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제 1 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Planck 상수의 작음을 체감하기

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문제:

가시광선의 대표적인 진동수를 \(\nu = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\) 로 해요. 광자 1개의 에너지 \(E = h\nu\) 를 SI 단위 (J)로 계산하고, 나아가 전자볼트 (eV)로 환산하세요. 단, \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\), \(1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}\) 로 해요.

풀이 방침: \(E = h\nu\) 에 수치를 대입하여 J 단위로 구한 후 eV로 환산해요.

계산:

\[ E = h\nu = (6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}) \times (5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}) \]
\[ E = 6.626 \times 5.0 \times 10^{-34+14}\;\mathrm{J} = 33.13 \times 10^{-20}\;\mathrm{J} \]
\[ \boxed{E = 3.3 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}} \]

eV로의 환산:

\[ E\;[\mathrm{eV}] = \frac{3.313 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}}{1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV}} = 2.07\;\mathrm{eV} \]
\[ \boxed{E \simeq 2.1\;\mathrm{eV}} \]

검산: 가시광선의 광자 에너지는 1.8~3.1 eV 정도이며, 2.1 eV는 녹색 부근에 해당해요. 타당한 값이에요.

B-2. 일함수와 문턱 진동수

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문제:

나트륨 (Na)의 일함수는 \(W = 2.28\;\mathrm{eV}\)예요. 광전효과가 일어나기 위한 문턱 진동수 \(\nu_0\)를 구하세요. 또한, 대응하는 문턱 파장 \(\lambda_0\)를 nm 단위로 구하세요. 단, \(c = 3.00 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\)로 해요.

풀이 방침: 문턱 조건 \(h\nu_0 = W\)에서 \(\nu_0\)를 구하고, \(\lambda_0 = c/\nu_0\)로 파장으로 환산해요.

계산:

먼저 일함수를 J로 환산해요:

\[ W = 2.28\;\mathrm{eV} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV} = 3.653 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} \]

문턱 진동수:

\[ \nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{3.653 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = 5.51 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz} \]
\[ \boxed{\nu_0 \simeq 5.51 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} \]

문턱 파장:

\[ \lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.00 \times 10^8}{5.51 \times 10^{14}} = 5.44 \times 10^{-7}\;\mathrm{m} \]
\[ \boxed{\lambda_0 \simeq 544\;\mathrm{nm}} \]

검산: 544 nm는 녹색 가시광에 해당해요. 나트륨의 광전 효과 문턱값이 가시광 영역에 있다는 것은 실험 사실과 일치해요. 또한 \(hc/\lambda_0 = (6.626 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)/(5.44 \times 10^{-7}) = 3.65 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} = 2.28\;\mathrm{eV}\)로 \(W\)와 일치해요.

B-3. 광전효과의 운동 에너지

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문제:

일함수 \(W = 4.50\;\mathrm{eV}\)인 금속에 파장 \(\lambda = 200\;\mathrm{nm}\)의 자외선을 조사했어요. 방출되는 전자의 최대 운동 에너지 \(K\)를 eV 단위로 구하세요.

풀이 방침: \(hc \simeq 1240\;\mathrm{eV \cdot nm}\)을 이용하여 광자 에너지를 구하고, \(K = E - W\)를 계산해요.

계산:

\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\;\mathrm{eV \cdot nm}}{200\;\mathrm{nm}} = 6.20\;\mathrm{eV} \]
\[ K = E - W = 6.20 - 4.50 = 1.70\;\mathrm{eV} \]
\[ \boxed{K = 1.70\;\mathrm{eV}} \]

검산: 광자 에너지 6.20 eV는 자외선으로서 타당해요(파장 200 nm는 진공 자외선 영역). \(K > 0\)이므로 광전 효과가 일어나요. 차원도 eV로 정합해요.

B-4. Rydberg 공식을 이용한 파장 계산

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문제:

Rydberg 공식 (1.6)을 이용하여, 수소 원자의 Balmer(발머) 계열（\(n = 2\)）중에서 \(m = 3\)에 대응하는 스펙트럼선의 파장 \(\lambda\)를 nm 단위로 구하세요. \(R_\infty = 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\)로 해요.

풀이 방침: Balmer 계열 \(n=2\), \(m=3\)을 Rydberg 공식에 대입해요.

계산:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = R_\infty \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) \]
\[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 4}{36} = \frac{5}{36} \]
\[ \frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.097 \times 10^7 \times 0.1389 = 1.524 \times 10^6\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \lambda = \frac{1}{1.524 \times 10^6} = 6.56 \times 10^{-7}\;\mathrm{m} \]
\[ \boxed{\lambda \simeq 656\;\mathrm{nm}} \]

검산: 이것은 수소의 H\(\alpha\) 선(빨간색)으로 유명한 값이며, 실험값 656.3 nm과 잘 일치해요.

