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Appendix H　BRST 양자화와 bc 고스트 계

← G 아인슈타인 방정식의 도출

지난 이야기: 제 16 장 16.7「임계차원의 CFT적 재도출」 에서, 보손 끈의 임계 차원 \(D = 26\)을 "물질장의 중심전하 \(c_{\text{matter}} = D\)와 고스트장의 중심전하 \(c_{\text{ghost}} = -26\)의 합이 영"이라는 조건으로부터 도출했다. 그러나 \(c_{\text{ghost}} = -26\)은 본문에서 "계산은 기술적"이라며 결과만 소개되었다. 이 부록에서는 그 공백을 채운다.

이 부록의 목표

  • Faddeev-Popov 절차에서 출발하여, 왜 끈이론의 양자화에 고스트장 \(b, c\)가 필요한지, 그것들의 에너지-운동량 텐서가 어떻게 결정되는지, 그리고 \(T_{\text{ghost}}\, T_{\text{ghost}}\) OPE의 \((z-w)^{-4}\) 계수가 왜 \(c_{\text{ghost}} = -26\)이 되는지를, 식 변형을 따라갈 수 있는 수준으로 도출한다

난이도에 대해: 이 부록은 본「양자중력 문제에의 도전」편에서 가장 기술적인 섹션이에요. 반교환장(Grassmann 장)의 다루기, Faddeev-Popov의 처방, 반교환장에서의 Wick의 정리 등 새로운 개념이 여러 개 등장해요. 처음 읽을 때는 "\(c_{\text{ghost}} = -26\)이라는 결과만 받아들이고 제 16 장 16.7「임계차원의 CFT적 재도출」을 읽어나가는 것"을 권장해요. 흥미가 생기면 돌아와 주세요.

그림 H.1「BRST 양자화와 고스트 중심전하의 논리 흐름」에 본 부록 전체의 논리 흐름을 보여줘요. 각 단계가 어느 섹션에 대응하는지 확인하면서 읽어나가세요.

BRST 양자화와 고스트 중심전하의 논리 흐름

그림 H.1: BRST 양자화와 고스트 중심전하의 논리 흐름. Polyakov 작용의 게이지 대칭성에서 출발하여, Faddeev-Popov 절차 → bc 고스트장 도입 → 에너지-운동량 텐서 → TT OPE 계산 → c_ghost = -26 결정에 이르는 일련의 단계.

H.1　게이지 고정의 필요성 — Faddeev-Popov의 동기

🟡 리나: 끈이론의 Polyakov 작용(제 13 장)에는 3가지 게이지 대칭성이 있었어요——재매개변수화 불변성(2개)과 Weyl 불변성(1개). 이들은 "물리적으로 다른 상태"가 아니라 "같은 상태의 겉보기 차이"를 나타내요.

🔵 카이: 게이지 대칭성이 있으면 뭐가 문제인가요?

🟡 리나: 경로적분 \(Z = \int \mathcal{D}g\, \mathcal{D}X\, e^{iS}\)에서 모든 계량 \(g_{ab}\)를 더하면, 게이지 변환으로 서로 옮겨지는 배치——즉 물리적으로는 같은 상태인데 겉모습만 다른 계량의 족——을 무한 번 중복해서 세게 돼요. 이처럼 "게이지 변환으로 서로 연결되는, 물리적으로 동일한 배치의 모임"을 게이지 궤도(gauge orbit)라고 불러요. 이를 피하려면 "각 게이지 궤도에서 대표를 하나만 고르는" 작업——게이지 고정——이 필요해요.

게이지 고정과 Jacobi 인자

🟡 리나: 게이지 고정의 표준적인 처방이 Faddeev-Popov(파데예프-포포프)의 방법이에요. 본질적으로는 고등학교 수학의 변수 변환(야코비안)의 일반화예요.

예를 들어 2변수 함수 \(F(x, y)\)를 \(y\)축(\(x = 0\))을 따라 적분하고 싶을 때:

\[ \int dy\, F(0, y) = \int dx\, dy\, \delta(x)\, F(x, y) \]

델타 함수로 "\(x = 0\)인 대표를 고르는" 거예요. 이것이 게이지 고정의 원형이에요.

🔵 카이: 아, 델타 함수로 "조건을 만족하는 점만 골라낸다"는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 일반적으로 게이지 고정 조건 \(G(g) = 0\)을 부과하고 싶을 때, 델타 함수 \(\delta[G(g)]\)를 삽입해요. 하지만 어떤 게이지 궤도에서든 대표를 하나만 확실히 고르려면, 야코비 인자를 올바르게 붙여야 해요.

유한차원의 유사성에서 생각해 봅시다. 1변수의 경우를 보면, 변수 변환 \(u = f(x)\)를 하면 \(du = f'(x)\, dx\)이므로 \(dx = du/|f'(x)|\). 델타 함수의 성질 \(\int du\, \delta(u) = 1\)을 사용하면:

\[ \int dx\, \delta(f(x))\, |f'(x)| = \int du\, \delta(u) = 1 \]

(\(f(x) = 0\)의 해가 1개일 때). 즉 \(|f'(x)|\)는 야코비안(변수 변환의 "늘어남/줄어듦 비율")이고, 이것을 곱함으로써 \(\delta(f(x))\)가 올바르게 "\(f = 0\)인 대표를 하나만 고르도록" 규격화돼요.

⚪ 메이: 고등학교 치환적분 \(dx = du/f'(x)\)의 발상을 델타 함수와 결합하고 있는 거네요.

🟡 리나: 다변수로 확장하면, \(n\)개의 조건 \(f_i(x_1, \ldots, x_n) = 0\) (\(i = 1, \ldots, n\))에 대해:

\[ \int d^n x\; \delta^{(n)}(\vec{f}(\vec{x}))\; \left|\det\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\right| = 1 \]

야코비안이 \(|f'|\)에서 행렬식 \(|\det(\partial f_i/\partial x_j)|\)으로 일반화됐어요. 이것을 무한차원(변수 \(x_j\) → 게이지 매개변수의 장 \(\alpha(\sigma)\), 조건 \(f_i\) → 게이지 고정 조건 \(G\))으로 형식적으로 확장하면:

\[ 1 = \int \mathcal{D}\alpha\; \delta[G(g^\alpha)]\; \det\left(\frac{\delta G(g^\alpha)}{\delta \alpha}\right) \]

여기서 \(g^\alpha\)는 게이지 매개변수 \(\alpha\)에 의한 게이지 변환을 나타내요. 유한차원에서는 절댓값 \(|\det|\)이었지만, 여기서는 절댓값을 빼고 \(\det\)으로 쓰고 있어요. 그 이유: 다음 소절에서 보듯이, 이 행렬식을 반교환장(고스트장)의 가우스 적분으로 표현해요. 반교환장의 가우스 적분은 \(\det M\) 자체(부호 포함)를 자동적으로 주기 때문에, 별도로 절댓값을 취할 필요가 없어요——부호 정보는 고스트장의 경로적분 안에 올바르게 포함돼요. 이 "1"을 경로적분에 삽입하면, Faddeev-Popov 행렬식 \(\det(\delta G/\delta\alpha)\)가 등장해요.

행렬식의 고스트장으로의 재작성

🟡 리나: Faddeev-Popov의 핵심 아이디어는, 이 행렬식을 새로운 적분 변수의 경로적분으로 다시 쓰는 거예요.

🔵 카이: 행렬식을 적분으로 다시 쓴다...? 어떻게 하는 건가요?

🟡 리나: Grassmann(반교환) 변수의 성질을 사용해요. Grassmann 변수란 "2개를 바꾸면 부호가 반전되는" 특수한 수학적 대상으로, 페르미온(전자 등 반정수 스핀의 입자)을 기술하기 위해 도입돼요(반교환장의 기본적인 계산 규칙은 H.3절에서 정리해요. Grassmann 적분의 정의와 도출의 상세는 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 12 장 참조). 반교환 변수 \(\theta_i\) (\(\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\))의 Gauss 적분은:

\[ \int \mathcal{D}\bar\theta\, \mathcal{D}\theta\; \exp\left(-\bar\theta_i M_{ij} \theta_j\right) = \det M \]

(보통의 실수 가우스 적분은 \((\det M)^{-1/2}\)인 반면, 반교환 변수에서는 \(\det M\) 자체가 나와요. 왜냐하면? 반교환 변수 \(\theta\)는 \(\theta^2 = 0\)이므로, \(\theta\)의 함수는 \(f(\theta) = a + b\theta\)로 다 돼요(2차 이상은 사라져요). Grassmann 적분은 "\(\theta\)의 1차 계수를 꺼내는 연산"으로 정의돼요: \(\int d\theta\, \theta = 1\), \(\int d\theta\, 1 = 0\). 통상의 적분이 "면적을 더하는" 것인 데 반해, Grassmann 적분은 "미분"처럼 행동하여 차수를 낮춰요. 이 때문에 통상의 가우스 적분에서 분모에 나오는 \(\det M\)이, 반교환 변수에서는 분자에 나와요. 상세는 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 12 장 참조.)

⚪ 메이: 보통 적분에서는 \((\det M)^{-1/2}\)이 나오는데, 반교환 변수에서는 \(\det M\)이 나온다——역수가 되는 거네요.

🟡 리나: 따라서, Faddeev-Popov 행렬식은 반교환장(고스트장)의 경로적분으로 표현할 수 있어요:

\[ \det\left(\frac{\delta G}{\delta \alpha}\right) = \int \mathcal{D}b\, \mathcal{D}c\; e^{-S_{\text{ghost}}[b, c]} \]

⚪ 메이: 고스트장은 "물리적 입자"가 아니라 "행렬식을 경로적분으로 표현하기 위한 보조장"인 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 그래서 "고스트"라고 불려요——실재하지 않지만 계산에 필요한 장.

✅ 이해도 체크: Faddeev-Popov 행렬식을 고스트장의 경로적분으로 표현할 수 있는 것은, 적분 변수가 어떤 성질을 가지기 때문일까요?

답

적분 변수가 반교환(Grassmann) 변수이기 때문이에요. 반교환 변수의 가우스 적분은 \(\det M\)을 주고(통상의 실수 변수에서는 \((\det M)^{-1/2}\)), 이에 의해 Faddeev-Popov 행렬식을 반교환장 \(b, c\)의 경로적분으로 표현할 수 있어요.

H.2　끈이론에의 적용 — \(bc\) 계의 등장

🟡 리나: 끈이론의 Polyakov 작용에서는, 3가지 게이지 대칭성(2개의 재매개변수화 + Weyl)을 사용해 공형 게이지 \(h_{ab} = \eta_{ab}\)(혹은 유클리드 판에서 \(h_{ab} = \delta_{ab}\))로 고정해요. 이때 필요한 Faddeev-Popov 행렬식을 처리하기 위해 등장하는 고스트장이, \(b\) 고스트와 \(c\) 고스트예요.

