제 4 장 연습문제 풀이¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 복소수의 절댓값과 켤레 복소수
- B-2. 복소수의 곱셈과 위상
- B-3. 극형식으로의 변환
- B-4. 극형식에서의 곱셈
- B-5. 간섭항의 계산
- B-6. 복소 켤레와 간섭항
- B-7. Dirac 표기법과 제3 규칙
- B-8. 진폭의 덧셈과 확률
Medium（표준）
- M-1. 간섭항의 일반 공식 유도
- M-2. 등진폭·등간격 \(N\) 슬릿의 간섭 패턴
- M-3. 「관측한다」와 간섭이 사라지는 현상: 수식에 의한 설명
- M-4. 2개의 벽을 통과하는 진폭의 계산
- M-5. 위상차와 경로차의 관계
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 복소수의 절댓값과 켤레 복소수¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
다음 복소수에 대해 각각 (a) 켤레 복소수 \(z^*\), (b) 절댓값 \(|z|\), (c) \(z \cdot z^*\) 를 구하세요.
- \(z = 1 + i\)
- \(z = 3 - 4i\)
- \(z = -2i\)
- \(z = 5\)
방침: \(z = a + bi\) 에 대해, \(z^* = a - bi\), \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(z \cdot z^* = |z|^2 = a^2 + b^2\) 을 적용해요.
1. \(z = 1 + i\)
(a) \(z^* = 1 - i\)
(b) \(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
(c) \(z \cdot z^* = 1^2 + 1^2 = 2\)
2. \(z = 3 - 4i\)
(a) \(z^* = 3 + 4i\)
(b) \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
(c) \(z \cdot z^* = 9 + 16 = 25\)
3. \(z = -2i\)（\(a = 0\), \(b = -2\)）
(a) \(z^* = +2i\)
(b) \(|z| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2\)
(c) \(z \cdot z^* = (-2i)(2i) = -4i^2 = 4\)
4. \(z = 5\)（\(a = 5\), \(b = 0\)）
(a) \(z^* = 5\)
(b) \(|z| = 5\)
(c) \(z \cdot z^* = 25\)
검산: 모든 경우에 대해 \(z \cdot z^* = |z|^2\) 이 성립하는 것을 확인했어요. ✓
B-2. 복소수의 곱셈과 위상¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
다음 곱을 \(a + bi\) 의 형태로 계산하세요.
- \((1 + i)(1 - i)\)
- \((2 + 3i)(1 + 2i)\)
- \(i \cdot (3 + 4i)\)
- \((1 + i)^2\)
방침: 보통으로 전개하고, \(i^2 = -1\) 을 대입해요.
1. \((1 + i)(1 - i)\)
2. \((2 + 3i)(1 + 2i)\)
3. \(i \cdot (3 + 4i)\)
4. \((1 + i)^2\)
검산: 문제 1은 \(z \cdot z^*\) 의 형태이므로 결과는 \(|z|^2 = 2\). ✓ 문제 4는 \(|1+i|^2 = 2\) 이고, \(|(1+i)^2| = |2i| = 2 = (\sqrt{2})^2\) 으로 정합. ✓
B-3. 극형식으로의 변환¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
다음 복소수를 극형식 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)로 나타내세요. \(r\)과 \(\theta\)（\(0 \leq \theta < 2\pi\)）를 각각 구하세요.
- \(z = 1 + i\)
- \(z = -\sqrt{3} + i\)
- \(z = -2\)
- \(z = 3i\)
방침: \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) 를 구해요. 사분면에 주의하여 복소평면 위의 위치를 확인해요.
1. \(z = 1 + i\)
제1사분면에서 \(\tan\theta = 1/1 = 1\) 이므로 \(\theta = \pi/4\).
2. \(z = -\sqrt{3} + i\)
제2사분면(실부가 음, 허부가 양). \(\tan\alpha = 1/\sqrt{3}\) 이므로 기준각 \(\alpha = \pi/6\). 따라서 \(\theta = \pi - \pi/6 = 5\pi/6\).
3. \(z = -2\)
4. \(z = 3i\)
검산: 각 결과를 \(r\cos\theta + ir\sin\theta\) 로 되돌려서 원래의 \(z\) 와 일치하는지 확인해요. 예를 들어 문제 2: \(2\cos(5\pi/6) = 2 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}\), \(2\sin(5\pi/6) = 2 \cdot (1/2) = 1\). 따라서 \(z = -\sqrt{3} + i\). ✓
B-4. 극형식에서의 곱셈¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
\(z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})\)、\(z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})\) 일 때,
- 곱 \(z_1 \cdot z_2\) 를 극형식으로 나타내세요.
- 곱 \(z_1 \cdot z_2\) 를 \(a + bi\) 의 형태로 바꾸세요.
방침: 식 (4.8)로부터, 절댓값은 곱셈, 편각은 덧셈.
1. 극형식에서의 곱
2. \(a + bi\) 형태
검산: 직접 계산으로 확인해요. \(z_1 = 2(\cos 30° + i\sin 30°) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} + i\). \(z_2 = 3(\cos 60° + i\sin 60°) = 3(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\).
B-5. 간섭항의 계산¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
2개의 확률진폭 \(\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\theta}\)가 주어져 있어요.