B-5. Bohr의 양자 조건과 궤도 반지름

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문제:

수소 원자의 Bohr 모델에서, 전자의 원운동에 대한 힘의 균형(Coulomb 힘 = 구심력)은

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \]

으로 주어져요. Bohr의 양자 조건 \(m_e v r = n\hbar\) 과 결합하여, \(n\) 번째 궤도 반지름 \(r_n\) 을 \(n\), \(\hbar\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\) 로 나타내세요.

풀이 방침: 양자 조건에서 \(v\)를 소거하고, 힘의 평형 식을 \(r\)에 대해 풀어요.

계산:

Bohr의 양자 조건으로부터:

\[ m_e v r = n\hbar \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{n\hbar}{m_e r} \]

힘의 평형에 대입:

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} = \frac{m_e}{r} \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]

\(r\)에 대해 풀면:

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]
\[ r = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2\hbar^2}{m_e e^2} \]
\[ \boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2} \]

여기서 \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\)는 Bohr 반지름이에요.

검산: 차원을 확인해요. \([4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\), \([\hbar^2] = \mathrm{J^2 \cdot s^2}\), \([m_e] = \mathrm{kg}\), \([e^2] = \mathrm{C^2}\)이므로,

\[ \frac{\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)} \cdot \mathrm{J^2 \cdot s^2}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{C^2}} = \frac{\mathrm{J^2 \cdot s^2}}{\mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg}} \]

\(\mathrm{J} = \mathrm{N \cdot m}\), \(\mathrm{J \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{N \cdot m \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2} \cdot m \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{m}\). 차원은 길이로 올바르게 나와요.

B-6. Bohr 반지름의 수치 계산

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문제:

D5의 결과에서 \(n = 1\)로 놓은 값을 Bohr 반지름 \(a_0\)이라고 불러요. 아래의 상수를 이용하여 \(a_0\)의 값을 유효숫자 3자리로 계산하세요.

  • \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\;\mathrm{kg}\)
  • \(e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}\)
  • \(4\pi\varepsilon_0 = 1.113 \times 10^{-10}\;\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\)

풀이 방침: \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\) 에 수치를 대입해요.

계산:

분자:

\[ 4\pi\varepsilon_0 \cdot \hbar^2 = (1.113 \times 10^{-10}) \times (1.055 \times 10^{-34})^2 \]
\[ = (1.113 \times 10^{-10}) \times (1.113 \times 10^{-68}) \]
\[ = 1.239 \times 10^{-78}\;\mathrm{C^2 \cdot J \cdot s^2 / (N \cdot m^2)} \]

분모:

\[ m_e e^2 = (9.109 \times 10^{-31}) \times (1.602 \times 10^{-19})^2 \]
\[ = (9.109 \times 10^{-31}) \times (2.566 \times 10^{-38}) \]
\[ = 2.337 \times 10^{-68}\;\mathrm{kg \cdot C^2} \]

따라서:

\[ a_0 = \frac{1.239 \times 10^{-78}}{2.337 \times 10^{-68}} = 0.530 \times 10^{-10}\;\mathrm{m} \]
\[ \boxed{a_0 \simeq 5.29 \times 10^{-11}\;\mathrm{m} \simeq 0.529\;\text{Å}} \]

검산: 문헌값 \(a_0 = 5.292 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\) 과 일치해요. 원자의 크기 \(\sim 10^{-10}\;\mathrm{m}\) 의 자릿수와도 부합해요.

B-7. Planck 분포의 극한

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문제:

Planck의 평균 에너지 공식

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1} \]

에 대해, \(h\nu \ll k_B T\)의 극한에서 \(\langle E \rangle \simeq k_B T\)가 됨을 \(e^x \simeq 1 + x\)（\(x \ll 1\)）의 근사를 이용하여 보이세요.

풀이 방침: \(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\)로 놓고 지수함수를 1차까지 전개해요.

계산:

\(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\)로 놓으면:

\[ e^x \simeq 1 + x \]

따라서 분모는:

\[ e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq (1 + x) - 1 = x = \frac{h\nu}{k_B T} \]

그러므로:

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq \frac{h\nu}{h\nu/(k_B T)} = k_B T \]
\[ \boxed{\langle E \rangle \simeq k_B T \quad (h\nu \ll k_B T)} \]

검산: 이것은 고전적 등분배 정리의 결과(조화 진동자의 평균 에너지 \(k_B T\))와 일치해요. Planck의 공식이 저진동수 극한에서 고전론을 재현하는 것을 확인할 수 있었어요.

B-8. Boltzmann 인자의 비교

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문제:

온도 \(T = 6000\;\mathrm{K}\)（태양 표면의 온도 정도）에서, 다음 2가지 진동수에 대한 Boltzmann 인자 \(e^{-h\nu / k_B T}\)를 각각 계산하세요.

