콘텐츠로 이동

Appendix B　텐서곱·성분·축약 기법 정리

← A 벡터 해석C 장의 라그랑지안과 오일러-라그랑주 방정식 →

지금까지의 줄거리:

부록 A 에서는 3차원 유클리드 공간에서의 벡터 해석——벡터곱, 미분 연산자(grad, div, rot, 라플라시안), 적분 정리(Gauss 정리, Stokes 정리)——를 증명과 함께 정리했다. 본편의 텐서 계산의 토대가 되는 도구를 "사전"으로 사용할 수 있도록 했다.

이 장의 목표

  • 텐서곱 \(\otimes\) 의 정의와 계산 법칙(분배법칙·비가환성)을 이해하고, 반변 텐서 공간 \(T^r(V)\)의 구조를 파악한다
  • 나아가 텐서를 "다중선형사상"으로 파악하는 좌표 비의존적 관점을 획득하고, 공변 텐서(계량 텐서 등)와의 관계도 이해한다. Einstein의 축약 기법을 자유자재로 다룰 수 있게 되는 것
  • 이것들은 본편에서 등장하는 계량 텐서·Riemann 텐서 등 다중 첨자 양을 다루기 위한 필수 도구이다

B.1 텐서곱은 왜 필요한가

🟡 리나: 지금까지 벡터와 1-형식을 배웠지. 벡터는 "위 첨자 1개를 가진 양", 1-형식은 "아래 첨자 1개를 가진 양"이었어. 그런데 Einstein 방정식

\[G_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu}\]

에는 아래 첨자가 2개인 양이 나와. Riemann 텐서 \(R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\)에 이르면 첨자가 4개나 있어.

🔵 카이: 첨자가 늘어난다는 건, 벡터만으로는 부족하다는 뜻이군요.

🟡 리나: 맞아. 벡터는 "1계" 텐서——첨자가 1개인 양이야. 첨자가 2개 이상인 양을 체계적으로 다루려면, 벡터 공간을 바탕으로 더 큰 공간을 만드는 조작이 필요해. 그것이 텐서곱(tensor product) \(\otimes\) 이야. 즉, 텐서곱은 "첨자를 늘리기" 위한 수학적 도구야. 오늘은 먼저 텐서곱의 계산 법칙을 확실히 익혀보자.

⚪ 메이: 그렇구나, 벡터만으로는 첨자 1개밖에 다룰 수 없으니까, 더 많은 첨자를 가진 양을 만들기 위한 조작이 필요한 거네.

B.2 텐서곱 공간의 구성

🟡 리나: 2차원 선형 공간 \(V\)를 생각하고, 기저를 \(e_1, e_2\)로 하자. 여기서 \(V\)와 \(V\) 자체의 텐서곱 \(V \otimes V\)를 만들고 싶어. 방법은 단순해. \(e_1, e_2\)를 2개씩 조합해서,

\[e_1 \otimes e_1, \quad e_1 \otimes e_2, \quad e_2 \otimes e_1, \quad e_2 \otimes e_2\]

라는 4개의 기호를 만들어. 이 4개를 기저로 삼아, 실수를 계수로 가지는 선형 공간을 만든 것이 \(V \otimes V\)야.

🔵 카이: 4개의 기저니까 4차원 선형 공간인가요?

🟡 리나: 맞아. \(V\)가 2차원이면 \(V \otimes V\)는 \(2 \times 2 = 4\) 차원이야. \(V\)가 \(n\)차원이면 \(V \otimes V\)는 \(n^2\)차원이 돼.

✅ 이해도 체크: \(n\)차원 벡터 공간 \(V\)의 텐서곱 공간 \(V \otimes V\)의 차원은 얼마일까요? 그 기저는 어떤 형태를 하고 있을까요?

답

\(V \otimes V\)의 차원은 \(n^2\)이다. 기저는 \(e_i \otimes e_j\) (\(i, j = 1, \ldots, n\)) 형태의 \(n^2\)개 원소로 이루어진다. 이것들은 \(V\)의 기저 벡터를 2개씩 조합하여 \(\otimes\)로 연결한 것이다.

⚪ 메이: \(e_1 \otimes e_2\)라는 건 구체적으로 어떤 대상이야?

🟡 리나: 솔직히 말하면, 정체는 신경 쓰지 않아도 돼. "\(e_1\)과 \(e_2\)를 순서대로 나란히 붙인 것" 정도의 이해로 충분해. 중요한 건 정체가 아니라, 다음에 설명할 계산 법칙 쪽이야.

B.3 텐서곱의 계산 법칙

🟡 리나: 텐서곱 \(\otimes\)에는 다음 3가지 법칙이 성립한다고 정해. 실수 \(k\)와 벡터 \(S, T, U\)에 대해:

\[k(S \otimes T) = (kS) \otimes T = S \otimes (kT) \tag{B.1}\]
\[(S + T) \otimes U = S \otimes U + T \otimes U \tag{B.2}\]
\[S \otimes (T + U) = S \otimes T + S \otimes U \tag{B.3}\]

🔵 카이: 1번째는 "스칼라는 어디에 곱해도 같다", 2번째와 3번째는 분배법칙이네요. 중학교 전개 공식이랑 같아요.

🟡 리나: 바로 그래. 구체적인 예를 해보자. \(S = 2e_1 + 3e_2\), \(T = -2e_1 + e_2\)일 때, \(S \otimes T\)를 계산해 봐.

🔵 카이: 음, \((a + b)(c + d)\) 처럼 전개하면 되는 거죠? \(2e_1 \otimes (-2e_1)\)이랑 \(2e_1 \otimes e_2\)랑……4개 항이 나오나요?

🟡 리나: 맞아, 그 조자야. 4개 항을 모두 써 봐.

🔵 카이: 그러면……

\[S \otimes T = (2e_1 + 3e_2) \otimes (-2e_1 + e_2)\]
\[= 2 \cdot (-2)\,e_1 \otimes e_1 + 2 \cdot 1\,e_1 \otimes e_2 + 3 \cdot (-2)\,e_2 \otimes e_1 + 3 \cdot 1\,e_2 \otimes e_2\]
\[= -4\,e_1 \otimes e_1 + 2\,e_1 \otimes e_2 - 6\,e_2 \otimes e_1 + 3\,e_2 \otimes e_2\]

이렇게요?

🟡 리나: 완벽해. 바로 그 요령이야.

⚪ 메이: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)와 완전히 같은 구조네. 전개 순서는 보통 곱셈이랑 같지만……

🔵 카이: 아, 그런데 \(e_1 \otimes e_2\)와 \(e_2 \otimes e_1\)은 다른 것이죠? 보통 수의 곱셈처럼 \(ab = ba\)가 되지 않는 건가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 맞아, 텐서곱은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않아. \(e_1 \otimes e_2 \neq e_2 \otimes e_1\)이야. "순서에 의미가 있다"는 것이 텐서곱의 중요한 특징이야. 그래서 전개 후에 "동류항"을 정리할 때도, \(e_1 \otimes e_2\)와 \(e_2 \otimes e_1\)은 별개로 다뤄야 해.

⚪ 메이: 즉, 보통 수의 곱셈이라면 \(ab = ba\)로 동류항으로 만들 수 있지만, 텐서곱에서는 순서가 다르면 다른 기저이니까 섞으면 안 되는 거네.

📝 연습문제:

B.4 텐서곱 공간의 원소의 덧셈과 스칼라배

🟡 리나: \(V \otimes V\)의 원소끼리의 덧셈이나 스칼라배는, 보통 벡터의 경우와 완전히 같은 규칙이야. 기저가 \(e_i \otimes e_j\)라는 낯선 형태를 하고 있을 뿐, 하는 일은 변하지 않아. 예를 들어 이걸 계산해 봐.

\[(-3\,e_1 \otimes e_1 - 2\,e_2 \otimes e_1) + (2\,e_1 \otimes e_1 - e_2 \otimes e_1) = \;?\]

🔵 카이: 음, \(e_1 \otimes e_1\)의 계수가 \(-3 + 2 = -1\)이고, \(e_2 \otimes e_1\)의 계수가 \(-2 + (-1) = -3\)이니까……

\[= -e_1 \otimes e_1 - 3\,e_2 \otimes e_1\]

이렇게요? 같은 기저의 계수끼리 더하기만 하면 되니까, 보통 벡터의 덧셈과 완전히 같은 구조네요.

🟡 리나: 스칼라배도 같은 요령이야. 예를 들면

\[3\,(2\,e_1 \otimes e_1 - e_2 \otimes e_1) = 6\,e_1 \otimes e_1 - 3\,e_2 \otimes e_1\]

으로 각 계수에 3을 곱하기만 하면 돼.

⚪ 메이: 덧셈도 스칼라배도, 같은 기저의 계수만 조작하면 되는 거네. 보통 벡터 공간과 완전히 같은 규칙이야.

🔵 카이: 하지만, \(e_1 \otimes e_2\)와 \(e_2 \otimes e_1\)은 다른 기저니까, 이 계수들을 더할 수는 없는 거죠?

🟡 리나: 그 맞아. 순서가 다르면 별개라는 것이 텐서곱의 중요한 포인트야. 참고로, 이건 물리적으로도 의미가 있어——예를 들어 응력 텐서에서 "\(x\) 방향의 면에 \(y\) 방향의 힘"과 "\(y\) 방향의 면에 \(x\) 방향의 힘"은 일반적으로 다른 상황을 나타내거든.

🔵 카이: "\(x\) 방향의 면"이란, \(x\)축에 수직인 면이라는 뜻인가요? 거기에 \(y\) 방향의 힘이 작용하는……전단응력 같은 이미지?