- \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)을 \(\theta\)를 사용하여 나타내세요.
- \(\theta = 0, \, \pi/2, \, \pi\) 각각에 대해 확률 \(P\)를 계산하세요.
- 고전적으로 확률을 더한 경우 \(P_{\text{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)는 얼마인가요?
방침: 식 (4.14)를 적용해요. \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\), 위상차 \(\delta = \theta\).
1. \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)를 \(\theta\)로 나타내기
2. 각 \(\theta\)에서의 확률
| \(\theta\) | \(\cos\theta\) | \(P\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(\boxed{2}\) |
| \(\pi/2\) | \(0\) | \(\boxed{1}\) |
| \(\pi\) | \(-1\) | \(\boxed{0}\) |
3. 고전적인 확률의 합
검산: \(\theta = 0\)일 때 \(\phi_1 + \phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)이므로 \(P = |\sqrt{2}|^2 = 2\). ✓ \(\theta = \pi\)일 때 \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \(\phi_1 + \phi_2 = 0\), \(P = 0\). ✓ 간섭항 \(\cos\theta\)의 값에 따라 \(P\)는 \(0\)에서 \(2\)까지 변화하며, 고전적 값 \(1\)을 중심으로 진동해요.
B-6. 복소 켤레와 간섭항¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
\(\phi_1 = 2e^{i\pi/4}\)、\(\phi_2 = 3e^{-i\pi/4}\) 일 때,
- \(\phi_1 \phi_2^*\) 를 계산하세요.
- 간섭항 \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\) 를 계산하고, 실수임을 확인하세요.
- 확률 \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\) 를 구하세요.
방침: 극형식의 성질을 이용해요. \(\phi_2^* = 3e^{+i\pi/4}\).
1. \(\phi_1 \phi_2^*\)
\(e^{i\pi/2} = i\) 이므로
2. 간섭항 \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\)
\(\phi_1^* \phi_2 = (\phi_1 \phi_2^*)^* = (6i)^* = -6i\) 이므로,
이것은 실수(\(0\))이며, 간섭항이 실수임을 확인할 수 있어요. ✓
다른 관점: 식 (4.13)에 의해, \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)의 위상차는 \(\delta = \pi/4 - (-\pi/4) = \pi/2\) 이므로,
3. 확률 \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)
검산: 직접 계산해요. \(\phi_1 = 2e^{i\pi/4} = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = \sqrt{2} + \sqrt{2}\,i\). \(\phi_2 = 3e^{-i\pi/4} = 3(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}i\).
B-7. Dirac 표기법과 제3 규칙¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
입자가 소스 \(s\)에서 슬릿 \(k\)(\(k = 1, 2, 3\))를 경유하여 검출기 위치 \(x\)에 도달해요. 각 단계의 진폭이 아래와 같이 주어져 있을 때, 슬릿 \(k\) 경유의 경로 전체 진폭 \(\phi_k = \langle x | k \rangle \langle k | s \rangle\)를 각각 계산하세요.
| \(k\) | \(\langle k \mid s \rangle\) | \(\langle x \mid k \rangle\) |
|---|---|---|
| 1 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(e^{i\pi/3}\) |
| 2 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(e^{i\pi}\) |
| 3 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(e^{i5\pi/3}\) |
방침: 세 번째 규칙(곱셈)에 의해 \(\phi_k = \langle x | k \rangle \cdot \langle k | s \rangle\).
\(k = 1\):
\(k = 2\):
\(k = 3\):
검산: 각 진폭의 절댓값은 \(|\phi_k| = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 세 위상 \(\pi/3, \pi, 5\pi/3\)은 \(2\pi\)를 3등분하는 각도(\(60°, 180°, 300°\))에 대응해요. ✓
B-8. 진폭의 덧셈과 확률¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
D7 에서 구한 \(\phi_1, \phi_2, \phi_3\) 를 제2 규칙(덧셈)으로 더하여, 전체 진폭 \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3\) 를 구하세요. 나아가 제1 규칙을 적용하여 확률 \(P = |\phi|^2\) 를 계산하세요.
방침: 각 \(\phi_k\)를 \(a + bi\) 형태로 변환하여 더해요.
각 Euler 공식의 값：
따라서
전체 진폭 계산:
괄호 안을 정리하면：
- 실수부：\(\frac{1}{2} + (-1) + \frac{1}{2} = 0\)
- 허수부：\(\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0\)
확률:
검산: \(e^{i\pi/3}\), \(e^{i\pi}\), \(e^{i5\pi/3}\)는 \(e^{i \cdot 2\pi k/3}\)（\(k = 1, 2, 3\)）와 같고, 이것들은 1의 원시 3제곱근 \(\omega = e^{i2\pi/3}\)를 사용하면 \(\omega, \omega^2, \omega^3 = 1\)……이 아니라, 정확히는 위상이 \(\pi/3, \pi, 5\pi/3\)이므로 \(e^{i\pi/3}(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3})\)로 인수분해할 수 있어요. \(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3} = 0\)（1의 원시 3제곱근의 합）이므로 \(\phi = 0\)이에요. ✓
Medium（표준）¶
M-1. 간섭항의 일반 공식 유도¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
\(N\) 개의 구별할 수 없는 경로가 있고, 각 경로의 진폭이 \(\phi_k\)（\(k = 1, 2, \ldots, N\)）로 주어져 있다고 해요.