(a) 가시광: \(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)

(b) 자외광: \(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)

결과를 비교하고, 고진동수 모드가 억제되는 양상을 확인하세요.

풀이 방침: 먼저 \(k_B T\)를 계산하고, 각 진동수에 대해 \(h\nu/(k_B T)\)를 구하여 Boltzmann 인자를 평가해요.

계산:

\[ k_B T = (1.38 \times 10^{-23})(6000) = 8.28 \times 10^{-20}\;\mathrm{J} \]

(a) 가시광 \(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)：

\[ h\nu_1 = (6.626 \times 10^{-34})(5.0 \times 10^{14}) = 3.31 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} \]
\[ \frac{h\nu_1}{k_B T} = \frac{3.31 \times 10^{-19}}{8.28 \times 10^{-20}} = 4.00 \]
\[ e^{-h\nu_1/k_B T} = e^{-4.00} \simeq 0.018 \]
\[ \boxed{e^{-h\nu_1/k_B T} \simeq 1.8 \times 10^{-2}} \]

(b) 자외선 \(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)：

\[ h\nu_2 = (6.626 \times 10^{-34})(3.0 \times 10^{15}) = 1.99 \times 10^{-18}\;\mathrm{J} \]
\[ \frac{h\nu_2}{k_B T} = \frac{1.99 \times 10^{-18}}{8.28 \times 10^{-20}} = 24.0 \]
\[ e^{-h\nu_2/k_B T} = e^{-24.0} \simeq 3.8 \times 10^{-11} \]
\[ \boxed{e^{-h\nu_2/k_B T} \simeq 3.8 \times 10^{-11}} \]

비교: 가시광의 Boltzmann 인자는 약 \(10^{-2}\)(작지만 무시할 수 없는 값)인 반면, 자외선에서는 약 \(10^{-11}\)(사실상 0)이에요. 진동수가 6배가 되었을 뿐인데, Boltzmann 인자는 9자릿수나 작아져요. 이것이 고진동수 모드의 억제이며, 자외선 파탄이 해소되는 물리적 이유예요.

검산: \(T = 6000\;\mathrm{K}\)은 태양 표면 온도이며, 태양광의 스펙트럼이 가시광 부근에서 피크를 가지고 자외선 영역에서 급감하는 것과 일치해요.

Medium（표준）

M-1. Bohr 모델에 의한 수소 원자의 에너지 준위 도출

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문제:

수소 원자의 Bohr 모델에서, 다음 절차에 따라 에너지 준위 \(E_n\)을 도출하세요.

(a) 전자의 원운동에 대한 힘의 균형(Coulomb 힘 = 구심력)과 Bohr의 양자 조건 \(L = n\hbar\)를 연립하여, \(n\)번째 궤도의 반지름 \(r_n\)과 속도 \(v_n\)을 구하세요.

(b) 전자의 전체 에너지(운동 에너지 + Coulomb 퍼텐셜 에너지)를 \(r_n\)으로 표현하고,

\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{*} \]

을 도출하세요.

(c) 진동수 조건 \(h\nu = E_m - E_n\)과 \(c = \lambda\nu\)를 이용하여 Rydberg 공식 (1.6)을 재현하고, Rydberg 상수 \(R_\infty\)를 기본 상수로 표현하세요.

(a) 궤도 반지름 \(r_n\)과 속도 \(v_n\):

힘의 평형:

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \tag{i} \]

Bohr의 양자 조건:

\[ m_e v r = n\hbar \tag{ii} \]

(ii)에서 \(v = n\hbar/(m_e r)\)을 (i)에 대입하면:

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e}{r} \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]

\(r\)에 대해 풀면:

\[ \boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2} \]

\(r_n\)을 (ii)에 다시 대입하여 \(v_n\)을 구하면:

\[ v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n} = \frac{n\hbar}{m_e \cdot a_0 n^2} = \frac{\hbar}{m_e a_0} \cdot \frac{1}{n} \]

\(a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)\)를 대입하면:

\[ \boxed{v_n = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n}} \]

(b) 에너지 준위 \(E_n\):

운동 에너지:

\[ T_n = \frac{1}{2}m_e v_n^2 \]

힘의 평형 (i)에서 \(m_e v^2 = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)\)이므로:

\[ T_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} \]

퍼텐셜 에너지:

\[ V_n = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} \]

전체 에너지:

\[ E_n = T_n + V_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n} \]

\(r_n = 4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2/(m_e e^2)\)를 대입하면:

\[ E_n = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
\[ \boxed{E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}} \]

(c) Rydberg 공식의 재현:

준위 \(m\)에서 \(n\)(\(m > n\))으로의 전이에서 방출되는 빛의 진동수:

\[ h\nu = E_m - E_n = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

\(c = \lambda\nu\)에서 \(1/\lambda = \nu/c\):

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 \cdot hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

\(\hbar = h/(2\pi)\)이므로 \(\hbar^2 h = h^3/(4\pi^2)\):

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \cdot \frac{h^3}{4\pi^2} \cdot c}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) = \frac{m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 c}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

정리하면:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

여기서 Rydberg 상수는:

\[ \boxed{R_\infty = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}} \]

검산: 수치를 대입하면 \(R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\)이 되어 실험값과 일치해요. 또한 \(n=2, m=3\)을 대입하면 D4의 결과(656 nm)가 재현돼요.

M-2. 광전효과 실험 데이터로부터 Planck 상수 결정

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문제:

광전효과 실험에서 어떤 금속에 다양한 진동수 \(\nu\)의 빛을 조사하여 방출되는 전자의 최대 운동에너지 \(K\)를 측정했어요. 다음과 같은 데이터가 얻어졌다고 해요.

\(\nu\;[10^{14}\;\mathrm{Hz}]\) \(K\;[\mathrm{eV}]\)
6.0 0.21
7.5 0.83
9.0 1.45
10.5 2.07

(a) \(K\)를 \(\nu\)의 함수로 그래프의 개형을 그리고, 직선 관계 \(K = h\nu - W\)가 성립함을 확인하세요.

(b) 데이터로부터 Planck 상수 \(h\)의 값을 eV·s 단위로 구하세요.

(c) 이 금속의 일함수 \(W\)를 eV 단위로 구하세요.

(d) 구한 \(h\)의 값을 SI 단위 (J·s)로 환산하고, 문헌값 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)와 비교하세요.

(a) 그래프의 개형:

\(K = h\nu - W\) 는 \(\nu\) 의 1차 함수(직선)이며, 기울기 \(h\), \(K\) 절편 \(-W\) 를 가져요.

데이터를 확인하면： - \(\nu\) 가 \(1.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\) 증가할 때마다 \(K\) 가 약 0.62 eV씩 증가 - 등간격의 증가이며, 직선 관계가 성립해요 ✓

(b) Planck 상수의 결정:

직선의 기울기를 2점으로부터 구해요. 예를 들어 첫 번째와 마지막 데이터 점을 사용하면：

\[ h = \frac{\Delta K}{\Delta \nu} = \frac{(2.07 - 0.21)\;\mathrm{eV}}{(10.5 - 6.0) \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} = \frac{1.86\;\mathrm{eV}}{4.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} \]
\[ \boxed{h = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s}} \]

확인： 인접한 2점으로도 계산해요：

\[ \frac{0.83 - 0.21}{(7.5 - 6.0) \times 10^{14}} = \frac{0.62}{1.5 \times 10^{14}} = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s} \quad \checkmark \]

(c) 일함수의 결정:

\(K = h\nu - W\) 로부터：

\[ W = h\nu - K = (4.13 \times 10^{-15})(6.0 \times 10^{14}) - 0.21 = 2.48 - 0.21 = 2.27\;\mathrm{eV} \]
\[ \boxed{W \simeq 2.27\;\mathrm{eV}} \]

별법： 문턱 진동수 \(\nu_0\)（\(K = 0\) 이 되는 진동수）를 구하면：

\[ \nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{2.27}{4.13 \times 10^{-15}} = 5.50 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz} \]

이는 D2 나트륨의 문턱 진동수와 거의 일치하며, 이 금속이 나트륨임을 시사해요.

(d) SI 단위로의 환산과 문헌값과의 비교:

\[ h = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV} \]
\[ h = 6.62 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \]
\[ \boxed{h \simeq 6.62 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}} \]

문헌값 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) 과 비교하면, 상대 오차는 약 0.1%로 매우 잘 일치해요.

검산： 모든 데이터 점이 직선 위에 놓이는지 확인해요. \(K = (4.13 \times 10^{-15})\nu - 2.27\) 에 각 \(\nu\) 를 대입하면： - \(\nu = 6.0 \times 10^{14}\): \(K = 2.48 - 2.27 = 0.21\) ✓ - \(\nu = 7.5 \times 10^{14}\): \(K = 3.10 - 2.27 = 0.83\) ✓ - \(\nu = 9.0 \times 10^{14}\): \(K = 3.72 - 2.27 = 1.45\) ✓ - \(\nu = 10.5 \times 10^{14}\): \(K = 4.34 - 2.27 = 2.07\) ✓

M-3. 고전적 원자 붕괴 시간의 크기 어림

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문제:

고전 전자기학에서, 가속도 \(a\)로 운동하는 전하 \(e\)가 단위 시간당 방출하는 에너지(Larmor 공식)는

\[ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]

로 주어져요. 수소 원자의 전자가 Bohr 반지름 \(a_0 \simeq 5.3 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\)의 원궤도 위에 있다고 가정하고, 다음을 구하세요.

