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부록 A 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 벡터곱의 성분 계산

힌트

제 \(i\) 성분은 \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = a_j b_k - a_k b_j\)（첨자는 순환적）이에요. 형식적 행렬식을 제1행으로 여인수 전개해도 좋아요.

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B-2. 벡터곱의 직교성

힌트

내적의 정의 \(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\) 에 대입하기만 하면 돼요.

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B-3. 스칼라 삼중곱

힌트

\(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\) 를 사뤼스(Sarrus) 방법 또는 여인자 전개로 구해요.

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B-4. 스칼라장의 기울기

힌트

\(\nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\; \frac{\partial\varphi}{\partial y},\; \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)\) 의 각 성분을 편미분으로 구해요.

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B-5. 벡터장의 발산

참고 그림: 그림 A.1: 벡터곱（Appendix A）

힌트

\(\operatorname{div}\boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\) 에 대입해요.

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B-6. 벡터장의 회전

참고 그림: 그림 A.1: 벡터곱의 기하학（Appendix A）

힌트

\((\nabla \times \boldsymbol{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\) 와 같이 각 성분을 「뺄셈」으로 구해요.

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B-7. 스칼라장의 라플라시안

힌트

\(\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}\) 를 각 항별로 구해요.

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B-8. Lagrange 항등식의 확인

힌트

먼저 \(|\boldsymbol{a}|^2\), \(|\boldsymbol{b}|^2\), \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\) 를 구하고, 다음으로 \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) 의 각 성분의 제곱합을 구하여 비교해요.

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B-9. BAC-CAB 공식의 확인

힌트

먼저 \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\)를 구한 다음, \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\)를 계산해요. 우변은 스칼라 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}\)와 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\)를 먼저 구해요.

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B-10. rot(grad) = 0 의 확인

참고: 회전의 항등식 \(\nabla \times (\nabla\varphi) = 0\) 은 부록 A 의 A.5에서 해설해요.

힌트

먼저 \(\nabla\varphi\) 를 구하고, 이를 벡터장으로 간주하여 \(\nabla \times (\nabla\varphi)\) 의 각 성분을 계산해요. 편미분의 순서 교환에 주목하세요.

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Medium（표준）

M-1. BAC-CAB 공식의 증명

$$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $$를, 좌변과 우변의 \(x\) 성분을 일반적인 성분 \(a_i, b_i, c_i\)로 전개하여 비교함으로써 증명하세요. \(y\), \(z\) 성분에 대해서도 마찬가지로 성립함을 (대칭성의 논의를 이용하여) 설명하세요.

힌트

\(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\)의 성분을 써 내려가고, \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\)의 \(x\) 성분을 외적의 정의로부터 구해요. 우변의 \(x\) 성분 \(b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\)를 전개하여 비교해요.

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M-2. div(rot) = 0 의 증명

참고: 발산의 항등식 \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) 은 부록 A 의 A.5 에서 해설하고 있어요. $$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0 $\(이 성립함을 성분 표시를 이용하여 증명하세요. 또한, 이 항등식이 물리적으로 "자기 단극자가 존재하지 않는다"(\)\operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0$ 이고 \(\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}\))는 사실과 어떻게 관련되는지 간결하게 설명하세요.

힌트

\(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) 의 각 성분을 써 내려간 후, \(\operatorname{div}\) 를 취했을 때, \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_j \partial x_k}\) 와 \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_k \partial x_j}\) 의 항이 쌍을 이루어 소거됨을 보이세요.

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M-3. 벡터곱끼리의 내적 공식

$$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) $$에서 \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\)로 놓아 Lagrange의 항등식 $$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 $$을 유도하세요. 나아가 이 결과로부터 \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\)（\(\theta\)는 \(\boldsymbol{a}\)와 \(\boldsymbol{b}\)가 이루는 각）를 보이세요.

힌트

\(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\)를 대입하고, \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\)를 이용해요.