🟡 리나: 맞아, 바로 전단응력이야. 면의 방향과 힘의 방향의 조합이 2개의 첨자에 대응하거든. 그래서 순서가 물리적으로 의미를 가지는 거야.

📝 연습문제:

B.5 분해 불가능한 텐서

🟡 리나: 여기서 하나 주의할 점이 있어. \(V \otimes V\)의 원소가 모두 \(S \otimes T\) (\(S, T \in V\)) 형태로 쓸 수 있는 것은 아니야.

⚪ 메이: 어, 그래?

🟡 리나: 예를 들어, \(e_1 \otimes e_1 + e_2 \otimes e_2\)를 생각해 봐. 만약 이것이 \(S \otimes T\) 형태로 쓸 수 있다면, \(S = \alpha e_1 + \beta e_2\), \(T = \gamma e_1 + \delta e_2\)로 놓으면

\[S \otimes T = \alpha\gamma\,e_1 \otimes e_1 + \alpha\delta\,e_1 \otimes e_2 + \beta\gamma\,e_2 \otimes e_1 + \beta\delta\,e_2 \otimes e_2\]

각 기저의 계수를 비교하면

\[\alpha\gamma = 1, \quad \alpha\delta = 0, \quad \beta\gamma = 0, \quad \beta\delta = 1\]

🔵 카이: \(\alpha\delta = 0\)이니까 \(\alpha = 0\)이거나 \(\delta = 0\)이에요. 그런데 \(\alpha = 0\)이면 \(\alpha\gamma = 0 \neq 1\)로 모순, \(\delta = 0\)이면 \(\beta\delta = 0 \neq 1\)로 모순……

⚪ 메이: 즉, 해가 존재하지 않아. \(e_1 \otimes e_1 + e_2 \otimes e_2\)는 \(S \otimes T\) 형태로는 쓸 수 없는 거네.

🟡 리나: 맞아. \(S \otimes T\) 형태로 쓸 수 있는 원소를 분해 가능 텐서(decomposable tensor)라고 불러. 텐서곱 공간은 분해 가능 텐서의 합도 포함하기 때문에, 단순한 "쌍의 모음"보다 훨씬 풍부한 구조를 가지고 있어.

✅ 이해도 체크: "분해 가능 텐서"란 무엇일까요? 또한, \(V \otimes V\)의 모든 원소가 분해 가능 텐서라고는 할 수 없음을 어떻게 보일 수 있을까요?

답

분해 가능 텐서란, \(S \otimes T\) (\(S, T \in V\)) 형태로 쓸 수 있는 \(V \otimes V\)의 원소를 말한다. 모든 원소가 분해 가능하지는 않음을 보이려면, 예를 들어 \(e_1 \otimes e_1 + e_2 \otimes e_2\)에 대해 \(S = \alpha e_1 + \beta e_2\), \(T = \gamma e_1 + \delta e_2\)로 가정하고, 계수 비교로부터 연립방정식이 모순됨을 보이면 된다.

📝 연습문제:

B.6 성분 표시와 Einstein의 축약 기법

🟡 리나: 여기부터가 실용상 매우 중요한 이야기야. \(V \otimes V\)의 일반적인 원소 \(S\)를

\[S = S^{11}\,e_1 \otimes e_1 + S^{12}\,e_1 \otimes e_2 + S^{21}\,e_2 \otimes e_1 + S^{22}\,e_2 \otimes e_2\]

로 쓸게. \(S^{ij}\)가 성분이고, \(e_i \otimes e_j\)가 기저야. 성분에는 위 첨자, 기저에는 아래 첨자를 사용하고 있다는 점에 주목해.

⚪ 메이: 4개의 기저 각각에 계수가 붙어 있으니까, 전부 쓰면 길어지네.

🟡 리나: 맞아. \(\Sigma\)를 사용하면

\[S = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} S^{ij}\,e_i \otimes e_j\]

로 정리할 수 있어. 그리고 여기서 Einstein의 축약 기법(Einstein summation convention)을 사용하면, \(\Sigma\)를 생략하고

\[S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j \tag{B.4}\]

라고 쓸 수 있어.

🔵 카이: 규칙은 "같은 첨자가 위와 아래에 1번씩 나타나면, 그 첨자에 대해 합을 취한다"였죠. 제 2 장에서 배웠어요.

🟡 리나: 맞아. 식 (B.4)에서 \(i\)가 \(S^{ij}\)의 위와 \(e_i\)의 아래에, \(j\)가 \(S^{ij}\)의 위와 \(e_j\)의 아래에 각각 1번씩 나타나고 있으니까, \(i\)와 \(j\) 모두에 대해 합을 취하는 거야.

⚪ 메이: 구체적으로 \(S^{11} = 3, S^{12} = 4, S^{21} = 5, S^{22} = 6\)이면

\[S = 3\,e_1 \otimes e_1 + 4\,e_1 \otimes e_2 + 5\,e_2 \otimes e_1 + 6\,e_2 \otimes e_2\]

라는 거네.

🟡 리나: 완벽해. 텐서의 "주인공"은 성분 \(S^{ij}\)와 수치의 대응 관계야. 기저를 정해 버리면, 텐서의 정보는 모두 성분에 집약돼.

더미 첨자에 관한 주의

🟡 리나: 축약 기법에서 합을 취하는 첨자를 더미 첨자(dummy index)라고 불러. 더미 첨자는 "어떤 문자를 사용하느냐"에는 의미가 없어. 예를 들어

\[S^{ij}\,e_i \otimes e_j = S^{kl}\,e_k \otimes e_l = S^{mn}\,e_m \otimes e_n\]

이것들은 모두 같은 의미야.

🔵 카이: 변수 이름을 바꿔도 \(\sum\) 안의 내용은 같으니까요.

🟡 리나: 맞아. 단, 하나의 항 안에서 같은 첨자가 3번 이상 나타나면 안 돼. 그것은 규약에 반하고, 물리적으로도 의미가 불명확해져.

🟡 리나: 하나 더 중요한 주의가 있어. 서로 다른 합을 나타낼 때는 반드시 다른 더미 첨자를 사용해야 해. 예를 들어 2개의 벡터 \(\vec{A} = A^\alpha e_\alpha\), \(\vec{B} = B^\beta e_\beta\)를 사용한 식에서, \(\alpha\)와 \(\beta\)를 모두 같은 문자로 만들어 버리면 의미가 깨져.

🔵 카이: 같은 문자로 하면 어떻게 되나요?

🟡 리나: 구체적인 예를 들어볼게. 두 벡터의 내적은 어떤 계수 \(g_{\alpha\beta}\)를 사용해서 \(\vec{A} \cdot \vec{B} = A^\alpha B^\beta g_{\alpha\beta}\)라고 쓸 수 있어. 여기서 그리스 문자 \(\alpha, \beta\)를 사용하는 것은, 본편의 시공간 첨자(\(0, 1, 2, 3\))를 의식한 표기법이야. \(g_{\alpha\beta}\)는 본편(제 6 장)에서 "계량 텐서"로 정식 도입한 양이야——내적의 계산 규칙을 성분별로 지정하는 계수야. 예를 들어 보통의 유클리드 공간이면 \(\alpha = \beta\)일 때 1, 그 외에는 0이 돼. B.9절에서는 다중선형사상의 관점에서 다시 파악할 테니, 여기서는 "이런 식으로 쓸 수 있다"는 것만 확인해 둬. 참고로, 이후의 논의에서는 일반 \(n\)차원 공간을 다루기 위해 라틴 문자 \(i, j\)를 사용해서 \(g_{ij}\)로 쓰지만, 같은 양의 첨자 문자를 바꿨을 뿐이야. 중요한 것은, \(\vec{A}\)의 전개에 사용하는 더미 첨자 \(\alpha\)와 \(\vec{B}\)의 전개에 사용하는 더미 첨자 \(\beta\)를 다른 문자로 하고 있다는 점이야. 만약 둘 다 같은 \(\alpha\)로 해 버리면 \(A^\alpha B^\alpha g_{\alpha\alpha}\)가 되어 \(\alpha\)가 4번 나타나 버려. 초학자가 자주 하는 실수니까, 주의해.

⚪ 메이: 그렇구나, \(A^\alpha B^\alpha g_{\alpha\alpha}\)면 \(\alpha\)가 4번 나오게 되어서, 아까의 "3번 이상은 안 된다"에 걸리네.

✅ 이해도 체크: Einstein의 축약 기법에서, 더미 첨자를 사용할 때 지켜야 할 2가지 규칙은 무엇일까요?

답

(1) 하나의 항 안에서 같은 첨자가 3번 이상 나타나면 안 된다. (2) 서로 다른 합을 나타낼 때는 반드시 다른 더미 첨자를 사용해야 한다. 이를 위반하면 식의 의미가 불명확해진다.

✅ 이해도 체크: Einstein의 축약 규칙에서, 같은 첨자가 위와 아래에 나타났을 때 무엇을 할까요? 그 첨자를 무엇이라고 부를까요?

답

그 첨자에 대해 합을 취한다(\(\sum\)은 생략). 합의 범위는 문맥에 따른다——이 장의 선형 공간에서는 \(1\)부터 \(n\)까지, 상대론의 시공간 첨자에서는 \(0\)부터 \(n-1\)까지. 합을 취하는 첨자를 더미 첨자라고 부른다. 더미 첨자는 어떤 문자를 사용해도 결과는 같다.

📝 연습문제:

B.7 반변 텐서 공간 \(T^r(V)\)

🟡 리나: 여기까지의 논의를 일반화하자. \(V\)를 \(n\)차원 선형 공간, 기저를 \(e_1, e_2, \ldots, e_n\)으로 해.