(a) 전자의 구심 가속도 \(a\)를 힘의 평형으로부터 \(a_0\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\)로 나타내고, 수치를 계산하세요.

(b) Larmor 공식을 이용하여 복사 전력 \(P\)를 계산하세요.

(c) 전자의 전체 에너지 \(E_1 = -13.6\;\mathrm{eV}\)를 이용하여, \(|E_1|/P\)의 크기로부터 고전적 붕괴 시간 \(\tau\)를 어림하고, 식 (1.5)의 \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\)와 일치하는지 확인하세요.

(a) 구심 가속도:

쿨롱 힘으로부터:

\[ F = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a_0^2} = m_e a \]
\[ a = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a_0^2} \]

수치 계산:

\[ a = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{(1.113 \times 10^{-10})(9.109 \times 10^{-31})(5.3 \times 10^{-11})^2} \]

분자:

\[ (1.602 \times 10^{-19})^2 = 2.566 \times 10^{-38}\;\mathrm{C^2} \]

분모:

\[ (1.113 \times 10^{-10})(9.109 \times 10^{-31})(2.809 \times 10^{-21}) \]
\[ = 1.113 \times 9.109 \times 2.809 \times 10^{-10-31-21} = 28.48 \times 10^{-62} = 2.848 \times 10^{-61} \]
\[ a = \frac{2.566 \times 10^{-38}}{2.848 \times 10^{-61}} = 9.01 \times 10^{22}\;\mathrm{m/s^2} \]
\[ \boxed{a \simeq 9.0 \times 10^{22}\;\mathrm{m/s^2}} \]

(b) 복사 전력:

라머 공식:

\[ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]
\[ P = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2 \times (9.0 \times 10^{22})^2}{6\pi \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3.00 \times 10^8)^3} \]

분자:

\[ (2.566 \times 10^{-38}) \times (8.1 \times 10^{44}) = 2.08 \times 10^{7} \]

분모:

\[ 6\pi \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (2.7 \times 10^{25}) = 6\pi \times 2.39 \times 10^{14} \]
\[ = 18.85 \times 2.39 \times 10^{14} = 4.50 \times 10^{15} \]
\[ P = \frac{2.08 \times 10^{7}}{4.50 \times 10^{15}} = 4.6 \times 10^{-9}\;\mathrm{W} \]
\[ \boxed{P \simeq 4.6 \times 10^{-9}\;\mathrm{W}} \]

(c) 붕괴 시간 추정:

\[ |E_1| = 13.6\;\mathrm{eV} = 13.6 \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.18 \times 10^{-18}\;\mathrm{J} \]
\[ \tau \sim \frac{|E_1|}{P} = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{4.6 \times 10^{-9}} = 4.7 \times 10^{-10}\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\tau \sim 5 \times 10^{-10}\;\mathrm{s}} \]

검산과 고찰: 이 추정값은 식 (1.5)의 \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\)보다 약 1자릿수 크지만, 자릿수 추정으로서는 타당한 범위 내에 있어요. 엄밀한 계산에서는 전자가 나선을 그리며 떨어지는 과정에서 가속도가 증가하고(\(r\)이 작아지므로), 복사 전력도 증가하기 때문에 실제 붕괴 시간은 이 단순한 추정보다 짧아져요. 어느 경우든 \(10^{-11}\)~\(10^{-10}\;\mathrm{s}\) 자릿수이며, 원자가 고전적으로는 순식간에 붕괴한다는 것이 확인되었어요.

M-4. Planck 분포의 고진동수 극한과 Wien의 법칙

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문제:

Planck의 흑체복사 스펙트럼 복사휘도(단위 진동수당)는

\[ B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

로 주어져요.

(a) \(h\nu \gg k_B T\) 의 극한에서 \(B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T}\) 가 됨을 보이세요 (Wien(빈)의 복사법칙).

(b) \(B(\nu, T)\) 가 최대가 되는 진동수 \(\nu_{\max}\) 가 온도 \(T\) 에 비례한다는 것(Wien의 변위법칙 \(\nu_{\max} \propto T\))을, \(\partial B / \partial \nu = 0\) 을 \(x = h\nu/(k_B T)\) 로 변환하여 보이세요. (초월방정식을 풀 필요는 없으며, \(x\) 가 상수가 됨을 보이면 충분해요.)

