제1장　고전물리의 3가지 위기 — 흑체복사·광전효과·원자의 안정성¶

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지금까지의 이야기:

프롤로그에서는, 물리학의 모델은 모두 "현재까지 실험과 모순되지 않는 최선의 가설"에 불과하다는 것, 그리고 양자역학이 원자·분자에서 우주 전체까지, 경이로운 정밀도로 현상을 예언하고 있는 모델임을 개관했다. 이제 이 긴 여행을, 한 걸음씩 수식으로 따라가 보자.

이 장의 목표

19세기 말에 고전물리학(Newton 역학 + Maxwell 전자기학)이 직면한 3가지 심각한 위기——흑체복사의 자외선 파탄, 광전효과의 수수께끼, 원자의 안정성 문제——를 명확히 하고, 각각에 대한 Planck의 양자 가설(1900), Einstein의 광양자 가설(1905), Bohr의 원자 모형(1913)을 이해한다
특히 "Einstein은 양자론의 창시자 중 한 사람이다"라는 점을 명시한다

1.1　19세기 말의 물리학——"거의 완성됐다"는 환상¶

🟡 리나: 자, 드디어 양자역학의 여행이 시작돼요. 하지만 갑자기 새로운 이론에 뛰어들기 전에, 왜 새로운 이론이 필요했는지——오래된 이론의 "한계"를 확인하는 것부터 시작해 볼게요.

🔵 카이: 오래된 이론이라면, Newton(뉴턴) 역학과 Maxwell(맥스웰)의 전자기학인가요?

🟡 리나: 맞아요. 19세기 말의 물리학자들은, 이 두 기둥으로 자연계의 모든 현상을 설명할 수 있다고 생각했어요. Newton 역학은 행성의 운동부터 진자의 진동까지, Maxwell의 전자기학은 전기·자기·빛을 통일적으로 설명했죠. "물리학은 거의 완성되었고, 남아 있는 것은 소수점 이하의 정밀도를 높이는 작업뿐이다"라고 진심으로 생각했던 사람도 있었어요.

⚪ 메이: 하지만 실제로는 그렇게 되지 않았죠.

🟡 리나: 맞아요. 19세기 말부터 20세기 초에 걸쳐, 고전물리학으로는 절대로 설명할 수 없는 현상이 잇따라 발견됐어요. 오늘은 그중에서도 특히 심각했던 3가지 위기를 살펴볼게요.

🔵 카이: 3가지 위기……. 얼마나 심각했나요?

🟡 리나: "소수점 이하의 오차" 같은 수준이 아니에요. 이론이 무한대를 예언하거나, 원자가 순식간에 붕괴한다고 예언하거나——현실과 근본적으로 모순되는 수준이에요. 이 모순을 해결하기 위해, 물리학자들은 완전히 새로운 가설을 세워야 했어요. 그것이 양자론의 시작이에요.

✅ 이해도 체크: 19세기 말 물리학의 "두 기둥"이란 무엇일까요? 또한, 그것들이 "거의 완성됐다"고 여겨졌음에도 불구하고 새로운 이론이 필요해진 이유는 무엇일까요?

답

두 기둥은 Newton 역학과 Maxwell의 전자기학이다. 이들로는 설명할 수 없는 현상(이론이 무한대를 예언하거나, 원자가 순식간에 붕괴한다고 예언하는 등)이 발견되어, 현실과 근본적으로 모순되었기 때문에, 완전히 새로운 가설(양자론)이 필요해졌다.

1.2　위기 ①: 흑체복사와 자외선 파탄¶

빛나는 상자의 수수께끼——흑체복사란 무엇인가¶

🟡 리나: 첫 번째 위기는 "흑체복사(black-body radiation)"의 문제예요. 이것은 1900년에 해결되는데, 먼저 문제의 설정부터 살펴볼게요.

🔵 카이: 흑체복사가 뭐예요?

🟡 리나: 밀폐된 상자——예를 들어 내부가 빈 금속 상자——를 고온으로 가열하면, 상자 내부에서 빛(전자기파)이 방출돼요. 상자에 작은 구멍을 뚫으면, 거기서 빛이 새어 나와요. 이 빛의 에너지가 진동수(빛의 색에 대응하는 양)별로 어떻게 분포하는지를 측정하는 실험이에요. 그림 1.1「흑체복사의 실험 장치」에 실험 장치의 개념도를 그렸어요.

그림 1.1: 흑체복사의 실험 장치. 고온으로 가열된 금속 상자(흑체 공동)의 내부는 전자기파로 채워진다. 작은 구멍에서 새어 나온 빛을 프리즘으로 분해하여, 진동수별 에너지 분포를 측정한다.

⚪ 메이: 온도를 정하면, 어떤 색의 빛이 얼마나 강하게 나오는지가 결정된다는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 실험 데이터는 19세기 말에 이미 정밀하게 측정되어 있었어요. 문제는, 고전물리학으로 계산하면, 실험 결과와 전혀 맞지 않는다는 것이었어요.

🔵 카이: 어떻게 안 맞나요?

🟡 리나: 고전물리학(Newton 역학 + Maxwell 전자기학 + 통계역학)에 기반하여 계산하면, 진동수가 높아질수록 방출 에너지가 끝없이 증가해 버려요. 자외선 영역에서 무한대로 발산하는 거예요. 이것을 자외선 파탄(ultraviolet catastrophe)이라고 불러요.

🔵 카이: 무한대!? 그건 확실히 이상하죠.

🟡 리나: 실험에서는, 어떤 진동수를 정점으로 에너지가 제대로 감소해요. 이론은 무한대를 예언하고, 실험은 유한한 값을 보여줘요. 이건 "소수점 이하의 오차" 같은 게 아니에요——고전물리학의 틀에 근본적인 결함이 있음을 보여주고 있었어요.

Planck의 양자 가설——에너지는 띄엄띄엄¶

🟡 리나: 이 문제에 도전한 것이, 독일의 물리학자 Max Planck(막스 플랑크)예요. 1900년의 일이었어요.

🔵 카이: 어떻게 해결했나요?

🟡 리나: Planck는 먼저 실험 데이터에 맞는 수식을 찾아냈어요. 그리고 그 수식을 이론적으로 유도하려 했을 때, 어떤 터무니없는 가정을 세워야 한다는 것을 깨달았어요.

⚪ 메이: 터무니없는 가정이요?

🟡 리나: 이런 가정이에요.

진동수 $\nu$로 진동하는 모드(진동자)——즉 특정한 진동수로 진동하는 "진동 패턴" 하나하나——의 에너지는, 연속적인 값을 취할 수 없다. $h\nu$의 정수배 값만 취할 수 있다.

즉, 진동수 $\nu$의 모드가 가질 수 있는 에너지는 $0,\; h\nu,\; 2h\nu,\; 3h\nu,\; \ldots$라는 띄엄띄엄한 값만 허용된다. 중간 값은 존재하지 않아요.

🔵 카이: 에엣, 에너지가 연속이 아니라고요!?

🟡 리나: 여기서 등장하는 식이, 양자역학의 최초의 식이에요.

\[ E = nh\nu \quad (n = 0, 1, 2, 3, \ldots) \tag{1.1} \]

$E$: 에너지
$n$: 음이 아닌 정수($0, 1, 2, \ldots$)
$h$: Planck 상수(Planck constant). 자연계의 기본 상수 중 하나
$\nu$(그리스 문자 "뉴"): 빛의 진동수. 빛의 색에 대응하는 양으로, 진동수가 높을수록 보라·파랑에 가깝고, 낮을수록 빨강에 가까움

\[ h \simeq 6.626 \times 10^{-34} \;\mathrm{J \cdot s} \tag{1.2} \]

⚪ 메이: $h$의 값이 엄청나게 작네요. $10^{-34}$이라니……

🟡 리나: 맞아요. 이 값이 매우 작기 때문에, 일상적인 스케일에서는 에너지가 "띄엄띄엄"이라는 것을 알아차리지 못해요. 계단을 상상해 보세요. 멀리서 보면 매끄러운 경사면처럼 보이지만, 가까이 가 보면 한 단 한 단의 턱이 있잖아요. Planck의 발견은, 에너지라는 "경사면"이 사실은 "계단"이었다는 거예요. 그림 1.2「에너지의 고전적 묘사(연속적인 경사면)와 양자론의 묘사(띄엄띄엄한 계단)의 비교」를 봐 주세요.

그림 1.2: 에너지의 고전적 묘사(연속적인 경사면)와 양자론의 묘사(띄엄띄엄한 계단)의 비교. $h$가 극히 작기 때문에, 일상 스케일에서는 계단의 턱이 보이지 않아 매끄러운 경사면으로 보인다.

🔵 카이: 그렇군요……. 하지만, 왜 "띄엄띄엄"으로 하면 자외선 파탄이 해소되나요?

왜 띄엄띄엄이면 자외선 파탄이 해소되는가¶

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 핵심은 온도 $T$인 계가 갖는 "열 요동의 에너지"예요. 여기서 조금 통계역학의 사고방식을 빌려올게요. 통계역학은, 수많은 입자가 열적으로 운동하는 계의 행동을 확률적으로 다루는 분야예요. 고등학교에서는 자세히 다루지 않지만, 지금 필요한 것은 하나의 결론뿐이에요:

온도 $T$의 환경에 있는 하나의 진동 모드(하나의 진동수의 빛)가 갖는 전형적인 에너지는 $k_B T$ 정도.

여기서 $k_B \simeq 1.38 \times 10^{-23}\;\mathrm{J/K}$는 Boltzmann(볼츠만) 상수라 불리는 자연 상수로, "온도"와 "에너지"를 연결하는 역할을 해요. 온도가 높을수록 $k_B T$가 커지고, 각 모드에 배분되는 에너지도 커져요——직관적으로는 "뜨거울수록 격렬하게 진동한다"는 뜻이에요.

🔵 카이: $k_B T$가 구체적으로는 어느 정도 크기인가요?

🟡 리나: 실온($T \simeq 300\;\mathrm{K}$)에서 $k_B T \simeq 4.1 \times 10^{-21}\;\mathrm{J} \simeq 0.026\;\mathrm{eV}$예요. $\mathrm{eV}$(전자볼트)는 원자물리에서 자주 쓰는 에너지의 단위로, $1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}$——전자 1개가 1V의 전위차로 가속되었을 때 얻는 에너지에 해당해요. 이것이 "하나의 진동 모드에 열적으로 배분되는 에너지의 기준"이에요. 왜 정확히 $k_B T$인지의 엄밀한 증명은 통계역학 교과서에 맡기지만, 직관적으로는 "온도란 분자의 평균 운동에너지의 척도"이므로, 각 모드에 배분되는 에너지도 온도에 비례한다——그것이 $k_B T$라는 거예요.

🔵 카이: $k_B T$가 열 요동 에너지의 기준……. 그러면, 진동수에 관계없이, 어떤 모드에도 같은 $k_B T$가 배분되나요?

🟡 리나: 바로 그것이 고전물리학의 주장이에요. 어떤 모드에도 균등하게 $k_B T$ 정도의 에너지가 배분된다——이것을 등분배 정리(equipartition theorem)라고 불러요. 정확히는 "1자유도당 $\frac{1}{2}k_BT$"인데, 빛의 각 모드는 2자유도(전기장과 자기장의 진동)를 가지므로 합계 $k_BT$가 돼요. 지금은 "각 모드에 $k_BT$"라고만 기억해 두면 충분해요. 그림 1.3「등분배 정리와 양자론의 비교」에, 고전의 등분배 정리와 양자론에 의한 억제의 차이를 시각적으로 비교했어요. 왼쪽이 고전(모든 모드에 $k_BT$를 균등 배분), 오른쪽이 양자(고진동수 모드가 "동결"되는) 모습이에요.