2계 반변 텐서 공간 \(T^2(V)\)

\(V \otimes V\)를 \(T^2(V)\)라고 쓰고, 2계 반변 텐서 공간(second-order contravariant tensor space)이라고 불러.

  • 기저의 수: \(n^2\)개 (\(e_i \otimes e_j\), \(i, j = 1, \ldots, n\))
  • 차원: \(n^2\)
  • 원소의 표기: \(S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j\)

🔵 카이: "2계"는 \(\otimes\)로 2개 연결했으니까, "반변"은……?

🟡 리나: "반변"의 의미는 좌표계를 바꿨을 때 성분이 어떻게 변하는지와 관련 있어. 이름의 유래만 말하면, 기저 벡터의 변환과 반대 방향으로 성분이 변환되기 때문에 "반변"(contra-variant＝반대로 변한다)이야. 예를 들어 미터에서 센티미터로 단위를 바꾸면 기저 벡터 1개의 길이는 1m에서 1cm으로 짧아지지만, 같은 벡터를 나타내는 데 필요한 성분의 수치는 100배로 늘어나——이 "반대 방향"이 반변의 이미지야. \(T^2(V)\)는 위 첨자가 2개 있으니까, 그 역방향 변환이 2번 적용돼. 본편의 제 4 장에서 자세히 다뤘지. 여기서는 "위 첨자가 2개인 양의 공간"이라는 이해로 충분해.

3계 이상: \(T^3(V)\), \(T^4(V)\), ...

🟡 리나: 같은 요령으로, \(e_i\)를 3개 연결한 것

\[e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes e_{i_3}\]

을 기저로 하는 공간이 \(T^3(V)\)야. \(V\)가 \(n\)차원이면 기저는 \(n^3\)개, 공간의 차원은 \(n^3\)이야. 🔵 카이: \(n = 2\)이면 \(T^3(V)\)은 \(2^3 = 8\)차원인가요? 그러면 계수가 올라갈 때마다 계속 차원이 늘어나는……일반 \(r\)계에서는 어떻게 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 실제로, 계수가 올라갈 때마다 \(n\)배씩 늘어나. 일반적으로, \(r\)계 반변 텐서 공간 \(T^r(V)\)의 정의를 정리해 둘게.

정의 B.1 — \(T^r(V)\)

\(V\)를 \(n\)차원 선형 공간, \(e_1, \ldots, e_n\)을 \(V\)의 기저로 한다. \(n^r\)개의

\[e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \quad (i_1, \ldots, i_r = 1, \ldots, n)\]

을 기저로 하는 \(n^r\)차원 선형 공간을 \(r\)계 반변 텐서 공간이라 부르고, \(T^r(V)\)로 표기한다. \(T^r(V)\)의 원소 \(S\)는

\[S = S^{i_1 i_2 \cdots i_r}\,e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \tag{B.5}\]

로 나타낸다.

🔵 카이: 벡터 공간 \(V\) 자체는 \(T^1(V)\)라는 건가요?

🟡 리나: 맞아. \(T^1(V)\)의 기저는 \(e_1, \ldots, e_n\)으로 \(n\)개, \(n\)차원. 바로 \(V\) 자체야.

B.8 서로 다른 계수의 텐서끼리의 텐서곱

🟡 리나: \(T^2(V)\)의 원소 \(S\)와 \(T^1(V) = V\)의 원소 \(T\)의 텐서곱 \(S \otimes T\)를 계산하면, \(T^3(V)\)의 원소가 얻어져.

🟡 리나: 구체적으로 해 보자. \(S = 3\,e_1 \otimes e_1 + 2\,e_2 \otimes e_1\), \(T = e_1 - e_2\)로 놓고, \(S \otimes T\)를 계산해 봐.

🔵 카이: 음, 아까와 마찬가지로 분배법칙으로 전개하면 되는 거죠. \(S\)의 각 항에 \(T\)의 각 항을 \(\otimes\)로 연결하면……

\[S \otimes T = (3\,e_1 \otimes e_1 + 2\,e_2 \otimes e_1) \otimes (e_1 - e_2)\]
\[= 3\,e_1 \otimes e_1 \otimes e_1 - 3\,e_1 \otimes e_1 \otimes e_2 + 2\,e_2 \otimes e_1 \otimes e_1 - 2\,e_2 \otimes e_1 \otimes e_2\]

이렇게요? 기저가 3개 연결된 형태가 됐어요.

⚪ 메이: 확실히 \(e_i \otimes e_j \otimes e_k\) 형태의 기저로 쓸 수 있으니까, \(T^3(V)\)의 원소네.

🟡 리나: 일반적으로, \(T^r(V)\)의 원소와 \(T^m(V)\)의 원소의 텐서곱은 \(T^{r+m}(V)\)의 원소가 돼. 계수가 덧셈되는 거야.

🔵 카이: 계수 2와 계수 1을 \(\otimes\)로 연결하면 계수 3. ……텐서곱으로 계수가 늘어난다면, 반대로 계수를 줄이는 조작도 있나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 그것이 "축약"(contraction)이라 불리는 조작이야. 자세한 구조는 본편에서 다루지만, 이미지만 말하면 첨자를 1쌍 "찌그러뜨려" 합을 취함으로써 계수가 내려가는 거야. 지금은 "텐서곱은 계수를 늘리고, 축약은 계수를 줄인다"라는 쌍의 관계만 기억해 둬.

🔵 카이: 텐서곱으로 계수를 늘리고, 축약으로 줄이고……딱 역조작이 세트로 되어 있군요. 그러면 2계 텐서를 축약하면 0계——즉 스칼라가 되나요?

🟡 리나: 좋은 추측이야. 단, 조금 주의가 필요해. "위 첨자 1개와 아래 첨자 1개를 가진 텐서"——예를 들어 \(S^i{}_j\)와 같은 양을 생각해 봐. 여기서 텐서의 "형"의 표기법을 정리해 둘게. \((r, s)\)라고 써서, \(r\)이 위 첨자의 개수, \(s\)가 아래 첨자의 개수를 나타내. 그러니까 지금의 \(S^i{}_j\)는 \((1,1)\)형——위가 1개, 아래가 1개야. 이 표기법은 B.9절에서도 사용하니까, 여기서 기억해 둬.

🔵 카이: \((1,1)\)형……위가 1개, 아래가 1개로 합계 2계라는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 이 경우, 위와 아래의 쌍을 찌그러뜨려 \(S^i{}_i\) (\(i\)에 대해 합을 취한다)로 하면, 첨자가 없어져서 스칼라가 돼. 이것은 행렬의 트레이스(대각 성분의 합)에 해당해.

🔵 카이: 그렇구나, 행렬의 트레이스가 축약의 구체적인 예군요. 그런데 B.7에서 다룬 \(S^{ij}\)처럼 위 첨자끼리만 있는 경우는 어떻게 되나요? 위와 위끼리는 쌍을 만들 수 없을 것 같은데……

🟡 리나: 좋은 의문이야. 그 맞아, \((2,0)\)형이면 그대로는 쌍을 만들 수 없어. 위 첨자끼리를 축약하려면 계량 텐서로 첨자를 내리는 조작이 필요한데, 그건 본편에서 다룰게.

⚪ 메이: 즉, \((1,1)\)형이면 위와 아래의 쌍이 있으니까 그대로 축약할 수 있지만, \((2,0)\)형이면 쌍을 만들 수 없어서 추가 도구가 필요한 거네.

🔵 카이: 그런데 \((2,0)\)형에서 쌍을 만들 수 없다면, 어떻게 축약하나요? 뭔가 다른 조작을 끼워넣는다는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 위 첨자를 하나 아래 첨자로 변환하는——즉 계량 텐서로 "첨자를 내리는" 조작이 필요해. 본편의 제 4 장에서 배운 \(A_\mu = g_{\mu\nu} A^\nu\)와 같은 요령이야. B.9절에서 계량 텐서가 \((0,2)\)형 텐서의 대표적 예라는 것을 확인하지만, 첨자를 내리는 조작의 구체적인 절차는 본편 제 4 장에 맡길게. 지금은 "위와 아래의 쌍이 있으면 축약할 수 있다"는 규칙만 기억해 둬.

🔵 카이: 그렇구나, 계량 텐서로 위 첨자를 아래 첨자로 변환하고 나서 쌍을 만드는——한 단계를 거치는 거군요.

✅ 이해도 체크: \(T^r(V)\)의 원소와 \(T^m(V)\)의 원소의 텐서곱은 어떤 공간의 원소가 될까요? 이 성질을 무엇이라고 부를까요?

답

\(T^{r+m}(V)\)의 원소가 된다. 즉, 텐서곱을 취하면 계수는 가법적으로 증가한다(계수의 가법성). 예를 들어 2계 텐서와 1계 텐서의 텐서곱은 3계 텐서가 된다.

📝 연습문제:

B.9 텐서의 "다중선형사상"으로서의 관점

🟡 리나: 여기까지는 "기저를 나열하여 공간을 만드는" 접근법으로 텐서를 도입했어. 하지만 하나 더 중요한 관점이 있어. 그것은 텐서를 다중선형사상으로 정의하는 방법이야. 나는 이것을 슬롯머신 묘사라고 부르고 있어. 그림 B.1「텐서의 슬롯머신 묘사. 텐서를 "슬롯을 가진 기계"로 본다. 왼쪽」을 봐.