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M-4. 곱의 발산 공식

참고: 곱의 공식은 부록 A 의 A.5 항등식 목록을 참조하세요.

$$\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F}) $$을 성분 표시를 이용하여 증명하세요.

힌트

\(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = \frac{\partial(\varphi F_x)}{\partial x} + \cdots\) 를 곱의 미분법칙(라이프니츠 법칙)으로 전개해요.

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M-5. Gauss의 정리와 쿨롱 전기장

힌트

원점을 포함하는 임의의 폐곡면과 원점을 중심으로 하는 작은 구면 사이의 영역에서 Gauss의 정리를 적용하고, \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\)으로부터 면적분이 구면 위의 값과 같음을 보여요. 구면 위에서는 \(\boldsymbol{E}\)와 \(d\boldsymbol{S}\)가 평행하고 크기가 일정해요.

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Advanced（발전）

A-1. Levi-Civita 기호에 의한 항등식

$$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})i = \sum\, a_j\, b_k $$로 쓸 수 있어요. 다음 물음에 답하세요.} \varepsilon_{ijk

(a) 축약 공식 $$\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} $$을 인정하고, 벡터곱끼리의 내적 공식 $$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) $$을 첨자 계산만으로 유도하세요.

(b) 같은 축약 공식을 사용하여 BAC-CAB 공식 \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\)을 유도하세요.

(c) 본편에서 등장한 4차원 Levi-Civita 텐서 \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)와의 대응을 염두에 두고, 3차원의 \(\varepsilon_{ijk}\)를 이용하여 \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\)의 제 \(i\) 성분을 써내리고, 항등식 \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\)을 첨자 계산으로 재증명하세요.

힌트

(a) \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \sum_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j b_k)(\sum_{l,m}\varepsilon_{ilm} c_l d_m)\)로 쓰고, \(\sum_i \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}\)에 축약 공식을 적용해요. (b)에서는 \([\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_i = \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_k\)를 더 전개하고, \(\varepsilon\)의 곱을 축약해요. (c) \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \sum_i \partial_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k)\)에서 \(\varepsilon_{ijk}\)의 반대칭성과 \(\partial_i \partial_j\)의 대칭성을 대비해요.

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A-2. Stokes 정리의 응용

참고: Stokes 정리는 부록 A의 A.6에서 해설하고 있어요. $$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} $$를 이용하여 다음을 논하세요.

(a) 벡터장 \(\boldsymbol{F}\)가 \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\) (어떤 스칼라장 \(\varphi\)의 기울기)로 쓸 수 있을 때, 임의의 닫힌 곡선 \(C\)를 따르는 선적분 \(\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = 0\)이 됨을 Stokes 정리와 항등식 \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\)으로부터 보이세요.

(b) 역으로, 단연결 영역에서 \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\)이 성립하면, \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\)가 되는 스칼라장 \(\varphi\)가 존재함을 선적분을 이용한 \(\varphi\)의 구성법을 보임으로써 증명하세요.

(c) 본편에서 다룬 일반상대론의 맥락에서는, "닫힌 곡선을 따라 벡터를 평행이동했을 때의 어긋남"이 곡률 텐서로 기술되었어요. Stokes 정리와 곡률의 관계를, \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\)가 "미소 닫힌 곡선당 순환"을 나타낸다는 관점에서 정성적으로 논하세요 (정량적인 계산은 불필요해요).

힌트

(a)는 Stokes 정리의 우변에 항등식을 대입하기만 하면 돼요. (b)는 고정점 \(\boldsymbol{r}_0\)에서 \(\boldsymbol{r}\)까지의 선적분 \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}'\)이 경로에 의존하지 않음을 보이고, \(\nabla\varphi = \boldsymbol{F}\)를 확인하세요. (c)는 Stokes 정리에서 면적분의 피적분 함수가 "면적소당 순환"인 것과, 곡률 텐서가 "미소 평행사변형을 따른 평행이동의 어긋남"을 기술하는 것의 유사성을 서술하세요.

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