그림 1.3: 등분배 정리와 양자론의 비교. 왼쪽: 고전적 등분배 정리에서는 모든 모드에 일률적으로 $k_BT$의 에너지가 배분되어, 모드 수가 무한하므로 총 에너지가 발산한다. 오른쪽: Planck의 양자 가설에서는, $h\nu \gg k_BT$인 고진동수 모드는 에너지를 받을 수 없어 "동결"되므로, 총 에너지는 유한하게 수렴한다.

🔵 카이: 모드의 수는 얼마나 되나요?

🟡 리나: 그 답을 내기 위해, 먼저 "모드"를 구체적으로 이미지화해 볼게요. 기타 줄을 떠올려 보세요. 줄의 양쪽 끝은 고정되어 있으니까, 줄의 길이에 딱 맞는 진동 패턴만 존재할 수 있어요——반파장이 1개분, 2개분, 3개분……하고 띄엄띄엄이죠. 이것이 1차원의 "모드"예요.

🔵 카이: 그렇군요, 줄의 길이에 들어맞는 파동만 허용되는 거네요.

🟡 리나: 상자 안의 빛도 마찬가지로, 벽과 벽 사이에 들어맞는 진동 패턴만 허용돼요. 다만 상자는 3차원이니까, 가로·세로·깊이의 3방향 각각에 진동 패턴의 조합이 있어요. 1차원이면 "수직선 위의 정수점"을 세는 것뿐이지만, 3차원이면 "공간의 격자점"을 세는 것이 돼요. 각 방향의 진동 패턴은 정수(1, 2, 3, ...)로 번호를 매길 수 있으니까, 3방향의 조합 $(n_x, n_y, n_z)$가 하나의 모드에 대응해요.

🔵 카이: 3개의 정수 조합 하나하나가, 하나의 진동 패턴에 대응하는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 1차원 줄에서는, 진동 패턴의 번호 $n$이 그대로 진동수에 비례했죠. 3차원 상자에서는, 각 방향의 진동 패턴 번호 $n_x, n_y, n_z$가 각각 독립적으로 진동수에 기여해요. 1차원에서는 "줄의 길이에 반파장이 $n$개 들어간다"는 조건에서 진동수가 $n$에 비례했잖아요. 3차원 상자에서는 각 방향에 독립적으로 이 조건이 부과되니까, $x$ 방향의 진동수 성분 $\nu_x \propto n_x$, $y$ 방향은 $\nu_y \propto n_y$, $z$ 방향은 $\nu_z \propto n_z$가 돼요.

🔵 카이: 각 방향의 진동수는 알겠어요. 그런데 전체 진동수는 어떻게 결정되나요? 단순히 더하나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 아까 "$x$ 방향의 진동수 성분 $\nu_x \propto n_x$"처럼 썼잖아요. 이 $\nu_x, \nu_y, \nu_z$를 사용하면, 전체 진동수는 $\nu = \sqrt{\nu_x^2 + \nu_y^2 + \nu_z^2}$로 결정돼요——마치 3차원 공간에서 원점부터 점 $(\nu_x, \nu_y, \nu_z)$까지의 거리를 피타고라스 정리로 구하는 것과 같은 구조예요. 왜 제곱합의 제곱근이 되는지는 파동방정식에서 유도되는 결과인데, 자세한 건 뒤의 장에서 다룰게요. 직관적으로는, 1차원 줄에서 "줄의 길이에 반파장이 $n$개 들어간다"는 조건에서 진동수가 결정됐잖아요. 3차원 상자에서는 $x, y, z$의 3방향 각각에 독립적으로 이 조건이 부과돼요. 파동방정식을 풀면, 전체 진동수는 각 방향의 진동수 성분의 "피타고라스 정리"로 합성돼요——마치 직육면체의 대각선 길이를 3변으로부터 구하는 것과 같은 구조예요. 지금은 "그런 결과가 된다"고 받아들여 주면 충분해요. 그래서 "진동수 $\nu$ 이하의 모드 수"는, 각 방향의 진동 패턴 번호 $(n_x, n_y, n_z)$를 좌표로 간주하여, 원점을 중심으로 하는 반지름 $\propto \nu$인 구 안에 있는 격자점의 수에 대응해요.

⚪ 메이: 즉, 진동수 문제가 "3차원 공간에서 구 안의 격자점을 세는" 기하학 문제로 치환되는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 격자점은 각 방향으로 1 간격으로 나란히 있으니까, 그 수는 구의 부피에 거의 같아요(한 변이 1인 작은 정육면체 1개에 격자점이 1개씩 대응하는 이미지예요. 엄밀히는 구의 표면 근처에서 다소 어긋남이 있지만, 반지름이 클수록 이 오차는 무시할 수 있어요). 다만, 진동 패턴의 번호 $n_x, n_y, n_z$는 양의 정수($1, 2, 3, \ldots$)만 취하니까, 세는 것은 구 전체가 아니라 "제1사분면"——즉 $n_x > 0,\; n_y > 0,\; n_z > 0$인 부분만이에요. 이것은 구 부피의 $1/8$에 해당해요. 더불어, 빛에는 서로 직교하는 2가지 편광 방향이 있으니까, 같은 진동 패턴이라도 편광이 2가지가 있어서 모드 수는 2배가 돼요. 구의 부피는 반지름의 3제곱에 비례하니까, $1/8$과 편광 인자 2를 포함한 비례상수를 $C$로 쓰면, "진동수 $\nu$ 이하의 모드 총수" $N(\nu)$는 근사적으로 $N(\nu) = C\nu^3$으로 $\nu^3$에 비례하여 증가해요.

🔵 카이: $N(\nu) \propto \nu^3$……진동수가 2배가 되면, 모드의 수는 $2^3 = 8$배라는 거군요. 엄청난 속도로 늘어나네요. 그런데, 자외선 파탄이란 "특정 진동수 부근에 얼마나 모드가 집중되어 있는가"가 문제잖아요? 총수가 아니라, 진동수별 밀도 같은 것이 필요한 것 같은데……

🟡 리나: 바로 그 말이에요. 여기서부터 "진동수 $\nu$ 부근의 단위 진동수당 모드 수"——이것을 모드 밀도라고 불러요——를 구해요. 모드 밀도의 이미지는 "진동수 눈금을 조금만 진행시켰을 때, 새로 나타나는 모드의 수"예요. 예를 들어 FM 라디오의 주파수대에서 "80 MHz에서 81 MHz 사이에 몇 개 방송국이 있는가"를 세는 것 같은 거예요——그것을 연속적으로 생각한 것이 모드 밀도예요. 수학적으로는, $\nu$를 $\Delta\nu$만큼 증가시켰을 때 늘어나는 모드 수 $\Delta N$을 $\Delta\nu$로 나눈 것 $\Delta N / \Delta\nu$예요. $\Delta\nu$를 한없이 작게 하면, 이것은 고등학교 수학에서 배운 미분 $dN/d\nu$ 그 자체예요. 아까의 논의에서 $N(\nu) = C\nu^3$이라고 쓸 수 있었어요($C$는 상자의 부피·편광 인자 2·양의 정수만 세기 위한 $1/8$ 등을 합친 상수로, 지금은 구체적인 값이 필요 없어요). $\nu$로 미분하면 $dN/d\nu = 3C\nu^2$——즉 모드 밀도는 $\nu^2$에 비례해요.

⚪ 메이: $\nu^3$을 미분하면 $3\nu^2$——모드 밀도가 $\nu^2$으로 증가해 가는 거네요.

🟡 리나: 등분배 정리에 따르면 각 모드에 $k_BT$씩 에너지가 배분되니까, 진동수 $\nu$에서 $\nu + d\nu$의 미소 구간에 있는 모드의 수는 "모드 밀도 $\times$ 미소 폭 $d\nu$", 즉 $3C\nu^2\,d\nu$에 비례해요. 각각에 $k_BT$의 에너지가 들어가니까, 이 구간의 에너지는 $\nu^2 \cdot k_BT\,d\nu$에 비례해요. 전체 진동수에 걸쳐 이것을 합산하면——즉 $\int_0^\infty \nu^2 \cdot k_BT\,d\nu$에 비례하는 적분이 상자 전체의 복사 에너지가 돼요.

🔵 카이: 전부 합산하는 적분……. 이게 수렴하나요?

🟡 리나: 여기서 $\int_0^R \nu^2\,d\nu$는 고등학교에서 배운 $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$의 공식에서 $n = 2$를 대입하면 $\nu^3/3$의 $0$에서 $R$까지의 정적분이니까 $R^3/3$이에요. 상한 $R$을 크게 하면 할수록 값이 끝없이 증가하고, $R \to \infty$에서 무한대로 발산해 버려요——이것이 자외선 파탄의 수학적 정체예요.

⚪ 메이: 즉, 모드의 수가 진동수와 함께 끝없이 증가하는데, 각 모드에 같은 $k_BT$가 배분되니까 총 에너지가 발산하는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 모드마다 $k_B T$씩 배분하면, 총 에너지는 발산해요——이것이 자외선 파탄이에요. 그림 1.4「모드 세는 법과 자외선 파탄의 메커니즘」에 이 메커니즘을 도시했어요. 왼쪽은 격자점에 의한 모드 세는 법, 오른쪽은 고전과 양자의 에너지 밀도 차이를 보여주고 있어요.

그림 1.4: 모드 세는 법과 자외선 파탄의 메커니즘. 왼쪽: 상자 안의 진동 모드는 정수 조합 $(n_x, n_y, n_z)$으로 번호가 매겨지며, 진동수 $\nu$ 이하의 모드 수는 반지름 $\propto \nu$인 구 안의 격자점 수에 대응한다. 오른쪽: 고전 이론(회색 점선)에서는 모드 밀도 $\propto \nu^2$에 일률적으로 $k_BT$가 배분되어 고진동수에서 발산하지만, Planck의 양자론(빨간 실선)에서는 고진동수 쪽이 지수적으로 억제된다.

🔵 카이: 아까 얘기에서, 모드의 수는 $\nu^3$에 비례해서 무한히 늘어난다고 했잖아요. 전부에 $k_B T$씩 배분하면 확실히 발산하겠네요……. Planck의 가설을 넣으면 어떻게 바뀌나요?

🟡 리나: Planck의 양자 가설을 넣으면, 이 "어떤 모드에도 $k_B T$"라는 부분이 바뀌어요. 진동수 $\nu$의 모드에는, 에너지 단위 $h\nu$를 최소한 1개 채워야 하는데, 그에 필요한 "돈"(열에너지)은 $k_B T$밖에 없어요. 만약 $h\nu \gg k_B T$라면, 1개분의 티켓 $h\nu$조차 살 수 없어요.

통계역학에는 Boltzmann(볼츠만) 분포라는 중요한 법칙이 있어요. 이것은 "온도 $T$의 환경에서, 에너지 $E$의 상태가 얼마나 높은 확률로 실현되는가"를 알려줘요:

\[\text{확률} \propto e^{-E / k_B T}\]

$\propto$("비례한다"로 읽음)는 "비례한다"는 뜻의 기호예요. "확률 $\propto$ 무언가"는 "확률은 무언가에 비례한다"는 의미예요. 왜 지수함수인지를 직관적으로 말하면, "독립적인 장벽을 여러 단 넘어야 할 때, 각 단을 넘는 확률이 곱셈이 되니까"예요——고등학교 확률에서 "독립 사건이 동시에 일어나는 확률은 각 확률의 곱"이라고 배웠잖아요. 예를 들어 1단 넘을 확률이 $p$라면, $n$단 넘을 확률은 $p^n$이에요. 이것은 $n$이 커지면 급격히 줄어들어요. $p^n = e^{n \ln p}$로 쓸 수 있으니까, 단수 $n$에 대해 지수함수적으로 감소해요——이것이 Boltzmann 분포의 $e^{-E/k_BT}$의 본질이에요. 에너지 $E$가 "넘어야 할 단수", $k_BT$가 "1단의 높이"에 대응하고 있어요(연속적인 에너지의 경우도, 미소한 단을 무한히 세분한 극한으로 생각하면 같은 논리가 성립해요).