상세는 생략하지만, 다음과 같이 배치돼요:

  • \(c^a(z)\): 재매개변수화의 미소 매개변수 \(\delta\sigma^a\)를 대체하는 반교환장(세계면 벡터)
  • \(b_{ab}(z)\): Faddeev-Popov 조건의 Lagrange 승수로 나타나는 반교환장(세계면 대칭 무흔적 텐서)

복소 좌표 \(z, \bar{z}\)로 바꾸면, 독립인 성분은:

  • \(c(z)\)(정칙 성분), \(\bar{c}(\bar{z})\)(반정칙 성분)
  • \(b(z)\)(정칙 성분), \(\bar{b}(\bar{z})\)(반정칙 성분)

본 부록에서는 정칙 쪽 \((b, c)\)만 다뤄요. 반정칙 쪽은 완전히 병렬적으로 처리할 수 있어요.

공형 무게의 결정

🟡 리나: 고스트장의 공형 무게는, 각각의 원래 대상으로부터 결정돼요:

  • \(c^a\): 좌표 변환 매개변수 \(\delta\sigma^a\)는 벡터(E.3「복소좌표 \(z, \bar{z}\)와 미분」)예요. 복소 좌표에서 \(z \to w = f(z)\)로 변환할 때, \(\epsilon(z)\)이 어떻게 변환하는지 봅시다.

    먼저 구체적인 예로 생각해요. \(w = 2z\)(좌표를 2배로 늘리는 변환)일 때, \(df/dz = 2\). 벡터장 \(v = \epsilon(z)\, \partial_z\)는 좌표에 의존하지 않는 기하학적 대상——예를 들어 "북쪽으로 시속 5 km로 걷고 있다"는 사실은 지도의 축척(좌표계)을 바꿔도 변하지 않아요. 마찬가지로 \(v\)는 좌표의 선택에 의존하지 않는 "방향과 크기"를 가진 양——이므로, 새로운 좌표 \(w\)에서는 같은 \(v\)를 \(v = \tilde\epsilon(w)\, \partial_w\)로 쓸 수 있어요. 여기서 \(\partial_z\)는 좌표 기저 벡터(제 6 장 6.2「일반상대론의 요점 정리(끈이론에서 사용하는 것)」 참조)이고, 연쇄 법칙으로부터 \(\partial_z = (df/dz)\, \partial_w\)가 성립해요. 직관적으로는 "\(z\)를 1 움직이면 \(w\)는 \(df/dz\)만큼 움직인다"는 뜻이에요.

🔵 카이: "\(z\)를 1 움직이면 \(w\)가 2 움직인다"니까, 같은 벡터라도 \(w\) 좌표에서의 성분은 달라진다...는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 어떤 점에서 "\(z\) 좌표로 속력 3"인 벡터 \(v = 3\, \partial_z\)가 있다고 해요. \(w\) 좌표에서는 같은 벡터가 \(v = \tilde\epsilon\, \partial_w\)로 쓰여요. \(\partial_z = (df/dz)\, \partial_w = 2\, \partial_w\)이므로 \(v = 3 \cdot 2\, \partial_w = 6\, \partial_w\), 즉 \(\tilde\epsilon = 6 = 2 \cdot 3 = (df/dz) \cdot \epsilon\). 일반적으로 연쇄 법칙 \(\partial_z = (df/dz)\, \partial_w\)를 대입하면 \(\epsilon(z)\, (df/dz)\, \partial_w = \tilde\epsilon(w)\, \partial_w\)가 되어, \(\partial_w\)의 계수를 비교하면 \(\tilde\epsilon(w) = (df/dz)\, \epsilon(z)\). 이것을 \(\epsilon(z)\)에 대해 풀면 \(\epsilon(z) = (df/dz)^{-1}\, \tilde\epsilon(f(z))\).

한편, [제 16 장](../../content_string/chapters/ch16.md) [16.4「연산자곱 전개(OPE)」](ch16.md#string-ch16-s4)에서 도입한 공형 무게 $h$의 일차장의 변환 법칙은 $\phi(z) = (df/dz)^h\, \tilde\phi(f(z))$였어요. 이 식의 의미는: 좌표 $z$에서의 장의 값 $\phi(z)$와, 새로운 좌표 $w = f(z)$에서의 장의 값 $\tilde\phi(w)$의 관계를 나타내요. $h > 0$이면 좌표를 늘릴 때($df/dz > 1$) 장의 값이 커지고, $h < 0$이면 작아져요. 위에서 얻은 $\epsilon(z) = (df/dz)^{-1}\, \tilde\epsilon(f(z))$는 바로 이 형태에서 $h = -1$인 경우에 대응해요. 따라서 $c(z)$의 공형 무게는 $h_c = -1$

⚪ 메이: 거듭제곱 지수가 \(-1\)이니까 공형 무게 \(-1\)——변환 법칙의 형태가 그대로 답을 알려주는 거네요.

🟡 리나: 다음으로 \(b\) 쪽을 봅시다.

  • \(b_{ab}\): 대칭 무흔적 텐서 \(b_{ab}\)의 \(b_{zz}(z) \equiv b(z)\) 성분은 무게 \(h_b = +2\)의 텐서예요. 이유를 봅시다. 작용에서 \(b_{zz}\)는 게이지 고정 조건 \(\delta g_{zz} = 0\)에 대한 Lagrange 승수로서 \(\int d^2z\, b_{zz}\, \delta g_{zz}\)의 형태로 나타나요. 이 적분이 좌표 변환에서 불변이려면, \(b_{zz}\)와 \(\delta g_{zz}\)가 같은 공형 무게를 가져야 해요. \(\delta g_{zz}\)의 무게는 계량 텐서의 \(zz\) 성분의 변환성으로부터 결정돼요: \(z \to w = f(z)\)일 때 \(g_{zz} = (df/dz)^2\, \tilde g_{ww}\)(첨자 \(z\)가 2개이므로 \((df/dz)\)가 2번 곱해져요). 이것은 공형 무게 \(h = 2\)의 변환 법칙 그 자체예요. 따라서 \(h_b = 2\)

🔵 카이: 무게 \(h_b = 2\), \(h_c = -1\)이면, 더하면 \(h_b + h_c = 1\)이 되네요.

🟡 리나: 그 "1"이 나중에 효과를 발휘해요——미분 형식으로 쓰면 \(b\, dc \cdot dz\, d\bar{z}\)가 작용의 형태이므로, 적분 가능하려면 무게의 합이 1이어야 해요.

✅ 이해도 체크: 끈이론의 \(bc\) 고스트 계에서, \(b(z)\)와 \(c(z)\)의 공형 무게는 각각 얼마일까요? 또한 그것들은 어떤 물리적 대상에서 유래할까요?

답

\(b(z)\)의 공형 무게는 \(h_b = 2\)(대칭 무흔적 계량 변분 \(\delta g_{zz}\)의 Lagrange 승수에서 유래), \(c(z)\)의 공형 무게는 \(h_c = -1\)(좌표 변환 매개변수 \(\delta z = \epsilon(z)\)에서 유래)이에요. 양자의 합은 \(h_b + h_c = 1\)이 돼요.

H.3　반교환장(Grassmann 장)의 기본

🟡 리나: 고스트장은 반교환장으로, 보손장과는 다른 규칙으로 다뤄요. 여기서 기본 사항을 정리할게요. 상세는 「장의 양자론」편 제5, 12장 참조.

반교환 관계

🟡 리나: 반교환장 \(\psi(z), \chi(w)\)는:

\[ \psi(z)\, \chi(w) = -\chi(w)\, \psi(z) \]

특히 같은 장의 제곱은: \(\psi(z)^2 = 0\).

정규순서와 축약

🟡 리나: 반교환장의 정규순서 \(:bc:\)에서는, 연산자를 바꿀 때 마이너스 부호가 나와요:

\[ : b(z)\, c(w) : = b(z)\, c(w) - \langle b(z)\, c(w)\rangle \]

기본 축약값(다음 절에서 도출):

\[ \langle b(z)\, c(w)\rangle = \frac{1}{z-w}, \qquad \langle c(z)\, b(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \]

여기서 \(\langle \cdots \rangle\)는 지름순서에서의 기대값이에요. 지름순서란, 2차원 공형장론에서 장의 곱을 정의할 때의 규약으로, "원점으로부터의 거리 \(|z|\)가 큰 쪽의 장을 왼쪽에 놓는" 것(제 16 장 16.4「연산자곱 전개(OPE)」 참조)이에요. \(|z| > |w|\)일 때, \(b(z)c(w)\)도 \(c(z)b(w)\)도 둘 다 "\(|z|\)가 큰 쪽이 왼쪽"이라는 지름순서 조건을 만족하고 있으므로, 그대로의 순서로 평가돼요.

2개의 축약값이 같은 \(1/(z-w)\)가 되는 이유: \(\langle b(z) c(w)\rangle\)는 작용으로부터 결정되는 전파함수 \(G_{bc}(z,w) = 1/(z-w)\)예요. 한편 \(\langle c(z) b(w)\rangle\)는 \(G_{cb}(z,w)\)이며, H.4절에서 독립적으로 도출하면 마찬가지로 \(1/(z-w)\)가 돼요. "반교환이니까 마이너스가 붙는 거 아닌가?"라고 생각할 수 있지만, 지름순서의 기대값은 장의 순서를 바꾸는 조작을 포함하지 않아요——어디까지나 \(|z| > |w|\)라는 조건 하에서의 경로적분의 결과예요. 축약값 자체는 c-수(보통의 수)이므로 반교환 관계의 영향을 받지 않아요.

반교환장의 Wick의 정리

🟡 리나: 반교환장의 Wick의 정리는, 보손장의 것에 "축약선을 교차시킬 때마다 마이너스 부호"가 추가돼요. 구체적으로는, "축약하는 2개의 장을 이웃으로 가져오기 위해 몇 번 장을 뛰어넘었는가"의 홀짝으로 부호가 결정돼요.

예를 들어봅시다. 4개의 반교환장 \(A\, B\, C\, D\)가 나열되어 있고, \(A\)와 \(C\)를 축약하고 \(B\)와 \(D\)를 축약하고 싶다고 해요. 부호의 결정 방법은 "축약선의 교차 수"로 결정돼요: \(A\)-\(C\)의 축약선과 \(B\)-\(D\)의 축약선을, 원래 나열 순서 위에 호로 그리면 2개의 호가 1번 교차해요. 교차 횟수가 합계 1번(홀수)이므로, 부호는 \((-1)^1 = -1\).

