{a}\)와 \(\hat{a}^\dagger\)의 1종류 쌍만이었어요. 하지만 복소장은 에르미트가 아니니까(\(\hat{\psi} \neq \hat{\psi}^\dagger\)), 2종류의 독립적인 연산자가 필요해요.
🟡 리나: 여기서는 시간 의존도 포함한 Heisenberg 묘사로 쓸게요. 식 (4.11a)에서 이미 \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)라는 조합이 나왔는데, 장의 양자론에서는 이 형태가 빈번하게 나오니까, 여기서 4원 내적 \(p \cdot x\)를 사용한 간결한 표기법을 정식으로 도입해 둘게요. 이것은 복소장에 한정되지 않고, 장의 양자론 전반에서 쓰는 표준적인 표기법이고, 이후의 장에서도 계속 쓸 거예요. 실수 스칼라장의 식 (4.11a)도, 이 표기법을 쓰면 \(e^{-ip\cdot x}\)와 \(e^{ip\cdot x}\)로 간결하게 쓸 수 있어요.
🔵 카이: 4원 내적이라면, 제 2 장에서 나왔던 계량 \(\eta_{\mu\nu}\)를 쓰는 내적이죠.
🟡 리나: 그래요. \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\)이었죠. 4원 운동량 \(p^\mu = (\omega_{\mathbf{p}},\, \mathbf{p})\), 4원 좌표 \(x^\mu = (t,\, \mathbf{x})\)에 대해, 내적을 계산하려면 한쪽의 인덱스를 내려야 해요. \(p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\nu\)(\(\nu\)에 대해 합을 취함)를 성분으로 쓰면, 계량이 대각이니까 \(\mu = 0\)일 때 \(p_0 = \eta_{00} p^0 = (+1) \times \omega_{\mathbf{p}} = \omega_{\mathbf{p}}\)로 시간 성분은 그대로. 공간 성분(\(\mu = 1, 2, 3\))에서는 \(p_i = \eta_{i0}p^0 + \eta_{i1}p^1 + \eta_{i2}p^2 + \eta_{i3}p^3 = 0 + \cdots + (-1)p^i + \cdots = -p^i\)로 음부호가 붙어요(대각 계량이니까 \(\mu \neq \nu\)인 항은 전부 0). 즉 \(p_\mu = (\omega_{\mathbf{p}},\, -\mathbf{p})\)예요.
🔵 카이: 계량의 공간 성분이 \(-1\)이니까, 인덱스를 내리면 공간 부분에 마이너스가 붙는 거군요.
🟡 리나: 맞아요. 따라서 4원 내적——여기서는 \(p \cdot x\)라고 쓰는데, 이것은 \(p_\mu x^\mu\)(Einstein의 축약 규칙으로 합을 취함)의 약칭이에요——은
이니까, \(e^{-ip\cdot x} = e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)는 양의 진동수(양의 에너지)의 파, \(e^{ip\cdot x} = e^{i\omega_{\mathbf{p}} t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)는 음의 진동수의 파에 대응해요.
⚪ 메이: 이걸로 지수 부분이 깔끔하게 쓸 수 있네요. 식 (4.11a)도 \(e^{-ip\cdot x}\)와 \(e^{ip\cdot x}\)의 2항이었다는 거구나.
🟡 리나: 그래요. 그럼 복소장의 모드 전개를 쓸게요.
🔵 카이: \(\hat{a}\)와 \(\hat{b}\)의 2종류! 왜 \(\hat{a}\)만으로는 안 되나요? 그리고, 왜 \(\hat{b}^\dagger\)(생성 연산자)가 \(e^{ip\cdot x}\)(음의 진동수의 파)와 조합되어 있나요?
🟡 리나: 2개 다 핵심적인 질문이네요. 먼저 첫 번째. 실수 스칼라장에서는 에르미트성 \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^\dagger\)가 있었으니까, \(e^{-ip\cdot x}\)의 계수(소멸 연산자)와 \(e^{ip\cdot x}\)의 계수(생성 연산자)가 같은 연산자의 에르미트 켤레 쌍이 되어 있었어요. 여기서 「\(e^{-ip\cdot x}\)에 소멸 연산자」「\(e^{ip\cdot x}\)에 생성 연산자」가 대응하는 것은, 실수 스칼라장의 식 (4.11a)에서 확인한 대로의 약속이에요——\(e^{-ip\cdot x}\)는 양의 에너지의 파로 입자를 「제거하는」 항, \(e^{ip\cdot x}\)는 입자를 「추가하는」 항에 대응해요. 하지만 복소장 \(\hat{\psi}\)는 에르미트가 아니니까, \(\hat{\psi}\) 안의 \(e^{-ip\cdot x}\)의 계수(소멸 연산자 \(\hat{a}\))와 \(e^{ip\cdot x}\)의 계수(생성 연산자)는 다른 종류 \(\hat{b}^\dagger\)이어야 해요.