🔵 카이: 아, 독립 사건의 곱이 지수함수가 되는 거군요. 확률의 곱셈이 이런 데서 나오다니.

🟡 리나: 이미지로는, 계단의 위쪽 단에 갈수록 "도달할 수 있는 사람"이 급격히 줄어드는 느낌이에요. 열에너지 $k_B T$가 "한 단분의 체력"에 해당하고, 그에 비해 필요한 에너지 $E$가 클수록, 도달할 수 있는 확률이 급감해요. 수학적으로는 "에너지가 높은 상태일수록 실현되기 어렵다"——게다가 단순히 "어려운" 정도가 아니라, 지수함수적으로 급격히 확률이 떨어져요. 예를 들어 $E = 3k_BT$면 확률은 $e^{-3} \approx 0.05$(약 5%), $E = 10k_BT$면 $e^{-10} \approx 0.00005$(거의 0). 그래서 $h\nu \gg k_B T$인 모드는, 사실상 전혀 여기되지 않아요.

🔵 카이: 음……$h\nu$가 $k_B T$보다 훨씬 크면, $e^{-h\nu/k_B T}$의 지수 부분이 큰 음수가 되니까, 거의 0이에요. 즉 고진동수의 모드는 "존재하기는 하지만, 사실상 에너지를 가질 수 없다"는 건가요? 그런데 반대로, 저진동수의 모드는 어떻게 되나요? $h\nu$가 $k_BT$보다 훨씬 작으면, 보통으로 여기되나요?

🟡 리나: 맞아요. 저진동수 쪽은 고전과 마찬가지로 $k_BT$의 에너지를 가질 수 있어요. 그림 1.5「Boltzmann 분포와 양자적 에너지 억제. 왼쪽: Boltzmann 분포 $e^{-E/k_BT}$」를 봐 주세요. 왼쪽 그래프는 Boltzmann 분포 자체로, 에너지가 $k_BT$를 넘으면 확률이 급격히 떨어지는 것을 알 수 있어요. 오른쪽 그래프는, 각 진동 모드의 평균 에너지가 진동수에 따라 어떻게 변하는지를 보여주고 있어요.

그림 1.5: Boltzmann 분포와 양자적 에너지 억제. 왼쪽: Boltzmann 분포 $e^{-E/k_BT}$ — 에너지가 높은 상태일수록 실현 확률이 지수적으로 감소한다. 오른쪽: 진동 모드의 평균 에너지 비교 — 고전에서는 모든 모드에 $k_BT$가 배분되지만(회색 점선), 양자론에서는 $h\nu \gg k_BT$인 영역에서 평균 에너지가 지수적으로 억제된다(빨간 실선).

🟡 리나: Boltzmann 분포를 사용해서 "에너지가 $0, h\nu, 2h\nu, \ldots$밖에 취할 수 없는 모드의 평균 에너지"를 계산해 볼게요. 생각하는 방법만 보여줄게요. 각 에너지 $nh\nu$가 실현되는 확률은 $e^{-nh\nu/k_BT}$에 비례하니까, 평균 에너지는 "(각 에너지) × (그 확률)의 총합"을 "확률의 총합"으로 나눈 것——이것을 $\langle E \rangle$라고 써요(꺾쇠 괄호 $\langle\;\rangle$는 "평균"을 나타내는 기호예요). 즉

$$\langle E \rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} nh\nu \cdot e^{-nh\nu/k_BT}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nh\nu/k_BT}}

$$

예요. 여기서 $\sum_{n=0}^{\infty}$(시그마 기호)는 "$n = 0, 1, 2, \ldots$를 순서대로 대입하여 전부 더한다"는 의미——즉 분모는 $e^{0} + e^{-h\nu/k_BT} + e^{-2h\nu/k_BT} + \cdots$라는 뜻이에요.

🔵 카이: 무한히 더하나요? 발산하지 않나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. $x = e^{-h\nu/k_BT}$로 놓으면 $0 < x < 1$이니까, 분모는 등비급수 $1 + x + x^2 + \cdots$가 돼요. 이 합은 고등학교에서도 나오죠——$S = 1 + x + x^2 + \cdots$의 양변에 $x$를 곱하면 $xS = x + x^2 + x^3 + \cdots$. 빼면 $S - xS = 1$이니까 $S = 1/(1-x)$. $|x| < 1$에서 각 항이 점점 작아지니까 합이 유한하게 수렴해요.

⚪ 메이: 분모는 $1/(1-x)$네요. 분자는 어떻게 되나요?

🟡 리나: 분자는 $\sum_{n=0}^\infty nh\nu \cdot x^n = 0 \cdot x^0 + 1 \cdot h\nu \cdot x + 2h\nu \cdot x^2 + \cdots$인데, $n = 0$ 항은 0이니까 사라지고, $h\nu \cdot x(1 + 2x + 3x^2 + \cdots)$가 돼요. 여기서 하나의 테크닉을 쓸게요. $1 + 2x + 3x^2 + \cdots$라는 급수의 합을 구하고 싶어요. 사실, 아까의 등비급수 합 $S = 1 + x + x^2 + \cdots = 1/(1-x)$의 양변을 $x$로 미분하면 바로 구해져요. 좌변을 항별로 미분하면 $dS/dx = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \cdots = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots$——바로 원하던 급수예요(상수항 $1$을 미분하면 0이 되어 사라져요). 우변을 미분하면 $d[1/(1-x)]/dx = 1/(1-x)^2$. 따라서 $1 + 2x + 3x^2 + \cdots = 1/(1-x)^2$이 얻어져요. "무한히 계속되는 합을 항별로 미분해도 되나요?"라고 생각할 수 있지만, $|x| < 1$에서 각 항이 점점 작아져서 합이 제대로 유한값에 수렴하는 경우에는, 이 조작이 허용돼요(엄밀한 증명은 대학 수학에 맡길게요).

🔵 카이: 구체적인 숫자로 확인해 볼 수 있나요?

🟡 리나: $x = 1/2$로 확인해 보면, 우변은 $1/(1 - 1/2)^2 = 4$. 좌변은 $1 + 2 \cdot (1/2) + 3 \cdot (1/4) + 4 \cdot (1/8) + \cdots = 1 + 1 + 0.75 + 0.5 + \cdots$로, 더해 가면 확실히 4에 접근해요. 이것을 쓰면 분자는 $h\nu \cdot x/(1-x)^2$로 쓸 수 있어요. 분모는 $1/(1-x)$였으니까, 평균 에너지는

\[\langle E \rangle = \frac{h\nu \cdot x/(1-x)^2}{1/(1-x)} = \frac{h\nu \cdot x}{1-x}\]

예요. 여기에 $x = e^{-h\nu/k_BT}$를 되돌리면 $1 - x = 1 - e^{-h\nu/k_BT}$이니까

\[\langle E \rangle = \frac{h\nu \cdot e^{-h\nu/k_BT}}{1 - e^{-h\nu/k_BT}} = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1}\]

이 돼요(마지막 등호는 분자·분모에 $e^{h\nu/k_BT}$를 곱한 거예요).

⚪ 메이: 깔끔한 식으로 정리됐네요. 이것이 Planck의 평균 에너지 공식이라는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 이 식의 행동을 2가지 극한에서 확인해 볼게요.

$h\nu \ll k_B T$(저진동수)일 때: $\xi = h\nu/k_B T \ll 1$로 놓으면, $e^\xi \approx 1 + \xi$로 근사할 수 있으니까, $e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq h\nu / k_B T$가 되어, $\langle E \rangle \simeq k_B T$(고전의 결과와 일치)
$h\nu \gg k_B T$(고진동수)일 때: $e^{h\nu/k_BT} \gg 1$이니까 분모의 $-1$은 무시할 수 있어서 $\langle E \rangle \simeq h\nu\, e^{-h\nu / k_B T}$로 지수적으로 억제돼요

⚪ 메이: 그렇군요. 고진동수 쪽은 아까의 $e^{-h\nu / k_B T}$로 지수적으로 억제되니까, 무한대로 발산하지 않는 거네요.

🔵 카이: 아, 그렇구나! 저진동수 쪽은 고전과 같은 $k_B T$이지만, 고진동수 쪽만 "티켓이 너무 비싸서 살 수 없는" 상태가 되니까, 전체적으로 유한하게 수렴하는 거군요. ……그런데 잠깐만요. 그러면 온도를 올리면 어떻게 되나요? $k_BT$가 커지면, 더 높은 진동수의 모드까지 여기되어서, 스펙트럼의 피크가 고진동수 쪽으로 이동하지 않나요?

🟡 리나: 맞아요. 온도를 올리면 $k_BT$가 커지니까, "티켓을 살 수 있는" 진동수의 상한이 높아져서, 피크는 고진동수 쪽으로 이동해요. 하지만 아무리 온도를 올려도, $h\nu \gg k_BT$인 영역은 반드시 존재하고, 거기서는 지수적으로 억제돼요——그래서 총 에너지는 항상 유한하게 수렴해요. 즉 에너지가 "띄엄띄엄"임으로써, 고진동수 쪽의 모드가 열 요동으로는 여기되기 어려워져요. 이것으로 자외선 파탄은 해소돼요. 고전물리학의 "등분배 정리"가 깨지고, Planck의 공식이 실험과 완전히 일치해요. 그림 1.6「흑체복사의 에너지 밀도 비교」을 봐 주세요. 고전의 예측(Rayleigh-Jeans)이 고진동수에서 발산하는 반면, Planck의 공식은 피크를 지나면 지수적으로 감쇠하고 있잖아요? 그림에는 여러 온도의 스펙트럼도 그려져 있는데, 온도가 높을수록 피크가 고진동수 쪽으로 이동하고 있는 것을 알 수 있어요. 이것은 Wien(빈)의 변위 법칙이라 불리는 경험 법칙으로, Planck의 공식에서 자연스럽게 유도돼요.

그림 1.6: 흑체복사의 에너지 밀도 비교. 고전물리학의 Rayleigh-Jeans 예측(회색 점선)은 고진동수에서 발산하지만, Planck의 공식(실선)은 피크를 지나면 지수적으로 감쇠한다. 온도가 높을수록 피크는 고진동수 쪽으로 이동한다(Wien의 변위 법칙).

🔵 카이: 대단해요! 단 하나의 가정으로 해결되다니. 하지만……"띄엄띄엄이다"라고 가정했을 뿐, 왜 띄엄띄엄인지는 모르는 채로 남아 있잖아요?

🟡 리나: 좋은 점을 짚었어요. 사실 Planck 자신도 그렇게 느꼈어요. 그는 이 가정을 "수학적 트릭"이라고 생각했어요. 계산을 맞추기 위한 편의적인 수단일 뿐, 에너지가 정말로 띄엄띄엄이라고는 믿지 않았어요. 그는 나중에 "절망적인 가정이었다"고 말했어요.

⚪ 메이: 즉 Planck는, 자신이 물리학의 혁명을 일으켰다는 것을 알아차리지 못했던 거네요.

🟡 리나: 맞아요. Planck의 가설을 진지하게 받아들이고, 더 나아간 사람이——다음에 등장하는 Einstein(아인슈타인)이에요.

✅ 이해도 체크: Planck 상수 $h$의 값이 매우 작다는 것은, 일상생활에서 에너지의 "띄엄띄엄"이 관측되지 않는 것과 어떤 관계가 있을까요?

답

$h \simeq 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}$로 극히 작기 때문에, 일상 스케일에서는 에너지의 최소 단위 $h\nu$가 무시할 수 있을 만큼 미소해진다. 그래서 계단 형태의 에너지가 매끄러운 연속량으로 보이고, 양자 효과를 알아차리지 못한다.