- 확률 \(P = \left|\sum_{k=1}^{N} \phi_k \right|^2\) 을 전개하여,
가 됨을 보이세요.
-
간섭항(교차항)의 개수가 \(N(N-1)\) 개임을 설명하세요.
-
모든 진폭의 절댓값이 같아서 \(|\phi_k| = A\) 이고, \(\phi_k\) 와 \(\phi_j\)（\(j \neq k\)）의 위상차가 모두 무작위로 분포하는 경우, 간섭항의 기여가 평균적으로 영이 되는 이유를 정성적으로 설명하세요.
1. 전개의 증명:
방침: \(P = \left|\sum_k \phi_k\right|^2\) 를 \(z \cdot z^*\) 의 형태로 전개해요.
이 이중합을 \(j = k\) 인 항과 \(j \neq k\) 인 항으로 나눠요:
\(\phi_k \phi_k^* = |\phi_k|^2\) 이므로,
제1항은 각 경로의 확률의 합(고전적인 기여)이고, 제2항이 간섭항이에요. \(\blacksquare\)
2. 간섭항의 개수:
이중합 \(\sum_{j \neq k}\) 에서 \(j\) 와 \(k\) 는 각각 \(1\) 부터 \(N\) 까지의 값을 취하고, \(j \neq k\) 조건이 있어요. \(N\) 개 중에서 서로 다른 2개를 순서를 고려하여 선택하는 방법의 수는
개예요. (\((j,k) = (1,2)\) 와 \((j,k) = (2,1)\) 은 별개의 항으로 세요.)
보충: \(\phi_j \phi_k^*\) 와 \(\phi_k \phi_j^*\) 는 서로 복소켤레이므로, \(j < k\) 인 쌍으로 묶으면 \(N(N-1)/2\) 개의 쌍이 있고, 각 쌍이 \(\phi_j \phi_k^* + \phi_k \phi_j^* = 2|\phi_j||\phi_k|\cos\delta_{jk}\) 라는 실수의 간섭항을 줘요.
3. 랜덤 위상에서 간섭항이 사라지는 이유:
모든 \(|\phi_k| = A\) 로 놓고, 위상차 \(\delta_{jk}\) 가 랜덤하게 분포한다고 해요. 각 간섭항은
이고, 그 실수부는 \(A^2 \cos\delta_{jk}\) 예요. \(\delta_{jk}\) 가 \([0, 2\pi)\) 위에서 균일하게 랜덤 분포하는 경우,
따라서 \(N(N-1)\) 개의 간섭항의 평균적인 기여는 영이 돼요. 결과적으로
가 되어 고전적인 확률의 덧셈으로 귀착돼요. 이것은 거시적인 계에서 위상의 결맞음이 상실되면 양자 간섭이 사라지고, 고전적인 행동이 회복되는 메커니즘(결어긋남)의 본질적인 이유이기도 해요.
검산: \(N = 2\) 인 경우, 간섭항은 \(2 \cdot 1 = 2\) 개이고, \(\phi_1\phi_2^* + \phi_2\phi_1^* = 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) 가 되어 식 (4.14)와 일치해요. ✓
M-2. 등진폭·등간격 \(N\) 슬릿의 간섭 패턴¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
\(N\) 개의 슬릿이 등간격 \(d\) 로 배열되어 있고, 입자의 운동량을 \(p\) 라 해요. 각 슬릿에서 검출기 위치 \(x\) 까지의 경로차가 인접 슬릿 간에 일정한 값 \(\Delta r\) 이라 하고, 위상차를 \(\delta = p\Delta r / \hbar\) 로 정의해요. 각 슬릿을 통과하는 진폭의 절댓값은 모두 같으며 \(A\) 라 해요.
-
\(k\) 번째 슬릿（\(k = 0, 1, \ldots, N-1\)）을 통과하는 진폭을 \(\phi_k = A e^{ik\delta}\) 로 쓸 수 있음을 설명하세요.
-
전체 진폭 \(\phi = \sum_{k=0}^{N-1} A e^{ik\delta}\) 을 등비급수의 공식을 이용하여 닫힌 형태로 쓰세요.
-
확률 \(P = |\phi|^2\) 이
가 됨을 보이세요.
- \(N = 2\) 일 때, 이 식이 식 (4.14)（\(|\phi_1| = |\phi_2| = A\) 인 경우）와 일치함을 확인하세요.
1. 진폭 \(\phi_k = Ae^{ik\delta}\) 의 설명:
\(k\) 번째 슬릿(\(k = 0, 1, \ldots, N-1\))에서 검출기 위치 \(x\)까지의 경로 길이는 \(0\) 번째 슬릿으로부터의 경로 길이에 비해 \(k\Delta r\)만큼 더 길어요. de Broglie 관계에 의해, 운동량 \(p\)인 입자가 거리 \(\Delta r\)만큼 추가로 진행하면 위상이 \(p\Delta r/\hbar = \delta\)만큼 증가해요. 따라서 \(k\) 번째 슬릿을 통과하는 진폭은 \(0\) 번째에 대해 위상이 \(k\delta\)만큼 앞서 있으며,
로 쓸 수 있어요. (공통 위상 인자는 생략했어요.)