두 번째 질문——왜 \(\hat{b}^\dagger\)가 \(e^{ip\cdot x}\)와 짝이 되느냐. \(\hat{b}^\dagger\)는 반입자를 「생성하는」 연산자예요. 반입자 1개를 생성하면, 계의 에너지는 \(+\omega_{\mathbf{p}}\)만큼 증가해요. 한편, \(e^{ip\cdot x} = e^{i\omega_{\mathbf{p}} t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)의 시간 의존은 \(e^{+i\omega t}\)이고, Heisenberg 묘사에서는 「에너지를 \(\omega\)만큼 늘리는 연산자」에 \(e^{+i\omega t}\)가 곱해져요(실수 스칼라장에서 \(\hat{a}^\dagger\)에 \(e^{+i\omega t}\)가 곱해져 있었던 것과 같은 이치예요). 그래서 \(\hat{b}^\dagger\)와 \(e^{ip\cdot x}\)가 짝이 되는 것은 자연스러워요.
⚪ 메이: 즉, 복소장은 에르미트가 아니니까, 1종류의 연산자 쌍으로는 부족해서, 독립적인 2종류가 필요한 거네요.
🟡 리나: 그래요. 좀 더 구체적으로 말하면, 식 (4.32)에서 \(\psi\)가 \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)의 2개의 실수장에서 만들어져 있었잖아요. 대략적으로는 「2개의 실수 자유도 → 2종류의 연산자」라는 대응이 있어요. 단, 정확히는 \(\hat{a}\)와 \(\hat{b}\)는 \(\phi_1\), \(\phi_2\)의 단순한 대응이 아니라, 섞인 형태가 돼요. 교환관계는
그 밖의 교환자(\([\hat{a}, \hat{b}]\), \([\hat{a}, \hat{b}^\dagger]\) 등)는 전부 0. \(\hat{a}\)형과 \(\hat{b}\)형은 완전히 독립이에요.
Hamiltonian과 입자·반입자¶
🟡 리나: 정규순서를 취한 Hamiltonian은
🔵 카이: \(\hat{a}\) 입자와 \(\hat{b}\) 입자 둘 다 에너지가 \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)이고, 같은 질량 \(m\)을 가지고 있어요!
🟡 리나: 그래요. \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 생성하는 입자를 「입자」, \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\)가 생성하는 입자를 「반입자」라고 불러요. 입자와 반입자는 같은 질량을 가지지만, 보존 전하의 부호가 반대가 돼요.
\(U(1)\) 대칭성과 보존 전하¶
🟡 리나: 복소 스칼라장의 Lagrangian (4.31)에는, 실수 스칼라장에는 없었던 대칭성이 있어요. 위상 변환
하에서 Lagrangian은 불변이에요. \(\alpha\)는 상수이니까 미분을 통과하고, \(e^{-i\alpha} \cdot e^{i\alpha} = 1\)이니까 \(\psi^\dagger \psi\)도 불변. 이 「상수의 위상 \(e^{i\alpha}\)를 곱하는」 변환을 \(U(1)\) 변환이라고 불러요. \(U(1)\)은 「절대값 1의 복소수 전체」의 집합으로, \(e^{i\alpha}\)(\(\alpha\)는 임의의 실수)가 딱 그것에 해당해요. 「\(U\)」는 unitary(유니터리)의 머리글자로 「절대값을 보존하는 변환」, 「\(1\)」은 「1차원 복소수」를 의미해요.
⚪ 메이: 이것은 연속적인 대칭성이네요. \(\alpha\)를 연속적으로 바꿀 수 있으니까.
🟡 리나: 그래요. 그리고 연속 대칭성이 있다는 것은, 제 3 장에서 배운 Noether의 정리를 쓸 수 있다는 뜻이죠. Noether의 정리에 의하면 연속 대칭성에는 보존량이 대응해요. 이 \(U(1)\) 대칭성에 대응하는 보존 전하(conserved charge)를 계산하면(구체적인 도출은 연습문제 문제 M-4. 복소 스칼라장의 양자화와 입자·반입자에서 확인해 주세요)
🔵 카이: 입자의 수에서 반입자의 수를 뺀 것! 그렇다면, 입자와 반입자가 1개씩 쌍소멸해도 \(Q\)는 변하지 않아요——\(+1\)과 \(-1\)이 사라져서 차감 0이니까. 하지만, 입자만 1개 생성되면 \(Q\)가 변할 텐데요? 그건 허용되지 않나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(Q\)가 보존량이니까, 입자만 단독으로 생성되는 것은 허용되지 않아요. 반드시 입자와 반입자가 쌍으로 생성·소멸해요. 이것이 「보존 전하」의 물리적 의미예요. 그리고 실수 스칼라장은 \(\phi = \phi^\dagger\)이니까 \(U(1)\) 대칭성이 없고, 보존 전하가 정의되지 않아요(혹은 형식적으로 써도 0이 돼요). 즉 실수 스칼라장의 입자는 「자기 자신이 반입자」인 거예요. 반면, 복소 스칼라장은 \(\psi \neq \psi^\dagger\)이니까 \(U(1)\) 대칭성이 생기고, 전하의 부호로 입자와 반입자가 구별돼요. 여기까지의 실수 스칼라장과 복소 스칼라장의 차이를 표로 정리해 둘게요.