다른 관점으로 보면, \(A\)와 \(C\)를 이웃으로 가져오기 위해 사이의 \(B\)를 1번 뛰어넘어요(반교환으로 부호 \(-1\)). 그 후 \(B\)와 \(D\)는 이미 이웃이므로 추가 부호는 없어요. 어느 방법이든 같은 결과가 돼요.

🔵 카이: 호를 그려서 교차를 세는 쪽이, 머릿속에서 장을 재배열하는 것보다 보기 쉬울 것 같아요.

🟡 리나: 또 하나의 예: \(A\, B\, C\, D\)에서 \(A\)와 \(D\)를 축약하고 \(B\)와 \(C\)를 축약하는 경우. \(A\)-\(D\)의 호와 \(B\)-\(C\)의 호를 그리면, \(B\)-\(C\)의 호는 \(A\)-\(D\)의 호 안쪽에 들어가서 교차하지 않아요. 교차 횟수 0(짝수)이므로 부호는 \((-1)^0 = +1\). H.6절의 항 (I)에서 나오는 패턴 \((1,4)(2,3)\)은 바로 이 "\(A\)와 \(D\), \(B\)와 \(C\)"의 형태이며, 호를 그리면 \((2,3)\)의 호가 \((1,4)\)의 호 안쪽에 들어가서 교차하지 않아요. 교차 횟수 0으로 부호는 \((-1)^0 = +1\).

다만 H.5절 이후에서는 정규순서적 \(:\!b\partial c\!:(z)\)와 바깥 장 \(c(w)\)의 축약이나, H.6절에서는 \(:\!b\partial c\!:(z)\, :\!b\partial c\!:(w)\) 사이의 축약을 다뤄요. 정규순서적 사이의 축약에서는, "축약하는 장을 정규순서적 바깥으로 꺼내는" 과정의 뛰어넘기 횟수도 부호에 영향을 줘요. 구체적인 처방은 H.5절·H.6절에서 실례와 함께 보여줄게요.

본 부록의 계산에서는, 자주 쓰는 규칙만 기억해 두면 돼요:

  1. 정규순서적 사이의 축약의 부호 규칙: \(:\!A\, B\!:\, :\!C\, D\!:\)에서 \(A\)와 \(D\)를 축약하고 싶을 때, \(D\)를 오른쪽 정규순서적에서 "꺼내기" 위해 \(C\)를 뛰어넘어야 해요(1번 뛰어넘기 → 부호 \(-1\)). 일반적으로, 축약하고 싶은 장을 정규순서적의 끝까지 이동시키기 위해 뛰어넘은 반교환장의 수를 세고, \((-1)^{\text{뛰어넘기 횟수}}\)가 부호가 돼요.

    본 부록에서의 방침: H.5절에서는 \(T\)와 \(c\)의 OPE(부분 축약)를 다루며, 위의 "핵심 규칙"만으로 완전히 부호를 추적할 수 있어요. 그러나 H.6절의 \(TT\) OPE(정규순서적 사이의 전체 축약)에서는 추가 부호 규칙이 필요하며, 본 부록의 범위를 넘어요(Polchinski Vol.1 §2.5, §3.3 참조). 따라서 H.6절에서는 각 항의 기여의 절댓값이 어디서 오는지를 추적하는 데 집중하고, 전체 부호는 "페르미온 루프는 \((-1)\)을 생성한다"는 물리적 논의로부터 \(-13\)으로 확정해요(상세는 H.6절에서 설명). 2. \(:bc:\) 안의 \(b\)와 바깥 \(c\)의 축약: 위 규칙의 특수한 경우. \(b\)가 정규순서적의 왼쪽 끝에 있으면 뛰어넘기 0번으로 \(+\) 3. 같은 장의 제곱적인 항: \(\psi(z)^2 = 0\)을 사용해 지울 수 있는 경우가 많아요

🔵 카이: 즉 H.6의 계산에서는, 4개의 장이 나열되어 있을 때 "어떤 장을 어떤 장과 축약하느냐"에 따라 뛰어넘기 횟수가 바뀌고, 그것이 부호에 영향을 미치는 거군요.

🟡 리나: 맞아요.

H.4　\(bc\) 계의 작용과 기본 OPE

작용의 도출

🟡 리나: Faddeev-Popov 절차를 꼼꼼히 따라가면, 공형 게이지에서 끈이론의 고스트 작용은 다음 형태가 돼요:

\[ \boxed{S_{\text{ghost}} = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\; \left(b\, \bar\partial c + \bar{b}\, \partial \bar{c}\right)} \]

정칙 섹터만 꺼내면 \(S^+ = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\, b\, \bar\partial c\).

🔵 카이: \(\bar\partial c\)가 작용에 들어있다는 건, 운동방정식이 \(\bar\partial c = 0\)이라는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. \(c(z)\)를 변분하면 \(b\)의, \(b(z)\)를 변분하면 \(c\)의 운동방정식이 얻어져요:

\[ \bar\partial c(z) = 0, \qquad \bar\partial b(z) = 0 \]

즉 \(c\)도 \(b\)도 정칙 함수예요. 이것은 공형장론의 틀에 자연스럽게 들어맞아요.

기본 OPE의 도출

🟡 리나: 두 장 사이의 상관함수(전파함수, 또는 Green 함수라고도 해요)를 구해봅시다. 작용 \(S = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\, b\, \bar\partial c\)에서, \(b\)를 변분해서 얻어지는 \(c\)의 운동방정식은 \(\bar\partial c = 0\)(마찬가지로 \(c\)를 변분하면 \(\bar\partial b = 0\)).

전파함수 \(G(z,w) = \langle c(z)\, b(w)\rangle\)는 "점 원천이 있는 경우의 운동방정식"의 해로 정의돼요. 경로적분의 언어로는, \(\langle c(z)\, b(w)\rangle\)는 "\(w\)에 \(b\)를 삽입했을 때, \(c\)가 어떻게 응답하는가"를 나타내요. 구체적으로, 작용 \(S = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\, b\, \bar\partial c\) 하에서 경로적분의 항등식(Schwinger-Dyson 방정식)을 사용하면, \(G(z,w)\)는 다음 미분방정식을 만족해요:

\[ \frac{1}{2\pi}\bar\partial_z G(z, w) = \delta^{(2)}(z-w) \]

이 방정식의 유래를 봅시다. 경로적분 \(\langle c(z)\, b(w)\rangle = \int \mathcal{D}b\, \mathcal{D}c\; c(z)\, b(w)\, e^{-S}\)에서, \(b(z)\)로 범함수 미분하면(경로적분 안에서 \(\delta S/\delta b(z) = 0\)을 사용——이것은 고전적 운동방정식의 양자 버전으로, Schwinger-Dyson 방정식이라 불려요) \(c(z)\)에 작용하는 연산자 \(\frac{1}{2\pi}\bar\partial_z\)가 추출되고, 우변에 델타 함수가 나타나요. 즉 \(1/(2\pi)\)는 작용의 운동항 계수가 그대로 미분방정식에 이어진 거예요.

🔵 카이: 이거 전자기학의 쿨롱 법칙에서 \(\nabla^2 \phi = -\rho\)를 푸는 것과 같은 구조네요. 점전하 위치에 델타 함수가 나오고, 해가 포텐셜이 되는.

🟡 리나: 좋은 비유예요. E.8「2차원 자유장의 Green 함수」에서 도출한 관계식을 사용해요. 실좌표 \((x,y)\)에서의 정규화 \(\int dx\, dy\, \delta_{xy}^{(2)}(z-w) = 1\)에 대해 \(\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = \pi\delta_{xy}^{(2)}(z-w)\)가 성립해요(E.8「2차원 자유장의 Green 함수」).

본 부록의 작용은 \(\frac{1}{2\pi}\int d^2z\, (\cdots)\)로 쓰여 있어요. 끈이론의 표준적 규약에서는 \(d^2z \equiv 2\, dx\, dy\)(Polchinski Vol.1 (2.1.6))이며, 이 측도에 대해 정규화된 델타 함수 \(\delta^{(2)}\)(\(\int d^2z\, \delta^{(2)} = 1\))를 사용하면, E.8「2차원 자유장의 Green 함수」의 결과는 다음과 같이 바뀌어요:

\[ \partial_{\bar{z}}\frac{1}{z-w} = 2\pi\delta^{(2)}(z-w) \]

(도출: \(d^2z = 2\,dx\,dy\)이므로, \(\int d^2z\, \delta^{(2)} = 1\)은 \(\int 2\,dx\,dy\, \delta^{(2)} = 1\)을 의미해요. 한편 \(\int dx\,dy\, \delta_{xy}^{(2)} = 1\)이므로 \(\delta^{(2)} = \frac{1}{2}\delta_{xy}^{(2)}\). E.8「2차원 자유장의 Green 함수」의 \(\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = \pi\delta_{xy}^{(2)} = 2\pi\delta^{(2)}\)를 대입하면 위 식을 얻어요.) 따라서:

\[ \langle c(z)\, b(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \]

를 대입하면 좌변 \(= \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi\delta^{(2)}(z-w) = \delta^{(2)}(z-w)\)으로 확실히 성립해요.

⚪ 메이: 측도의 규약을 올바르게 맞추면 \(2\pi\)가 깔끔하게 소거되는 거네요.

🟡 리나: 반교환장이지만, 지름순서에서는:

\[ \boxed{b(z)\, c(w) \sim \frac{1}{z-w}, \qquad c(z)\, b(w) \sim \frac{1}{z-w}} \]

(\(\sim\)는 OPE의 특이부분의 등호. 나머지는 정칙항.)

🔵 카이: 보손장의 \(\partial X \partial X\) OPE는 \(1/(z-w)^2\)였는데, \(bc\)는 \(1/(z-w)\)로 특이도가 1단계 낮네요. 뭐가 차이를 만드나요?

🟡 리나: 작용의 구조가 달라요. \(bc\) 계의 작용은 \(b\, \bar\partial c\)로, \(b\)와 \(c\) 사이에 미분이 1개만 있어요. 그래서 전파함수가 \(1/(z-w)\)예요. 반면, 보손장의 작용은 \(\partial X\, \bar\partial X\)로 미분이 2개 들어가 있어서, \(X(z)X(w)\)의 전파함수는 \(\ln|z-w|^2\)이고, \(\partial X\, \partial X\)의 OPE는 2번 미분해서 \(1/(z-w)^2\)이 돼요.

✅ 이해도 체크: \(bc\) 계의 기본 OPE \(b(z)c(w) \sim 1/(z-w)\)는 작용의 어떤 구조로부터 도출될까요?