(a) 빈의 복사 법칙:

\(h\nu \gg k_B T\) 일 때, \(e^{h\nu/k_B T} \gg 1\) 이므로:

\[ e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq e^{h\nu/k_B T} \]

따라서:

\[ B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T}} \]
\[ \boxed{B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T} \quad (h\nu \gg k_B T)} \]

이것이 빈의 복사 법칙이에요. \(\square\)

(b) 빈의 변위 법칙:

\(x = h\nu/(k_B T)\) 로 놓으면 \(\nu = k_B T x / h\) 이며:

\[ B(\nu, T) = \frac{2h}{c^2}\left(\frac{k_B T}{h}\right)^3 x^3 \cdot \frac{1}{e^x - 1} \]

\(B\) 가 최대가 되는 조건 \(\partial B / \partial \nu = 0\) 을 생각해요. \(\nu\) 에 대한 미분을 \(x\) 에 대한 미분으로 변환하면 (\(T\) 를 고정하면 \(d\nu \propto dx\)):

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x^3}{e^x - 1}\right] = 0 \]

이를 전개하면:

\[ \frac{3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x}{(e^x - 1)^2} = 0 \]

분자 = 0 의 조건:

\[ 3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x = 0 \]

\(x^2\) 으로 나누면 (\(x \neq 0\)):

\[ 3(e^x - 1) - x e^x = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3 - 3e^{-x} - x = 0 \quad \Longrightarrow \quad (3 - x) = 3e^{-x} \]

이것은 \(x\) 만의 초월방정식이며, 그 해 \(x_{\max}\) 는 온도 \(T\) 에 의존하지 않는 상수예요 (수치적으로 \(x_{\max} \simeq 2.821\)).

\(x_{\max} = h\nu_{\max}/(k_B T)\) 가 상수이므로:

\[ \boxed{\nu_{\max} = \frac{x_{\max} \cdot k_B}{h} \cdot T \propto T} \]

이것이 빈의 변위 법칙이에요. \(\square\)

검산: \(T = 6000\;\mathrm{K}\) 일 때 \(\nu_{\max} = 2.821 \times (1.38 \times 10^{-23})/(6.626 \times 10^{-34}) \times 6000 \simeq 3.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\). 대응하는 파장은 \(\lambda \simeq 860\;\mathrm{nm}\) (근적외선)이에요. 파장 표시에서의 빈의 변위 법칙 \(\lambda_{\max} T = 2.898 \times 10^{-3}\;\mathrm{m \cdot K}\) 로부터는 \(\lambda_{\max} \simeq 483\;\mathrm{nm}\) 이 되어 다르지만, 이는 진동수 표시와 파장 표시에서 피크 위치가 다른 것에 의한 알려진 효과이며, 모순이 아니에요.

Advanced（발전）

A-1. 고전적 등분배 법칙에 의한 Rayleigh–Jeans 법칙의 유도와 자외선 파탄

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문제:

한 변의 길이가 \(L\)인 정육면체 공동 내에 존재하는 전자기장의 정재파 모드 수를 생각해요.

(a) 파수 \(k\)에서 \(k + dk\) 범위에 있는 모드의 수(편광의 2자유도를 포함)가

\[ g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk \]

임을 보이세요. 단, \(V = L^3\)은 공동의 부피예요. (경계 조건으로서, 각 방향에 \(k_x = n_x \pi / L\), \(k_y = n_y \pi / L\), \(k_z = n_z \pi / L\)（\(n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots\)）를 사용하세요.)

(b) \(k = 2\pi\nu/c\)의 관계를 이용하여, 진동수 \(\nu\)에서 \(\nu + d\nu\) 범위의 모드 수를

\[ g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu \]

로 변환하세요.

(c) 고전적 등분배 법칙에 의해 각 모드에 평균 에너지 \(k_B T\)를 배정하면, 단위 부피당 스펙트럼 에너지 밀도 \(u(\nu, T)\)가

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \]

(Rayleigh–Jeans (레일리-진스) 법칙)가 됨을 보이세요.

(d) \(u(\nu, T)\)를 \(\nu = 0\)에서 \(\infty\)까지 적분하면 발산함을 보이고, 이것이 자외선 파탄임을 설명하세요.

(e) 등분배 법칙 대신 Planck의 평균 에너지 \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\)를 사용하면, 전체 에너지 밀도가 유한하게 수렴함을 정성적으로 설명하세요.

(a) 모드 수의 도출:

한 변의 길이가 \(L\)인 정육면체 공동 내에서, 경계 조건(벽에서 전기장이 0)을 만족하는 정재파의 파수는:

\[ k_x = \frac{n_x \pi}{L}, \quad k_y = \frac{n_y \pi}{L}, \quad k_z = \frac{n_z \pi}{L} \quad (n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots) \]

\(k\) 공간에서, 격자점의 간격은 \(\pi/L\)이며, 격자점 1개당 체적은 \((\pi/L)^3\)이에요.