텐서의 슬롯머신 묘사

그림 B.1: 텐서의 슬롯머신 묘사. 텐서를 "슬롯을 가진 기계"로 본다. 왼쪽 — 1-형식(슬롯 1개)은 벡터 1개를 받아 스칼라를 반환하는 함수. 오른쪽 — 2계 텐서(슬롯 2개)는 벡터 2개를 받아 스칼라를 반환하는 함수. "선형"의 정확한 의미는 본문에서 바로 뒤에 정의한다.

텐서를 "슬롯을 가진 기계"라고 생각해 봐. 그림의 왼쪽을 봐——슬롯이 1개인 상자가 그려져 있지. 이것이 1-형식으로, 벡터를 1개 넣으면 스칼라가 나오는 선형 함수야. 본편(제 4 장)에서 배웠지. 그림의 오른쪽은 슬롯이 2개인 상자——이것이 2계 텐서로, 벡터를 2개 넣으면 스칼라가 나와. 포인트는, 각 슬롯에 넣는 인수에 대해 각각 독립적으로 선형이라는 것——이 성질을 "다중선형"이라고 불러. "독립적으로 선형"의 정확한 의미는 바로 뒤에서 식을 사용해 설명하지만, 직관적으로는 "한쪽 슬롯의 내용을 고정한 채 다른 쪽만 2배로 하면 출력도 2배가 된다"는 거야. 슬롯의 수가 텐서의 "계수"에 대응해.

⚪ 메이: 그렇구나, 1-형식이 슬롯 1개의 기계이고, 2계 텐서가 슬롯 2개의 기계……그러면 계수가 올라갈수록 슬롯이 늘어나는 거야?

🟡 리나: 맞아. 3계 텐서면 슬롯이 3개, 4계면 4개——계수＝슬롯의 수야. 이 "슬롯을 가진 기계"를 수학적으로 정의해 보자. 그 전에 2개의 용어를 확인해 둘게. 먼저 "인수"——이것은 함수에 입력하는 값이야. \(f(x)\)에서의 \(x\)에 해당하는 거야. 다음으로 "선형"——대략적으로 말하면 "상수배를 밖으로 뺄 수 있고, 덧셈을 나눌 수 있는" 성질이야. 여기서의 \(f\)는 "벡터를 입력으로 받아 실수(스칼라)를 반환하는 함수"야. 식으로 쓰면 \(f(\alpha \vec{A}) = \alpha f(\vec{A})\)이고 \(f(\vec{A} + \vec{B}) = f(\vec{A}) + f(\vec{B})\)가 성립한다는 거야. 예를 들어 2차원에서 \(f(\vec{A}) = 2A^1 + 3A^2\)(제1 성분의 2배와 제2 성분의 3배의 합)라는 함수를 생각하면, \(f(5\vec{A}) = 2(5A^1) + 3(5A^2) = 5(2A^1 + 3A^2) = 5f(\vec{A})\)가 되어 상수배를 밖으로 뺄 수 있지. "각 인수에 대해 선형"이라는 것은, 인수가 여러 개일 때, 다른 인수를 고정하고 하나만 움직이면, 그 하나에 대해 지금의 선형성이 성립한다는 거야. 구체적인 식은 바로 뒤에서 쓸게.

🟡 리나: 이 2개의 용어를 사용해서 정의하면, \(N\)개의 벡터를 인수로 취하고, 실수를 반환하는 함수로, 각 인수에 대해 선형인 것을 텐서라고 정의해.

⚪ 메이: 참고로 제목의 "다중선형사상"을 분해하면 "다중(인수가 여러 개)＋선형(각 인수에 대해 선형)＋사상"이라는 거지. "사상"은 "함수"와 같은 뜻이야?

🟡 리나: 맞아. "사상"은 "입력을 받아 출력을 반환하는 대응 관계"——"함수"와 같은 뜻이야. 이름이 길지만, 내용은 지금 설명한 그대로야.

🔵 카이: 좀 정리시켜 주세요. "\(N\)개의 벡터를 넣으면 실수가 1개 나오는 장치로, 게다가 각 입력에 대해 선형"——이것이 텐서의 정의라는 건가요? 그런데 아까 B.7에서 "텐서곱 공간의 원소"로서 텐서를 정의했잖아요. 정의가 2개인 건가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 지금의 정의는 B.7과는 다른 각도에서 텐서를 파악한 것——겉보기는 다르지만, 실은 같은 대상을 기술하고 있어. 그것을 B.11절에서 정식으로 보일게. 지금은 "텐서에는 2개의 얼굴이 있다"고 생각해 둬. 그리고 이 텐서의 "형"을 \((0, N)\)이라고 쓰는데——

🔵 카이: \((0, N)\)의 \(0\)과 \(N\)은 뭘 나타내는 건가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. B.8절에서 도입한 \((r, s)\) 표기법을 떠올려——\(r\)이 위 첨자(반변)의 개수, \(s\)가 아래 첨자(공변)의 개수였지. B.7에서 정의한 \(T^r(V)\)는 위 첨자가 \(r\)개이고 아래 첨자가 0개였으니까 \((r, 0)\)형이야. 지금의 "벡터를 먹고 실수를 반환하는 함수"는 아래 첨자를 가지니까 \((0, N)\)형이 돼. 왜 "벡터를 먹는 함수"가 아래 첨자인지는 바로 뒤에서 설명할게. 예를 들어 1-형식은 슬롯 1개니까 \((0, 1)\)형, 내적처럼 슬롯이 2개인 함수는 \((0, 2)\)형——슬롯의 수가 \(s\)에 대응해.

⚪ 메이: 그렇구나, \(s\)가 슬롯의 수를 나타내는 거네.

🟡 리나: 참고로, 교과서에 따라서는 \(\binom{0}{N}\)과 같은 표기법을 사용하는 것도 있지만, 이항계수와 헷갈리니까 이 책에서는 \((r, s)\)를 사용해.

🔵 카이: 어라, 아까까지 위 첨자의 "반변 텐서"를 다루고 있었는데, 이번에는 아래 첨자 이야기인가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 먼저 전체 그림을 표로 정리하고 나서, "왜 아래 첨자인지"를 설명할게.

형 위 첨자의 수 아래 첨자의 수 예
\((1, 0)\) 1 0 벡터 \(A^i\)
\((2, 0)\) 2 0 B.7의 \(S^{ij}\)
\((0, 1)\) 0 1 1-형식 \(f_i\)(본편 제 4 장에서 도입)
\((0, 2)\) 0 2 계량 텐서 \(g_{ij}\)(본편 제 6 장에서 정식 도입 완료. 여기서는 다중선형사상의 관점에서 재파악한다. 지금은 "벡터 2개를 받아 내적을 반환하는 계수" 정도의 이해로 OK)

🔵 카이: 계량 텐서 \(g_{ij}\)는 본편에서 배웠지만, 여기서는 "\((0,2)\)형 텐서의 예"로 나온 거죠? 다중선형사상 관점에서 보면 어떻게 되는지 궁금해요.

🟡 리나: 좋은 질문이야. 계량 텐서의 정식 정의는 본편(제 6 장과 제 7 장)에서 이미 했지. 여기서는 "계량 텐서가 \((0,2)\)형 텐서의 대표적 예이다"라는 것을, 다중선형사상의 관점에서 재파악하는 것이 목적이야. B.6절에서 다뤘던 \(g_{\alpha\beta}\)(내적을 계산하기 위한 계수)를, 바로 뒤의 논의에서 "벡터 2개를 받아 내적을 반환하는 쌍선형 함수"로 다시 볼 거야. 한편, 지금의 \((0, N)\)형 텐서는 "아래 첨자 \(N\)개를 가진 텐서"——벡터를 먹고 실수를 반환하는 함수로 정의돼. 이 아래 첨자를 가진 텐서를 공변 텐서라고 불러.

🔵 카이: "공변"이라는 이름은 어디서 온 건가요?

🟡 리나: 좌표 변환했을 때 성분이 기저 벡터와 같은 방향으로 변환되기 때문에 "공변"이야. "반변"이 역방향이었던 것과 대가 되는 거야. 자세한 건 본편 제 4 장에서 다루지만, 지금은 "아래 첨자를 가진 양＝공변"으로 기억해 두면 돼.

⚪ 메이: 그런데 왜 "벡터를 먹는 함수"가 아래 첨자를 가지는 거야?

🟡 리나: 직관적으로는 이렇게 생각해. B.6에서 배운 축약 기법에서는 위 첨자와 아래 첨자가 쌍이 되어 합을 취하는 거였지. 벡터의 성분은 위 첨자 \(A^i\)이니까, 그것과 조합하여 축약하려면 함수의 성분은 아래 첨자여야 해. 본편 제 4 장에서 1-형식 \(f_i\)의 성분이 아래 첨자였던 것을 떠올려——그것은 "벡터 \(A^i\)를 먹고 \(f_i A^i\)라는 스칼라를 반환한다"기 위해 아래 첨자였어. 2계 텐서라면 \(f_{ij} A^i B^j\)처럼, 위와 아래가 쌍을 이루어야 비로소 합을 취할 수 있어. 그래서 "벡터를 먹는 함수"는 자연스럽게 아래 첨자를 가지게 되는 거야.

🔵 카이: 그렇구나, 축약의 규칙에서 필연적으로 결정되는 거군요. 위 첨자 성분을 가진 벡터를 "먹으려면" 상대가 아래 첨자여야 쌍을 만들 수 있다——퍼즐 조각 같네요.

🟡 리나: 맞아, 좋은 비유야. 위 첨자와 아래 첨자는 다른 종류의 텐서이지만, 텐서곱의 계산 법칙이나 성분 표시의 사고방식은 공통이야. 본편에서는 위 첨자·아래 첨자가 혼재하는 일반 \((r, s)\)형 텐서도 다루지만, 여기서는 먼저 공변 텐서의 예로 "다중선형사상"의 사고방식을 익혀 보자.