2. 등비급수에 의한 닫힌 형태:
등비급수 공식 \(\sum_{k=0}^{N-1} r^k = \frac{1 - r^N}{1 - r}\)(\(r \neq 1\))을 \(r = e^{i\delta}\)에 적용하면,
3. 확률 \(P = |\phi|^2\) 의 유도:
먼저, 일반적으로 다음 항등식이 성립함을 보여요:
이를 이용하면,
4. \(N = 2\) 인 경우의 확인:
삼각함수의 배각 공식 \(\sin\delta = 2\sin(\delta/2)\cos(\delta/2)\)를 이용하면,
한편, 반각 공식 \(\cos^2(\delta/2) = \frac{1 + \cos\delta}{2}\)에 의해,
식 (4.14)에서 \(|\phi_1| = |\phi_2| = A\)로 놓으면,
양쪽이 일치해요. ✓
검산: \(\delta = 0\)(중앙 밝은 무늬)일 때, \(P = A^2 \cdot N^2\)(로피탈의 정리 또는 직접 대입)이에요. \(N = 2\)이면 \(P = 4A^2\)이에요. 위의 식에서 \(\delta = 0\)으로 놓으면 \(P = 4A^2 \cdot 1 = 4A^2\)이에요. ✓
M-3. 「관측한다」와 간섭이 사라지는 현상: 수식에 의한 설명¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
이중 슬릿 실험에서, 슬릿 1을 통과하는 진폭을 \(\phi_1\), 슬릿 2를 통과하는 진폭을 \(\phi_2\)라 해요.
-
어느 슬릿을 통과했는지 관측하지 않는 경우의 확률이 \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)임을, 제2 규칙을 사용하여 설명하세요.
-
어느 슬릿을 통과했는지를 관측한 경우, 입자가 슬릿 1을 통과했다고 판명될 확률은 \(P_1 = |\phi_1|^2\), 슬릿 2를 통과했다고 판명될 확률은 \(P_2 = |\phi_2|^2\)이며, 검출기 \(x\)에 도달하는 전체 확률은
이 돼요. 이 식에 간섭항이 나타나지 않는 이유를, "경로가 구별 가능하게 되었다"는 관점에서 제2 규칙의 적용 조건을 사용하여 설명하세요.
- \(|\phi_1| = |\phi_2|\)인 경우에 대해, \(P\)와 \(P_{\text{obs}}\)의 차이(즉, 간섭항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\))가 검출기 위치 \(x\)의 함수로서 어떻게 행동하는지를 정성적으로 설명하고, "간섭무늬가 사라진다"는 것이 무슨 의미인지 서술하세요.
1. 관측하지 않는 경우:
어느 슬릿을 통과했는지 관측하지 않는 경우, 슬릿 1 경유와 슬릿 2 경유의 2가지 경로는 원리적으로 구별할 수 없어요. 제2 규칙의 적용 조건(「구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한다」)이 만족되므로,
제1 규칙에 의해 확률은
간섭항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)가 존재하고, \(\delta\)가 검출기 위치 \(x\)에 의존하기 때문에 간섭무늬가 나타나요.
2. 관측한 경우:
어느 슬릿을 통과했는지를 관측하면, 2가지 경로는 구별 가능해져요. 제2 규칙의 적용 조건(「구별할 수 없다」)이 만족되지 않게 되므로, 진폭을 더하는 것이 아니라 확률을 더해요(고전적인 확률의 덧셈 법칙으로 돌아가요).
구체적으로, 「슬릿 1을 통과했다」는 사건과 「슬릿 2를 통과했다」는 사건은 배타적이며 구별 가능한 사건이므로,
간섭항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)는 나타나지 않아요. 이는 관측에 의해 「어느 경로를 통과했는가」라는 정보가 환경(관측 장치)에 기록됨으로써, 2가지 경로가 원리적으로 구별 가능해졌기 때문이에요.
3. 간섭무늬가 사라진다는 것은:
\(|\phi_1| = |\phi_2| = A\)인 경우:
-
관측 없음: \(P(x) = 2A^2(1 + \cos\delta(x))\). \(\delta(x)\)는 검출기 위치 \(x\)의 함수이므로, \(P(x)\)는 \(x\)에 대해 \(\cos\) 함수적으로 진동해요. 이것이 간섭무늬예요. 밝은 줄무늬(\(\delta = 2n\pi\))에서는 \(P = 4A^2\), 어두운 줄무늬(\(\delta = (2n+1)\pi\))에서는 \(P = 0\)이에요.
-
관측 있음: \(P_{\text{obs}}(x) = 2A^2\). \(x\)에 의존하지 않는 균일한 분포가 돼요.
「간섭무늬가 사라진다」는 것은, 검출기 위치 \(x\)의 함수로서의 확률분포에서 \(\cos\delta(x)\)의 진동 성분이 소실되어 균일한 분포로 바뀌는 것을 의미해요. 간섭항 \(2A^2\cos\delta(x)\)가 0이 되기 때문에, 명암의 대비가 완전히 사라져요.