답

작용 \(S = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\, b\, \bar\partial c\)로부터 전파함수의 방정식 \(\frac{1}{2\pi}\bar\partial_z G(z,w) = \delta^{(2)}(z-w)\)가 얻어지고, \(\bar\partial_z(1/(z-w)) = 2\pi\delta^{(2)}(z-w)\)의 관계를 사용하면 \(G(z,w) = \langle c(z)b(w)\rangle = 1/(z-w)\)이 도출돼요.

H.5　\(bc\) 계의 에너지-운동량 텐서

에너지-운동량 텐서의 결정

🟡 리나: \(bc\) 계의 작용 \(S = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\, b\, \bar\partial c\)의 에너지-운동량 텐서는, Noether의 정리(병진 대칭성)로부터 도출할 수 있어요. 다만 반교환장의 Noether 절차는 기술적이므로, 여기서는 다른 접근법——"\(T\)와 각 장의 OPE가 올바른 공형 무게를 재현한다"는 정합성 조건——으로부터 결과를 이해해 봅시다.

결과는, \(b\)의 공형 무게를 \(\lambda\)(\(c\)의 무게는 \(1-\lambda\))로 하여:

\[ \boxed{T_{\text{ghost}}(z) = -\lambda\, :\! b(z)\, \partial c(z)\! : + (1-\lambda)\, :\! \partial b(z)\, c(z)\! :} \]

일반 \(\lambda\)로 써두는 이유는, H.7절에서 \(\lambda\)를 바꾼 다양한 계(자유 페르미온, 초끈의 고스트 등)의 중심전하를 일괄적으로 구하기 위해서예요.

🔵 카이: 무게 \(\lambda\)가 바뀌면 \(T\)의 내용도 바뀌는 거군요. 끈이론에서는 \(\lambda = 2\)를 넣으면 구체적으로 어떻게 되나요?

🟡 리나: 문헌과의 부호 규약 대응: Polchinski Vol.1 (2.5.11)에서는 \(T = -:(\partial b)c: + \lambda\, \partial(:bc:)\)로 쓰여 있어요(Polchinski의 \(\lambda\)는 \(c\)의 무게, 즉 본 부록의 \(1-\lambda\)에 대응). 본 부록의 규약 \(\lambda = h_b\)에 맞춰 Polchinski의 \(\lambda\)를 \(1-\lambda\)로 치환하면 \(T = -:(\partial b)c: + (1-\lambda)\, \partial(:bc:)\)가 되고, \(\partial(:bc:) = :(\partial b)c: + :b(\partial c):\)를 대입해 전개하면 \(T = -:(\partial b)c: + (1-\lambda):(\partial b)c: + (1-\lambda):b(\partial c): = -\lambda:(\partial b)c: + (1-\lambda):b(\partial c):\). 정규순서적 안에서 \(:b(\partial c): = -:(\partial c)b:\)에 주의하면, 이것은 본 부록의 \(T_{\text{ghost}} = -\lambda :b\,\partial c: + (1-\lambda) :\partial b\, c:\)와 일치해요(\(:(\partial b)c: = :\partial b\, c:\)). 본 부록에서는 이 정의 아래 OPE가 올바른 공형 무게를 재현하는 것을 아래에서 확인해요.

끈이론에서는 \(\lambda = 2\)(\(b\)의 무게)이므로, \(-\lambda = -2\) 및 \((1-\lambda) = 1-2 = -1\). 일반 공식에 대입하면:

\[ T_{\text{ghost}}(z) = -2\, :\! b(z)\, \partial c(z)\! : \;+\; (-1)\, :\! \partial b(z)\, c(z)\! : \;=\; -2\, :\! b(z)\, \partial c(z)\! : \;-\; :\! \partial b(z)\, c(z)\! : \]

🔵 카이: 왜 이런 형태인가요?

🟡 리나: \(T_\text{ghost}(z)\)와 \(b(w), c(w)\)의 OPE가 "\(b\)를 무게 \(\lambda\)의 일차장", "\(c\)를 무게 \(1-\lambda\)의 일차장"으로 행동하게 하는 조건으로부터 결정돼요. 즉, \(T\)의 형태를 가정하고 OPE를 계산해서, 올바른 공형 무게가 재현되는 것을 확인하는——이것이 Noether의 정리의 결과와 일치해요.

이제부터 확인 계산을 하나 해볼게요. 올바른 \(T_{\text{ghost}}\)가 만족해야 할 OPE는:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) \sim \frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w} \]
\[ T_{\text{ghost}}(z)\, c(w) \sim \frac{(1-\lambda)\, c(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial c(w)}{z-w} \]

이들 조건을 만족하는 가장 단순한 2차식이 위의 \(T_{\text{ghost}}\)예요. 하나만 확인해 봅시다. \(T_{\text{ghost}}(z)\, c(w)\)의 OPE를 계산해요. \(T_{\text{ghost}}\)의 제1항 \(-\lambda\, :\!b\partial c\!:(z)\)와 \(c(w)\)의 OPE에서는, \(b(z)\)와 \(c(w)\)의 축약 \(\langle b(z)c(w)\rangle = 1/(z-w)\)만 기여하고(\(c(z)\)와 \(c(w)\)의 축약은 \(\langle cc\rangle = 0\)으로 소멸), \(\partial c(z)\)가 남아요. \(\partial c(z) = \partial c(w) + (z-w)\partial^2 c(w) + \cdots\)로 전개하면, 제1항에서 \(-\lambda\, \partial c(w)/(z-w)\)이 나와요. 제2항 \((1-\lambda)\, :\!\partial b\, c\!:(z)\)에서는 \(\partial b(z)\)와 바깥 \(c(w)\)의 축약을 생각해요.

여기서 계산을 2단계로 나눠요. 제1단계에서는 "정규순서적에서 장을 꺼낼 때의 추가 \((-1)\)"을 무시하고 소박하게 계산하여, 결과가 틀린다는 것을 확인해요. 제2단계에서 올바른 규칙을 넣어 다시 해요.

제1단계에서 "무시하는" 것은 반교환장의 재배열에서 유래하는 부호만이며, 미분의 결과로 나오는 부호는 항상 포함해요. 이 구별이 중요해요:

  • 축약값의 부호: 미분의 결과로 나오는 부호(예: \(\partial_z(1/(z-w)) = -1/(z-w)^2\)) → 항상 포함
  • 재배열의 부호: 반교환장을 정규순서적에서 꺼낼 때의 추가 \((-1)\) → 제1단계에서는 무시하고, 제2단계에서 도입

제1단계: \(\langle \partial b(z)c(w)\rangle = \partial_z[1/(z-w)] = -1/(z-w)^2\)을 사용하고, 남는 \(c(z)\)에 계수 \(+1\)을 곱해 그대로 써요. \(c(z) = c(w) + (z-w)\partial c(w) + \cdots\)로 전개하면, \((1-\lambda)\cdot(-1/(z-w)^2)\cdot c(w) + (1-\lambda)\cdot(-1/(z-w)^2)\cdot(z-w)\partial c(w) + \cdots\)에서, \((z-w)^{-2}\)의 항은 \(-(1-\lambda)c(w)/(z-w)^2\), \((z-w)^{-1}\)의 항은 \(-(1-\lambda)\partial c(w)/(z-w)\). 합치면:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, c(w) \sim \frac{-(1-\lambda)\, c(w)}{(z-w)^2} + \frac{-\lambda\, \partial c(w) - (1-\lambda)\partial c(w)}{z-w} = \frac{-(1-\lambda)\, c(w)}{(z-w)^2} + \frac{-\partial c(w)}{z-w} \]

🔵 카이: 어라, \((z-w)^{-2}\)의 계수가 \(-(1-\lambda)\)이 되어버렸어요. \(+(1-\lambda)\)이어야 하는데...

🟡 리나: 맞아요, 여기까지는 "추가 부호를 무시한 소박한 계산"으로, 일부러 틀린 결과를 내봤어요. 부호가 안 맞는다는 걸 확인했죠? 이것은 "반교환장의 정규순서적에는 추가 부호 규칙이 있다"는 증거예요. 여기서부터가 본론——올바른 규칙을 넣어 다시 할게요.

핵심 규칙: 반교환장의 정규순서적 \(:\!AB\!:\) 안의 장 \(A\)를 바깥 장 \(C\)와 축약할 때, 남는 장 \(B\)에는 추가의 \((-1)\)이 곱해져요.

주의: 이 규칙은 H.5절(\(T\)와 \(c\)의 OPE, 부분 축약)에서는 완전히 작동하여 올바른 결과를 줘요. 그러나 H.6절(\(TT\) OPE, 정규순서적 사이의 전체 축약)에서는, 2개의 정규순서적 사이에서 복수의 축약을 동시에 행할 때 추가 부호 규칙이 필요하며, 위의 단순한 규칙만으로는 불충분해요. H.6절에서는 각 항의 기여의 절댓값만을 추적하고, 전체 부호는 물리적 논의로부터 확정하는 방침을 취해요.

왜 이 \((-1)\)이 나오는가? 보손장에서는 \(\phi(z)\chi(w) = \langle \phi(z)\chi(w)\rangle + :\!\phi(z)\chi(w)\!:\)이었어요. 반교환장에서는 정규순서적의 정의가 "소멸 연산자를 오른쪽으로 옮기는" 조작을 포함하며, \(b\)와 \(c\)를 바꿀 때 반교환 관계로부터 \(-1\)이 나와요:

\[ b(z)\, c(w) = \langle b(z)\, c(w)\rangle - :\!c(w)\, b(z)\!: \]

이 \(-\) 부호가 "남는 장에 \((-1)\)이 곱해진다"는 규칙의 기원이에요.

⚪ 메이: 보손장의 \(+\)가 반교환장에서는 \(-\)로 바뀐다——그 하나의 차이가 모든 추가 부호의 근원인 거네요.

🟡 리나: 이 규칙을 사용해 제1항 \(-\lambda\, :\!b\partial c\!:(z)\)와 바깥 \(c(w)\)의 OPE를 다시 해봅시다. \(b(z)\)와 \(c(w)\)를 축약하면 \(\langle b(z)c(w)\rangle = 1/(z-w)\)이 나오고, 남는 \(\partial c(z)\)에 추가의 \((-1)\)이 곱해져요. \(\partial c(z) = \partial c(w) + (z-w)\partial^2 c(w) + \cdots\)로 전개하면, 가장 특이한 항은 \(\frac{1}{z-w} \cdot (-1) \cdot \partial c(w)\)로 \((z-w)^{-1}\)차. 따라서 \((z-w)^{-1}\)의 항은 \(-\lambda \cdot \frac{1}{z-w} \cdot (-1) \cdot \partial c(w) = +\frac{\lambda\, \partial c(w)}{z-w}\). \((z-w)^{-2}\)의 항은 없어요——축약이 \(1/(z-w)\)이고, Taylor 전개의 선두가 \((z-w)^0\)이므로, 곱의 최고차는 \((z-w)^{-1}\)까지밖에 안 돼요.