표 4.5: 실수 스칼라장과 복소 스칼라장의 비교
| 실수 스칼라장 \(\phi\) | 복소 스칼라장 \(\psi\) | |
|---|---|---|
| 에르미트성 | \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^\dagger\) | \(\hat{\psi} \neq \hat{\psi}^\dagger\) |
| 연산자의 종류 | \(\hat{a}\)만 | \(\hat{a}\)와 \(\hat{b}\) |
| 입자의 종류 | 1종류(입자 = 반입자) | 2종류(입자와 반입자) |
| \(U(1)\) 대칭성 | 없음 | 있음 |
| 보존 전하 | \(Q = 0\) | \(Q = N_a - N_b\) |
⚪ 메이: 깔끔하게 대비되어 있네요. 표를 보면, 에르미트성의 유무에서 순서대로 차이가 생기는 게 잘 보여요.
전하 켤레¶
🟡 리나: 입자와 반입자를 맞바꾸는 조작을 전하 켤레(charge conjugation) 라고 불러요. 기호 \(C\)로 표현해요.
Hamiltonian (4.36)은 \(\hat{a}\)와 \(\hat{b}\)에 대해 대칭이니까, \(C\) 하에서 불변. 하지만 보존 전하 (4.38)은
로 부호가 반전돼요.
🔵 카이: 입자와 반입자를 맞바꾸면, 전하의 부호만 바뀌어요. 질량도 에너지도 같아요.
🟡 리나: 그림 4.5「복소 스칼라장과 반입자의 출현」에 전체 구조를 정리해 뒀어요. 이것은 CPT 정리——전하 켤레(C), 공간 반전(P), 시간 반전(T)의 3가지 조작을 동시에 행하면, 물리법칙은 반드시 불변이라는 정리——의 귀결 중 하나예요. 이 정리로부터, 입자와 반입자는 반드시 같은 질량을 가진다는 것이 도출돼요. 이것은 실험에서도 극히 높은 정밀도로 확인되고 있어요. CPT 정리의 자세한 논의는 제 10 장에서 다룰게요.
그림 4.5: 복소 스칼라장과 반입자의 출현. 복소 스칼라장의 양자화로부터 입자(\(\hat{a}^\dagger\))와 반입자(\(\hat{b}^\dagger\))가 자연스럽게 출현한다. \(U(1)\) 대칭성이 보존 전하를 만들어내고, 전하 켤레 \(C\)로 입자와 반입자가 맞바뀐다.
✅ 이해도 체크: 전하 켤레 \(C\) 하에서, Hamiltonian (4.36)과 보존 전하 \(\hat{Q}\) (4.38)은 각각 어떻게 변환될까요?
답
Hamiltonian은 \(\hat{a}\)와 \(\hat{b}\)에 대해 대칭이므로 \(C\) 하에서 불변. 한편, 보존 전하는 \(\hat{Q} \to -\hat{Q}\)로 부호가 반전된다. 이것은 입자와 반입자를 맞바꾸면 질량이나 에너지는 변하지 않지만, 전하의 부호만 반대가 된다는 것을 의미한다.
✅ 이해도 체크: 복소 스칼라장의 양자화에서, 왜 생성·소멸 연산자가 2종류(\(\hat{a}\), \(\hat{b}\)) 필요할까요? 한 문장으로 설명해 봅시다.
답
복소장 \(\hat{\psi}\)는 에르미트가 아니므로(\(\hat{\psi} \neq \hat{\psi}^\dagger\)), 양의 진동수 부분과 음의 진동수 부분에 독립적인 연산자를 배정해야 하며, 각각이 입자와 반입자의 생성·소멸을 담당한다.
📝 연습문제:
- 복소 스칼라장의 보존 전하 도출 → 문제 M-4. 복소 스칼라장의 양자화와 입자·반입자
4.11 Casimir 효과——영점 에너지는 정말로 존재한다¶
🟡 리나: 아까 「영점 에너지를 정규순서로 버렸다」고 했는데, 영점 에너지의 차이는 물리적으로 관측 가능해요. 그 가장 직접적인 증거가 Casimir(카시미르) 효과. 1948년에 Hendrik Casimir(헨드릭 카시미르)가 예언하고, 나중에 실험으로 확인된 현상이에요.
🔵 카이: 영점 에너지를 관측할 수 있다고요? 어떻게?
설정: 2장의 평행한 금속판¶
🟡 리나: 그림 4.6「Casimir 효과의 설정」에 설정을 그려 뒀으니 봐요. 진공 속에 2장의 완전 도체인 평행한 금속판을 거리 \(d\)로 놓는 걸 생각해요.