🔵 카이: "각 인수에 대해 선형"이라는 게 뭐죠?

🟡 리나: 예를 들어 2개의 인수를 가진 함수 \(f(\vec{A}, \vec{B})\)로 생각해 보자. "제1 인수에 대해 선형"이란, \(\vec{B}\)를 고정한 채 제1 인수만 움직이면, 보통의 선형 함수처럼 행동한다는 거야. 식으로 쓰면:

제1 인수에 대해 (\(\vec{B}\)를 고정): $\(f(\alpha \vec{A} + \beta \vec{C},\; \vec{B}) = \alpha\,f(\vec{A}, \vec{B}) + \beta\,f(\vec{C}, \vec{B})\)$

마찬가지로, \(\vec{A}\)를 고정하고 제2 인수만 움직여도 선형:

제2 인수에 대해 (\(\vec{A}\)를 고정): $\(f(\vec{A},\; \alpha \vec{B} + \beta \vec{C}) = \alpha\,f(\vec{A}, \vec{B}) + \beta\,f(\vec{A}, \vec{C})\)$

구체적인 예로 확인해 보자. 내적 \(f(\vec{A}, \vec{B}) = \vec{A} \cdot \vec{B}\)에서, \(\vec{A} = (1, 0)\), \(\vec{B} = (1, 1)\), \(\vec{C} = (0, 1)\)로 하자. \(\alpha = 2, \beta = 3\)으로 제2 인수의 선형성을 확인하면, 좌변은 \(f(\vec{A},\; 2\vec{B} + 3\vec{C}) = (1, 0) \cdot (2, 5) = 2\). 우변은 \(2\,f(\vec{A}, \vec{B}) + 3\,f(\vec{A}, \vec{C}) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2\). 확실히 일치하네.

이처럼, 한쪽 인수를 고정했을 때 다른 쪽에 대해 선형인 함수를 쌍선형(bilinear)이라고 불러. 일반적으로 \(N\)개 모두에 대해 선형인 것을 다중선형(multilinear)이라고 불러.

🔵 카이: 어라, 내적 \(\vec{A} \cdot \vec{B}\)는 "벡터를 2개 받아서 실수를 반환하는 함수"잖아요. 그러면 지금의 정의에 해당하는 거 아닌가……내적도 텐서의 일종이 되는 건가요?

🟡 리나: 좋은 발견이야. 실제로 확인해 보자. 고등학교에서 배운 내적의 성질을 떠올려——\((\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot \vec{C} + \vec{B} \cdot \vec{C}\)이나 \((k\vec{A}) \cdot \vec{B} = k(\vec{A} \cdot \vec{B})\)가 성립하잖아. 이것은 바로 "제1 인수에 대해 선형"이라는 것이야. 제2 인수에 대해서도 마찬가지이니까, 내적은 쌍선형——즉 \((0, 2)\)형 텐서의 조건을 만족하고 있어.

🔵 카이: 오, 고등학교에서 배운 내적의 성질이 그대로 "쌍선형"의 조건을 만족하는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 다음으로 성분으로 쓰면 어떻게 되는지 봐 보자. B.6의 더미 첨자 주의에서 "내적을 계산하기 위한 계수 \(g_{\alpha\beta}\)"를 다뤘지. 그것과 같은 것이야. B.6에서는 4차원 시공간을 의식해서 그리스 문자 \(\alpha, \beta\)를 썼지만, 지금은 일반 \(n\)차원 공간 이야기니까 라틴 문자 \(i, j\)로 써서 \(g_{ij}\)로 하자. 기호가 바뀌었을 뿐 내용은 같아——첨자의 문자는 "몇 차원 이야기를 하고 있는가"를 나타내는 표시에 불과해.

⚪ 메이: 그리스 문자는 시공간 4차원, 라틴 문자는 일반 \(n\)차원——본편과 같은 사용 구분이네.

🟡 리나: 맞아. 왜 내적이 \(g_{ij} A^i B^j\)로 쓸 수 있는지——간단한 예로 확인해 봐. 보통 2차원 유클리드 공간의 내적은 \(\vec{A} \cdot \vec{B} = A^1 B^1 + A^2 B^2\)이잖아. 이것을 \(g_{ij} A^i B^j\) 형태에 대입하면, \(g_{11} = 1, g_{22} = 1, g_{12} = g_{21} = 0\)으로 하면 \(g_{ij} A^i B^j = 1 \cdot A^1 B^1 + 0 \cdot A^1 B^2 + 0 \cdot A^2 B^1 + 1 \cdot A^2 B^2 = A^1 B^1 + A^2 B^2\)가 되어 일치해.

🔵 카이: 그렇구나. 그런데 유클리드 공간이면 \(g_{ij}\)는 단위행렬이고, 굳이 \(g_{ij}\)를 꺼내지 않아도 \(A^1 B^1 + A^2 B^2\)로 되잖아요. 왜 굳이 \(g_{ij}\)를 쓰나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 유클리드 공간만 생각한다면 확실히 불필요해. 하지만 본편에서 배웠듯이, Minkowski 시공간에서는 \(g_{00} = -1\)로 시간 성분에 마이너스가 붙고, 휘어진 시공간에서는 \(g_{ij}\)가 장소마다 달라져. 즉 "내적의 규칙이 공간에 따라 다르다"는 상황을 통일적으로 다루기 위해 \(g_{ij}\)가 필요해. 지금은 "유클리드 공간에서는 단위행렬이 되는 특수한 경우"로 이해해 둬.

⚪ 메이: 즉 \(g_{ij}\)는 "내적의 계산 규칙을 성분별로 지정하는 계수"라는 거네. 유클리드 공간이면 단위행렬의 성분과 같지만, 일반 공간에서는 그렇지 않을 수 있어.

🟡 리나: 맞아. 일반 공간에서는 \(g_{ij}\)가 단위행렬이라고 할 수 없지만, 구조는 같아. 자, 아까 "내적은 \((0,2)\)형 텐서의 조건을 만족한다"고 했지. 그것을 성분 표시 \(g_{ij} A^i B^j\) 형태로 실제로 확인해 보자——즉, 이 식이 정말로 각 인수에 대해 선형으로 되어 있는지를 보는 거야. \(\vec{A}\)를 고정하고, 제2 인수를 \(\alpha \vec{B} + \beta \vec{C}\)로 바꿨을 때 무슨 일이 일어나는지. 보이고 싶은 것은 \(g_{ij} A^i (\alpha B^j + \beta C^j) = \alpha\,g_{ij} A^i B^j + \beta\,g_{ij} A^i C^j\)가 성립한다는 것——즉 보통의 분배법칙이 사용될 수 있다는 거야.

🔵 카이: 분배법칙이 사용되는 건 당연한 거 아닌가요? 보통으로 전개하면 되는 것 아닌가……

🟡 리나: 좋은 질문이야. 포인트는, \(g_{ij} A^i\) 부분이 \(\vec{B}\)나 \(\vec{C}\)에 의존하지 않는 "그냥 수치"라는 거야. \(n = 2\)로 구체적으로 확인해 보자——\(j\)를 고정하고 \(g_{ij} A^i\)를 계산하면, \(j = 1\)일 때 \(g_{i1} A^i = g_{11} A^1 + g_{21} A^2\), \(j = 2\)일 때 \(g_{i2} A^i = g_{12} A^1 + g_{22} A^2\)——이것들은 \(\vec{A}\)의 성분과 \(g_{ij}\)만으로 결정되는 수치로, \(\vec{B}\)나 \(\vec{C}\)의 선택에는 전혀 의존하지 않지. 예를 들어 유클리드 공간에서 \(\vec{A} = (3, 5)\)이면, \(g_{i1} A^i = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 3\), \(g_{i2} A^i = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 5\)라는 구체적인 수치가 \(\vec{B}\)나 \(\vec{C}\)를 정하기 전에 확정돼.

🔵 카이: "\(j\)를 고정하고"라는 건 어떤 의미인가요? \(j\)는 합을 취하지 않나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. \(g_{ij} A^i\)라는 식에서, \(i\)는 위(\(A^i\))와 아래(\(g_{ij}\)의 제1 첨자)에 쌍으로 나타나니까 더미 첨자——\(i\)에 대해 합을 취해. 하지만 \(j\)는 \(g_{ij}\) 안에 1번만 나타나지. 이렇게 "쌍을 이루지 않고 남아 있는 첨자"를 자유 첨자(free index)라고 불러——본편 제 2 장에서 나온 용어야. 자유 첨자는 합을 취하지 않고 "\(j = 1\)일 때" "\(j = 2\)일 때"로 경우를 나누어 생각해. 즉 \(g_{ij} A^i\)는 \(j\)의 값에 따라 하나의 수치를 반환해——\(j = 1\)이면 3, \(j = 2\)이면 5라는 식이야.

⚪ 메이: 그렇구나, \(g_{ij} A^i\)는 \(j\)를 정할 때마다 하나의 수치가 되는 거네. \(\vec{B}\)나 \(\vec{C}\)와는 무관하게 확정되어 있어.

🟡 리나: 맞아. 그래서 \(g_{ij} A^i (\alpha B^j + \beta C^j)\)라는 식을 생각할 때, \(j\)를 하나씩 고정하고——즉 "\(j = 1\)일 때" "\(j = 2\)일 때"로 순서대로 보는 거야. \(j\)를 고정할 때마다 \(g_{ij} A^i\)는 정해진 수치로 행동하니까, 보통의 분배법칙으로 전개할 수 있어. \(n = 2\)로 구체적으로 쓸게. \(j = 1\)의 항은 \(g_{i1} A^i \cdot (\alpha B^1 + \beta C^1) = \alpha\,g_{i1} A^i B^1 + \beta\,g_{i1} A^i C^1\), \(j = 2\)의 항도 마찬가지로 \(\alpha\,g_{i2} A^i B^2 + \beta\,g_{i2} A^i C^2\).

