제 1 장 연습문제 풀이
← 문제로 돌아가기 | 본문으로 돌아가기
목차
Basic（기초）
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）
B-1. Planck 상수의 작음을 체감하기
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(E = h\nu\) 에 수치를 대입하여 J 단위로 구한 후 eV로 환산해요.
계산:
\[
E = h\nu = (6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}) \times (5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz})
\]
\[
E = 6.626 \times 5.0 \times 10^{-34+14}\;\mathrm{J} = 33.13 \times 10^{-20}\;\mathrm{J}
\]
\[
\boxed{E = 3.3 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}}
\]
eV로의 환산:
\[
E\;[\mathrm{eV}] = \frac{3.313 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}}{1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV}} = 2.07\;\mathrm{eV}
\]
\[
\boxed{E \simeq 2.1\;\mathrm{eV}}
\]
검산: 가시광선의 광자 에너지는 1.8~3.1 eV 정도이며, 2.1 eV는 녹색 부근에 해당해요. 타당한 값이에요.
B-2. 일함수와 문턱 진동수
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 문턱 조건 \(h\nu_0 = W\)에서 \(\nu_0\)를 구하고, \(\lambda_0 = c/\nu_0\)로 파장으로 환산해요.
계산:
먼저 일함수를 J로 환산해요:
\[
W = 2.28\;\mathrm{eV} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV} = 3.653 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}
\]
문턱 진동수:
\[
\nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{3.653 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = 5.51 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}
\]
\[
\boxed{\nu_0 \simeq 5.51 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}}
\]
문턱 파장:
\[
\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.00 \times 10^8}{5.51 \times 10^{14}} = 5.44 \times 10^{-7}\;\mathrm{m}
\]
\[
\boxed{\lambda_0 \simeq 544\;\mathrm{nm}}
\]
검산: 544 nm는 녹색 가시광에 해당해요. 나트륨의 광전 효과 문턱값이 가시광 영역에 있다는 것은 실험 사실과 일치해요. 또한 \(hc/\lambda_0 = (6.626 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)/(5.44 \times 10^{-7}) = 3.65 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} = 2.28\;\mathrm{eV}\)로 \(W\)와 일치해요.
B-3. 광전효과의 운동 에너지
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(hc \simeq 1240\;\mathrm{eV \cdot nm}\)을 이용하여 광자 에너지를 구하고, \(K = E - W\)를 계산해요.
계산:
\[
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\;\mathrm{eV \cdot nm}}{200\;\mathrm{nm}} = 6.20\;\mathrm{eV}
\]
\[
K = E - W = 6.20 - 4.50 = 1.70\;\mathrm{eV}
\]
\[
\boxed{K = 1.70\;\mathrm{eV}}
\]
검산: 광자 에너지 6.20 eV는 자외선으로서 타당해요(파장 200 nm는 진공 자외선 영역). \(K > 0\)이므로 광전 효과가 일어나요. 차원도 eV로 정합해요.
B-4. Rydberg 공식을 이용한 파장 계산
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: Balmer 계열 \(n=2\), \(m=3\)을 Rydberg 공식에 대입해요.
계산:
\[
\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = R_\infty \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right)
\]
\[
\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 4}{36} = \frac{5}{36}
\]
\[
\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.097 \times 10^7 \times 0.1389 = 1.524 \times 10^6\;\mathrm{m^{-1}}
\]
\[
\lambda = \frac{1}{1.524 \times 10^6} = 6.56 \times 10^{-7}\;\mathrm{m}
\]
\[
\boxed{\lambda \simeq 656\;\mathrm{nm}}
\]
검산: 이것은 수소의 H\(\alpha\) 선(빨간색)으로 유명한 값이며, 실험값 656.3 nm과 잘 일치해요.
B-5. Bohr의 양자 조건과 궤도 반지름
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 양자 조건에서 \(v\)를 소거하고, 힘의 평형 식을 \(r\)에 대해 풀어요.
계산:
Bohr의 양자 조건으로부터:
\[
m_e v r = n\hbar \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{n\hbar}{m_e r}
\]
힘의 평형에 대입:
\[
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} = \frac{m_e}{r} \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}
\]
\(r\)에 대해 풀면:
\[
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}
\]
\[
r = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2\hbar^2}{m_e e^2}
\]
\[
\boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2}
\]
여기서 \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\)는 Bohr 반지름이에요.