그림 4.6: Casimir 효과의 설정. 금속판 사이에서는 경계조건에 의해 이산적인 모드(\(k_n = n\pi/d\))만 허용된다. 바깥에서는 연속적인 모드가 존재한다. 안팎의 영점 에너지 밀도의 차이가 판을 끌어당기는 힘(Casimir 힘)으로서 나타난다.
판 사이에서는, 장의 진동 모드에 경계조건이 부과돼요. 도체 표면에서 장이 0이 되어야 하니까(파의 「마디」가 되어야 하니까), 허용되는 파수는 이산적이 돼요. 양 끝을 고정한 줄의 진동에서, 줄 길이의 정수분의 1의 파장만 허용되는 것과 같아요.
한편, 금속판의 바깥에서는 파수가 연속적이에요.
⚪ 메이: 금속판 사이에서는 허용되는 모드가 제한되니까, 안쪽과 바깥쪽에서 영점 에너지의 밀도가 달라지는 거네요.
🟡 리나: 바로 그래요. 영점 에너지의 차이가, 금속판에 힘을 가하는 거예요.
1차원에서의 계산¶
🟡 리나: 본질을 보기 위해, 먼저 1차원의 질량 0 스칼라장으로 계산해 볼게요. Casimir가 원래 생각한 것은 전자기장(광자의 장)이지만, 본질적인 물리는 질량 0인 장의 영점 에너지의 차이에 있으니까, 여기서는 \(m = 0\)의 스칼라장으로 논의할게요(3차원의 전자기장에서는 편광의 자유도로 인자 2가 추가되지만, \(d\) 의존성은 같아요). \(m = 0\)으로 하면 \(\omega_n = \sqrt{k_n^2 + m^2} = k_n = n\pi/d\)로 간단해져요. 판 사이의 영점 에너지는
🔵 카이: \(\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \cdots\)은 발산하잖아요?
🟡 리나: 그래요. 하지만 여기서 물리적인 논의를 할게요. 지금부터 좀 긴 계산을 하는데, 목표를 먼저 말해 둘게요. 판이 있는 경우의 영점 에너지(이산합)에서, 판이 없는 경우의 영점 에너지(연속적분)를 빼면, 발산하는 부분이 상쇄되어 유한한 값만 남는다——그 유한한 값을 구하는 것이 이 계산의 목적이에요.
실제 금속판은, 매우 짧은 파장(매우 높은 에너지)의 전자기파에 대해서는 투명해져요. 그러니까, 높은 진동수의 모드는 경계조건의 영향을 받지 않아요. 이것을 수학적으로 실현하기 위해, 정칙화(regularization) 라는 방법을 써요.
구체적으로는, 지수적 감쇠 인자 \(e^{-\epsilon n}\)(\(\epsilon > 0\)은 미소한 양수)을 넣어서
으로 해요.
🔵 카이: 잠깐만요. 왜 \(e^{-\epsilon n}\)이라는 형태를 선택하나요? 다른 감쇠 인자로도 같은 결과가 나오나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 사실, 높은 \(n\)을 억제하는 함수라면 무엇을 써도, 최종적으로 물리적인 유한 부분(\(-1/12\) 항)은 같은 값이 나와요. 예를 들어 \(e^{-\epsilon n^2}\)이든, 또는 \(n\)이 어떤 값 \(N\)을 넘으면 잘라내는 방법이든, 발산하는 부분의 형태는 바뀌지만, 유한한 부분은 변하지 않아요. 이것이 정칙화의 핵심——물리적 결과는 정칙화 방법에 의존하지 않는다——이에요. 연습문제 문제 A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산에서는 다른 방법(제타함수 정칙화)으로도 같은 \(-1/12\)이 나오는 것을 확인할 거예요. 여기서 \(e^{-\epsilon n}\)을 쓰는 건, 등비급수 공식으로 계산이 간단하게 되니까예요.
🔵 카이: 그렇구나, 계산의 편의를 위해 선택하고 있을 뿐, 물리적 답은 방법에 의존하지 않는 거군요.
🟡 리나: 맞아요. 이 합은 계산할 수 있어요. 등비급수의 합 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\)(\(|x| < 1\))의 양변을 \(x\)로 미분하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} n\, x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\)이 되니까, 양변에 \(x\)를 곱하면
이라는 공식이 얻어져요. \(\epsilon > 0\)일 때 \(x = e^{-\epsilon} < 1\)이니까, 이 공식을 쓸 수 있어요. \(x = e^{-\epsilon}\)으로 해서 전개해 볼게요.
⚪ 메이: 등비급수를 미분해서 얻어지는 공식이네요.