제2항 \((1-\lambda)\, :\!\partial b\, c\!:(z)\)에서 \(\partial b(z)\)를 바깥 \(c(w)\)와 축약해요. 여기서 핵심 규칙을 적용해요: 반교환장의 정규순서적 \(:\!A\, B\!:\) 안의 장 \(A\)를 바깥 장 \(C\)와 축약했을 때, 남는 장 \(B\)에는 추가의 \((-1)\)이 곱해져요. 이것은 \(A(z)\, C(w) = \langle A(z)\, C(w)\rangle - :\!C(w)\, A(z)\!:\)의 관계에서 유래해요(정규순서적의 정의에서 장을 바꿀 때 반교환 관계로부터 \(-1\)이 나와요).

따라서, \(\partial b(z)\)와 \(c(w)\)의 축약값 \(\langle \partial b(z)\, c(w)\rangle = -1/(z-w)^2\)이 나오고, 남는 \(c(z)\)에 추가의 \((-1)\)이 곱해져요. 전개하면 \((1-\lambda)\cdot(-1/(z-w)^2)\cdot(-1)\cdot[c(w) + (z-w)\partial c(w) + \cdots]\).

🔵 카이: 오오, \((-1/(z-w)^2) \times (-1) = +1/(z-w)^2\)으로, 부호가 뒤집혔어요!

🟡 리나: 합치면(제1항에서 \(+\lambda\, \partial c(w)/(z-w)\), 제2항에서 \((1-\lambda)\, \partial c(w)/(z-w)\)이 나와서, \(\lambda + (1-\lambda) = 1\)에 의해):

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, c(w) \sim \frac{(1-\lambda)\, c(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial c(w)}{z-w} \]

이것으로 올바른 공형 무게 \((1-\lambda)\)가 재현됐어요. 포인트는 "반교환장의 정규순서적에서 장을 꺼낼 때, 남는 장에 \((-1)\)이 곱해진다"는 규칙이에요. 완전한 계산은 연습문제에서 확인해 주세요.

📝 연습문제:

H.6　\(T_{\text{ghost}}\, T_{\text{ghost}}\) OPE의 계산

🟡 리나: 드디어 핵심 부분이에요. 중심전하 \(c_{\text{ghost}}\)를 \(T_{\text{ghost}}\, T_{\text{ghost}}\) OPE의 \((z-w)^{-4}\) 계수에서 읽어내요. \(\lambda = 2\)인 경우를 계산해요.

계산의 전망을 먼저 말해둘게요. \(T_{\text{ghost}}\)는 2개의 항으로 이루어져 있으므로, 곱을 전개하면 4개의 항이 돼요. 각 항에서 Wick의 정리를 적용해요. \((z-w)^{-4}\)로의 기여는 전체 축약(모든 장을 축약하는 패턴)에서만 나와요——부분 축약(일부만 축약하는 패턴)은 \((z-w)^{-4}\)에 기여하지 않아요(이유는 후술). 여기서는 전체 축약의 계산 구조(어떤 장을 어떤 장과 축약하는지, 각 축약의 극의 차수)를 자세히 보여줘요.

계산의 목표와 방침: 아래 계산에서는 "\(13\)"이라는 수치가 어디서 오는지를 봐요. 구체적으로:

  1. 어떤 축약 패턴이 \((z-w)^{-4}\)에 기여하는가(\(\langle bb\rangle = \langle cc\rangle = 0\)에 의해 많은 패턴이 소멸)
  2. 각 축약의 극의 차수가 어떻게 조합되어 \((z-w)^{-4}\)를 만드는가(미분의 배분에 의한 구조)
  3. 각 항의 기여의 절댓값(\(4, 4, 4, 1\))이 어떻게 결정되는가

전체 부호는 반교환장의 루프가 항상 \((-1)\)을 생성한다는 물리적 논의로부터 \(-13\)으로 확정돼요(「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 12 장의 페르미온 루프의 부호 규칙과 같은 기원). 부호의 엄밀한 대수적 추적에는 정규순서적 사이의 Wick의 정리의 완전한 규칙이 필요하며, 본 부록의 범위를 넘어요(Polchinski Vol.1 §2.5, §3.3 참조). 아래에서는 각 항의 축약의 극의 차수와 계수의 절댓값만을 추적해요. $$ T_{\text{ghost}}(z) = -2\, :! b(z)\, \partial c(z)! : -\, :! \partial b(z)\, c(z)! : $$

🔵 카이: 항이 2개이니까, 곱을 전개하면 4개의 항이 되겠네요.

🟡 리나: 맞아요. 각 항을 \((\alpha)(\beta)\) 형식으로 열거해요:

  • 항 (I): \((-2)(-2)\, :\! b\partial c\!:(z) \cdot\, :\! b\partial c\!:(w) = 4\, :\! b\partial c\!:(z)\, :\! b\partial c\!:(w)\)
  • 항 (II): \((-2)(-1)\, :\! b\partial c\!:(z) \cdot\, :\! \partial b\, c\!:(w) = +2\, :\! b\partial c\!:(z)\, :\! \partial b\, c\!:(w)\)
  • 항 (III): \((-1)(-2)\, :\! \partial b\, c\!:(z) \cdot\, :\! b\partial c\!:(w) = +2\, :\! \partial b\, c\!:(z)\, :\! b\partial c\!:(w)\)
  • 항 (IV): \((-1)(-1)\, :\! \partial b\, c\!:(z) \cdot\, :\! \partial b\, c\!:(w) = +1\, :\! \partial b\, c\!:(z)\, :\! \partial b\, c\!:(w)\)

각 항에서 Wick의 정리를 적용하여 \((z-w)^{-4}\)의 계수를 골라내요. 중심전하에 기여하는 것은 양쪽 모두를 축약하는 항(상관함수의 진공 기대값)만이에요.

항 (I)의 계산

🟡 리나: \(:\!b\partial c\!:(z)\, :\!b\partial c\!:(w)\)를 생각해요. 양쪽을 모두 축약하는 패턴은:

  • 패턴 A: \(b(z)\)와 \(\partial c(w)\)의 축약, \(\partial c(z)\)와 \(b(w)\)의 축약

기본 OPE로부터:

\[ \langle b(z)\, c(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \;\Longrightarrow\; \langle b(z)\, \partial c(w)\rangle = \partial_w \frac{1}{z-w} = \frac{1}{(z-w)^2} \]
\[ \langle \partial c(z)\, b(w)\rangle = \partial_z \frac{1}{z-w} = -\frac{1}{(z-w)^2} \]

🔵 카이: \(w\)로 미분하면 \(+1/(z-w)^2\)이고, \(z\)로 미분하면 \(-1/(z-w)^2\)——미분하는 변수에 따라 부호가 반대가 되는군요.

🟡 리나: 맞아요. 패턴 A의 축약값의 곱:

\[ \langle b(z)\partial c(w)\rangle \cdot \langle \partial c(z)\, b(w)\rangle = \frac{1}{(z-w)^2}\cdot\left(-\frac{1}{(z-w)^2}\right) = -\frac{1}{(z-w)^4} \]

뛰어넘기 횟수에 의한 추가 부호를 참고로 봐둡시다(다만 H.6절 서두에서 말했듯이, 전체 축약의 완전한 부호 결정에는 추가 규칙이 필요하며, 아래의 뛰어넘기 계산은 최종 부호를 확정하는 것이 아니에요——각 항의 절댓값만을 기록하고, 전체 부호는 페르미온 루프의 논의로부터 마지막에 일괄 확정해요).

원래 장의 나열 \(b(z),\, \partial c(z),\, b(w),\, \partial c(w)\)(위치 \(1, 2, 3, 4\))에 대해, 축약 패턴은 \((1,4)(2,3)\): 위치 1의 \(b(z)\)와 위치 4의 \(\partial c(w)\)를 축약하고, 위치 2의 \(\partial c(z)\)와 위치 3의 \(b(w)\)를 축약해요. 정규순서적 사이의 전체 축약의 부호를 결정하려면, 각 축약에서 "장을 정규순서적의 끝에서 꺼낼 때 몇 개의 반교환장을 뛰어넘는가"를 세요. 오른쪽 정규순서적 \(:\!b(w)\partial c(w)\!:\)에서 \(\partial c(w)\)(위치 4)를 꺼내려면, \(b(w)\)를 1번 뛰어넘어요(부호 \(-1\)). 왼쪽 정규순서적 \(:\!b(z)\partial c(z)\!:\)에서 \(b(z)\)(위치 1)를 꺼내려면, 왼쪽 끝이므로 뛰어넘기 0번(부호 \(+1\)). 합계 뛰어넘기 횟수는 1번(홀수)이므로, 뛰어넘기에 의한 추가 부호는 \((-1)\).

축약값의 곱은 \((-1/(z-w)^4)\)이며, 뛰어넘기 부호 \((-1)\)을 곱하면 \(+1/(z-w)^4\)이 돼요. 다만 H.6절 서두에서 말했듯이, 전체 축약의 완전한 부호 결정에는 추가 규칙이 필요하므로, 아래에서는 각 항의 \((z-w)^{-4}\)로의 기여의 절댓값 \(1/(z-w)^4\)만을 기록해요.

  • 패턴 B: \(b(z) \leftrightarrow b(w)\)와 \(\partial c(z) \leftrightarrow \partial c(w)\)의 축약 → \(\langle b(z)\, b(w)\rangle = 0\)(\(b\)-\(b\) 전파함수는 존재하지 않음) → 기여 없음

🟡 리나: 따라서 항 (I)의 \((z-w)^{-4}\)로의 기여는 패턴 A뿐이에요. 축약값의 곱의 절댓값은 \(1/(z-w)^4\). 여기에 항 (I)의 앞 계수 \((-2)^2 = 4\)를 곱하면, 항 (I) 전체의 기여의 절댓값은 \(4/(z-w)^4\).실은 다른 항에서도 같은 종류의 장끼리의 축약 패턴(\(b\)-\(b\)나 \(c\)-\(c\))은 \(\langle bb\rangle = \langle cc\rangle = 0\)으로 항상 소멸해요. 즉, 각 항에서 살아남는 축약 패턴은 "\(b\)와 \(c\)(또는 그 미분)를 조로 만드는 것"뿐이에요.

⚪ 메이: 그렇구나, \(\langle bb\rangle = \langle cc\rangle = 0\)이니까 서로 다른 종류의 장끼리만 축약할 수 있는 거네요.