검산: 차원을 확인해요. \([4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\), \([\hbar^2] = \mathrm{J^2 \cdot s^2}\), \([m_e] = \mathrm{kg}\), \([e^2] = \mathrm{C^2}\)이므로,
\[
\frac{\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)} \cdot \mathrm{J^2 \cdot s^2}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{C^2}} = \frac{\mathrm{J^2 \cdot s^2}}{\mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg}}
\]
\(\mathrm{J} = \mathrm{N \cdot m}\), \(\mathrm{J \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{N \cdot m \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2} \cdot m \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{m}\). 차원은 길이로 올바르게 나와요.
B-6. Bohr 반지름의 수치 계산
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\) 에 수치를 대입해요.
계산:
분자:
\[
4\pi\varepsilon_0 \cdot \hbar^2 = (1.113 \times 10^{-10}) \times (1.055 \times 10^{-34})^2
\]
\[
= (1.113 \times 10^{-10}) \times (1.113 \times 10^{-68})
\]
\[
= 1.239 \times 10^{-78}\;\mathrm{C^2 \cdot J \cdot s^2 / (N \cdot m^2)}
\]
분모:
\[
m_e e^2 = (9.109 \times 10^{-31}) \times (1.602 \times 10^{-19})^2
\]
\[
= (9.109 \times 10^{-31}) \times (2.566 \times 10^{-38})
\]
\[
= 2.337 \times 10^{-68}\;\mathrm{kg \cdot C^2}
\]
따라서:
\[
a_0 = \frac{1.239 \times 10^{-78}}{2.337 \times 10^{-68}} = 0.530 \times 10^{-10}\;\mathrm{m}
\]
\[
\boxed{a_0 \simeq 5.29 \times 10^{-11}\;\mathrm{m} \simeq 0.529\;\text{Å}}
\]
검산: 문헌값 \(a_0 = 5.292 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\) 과 일치해요. 원자의 크기 \(\sim 10^{-10}\;\mathrm{m}\) 의 자릿수와도 부합해요.
B-7. Planck 분포의 극한
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\)로 놓고 지수함수를 1차까지 전개해요.
계산:
\(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\)로 놓으면:
\[
e^x \simeq 1 + x
\]
따라서 분모는:
\[
e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq (1 + x) - 1 = x = \frac{h\nu}{k_B T}
\]
그러므로:
\[
\langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq \frac{h\nu}{h\nu/(k_B T)} = k_B T
\]
\[
\boxed{\langle E \rangle \simeq k_B T \quad (h\nu \ll k_B T)}
\]
검산: 이것은 고전적 등분배 정리의 결과(조화 진동자의 평균 에너지 \(k_B T\))와 일치해요. Planck의 공식이 저진동수 극한에서 고전론을 재현하는 것을 확인할 수 있었어요.
B-8. Boltzmann 인자의 비교
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 먼저 \(k_B T\)를 계산하고, 각 진동수에 대해 \(h\nu/(k_B T)\)를 구하여 Boltzmann 인자를 평가해요.
계산:
\[
k_B T = (1.38 \times 10^{-23})(6000) = 8.28 \times 10^{-20}\;\mathrm{J}
\]
(a) 가시광 \(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)：
\[
h\nu_1 = (6.626 \times 10^{-34})(5.0 \times 10^{14}) = 3.31 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}
\]
\[
\frac{h\nu_1}{k_B T} = \frac{3.31 \times 10^{-19}}{8.28 \times 10^{-20}} = 4.00
\]
\[
e^{-h\nu_1/k_B T} = e^{-4.00} \simeq 0.018
\]
\[
\boxed{e^{-h\nu_1/k_B T} \simeq 1.8 \times 10^{-2}}
\]
(b) 자외선 \(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)：
\[
h\nu_2 = (6.626 \times 10^{-34})(3.0 \times 10^{15}) = 1.99 \times 10^{-18}\;\mathrm{J}
\]
\[
\frac{h\nu_2}{k_B T} = \frac{1.99 \times 10^{-18}}{8.28 \times 10^{-20}} = 24.0
\]
\[
e^{-h\nu_2/k_B T} = e^{-24.0} \simeq 3.8 \times 10^{-11}
\]
\[
\boxed{e^{-h\nu_2/k_B T} \simeq 3.8 \times 10^{-11}}
\]
비교: 가시광의 Boltzmann 인자는 약 \(10^{-2}\)(작지만 무시할 수 없는 값)인 반면, 자외선에서는 약 \(10^{-11}\)(사실상 0)이에요. 진동수가 6배가 되었을 뿐인데, Boltzmann 인자는 9자릿수나 작아져요. 이것이 고진동수 모드의 억제이며, 자외선 파탄이 해소되는 물리적 이유예요.