✅ 이해도 체크: 자외선 파탄이란 무엇일까요? 또한, Planck의 양자 가설이 그것을 어떻게 해결하는지, 각각 한 마디씩 말해 보세요.

답

자외선 파탄: 고전물리학으로 흑체복사를 계산하면, 고진동수 쪽에서 방출 에너지가 무한대로 발산해 버리는 문제. 해결: 에너지가 $h\nu$의 정수배밖에 취할 수 없다고 가정하면, 진동수가 높은 빛은 한 양자당 에너지가 너무 커서 방출되기 어려워지고, 고진동수 쪽이 자연스럽게 억제된다.

📝 연습문제:

Planck 상수의 작음을 실감하는 계산 → 문제 B-1. Planck 상수의 작음을 체감하기

1.3　위기 ②: 광전효과의 수수께끼¶

빛을 비추면 전자가 튀어나온다——그런데 이상한 점이¶

🟡 리나: 두 번째 위기는 "광전효과(photoelectric effect)"예요. 이것은 1887년 Hertz(헤르츠)에 의해 발견된 현상으로, 금속 표면에 빛을 비추면, 금속 안에서 전자가 튀어나오는 거예요.

🔵 카이: 빛으로 전자를 때려내는, 그런 느낌인가요?

🟡 리나: 맞아요. 현상 자체는 알려져 있었지만, 자세히 조사하니 고전물리학으로는 도저히 설명할 수 없는 기묘한 성질이 발견됐어요. 4가지 불가사의를 정리해 볼게요(표 1.1「광전효과에서의 4가지 불가사의와 고전 예측의 모순」).

표 1.1: 광전효과에서의 4가지 불가사의와 고전 예측의 모순

불가사의	실험 사실	고전적인 파동의 예측
① 문턱값의 존재	특정 진동수보다 낮은 빛으로는, 아무리 강해도 전자가 나오지 않는다	강한 빛이면 나와야 한다
② 강도에 무관	빛을 강하게 해도, 튀어나오는 전자 1개의 에너지는 변하지 않는다	강한 빛일수록 에너지가 커야 한다
③ 진동수에 비례	빛의 진동수가 높을수록, 전자의 에너지가 크다	강도로 결정되어야 한다
④ 순간적 반응	빛을 비추는 순간 전자가 튀어나온다	에너지 축적에 시간이 걸려야 한다

🔵 카이: 전부, 고전적 예측과 반대잖아요!

🟡 리나: 그래요. 고전적 파동 이론에서는, 빛의 에너지는 진폭(밝기)으로 결정돼요. 파동이 전자에 조금씩 에너지를 전달하고, 충분히 모이면 튀어나온다——그러니까 밝은 빛을 비추면 빨리 모여서 전자가 나와야 해요. 그런데 실험 결과는, 밝기가 아니라 색(진동수)이 결정적이라고 말하고 있어요.

⚪ 메이: 밝기를 올려도 전자의 에너지는 변하지 않고, 색을 바꾸면 변한다……. 파동 이론으로는 전혀 설명이 안 되네요.

Einstein의 광양자 가설——빛은 입자이기도 하다¶

🟡 리나: 여기서 등장하는 것이 Albert Einstein(알베르트 아인슈타인)이에요. 1905년——특수상대론을 발표한 것과 같은 해에, 그는 또 하나의 혁명적 논문을 썼어요.

🔵 카이: 같은 해에 두 개나!?

🟡 리나: Einstein은 Planck의 "에너지 패킷"이라는 아이디어를 한층 더 밀고 나갔어요. Planck는 "빛의 에너지가 띄엄띄엄한 값을 취한다"고 말했지만, Einstein은 더 대담한 것을 주장했어요.

빛 자체가, 에너지 $h\nu$를 갖는 입자의 모임이다.

즉, 빛은 연속적인 파동이 아니라, 에너지의 "패킷(소포)"이 날아다니는 것과 같아요. 이 빛의 입자를, 오늘날 광자(photon)라고 불러요.

🔵 카이: 빛이 알갱이!? 그런데 빛은 파동 아니었나요? 간섭이나 회절 같은 것……

🟡 리나: 그 의문은 당연해요. 19세기 물리학은, Young(영)의 이중 슬릿 실험에서 간섭무늬가 관측되는 것으로부터, 빛이 파동임을 확립했어요. 그런데 "파동이면서 동시에 입자이기도 하다"——이 "파동-입자 이중성(wave-particle duality)"에 대해서는, 다음 장에서 자세히 다룰게요. 지금은 Einstein의 가설로 광전효과가 어떻게 설명되는지에 집중해요.

우박의 비유——왜 색이 결정적인가¶

🟡 리나: Einstein의 설명을 직관적으로 이해하기 위해, 우박의 비유를 쓸게요.

자동차 보닛이 찌그러지는지 여부를 결정하는 것은, 내리는 우박의 총량이 아니라, 한 알 한 알의 크기잖아요? 엄청난 양의 우박이 내려도, 한 알 한 알이 모래알처럼 작으면, 보닛은 찌그러지지 않아요. 반대로, 수는 적어도 한 알이 골프공 크기라면, 한 방에 찌그러져요.

🔵 카이: 아, 그렇구나! 빛도 마찬가지라는 건가요?

🟡 리나: 맞아요. 빛이 아무리 강해도(= 광자가 많아도), 개별 광자의 에너지가 작으면(= 진동수가 낮으면), 전자는 원자에서 튀어나오지 않아요. 반대로, 빛이 약해도, 진동수가 충분히 높으면, 한 알 한 알의 에너지가 크니까 전자가 튀어나와요. 그림 1.7「우박의 비유로 이해하는 광전효과」를 봐 주세요.

그림 1.7: 우박의 비유로 이해하는 광전효과. 왼쪽: 저진동수(빨간 빛)의 광자는 에너지 $h\nu$가 작아서, 아무리 대량으로 비춰도 전자를 튀어나오게 할 수 없다. 오른쪽: 고진동수(자외선)의 광자는 1개의 에너지가 크므로, 소수라도 전자를 튀어나오게 할 수 있다. 광전효과에서 중요한 것은 빛의 세기(광자의 수)가 아니라 색(진동수)이다.

⚪ 메이: 그래서 색이 결정적이고, 세기가 아닌 거네요. 세기는 광자의 수에 대응할 뿐.

광전효과의 방정식¶

🟡 리나: 이것을 정량적으로 써 볼게요. 금속 안의 전자는, 주위의 원자핵의 양전하에 이끌려서 구속되어 있어요——이른바 "벽에 둘러싸인 방" 안에 있는 것과 같아요. 이 벽을 넘어 밖으로 나가기 위해 필요한 최소 에너지를 $W$로 쓰고, 일함수(work function)라고 불러요. $W$는 영어의 Work(일)의 머리글자예요——전자를 떼어내는 "일"에 필요한 최소 에너지라는 뜻이에요. 광전효과가 일어나는 조건은

\[ h\nu \geq W \tag{1.3} \]

이며, 이 조건이 충족될 때, 튀어나온 전자의 운동에너지 $K$는

\[ K = h\nu - W \tag{1.4} \]

🔵 카이: 광자 1개가 갖는 에너지 $h\nu$에서, 전자를 떼어내는 데 쓰이는 에너지 $W$를 뺀 나머지가, 전자의 운동에너지가 되는 거군요……. 심플하네요! 그런데, 광자가 2개 동시에 맞아서 합계 에너지로 전자를 튀어나오게 하는 것은 없나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 사실 매우 강한 레이저 광을 사용하면 "다광자 흡수"라는 현상이 일어나요. 하지만 일반적인 광전효과 실험에서는, 빛의 세기가 그렇게까지 높지 않으니까, 2개의 광자가 거의 동시에 같은 전자에 맞을 확률은 극히 낮아요. 그래서 광자 1개가 전자 1개에 일대일로 에너지를 전달하는 과정이 압도적으로 지배적이고, 식 (1.4)로 충분해요. 자, 식 (1.4)를 보면, 4가지 불가사의가 모두 설명돼요(표 1.2「Einstein의 광양자 가설에 의한 광전효과의 설명」).

표 1.2: Einstein의 광양자 가설에 의한 광전효과의 설명

불가사의	Einstein의 설명
① 문턱값	$h\nu < W$이면 광자 1개의 에너지가 벽을 넘기에 부족하므로 전자가 나오지 않는다
② 강도 무관	광자 1개의 에너지는 $h\nu$로 결정되며, 광자의 수(= 강도)에 의존하지 않는다
③ 진동수에 비례	$K = h\nu - W$이므로, $\nu$가 클수록 $K$가 크다
④ 순간적 반응	광자 1개가 순간적으로 전자에 에너지를 전달한다. 축적이 필요 없다

⚪ 메이: 전부 하나의 식으로 설명되어 버리네요.

🟡 리나: 그림 1.8「광전효과의 운동에너지와 진동수의 관계」를 봐 주세요. $K$를 $\nu$에 대해 그래프로 그리면, 기울기 $h$인 직선이 돼요. 직선이 $K = 0$과 만나는 점의 진동수 $\nu_0 = W/h$가 문턱 진동수——이보다 낮은 진동수의 빛으로는, 아무리 강하게 해도 전자가 튀어나오지 않아요. 금속의 종류에 따라 문턱 진동수(즉 절편 $-W$)는 달라지지만, 기울기는 모두 같아요——이것이 Planck 상수의 실험적 결정법 중 하나예요.

그림 1.8: 광전효과의 운동에너지와 진동수의 관계. 광전효과에서 전자의 운동에너지 $K = h\nu - W$의 직선 관계. 금속에 따라 문턱값 $\nu_0 = W/h$가 다르지만, 기울기는 모두 공통으로 Planck 상수 $h$를 준다. 직선이 $K = 0$과 만나는 점이 문턱 진동수로, 그보다 낮은 진동수의 빛으로는 아무리 강해도 전자가 튀어나오지 않는다.

🟡 리나: Einstein은 이 연구로 노벨상을 수상했어요. 상대성이론이 아니라, 광전효과 이론으로요.

🔵 카이: 헐! 상대론이 아니라요.

Einstein은 양자론의 창시자 중 한 사람이다¶

🟡 리나: 여기서 강조해 두고 싶은 것이 있어요. Einstein은 나중에 양자역학을 비판한 것으로 유명하지만——"신은 주사위를 던지지 않는다"라는 말을 들어본 적 있죠?

🔵 카이: 아, 들어본 적 있어요.

🟡 리나: 하지만 그건 나중 이야기예요. 1905년 시점에서는, Einstein은 양자론을 만들어낸 쪽의 사람이었어요. Planck가 "에너지는 띄엄띄엄이다"라고 말하고, Einstein이 "빛 자체가 알갱이다"라고 말했어요. 더 나아가 1917년에는 "유도 방출(stimulated emission)"이라는 개념을 도입해서, 이것은 나중에 레이저의 원리가 돼요. Einstein은 양자론의 창시자 중 한 사람——이 점을 잊지 마세요. 뒷 장에서, 이 창시자가 비판자로 재등장하는 극적인 장면이 올 거예요.

⚪ 메이: 자신이 만들어낸 이론을, 나중에 비판한다……. 드라마틱하네요.

✅ 이해도 체크: Einstein의 광양자 가설은 Planck의 양자 가설과 어디가 다를까요? 양자의 주장의 차이를 설명해 보세요.

답

Planck는 "진동수 $\nu$인 빛의 에너지가 $h\nu$의 정수배 값만 취할 수 있다"고 주장했다(에너지의 이산화). 반면 Einstein은 "빛 자체가 에너지 $h\nu$를 갖는 입자(광자)의 모임이다"라고 주장했다. 즉 Einstein은, 이산성을 빛의 방출·흡수 방식이 아니라, 빛의 존재 자체의 성질로 파악한 점이 더 대담했다.