검산: \(P_{\text{obs}} = 2A^2\)는 \(P(x)\)의 \(x\)에 대한 평균값 \(\langle 2A^2(1 + \cos\delta) \rangle_x = 2A^2\)(\(\cos\delta\)의 평균은 0)와 일치해요. 관측에 의해 간섭무늬가 사라져도, 전체의 평균적인 도달 확률은 변하지 않아요. ✓
M-4. 2개의 벽을 통과하는 진폭의 계산¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
원천 \(s\)와 검출기 \(x\) 사이에 2개의 벽이 있어요. 첫 번째 벽에는 슬릿 \(A_1, A_2\)가, 두 번째 벽에는 슬릿 \(B_1, B_2, B_3\)이 있어요. 어떤 슬릿을 통과했는지는 관측하지 않아요.
-
입자가 \(s\)에서 \(x\)에 도달하는 모든 가능한 경로를 열거하세요 (경로의 수를 답하세요).
-
세 번째 규칙을 사용하여, 경로 「\(s \to A_j \to B_k \to x\)」의 진폭을 Dirac 표기법으로 쓰세요.
-
두 번째 규칙을 사용하여, 전체 진폭 \(\langle x | s \rangle\)을 써 내려가세요.
-
각 단계의 진폭이 모두 실수이고 같은 값 \(c\) (즉, \(\langle A_j | s \rangle = \langle B_k | A_j \rangle = \langle x | B_k \rangle = c\))라고 가정한 경우, 확률 \(P = |\langle x | s \rangle|^2\)를 \(c\)를 사용하여 나타내세요.
1. 경로의 열거:
제1 벽의 슬릿: \(A_1, A_2\) (2가지) 제2 벽의 슬릿: \(B_1, B_2, B_3\) (3가지)
가능한 모든 경로는:
구체적으로는: \(A_1B_1\), \(A_1B_2\), \(A_1B_3\), \(A_2B_1\), \(A_2B_2\), \(A_2B_3\).
2. 각 경로의 진폭 (제3 규칙):
경로 "\(s \to A_j \to B_k \to x\)"의 진폭은 연속된 3단계 진폭의 곱이에요:
3. 전체 진폭 (제2 규칙):
어떤 슬릿을 통과했는지 관측하지 않으므로, 6개의 경로는 모두 구별할 수 없어요. 진폭을 더해요:
4. 모든 진폭이 \(c\)인 경우:
각 경로의 진폭은 \(\phi_{jk} = c \cdot c \cdot c = c^3\)이에요.
6개의 경로 모두 같은 진폭 \(c^3\)을 가지므로,
검산: 차원적으로, 진폭이 3단계의 곱이므로 \(c^3\)의 차수이고, 경로 수 6을 곱하면 \(6c^3\), 확률은 그 제곱으로 \(36c^6\)이에요. 만약 벽이 1개(슬릿 \(n\)개)라면 \(P = n^2 c^4\)이 되어야 하고, \(n = 6\), 2단계라면 \(36c^4\)이에요. 이번에는 3단계이므로 \(c^6\)이 맞아요. ✓
M-5. 위상차와 경로차의 관계¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
이중 슬릿 실험에서, 슬릿 간격을 \(d\), 슬릿이 있는 벽에서 검출기 스크린까지의 거리를 \(L\)（\(L \gg d\)）이라 해요. 스크린 위의 위치 \(x\)（스크린 중앙을 원점으로 함）에 대해,
- 슬릿 1에서 \(x\)까지의 거리 \(r_1\)과 슬릿 2에서 \(x\)까지의 거리 \(r_2\)의 차 \(\Delta r = r_1 - r_2\)가, \(L \gg d\) 근사에서
가 됨을 기하학적으로 유도하세요.
-
식 (4.22)를 이용하여 위상차 \(\delta\)를 \(x\)의 함수로 나타내세요.
-
간섭의 밝은 무늬 조건（보강 간섭）\(\delta = 2n\pi\)（\(n\)은 정수）으로부터, 밝은 무늬의 위치 \(x_n\)을 구하세요.
-
de Broglie（드브로이）관계 \(p = h/\lambda\)를 이용하여, 인접한 밝은 무늬의 간격 \(\Delta x\)를 파장 \(\lambda\)로 나타내세요.
1. 경로차 \(\Delta r \approx dx/L\) 의 유도:
슬릿 1과 슬릿 2의 위치를, 스크린에 수직인 중심선에 대해 \(\pm d/2\)로 놓아요. 검출기 위치 \(x\)까지의 거리는:
\(L \gg d\) 및 \(L \gg x\) 근사에서 \(r_1 - r_2\)를 계산해요.
(\(r_1 + r_2 \approx 2L\)은 \(L \gg d, x\) 근사에요.)
