부록 E 연습문제¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 복소수의 절댓값과 편각
- B-2. 오일러 공식 \(e^{i\pi}+1=0\)
- B-3. 극형식에서의 곱
- B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) 로 확인
- B-5. 코시-리만: \(|z|^2\) 은 깨진다
- B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)
- B-7. \(1/(z-1)\) 의 유수
- B-8. \(1/z^2\) 의 로랑 전개와 유수
- B-9. \(e^{1/z}\)의 로랑 전개
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 복소수의 절댓값과 편각¶
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B-2. 오일러 공식 \(e^{i\pi}+1=0\)¶
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B-3. 극형식에서의 곱¶
정칙함수 (E.3-E.4)¶
B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) 로 확인¶
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B-5. 코시-리만: \(|z|^2\) 은 깨진다¶
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B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)¶
로랑 전개와 유수 (E.5-E.6)¶
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B-7. \(1/(z-1)\) 의 유수¶
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B-8. \(1/z^2\) 의 로랑 전개와 유수¶
→ 풀이 보기
B-9. \(e^{1/z}\)의 로랑 전개¶
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Medium（표준）¶
M-1. 유수 정리：2개의 극¶
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M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) 의 유수¶
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M-3. 뫼비우스 변환의 합성¶
두 뫼비우스 변환 \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) 과 \(w_2(w) = 2w + 3\) 을 합성한 변환 \(w_2(w_1(z))\) 를 구하고, 대응하는 행렬의 곱이 일치하는지 확인하세요.
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Advanced（발전）¶
A-1. 등각사상 \(w = 1/z\)¶
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A-2. \(\partial X\) 와 \(\bar\partial X\) 의 교차항¶
본문 E.8「2차원 자유장의 Green 함수」 에서 2점 함수 \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\) 를 도출했어요. 이 결과로부터 다음을 보이세요:
(a) \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) 가 \(z \neq w\) 에서 0임을 보이세요. (b) \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) 가 됨을 보이세요 (반정칙 쪽의 OPE).
힌트: \(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) 로 분해하고, \(\partial_z\) 로는 정칙 부분만, \(\partial_{\bar z}\) 로는 반정칙 부분만 남는다는 것을 이용하세요.
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