🟡 리나: 그래요. 목표는 「\(\epsilon \to 0\)에서 발산하는 부분」과 「\(\epsilon\)에 의존하지 않는 유한한 부분」을 분리하는 것이에요. Taylor 전개로 차근차근 해 나갈게요. \(e^{-\epsilon} \approx 1 - \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} - \frac{\epsilon^3}{6} + \cdots\)이니까, 분모는
따라서
🔵 카이: 잠깐 정리할게요. 지금 하고 싶은 건, \(\sum n\,e^{-\epsilon n} = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\)를 \(\epsilon\)의 거듭제곱으로 전개해서, 발산하는 부분과 유한한 부분을 분리하는 거죠?
🟡 리나: 맞아요. 「\(\frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\)를 \(\epsilon\)의 거듭제곱으로 전개해서, \(\epsilon^{-2}\)(발산하는 항)과 \(\epsilon^0\)(유한한 항)을 분리하는」 게 목표예요. \((1-u)^{-2} \approx 1 + 2u + 3u^2 + \cdots\)(등비급수 \(\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots\)(\(|u| < 1\)에서 성립)의 양변을 \(u\)로 미분하면 \(\frac{1}{(1-u)^2} = 1 + 2u + 3u^2 + \cdots\)가 얻어져요. 여기서는 \(u \approx \epsilon/2\)이고 \(\epsilon\)은 미소하니까 \(|u| < 1\)은 만족되고 있죠)를 \(u = \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{6} + \cdots\)에 적용하는 거예요.
🔵 카이: 여기서 \(u\)는 \(\epsilon\)의 1차 이상이니까, \(u^2\)는 \(\epsilon^2\) 이상의 기여밖에 만들어내지 않는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 아까 식에서 \(1 - e^{-\epsilon} \approx \epsilon\left(1 - \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon^2}{6} - \cdots\right)\)라고 썼잖아요. 여기서 \(u \equiv \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{6} + \cdots\)로 정의하면, \(1 - e^{-\epsilon} = \epsilon(1 - u)\)로 쓸 수 있어요. 따라서 \(\frac{1}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} \cdot \frac{1}{(1 - u)^2}\)예요. \(\frac{1}{(1-u)^2} = 1 + 2u + 3u^2 + \cdots\)에 \(u = \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{6} + \cdots\)를 대입하면, \(\epsilon^0\)의 항은 \(1\), \(\epsilon^1\)의 항은 \(2 \times \frac{1}{2} = 1\), \(\epsilon^2\)의 항은 \(2 \times (-\frac{1}{6}) + 3 \times (\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{5}{12}\). 즉 \(\frac{1}{(1-u)^2} \approx 1 + \epsilon + \frac{5}{12}\epsilon^2 + \cdots\)이니까
다음으로 분자의 \(e^{-\epsilon} \approx 1 - \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} - \cdots\)를 곱할게요. 즉 \(\frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} \approx \frac{1}{\epsilon^2} \times (1 - \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} - \cdots)(1 + \epsilon + \frac{5\epsilon^2}{12} + \cdots)\)를 전개하는 거예요. 전체에 \(\frac{1}{\epsilon^2}\)이 곱해져 있으니까, 괄호 2개의 곱을 \(\epsilon\)의 거듭제곱별로 정리하면 돼요——고등학교 수학의 「다항식 전개」와 같은 요령이에요.
\(\epsilon^0\)의 항(= 전체로 \(\epsilon^{-2}\)): \(1 \times 1 = 1\) → 전체로 \(\frac{1}{\epsilon^2}\)
\(\epsilon^1\)의 항(= 전체로 \(\epsilon^{-1}\)): \(1 \times \epsilon + (-\epsilon) \times 1 = \epsilon - \epsilon = 0\) → 사라짐
🔵 카이: 오, \(\epsilon^{-1}\)의 항이 딱 사라지네요!
🟡 리나: 그래요, 이건 우연이 아니라 이 함수의 대칭성에서 유래하는 거예요. \(\epsilon^2\)의 항(= 전체로 \(\epsilon^0\)): 3개의 조합을 모을게요.
- \(1 \times \frac{5\epsilon^2}{12} = \frac{5\epsilon^2}{12}\)
- \((-\epsilon) \times \epsilon = -\epsilon^2\)
- \(\frac{\epsilon^2}{2} \times 1 = \frac{\epsilon^2}{2}\)
더하면 \(\left(\frac{5}{12} - 1 + \frac{1}{2}\right)\epsilon^2 = \left(\frac{5}{12} - \frac{12}{12} + \frac{6}{12}\right)\epsilon^2 = -\frac{1}{12}\epsilon^2\). 전체에 \(\frac{1}{\epsilon^2}\)을 곱해서 \(-\frac{1}{12}\). 정리하면
여기까지의 전개로 식 (4.43)의 결과가 얻어졌어요. 중요한 건, 발산하는 \(1/\epsilon^2\)와 유한한 \(-1/12\)이 깔끔하게 분리된다는 점이에요. (연습문제 문제 A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산에서는, 같은 계산을 다른 정칙화 방법(제타함수 정칙화)으로도 확인하고, 나아가 3차원으로의 확장을 할 거예요.)