따라서
부호의 선택은 좌표의 정의에 의존해요. 경로차의 크기로서
다른 유도(기하학적): \(L \gg d\)일 때, 두 경로는 거의 평행하며, 각도 \(\theta \approx x/L\)을 이루어요. 경로차는 \(\Delta r = d\sin\theta \approx d\theta \approx dx/L\). ✓
2. 위상차:
식 (4.22)의 형식(\(\delta = p \Delta r / \hbar\))을 사용하면,
3. 밝은 무늬의 위치:
보강 간섭 조건 \(\delta = 2n\pi\) (\(n\)은 정수)로부터,
4. 이웃한 밝은 무늬의 간격:
드브로이 관계 \(p = h/\lambda = 2\pi\hbar/\lambda\)를 대입하면,
검산: 차원 분석: \([\lambda L / d] = \text{m} \cdot \text{m} / \text{m} = \text{m}\). ✓ 물리적으로, 파장 \(\lambda\)가 클수록, 또한 스크린 거리 \(L\)이 클수록 무늬 간격은 넓어지고, 슬릿 간격 \(d\)가 클수록 무늬 간격은 좁아져요. 이는 빛의 간섭 실험(Young의 실험)의 결과와 완전히 일치해요. ✓
Advanced（발전）¶
A-1. Mach–Zehnder (마흐-젠더) 간섭계의 양자역학적 해석¶
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문제:
광자 1개가 Mach–Zehnder 간섭계에 입사해요. 간섭계는 다음 요소로 구성돼요:
- 빔 스플리터 BS1: 입사 광자를 2개의 경로(경로 \(A\)와 경로 \(B\))로 나눠요. 반사의 진폭은 \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), 투과의 진폭은 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)로 해요.
- 거울 \(M_A\), \(M_B\): 각 경로에서 광자를 반사해요. 반사의 진폭은 \(i\)(위상 \(\pi/2\) 이동)로 해요.
- 빔 스플리터 BS2: 2개의 경로를 다시 합류시켜요. BS1과 같은 성질(반사 \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), 투과 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))을 가져요.
- 2개의 출력 포트: 검출기 \(D_1\)과 검출기 \(D_2\).
경로 \(A\)에는 추가 위상 이동 \(e^{i\varphi}\)를 도입할 수 있는 위상판이 있다고 해요(경로 \(B\)에는 추가 위상 없음).
-
광자가 입사 포트에서 \(D_1\)에 도달하는 2개의 경로(경로 \(A\) 경유와 경로 \(B\) 경유)의 진폭을, 제3 규칙을 이용하여 각각 계산하세요. (각 경로에서 광자가 경험하는 요소를 순서대로 나열하고, 진폭을 곱하세요.)
-
제2 규칙을 이용하여 전체 진폭을 구하고, \(D_1\)에서 광자가 검출될 확률 \(P_1(\varphi)\)를 계산하세요.
-
마찬가지로 \(D_2\)에서 검출될 확률 \(P_2(\varphi)\)를 계산하세요. \(P_1 + P_2 = 1\)이 성립하는지 확인하세요.
-
\(\varphi = 0\)과 \(\varphi = \pi\)의 경우에 대해 \(P_1\)과 \(P_2\)의 값을 구하고, 물리적 의미를 서술하세요.
-
경로 \(A\) 도중에 "어느 경로를 통과했는지 검출하는 장치"를 삽입한 경우, 간섭이 어떻게 변화하는지를 제2 규칙의 적용 조건에 근거하여 논하세요.
설정 정리:
간섭계의 구성 요소와 진폭 배정:
- BS1: 반사 → \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), 투과 → \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- 거울: 반사 → \(i\)
- 위상판(경로 \(A\)만): \(e^{i\varphi}\)
- BS2: 반사 → \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), 투과 → \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
전형적인 배치로서 다음을 채택해요: - 경로 \(A\): BS1에서 반사 → 위상판 → 거울 \(M_A\)에서 반사 → BS2에서 투과하여 \(D_1\)으로 (또는 반사하여 \(D_2\)로) - 경로 \(B\): BS1에서 투과 → 거울 \(M_B\)에서 반사 → BS2에서 반사하여 \(D_1\)으로 (또는 투과하여 \(D_2\)로)
1. \(D_1\)에 이르는 2개 경로의 진폭:
경로 \(A\)를 경유하여 \(D_1\)으로: BS1 반사 → 위상판 → \(M_A\) 반사 → BS2 투과
경로 \(B\)를 경유하여 \(D_1\)으로: BS1 투과 → \(M_B\) 반사 → BS2 반사
2. \(D_1\)에서의 검출 확률:
제2 규칙에 의해 전체 진폭은:
확률:
\(|e^{i\varphi} + 1|^2\)를 계산하면:
3. \(D_2\)에서의 검출 확률:
경로 \(A\)를 경유하여 \(D_2\)로: BS1 반사 → 위상판 → \(M_A\) 반사 → BS2 반사
경로 \(B\)를 경유하여 \(D_2\)로: BS1 투과 → \(M_B\) 반사 → BS2 투과
전체 진폭:
확률:
확률 보존 확인:
4. 특수한 경우:
\(\varphi = 0\)일 때:
광자는 반드시 \(D_1\)에서 검출돼요. 두 경로의 진폭이 \(D_1\)에서 완전히 보강 간섭하고, \(D_2\)에서 완전히 상쇄 간섭해요. 이것은 완전한 보강 간섭(\(D_1\))과 완전한 상쇄 간섭(\(D_2\))에 대응해요.