✅ 이해도 체크: 광전효과에서, 빛의 "세기"를 올려도 튀어나오는 전자의 에너지가 변하지 않는 이유를, 광자의 개념을 사용하여 설명해 보세요.

답

빛의 세기는 광자의 수에 대응한다. 개별 광자의 에너지는 $h\nu$(진동수로 결정)이며, 세기를 올려도 광자 1개당 에너지는 변하지 않는다. 전자를 튀어나오게 하는 것은 광자 1개의 일이므로, 튀어나오는 전자의 에너지 $K = h\nu - W$는 세기에 의존하지 않는다.

📝 연습문제:

일함수와 문턱 진동수의 계산 → 문제 B-2. 일함수와 문턱 진동수

1.4　위기 ③: 원자의 안정성 문제¶

Rutherford의 원자 모형——태양계와 같은 원자¶

🟡 리나: 세 번째 위기는 "원자의 안정성" 문제예요. 이것이 가장 심각했다고 해도 과언이 아니에요.

🔵 카이: 원자는 안정하게 존재하고 있잖아요? 뭐가 문제인 거예요?

🟡 리나: 문제는, "고전물리학에 따르면, 원자는 안정하게 존재할 수 없다"는 거예요. 먼저 원자의 구조부터 확인해 볼게요. 1911년, Ernest Rutherford(어니스트 러더퍼드)는 유명한 금박 실험으로 원자의 구조를 밝혀냈어요. 결과는 이래요——원자의 중심에, 양전하를 가진 작고 무거운 원자핵이 있고, 그 주위를 음전하의 전자가 돌고 있어요. 태양계와 같은 구조예요.

⚪ 메이: 고등학교에서도 배웠어요. 그런데 구체적인 스케일은 어느 정도인가요?

🟡 리나: 실험에 따르면, 원자의 반지름은 약 $10^{-10}\;\mathrm{m}$ 정도인 반면, 원자핵의 반지름은 약 $10^{-15}\;\mathrm{m}$ 정도예요. 원자핵은 원자 전체에 비해 10만분의 1 크기밖에 안 돼요. 전자는 원자핵에서 멀리 떨어져서 돌고 있는 셈이에요. 그림 1.9「Rutherford의 원자 모형」을 봐 주세요.

그림 1.9: Rutherford의 원자 모형. 중심의 양전하를 가진 원자핵(빨강) 주위를, 음전하의 전자(초록)가 원궤도로 돌고 있다. 원자 반지름 $\sim 10^{-10}$ m에 비해, 원자핵 반지름은 $\sim 10^{-15}$ m으로 압도적으로 작다. 이 모형은 실험 사실을 설명하지만, 다음에 보듯이 고전 전자기학과 양립할 수 없다.

🔵 카이: 태양계 모형, 알기 쉽네요. 뭐가 문제인 걸까……

고전 전자기학의 예언——원자는 순식간에 붕괴한다¶

🟡 리나: 문제는 Maxwell의 전자기학에 있어요. 이 이론에 따르면, 가속도 운동을 하고 있는 전하는 반드시 전자기파를 방출한다고 해요.

🔵 카이: 원운동은……가속도 운동이죠. 구심 가속도가 있으니까.

🟡 리나: 맞아요! 원운동하는 전자는 항상 구심 가속도를 갖고 있으니까, Maxwell의 이론에 따르면, 전자는 항상 전자기파를 방출하고 있어야 해요. 전자기파를 방출한다는 것은, 에너지를 잃는다는 뜻이에요.

🔵 카이: 에너지를 잃으면……전자는 어떻게 되나요?

🟡 리나: 나선을 그리며 원자핵에 떨어져 버려요. 고전 전자기학에는 "가속하는 전하가 방출하는 파워"를 주는 공식(Larmor의 공식)이 있어요. 대략적으로 말하면, 전하 $e$가 가속도 $a$로 운동할 때, 방출되는 파워(단위 시간당 에너지 손실)는 $P \propto e^2 a^2 / c^3$에 비례해요. 수소 원자의 전자는 원자핵으로부터 $r \sim 10^{-10}\;\mathrm{m}$ 거리에서 구심 가속도 $a \sim v^2/r$을 받고 있으니까, 방출 파워를 추정할 수 있고, 전자의 전체 에너지($\sim$ 수 eV)를 이 파워로 나누면 붕괴 시간이

\[ \tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s} \tag{1.5} \]

정도——즉 약 100억분의 1초 만에 끝나 버려요. 구체적인 계산은 연습문제에서 도전해 보세요(Larmor 공식의 정확한 형태는 문제에서 주어질 테니, 지금 외울 필요는 없어요).

🔵 카이: 한순간이잖아요! 그런데 실제로는 원자가 수억 년이나 안정하게 존재하는데……

🟡 리나: 맞아요. 고전물리학에 따르면, 원자는 전혀 안정하게 존재할 수 없어요. 그런데 현실에서는, 여러분의 몸을 구성하는 원자는 수십억 년 전부터 붕괴하지 않고 존재하고 있어요. 이것은 명백한 모순이에요. 그림 1.10「고전적 원자의 전자기 방출에 의한 붕괴」에, 전자가 나선을 그리며 떨어지는 모습을 그렸어요.

그림 1.10: 고전적 원자의 전자기 방출에 의한 붕괴. 고전 전자기학이 예언하는 원자의 붕괴. 전자는 전자기파를 방출하며 에너지를 잃고, 나선을 그리며 원자핵에 떨어진다. 약 $10^{-11}$초 만에 붕괴가 완료된다.

🔵 카이: 이건 심각하네요……. Newton 역학과 Maxwell 전자기학 모두를 인정하면, 원자가 존재할 수 없게 되는 거잖아요.

🟡 리나: 하나 더 문제가 있어요. 만약 전자가 나선을 그리며 떨어진다면, 그 과정에서 방출되는 전자기파의 진동수는 연속적으로 변해야 해요. 왜냐하면, 궤도 반지름이 연속적으로 작아지니까, 전자의 회전 주파수도 연속적으로 변하거든요. 그런데 실험에서 원자가 내는 빛을 조사하면, 특정 진동수의 빛만 관측돼요. 스펙트럼 선이 띄엄띄엄인 거예요.

⚪ 메이: 연속적으로 변해야 하는데, 실제로는 띄엄띄엄——이것도 고전물리학으로는 설명할 수 없는 모순이네요.

🟡 리나: 맞아요. 원자의 안정성과 스펙트럼의 이산성——이 2가지 수수께끼를 동시에 해결한 것이, 다음에 볼 Bohr의 모형이에요.

✅ 이해도 체크: 고전 전자기학에 따르면 원자가 안정하게 존재할 수 없는 이유를, 2문장 이내로 설명해 보세요.

답

원운동하는 전자는 가속도 운동을 하고 있으므로, Maxwell의 전자기학에 따르면 전자기파를 방출하며 에너지를 계속 잃는다. 그 결과, 전자는 나선을 그리며 약 $10^{-11}$초 만에 원자핵에 떨어져 버린다.

📝 연습문제:

고전적 원자 붕괴 시간의 크기 추정 → 문제 M-3. 고전적 원자 붕괴 시간의 크기 어림

1.5　Bohr의 원자 모형과 Rydberg 공식¶

원자 스펙트럼——물질의 "지문"¶

🟡 리나: 자, Bohr의 모형에 들어가기 전에, 실험 사실을 조금 더 자세히 살펴볼게요. 원자가 내는 빛을 프리즘으로 분해하면, 특정 진동수의 빛만이 가는 선(휘선)으로 나타나요. 이것을 스펙트럼(spectrum)이라고 불러요.

🔵 카이: 무지개처럼 모든 색이 나오는 게 아니라, 특정 색만 나오는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 스펙트럼은 원소마다 고유한 패턴을 가지고 있어서, 물질의 "지문" 같은 거예요. 특히 수소 원자의 스펙트럼은 가장 단순하고, 규칙적인 패턴을 보여요.

1885년, Balmer(발머)는 수소 원자의 가시광 영역 스펙트럼 선이, 어떤 간단한 수식에 따른다는 것을 발견했어요. 나중에 이것은 일반화되어, Rydberg(뤼드베리) 공식이라 불리는 형태가 됐어요.

✅ 이해도 체크: 원자의 스펙트럼이 "이산적"이라는 것은 어떤 의미일까요? 또한, 이것은 고전물리학의 예측과 어떻게 모순될까요?

답

원자가 방출하는 빛은 모든 진동수(색)를 포함하는 것이 아니라, 특정 진동수만이 가는 휘선으로 나타난다. 고전 전자기학에서는, 나선을 그리며 떨어지는 전자의 궤도 반지름이 연속적으로 변하므로, 방출되는 빛의 진동수도 연속적으로 변해야 하며, 이산적인 스펙트럼 선은 설명할 수 없다.

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \tag{1.6} \]

여기서 - $\lambda$: 방출되는 빛의 파장 - $R_\infty$: Rydberg 상수. $R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}$ - $n, m$: 양의 정수($m > n$)

🔵 카이: $n$과 $m$에 구체적인 수를 넣으면, 어떻게 되나요?

🟡 리나: $n = 1$로 하고 $m = 2, 3, 4, \ldots$로 하면 자외선 영역의 계열이 얻어져요. 이것을 Lyman(라이먼) 계열이라고 불러요. $n = 2$로 하고 $m = 3, 4, 5, \ldots$로 하면 가시광 영역의 계열——Balmer(발머) 계열——이 돼요.

⚪ 메이: $n$의 값으로 계열이 결정되고, $m$을 바꾸면 같은 계열 안의 개별 선이 나오는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 이 공식은 실험 데이터를 완벽하게 재현해요. 하지만 1885년 시점에서는, 왜 이런 공식이 성립하는지, 아무도 설명할 수 없었어요. 정수 $n$과 $m$은 무엇을 의미하는 건지? 왜 $1/n^2$이라는 형태인지? 이 수수께끼에 답한 것이 Bohr예요.

Bohr의 3가지 가설¶

🟡 리나: 1913년, 덴마크의 물리학자 Niels Bohr(닐스 보어)는, Planck와 Einstein의 양자 가설을 원자에 적용하여, 대담한 모형을 제안했어요. 3가지 가설로 이루어져 있어요.

가설 1: 정상 상태의 존재

전자는 특정 궤도(정상 상태)에 있을 때만 안정하게 존재할 수 있고, 전자기파를 방출하지 않는다. 허용되는 궤도는 띄엄띄엄이고, 그 사이의 궤도는 존재하지 않는다.

🔵 카이: 에엣, "방출하지 않는다"고 선언해 버리는 건가요? Maxwell의 이론에 어긋나지 않나요?

🟡 리나: 어긋나요. Bohr는 "원자의 세계에서는 고전 전자기학이 그대로는 성립하지 않는다"는 것을, 가설로서 명시적으로 놓은 거예요. 대담하죠?

가설 2: 양자 조건

허용되는 궤도는, 전자의 각운동량 $L$이 특정 값을 취하는 것만. 왜 각운동량인지 하면, Planck의 $h$의 단위가 $\mathrm{J \cdot s}$(에너지 × 시간)인데, 이것은 각운동량과 같은 차원을 갖기 때문이에요. 확인해 볼게요——각운동량 $L = mvr$의 차원은 $\mathrm{kg \cdot (m/s) \cdot m} = \mathrm{kg \cdot m^2/s}$. 한편 $\mathrm{J \cdot s} = \mathrm{kg \cdot m^2/s^2 \cdot s} = \mathrm{kg \cdot m^2/s}$. 확실히 같죠. 그래서 "$h$에 관련된 양자 조건을 부과한다면, 각운동량이 자연스러운 후보"라는 거예요.

🔵 카이: 차원이 맞기 때문에, 각운동량에 조건을 부과하는 것이 자연스러운 거군요.