검산: \(T = 6000\;\mathrm{K}\)은 태양 표면 온도이며, 태양광의 스펙트럼이 가시광 부근에서 피크를 가지고 자외선 영역에서 급감하는 것과 일치해요.
Medium（표준）
M-1. Bohr 모델에 의한 수소 원자의 에너지 준위 도출
→ 문제로 돌아가기
(a) 궤도 반지름 \(r_n\)과 속도 \(v_n\)
힘의 평형:
\[
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \tag{i}
\]
Bohr의 양자 조건:
\[
m_e v r = n\hbar \tag{ii}
\]
(ii)에서 \(v = n\hbar/(m_e r)\)을 (i)에 대입하면:
\[
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e}{r} \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}
\]
\(r\)에 대해 풀면:
\[
\boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2}
\]
\(r_n\)을 (ii)에 다시 대입하여 \(v_n\)을 구하면:
\[
v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n} = \frac{n\hbar}{m_e \cdot a_0 n^2} = \frac{\hbar}{m_e a_0} \cdot \frac{1}{n}
\]
\(a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)\)를 대입하면:
\[
\boxed{v_n = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n}}
\]
(b) 에너지 준위 \(E_n\)
운동 에너지:
\[
T_n = \frac{1}{2}m_e v_n^2
\]
힘의 평형 (i)에서 \(m_e v^2 = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)\)이므로:
\[
T_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n}
\]
퍼텐셜 에너지:
\[
V_n = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n}
\]
전체 에너지:
\[
E_n = T_n + V_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n}
\]
\(r_n = 4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2/(m_e e^2)\)를 대입하면:
\[
E_n = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}
\]
\[
\boxed{E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}}
\]
(c) Rydberg 공식의 재현
준위 \(m\)에서 \(n\)(\(m > n\))으로의 전이에서 방출되는 빛의 진동수:
\[
h\nu = E_m - E_n = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)
\]
\(c = \lambda\nu\)에서 \(1/\lambda = \nu/c\):
\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 \cdot hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)
\]
\(\hbar = h/(2\pi)\)이므로 \(\hbar^2 h = h^3/(4\pi^2)\):
\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \cdot \frac{h^3}{4\pi^2} \cdot c}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) = \frac{m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 c}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)
\]
정리하면:
\[
\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)
\]
여기서 Rydberg 상수는:
\[
\boxed{R_\infty = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}}
\]
검산: 수치를 대입하면 \(R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\)이 되어 실험값과 일치해요. 또한 \(n=2, m=3\)을 대입하면 D4의 결과(656 nm)가 재현돼요.
M-2. 광전효과 실험 데이터로부터 Planck 상수 결정
→ 문제로 돌아가기
(a) 그래프의 개형
\(K = h\nu - W\) 는 \(\nu\) 의 1차 함수(직선)이며, 기울기 \(h\), \(K\) 절편 \(-W\) 를 가져요.
데이터를 확인하면：
- \(\nu\) 가 \(1.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\) 증가할 때마다 \(K\) 가 약 0.62 eV씩 증가
- 등간격의 증가이며, 직선 관계가 성립해요 ✓
(b) Planck 상수의 결정
직선의 기울기를 2점으로부터 구해요. 예를 들어 첫 번째와 마지막 데이터 점을 사용하면：
\[
h = \frac{\Delta K}{\Delta \nu} = \frac{(2.07 - 0.21)\;\mathrm{eV}}{(10.5 - 6.0) \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} = \frac{1.86\;\mathrm{eV}}{4.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}}
\]
\[
\boxed{h = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s}}
\]
확인： 인접한 2점으로도 계산해요：
\[
\frac{0.83 - 0.21}{(7.5 - 6.0) \times 10^{14}} = \frac{0.62}{1.5 \times 10^{14}} = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s} \quad \checkmark
\]
(c) 일함수의 결정
\(K = h\nu - W\) 로부터：
\[
W = h\nu - K = (4.13 \times 10^{-15})(6.0 \times 10^{14}) - 0.21 = 2.48 - 0.21 = 2.27\;\mathrm{eV}
\]
\[
\boxed{W \simeq 2.27\;\mathrm{eV}}
\]
별법： 문턱 진동수 \(\nu_0\)（\(K = 0\) 이 되는 진동수）를 구하면：
\[
\nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{2.27}{4.13 \times 10^{-15}} = 5.50 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}
\]
이는 D2 나트륨의 문턱 진동수와 거의 일치하며, 이 금속이 나트륨임을 시사해요.
