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프롤로그 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 태양-지구 간 중력 계산

뉴턴의 만유인력 \(F = Gm_1 m_2/r^2\) 에서, 태양(질량 \(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg)과 지구(질량 \(M_\oplus \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg) 사이의 중력의 크기를 계산하세요. 태양–지구 간 거리는 \(r \approx 1.5 \times 10^{11}\) m으로 해요.

힌트

수치를 \(F = G M_\odot M_\oplus / r^2\) 에 대입하기만 하면 돼요. 자릿수가 많으므로, 지수 부분을 먼저 정리하면 계산하기 쉬워요.

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B-2. 양성자 간의 중력과 Coulomb 력의 비

양성자 2개 사이의 중력과 Coulomb(쿨롱) 력의 비 \(F_{\text{grav}}/F_{\text{em}}\)를 구체적인 수치를 대입하여 계산하세요. \(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27}\) kg, \(e \approx 1.60 \times 10^{-19}\) C, \(1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)를 사용하세요.

힌트

\(F_{\text{grav}} = G m_p^2 / r^2\), \(F_{\text{em}} = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\). 비를 취하면 \(r^2\)가 약분돼요.

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B-3. 2차원 포텐셜의 기울기

2차원 포텐셜 \(\Phi(x, y) = x^2 + 4y^2\) 에 대해 다음 물음에 답하세요.

(a) 기울기(gradient) \(\nabla\Phi = (\partial\Phi/\partial x,\;\partial\Phi/\partial y)\) 를 구하세요.

(b) 점 \((1, 1)\) 에서의 기울기 벡터의 방향과 크기를 구하세요.

(c) 이 점에서 물체에 작용하는 힘 \(\boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\) 은 어느 방향을 향하는지, 등포텐셜선(\(\Phi = \text{const}\) 인 곡선)과의 관계로 설명하세요.

힌트

(a) 각 변수로 편미분하면 돼요. (b) 벡터의 크기는 \(|\nabla\Phi| = \sqrt{(\partial\Phi/\partial x)^2 + (\partial\Phi/\partial y)^2}\) 이에요. (c) 기울기 벡터는 등포텐셜선에 대해 어느 방향을 향하나요?

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B-4. 천체별 상대론 판정 기준

판정 기준 \(\Phi_{\text{rel}} = GM/(Rc^2)\)를 아래의 천체에 대해 계산하세요.

(a) 태양（\(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg, \(R_\odot \approx 7.0 \times 10^{8}\) m）

(b) 중성자별 (neutron star)（\(M \approx 1.4\,M_\odot\), \(R \approx 10\) km）

각각의 결과를 유효숫자 1자리로 나타내고, Newton 모델이 어느 정도 신뢰할 수 있는지 논의하세요.

힌트

\(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s를 사용하여, 먼저 분자 \(GM\)을 계산한 다음 \(Rc^2\)로 나누세요.

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B-5. 슈바르츠실트 반지름의 도출

탈출 속도 (escape velocity) \(v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/R}\) 를 이용하여, \(v_{\text{esc}} = c\) 가 되는 반지름 \(R_s\) 를 \(M\), \(G\), \(c\) 로 나타내세요. 이 \(R_s\) 를 슈바르츠실트(Schwarzschild) 반지름이라고 불러요.

힌트

\(v_{\text{esc}} = c\) 를 대입하여 \(R\) 에 대해 풀면 돼요.

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B-6. Schwarzschild 반지름에서의 판정 기준

문제 B-5. 슈바르츠실트 반지름의 도출 에서 구한 Schwarzschild 반지름 \(R_s\)를 이용하여, 판정 기준 \(GM/(Rc^2)\)를 \(R = R_s\)일 때 계산하고, 블랙홀에 대응하는 값을 확인하세요.

힌트

\(R_s\)의 식을 \(GM/(Rc^2)\)에 대입하세요.

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B-7. 관성질량과 중력질량의 등가 조건

관성질량 (inertial mass) \(m_i\) 과 중력질량 (gravitational mass) \(m_g\) 을 구별하여, 균일한 중력장 \(\mathbf{g}\) 속에서의 운동방정식을

\[ m_i\,\ddot{\boldsymbol{x}} = m_g\,\mathbf{g} \]

와 같이 써요. 물체 A（\(m_i^{(A)},\; m_g^{(A)}\)）와 물체 B（\(m_i^{(B)},\; m_g^{(B)}\)）가 같은 가속도로 낙하하기 위한 조건을 \(m_i\) 와 \(m_g\) 의 비를 사용하여 나타내세요.

힌트

각 물체의 가속도 \(\ddot{\boldsymbol{x}} = (m_g/m_i)\,\mathbf{g}\) 를 써 놓고, 양자가 같아지는 조건을 생각해 보세요.

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B-8. 편미분의 기초 계산

편미분의 계산 연습. 아래의 함수에 대해 지정된 편미분을 구하세요.

(a) \(f(x, y) = 3x^2 y + 2y^3\) 에 대해, \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) 와 \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) 를 구하세요.

(b) \(g(x, y, z) = x^2 y z^3\) 에 대해, \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\), \(\dfrac{\partial g}{\partial z}\) 를 구하세요.

(c) \(h(r, \theta) = r^2 \cos\theta\) 에 대해, \(\dfrac{\partial h}{\partial r}\) 와 \(\dfrac{\partial h}{\partial \theta}\) 를 구하세요.