\(n_x, n_y, n_z > 0\)인 제1팔분공간만 고려해요. 파수의 크기 \(k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}\)가 \(k\)에서 \(k + dk\) 범위에 있는 격자점의 수는, 반지름 \(k\)인 구각의 제1팔분공간 부분의 체적을 격자점 밀도로 나눈 것이에요:

\[ \text{격자점 수} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi k^2 dk \cdot \frac{1}{(\pi/L)^3} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi k^2 dk \cdot \frac{L^3}{\pi^3} \]
\[ = \frac{V k^2 dk}{2\pi^2} \]

전자기파에는 2개의 독립적인 편광이 있으므로, 2배를 하면:

\[ g(k)\,dk = 2 \cdot \frac{V k^2 dk}{2\pi^2} = \frac{V k^2}{\pi^2}\,dk \]
\[ \boxed{g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk} \]

(b) 진동수 표현으로의 변환:

\(k = 2\pi\nu/c\)이므로 \(dk = 2\pi\,d\nu/c\). 대입하면:

\[ g(\nu)\,d\nu = \frac{V}{\pi^2} \left(\frac{2\pi\nu}{c}\right)^2 \cdot \frac{2\pi}{c}\,d\nu = \frac{V}{\pi^2} \cdot \frac{4\pi^2\nu^2}{c^2} \cdot \frac{2\pi}{c}\,d\nu \]
\[ = \frac{8\pi^3 V \nu^2}{\pi^2 c^3}\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu \]
\[ \boxed{g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu} \]

(c) Rayleigh–Jeans 법칙:

고전적 에너지 등분배 정리에 의해, 각 모드의 평균 에너지는 \(k_B T\) (운동 에너지와 퍼텐셜 에너지 각각 \(\frac{1}{2}k_B T\)씩)예요.

단위 체적당 스펙트럼 에너지 밀도:

\[ u(\nu, T) = \frac{1}{V} \cdot g(\nu) \cdot k_B T = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} k_B T \]
\[ \boxed{u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} k_B T} \]

(d) 자외선 파탄:

전체 에너지 밀도를 구하기 위해 \(\nu\)로 적분하면:

\[ u_{\text{total}} = \int_0^\infty u(\nu, T)\,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3} \int_0^\infty \nu^2\,d\nu \]
\[ \int_0^\infty \nu^2\,d\nu = \left[\frac{\nu^3}{3}\right]_0^\infty = \infty \]

전체 에너지 밀도가 발산해요. 이것은 물리적으로 불합리하며, 고진동수(자외선 이상)의 모드가 한없이 에너지를 갖는다는 것을 의미해요. 이것이 자외선 파탄 (ultraviolet catastrophe)이에요. \(\square\)

(e) Planck의 평균 에너지에 의한 해결:

등분배 정리의 \(k_B T\)를 Planck의 평균 에너지 \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\)로 대체하면:

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} \cdot \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

고진동수(\(h\nu \gg k_B T\))에서는:

\[ \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq h\nu \cdot e^{-h\nu/k_B T} \]

이것은 지수함수적으로 감쇠하므로, \(\nu^2 \cdot h\nu \cdot e^{-h\nu/k_B T} = h\nu^3 e^{-h\nu/k_B T}\)는 \(\nu \to \infty\)에서 0으로 수렴해요. 따라서:

\[ u_{\text{total}} = \int_0^\infty \frac{8\pi h\nu^3}{c^3(e^{h\nu/k_B T} - 1)}\,d\nu < \infty \]

적분은 유한한 값으로 수렴해요 (실제로 계산하면 Stefan–Boltzmann 법칙 \(u_{\text{total}} \propto T^4\)을 얻을 수 있어요).

물리적 이유: 에너지의 양자화로 인해, 고진동수 모드는 1양자 \(h\nu\)의 에너지가 열에너지 \(k_B T\)를 크게 초과하기 때문에, Boltzmann 인자 \(e^{-h\nu/k_B T}\)에 의해 여기 확률이 지수적으로 억제돼요. 이로 인해 자외선 파탄은 해소돼요. \(\square\)

A-2. Bohr 모델의 일반화：수소 유사 이온과 대응 원리

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문제:

수소 유사 이온（원자번호 \(Z\), 전자 1개）에 Bohr 모델을 적용해요.

(a) 원자핵의 전하가 \(Ze\)임을 고려하여, \(n\) 번째 궤도 반지름 \(r_n\)과 에너지 준위 \(E_n\)을 \(Z\)를 포함하는 형태로 유도하세요.

(b) \(\mathrm{He^+}\)（\(Z = 2\)）의 바닥 상태（\(n = 1\)）의 에너지와 궤도 반지름을 계산하고, 수소 원자와 비교하세요.