🟡 리나: 각운동량이란 "회전의 세기"를 나타내는 양이에요. 직선 운동의 세기는 운동량 $mv$(질량 × 속력)로 표현되잖아요——고등학교 물리에서도 나왔을 거예요. 회전 운동의 세기는 "운동량 $mv$ × 회전 반지름 $r$"로 표현돼요. 왜 반지름을 곱하는지 하면, 같은 속력으로 돌고 있어도, 회전 반지름이 클수록 "회전을 멈추기 어렵기" 때문이에요——예를 들어 줄 끝에 돌을 매달아 돌릴 때, 줄이 길수록 멈추기 어렵잖아요. 같은 속력이라도, 먼 곳에서 돌고 있을수록 회전의 세기가 커요. 회전의 세기는 "속력 × 반지름"으로 커지는 거예요. 즉 질량 $m$인 물체가 반지름 $r$의 원궤도를 속력 $v$로 돌 때 $L = mvr$로 정의돼요. Bohr의 조건은

\[ L = n\hbar \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \tag{1.7} \]

여기서 $\hbar$("에이치바"라고 읽음)$= h / 2\pi$는 Planck 상수를 $2\pi$로 나눈 것으로, 디랙 상수(Dirac constant)라고도 불려요. "왜 $h$ 그 자체가 아니라 $2\pi$로 나누는 거야?"라고 생각할 수 있지만, 이것은 원운동(한 바퀴 $= 2\pi$ 라디안, 즉 $360°$)과 깊이 관련되어 있고, 다음 장에서 de Broglie의 물질파를 배우면 자연스럽게 이해할 수 있어요. $n$은 양자수(quantum number)라 불리는 양의 정수예요. $n = 0$은 허용되지 않아요——각운동량이 0이면 전자가 회전하지 않으므로, 궤도가 존재하지 않게 되니까요.

🔵 카이: 그렇군요, $n = 0$이면 "안 돌고 있는" 거니까 원자핵에 떨어져 버린다는 거네요. ……그런데, 정말로 "안 돌고 있는" 상태는 절대로 있을 수 없나요? 나중에 뒤집히거나 하지 않나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. Bohr 모형에서는 "전자가 원궤도를 돌고 있다"는 그림이 전제이니까, $n = 0$(회전 없음)이면 궤도 반지름도 0이 되어 전자가 원자핵과 겹쳐 버려요——모형으로서 의미를 이루지 못해요. 그래서 Bohr 모형의 틀 안에서는 $n \geq 1$은 논리적으로 올바른 제한이에요. 다만 예고해 두면, 나중의 양자역학에서는 각운동량이 0인 상태도 허용돼요——그때 전자는 "돌고 있는" 것이 아니라, 훨씬 다른 존재 방식을 하고 있어요. 그건 뒤의 장에서 자세히 다룰게요. 지금은 Bohr 모형의 틀 안에서 $n \geq 1$로 진행해요.

⚪ 메이: 정리하면, 가설 2의 포인트는 "각운동량이 $\hbar$의 정수배만 허용된다"는 거네요. 아까의 $h$ 값을 $2\pi$로 나누면

\[ \hbar \equiv \frac{h}{2\pi} \simeq 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \tag{1.8} \]

로, $h$와 마찬가지로 극히 작아요.

가설 3: 진동수 조건

전자가 에너지 $E_m$인 궤도에서 에너지 $E_n$인 궤도($E_m > E_n$)로 "뛰어 옮길" 때, 그 에너지 차이에 대응하는 진동수의 빛이 방출된다.

\[ h\nu = E_m - E_n \tag{1.9} \]

⚪ 메이: 가설 3은 Planck의 $E = h\nu$를 사용하고 있네요. 에너지 차이가 정확히 광자 1개의 에너지가 되는 거군요.

🔵 카이: Planck → Einstein → Bohr로, 앞사람의 아이디어를 다음 사람이 발전시키고 있군요. 그런데, "뛰어 옮긴다"는 게 구체적으로 어떤 이미지인지……

🟡 리나: 좋은 의문이에요. "뛰어 옮긴다"는 것은, 중간 상태를 거치지 않고 순간적으로 다른 궤도로 이동한다는 것——고전적인 "서서히 이동한다"와는 전혀 다른, 양자론 특유의 묘사예요. 그림 1.11「Bohr의 진동수 조건」을 봐 주세요. 전자가 높은 준위에서 낮은 준위로 뛰어 옮길 때, 에너지 차이에 대응하는 광자가 방출되는 모습을 도시했어요. 그리고, 시작점과 끝점의 조합마다 다른 진동수의 빛이 방출되니까, 스펙트럼 선이 이산적이 되는 거예요.

그림 1.11: Bohr의 진동수 조건. 전자가 에너지 준위 $E_m$에서 $E_n$($m > n$)으로 전이할 때, 에너지 차이 $E_m - E_n$에 같은 에너지 $h\nu$를 가진 광자가 방출된다. 전이의 시작점과 끝점 조합마다 다른 진동수의 빛이 방출되며, 이것이 이산적인 스펙트럼 선에 대응한다.

🟡 리나: 정리를 위해, 3명의 양자화 아이디어를 비교해 둘게요(표 1.3「Planck·Einstein·Bohr의 양자화 아이디어 비교」).

표 1.3: Planck·Einstein·Bohr의 양자화 아이디어 비교

물리학자	무엇을 양자화했나	식	대담함의 수준
Planck (1900)	진동자의 에너지	$E = nh\nu$	"계산 트릭"인 줄 알았음
Einstein (1905)	빛 자체(광자)	$E_{\text{photon}} = h\nu$	빛의 존재 양식을 바꿨음
Bohr (1913)	전자의 궤도(각운동량)	$L = n\hbar$	고전 전자기학을 일부 포기

🔵 카이: 점점 대담해지는 느낌이에요. 계산 트릭 → 빛의 본질 → 고전 이론의 포기……

수소 원자의 에너지 준위 유도¶

🟡 리나: 그러면, Bohr의 가설을 수소 원자에 적용하여, 구체적으로 계산해 볼게요. 수소 원자는 가장 단순한 원자로, 양성자 1개(전하 $+e$)의 원자핵 주위를 전자 1개(전하 $-e$, 질량 $m_e$)가 돌고 있어요.

🔵 카이: 태양계 모형의 가장 단순한 버전이네요.

🟡 리나: 전자가 반지름 $r$의 원궤도를 속력 $v$로 돌고 있다고 합시다. 원운동의 조건은, Coulomb(쿨롱) 힘이 구심력을 제공하는 것이에요. 고등학교에서는 Coulomb 힘을 $F = kq_1q_2/r^2$로 썼죠. 여기서는 물리학에서 표준적인 표기를 사용하여, Coulomb 상수 $k$를 $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$으로 다시 써요. $\varepsilon_0$은 진공의 유전율이라 불리는 상수($\varepsilon_0 \simeq 8.854 \times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$)로, Coulomb 상수 $k$를 $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$으로 다시 쓴 것일 뿐——즉 $k \simeq 8.99 \times 10^9\;\mathrm{N \cdot m^2/C^2}$와 같은 정보를 가진 다른 표기법에 불과해요. 고등학교에서 사용한 $k$의 값을 기억하고 있으면, $\varepsilon_0 = 1/(4\pi k)$로 구할 수 있어요. 계산에서는 $\varepsilon_0$의 구체적인 값을 대입하기만 하면 되니까, 단위 $\mathrm{F/m}$의 의미는 지금은 신경 쓰지 않아도 돼요. 수소 원자에서는 $q_1 = +e$(양성자), $q_2 = -e$(전자)이고, 힘의 크기는

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \tag{1.10} \]

좌변이 Coulomb 힘의 크기, 우변이 구심력 $m_e v^2 / r$이에요.

⚪ 메이: 고등학교 물리에서 배운 "만유인력이 구심력을 제공한다"와 같은 구조네요. 중력 대신 Coulomb 힘이 된 것뿐.

🟡 리나: 식 (1.10)을 정리하면

\[ m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \tag{1.11} \]

다음으로, 각운동량의 양자 조건(가설 2)을 사용해요. 원운동의 각운동량은 $L = m_e v r$이니까

\[ m_e v r = n\hbar \tag{1.12} \]

식 (1.12)에서 $v = n\hbar / (m_e r)$을 식 (1.11)에 대입하면

\[ m_e \left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

\[ \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

양변에 $r$을 곱하고 정리하면

\[ r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 \tag{1.13} \]

🔵 카이: 궤도 반지름이 $n^2$에 비례해요! $n = 1$이 가장 작은 궤도네요.

🟡 리나: 맞아요. 그림 1.12「Bohr의 원자 모형에서 허용되는 궤도」에 각 양자수의 궤도를 그렸어요. $n$이 커지면 궤도 반지름이 급속히 넓어지는 것이 보이죠?

그림 1.12: Bohr의 원자 모형에서 허용되는 궤도. $r_n = a_0 n^2$에 의해, $n = 1, 2, 3, 4$에 대해 궤도 반지름은 $a_0, 4a_0, 9a_0, 16a_0$으로 제곱으로 넓어진다. 궤도 사이의 중간적인 반지름은 허용되지 않으며, 전자는 띄엄띄엄한 궤도 위에만 존재할 수 있다.

🟡 리나: $n = 1$일 때의 반지름을 보어 반지름(Bohr radius)이라 부르고, $a_0$으로 써요.

\[ a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \simeq 0.529 \times 10^{-10}\;\mathrm{m} \simeq 0.529\;\text{Å} \tag{1.14} \]

⚪ 메이: 약 $0.5 \times 10^{-10}\;\mathrm{m}$……원자 크기의 자릿수와 일치하네요!

🟡 리나: 자, 에너지를 구해 볼게요. 전자의 전체 에너지는, 운동에너지와 정전기력에 의한 위치에너지(Coulomb 퍼텐셜 에너지)의 합이에요. 위치에너지의 사고방식을 확인해 둘게요.

🔵 카이: 위치에너지는, 고등학교에서는 "지면을 기준으로 $mgh$"라고 배웠는데, 원자의 경우는 무엇을 기준으로 하나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 원자의 경우, "전자가 원자핵으로부터 무한히 멀어져서, 더 이상 인력을 느끼지 않는 상태"를 기준(0)으로 해요. 지면이 없는 우주 공간에서, "완전히 자유로운 상태"를 0으로 정하는 거예요. 그러면, 인력으로 끌어당기는 2개의 전하가 거리 $r$까지 가까워졌을 때, 위치에너지는 $-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$이 돼요. 이것은 "전자를 거리 $r$에서 무한원까지 끌어당기는 일을 할 때, Coulomb 인력에 거슬러서 하는 일"에 마이너스를 붙인 양이에요. 인력에 이끌려 가까워질수록 에너지가 내려가니까 부호는 마이너스——만유인력의 위치에너지 $-GMm/r$과 같은 구조예요.

⚪ 메이: 무한원을 0으로 하고, 구속되어 있을수록 마이너스가 크다——직관적으로 이해하기 쉽네요.

🟡 리나: 유도의 상세함은 연습문제에 맡기지만, 지금은 "힘이 $1/r^2$에 비례할 때, 거리 $r$에서 무한원까지 끌어내는 일을 계산하면 $1/r$에 비례한다"고 기억해 두세요. 고등학교 수학으로 말하면, Coulomb 힘의 크기는 $F = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r'^2)$이었잖아요. 전자를 거리 $r$에서 $R$까지 인력에 거슬러 끌어내는 일은 "힘 × 이동거리"의 적분이니까

\[ W = \int_r^R \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\,dr' \]

예요(끌어내는 방향으로 힘을 가하니까, 힘과 이동 방향이 같아서 $\cos\theta = 1$이에요). 먼저 $r$ 의존성에만 주목하면, $1/r'^2 = r'^{-2}$이니까, 고등학교에서 배운 $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$($n \neq -1$)의 공식을 사용해요. $n = -2$를 대입하면——$n + 1 = -1$이니까 $\int r'^{-2}\,dr' = r'^{-1}/(-1) = -1/r'$이에요.