힌트

편미분에서는 미분하는 변수 이외의 변수를 모두 상수로 취급해요. 예를 들어 \(\partial(3x^2 y)/\partial x\) 에서는 \(y\) 를 상수로 간주하고 \(x\) 로 미분해요.

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B-9. 기울기 벡터와 등온선

편미분과 기울기의 관계. 2변수 함수 \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) 는 어떤 평면 위의 온도 분포를 나타낸다고 해요.

(a) \(\dfrac{\partial T}{\partial x}\) 와 \(\dfrac{\partial T}{\partial y}\) 를 구하세요.

(b) 점 \((1, 2)\) 에서 \(\partial T/\partial x\) 와 \(\partial T/\partial y\) 의 값을 각각 계산하고, 그 물리적 의미(「\(x\) 방향으로 조금 움직이면 온도가 어떻게 변하는가」)를 말로 설명하세요.

(c) 기울기 벡터 \(\nabla T = (\partial T/\partial x,\;\partial T/\partial y)\) 를 점 \((1, 2)\) 에서 계산하고, 이 벡터가 등온선(\(T = \text{const.}\) 인 곡선)에 대해 어느 방향을 향하는지 답하세요.

힌트

(b) 수치를 대입하기만 하면 돼요. 부호에 주의하세요——음수라면 「그 방향으로 진행하면 온도가 내려간다」는 뜻이에요. (c) 기울기 벡터는 등온선에 대해 항상 수직이며, 온도가 가장 급격히 올라가는 방향을 가리켜요.

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Medium（표준）

M-1. 중력의 4가지 성질의 정량적 평가

중력의 4가지 기본 성질(보편성, 차폐 불가능, 장거리력, 극단적으로 약함)을 바탕으로 다음 물음에 답하세요.

(a) 원자·분자 스케일(\(\sim 10^{-10}\) m)에서 중력을 무시할 수 있는 이유를 전자기력과의 세기 비를 이용하여 정량적으로 설명하세요.

(b) 그럼에도 불구하고, 은하단(\(\sim 10^{23}\) m) 스케일에서 중력이 지배적이 되는 이유를 4가지 성질 중 어떤 것이 본질적인지 명시하여 설명하세요.

힌트

(a)에서는 본문의 \(F_{\text{grav}}/F_{\text{em}} \sim 10^{-36}\)을 활용하세요. (b)에서는 전자기력이 큰 스케일에서 중화되는 이유와 중력이 중화되지 않는 이유를 대비하세요.

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M-2. Newton에서 GR로의 전환 단계

본문 중의 표에 열거된 천체(지구, 태양, 백색왜성(white dwarf), 중성자별, 블랙홀)에 대해, \(GM/(Rc^2)\)의 값이 커짐에 따라 Newton 모델로부터의 편차가 어떻게 드러나는지를, 구체적인 관측 현상(수성의 근일점 이동, GPS의 시각 보정, 사건의 지평면(event horizon)의 형성 등)과 대응시켜 논하세요 (5~8문장 정도).

힌트

\(GM/(Rc^2)\)의 값의 크기에 따라, 「Newton으로 충분」→「미소한 보정이 필요」→「Newton이 완전히 파탄」이라는 단계를 정리하세요.

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M-3. 측지선과 등가원리의 관계

Einstein의 일반상대론에서는 「중력은 힘이 아니라 시공간의 휘어짐이다」라고 해석해요. 이 해석에서, 관성질량과 중력질량의 등가성（\(m_i = m_g\)）이 「설명할 수 없는 우연의 일치」가 아니게 되는 이유를, 「모든 물체는 휘어진 시공간 속에서 측지선(geodesic)을 따라 운동한다」는 관점에서 3〜5문장으로 설명하세요.

힌트

측지선은 시공간의 기하학만으로 결정되며, 운동하는 물체의 질량이나 조성에 의존하지 않는다는 점에 주목하세요.

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Advanced（발전）

A-1. GPS 위성의 중력적 시간 어긋남

GPS 위성은 고도 약 \(h \approx 2.0 \times 10^{4}\) km의 원궤도를 돌고 있어요. 지구의 질량을 \(M_\oplus \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg, 지구의 반지름을 \(R_\oplus \approx 6.4 \times 10^{3}\) km으로 해요.

(a) 지표와 위성 궤도에서의 중력 퍼텐셜 차이 \(\Delta\Phi = \Phi(R_\oplus + h) - \Phi(R_\oplus)\)를 구하세요.

(b) 일반상대론에 따르면, 중력 퍼텐셜 차이 \(\Delta\Phi\)가 있는 장소 사이에서는 시간의 흐름에 상대적인 어긋남이 생겨요. 그 비율은 근사적으로

\[ \frac{\Delta\tau}{\tau} \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

로 주어져요 (\(\Delta\tau/\tau > 0\)이면 위성의 시계가 빠르게 간다는 뜻이에요). 이 식을 이용하여, 위성의 시계가 지상의 시계에 대해 하루당 몇 마이크로초 (\(\mu\)s) 빠르게 가는지 어림하세요.

(c) (b)의 결과를 이용하여, 이 시각 어긋남을 보정하지 않았을 경우 하루당 발생하는 위치 오차의 크기를 개략적으로 구하세요.

힌트

(a) \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\)를 이용하여 두 점의 차이를 구하세요. (b) 하루 \(= 86400\) 초를 곱하세요. (c) 광속 \(c\)와 시각 어긋남의 곱이 거리 오차의 기준이 돼요. 참고로, 이 문제에서는 특수상대론적 효과(위성의 운동에 의한 시간 지연)는 무시하고 있어요.

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