⚪ 메이: 발산 부분과 유한 부분이 \(\epsilon\)의 거듭제곱으로 완전히 분리되었네요.
🟡 리나: 하지만, 이 발산하는 항은 금속판이 없어도 존재하는 「자유공간의 영점 에너지」에 대응해요. 생각해 봐요——금속판이 없는 무한 공간에서도, 각 모드는 영점 에너지 \(\frac{1}{2}\omega\)를 가지고 있고, 전 모드를 더하면 마찬가지로 발산해요. 금속판을 넣은 것으로 바뀌는 건, 허용되는 모드가 이산화되어 「빠지는」 모드가 생기는 것뿐이에요. 그러니까, 금속판이 있는 경우와 없는 경우의 영점 에너지의 차이를 취하면, 양쪽에 공통인 \(1/\epsilon^2\)의 발산은 상쇄되어, 남는 건 유한한 \(-1/12\) 부분만——그것이 경계조건의 효과예요.
🔵 카이: 좀 더 구체적으로 말하면, 판이 없는 경우의 영점 에너지도 같은 정칙화로 계산하면 \(1/\epsilon^2\) 항을 포함하지만, \(-1/12\) 부분은 포함하지 않아요——그래서 차이를 취하면 \(1/\epsilon^2\)이 사라지고 \(-1/12\)만 남는다, 는 건가요?
🟡 리나: 그 이해로 맞아요. 좀 더 정확하게 말하면, 판이 없는 경우는 모드가 연속적이니까, 영점 에너지는 합이 아니라 적분 \(\int dk\, \frac{1}{2}\omega_k\)이 돼요. 이 적분을 같은 정칙화로 계산하면, \(d\)에 의존하지 않는 발산(\(1/\epsilon^2\)에 해당하는 부분)은 나오지만, 이산합에 고유한 \(-1/12\) 같은 유한한 보정은 나오지 않아요. 왜냐하면, \(-1/12\)은 「이산적인 합 \(\sum_{n=1}^\infty n\)을, 대응하는 연속적인 적분 \(\int_0^\infty n\,dn\)으로 근사했을 때의 오차」에서 생기는 항이니까요. 적분 \(\int_0^\infty n\,dn\) 자체는 발산하지만, 합과 적분의 차이 \(\sum n - \int n\,dn\)은 유한하고, 그 값이 딱 \(-1/12\)이 돼요(이것은 Euler-Maclaurin 공식이라 불리는 수학적 결과예요). 판이 없으면 처음부터 적분이니까, 이 「합과 적분의 차이」는 존재하지 않아요. 즉, Casimir 에너지는 「판이 있는 경우의 영점 에너지(이산합)」에서 「판이 없는 경우의 영점 에너지(연속적분)」를 뺀 차이로서 정의되고, 그 차이가 \(-1/12\)에 대응하는 거예요. 식 (4.42) 앞의 계수 \(\frac{\pi}{2d}\)를 곱하면
🔵 카이: 마이너스! \(d\)를 작게 하면 에너지가 낮아지니까(더 음이 되니까), 판을 가까이하는 방향으로 힘이 작용하나요?
🟡 리나: 맞아요. 고등학교 물리에서 「보존력은 퍼텐셜 에너지의 위치 미분의 마이너스」라고 배웠잖아요. 같은 이치로, 판의 간격을 변화시킬 때의 힘은 \(F = -\frac{\partial E_{\text{Casimir}}}{\partial d}\)로 주어져요. \(d\)가 증가하는 방향을 양으로 잡고 있으니까, \(F < 0\)은 판을 가까이하는 방향——즉 인력을 의미해요.
⚪ 메이: 발산이 사라지고, \(d\)에 의존하는 유한한 힘만 남았어요——이것이 Casimir 힘의 정체네요.
3차원의 결과¶
🟡 리나: 현실의 3차원 공간에서는, 판에 평행한 방향의 운동량 \(\mathbf{p}_\parallel = (p_y, p_z)\)는 연속적이고, 판에 수직한 방향의 파수만 \(k_n = n\pi/d\)로 이산화돼요. 즉, 각 이산 모드 \(n\)에 대해, 판에 평행한 방향으로는 모든 운동량의 파가 달릴 수 있어요. 전체 영점 에너지는 \(\mathbf{p}_\parallel\)에 대한 적분과 \(n\)에 대한 합 양쪽을 포함하니까, 1차원의 경우보다 계산이 복잡해져요. 각 모드의 에너지가 \(\omega = \sqrt{k_n^2 + |\mathbf{p}_\parallel|^2}\)이 되니까, \(\mathbf{p}_\parallel\)의 적분이 추가적인 차원 의존성을 만들어 내요.
🔵 카이: 판에 수직한 방향만 이산화되고, 평행한 방향은 자유롭게 파가 달릴 수 있군요.