🔵 카이: 아, $r'^{-1}$은 $1/r'$이죠. 마이너스가 붙어서 $-1/r'$이군요.

🟡 리나: 맞아요. 정적분은 "상한의 값 − 하한의 값"이니까 $[-1/r']_r^R = (-1/R) - (-1/r) = 1/r - 1/R$이에요. 여기서 $R$을 무한히 크게 하면 $1/R$은 점점 0에 가까워지잖아요($R = 100$이면 $0.01$, $R = 10000$이면 $0.0001$……). 그래서 $R \to \infty$의 극한에서 $1/R \to 0$이 되어, 적분은 $1/r$에 수렴해요. "상한을 무한대로 한다"는 것은 고등학교 범위를 조금 넘지만, 요점은 "충분히 멀리 떨어뜨리면 $1/R$은 무시할 수 있을 만큼 작아진다"는 거예요. 앞에 꺼낸 비례상수 $e^2/(4\pi\varepsilon_0)$를 곱해 되돌리면, "끌어내는 일"은 $+e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$. 위치에너지는 "무한원을 기준(0)으로 하여, 거기서 현재 위치까지 오면서 내려간 에너지"이니까, 부호를 반전시켜 $-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$이에요.

🔵 카이: 적분으로 힘을 거리에 대해 합산하면, $1/r^2$이 $1/r$로 바뀌는 거군요. 위치에너지의 부호가 마이너스인 것도, 구속되어 있을수록 낮다는 의미로 납득이에요.

🟡 리나: 즉:

\[ E = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

식 (1.11)의 양변을 2로 나누면 $\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$이므로

\[ E = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} \]

여기에 $r_n = a_0 n^2$을 대입하면

\[ E_n = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{1.15} \]

⚪ 메이: 운동에너지가 위치에너지 크기의 절반이고, 전체적으로 마이너스가 된다——구속 상태의 전형적인 패턴이네요.

🟡 리나: 여기서 상수 부분의 값을 구해 볼게요. 원자나 분자의 에너지를 다룰 때, 줄(J)로 하면 수치가 극단적으로 작아져서 불편해요. 아까 도입한 $\mathrm{eV}$(전자볼트, $1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}$)를 사용할게요.

식 (1.15)의 상수 부분에 $e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}$, $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$, $a_0 = 0.529 \times 10^{-10}\;\mathrm{m}$을 대입하면

\[ \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{8\pi \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.529 \times 10^{-10}} \simeq 2.18 \times 10^{-18}\;\mathrm{J} \simeq 13.6\;\mathrm{eV} \]

따라서

\[ E_n = -\frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \tag{1.16} \]

🔵 카이: 에너지가 $1/n^2$에 비례하여 띄엄띄엄한 값을 취해요! $n = 1$이 가장 에너지가 낮은 상태(바닥 상태)이고, $n$이 커질수록 에너지가 높아져요.

🟡 리나: 그림 1.13「수소 원자의 에너지 준위 그림」에 에너지 준위를 도시했어요. $n$이 커질수록 준위 간격이 좁아지는 것이 보이죠?

그림 1.13: 수소 원자의 에너지 준위 그림. $n = 1$(바닥 상태)에서 $n = \infty$(전리)까지, 에너지는 $-13.6/n^2$ eV로 주어진다. 화살표는 전자의 전이(빛의 방출)를 나타낸다.

Rydberg 공식의 유도¶

🟡 리나: 드디어 Rydberg 공식을 유도할게요. 진동수 조건(가설 3)을 사용하여, 전자가 양자수 $m$인 상태에서 양자수 $n$인 상태($m > n$)로 전이할 때 방출되는 빛의 진동수를 구해 볼게요.

전자가 높은 에너지 준위 $E_m$에서 낮은 에너지 준위 $E_n$으로 떨어질 때, $m > n$이니까 $1/m^2 < 1/n^2$예요. 예를 들어 $m = 3,\; n = 2$면 $E_3 = -13.6/9 \simeq -1.51\;\mathrm{eV}$, $E_2 = -13.6/4 = -3.40\;\mathrm{eV}$. 수직선 위에서 $-1.51$은 $-3.40$보다 오른쪽(큰 쪽)이니까 $E_m > E_n$이에요. 일반적으로, 음수는 절댓값이 작을수록 크죠. 따라서

\[ h\nu = E_m - E_n = -\frac{13.6\;\mathrm{eV}}{m^2} - \left(-\frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2}\right) = 13.6\;\mathrm{eV}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

$m > n$이므로 $1/n^2 - 1/m^2 > 0$이 되어, $h\nu > 0$이 보장돼요.

🔵 카이: 오오, 제대로 양의 에너지가 나와요. 그것이 광자로 날아가는 거군요.

🟡 리나: 빛의 진동수 $\nu$와 파장 $\lambda$ 사이에는 $c = \nu\lambda$라는 관계가 있어요($c \simeq 3.0 \times 10^8\;\mathrm{m/s}$는 광속). 파동이 1초 동안 $\nu$번 진동하고, 1파장분의 길이가 $\lambda$이니까, 1초 동안 진행하는 거리가 $\nu\lambda = c$라는 거예요. 이것을 사용하면

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

여기서, Rydberg 공식 (1.6)의 $R_\infty$를 기본 상수로 나타내 볼게요. 목표는 $1/\lambda = R_\infty(1/n^2 - 1/m^2)$의 $R_\infty$가 무엇인지 밝히는 거예요.

위에서 얻은 $h\nu = 13.6\;\mathrm{eV}\,(1/n^2 - 1/m^2)$의 양변을 $hc$로 나누면($\nu/c = 1/\lambda$이니까)

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

그러니까 $R_\infty = 13.6\;\mathrm{eV}/(hc)$예요. 이것을 기본 상수로 풀어 쓰기 위해, 식 (1.15)의 상수 부분 $e^2/(8\pi\varepsilon_0 a_0)$에, 식 (1.14)의 $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)$를 대입할게요. $1/a_0 = m_e e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar^2)$이니까

\[ \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2} = \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} \]

즉 $13.6\;\mathrm{eV} = m_e e^4/(32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2)$예요($32\pi^2$이 어디서 나왔는지 하면, $e^2/(8\pi\varepsilon_0 a_0)$의 분모 $8\pi\varepsilon_0$와, $1/a_0 = m_e e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar^2)$의 분모 $4\pi\varepsilon_0\hbar^2$를 곱할 때, $8\pi \times 4\pi = 32\pi^2$이 나타나는 거예요). 이것을 $hc$로 나누면

\[ R_\infty = \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2 \cdot hc} \]

여기서 $\hbar = h/(2\pi)$이니까 $\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)$를 대입할게요. 분자는 $m_e e^4$(아까 구한 대로)이고, 분모를 보면

\[ 32\pi^2\varepsilon_0^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2} \cdot hc = \frac{32\pi^2}{4\pi^2}\,\varepsilon_0^2 \cdot h^2 \cdot hc = 8\varepsilon_0^2 \cdot h^2 \cdot h \cdot c = 8\varepsilon_0^2 h^3 c \]

🔵 카이: 음, $\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)$를 분모에 대입하고, $32\pi^2$과 $4\pi^2$에서 $\pi$가 약분되어 $32/4 = 8$이 되고, $h^2 \cdot h = h^3$이니까 $8\varepsilon_0^2 h^3 c$네요. 그런데 아까 $\hbar = h/(2\pi)$라고 나왔는데, 여기서는 $h$ 그대로 쓰는군요. 사용 구분의 기준이 있나요?

🟡 리나: 좋은 관찰이에요. 지금 계산에서는 $\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)$를 대입한 것으로 $\pi$가 깔끔하게 약분되어, 최종적으로 $h$만의 식이 됐잖아요? 만약 반대로 $h = 2\pi\hbar$를 대입해서 $\hbar$로 다시 쓰면, $\pi$가 부활해서 식이 조금 복잡해져요. 일반적인 사용 구분으로는, 진동수 $\nu$와 조합할 때는 $h$($E = h\nu$), 각진동수 $\omega$와 조합할 때는 $\hbar$($E = \hbar\omega$)가 자연스러워요——$2\pi$가 상쇄되어 깔끔해지니까요. 각진동수 $\omega$는 $\omega = 2\pi\nu$로 정의되는 양으로, 진동수 $\nu$가 "1초당 몇 번 진동하는가"인 반면, $\omega$는 "1초당 몇 라디안(각도) 진행하는가"를 나타내요. 1번 진동하면 $2\pi$ 라디안($360°$) 진행하니까 $\omega = 2\pi\nu$예요. 다음 장 이후에서 본격적으로 사용할 테니, 지금은 $h$와 $\hbar$의 사용 구분 기준만 기억해 두세요.

⚪ 메이: 즉 "$\pi$가 사라져서 깔끔해지는 쪽을 선택한다"는 것이 실용적인 방침이네요.

🟡 리나: 역사적으로도 Rydberg 상수는 $h$로 쓰는 것이 표준이니까, 여기서는 이대로 진행할게요. 실제로 $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\;\mathrm{kg}$, $e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}$, $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$, $h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}$, $c = 2.998 \times 10^8\;\mathrm{m/s}$를 대입하면 $R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}$이 되어, 실험값과 완벽히 일치해요. 정리하면

\[ R_\infty = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}} \tag{1.17} \]

이것을 사용하면

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

🔵 카이: 이거, 아까의 Rydberg 공식 (1.6) 그 자체잖아요! 30년간 "왜 이 식이 성립하는지" 몰랐던 것이, Bohr의 3가지 가설만으로 나오다니……

🟡 리나: 맞아요! Bohr의 모형은, 30년간 수수께끼였던 Rydberg 공식을 이론적으로 유도해 냈어요. 게다가 Rydberg 상수의 값을 기본 상수($m_e$, $e$, $\varepsilon_0$, $h$, $c$)만으로 계산할 수 있고, 실험값과 완벽히 일치했어요. 그림 1.14「수소 원자의 스펙트럼 계열의 파장 분포(로그 축)」에, 각 계열이 어떤 파장 영역에 나타나는지를 정리했어요.

그림 1.14: 수소 원자의 스펙트럼 계열의 파장 분포(로그 축). $n_f = 1$로 떨어지는 Lyman 계열은 자외선, $n_f = 2$로 떨어지는 Balmer 계열은 가시광(노란색 대역), $n_f = 3$으로 떨어지는 Paschen 계열은 적외선에 나타난다. 각 계열의 시작점은 전리 에너지에 대응하며, 높은 $n_i$일수록 선이 밀집한다.

🟡 리나: 여기까지의 성과를 정리해 둘게요. Bohr의 모형이 해결한 것: - 원자의 안정성: 전자는 정상 상태에 있을 때 전자기파를 방출하지 않는다(가설 1) - 스펙트럼의 이산성: 허용되는 궤도가 띄엄띄엄이니까, 에너지 차이도 띄엄띄엄이고, 방출되는 빛의 진동수도 띄엄띄엄 - Rydberg 공식의 유도: $E_n = -13.6\;\mathrm{eV}/n^2$과 진동수 조건으로 완전히 재현

⚪ 메이: 깔끔하게 3가지 위기 모두에 대응하고 있네요.

Bohr 모형의 한계¶

🟡 리나: 다만, Bohr의 모형에는 한계가 있다는 것도 말해 둬야 해요.

🔵 카이: 한계요? 그렇게 훌륭하게 Rydberg 공식을 유도했는데……

🟡 리나: Bohr의 모형은 수소 원자(전자 1개)의 스펙트럼을 훌륭히 설명했지만, 전자가 2개 이상인 원자(헬륨 이후)에는 적용할 수 없었어요. 또한, "왜 정상 상태에서는 방출하지 않는가" "왜 각운동량이 $\hbar$의 정수배인가"——이런 "왜"에는 답할 수 없었어요. 정리해 볼게요(표 1.4「Bohr 모형의 성공과 한계」).