🔵 카이: 항 (II)에서는 미분이 \(b\) 쪽으로 옮겨가니까, 축약의 극의 차수가 바뀌죠. 그래도 결국 \((z-w)^{-4}\)이 되나요?

🟡 리나: 맞아요. 미분이 어느 장에 걸리느냐에 따라 개별 축약의 극의 차수는 바뀌지만, 전체 축약의 곱은 반드시 \((z-w)^{-4}\)에 기여해요. 실제로 봐봅시다.

⚪ 메이: H.3절의 "호의 교차 수" 규칙과 여기서의 "뛰어넘기 횟수"는 비슷해 보이는데——뭔가 관계가 있나요?

🟡 리나: 좋은 착안점이에요. 둘 다 "반교환장을 몇 번 바꿨는가"를 세고 있다는 점에서 본질은 같아요. 정규순서적이 없는 경우에는 호의 교차 수만으로 부호가 결정되고, 정규순서적이 있는 경우에는 "장을 꺼낼 때의 뛰어넘기"를 추가로 세야 해요. 하지만 최종 부호는 일치해요.

항 (II)와 (III)의 계산

🟡 리나: 항 (II)는 \(:\!b\partial c\!:(z)\, :\!\partial b\, c\!:(w)\). 양쪽 축약의 패턴:

  • 패턴 A': \(b(z) \leftrightarrow c(w)\)와 \(\partial c(z) \leftrightarrow \partial b(w)\)
\[ \langle b(z)\, c(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \]
\[ \langle \partial c(z)\, \partial b(w)\rangle = \partial_z \partial_w \langle c(z)\, b(w)\rangle = \partial_z \partial_w \frac{1}{z-w} = \partial_z\left(\frac{1}{(z-w)^2}\right) = -\frac{2}{(z-w)^3} \]

여기서 \(\langle c(z)\, b(w)\rangle = 1/(z-w)\)(H.4절)을 사용했어요. 첫 번째 등호는 "장의 미분의 상관함수 = 상관함수의 미분"에 의한 거예요(\(z \neq w\)에서 상관함수는 매끄러운 함수이므로, 미분과 기대값의 순서를 교환할 수 있어요). 먼저 \(w\)로 미분: \(\partial_w [1/(z-w)] = \partial_w [(z-w)^{-1}] = (-1)(z-w)^{-2} \cdot (\partial_w(z-w)) = (-1)(z-w)^{-2}\cdot(-1) = +1/(z-w)^2\). 다음으로 \(z\)로 미분: \(\partial_z [1/(z-w)^2] = (-2)(z-w)^{-3} \cdot (\partial_z(z-w)) = (-2)(z-w)^{-3}\cdot(+1) = -2/(z-w)^3\).

🔵 카이: \(1/(z-w)\)과 \(1/(z-w)^3\)을 곱하면 확실히 \((z-w)^{-4}\)네요. \(1+3=4\)로 항 (I)의 \(2+2=4\)와는 내역이 다르지만 합계는 같군요.

🟡 리나: 축약값의 곱은 \(\frac{1}{z-w}\cdot\left(-\frac{2}{(z-w)^3}\right) = -\frac{2}{(z-w)^4}\). 뛰어넘기 횟수에 의한 부호도 포함한 전체 부호의 결정은 본 부록의 간략화된 처방으로는 추적하기 어려우므로(H.6절 서두의 방침 참조), 여기서는 절댓값 \(\frac{2}{(z-w)^4}\)을 기록해요.

항 (II)의 앞 계수는 \((-2)(-1) = +2\)이므로, 절댓값으로: \(2 \cdot \frac{2}{(z-w)^4} = \frac{4}{(z-w)^4}\).

🟡 리나: 각 항에서 미분의 배분이 바뀌니까 개별 축약의 극의 차수는 다르지만, 전체 축약의 곱은 반드시 \((z-w)^{-4}\)에 기여해요. 항 (I)에서는 축약 결과 자체가 \((z-w)^{-4}\)였지만, 항 (II)에서는 \(1/(z-w)\)과 \(1/(z-w)^3\)의 곱으로 \((z-w)^{-4}\)가 나와요——미분 횟수가 다른 축약이 조합되는 패턴이에요. 일반적으로, 2개의 축약의 극의 차수를 더하면 반드시 4가 돼요——항 (I)에서는 \(2+2=4\), 항 (II)에서는 \(1+3=4\).

⚪ 메이: 그렇구나, 항 (I)의 \(2+2\)와 항 (II)의 \(1+3\)으로 미분의 배분은 다르지만 합계는 같은 4가 돼요. 우연이 아니라 뭔가 이유가 있는 거죠?

🟡 리나: 좋은 착안점이에요. \(T_\text{ghost}\)는 공형 무게 2의 장이니까, \(T(z)T(w)\)의 OPE에서 최고차 극은 \((z-w)^{-2\times 2} = (z-w)^{-4}\)——일반적으로 무게 \(h\)의 장끼리의 OPE에서는 최고차 극이 \((z-w)^{-2h}\)가 돼요. 그래서 전체 축약에서 나오는 극의 차수의 합계는 반드시 4가 되는 거예요.

🔵 카이: 항 (III)은 \(:\!\partial b\, c\!:(z)\, :\!b\partial c\!:(w)\)이죠. 이거 항 (II)의 \(z\)와 \(w\)를 바꾼 것처럼 보이는데, 반교환장이라서 바꿀 때 부호가 달라지거나 하나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(T_{\text{ghost}}\)의 각 항은 2개의 반교환장의 곱(\(:b\partial c:\)나 \(:\partial b\, c:\))이고, 짝수 개의 반교환장의 곱은 보손적으로 행동해요(\(T\)를 다른 장과 바꿀 때, 안의 반교환장을 2번 바꾸게 되어 \((-1)^2 = +1\)로 부호가 돌아와요). 따라서 \(T(z)T(w) = T(w)T(z)\)가 성립해요. 즉 \(T(z)T(w)\)의 전개에서 항 (II)는 \(T(z)\)의 제1항과 \(T(w)\)의 제2항의 곱, 항 (III)은 \(T(z)\)의 제2항과 \(T(w)\)의 제1항의 곱이니까, \(z \leftrightarrow w\)로 서로 옮겨져요.

⚪ 메이: 그렇구나, 항 (II)와 항 (III)은 \(z\)와 \(w\)를 바꾼 것뿐인 관계인 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 게다가 \((z-w)^{-4} = (w-z)^{-4}\)(짝수 거듭제곱)이므로, \((z-w)^{-4}\)의 계수는 바꿔도 변하지 않아요. 따라서 항 (III)의 기여는 항 (II)와 같아서 \(4/(z-w)^4\). 합치면 항 (II) + 항 (III)의 절댓값 = \(8/(z-w)^4\).

항 (IV)의 계산

🟡 리나: 항 (IV)는 \(:\!\partial b\, c\!:(z)\, :\!\partial b\, c\!:(w)\). 양쪽 축약의 패턴:

  • 패턴 A'': \(\partial b(z) \leftrightarrow c(w)\)와 \(c(z) \leftrightarrow \partial b(w)\)
\[ \langle \partial b(z)\, c(w)\rangle = \partial_z \frac{1}{z-w} = -\frac{1}{(z-w)^2} \]
\[ \langle c(z)\, \partial b(w)\rangle = \partial_w \frac{1}{z-w} = \frac{1}{(z-w)^2} \]

🔵 카이: 이번에는 둘 다 \((z-w)^{-2}\)이니까, 곱하면 \((z-w)^{-4}\)이네요. 항 (I)과 같은 패턴이에요. 하지만 항 (I)에서는 \(\partial_z\)와 \(\partial_w\)가 별개의 축약에 1번씩 들어가서 \(2+2=4\)였는데, 항 (IV)에서도 \(2+2=4\)인 건, 미분이 \(b\) 쪽으로 옮겨졌을 뿐 구조는 같다는 건가요?

🟡 리나: 맞아요. 항 (IV)에서는 \(\partial b(z)\)와 \(c(w)\), \(c(z)\)와 \(\partial b(w)\)의 조합으로, 미분이 \(b\) 쪽에 1번씩 들어가 있어요. 4개의 장 \(\partial b(z)\, c(z)\, \partial b(w)\, c(w)\)(위치 \(1, 2, 3, 4\))에서 축약 쌍 \((1,4)(2,3)\)에 대해, 항 (I)과 같은 논법으로 부호를 결정해요. \(c(w)\)(오른쪽 정규순서적의 오른쪽 끝)를 꺼내는 데 \(\partial b(w)\)를 1번 뛰어넘으므로 부호 \((-1)\). 축약값의 곱의 절댓값: \(\frac{1}{(z-w)^2}\cdot\frac{1}{(z-w)^2} = \frac{1}{(z-w)^4}\)

항 (IV)의 계수의 절댓값 \(1\)을 곱하면 항 (IV)의 절댓값 \(= \frac{1}{(z-w)^4}\).

⚪ 메이: 4개의 항을 정리하면, 극의 차수 내역은 항 (I)이 \(2+2\), 항 (II)가 \(1+3\), 항 (III)이 \(3+1\), 항 (IV)가 \(2+2\). 미분의 배분은 다르지만, 합계는 전부 4가 돼요——이것이 "\(T\)의 무게가 2이므로 최고차 극이 \((z-w)^{-4}\)"라는 일반론의 구체적 발현이네요.

🟡 리나: 여기까지의 4개 항의 전체 축약 패턴과 각 기여를 그림 H.2「T_ghost T_ghost OPE의 전체 축약 패턴」에 정리했어요. 각 항에서 어떤 장과 어떤 장이 축약되고 있는지, 호의 형태로 확인해 봐요.

T_ghost T_ghost OPE의 전체 축약 패턴

그림 H.2: T_ghost T_ghost OPE의 전체 축약 패턴. 4개의 항 각각에 대해, z 쪽과 w 쪽 장 사이에서 가능한 축약 패턴을 호로 보여줘요. 반교환장의 재배열 부호와 각 축약의 극의 차수로부터 (z-w)⁻⁴로의 기여가 결정돼요.

중심전하의 결정

🟡 리나: 4개 항을 전부 더해요:

각 항의 \((z-w)^{-4}\) 계수의 절댓값을 정리하면:

  • 항 (I): \(4\)
  • 항 (II): \(4\)
  • 항 (III): \(4\)
  • 항 (IV): \(1\)

합계 \(4 + 4 + 4 + 1 = 13\).

🔵 카이: \(4+4+4+1\)…깔끔하게 더해서 13이 되는군요.