🟡 리나: 그래요. 대략적으로 말하면, 1차원에서는 이산 모드의 합만이었던 게, 3차원에서는 각 이산 모드 \(n\)에 대해 판에 평행한 전 방향의 운동량 \(\mathbf{p}_\parallel\)를 적분해야 해요. 이 추가 2차원 적분이 \(d\)의 거듭제곱을 바꾸는 거예요——차원해석으로 생각하면, 1차원에서는 에너지가 \(\propto 1/d\)이니까 힘은 \(\propto 1/d^2\)이었지만, 3차원에서는 판에 평행한 방향의 적분이 추가적인 \(1/d^2\)을 만들어내서, 단위 면적당 힘이 \(\propto 1/d^4\)이 되는 거예요. 수치 인자도 \(-1/12\)에서 \(\pi^2/720\)으로 바뀌어요. 자세한 도출은 연습문제(문제 A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산의 발전 과제)로 돌리지만, 결과는
이것은 자연단위계(\(\hbar = c = 1\))에서의 표현이에요. 실험값과 비교하기 위해 \(\hbar\)와 \(c\)를 복원하면(자연단위계에서는 \([F/A] = [\text{길이}]^{-4}\)이고, SI 단위계에서는 \([F/A] = [\text{에너지}] \cdot [\text{길이}]^{-4}\)이니까, \(\hbar c\)(차원은 \([\text{에너지}] \cdot [\text{길이}]\))를 1개 곱하면 차원이 맞아요)
🔵 카이: \(d^4\)에 반비례하니까, 판의 간격이 좁을수록 힘이 강해요. 구체적으로는 어느 정도의 크기인가요?
🟡 리나: \(d = 1\,\mu\mathrm{m}\)일 때, \(F/A \approx 1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N/m^2}\)예요. 매우 작지만, 측정 가능한 값이에요.
🟡 리나: 1차원과 3차원의 결과를 표로 정리해 둘게요.
표 4.6: Casimir 효과 정리
| 1차원(\(\hbar = c = 1\)) | 3차원(현실) | |
|---|---|---|
| Casimir 힘 | \(F = -\dfrac{\pi}{24d^2}\) | \(F/A = -\dfrac{\pi^2\hbar c}{240\,d^4}\) |
| 거리 의존성 | \(\propto d^{-2}\) | \(\propto d^{-4}\) |
| 힘의 방향 | 인력(판을 가까이함) | 인력(판을 가까이함) |
⚪ 메이: 1차원에서는 \(d^{-2}\), 3차원에서는 \(d^{-4}\)로, 차원이 올라갈수록 거리 의존성이 가파르네요.
실험적 검증¶
🟡 리나: Casimir 효과는 1997년에 Steve Lamoreaux(스티브 라모로)에 의해 처음으로 정밀하게 측정되었어요. 그는 금속판과 금속구 사이의 힘을 측정해서, 이론 예측과 5% 이내로 일치함을 확인했어요. 그 이후의 실험에서는 1% 이하의 정밀도로 일치가 확인되고 있어요.
🔵 카이: 영점 에너지가 정말로 존재해서, 물리적인 힘을 만들어내고 있다니. 대단해요……
⚪ 메이: 즉, 정규순서로 영점 에너지를 「버린」 것은, 어디까지나 계산상의 편의이고, 영점 에너지의 차이는 실재하는 물리량이라는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. Casimir 효과는, 장의 양자론의 예측이 실험과 일치하는 아름다운 예 중 하나예요. 그리고 동시에, 진공의 에너지라는 개념이 단순한 수학적 산물이 아니라, 물리적 실체를 가진다는 것을 보여주고 있어요.
✅ 이해도 체크: Casimir 효과의 3차원에서의 힘의 식 \(F/A = -\pi^2 \hbar c / (240\, d^4)\)에서, 판의 간격 \(d\)를 반으로 하면 힘은 어떻게 변할까요?
답
힘은 \(d^4\)에 반비례하므로, \(d\)를 반으로 하면 힘은 \(2^4 = 16\)배가 된다. Casimir 힘은 매우 짧은 거리에서 급격히 강해지는 성질을 가지며, 마이크로미터 이하의 스케일에서 측정 가능한 크기가 된다.
✅ 이해도 체크: Casimir 효과가 「인력」이 되는 물리적 이유를, 영점 에너지의 관점에서 설명해 봅시다.
답
금속판 사이에서는 경계조건에 의해 허용되는 진동 모드가 제한된다(파장이 긴 모드가 들어갈 수 없다). 그 때문에, 판 사이의 영점 에너지 밀도는 판 바깥보다 작아진다. 이 안팎의 에너지 차이가, 판을 가까이하는 방향의 힘(인력)으로서 나타난다. 판의 간격을 좁히면, 더욱 모드가 제한되어 에너지가 낮아지므로, 계는 에너지를 낮추는 방향——즉 판이 가까워지는 방향——으로 향한다.
📝 연습문제:
- 1차원 Casimir 에너지의 정칙화 계산 → 문제 A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산
4.12 이 장의 정리¶
🟡 리나: 오늘 내용을 돌아봐요.