\(\varphi = \pi\)일 때:
광자는 반드시 \(D_2\)에서 검출돼요. 위상판에 의해 경로 \(A\)에 \(\pi\)의 위상 이동이 더해짐으로써 간섭 조건이 반전되어, \(D_1\)에서 완전한 상쇄 간섭, \(D_2\)에서 완전한 보강 간섭이 일어나요.
물리적 의미: 위상판의 설정 \(\varphi\)를 연속적으로 변화시킴으로써 광자의 출력 방향을 \(D_1\)과 \(D_2\) 사이에서 연속적으로 제어할 수 있어요. 이것은 단일 광자 수준에서의 간섭이며, 광자가 "양쪽 경로를 동시에 지나고 있는" 것처럼 행동한다는 직접적인 증거예요.
5. 경로 검출 장치를 삽입한 경우:
경로 \(A\)에 "어느 경로를 지나갔는지"를 검출하는 장치를 삽입하면, 광자가 어느 경로를 지나갔는지의 정보가 원리적으로 얻어지게 돼요. 이에 의해 두 경로는 구별 가능하게 돼요.
제2 규칙의 적용 조건은 "경로가 원리적으로 구별할 수 없는 것"이에요. 경로가 구별 가능해진 경우, 진폭을 더하는 것이 아니라 확률을 더해요:
간섭항이 소멸하여 \(P_1 = P_2 = 1/2\)가 되고, 위상 \(\varphi\)에 대한 의존성이 완전히 사라져요. 광자는 \(D_1\)과 \(D_2\)에 동일한 확률로 도달하며, 위상판의 설정을 변경해도 검출 확률은 변하지 않아요. 간섭계로서의 기능이 완전히 파괴돼요.
검산: \(P_1^{\text{obs}} + P_2^{\text{obs}} = 1/2 + 1/2 = 1\). ✓ 또한, \(|\phi_A^{(1)}|^2 = |{-\frac{1}{2}e^{i\varphi}}|^2 = 1/4\), \(|\phi_B^{(1)}|^2 = |{-\frac{1}{2}}|^2 = 1/4\)로 확실히 \(\varphi\)에 의존하지 않아요. ✓
A-2. 3상태계에서의 간섭과 "양자 지우개"의 원리¶
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문제:
입자가 원천 \(s\)에서 3개의 슬릿(\(1, 2, 3\))을 통해 검출기 \(x\)에 도달하는 실험을 생각해요. 각 슬릿을 통과하는 진폭은
이고, \(\alpha_1 = 0\), \(\alpha_2 = 2\pi/3\), \(\alpha_3 = 4\pi/3\)로 해요(등간격 슬릿의 중앙에서의 위상차에 대응).
Part I: 완전한 간섭
-
전체 진폭 \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3\)를 계산하고, \(P = |\phi|^2\)를 구하세요.
-
이 결과를 \(e^{i \cdot 2\pi/3}\)가 "1의 원시 3제곱근"이라는 것과 연결지어 해석하세요.
Part II: 부분적인 경로 정보
슬릿 1에 "마커"를 부착하여, 입자가 슬릿 1을 통과했는지 여부만 판별할 수 있지만 슬릿 2와 슬릿 3의 구별은 할 수 없는 장치를 도입해요.
-
이 경우, 확률을 어떻게 계산해야 하는지를 Feynman의 3가지 규칙에 기반하여 논의하세요. 구체적으로 \(P(x)\)를 식으로 나타내세요.
-
Part I의 결과와 비교하여, "부분적인 경로 정보를 얻음으로써 간섭이 부분적으로 회복되는" 현상이 일어날 수 있는지 논의하세요.
Part III: 양자 지우개
- Part II의 마커 정보를 "소거"하면(읽지 않기로 하면), 간섭 패턴은 어떻게 되는지 설명하세요. 제2 규칙의 적용 조건으로 돌아가서 설명하세요. 이것이 "양자 지우개(quantum eraser)"의 기본 원리임을 서술하세요.
Part I: 완전한 간섭:
1. 전체 진폭과 확률의 계산:
\(\omega = e^{i2\pi/3}\)으로 놓으면, \(\omega\)는 1의 원시 3제곱근이며,
(이것은 \(z^3 - 1 = (z-1)(z^2 + z + 1) = 0\)의 두 번째 인수 \(z^2 + z + 1 = 0\)의 근의 합에 대응해요.)
따라서
2. 1의 원시 3제곱근과의 관계:
\(e^{i2\pi/3}\)은 1의 원시 3제곱근 \(\omega\)이며, \(1, \omega, \omega^2\)는 복소평면 위에서 단위원에 내접하는 정삼각형의 꼭짓점에 위치해요. 이 3개의 벡터를 더하면, 대칭성으로 인해 완전히 상쇄되어 영이 돼요.
물리적으로는, 3개의 슬릿으로부터의 진폭이 등진폭이고 위상이 \(120°\)씩 등간격으로 어긋나 있기 때문에, 검출기 위치(이 특정한 \(x\))에서는 3개의 파동이 완전한 상쇄 간섭을 일으켜 입자가 도달할 확률이 영이 돼요. 이것은 D8의 결과와도 일치해요.