🔵 카이: 여기까지는 \(j\)를 고정해서 경우를 나누고 있었죠. 마지막에 \(j\)에 대해서도 합을 취하나요?

🟡 리나: 맞아. \(j = 1\)과 \(j = 2\)의 결과를 전부 더하면, \(\alpha\,g_{ij} A^i B^j + \beta\,g_{ij} A^i C^j\)가 돼. 이 마지막 식에서는 \(j\)도 \(B^j\)의 위와 \(g_{ij}\)의 아래에 쌍으로 나타나니까 더미 첨자로서 합을 취하고 있어.

⚪ 메이: 즉 최종적으로 \(g(\vec{A},\; \alpha\vec{B} + \beta\vec{C}) = \alpha\,g(\vec{A}, \vec{B}) + \beta\,g(\vec{A}, \vec{C})\)가 성립해——확실히 제2 인수에 대해 선형이네.

🟡 리나: 맞아. 그래서 내적 \(g(\vec{A}, \vec{B}) = g_{ij} A^i B^j\)는 확실히 쌍선형이고, \((0, 2)\)형 텐서의 대표적 예야. 이것이 본편에서 등장하는 계량 텐서야.

⚪ 메이: 그렇구나, 내적이라는 익숙한 연산이 텐서의 정의에 딱 들어맞는 거네.

🔵 카이: 좀 확인시켜 주세요. \(g_{ij} A^i B^j\) 식에서, \(i\)는 \(g_{ij}\)의 아래와 \(A^i\)의 위에 있으니까 쌍을 이루어 합을 취하고, \(j\)도 \(g_{ij}\)의 아래와 \(B^j\)의 위에서 쌍을 이루어 합을 취한다……그래서 전부 \(n^2\)개 항의 합이 되는 거죠?

🟡 리나: 맞아. \(n = 2\)면 \(g_{11}A^1 B^1 + g_{12}A^1 B^2 + g_{21}A^2 B^1 + g_{22}A^2 B^2\)의 4항이야. 여기서 중요한 포인트를 강조해 둘게. 지금의 논의에서 "내적은 쌍선형이니까 \((0,2)\)형 텐서다"라고 판정하는 데, 성분 \(g_{ij}\)의 구체적인 값은 사용하지 않았지. 텐서의 정의 자체는 성분에 의존하지 않아——"특정 종류의 함수이다"라는 성질만으로 결정돼. 성분은 좌표계를 선택해야 비로소 나타나. 그러면, 성분은 어떻게 구하는가? 그것이 다음 B.10절의 주제야.

🔵 카이: ……그러면 텐서 자체는 좌표에 의존하지 않는 기하학적 존재이고, 성분은 좌표계를 선택해야 비로소 결정되는 수치라는 건가요? 벡터 때와 같은 구조네요. 그런데 벡터라면 "화살표"라는 직관적인 이미지가 있었는데, 2계 이상의 텐서는 기하학적으로 어떤 "형태"를 하고 있나요?

🟡 리나: 좋은 질문이지만, 2계 이상의 텐서를 하나의 그림으로 나타내기는 어려워. 그래서 "다중선형사상"이라는 추상적 정의가 위력을 발휘하는 거야——형태가 아니라 행동(무엇을 넣으면 무엇이 나오는가)으로 텐서를 특징짓는 거야. 그리고 이 사고방식이, 일반상대성이론에서 "물리 법칙은 좌표계에 의존하지 않는다"라는 일반 공변성 원리를 자연스럽게 실현하는 열쇠가 돼.

✅ 이해도 체크: 텐서를 "다중선형사상"으로 정의할 때, \((0, 2)\)형 텐서란 어떤 함수일까요? 또한, 이 정의의 장점은 무엇일까요?

답

\((0, 2)\)형 텐서란, 벡터를 2개 인수로 취하고 실수를 반환하는 함수로, 각 인수에 대해 선형(쌍선형)인 것이다. 이 정의의 장점은, 성분이나 좌표계가 전혀 등장하지 않기 때문에, 텐서를 좌표에 의존하지 않는 기하학적 대상으로 파악할 수 있다는 점이다.

B.10 텐서의 성분을 "다중선형사상"으로부터 구하기

🟡 리나: 다중선형사상으로서의 텐서의 성분은, 기저 벡터를 대입하여 얻어지는 실수로 정의돼.

\((0, 2)\)형 텐서 \(f\)의 성분은

\[f_{ij} := f(e_i, e_j) \tag{B.6}\]

⚪ 메이: 아까 나온 내적의 \(g\)라면, 이 정의는 어떻게 돼?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 본편에서 배운 구체적인 예로 확인해 보자. 제 4 장에서 배운 Minkowski 계량이 바로 이 예가 돼. 여기서부터는 4차원 시공간 이야기니까, 첨자를 그리스 문자 \(\alpha, \beta\) (\(= 0, 1, 2, 3\))로 바꿀게——본편과 같은 표기법이야. 평탄한 시공간에서는 계량 텐서의 성분 \(g_{\alpha\beta}\)가 상수가 되고, 그것을 특별히 \(\eta_{\alpha\beta}\)라고 써. 4차원 시공간의 기저 \(e_0, e_1, e_2, e_3\)을 대입하면

\[g(e_\alpha, e_\beta) = g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta}\]

가 돼. 여기서 \(g(e_\alpha, e_\beta)\)는 "기저 벡터 \(e_\alpha\)와 \(e_\beta\)의 내적"을 계량 텐서 \(g\)로 계산한 것——즉 계량 텐서야말로 내적을 정의하는 도구야. 부호 규약 \((-,+,+,+)\) 하에서

\[(\eta_{\alpha\beta}) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

이것이 바로 "계량 텐서의 성분"이야. 성분만 알면, 임의의 벡터에 대한 값을 계산할 수 있어.

🟡 리나: \(\vec{A} = A^\alpha e_\alpha\), \(\vec{B} = B^\beta e_\beta\)를 대입해 보자. 여기서 \(\vec{A}\)와 \(\vec{B}\)의 전개에 서로 다른 더미 첨자 \(\alpha, \beta\)를 사용하고 있다는 점에 주의해——B.6절에서 배운 "서로 다른 합에는 서로 다른 더미 첨자를 사용한다" 규칙의 실천이야.

먼저 제1 인수의 선형성을 사용해. \(\vec{A} = A^0 e_0 + A^1 e_1 + A^2 e_2 + A^3 e_3 = A^\alpha e_\alpha\)이니까, 먼저 덧셈을 나누면

\[g(A^\alpha e_\alpha,\; \vec{B}) = g(A^0 e_0,\; \vec{B}) + g(A^1 e_1,\; \vec{B}) + \cdots\]

다음으로 각 항에서 스칼라를 밖으로 빼면

\[= A^0\,g(e_0,\; \vec{B}) + A^1\,g(e_1,\; \vec{B}) + \cdots = A^\alpha\,g(e_\alpha,\; \vec{B})\]

🔵 카이: 덧셈을 나누고 나서 스칼라를 밖으로 빼고——선형성의 규칙을 2단계로 사용하고 있군요.

다음으로 제2 인수의 선형성을 같은 요령으로 사용하면

\[A^\alpha\,g(e_\alpha,\; B^\beta e_\beta) = A^\alpha B^\beta\,g(e_\alpha, e_\beta)\]

⚪ 메이: 같은 조작을 제2 인수에도 적용했을 뿐이네. 깔끔하게 스칼라가 전부 밖으로 나왔어.

정리하면

\[g(\vec{A}, \vec{B}) = A^\alpha B^\beta\,g(e_\alpha, e_\beta) = A^\alpha B^\beta\,\eta_{\alpha\beta} \tag{B.7}\]

이처럼, 다중선형성을 사용하면 스칼라 계수를 하나씩 함수 밖으로 뺄 수 있어.

🔵 카이: 시공간 첨자는 \(0, 1, 2, 3\)이니까, 전개하면 \(-A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\)이 되네요. 제 5 장에서 봤던 내적 그 자체군요.

✅ 이해도 체크: 다중선형사상으로서의 텐서 \(f\)의 성분 \(f_{ij}\)는 어떻게 구할 수 있을까요?

답

기저 벡터를 인수에 대입하여 얻어지는 실수로 정의된다. 즉 \(f_{ij} := f(e_i, e_j)\)이다. 성분을 알면, 임의의 벡터에 대한 값은 다중선형성을 사용하여 \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\)로 계산할 수 있다.

📝 연습문제:

B.11 두 접근법의 연결

🟡 리나: 여기까지 텐서를 2가지 방법으로 도입했어. 표 B.1「텐서 도입의 2가지 접근법 비교」에 정리해 둘게. 이 절에서는, 이 2가지가 실은 같은 것임을 보일 거야.

🔵 카이: 같은 거라는 건 직감적으로는 알겠는데, 구체적으로 어떻게 확인하나요? 텐서곱 공간의 원소 \(f_{ij}\,e_i \otimes e_j\)에 벡터를 "대입하는" 게 가능한가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 거기가 문제야. \(e_i \otimes e_j\)는 벡터끼리의 곱이니까, 벡터를 "먹는" 구조를 가지고 있지 않아. B.9에서 배웠듯이, 벡터를 입력으로 받아 실수를 반환할 수 있는 건 1-형식이었지. 그래서 기저 벡터 \(e_i\)에 대응하는 "파트너" 1-형식을 준비하고, 텐서곱 공간의 기저를 1-형식의 텐서곱 \(\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)로 바꾸면, 자연스럽게 벡터를 먹을 수 있게 돼. 이 "파트너"가 쌍대 기저(dual basis)야.