(d) SI 단위로의 환산과 문헌값과의 비교
\[
h = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV}
\]
\[
h = 6.62 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}
\]
\[
\boxed{h \simeq 6.62 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}}
\]
문헌값 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) 과 비교하면, 상대 오차는 약 0.1%로 매우 잘 일치해요.
검산： 모든 데이터 점이 직선 위에 놓이는지 확인해요. \(K = (4.13 \times 10^{-15})\nu - 2.27\) 에 각 \(\nu\) 를 대입하면：
- \(\nu = 6.0 \times 10^{14}\): \(K = 2.48 - 2.27 = 0.21\) ✓
- \(\nu = 7.5 \times 10^{14}\): \(K = 3.10 - 2.27 = 0.83\) ✓
- \(\nu = 9.0 \times 10^{14}\): \(K = 3.72 - 2.27 = 1.45\) ✓
- \(\nu = 10.5 \times 10^{14}\): \(K = 4.34 - 2.27 = 2.07\) ✓
M-3. 고전적 원자 붕괴 시간의 크기 어림
→ 문제로 돌아가기
(a) 구심 가속도
쿨롱 힘으로부터:
\[
F = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a_0^2} = m_e a
\]
\[
a = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a_0^2}
\]
수치 계산:
\[
a = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{(1.113 \times 10^{-10})(9.109 \times 10^{-31})(5.3 \times 10^{-11})^2}
\]
분자:
\[
(1.602 \times 10^{-19})^2 = 2.566 \times 10^{-38}\;\mathrm{C^2}
\]
분모:
\[
(1.113 \times 10^{-10})(9.109 \times 10^{-31})(2.809 \times 10^{-21})
\]
\[
= 1.113 \times 9.109 \times 2.809 \times 10^{-10-31-21} = 28.48 \times 10^{-62} = 2.848 \times 10^{-61}
\]
\[
a = \frac{2.566 \times 10^{-38}}{2.848 \times 10^{-61}} = 9.01 \times 10^{22}\;\mathrm{m/s^2}
\]
\[
\boxed{a \simeq 9.0 \times 10^{22}\;\mathrm{m/s^2}}
\]
(b) 복사 전력
라머 공식:
\[
P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}
\]
\[
P = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2 \times (9.0 \times 10^{22})^2}{6\pi \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3.00 \times 10^8)^3}
\]
분자:
\[
(2.566 \times 10^{-38}) \times (8.1 \times 10^{44}) = 2.08 \times 10^{7}
\]
분모:
\[
6\pi \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (2.7 \times 10^{25}) = 6\pi \times 2.39 \times 10^{14}
\]
\[
= 18.85 \times 2.39 \times 10^{14} = 4.50 \times 10^{15}
\]
\[
P = \frac{2.08 \times 10^{7}}{4.50 \times 10^{15}} = 4.6 \times 10^{-9}\;\mathrm{W}
\]
\[
\boxed{P \simeq 4.6 \times 10^{-9}\;\mathrm{W}}
\]
(c) 붕괴 시간 추정
\[
|E_1| = 13.6\;\mathrm{eV} = 13.6 \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.18 \times 10^{-18}\;\mathrm{J}
\]
\[
\tau \sim \frac{|E_1|}{P} = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{4.6 \times 10^{-9}} = 4.7 \times 10^{-10}\;\mathrm{s}
\]
\[
\boxed{\tau \sim 5 \times 10^{-10}\;\mathrm{s}}
\]
검산과 고찰: 이 추정값은 식 (1.5)의 \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\)보다 약 1자릿수 크지만, 자릿수 추정으로서는 타당한 범위 내에 있어요. 엄밀한 계산에서는 전자가 나선을 그리며 떨어지는 과정에서 가속도가 증가하고(\(r\)이 작아지므로), 복사 전력도 증가하기 때문에 실제 붕괴 시간은 이 단순한 추정보다 짧아져요. 어느 경우든 \(10^{-11}\)~\(10^{-10}\;\mathrm{s}\) 자릿수이며, 원자가 고전적으로는 순식간에 붕괴한다는 것이 확인되었어요.
