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부록 D 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 정수의 덧셈군

→ 문제로 돌아가기

\((\mathbb{Z}, +)\) 에 대해서:

  1. 닫힘성: 정수 \(a, b\) 에 대해 \(a + b\) 는 정수 ✓
  2. 결합법칙: \((a + b) + c = a + (b + c)\) ✓ (덧셈의 결합법칙)
  3. 항등원: \(0\) (\(a + 0 = 0 + a = a\)) ✓
  4. 역원: \(a\) 의 역원은 \(-a\) (\(a + (-a) = 0\)) ✓

4개의 조건을 모두 만족하므로, \((\mathbb{Z}, +)\) 는 군이에요.

B-2. 양의 실수의 곱셈군

→ 문제로 돌아가기

\((\mathbb{R}^+, \times)\) 에 대해:

  1. 닫힘성: 양의 실수 \(a, b\) 에 대해 \(a \times b\) 는 양의 실수 ✓
  2. 결합법칙: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) ✓
  3. 항등원: \(1\)（\(a \times 1 = 1 \times a = a\)）✓
  4. 역원: \(a\) 의 역원은 \(1/a\)（\(a \times (1/a) = 1\)）. \(a > 0\) 이면 \(1/a > 0\) ✓

4가지 조건을 모두 만족하므로, \((\mathbb{R}^+, \times)\) 는 군이에요.

B-3. 정수의 곱셈은 군이 아니다

→ 문제로 돌아가기

\((\mathbb{Z}, \times)\) 에 대해:

  1. 닫힘성: ✓ (정수×정수＝정수)
  2. 결합법칙: ✓
  3. 항등원: \(1\) ✓
  4. 역원: \(a = 2\) 의 역원은 \(1/2\) 이지만, \(1/2 \notin \mathbb{Z}\). ✗

역원 조건이 깨지므로, \((\mathbb{Z}, \times)\) 는 군이 아니에요. (\(a = \pm 1\) 만이 역원을 가져요)

B-4. \(U(1)\) 의 군 조건

→ 문제로 돌아가기

\(U(1) = \{e^{i\theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\}\) 과 곱셈에 대해:

  1. 닫힘성: \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \in U(1)\) ✓
  2. 결합법칙: 복소수 곱셈의 결합법칙으로부터 자명 ✓
  3. 항등원: \(e^{i \cdot 0} = 1\) ✓
  4. 역원: \((e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta} \in U(1)\) ✓

B-5. 3차원 \(z\) 축 회전

→ 문제로 돌아가기

\(R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\\sin\theta & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

\(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2)\) 를 계산해요. 왼쪽 위의 \(2 \times 2\) 블록에 주목하면:

\(\begin{pmatrix}\cos\theta_1 & -\sin\theta_1\\\sin\theta_1 & \cos\theta_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta_2 & -\sin\theta_2\\\sin\theta_2 & \cos\theta_2\end{pmatrix}\)

\((1,1)\) 성분: \(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)\)

\((1,2)\) 성분: \(-\cos\theta_1\sin\theta_2 - \sin\theta_1\cos\theta_2 = -\sin(\theta_1 + \theta_2)\)

\((2,1)\) 성분: \(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 = \sin(\theta_1 + \theta_2)\)

\((2,2)\) 성분: \(-\sin\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)\)

따라서 \(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2) = R_z(\theta_1 + \theta_2)\) ✓

B-6. Pauli 행렬의 교환 관계 \([\sigma_1, \sigma_2]\)

→ 문제로 돌아가기

\(\sigma_1\sigma_2 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}\)

\(\sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}\)

\([\sigma_1, \sigma_2] = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}2i&0\\0&-2i\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = 2i\sigma_3\) ✓

B-7. Pauli 행렬의 교환관계 (전체 조합)

→ 문제로 돌아가기

\([\sigma_2, \sigma_3]\):

\(\sigma_2\sigma_3 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}\)

\(\sigma_3\sigma_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}\)

\([\sigma_2, \sigma_3] = \begin{pmatrix}0&2i\\2i&0\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = 2i\sigma_1\) ✓

\([\sigma_3, \sigma_1]\):

\(\sigma_3\sigma_1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)

\(\sigma_1\sigma_3 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)

\([\sigma_3, \sigma_1] = \begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = 2i\sigma_2\) ✓

정리: \([\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) 가 모든 순환적 조합에 대해 성립해요.