🟡 리나: 전체 부호에 대해: 최종 결과는 \(-13\)이에요. 부호가 음이 되는 물리적 이유는 명쾌해요: 반교환장의 루프(닫힌 전파)는 항상 전체에 \((-1)\)을 생성해요(「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 12 장의 페르미온 루프의 부호 규칙과 같은 기원). \(TT\) OPE의 전체 축약은 "고스트장이 닫힌 루프를 그리는" 구조에 대응하며, 이 \((-1)\)이 전체에 곱해져요. 엄밀한 부호 추적에는, 반교환장의 지름순서와 정규순서의 관계에서의 추가 부호 규칙을 모든 축약 패턴에서 일관되게 따라야 하며, 본 부록의 범위를 넘어요. 완전한 도출은 Polchinski Vol.1 §2.5, §3.3 참조.

본 부록에서 확인한 것은 "\(13\)"이라는 수치가 어디서 오는지——4개 항의 기여의 절댓값 내역——이며, 이것은 각 항의 축약의 극의 차수와 계수로부터 유일하게 결정돼요.

여기까지의 계산에서는 각 항에 대해 1개의 축약 패턴만 보여줬어요. 또 하나의 패턴(예를 들어 항 (II)에서는 \(b(z) \leftrightarrow \partial b(w)\), \(\partial c(z) \leftrightarrow c(w)\))도 존재하지만, \(\langle b(z)\, \partial b(w)\rangle = \partial_w\langle b(z)\, b(w)\rangle = 0\) 및 \(\langle \partial c(z)\, c(w)\rangle = \partial_z\langle c(z)\, c(w)\rangle = 0\)(같은 종류의 장 사이에는 전파함수가 없음)이므로 전부 소멸해요. 항 (I), (IV)에서도 마찬가지.

위 계산에 의해, \((z-w)^{-4}\)의 계수의 절댓값 \(13 = 4 + 4 + 4 + 1\)이 어디서 오는지 확인됐어요. 전체 부호의 완전한 결정에는, 반교환장의 정규순서적 사이의 Wick의 정리에서의 부호 규칙(정규순서적의 장 순서 규약에 의존)을 엄밀히 추적할 필요가 있으며, 본 부록의 간략화된 처방으로는 불충분해요. 완전한 도출(Polchinski Vol.1 §2.5, §3.3)에 의하면, 최종 결과는:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, T_{\text{ghost}}(w)\Big|_{(z-w)^{-4}} = -\frac{13}{(z-w)^4} \]

한편, 실제 \(TT\) OPE에서는 부분 축약(4개의 장 중 2개만 축약하고, 나머지 2개를 정규순서적으로 남기는 항)도 존재하지만, 이들은 \((z-w)^{-4}\)에 기여하지 않아요. 이유를 확인해 봅시다.

부분 축약으로 얻어지는 최고차 극은 \((z-w)^{-3}\)(예: \(\langle \partial c(z)\, \partial b(w)\rangle = -2/(z-w)^3\))이에요. 남은 정규순서적 안의 장 \(\phi(z)\)를 \(w\) 주위에서 Taylor 전개하면 \(\phi(z) = \phi(w) + (z-w)\partial\phi(w) + \cdots\)이지만, 정규순서적의 장은 \((z-w)^0\) 이상의 항만 가지므로, \((z-w)^{-3}\)과 곱해도 \((z-w)^{-3}\) 이하의 극까지밖에 안 돼요. \((z-w)^{-4}\)에는 도달하지 못해요.

⚪ 메이: 즉 "전부 축약하지 않으면 \((z-w)^{-4}\)는 나오지 않는다"——중심전하는 전체 축약만으로 결정되는 거네요.

🟡 리나: 구체적인 예로 확인해요. 항 (I) \(4\, :\!b\partial c\!:(z)\, :\!b\partial c\!:(w)\)에서 \(\partial c(z)\)와 \(b(w)\)만 축약하면 \(\langle \partial c(z)\, b(w)\rangle = -1/(z-w)^2\)이 나오고, 나머지 \(:\!b(z)\, \partial c(w)\!:\)가 정규순서적으로 남아요. \(b(z) = b(w) + (z-w)\partial b(w) + \cdots\)로 전개하면, 전체는 \((z-w)^{-2}\) 이하의 극만 가져요. 항 (II)에서 \(\partial c(z)\)와 \(\partial b(w)\)를 축약하면 \(-2/(z-w)^3\)이 나오지만, 나머지 \(b(z)\, c(w)\)의 Taylor 전개는 \((z-w)^0\)부터 시작하므로, 전체는 \((z-w)^{-3}\) 이하. 어느 쪽이든 \((z-w)^{-4}\)에는 닿지 못해요.

부분 축약은 \((z-w)^{-2}\)의 항(\(2T(w)/(z-w)^2\))과 \((z-w)^{-1}\)의 항(\(\partial T(w)/(z-w)\))에 기여해요. 결과적으로:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, T_{\text{ghost}}(w) = -\frac{13}{(z-w)^4} + \frac{2 T_{\text{ghost}}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T_{\text{ghost}}(w)}{z-w} + \cdots \]

이것을 \(TT\) OPE의 일반형(제 16 장 16.5「에너지-운동량 텐서와 Virasoro 대수의 재도출」) \(T T \sim \frac{c/2}{(z-w)^4} + \cdots\)와 비교하면:

\[ \frac{c_{\text{ghost}}}{2} = -13 \;\Longrightarrow\; \boxed{c_{\text{ghost}} = -26} \]

🔵 카이: \(-26\)이 나오는 건 알겠는데, 솔직히 좀 찝찝해요. 우리가 따라간 계산에서는 \(+13\)이었는데, "올바른 부호 규칙을 쓰면 \(-13\)"이라고 하면, 어디서 부호가 반전되는지 구체적으로 보이지 않으면 납득이 안 돼요.

🟡 리나: 본 부록에서는 "정규순서적에서 장을 꺼낼 때의 뛰어넘기 횟수"로 부호를 추적했지만, 실은 반교환장의 지름순서와 정규순서의 관계에는 추가 부호 규칙이 있어요——\(\mathcal{R}[\psi(z)\chi(w)] = \langle \psi(z)\chi(w)\rangle + :\!\psi(z)\chi(w)\!:\)이지만, 장의 순서를 바꾸면 \(\mathcal{R}[\chi(w)\psi(z)] = \langle \chi(w)\psi(z)\rangle - :\!\psi(z)\chi(w)\!:\)처럼 정규순서적 앞에 마이너스가 붙어요. 정규순서적 사이의 Wick의 정리에서는, 축약 후 남는 정규순서적의 부호에 이 효과가 누적돼요. 모든 축약 패턴에서 이것을 올바르게 추적하면, 합계가 \(-13\)이 돼요. 완전한 도출은 Polchinski Vol.1 §2.5, §3.3 참조.

🔵 카이: 그렇군요…완전한 부호 추적은 본 부록 범위 밖이지만, "페르미온 루프는 \((-1)\)을 생성한다"는 물리적 이유로 부호가 확정된다는 건 납득이 돼요. 절댓값 \(13\)의 내역(\(4+4+4+1\))이 어디서 오는지는 완전히 따라갈 수 있었으니, 핵심은 이해했어요. 그런데 하나 궁금한 건, \(4+4+4+1 = 13\)이 \(\lambda = 2\)에 특유한 수죠. \(\lambda\)를 바꾸면 내역은 어떻게 바뀌나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 일반 \(\lambda\)에서는 각 항의 계수가 \(\lambda^2\), \(\lambda(1-\lambda)\), \((1-\lambda)\lambda\), \((1-\lambda)^2\)로 바뀌고, 축약의 극의 차수도 미분의 배분에 따라 바뀌어요. 전부 더하면 \(6\lambda^2 - 6\lambda + 1\)이 돼요——다음 H.7절에서 보는 일반 공식의 내용이 바로 이거예요.

✅ 이해도 체크: \(T_{\text{ghost}}\, T_{\text{ghost}}\) OPE의 \((z-w)^{-4}\) 계수로부터 중심전하를 읽어낼 때, 일반형 \(TT \sim \frac{c/2}{(z-w)^4} + \cdots\)와의 비교로 \(c_{\text{ghost}} = -26\)이 얻어져요. 이 계산에서 \((z-w)^{-4}\)의 계수가 \(-13\)이 되는데, 이것은 어떤 조작으로부터 생기나요?

답

\(T_{\text{ghost}}(z) = -2:b\partial c: + :\partial b\, c:\)의 곱을 전개하여 4개의 항을 얻고, 각 항에서 반교환장의 Wick의 정리를 적용하여 모든 장을 축약하는 패턴(진공 기대값)을 열거해요. 반교환장의 순서 교환에 의한 부호를 올바르게 추적하여 전체 항을 더하면, \((z-w)^{-4}\)의 계수가 \(-13\)이 돼요.

계산 노트: 위의 항별 계산에서 "재배열 부호"를 완전히 따라가려면, 반교환장의 순서 교환을 1단계씩 명시하는 쓰기가 필요해요. 본 부록에서는 각 항의 절댓값 구조와 부호의 귀결만 보여줬어요. 완전한 도출은 Polchinski 『String Theory』Vol.1 §3.3 또는 Blumenhagen-Lüst-Theisen 『Basic Concepts of String Theory』§3.3.3 참조.

H.7　일반 \(\lambda\)의 경우 — 공식 \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)

🟡 리나: 위 계산을 일반 \(\lambda\)로 수행하면, 보손 끈의 \(bc\) 고스트 계(\(\lambda = 2\))를 포함하는 넓은 족의 중심전하 공식이 얻어져요:

\[ \boxed{c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)} \]

검산:

  • \(\lambda = 2\): \(c = -2(24 - 12 + 1) = -2 \cdot 13 = -26\) ✓(끈이론의 재매개변수화 고스트)
  • \(\lambda = 1/2\): \(c = -2(3/2 - 3 + 1) = -2 \cdot (-1/2) = 1\)(자유 페르미온)
  • \(\lambda = 3/2\): 만약 \(\lambda = 3/2\)의 계가 반교환장(\(bc\) 계)이라면, 공식에 대입하여 \(c = -2(6\cdot\frac{9}{4} - 6\cdot\frac{3}{2} + 1) = -2(\frac{27}{2} - 9 + 1) = -2 \cdot \frac{11}{2} = -11\)이 돼요. 그러나 초끈의 \(\beta\gamma\) 고스트는 실제로는 교환장(보손적)이며, 중심전하의 부호가 반전돼요.

🔵 카이: 잠깐만요. 왜 초대칭의 고스트만 교환장이 되나요? H.1절에서는 "행렬식을 내기 위해 반교환장이 필요하다"는 얘기였잖아요.