M-4. Planck 분포의 고진동수 극한과 Wien의 법칙
→ 문제로 돌아가기
(a) 빈의 복사 법칙
\(h\nu \gg k_B T\) 일 때, \(e^{h\nu/k_B T} \gg 1\) 이므로:
\[
e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq e^{h\nu/k_B T}
\]
따라서:
\[
B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T}}
\]
\[
\boxed{B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T} \quad (h\nu \gg k_B T)}
\]
이것이 빈의 복사 법칙이에요. \(\square\)
(b) 빈의 변위 법칙
\(x = h\nu/(k_B T)\) 로 놓으면 \(\nu = k_B T x / h\) 이며:
\[
B(\nu, T) = \frac{2h}{c^2}\left(\frac{k_B T}{h}\right)^3 x^3 \cdot \frac{1}{e^x - 1}
\]
\(B\) 가 최대가 되는 조건 \(\partial B / \partial \nu = 0\) 을 생각해요. \(\nu\) 에 대한 미분을 \(x\) 에 대한 미분으로 변환하면 (\(T\) 를 고정하면 \(d\nu \propto dx\)):
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x^3}{e^x - 1}\right] = 0
\]
이를 전개하면:
\[
\frac{3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x}{(e^x - 1)^2} = 0
\]
분자 = 0 의 조건:
\[
3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x = 0
\]
\(x^2\) 으로 나누면 (\(x \neq 0\)):
\[
3(e^x - 1) - x e^x = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3 - 3e^{-x} - x = 0 \quad \Longrightarrow \quad (3 - x) = 3e^{-x}
\]
이것은 \(x\) 만의 초월방정식이며, 그 해 \(x_{\max}\) 는 온도 \(T\) 에 의존하지 않는 상수예요 (수치적으로 \(x_{\max} \simeq 2.821\)).
\(x_{\max} = h\nu_{\max}/(k_B T)\) 가 상수이므로:
\[
\boxed{\nu_{\max} = \frac{x_{\max} \cdot k_B}{h} \cdot T \propto T}
\]
이것이 빈의 변위 법칙이에요. \(\square\)
검산: \(T = 6000\;\mathrm{K}\) 일 때 \(\nu_{\max} = 2.821 \times (1.38 \times 10^{-23})/(6.626 \times 10^{-34}) \times 6000 \simeq 3.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\). 대응하는 파장은 \(\lambda \simeq 860\;\mathrm{nm}\) (근적외선)이에요. 파장 표시에서의 빈의 변위 법칙 \(\lambda_{\max} T = 2.898 \times 10^{-3}\;\mathrm{m \cdot K}\) 로부터는 \(\lambda_{\max} \simeq 483\;\mathrm{nm}\) 이 되어 다르지만, 이는 진동수 표시와 파장 표시에서 피크 위치가 다른 것에 의한 알려진 효과이며, 모순이 아니에요.
Advanced（발전）
A-1. 고전적 등분배 법칙에 의한 Rayleigh–Jeans 법칙의 유도와 자외선 파탄
→ 문제로 돌아가기
(a) 모드 수의 도출
한 변의 길이가 \(L\)인 정육면체 공동 내에서, 경계 조건(벽에서 전기장이 0)을 만족하는 정재파의 파수는:
\[
k_x = \frac{n_x \pi}{L}, \quad k_y = \frac{n_y \pi}{L}, \quad k_z = \frac{n_z \pi}{L} \quad (n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots)
\]
\(k\) 공간에서, 격자점의 간격은 \(\pi/L\)이며, 격자점 1개당 체적은 \((\pi/L)^3\)이에요.