(c) Bohr의 대응 원리 (correspondence principle)：양자수 \(n\)이 충분히 클 때, 인접 준위 간의 전이에서 방출되는 빛의 진동수 \(\nu_{n \to n-1}\)가 \(n\) 번째 궤도를 도는 전자의 고전적 회전 주파수 \(f_n\)과 일치함을 보이세요. 즉, \(n \gg 1\)의 극한에서

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq f_n \]

이 됨을 확인하세요.

(a) 수소형 이온의 궤도 반지름과 에너지 준위:

원자핵의 전하가 \(Ze\)이므로, 쿨롱 힘은:

\[ \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \]

양자 조건 \(m_e v r = n\hbar\)와 결합해요. D5와 같은 절차로 \(v = n\hbar/(m_e r)\)를 대입하면:

\[ \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]
\[ \boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e Z e^2} \cdot n^2 = \frac{a_0}{Z} \cdot n^2} \]

속도:

\[ v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n} = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n} \]

전체 에너지 (S1(b)와 마찬가지로 \(E_n = -Ze^2/(8\pi\varepsilon_0 r_n)\)):

\[ E_n = -\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} = -\frac{m_e Z^2 e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
\[ \boxed{E_n = -\frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -Z^2 \cdot \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2}} \]

(b) He\(^+\) (\(Z = 2\))의 바닥 상태:

궤도 반지름:

\[ r_1 = \frac{a_0}{Z} = \frac{0.529\;\text{Å}}{2} = 0.265\;\text{Å} = 2.65 \times 10^{-11}\;\mathrm{m} \]

에너지:

\[ E_1 = -Z^2 \times 13.6\;\mathrm{eV} = -4 \times 13.6 = -54.4\;\mathrm{eV} \]

수소 원자와의 비교:

수소 (\(Z=1\)) He\(^+\) (\(Z=2\))
\(r_1\) \(0.529\;\text{Å}\) \(0.265\;\text{Å}\) (절반)
\(E_1\) \(-13.6\;\mathrm{eV}\) \(-54.4\;\mathrm{eV}\) (4배 깊음)

He\(^+\)는 수소보다 궤도가 작고 (핵전하가 강하기 때문에 전자가 더 강하게 끌려서), 결합 에너지가 4배 커요.

(c) 대응 원리의 확인:

양자적 전이 진동수:

\[ \nu_{n \to n-1} = \frac{E_n - E_{n-1}}{h} = \frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h}\left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) \]

괄호 안을 계산하면:

\[ \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - (n-1)^2}{n^2(n-1)^2} = \frac{2n - 1}{n^2(n-1)^2} \]

\(n \gg 1\)일 때 \(2n - 1 \simeq 2n\), \((n-1)^2 \simeq n^2\)이므로:

\[ \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \simeq \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} = \frac{2}{n^3} \]

따라서:

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq \frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h} \cdot \frac{2}{n^3} = \frac{Z^2 m_e e^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h \cdot n^3} \tag{★} \]

고전적 회전 주파수:

\[ f_n = \frac{v_n}{2\pi r_n} \]

\(v_n = Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 \hbar n)\)과 \(r_n = 4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2/(m_e Ze^2)\)를 대입하면:

\[ f_n = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar n} \cdot \frac{m_e Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} \]
\[ = \frac{Z^2 m_e e^4}{2\pi (4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^3 n^3} \]

\(\hbar = h/(2\pi)\)이므로 \(\hbar^3 = h^3/(8\pi^3)\):

\[ f_n = \frac{Z^2 m_e e^4}{2\pi (4\pi\varepsilon_0)^2 n^3} \cdot \frac{8\pi^3}{h^3} = \frac{Z^2 m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 n^3} \]

한편, (★)을 \(\hbar = h/(2\pi)\)로 다시 쓰면:

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq \frac{Z^2 m_e e^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2} \cdot h \cdot n^3} = \frac{Z^2 m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 n^3} \]

이것은 \(f_n\)과 완전히 일치해요:

\[ \boxed{\nu_{n \to n-1} \simeq f_n \quad (n \gg 1)} \]

대응 원리의 의미: 양자수가 큰 극한 (\(n \gg 1\))에서는, 양자론이 예측하는 전이 진동수가 고전론이 예측하는 궤도 회전 주파수와 일치해요. 이것은 양자론이 고전론의 "올바른 일반화"라는 증거이며, 보어가 자신의 모델의 타당성을 확인하기 위해 사용한 중요한 원리예요. \(\square\)

검산: \(Z = 1\), \(n = 1000\)인 경우를 생각하면, \(r_{1000} = 10^6 a_0 \simeq 0.05\;\mathrm{mm}\)라는 거시적 스케일이 되어, 고전적인 묘사가 적용될 수 있다는 것을 직관적으로도 이해할 수 있어요.