🟡 리나: 좋은 질문이에요. H.1절의 논리를 되돌아봅시다. Faddeev-Popov의 절차에서는 "게이지 매개변수를 장으로 바꾸는" 것이었어요. 핵심은 다음 규칙이에요:

  • 게이지 매개변수가 교환적(보통의 수) → 고스트장은 반교환적으로 해요(반교환 변수의 가우스 적분으로 \(\det M\)을 내기 위해)
  • 게이지 매개변수가 반교환적(Grassmann 홀) → 고스트장은 교환적으로 해요(교환 변수의 가우스 적분으로 \((\det M)^{-1}\)을 내기 위해)

즉 "게이지 매개변수와 반대의 통계성을 가진 장을 도입하는" 것이 일반적인 규칙이에요.

⚪ 메이: 게이지 매개변수의 "성격"에 따라, 고스트장의 타입이 뒤집히는 거네요.

🟡 리나: 통상의 게이지 대칭성(좌표 변환 \(\delta\sigma^a\))의 매개변수는 보통의 수(교환적)이니까, 고스트 \(c\)는 반교환적이 됐어요. 반면, 초대칭의 게이지 매개변수는 이미 반교환적(Grassmann 홀)이에요——초대칭은 보손과 페르미온을 바꾸는 변환으로, 그 매개변수 자체가 페르미온적 성질을 가져요(제 17 장 참조). 그래서 초대칭 고스트는 반대로 교환적(Grassmann 짝)인 장——\(\beta\gamma\) 계——이 돼요. 교환장의 가우스 적분은 \(\int \mathcal{D}\bar\beta\, \mathcal{D}\gamma\, e^{-\bar\beta M \gamma} = (\det M)^{-1}\)으로, 딱 필요한 역수를 줘요.

⚪ 메이: 즉 "\(\det M\)을 내고 싶은지, \((\det M)^{-1}\)을 내고 싶은지"에 따라, 반교환장을 쓸지 교환장을 쓸지가 결정되는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 그리고 중심전하의 부호가 반전되는 이유도 명쾌해요——\(\beta\gamma\) 계는 교환장이라 페르미온 루프의 \((-1)\)이 나오지 않아요. 결과적으로 \(TT\) OPE의 \((z-w)^{-4}\) 계수의 부호가 \(bc\) 계와 반전돼요. 따라서:

\[ c_{\beta\gamma} = +2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1) = +11 \quad (\lambda = 3/2) \]

🔵 카이: 오오, \(bc\) 계의 \(-11\)이 그대로 부호 반전되어 \(+11\)이 되는군요. 깔끔하다.

⚪ 메이: 즉 \(\lambda\)가 장의 공형 무게를 결정하고, 같은 구조의 OPE 계산에서 중심전하가 유일하게 나온다——\(\lambda = 2\)로 보손 끈의 고스트, \(\lambda = 1/2\)로 자유 페르미온과, 1개의 공식이 전부 커버하는 거네요.

🔵 카이: \(\lambda = 1/2\)에서 \(c = 1\)이라는데, 제 16 장에서 나왔던 자유 페르미온 1성분의 중심전하 \(c = 1/2\)과는 다르죠? \(bc\) 계는 \(b\)와 \(c\) 2개의 장이 있으니까 2배가 된 건가요? 그런데 그러면 \(\lambda = 2\)의 고스트도 \(b\)와 \(c\) 2개가 있는데, 왜 "2배"라고는 안 하나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(bc\) 계의 \(\lambda = 1/2\)는 "복소 페르미온"(\(b\)와 \(c\)가 독립인 2성분)에 대응하니까 \(c = 1\)이에요. 실수 페르미온 1성분이면 \(c = 1/2\)이고, 2성분이면 \(c = 1\)이 돼요. \(\lambda = 2\)의 고스트에서도 같아요——\(b\)와 \(c\) 2개의 장을 합친 계 전체의 중심전하가 \(-26\)인 거예요. "1성분당 \(-13\)"이라고는 말하지 않아요. 공식 \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)는 처음부터 \(bc\) 계 전체(2개의 장을 포함)의 중심전하를 주고 있어요.

제 17 장(초끈이론)에서는 \(bc\) 고스트(\(\lambda = 2, c = -26\))에 더해 초공형 대칭의 고스트 \(\beta\gamma\) 계(\(\lambda = 3/2, c = +11\))가 등장해요. 물질장의 중심전하(\(D\)개의 보손(각 \(c = 1\)) + \(D\)개의 실수 페르미온(각 \(c = 1/2\)) \(= D + D/2 = 3D/2\))과 고스트의 합계가 영이 되는 조건으로부터:

\[ \frac{3D}{2} - 26 + 11 = \frac{3D}{2} - 15 = 0 \;\Longrightarrow\; D = 10 \]

초끈의 임계 차원 \(D = 10\)이, 보손 끈과 완전히 같은 논리에서 나와요.

🔵 카이: 보손 끈 \(D=26\)도 초끈 \(D=10\)도, "중심전하의 합계 영"이라는 1개의 조건에서 나오는 거군요. 통일적이네요.

✅ 이해도 체크: 일반 \(\lambda\)에 대한 \(bc\) 계의 중심전하 공식 \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)에서, \(\lambda = 1/2\)일 때 \(c = 1\)이 돼요. 이것은 자유 페르미온 몇 성분에 대응할까요?

답

\(\lambda = 1/2\)의 \(bc\) 계는 "복소 페르미온"(\(b\)와 \(c\)가 독립인 2성분)에 대응하며, \(c = 1\)이 돼요. 실수 페르미온 1성분의 중심전하는 \(c = 1/2\)이고, 2성분(복소 페르미온)에서 \(c = 1\)이 되므로 정합적이에요.

H.8　BRST 전하와 물리적 상태의 선택(개관)

🟡 리나: 고스트장이 실재하지 않는 장을 배제하기 위해, BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) 대칭성이라 불리는 특수한 대역적 대칭성을 도입해요. 구체적으로:

  • BRST 전하 \(Q_B\): 고스트장을 포함하는 특정 조합으로, \(Q_B^2 = 0\)(멱영성)을 만족
  • 물리적 상태: \(Q_B |\text{phys}\rangle = 0\)을 만족하는 상태에서, \(|\text{phys}\rangle \sim |\text{phys}\rangle + Q_B|\chi\rangle\)(BRST 엄밀 형식)을 제외한 것

🔵 카이: \(Q_B^2 = 0\)이란, 2번 작용시키면 사라진다는 거잖아요. 왜 그것이 물리적 상태 선택에 쓸 수 있나요?

🟡 리나: \(Q_B^2 = 0\)은 "\(Q_B\)로 사라지는 상태" 안에 "\(Q_B\)로 만들 수 있는 상태"가 포함되어 있음을 보장해요. 물리적 상태는 "\(Q_B\)로 사라지지만, \(Q_B\)로 만들 수 없는" 것——수학에서는 이처럼 "닫혀 있지만 엄밀하지 않은" 요소를 추출하는 구조를 코호몰로지라고 불러요. 직관적으로는 "본질적으로 새로운 상태만을 골라내는 체"와 같은 거예요.

⚪ 메이: "\(Q_B\)로 사라지지만" "\(Q_B\)로 만들 수 없다"——그것이 진짜 물리적 상태, 라는 선별이네요.

🟡 리나: 그리고 \(Q_B^2 = 0\)이 성립하는 조건을 양자론에서 부과하면:

\[ c_{\text{matter}} + c_{\text{ghost}} = 0 \]

이라는 조건이 자동으로 나와요. 이것이 16.7「임계차원의 CFT적 재도출」에서 사용한 임계 차원 결정 조건의 기원이에요.

⚪ 메이: 게이지 고정에서 도입한 고스트장이, 역으로 물리적 상태를 골라내는 도구가 되는 거네요.

✅ 이해도 체크: BRST 전하 \(Q_B\)의 멱영성 \(Q_B^2 = 0\)은, 물리적 상태의 선택에서 어떤 역할을 할까요?

답

\(Q_B^2 = 0\)에 의해, "\(Q_B\)로 사라지는 상태(\(Q_B|\text{phys}\rangle = 0\))" 안에 "\(Q_B\)로 만들 수 있는 상태(\(Q_B|\chi\rangle\))"가 포함됨이 보장돼요. 물리적 상태는 "\(Q_B\)로 사라지지만 \(Q_B\)로 만들 수 없는" 상태로 정의되며, 이것은 코호몰로지 구조를 이뤄요. 또한 양자론에서 \(Q_B^2 = 0\)을 요청하면 \(c_{\text{matter}} + c_{\text{ghost}} = 0\)이 도출되어, 임계 차원이 결정돼요.

🟡 리나: 상세는 Polchinski Vol.1 §4.2 또는 Kiritsis §3.11 참조.

H.9　정리

표 H.1: 부록 H의 주요 결과 정리

항목 결과
\(bc\) 계의 작용 \(S = \frac{1}{2\pi}\int d^2z\, b\, \bar\partial c\)
기본 OPE \(b(z)c(w) \sim 1/(z-w)\)
에너지-운동량 텐서 \(T = -\lambda\, :b\,\partial c:+(1-\lambda)\, :\partial b\, c:\)(정규순서적 안에서 반교환장을 바꾸면 부호가 변함: \(:\partial b\, c: = -:c\,\partial b:\))
중심전하(일반 공식) \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)
끈이론의 고스트(\(\lambda=2\)) \(c_{\text{ghost}} = -26\)
초끈의 \(\beta\gamma\) 계(교환장, \(\lambda=3/2\)) \(c_{\beta\gamma} = +11\)(\(bc\) 공식의 부호 반전)
임계 차원의 결정 \(c_{\text{matter}} + c_{\text{ghost}} = 0\)

🟡 리나: 이것으로 제 16 장 16.7「임계차원의 CFT적 재도출」에서 "결과로 사용한" \(c_{\text{ghost}} = -26\)이 어디서 오는지 보였어요. 반교환장의 Wick의 정리와 OPE의 계산은 기술적이지만, 원리적으로는 제 16 장에서 다뤘던 보손장의 계산과 같은 구조예요.

🔵 카이: "장의 통계성"과 "미분의 배분"으로 중심전하가 결정된다——기술적이지만, 결국은 같은 OPE의 반복이군요.

⚪ 메이: Faddeev-Popov에서 시작해 \(c_{\text{ghost}} = -26\)까지, 하나의 논리의 실로 이어져 있는 게 기분 좋네요.

참고문헌

  • J. Polchinski, String Theory Vol.1, §3.2-3.3, §4.1-4.2
  • R. Blumenhagen, D. Lüst, S. Theisen, Basic Concepts of String Theory, §3.3
  • E. Kiritsis, String Theory in a Nutshell, §3.10-3.11
  • M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, §16.2（비아벨 게이지 이론에서의 Faddeev-Popov 구현）
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