B-8. 교환 관계의 반대칭성

→ 문제로 돌아가기

정의로부터:

\([A, B] = AB - BA\)

\([B, A] = BA - AB = -(AB - BA) = -[A, B]\)

따라서 \([A, B] = -[B, A]\)이에요. 특히 \([A, A] = -[A, A]\)로부터 \([A, A] = 0\)이에요.

B-9. 스핀 1/2의 고유값과 고유벡터

→ 문제로 돌아가기

\(\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)

고유값 방정식 \(\sigma_3 |\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle\)：

\(\det(\sigma_3 - \lambda I) = (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0\)

고유값：\(\lambda = +1, -1\)

\(\lambda = +1\)：\(\sigma_3 |\psi\rangle = |\psi\rangle\) → \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \equiv |\uparrow\rangle\)（스핀 위 방향）

\(\lambda = -1\)：\(\sigma_3 |\psi\rangle = -|\psi\rangle\) → \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \equiv |\downarrow\rangle\)（스핀 아래 방향）

\(\sigma_3/2\) 의 고유값은 \(\pm 1/2\)（\(\hbar\) 단위）이며, 스핀 \(1/2\) 의 "위 방향"과 "아래 방향"에 대응해요.

Medium（표준）

M-1. \(SU(2)\) 원소의 지수함수 표시

→ 문제로 돌아가기

\(\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) 는 대각행렬이므로:

\(\frac{i\theta\sigma_3}{2} = \begin{pmatrix}i\theta/2&0\\0&-i\theta/2\end{pmatrix}\)

대각행렬의 지수함수는 각 성분의 지수함수예요:

\(U = e^{i\theta\sigma_3/2} = \begin{pmatrix}e^{i\theta/2}&0\\0&e^{-i\theta/2}\end{pmatrix}\)

유니터리성 확인:

\(U^\dagger = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}\)

\(U^\dagger U = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2} \cdot e^{i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2} \cdot e^{-i\theta/2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\) ✓

행렬식 확인:

\(\det U = e^{i\theta/2} \cdot e^{-i\theta/2} = e^0 = 1\) ✓

M-2. Jacobi 항등식 (Pauli 행렬로 확인)

→ 문제로 돌아가기

\(A = \sigma_1, B = \sigma_2, C = \sigma_3\) 으로 놓으면:

\([A, [B, C]] = [\sigma_1, 2i\sigma_1] = 2i[\sigma_1, \sigma_1] = 0\)

\([B, [C, A]] = [\sigma_2, 2i\sigma_2] = 2i[\sigma_2, \sigma_2] = 0\)

\([C, [A, B]] = [\sigma_3, 2i\sigma_3] = 2i[\sigma_3, \sigma_3] = 0\)

\(0 + 0 + 0 = 0\) ✓

(이 경우에는 각 항이 개별적으로 영이 되지만, 일반적으로는 반드시 그런 것은 아니에요. 3개 항의 합이 영이 되는 것이 Jacobi 항등식이에요.)

M-3. \(SU(N)\) 의 매개변수 수

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\(N \times N\) 유니터리 행렬 \(U\)（\(U^\dagger U = I\)）의 매개변수 수를 세어 보아요.

\(N \times N\) 복소 행렬은 \(2N^2\)개의 실수 매개변수를 가져요. 유니터리 조건 \(U^\dagger U = I\)는 \(N^2\)개의 실수 조건（\(N \times N\) 에르미트 행렬의 독립 성분 수）을 부과해요. 따라서 유니터리 행렬 \(U(N)\)의 매개변수 수는 \(2N^2 - N^2 = N^2\)이에요.

\(SU(N)\)은 추가로 \(\det U = 1\) 조건（1개의 실수 조건）을 부과하므로:

\(\dim SU(N) = N^2 - 1\)

확인: - \(N = 2\): \(4 - 1 = 3\)（\(SU(2)\)는 3개의 매개변수）✓ - \(N = 3\): \(9 - 1 = 8\)（\(SU(3)\)는 8개의 매개변수）✓