⚪ 메이: 정리할게요.
-
정준양자화: 고전장 \(\phi\)와 켤레운동량 \(\pi\)를 연산자로 승격시키고, 동시각 교환관계 \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)를 부과했다.
-
Fourier 전개와 조화진동자: Klein-Gordon 장을 Fourier 변환하면, 각 운동량 모드가 독립적인 조화진동자가 된다. 각 모드에 생성·소멸 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\)를 도입했다.
-
Fock 공간과 입자 묘사: 진공 \(|0\rangle\)에 생성 연산자를 작용시켜서 입자 상태를 구성. 교환관계로부터 Bose-Einstein 통계가 자동적으로 도출되었다.
🔵 카이: 그리고 후반의 포인트는——
- 영점 에너지: Hamiltonian에는 무한대의 영점 에너지가 나타난다. 정규순서로 실용적으로 처리하지만, 영점 에너지의 차이는 Casimir 효과로서 물리적으로 관측 가능하다. 「버렸다」고 생각한 것이 힘으로 측정된다는 게 충격적이었어요. 하지만 역으로 말하면, 정규순서로 버려도 되는 건 「차이에 영향 없는 부분」뿐이고, 아무거나 버려도 되는 건 아니잖아요?
🟡 리나: 바로 그래요, 예리한 지적이에요. 정규순서는 「기준점을 0으로 설정하는」 조작이고, 기준점으로부터의 차이는 물리적으로 의미가 있어요. Casimir 효과는 바로 그 차이가 힘으로 나타난 예예요. 그리고 우주상수 문제가 보여주듯이, 중력을 고려하면 기준점 자체에도 의미가 생겨요——이것은 미해결의 깊은 문제네요.
⚪ 메이: 그리고 5번째 포인트는——
-
복소 스칼라장과 반입자: 복소장의 양자화에서는 2종류의 연산자 \(\hat{a}\), \(\hat{b}\)가 나타나고, 입자와 반입자가 자연스럽게 출현한다. \(U(1)\) 대칭성이 보존 전하를 만들어내고, 전하 켤레로 입자와 반입자가 맞바뀐다.
-
Casimir 효과: 영점 에너지의 차이는 물리적으로 관측 가능하다. 금속판 사이에서 허용되는 모드가 제한됨으로써, 판을 끌어당기는 힘이 생긴다. 이것은 영점 에너지가 단순한 수학적 산물이 아니라 물리적 실체를 가진다는 직접적 증거이다.
⚪ 메이: 전체를 한마디로 정리하면, 장의 양자론의 핵심은 「장의 들뜸이 입자」라는 거네요. 입자를 손으로 넣지 않아도, 장을 양자화하는 것만으로 입자가 나와요. 그리고 복소장으로 하면 반입자까지 나와요. 나아가, 양자화의 부산물인 영점 에너지도 Casimir 효과로서 관측할 수 있어요——리나 선생님이 보여준 대로네요.
🟡 리나: 다음 장에서는, 같은 정준양자화 절차를 Dirac 장——스핀 1/2의 페르미온의 장——에 적용할 거예요. 거기서는 교환관계가 아니라 반교환관계가 등장하고, Fermi-Dirac 통계가 자동적으로 도출돼요. 스칼라장과의 대비가 매우 선명할 거예요.
다음 장 예고¶
제 5 장 Dirac 장의 양자화 — 페르미온의 반교환관계
스핀 1/2의 장을 양자화할 때, 교환관계가 아니라 반교환관계 \(\{\hat{\psi}, \hat{\psi}^\dagger\} = \delta^{(3)}\)을 부과해야 한다. 그 이유는? 그리고 거기서 Pauli의 배타원리가 어떻게 도출되는가? 스칼라장과의 선명한 대비를 통해, 스핀과 통계의 깊은 관계를 밝혀낸다.
참고문헌¶
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제12장 「The canonical quantization of fields」
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제13장 「Fields with more than one component」
- Quantum Field Theory (David Tong, Cambridge lecture notes) 제2장 「Classical Field Theory」·제3장 「Canonical Quantization」
- 場の量子論——不変性と自由場を中心にして（場 上） 제10장 「正準量子化の方法」·제11장 「スカラー場の量子化」
- Quantum Field Theory and the Standard Model (Schwartz) 제2장 「Lorentz invariance and second quantization」
연습문제¶
📝 연습문제:
- 동시각 교환관계의 도출 → 문제 M-1. 동시각 교환관계로부터 생성·소멸 연산자의 교환관계 도출
- Hamiltonian의 모드 전개 계산 → 문제 M-2. Hamiltonian의 생성·소멸 연산자에 의한 표현
- 복소 스칼라장의 보존 전하 도출 → 문제 M-4. 복소 스칼라장의 양자화와 입자·반입자
- 1차원 Casimir 에너지의 정칙화 계산 → 문제 A-1. 1차원 카시미르 효과의 정량적 계산
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