표 1.4: Bohr 모형의 성공과 한계

성공한 점	한계·미해결 점
수소 원자의 스펙트럼을 완전히 재현	헬륨 이후의 다전자 원자에 적용 불가
Rydberg 상수를 기본 상수로부터 유도	"왜 정상 상태에서 방출하지 않는가"에 답 없음
원자의 안정성을 설명	"왜 $L = n\hbar$인가"의 근거 없음
원자 크기의 올바른 자릿수를 예언	스펙트럼 선의 강도(밝기)를 예언 불가

🔵 카이: "왜 $\hbar$의 정수배인가"라는 건, 확실히 Bohr는 "그렇게 가정한다"고 말했을 뿐, 이유는 설명하지 않았잖아요. 가정이 올바른 결과를 내놓는다고 해서, 가정 자체가 올바르다고는 할 수 없는……?

🟡 리나: 바로 그 말이에요. 프롤로그에서 이야기한 "물리의 모델은 실험과 모순되지 않는 최선의 가설에 불과하다"는 사고방식이에요. Bohr의 모형은 수소 원자의 실험과 모순되지 않지만, "왜 그렇게 되는가"를 설명하는, 더 깊은 이론이 필요해요——그것이 "잠정적인 모델"이라고 불리는 이유예요.

⚪ 메이: 올바른 답을 내놓지만, 그 근거가 불명확——진정한 "왜"는, 더 깊은 이론이 필요하다는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 진정한 답——"왜"에 대한 답——은, 1925-26년에 Heisenberg(하이젠베르크)와 Schrödinger(슈뢰딩거)가 완성한 양자역학에 의해 비로소 주어지게 돼요. Bohr의 모형은, 고전물리학에서 양자역학으로의 가교 역할을 한, 역사적으로 극히 중요한 모형이었어요.

🔵 카이: 고전 → Bohr → 본격적인 양자역학, 이런 흐름이군요.

🟡 리나: 맞아요. 그리고 이 여행에서는, Bohr 모형의 "왜"에 답하기 위해, 제 4 장 이후에서 확률진폭의 개념부터 양자역학을 한 걸음씩 구축해 갈 거예요.

✅ 이해도 체크: Bohr 모형의 주요 한계를 2가지 들어보세요.

답

① 전자가 2개 이상인 원자(헬륨 이후)의 스펙트럼을 설명할 수 없다. ② "왜 정상 상태에서는 전자기파를 방출하지 않는가" "왜 각운동량이 $\hbar$의 정수배인가"라는 근본적 이유를 설명할 수 없다(가설로 놓았을 뿐 유도하지 않았다).

✅ 이해도 체크: Bohr의 양자 조건 $L = n\hbar$를 수소 원자에 적용했을 때, $n = 2$의 궤도 반지름은 $n = 1$의 몇 배일까요?

답

식 (1.13)에서 $r_n \propto n^2$이므로, $r_2 / r_1 = 2^2 / 1^2 = 4$배.

✅ 이해도 체크: 수소 원자의 전자가 $n = 3$에서 $n = 2$로 전이할 때 방출되는 빛의 파장을, Rydberg 공식을 사용하여 계산해 보세요.

답

$\displaystyle \frac{1}{\lambda} = R_\infty\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 1.097 \times 10^7 \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} \simeq 1.524 \times 10^6\;\mathrm{m^{-1}}$

$\lambda \simeq 6.56 \times 10^{-7}\;\mathrm{m} = 656\;\mathrm{nm}$(빨간색 빛——Balmer 계열의 $H_\alpha$ 선).

📝 연습문제:

Bohr 모형에 의한 수소 원자의 이온화 에너지 계산 → 문제 M-1. Bohr 모델에 의한 수소 원자의 에너지 준위 도출

정리——고전물리의 한계와 양자론의 개막¶

🟡 리나: 이 장에서 살펴본 것을 정리해 볼게요(표 1.5「고전물리의 3가지 위기와 양자론에 의한 해결」). 19세기 말, 고전물리학은 3가지 심각한 위기에 직면했어요.

표 1.5: 고전물리의 3가지 위기와 양자론에 의한 해결

위기	문제의 핵심	해결자와 연도	핵심 아이디어
흑체복사의 자외선 파탄	고진동수에서 방출 에너지가 무한대로 발산	Planck (1900)	에너지는 $h\nu$의 정수배(양자 가설)
광전효과의 수수께끼	빛의 색이 결정적이고, 강도는 무관	Einstein (1905)	빛은 $h\nu$의 에너지를 갖는 입자(광자)
원자의 안정성	전자가 나선을 그리며 $\sim 10^{-11}$초에 붕괴	Bohr (1913)	전자는 띄엄띄엄한 궤도만 허용됨

🟡 리나: 이 3가지 돌파구를 시간순으로 보면, 불과 13년 사이에 양자론의 기초가 구축되었음을 알 수 있어요. 그림 1.15「양자론 탄생의 타임라인」을 봐 주세요.

그림 1.15: 양자론 탄생의 타임라인. Planck의 양자 가설(1900) → Einstein의 광양자 가설(1905) → Rutherford의 원자핵 발견(1911) → Bohr의 원자 모형(1913). 각 발견은 이전의 성과를 토대로 하고 있으며, 양자의 아이디어가 계승·발전되어 가는 흐름이 보인다.

🔵 카이: 전부에 공통되는 것은 "띄엄띄엄"이라는 거네요. 에너지가 띄엄띄엄, 빛이 알갱이, 궤도가 띄엄띄엄……. 하지만 "왜 자연은 띄엄띄엄한가"——그 이유는 아직 나오지 않았잖아요?

🟡 리나: 좋은 곳을 눈치챘어요. 사실 그 "왜"에 답하는 것이, 앞으로 배울 양자역학의 본체예요. Planck도 Bohr도 "띄엄띄엄이라고 가정하면 실험과 맞는다"고 보여줬을 뿐, 그 근거는 설명하지 못했어요. 근거가 보이는 것은, 파동함수와 경계 조건을 배우는 제 4 장 이후예요. 지금은 "띄엄띄엄한 것이 실험 사실"이라는 출발점을 확실히 잡아 두세요.

⚪ 메이: 즉 이 장의 3가지 위기는 "이산성을 가정하면 풀린다"는 것을 보여줬을 뿐이고, "왜 이산적인가"는 미해결인 채로 다음 장 이후로 이월——이라는 거네요.

🟡 리나: "연속"에서 "이산(띄엄띄엄)"으로——이것이 고전물리학에서 양자론으로의 가장 근본적인 패러다임 전환이에요. 그리고, 이 모든 것을 관통하는 상수가

\[ h \simeq 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \]

Planck 상수 $h$예요. 이 상수가 0이 아닌 유한한 값을 가지는 것이, 세상을 "띄엄띄엄"으로 만들고 있어요.

🔵 카이: 그러면, 만약 $h$가 0이었다면 어떻게 되나요? 띄엄띄엄하지 않게 되나요?

🟡 리나: 맞아요. $h = 0$이면 양자 효과는 모두 사라지고, 고전물리학으로 돌아가요. 그리고 $h$는 매우 작지만 0이 아니에요——그래서 일상 스케일에서는 고전물리가 좋은 근사가 되면서, 원자 스케일에서는 양자 효과가 지배적이 되는 거예요. "고전물리학은 $h \to 0$의 극한"이라고 바꿔 말해도 좋아요.

⚪ 메이: 즉, $h$의 작음이 "고전과 양자의 경계"를 결정하고 있는 거네요.

🔵 카이: 그렇구나……. $h$가 0이 아니니까 세상은 띄엄띄엄하고, 하지만 작으니까 평소에는 알아차리지 못한다. 그리고, Einstein이 양자론의 창시자 중 한 사람이라는 게 인상적이었어요. 스스로 "빛은 알갱이다"라고 했는데, 나중에 양자역학을 비판하다니……뭐가 그렇게 마음에 안 들었던 걸까요?

🟡 리나: 좋은 의문이에요. 1905년의 광양자 가설, 1917년의 유도 방출 이론——Einstein은 양자론을 만들어낸 쪽의 사람이에요. 하지만 양자역학이 완성되었을 때, "자연의 행동이 본질적으로 확률적이다"라는 해석에 깊은 위화감을 느꼈어요. "신은 주사위를 던지지 않는다"라는 유명한 말은, 그 위화감의 표명이에요. 구체적으로 무엇이 문제였는지는 제 21 장(유도 방출의 정량화)와 제 23 장(EPR 논쟁과 Bell의 부등식)에서 자세히 살펴볼게요. 기대해 주세요.

다음 장 예고¶

🟡 리나: 이 장에서는, 고전물리학의 3가지 위기와, 각각에 대한 "띄엄띄엄"의 해결책을 살펴봤어요. 하지만, 아직 큰 수수께끼가 남아 있어요.

Einstein은 "빛은 입자(광자)이기도 하다"고 말했어요. 하지만 빛이 파동이라는 것은, 간섭 실험으로 확립된 사실이에요. 파동이면서 동시에 입자이기도 하다——이건 도대체 어떤 뜻인가요?

더 나아가 1924년——Bohr의 모형으로부터 약 10년 후——de Broglie(드브로이)는 반대 방향의 제안을 했어요. "빛이 입자이기도 하다면, 전자와 같은 입자도 파동이 아닌가?"——그리고 이것은 실험으로 확인됐어요. 그림 1.16「전자의 이중 슬릿 간섭 패턴 형성」을 봐 주세요. 전자를 하나씩 슬릿에 쏘면, 처음에는 랜덤한 점으로밖에 보이지 않는데, 수를 늘리면 파동의 간섭무늬가 떠올라요. 이 실험이야말로, de Broglie의 "물질파" 생각이 올바르다는 것을 단적으로 보여주는 증거이며, 다음 장의 출발점이 돼요.

그림 1.16: 전자의 이중 슬릿 간섭 패턴 형성. 전자를 하나씩 이중 슬릿에 쏘았을 때의 도착 분포의 시간 변화. 소수의 전자에서는 랜덤한 스폿으로 보이지만, 다수가 축적되면 파동의 간섭무늬가 나타난다. "입자인데 파동의 성질을 갖는다"는 것을 단적으로 보여주는 실험이며, 다음 장에서 다룰 de Broglie의 물질파의 출발점이 된다.

다음 장에서는, 이 대담한 가설과, 그것을 극적으로 뒷받침한 전자선 회절 실험을 따라가요. 입자와 파동의 경계가 녹아내리는 순간을 목격합시다.

연습문제¶

📝 연습문제:

Planck 상수의 작음을 실감하는 계산 → 문제 B-1. Planck 상수의 작음을 체감하기

일함수와 문턱 진동수의 계산 → 문제 B-2. 일함수와 문턱 진동수

고전적 원자 붕괴 시간의 크기 추정 → 문제 M-3. 고전적 원자 붕괴 시간의 크기 어림

Bohr 모형에 의한 수소 원자의 이온화 에너지 계산 → 문제 M-1. Bohr 모델에 의한 수소 원자의 에너지 준위 도출

참고문헌¶

M. Planck, "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum," Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 237–245 (1900).
A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt," Annalen der Physik 17, 132–148 (1905).
N. Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules," Philosophical Magazine 26, 1–25 (1913).
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III (Addison-Wesley, 1965), Ch. 1.
C. Rovelli, Reality Is Not What It Seems (Penguin, 2016), Ch. 6.
清水明『新版量子論の基礎——その本質のやさしい理解のために』(サイエンス社, 2004), 第 1 章「古典物理学の破綻」.
D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2018), §1.1.