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부록 E 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 복소수의 절댓값과 편각

\(z = 1 + i\) 의 절댓값 \(|z|\) 과 편각 \(\arg(z)\) 을 구하세요. 극형식 \(z = re^{i\theta}\) 로 나타내세요.

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B-2. 오일러 공식 \(e^{i\pi}+1=0\)

오일러 공식을 사용하여 \(e^{i\pi} + 1 = 0\) 을 확인하세요. 이 식에 포함된 5개의 수학 상수(\(e, i, \pi, 1, 0\))를 나열하세요.

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B-3. 극형식에서의 곱

복소수 \(z_1 = 2e^{i\pi/3}\)、\(z_2 = 3e^{i\pi/6}\) 가 주어져 있을 때, 곱 \(z_1 z_2\) 를 극형식으로 구하고, 나아가 직교형식 \(a + bi\) 로 변환하세요.

B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) 로 확인

\(f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = (x^2-y^2) + 2ixy\) 가 Cauchy-Riemann 관계식을 만족하는 것을 확인하세요.

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B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) 은 성립하지 않는다

\(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\) 가 Cauchy-Riemann 관계식을 만족하지 않음을 확인하세요.

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B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)

Wirtinger 미분의 정의

\[ \partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y) \]

를 이용하여, \(f(z) = z^2\) (단, \(z = x + iy\))에 대해 \(\partial_z(z^2) = 2z\)가 됨을 보이세요.

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B-7. \(1/(z-1)\) 의 유수

\(f(z) = 1/(z-1)\) 의 \(z = 1\) 에서의 유수를 구하세요.

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B-8. \(1/z^2\) 의 Laurent 전개와 유수

\(f(z) = 1/z^2\) 의 \(z = 0\) 에서의 Laurent 전개를 쓰고, 유수가 \(0\) 임을 확인하세요.

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B-9. \(e^{1/z}\) 의 Laurent 전개

\(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! z^n}\) 의 \(z = 0\) 에서의 Laurent 전개를 쓰고, 유수(\(z^{-1}\) 의 계수)가 \(1\) 임을 확인하세요. \(z = 0\) 은 어떤 종류의 특이점인가요?

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Medium（표준）

M-1. \(z/[(z-1)(z-2)]\) 의 유수

\(f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)}\) 의 \(z = 1\) 과 \(z = 2\) 에서의 유수를 각각 구하고, \(\oint_{|z|=3} f(z) dz\) 를 계산하세요.

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M-2. 뫼비우스 변환의 합성

두 뫼비우스 변환 \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) 과 \(w_2(w) = 2w + 3\) 을 합성한 변환 \(w_2(w_1(z))\) 를 구하고, 대응하는 행렬의 곱이 일치하는지 확인하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 등각사상 \(w = 1/z\)

등각사상 \(w = 1/z\)가 \(z\) 평면의 단위원 \(|z| = 1\)을 \(w\) 평면의 어디로 보내는지 구하세요. 또한, \(z\) 평면의 실축을 \(w\) 평면의 어디로 보내는지 구하세요.

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A-2. \(\partial X\) 와 \(\bar\partial X\) 의 교차항

본문 E.8「2차원 자유장의 Green 함수」 에서 2점 함수 \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\) 를 도출했어요. 이 결과로부터 다음을 보이세요:

(a) \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) 가 \(z \neq w\) 에서 0임을 보이세요. (b) \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) 가 됨을 보이세요 (반정칙 쪽의 OPE).

힌트: \(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) 로 분해하고, \(\partial_z\) 로는 정칙 부분만, \(\partial_{\bar z}\) 로는 반정칙 부분만 남는다는 것을 이용하세요.

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