\(n_x, n_y, n_z > 0\)인 제1팔분공간만 고려해요. 파수의 크기 \(k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}\)가 \(k\)에서 \(k + dk\) 범위에 있는 격자점의 수는, 반지름 \(k\)인 구각의 제1팔분공간 부분의 체적을 격자점 밀도로 나눈 것이에요:
\[
\text{격자점 수} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi k^2 dk \cdot \frac{1}{(\pi/L)^3} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi k^2 dk \cdot \frac{L^3}{\pi^3}
\]
\[
= \frac{V k^2 dk}{2\pi^2}
\]
전자기파에는 2개의 독립적인 편광이 있으므로, 2배를 하면:
\[
g(k)\,dk = 2 \cdot \frac{V k^2 dk}{2\pi^2} = \frac{V k^2}{\pi^2}\,dk
\]
\[
\boxed{g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk}
\]
(b) 진동수 표현으로의 변환
\(k = 2\pi\nu/c\)이므로 \(dk = 2\pi\,d\nu/c\). 대입하면:
\[
g(\nu)\,d\nu = \frac{V}{\pi^2} \left(\frac{2\pi\nu}{c}\right)^2 \cdot \frac{2\pi}{c}\,d\nu = \frac{V}{\pi^2} \cdot \frac{4\pi^2\nu^2}{c^2} \cdot \frac{2\pi}{c}\,d\nu
\]
\[
= \frac{8\pi^3 V \nu^2}{\pi^2 c^3}\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu
\]
\[
\boxed{g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu}
\]
(c) Rayleigh–Jeans 법칙
고전적 에너지 등분배 정리에 의해, 각 모드의 평균 에너지는 \(k_B T\) (운동 에너지와 퍼텐셜 에너지 각각 \(\frac{1}{2}k_B T\)씩)예요.
단위 체적당 스펙트럼 에너지 밀도:
\[
u(\nu, T) = \frac{1}{V} \cdot g(\nu) \cdot k_B T = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} k_B T
\]
\[
\boxed{u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} k_B T}
\]
(d) 자외선 파탄
전체 에너지 밀도를 구하기 위해 \(\nu\)로 적분하면:
\[
u_{\text{total}} = \int_0^\infty u(\nu, T)\,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3} \int_0^\infty \nu^2\,d\nu
\]
\[
\int_0^\infty \nu^2\,d\nu = \left[\frac{\nu^3}{3}\right]_0^\infty = \infty
\]
전체 에너지 밀도가 발산해요. 이것은 물리적으로 불합리하며, 고진동수(자외선 이상)의 모드가 한없이 에너지를 갖는다는 것을 의미해요. 이것이 자외선 파탄 (ultraviolet catastrophe)이에요. \(\square\)
(e) Planck의 평균 에너지에 의한 해결
등분배 정리의 \(k_B T\)를 Planck의 평균 에너지 \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\)로 대체하면:
\[
u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} \cdot \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1}
\]
고진동수(\(h\nu \gg k_B T\))에서는:
\[
\frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq h\nu \cdot e^{-h\nu/k_B T}
\]
이것은 지수함수적으로 감쇠하므로, \(\nu^2 \cdot h\nu \cdot e^{-h\nu/k_B T} = h\nu^3 e^{-h\nu/k_B T}\)는 \(\nu \to \infty\)에서 0으로 수렴해요. 따라서:
\[
u_{\text{total}} = \int_0^\infty \frac{8\pi h\nu^3}{c^3(e^{h\nu/k_B T} - 1)}\,d\nu < \infty
\]
적분은 유한한 값으로 수렴해요 (실제로 계산하면 Stefan–Boltzmann 법칙 \(u_{\text{total}} \propto T^4\)을 얻을 수 있어요).