🔵 카이: "쌍대"가 뭔가요? "파트너"라는 건 알겠는데, 왜 "쌍대"라는 이름이지?

🟡 리나: "쌍대"는 "쌍을 이루고 있다"는 뜻이야. 벡터와 1-형식은 서로 "먹는다·먹힌다"의 관계에 있잖아——벡터는 1-형식에게 먹혀서 스칼라를 반환하고, 반대로 1-형식은 벡터에게 먹혀서 스칼라를 반환해. 이 대등한 쌍의 관계를 "쌍대"라고 부르는 거야. 그래서 "쌍대 기저"는 "원래 기저와 쌍을 이루는 1-형식의 기저"라는 뜻이야.

표 B.1: 텐서 도입의 2가지 접근법 비교

접근법 핵심 장점
텐서곱 공간 기저 \(e_i \otimes e_j\)를 나열하여 공간을 구성 계산 절차가 명쾌
다중선형사상 벡터를 인수로 취해 실수를 반환하는 함수 좌표에 의존하지 않는 정의

⚪ 메이: 2가지 접근법은 같은 대상을 다른 각도에서 보고 있는 것 같은데……실제로 같은 것이야?

🟡 리나: 좋은 직감이야. 실제로, 수학적으로 같은 것이라고 보일 수 있어. 왜 그것을 확인할 필요가 있냐면——만약 2가지 접근법이 정말로 같다면, "성분을 나열해서 계산하는 방법"과 "함수로서 대입하는 방법" 중 어느 쪽을 사용해도 반드시 같은 답이 나온다는 것이 보장되니까. 상황에 따라 편리한 쪽을 선택할 수 있게 돼. 목표를 먼저 말할게——"텐서곱 공간의 원소에 벡터를 대입하면, 다중선형사상으로 계산한 값 \(f_{ij} A^i B^j\)와 같은 결과가 나온다"는 것을 보이고 싶어. 그를 위해, 아까 카이의 질문에 답하면서 도입한 쌍대 기저 \(\epsilon^i\)를 사용해. 공변 텐서의 기저를 \(\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)로 바꾸면 벡터를 자연스럽게 "먹을" 수 있게 되는 거였지.

🔵 카이: 잠깐만요. "기저를 1-형식으로 다시 만든다"는 건, 지금까지 \(e_i \otimes e_j\)로 만들었던 공간을 버린다는 건가요? 아니면 새로운 공간을 새로 만드는 건가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 버리는 게 아니야. 반변 텐서 공간 \(T^2(V)\)는 \(e_i \otimes e_j\)를 기저로 하는 공간으로 그대로 남아. 지금 하고 싶은 건, 공변 텐서——즉 "벡터를 먹는 함수"의 공간을 텐서곱의 언어로 다시 쓰는 거야. 그를 위해 1-형식의 기저 \(\epsilon^i\)를 사용해서 \(\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)라는 기저를 만드는 거야. 1-형식 복습——"벡터를 1개 받아 실수를 1개 반환하는 선형 함수"(본편 제 4 장에서 자세히 배웠지).

🔵 카이: 음……그런데 왜 공변 쪽은 1-형식으로 만드는 건가요? 벡터의 기저 \(e_i\)로는 안 되나요?

🟡 리나: 공변 텐서는 "벡터를 먹는 함수"였잖아. 그러니까 기저 자체가 벡터를 먹을 수 있어야 해. \(e_1\)은 그냥 화살표니까 \(\vec{A}\)를 받아 수를 반환하는 구조를 가지고 있지 않아. 하지만 1-형식이면 수를 반환할 수 있어——그래서 1-형식으로 기저를 만드는 거야. 구체적으로, \(V\)의 기저 \(e_1, \ldots, e_n\)에 대해, 1-형식의 조 \(\epsilon^1, \ldots, \epsilon^n\)을 정의해. 기호에 그리스 문자 \(\epsilon\)(엡실론)을 사용하는 건, \(e^i\)라고 쓰면 지수함수 \(e^x\)와 헷갈리니까야. 교과서에 따라서는 \(\theta^i\)로 쓰기도 해. 첨자의 위치에 주목해——\(\epsilon^i\)는 위 첨자야. 벡터의 기저 \(e_i\)가 아래 첨자였던 것과 반대지. B.6에서 봤듯이, 벡터는 "성분이 위 첨자 \(A^i\), 기저가 아래 첨자 \(e_i\)"였어. 1-형식은 그 반대로, "성분이 아래 첨자 \(f_i\), 기저가 위 첨자 \(\epsilon^i\)"가 돼. 성분과 기저에서 첨자의 상하가 항상 반전된다——이것이 축약 기법과 정합하기 위한 규칙이야.

⚪ 메이: 그렇구나, 벡터에서도 1-형식에서도 "성분과 기저의 첨자는 항상 반대"라는 통일적인 규칙이 되어 있네.

🔵 카이: 그러면 \(\epsilon^i\)는 구체적으로 어떤 1-형식인가요? 무엇을 넣으면 무엇이 반환되는 거지?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 아까 "텐서곱 공간의 원소에 벡터를 대입하고 싶다"고 했지. 그러려면 벡터의 각 성분을 하나씩 꺼낼 수 있는 도구가 필요해. \(\epsilon^i\)에는 "\(i\)번째 성분만 꺼내는 장치"의 역할을 하게 하고 싶어. 구체적으로 이미지해 봐——\(\vec{A} = 3e_1 + 5e_2\)라는 벡터가 있을 때, "제1 성분의 3만 꺼내는 장치"와 "제2 성분의 5만 꺼내는 장치"가 있으면 좋겠지. \(\epsilon^1\)이 전자, \(\epsilon^2\)가 후자의 역할을 해. "제1 성분을 꺼낸다"는 건, \(e_1\)을 넣으면 1이 반환되고, \(e_2\)를 넣으면 0이 반환된다는 것——그러면 \(\epsilon^1(3e_1 + 5e_2) = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 3\)으로 제1 성분만 남아. 일반적으로, 각 기저에 대해 "자기 번호일 때만 1, 나머지는 0"을 반환하도록 하고 싶어. 그것을 수식으로 쓰면

\[\epsilon^i(e_j) = \delta^i{}_j\]

가 돼.

🔵 카이: \(\delta^i{}_j\)는……아, Kronecker 델타죠. 제 6 장에서 나왔어요. \(i = j\)이면 1, \(i \neq j\)이면 0을 반환하는 거.

🟡 리나: 맞아, 잘 기억하고 있네. 여기서는 첨자를 상하로 나누어 \(\delta^i{}_j\)로 쓰고 있지만, 수치로서는 같아.

🔵 카이: 수치가 같다면, 왜 굳이 상하로 나누나요? \(\delta_{ij}\)로는 안 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 이유는 축약 기법과의 정합성이야. 좌변을 봐——\(\epsilon^i(e_j)\)에서 \(\epsilon^i\)는 위 첨자, \(e_j\)는 아래 첨자를 가지고 있지. 우변도 같은 첨자 배치로 해 두면, 나중에 축약할 때 "위와 아래의 쌍으로 합을 취한다" 규칙을 그대로 사용할 수 있어. 수치로서는 \(\delta^i{}_j\)도 \(\delta_{ij}\)도 \(\delta^{ij}\)도 같아(\(i = j\)이면 1, 아니면 0)니까, 지금 단계에서는 "표기법의 약속"이라고 생각해 두면 돼.

⚪ 메이: 요컨대 단위행렬의 \((i, j)\) 성분과 같은 값이지만, 첨자 위치를 맞춰 두면 나중 계산에서 혼란하지 않는다는 거네.

🟡 리나: 맞아. 즉, 각 \(\epsilon^i\)는 "\(i\)번째 기저 성분만 꺼내는" 1-형식이야. 참고로 교과서에 따라서는 쌍대 기저를 \(e^i\)로 쓰기도 하지만, 지수함수 \(e^x\)와 헷갈리니까 이 책에서는 \(\epsilon^i\)를 사용하고 있어.

🔵 카이: 1-형식은 벡터를 먹고 실수를 반환하는 함수였죠. \(\epsilon^i\)는 "\(e_i\)를 넣으면 1, 다른 기저를 넣으면 0을 반환하는" 건가요?

🟡 리나: 바로 그래. 구체적인 예로 확인해 보자. \(\vec{A} = 3e_1 + 5e_2\)에 \(\epsilon^1\)을 작용시키면, \(\epsilon^1(\vec{A}) = \epsilon^1(3e_1 + 5e_2) = 3\,\epsilon^1(e_1) + 5\,\epsilon^1(e_2) = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 3\). 즉 제1 성분만 꺼내 줘.

⚪ 메이: 그렇구나, \(\epsilon^i\)는 "\(i\)번째 성분을 읽어내는 장치" 같은 거네.

🟡 리나: 맞아. 그리고 이 쌍대 기저의 텐서곱 \(\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)를 기저로 하는 공간을 만들면, 그 원소 \(f = f_{ij}\,\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)에 대해 벡터 \(\vec{A}, \vec{B}\)를 "대입하는" 조작을 정의할 수 있어.

🔵 카이: 텐서곱 공간의 원소에 벡터를 "대입하는" 건, 구체적으로 어떻게 하나요?