Part II: 부분적인 경로 정보:
3. 확률의 계산 방법:
슬릿 1에 마커를 부착함으로써, "슬릿 1을 통과했다"와 "슬릿 1을 통과하지 않았다(슬릿 2 또는 3을 통과했다)"를 구별할 수 있게 돼요.
Feynman의 규칙에 기반한 계산 방법:
- 슬릿 1은 다른 슬릿과 구별 가능하므로, 슬릿 1의 진폭은 독립적으로 확률로 변환해요.
- 슬릿 2와 슬릿 3은 서로 구별 불가능하므로, 이들의 진폭을 더해요 (두 번째 규칙).
- 최종적으로, 구별 가능한 2개의 그룹의 확률을 더해요 (고전적인 확률의 덧셈 법칙).
구체적으로 계산하면:
\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)에서 \(\omega + \omega^2 = -1\)이므로,
4. Part I과의 비교:
| 상황 | 확률 |
|---|---|
| Part I (경로 정보 없음, 완전한 간섭) | \(P = 0\) |
| Part II (부분적인 경로 정보) | \(P = 2A^2\) |
| 완전한 경로 정보 (모두 구별 가능) | \(P = 3A^2\) |
Part I에서는 완전한 상쇄 간섭에 의해 \(P = 0\)이었어요. 마커에 의해 부분적인 경로 정보를 얻으면, 3개의 진폭의 완전한 상쇄가 무너져 \(P = 2A^2 > 0\)이 돼요.
"부분적인 경로 정보를 얻음으로써 간섭이 부분적으로 회복된다"라는 표현은 문맥에 주의가 필요해요. 여기서 일어나고 있는 것은:
- Part I의 완전한 상쇄 간섭(\(P = 0\))이, 마커의 도입에 의해 부분적으로 파괴되었어요.
- 슬릿 2와 3 사이에는 아직 간섭이 남아 있어요(\(|\phi_2 + \phi_3|^2 = A^2 \neq |\phi_2|^2 + |\phi_3|^2 = 2A^2\)). 실제로, \(\phi_2 + \phi_3 = -A\)이므로 \(|\phi_2 + \phi_3|^2 = A^2\)이며, 이것은 \(|\phi_2|^2 + |\phi_3|^2 = 2A^2\)보다 작아요. 슬릿 2와 3 사이에서는 부분적인 상쇄 간섭이 남아 있어요.
- 전체적으로는, 완전한 상쇄(\(P = 0\))에서 \(P = 2A^2\)로 확률이 증가했어요. 이것은 "간섭의 파괴"에 의해 확률이 증가한 것이며, "간섭의 회복"과는 반대 현상이에요.
따라서, 이 특정 검출기 위치에서는 "부분적인 경로 정보를 얻음으로써 간섭이 부분적으로 파괴되어, 확률이 영에서 비영으로 변화했다"라는 것이 정확한 기술이에요.
Part III: 양자 지우개:
5. 마커 정보의 소거:
Part II에서 마커를 설치했지만, 그 정보를 읽지 않는(소거하는) 경우를 생각해요.
두 번째 규칙의 적용 조건으로 돌아가면, 진폭을 더하는 것은 "경로가 원리적으로 구별할 수 없는" 경우예요. 마커 정보를 소거한다는 것은, 어느 슬릿을 통과했는지의 정보가 원리적으로 취득 불가능한 상태로 되돌리는 것을 의미해요.
마커 정보를 완전히 소거하면, 3개의 경로는 다시 구별 불가능해지고, 두 번째 규칙이 부활해요:
원래의 완전한 간섭 패턴(Part I의 결과)이 회복돼요.
이것이 "양자 지우개(quantum eraser)"의 기본 원리예요. 양자 지우개란, 한 번 취득한 경로 정보(which-path information)를 사후적으로 소거함으로써, 잃어버린 간섭 패턴을 회복시키는 조작을 말해요. 중요한 점은:
- 경로 정보의 유무가 간섭을 결정해요: 간섭이 일어나는지 여부는, 경로 정보가 원리적으로 이용 가능한지 아닌지에 의해 결정돼요.
- 정보의 소거는 물리적 조작이에요: 단순히 "보지 않는" 것만으로는 불충분하고, 마커의 양자 상태를 적절히 조작하여 경로 정보를 원리적으로 복원 불가능하게 만들어야 해요.
- 사후 선택에 의한 회복: 실제 양자 지우개 실험에서는, 마커(보조계)의 측정 결과에 기반하여 데이터를 사후 선택(post-selection)함으로써, 간섭 무늬를 회복시켜요. 전체 데이터를 합산하면 간섭 무늬는 보이지 않지만, 특정 측정 결과에 대응하는 부분 앙상블에서는 간섭 무늬가 나타나요.
검산: Part I(정보 없음) → \(P = 0\), Part II(부분적 정보) → \(P = 2A^2\), 완전한 정보 → \(P = 3A^2\). 정보가 증가할수록 간섭이 파괴되고, 확률이 고전적 값 \(3A^2\)에 가까워져요. 정보를 소거하면 간섭이 회복되어 \(P = 0\)으로 돌아가요. 이 일련의 결과는 물리적으로 정합적이에요. ✓
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