물리적 이유: 에너지의 양자화로 인해, 고진동수 모드는 1양자 \(h\nu\)의 에너지가 열에너지 \(k_B T\)를 크게 초과하기 때문에, Boltzmann 인자 \(e^{-h\nu/k_B T}\)에 의해 여기 확률이 지수적으로 억제돼요. 이로 인해 자외선 파탄은 해소돼요. \(\square\)
A-2. Bohr 모델의 일반화：수소 유사 이온과 대응 원리
→ 문제로 돌아가기
(a) 수소형 이온의 궤도 반지름과 에너지 준위
원자핵의 전하가 \(Ze\)이므로, 쿨롱 힘은:
\[
\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r}
\]
양자 조건 \(m_e v r = n\hbar\)와 결합해요. D5와 같은 절차로 \(v = n\hbar/(m_e r)\)를 대입하면:
\[
\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}
\]
\[
\boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e Z e^2} \cdot n^2 = \frac{a_0}{Z} \cdot n^2}
\]
속도:
\[
v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n} = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n}
\]
전체 에너지 (S1(b)와 마찬가지로 \(E_n = -Ze^2/(8\pi\varepsilon_0 r_n)\)):
\[
E_n = -\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} = -\frac{m_e Z^2 e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}
\]
\[
\boxed{E_n = -\frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -Z^2 \cdot \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2}}
\]
(b) He\(^+\) (\(Z = 2\))의 바닥 상태
궤도 반지름:
\[
r_1 = \frac{a_0}{Z} = \frac{0.529\;\text{Å}}{2} = 0.265\;\text{Å} = 2.65 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}
\]
에너지:
\[
E_1 = -Z^2 \times 13.6\;\mathrm{eV} = -4 \times 13.6 = -54.4\;\mathrm{eV}
\]
수소 원자와의 비교:
|
수소 (\(Z=1\)) |
He\(^+\) (\(Z=2\)) |
| \(r_1\) |
\(0.529\;\text{Å}\) |
\(0.265\;\text{Å}\) (절반) |
| \(E_1\) |
\(-13.6\;\mathrm{eV}\) |
\(-54.4\;\mathrm{eV}\) (4배 깊음) |
He\(^+\)는 수소보다 궤도가 작고 (핵전하가 강하기 때문에 전자가 더 강하게 끌려서), 결합 에너지가 4배 커요.
(c) 대응 원리의 확인
양자적 전이 진동수:
\[
\nu_{n \to n-1} = \frac{E_n - E_{n-1}}{h} = \frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h}\left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right)
\]
괄호 안을 계산하면:
\[
\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - (n-1)^2}{n^2(n-1)^2} = \frac{2n - 1}{n^2(n-1)^2}
\]
\(n \gg 1\)일 때 \(2n - 1 \simeq 2n\), \((n-1)^2 \simeq n^2\)이므로:
\[
\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \simeq \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} = \frac{2}{n^3}
\]
따라서:
\[
\nu_{n \to n-1} \simeq \frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h} \cdot \frac{2}{n^3} = \frac{Z^2 m_e e^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h \cdot n^3} \tag{★}
\]
고전적 회전 주파수:
\[
f_n = \frac{v_n}{2\pi r_n}
\]
\(v_n = Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 \hbar n)\)과 \(r_n = 4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2/(m_e Ze^2)\)를 대입하면:
\[
f_n = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar n} \cdot \frac{m_e Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2}
\]
\[
= \frac{Z^2 m_e e^4}{2\pi (4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^3 n^3}
\]
\(\hbar = h/(2\pi)\)이므로 \(\hbar^3 = h^3/(8\pi^3)\):
\[
f_n = \frac{Z^2 m_e e^4}{2\pi (4\pi\varepsilon_0)^2 n^3} \cdot \frac{8\pi^3}{h^3} = \frac{Z^2 m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 n^3}
\]
한편, (★)을 \(\hbar = h/(2\pi)\)로 다시 쓰면:
\[
\nu_{n \to n-1} \simeq \frac{Z^2 m_e e^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2} \cdot h \cdot n^3} = \frac{Z^2 m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 n^3}
\]
이것은 \(f_n\)과 완전히 일치해요:
\[
\boxed{\nu_{n \to n-1} \simeq f_n \quad (n \gg 1)}
\]
대응 원리의 의미: 양자수가 큰 극한 (\(n \gg 1\))에서는, 양자론이 예측하는 전이 진동수가 고전론이 예측하는 궤도 회전 주파수와 일치해요. 이것은 양자론이 고전론의 "올바른 일반화"라는 증거이며, 보어가 자신의 모델의 타당성을 확인하기 위해 사용한 중요한 원리예요. \(\square\)
검산: \(Z = 1\), \(n = 1000\)인 경우를 생각하면, \(r_{1000} = 10^6 a_0 \simeq 0.05\;\mathrm{mm}\)라는 거시적 스케일이 되어, 고전적인 묘사가 적용될 수 있다는 것을 직관적으로도 이해할 수 있어요.