🟡 리나: 정의의 규칙은 자연스러운 거야. \((\epsilon^i \otimes \epsilon^j)(\vec{A}, \vec{B}) := \epsilon^i(\vec{A})\,\epsilon^j(\vec{B})\)——즉, 텐서곱의 왼쪽이 제1 인수를, 오른쪽이 제2 인수를 담당해.

🔵 카이: 왼쪽 \(\epsilon^i\)가 \(\vec{A}\)를 먹고, 오른쪽 \(\epsilon^j\)가 \(\vec{B}\)를 먹는다……슬롯이 2개인 기계의 각 슬롯에 1개씩 넣는 이미지군요.

🟡 리나: 바로 그래. 아까의 구체적인 예를 일반화하면, \(\epsilon^i\)는 1-형식이니까 선형 함수야. 선형 함수의 규칙을 떠올려——\(\epsilon^i(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha\,\epsilon^i(\vec{u}) + \beta\,\epsilon^i(\vec{v})\)가 성립해. \(\vec{A} = A^k e_k\) (\(k\)에 대해 합을 취하는 축약 기법이야)를 대입해 보자. 여기서 더미 첨자를 \(i\)가 아니라 \(k\)로 한 건, \(\epsilon^i\)의 위 첨자 \(i\)가 이미 사용되고 있으니까——B.6절에서 배운 "서로 다른 합에는 서로 다른 더미 첨자를 사용한다" 규칙의 실천이야. 전개하면 \(\vec{A} = A^1 e_1 + A^2 e_2 + \cdots + A^n e_n\)이니까, 선형성을 반복 사용하여 각 항으로 나눌 수 있어: \(\epsilon^i(\vec{A}) = \epsilon^i(A^1 e_1 + A^2 e_2 + \cdots) = A^1\,\epsilon^i(e_1) + A^2\,\epsilon^i(e_2) + \cdots = A^k\,\epsilon^i(e_k)\). 여기서 스칼라 \(A^k\)를 함수 밖으로 뺄 수 있는 건, 선형성의 규칙 그 자체야. 그리고 \(\epsilon^i(e_k) = \delta^i{}_k\)이니까, \(A^k\,\delta^i{}_k\)가 돼.

🔵 카이: 아, 아까의 Kronecker 델타 이야기네요. \(k\)에 대해 합을 취하면 \(k = i\)인 항만 살아남아서……

🟡 리나: 맞아. 마지막 단계를 보충해 둘게. \(\delta^i{}_k\)는 \(i = k\)일 때만 1이고 나머지는 0이니까, \(k\)에 대해 합을 취하면 \(k = i\)인 항만 살아남아. 즉 \(A^k\,\delta^i{}_k = A^1 \cdot 0 + \cdots + A^i \cdot 1 + \cdots + A^n \cdot 0 = A^i\)야. 이것이 Kronecker 델타의 "첨자를 치환하는" 기능이야.

🔵 카이: 좀 확인시켜 주세요. \(A^k \delta^i{}_k\)에서 \(k\)에 대해 합을 취할 때, \(i\)는 고정되어 있죠? 예를 들어 \(i = 2\)이면 \(A^1 \cdot \delta^2{}_1 + A^2 \cdot \delta^2{}_2 + \cdots = 0 + A^2 + 0 + \cdots = A^2\)인 건가요?

🟡 리나: 맞아. \(i\)는 자유 첨자니까 고정되어 있고, \(k\)만 더미 첨자로서 달려. \(i = 2\)이면 \(k = 2\)인 항만 살아남아서 \(A^2\)가 나와. 일반 \(i\)에서도 같은 구조로 \(A^i\)가 나와.

⚪ 메이: 즉 \(\epsilon^i(\vec{A}) = A^i\)라는 거네. \(\epsilon^i\)는 벡터의 \(i\)번째 성분을 그대로 반환해 줘.

🟡 리나: 맞아. 마찬가지로 \(\epsilon^j(\vec{B}) = B^j\)이니까, 전체를 정리하면

\[f(\vec{A}, \vec{B}) = f_{ij}\,\epsilon^i(\vec{A})\,\epsilon^j(\vec{B}) = f_{ij}\,A^i B^j\]

즉 "벡터를 2개 넣으면 실수가 나오는 함수"로서 행동할 수 있어. 반대로, 다중선형사상에 기저를 대입하면 성분이 얻어져. 수학적으로, 이 2개의 공간은 동형(isomorphic)이야.

🔵 카이: "동형"이란……같은 형태를 하고 있다는 건가요?

🟡 리나: 대략적으로 말하면 그래. 좀 더 정확히 말하면, "겉모습은 다르지만, 덧셈이나 스칼라배의 규칙이 완전히 같은 구조를 가지고 있다"는 거야. 친숙한 예로 말하면, 2차원 평면 위의 점을 "좌표 \((x, y)\)"로 나타내느냐 "화살표(벡터)"로 나타내느냐——겉모습은 다르지만, 덧셈이나 스칼라배의 규칙이 같으니까 어느 쪽으로 계산해도 같은 답이 나오잖아. 텐서의 경우도 마찬가지로, 성분 \(f_{ij}\)가 같으면 텐서곱 공간 접근법으로 계산해도 다중선형사상 접근법으로 계산해도 반드시 같은 수치가 나와.

🔵 카이: 아, 좌표와 벡터의 관계 같은 거구나. 표현이 다를 뿐 내용은 같다……하지만 정말로 어떤 경우에도 같은 답이 나오나요? 우연히 지금 예에서만 일치한 건 아니고요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. "우연"이 아님을 보장하는 것이, 수학에서 말하는 "동형"이라는 개념이야. 2개의 공간 사이에 "덧셈이나 스칼라배의 구조를 깨뜨리지 않는 1대1 대응"이 존재한다는 뜻이야. "구조를 깨뜨리지 않는다"는 건, 예를 들어 2개의 원소를 먼저 더한 다음 대응시켜도, 각각 대응시킨 다음 더해도, 같은 결과가 된다는 거야.

🔵 카이: 음, 추상적이라 좀 이미지하기 어렵네요. 구체적으로는 어떤 건가요?

🟡 리나: 구체적으로 봐 보자. 텐서곱 공간의 원소 \(f_{ij}\,\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)와 다른 \((0,2)\)형 텐서 \(h_{ij}\,\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)를 더하면 \((f_{ij} + h_{ij})\,\epsilon^i \otimes \epsilon^j\)가 되지. 한편, 각각을 다중선형사상으로 보고 나서 더하면, \((f + h)(\vec{A}, \vec{B}) = f_{ij} A^i B^j + h_{ij} A^i B^j = (f_{ij} + h_{ij}) A^i B^j\)——같은 성분 \(f_{ij} + h_{ij}\)가 나와. 즉 "먼저 더하고 대응시키는 것"과 "대응시키고 더하는 것"이 일치해——그래서 2개의 공간은 구조째로 같다, 즉 동형이야.

⚪ 메이: 그렇구나, 어느 접근법으로 계산해도 성분이 일치하니까, 결과는 반드시 같아지는 거네.

🔵 카이: 덧셈 순서를 바꿔도 같은 성분이 나오니까 "구조째로 같다"고 말할 수 있는 거군요. 즉, 성분으로 계산해도 함수로서 대입해도, 최종적으로 나오는 수치는 절대 일치한다——그러니까 어느 방법을 써도 된다, 는 거네. ……아, 그런데 아까 이야기는 공변 텐서에 대한 거였잖아요. 반변 텐서에도 같은 관점이 있나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 반변 텐서에 대해서도 마찬가지 대응이 성립해. 공변 텐서가 "벡터를 먹는 함수"였던 것과 대칭적으로, 반변 텐서는 "1-형식을 먹고 실수를 반환하는 함수"로 파악할 수 있어. 위 첨자와 아래 첨자의 역할이 바뀔 뿐이야. 예를 들어, 벡터 \(\vec{A} = A^i e_i\)에 1-형식 \(f = f_j \epsilon^j\)를 작용시키면 \(f(\vec{A}) = f_i A^i\)라는 스칼라가 나오지. 이것은 벡터(\((1,0)\)형)를 "1-형식을 1개 먹고 실수를 반환하는 함수"로 본 것에 해당해. 자세한 건 본편에서 다루니까, 지금은 이미지만 가지고 있어.

🔵 카이: 그렇구나……공변은 "벡터를 먹는다", 반변은 "1-형식을 먹는다"——상하가 바뀔 뿐 구조는 같군요.

🟡 리나: 실용적으로는, 계산할 때는 텐서곱 공간 접근법(성분을 나열해서 덧셈·스칼라배), 개념을 이해할 때는 다중선형사상 접근법(좌표에 의존하지 않는 기하학적 대상)으로 사용 구분하는 게 좋아.

⚪ 메이: 계산은 성분으로, 개념은 사상으로——도구를 상황에 맞게 사용 구분하는 거네.

📝 연습문제:

다음 장 예고

🟡 리나: 다음 부록 C 에서는, 입자의 작용 원리를 장(field)으로 확장해. Lagrangian 밀도의 개념을 도입하고, 장의 Euler–Lagrange 방정식을 유도해. 나아가, 휘어진 시공간에서의 장의 작용 표현법을 배우고, Einstein–Hilbert 작용으로의 길을 제시할게.

연습 문제

📝 연습문제:

참고문헌

  • 石井俊全『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』第 6–7 章（テンソルの基礎・直線座標のテンソル場）
  • B. Schutz, A First Course in General Relativity, 3rd ed., Chapter 3（Tensor Analysis in Special Relativity）
  • T. Lancaster & S. J. Blundell, General Relativity for the Gifted Amateur, Chapter 2（Vectors and Tensors）
← A 벡터 해석C 장의 라그랑지안과 오일러-라그랑주 방정식 →