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부록 H 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 중심전하의 일반 공식

\(bc\) 고스트계의 중심전하 일반 공식

\[ c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1) \]

을 이용하여, 아래 각 경우에 대해 중심전하를 계산하세요.

(a) 보손 끈의 재매개변수화 고스트 \(\lambda = 2\) (b) 초등각 대칭의 \(\beta\gamma\) 계 \(\lambda = 3/2\) (c) 자유 페르미온 \(\lambda = 1/2\) (d) \(\lambda = 0\) (자명한 예)

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B-2. 고스트의 에너지-운동량 텐서와 OPE 검증

\(bc\) 고스트계의 에너지-운동량 텐서는

\[ T_{\text{ghost}}(z) = -2\,b(z)\,\partial c(z) - \partial b(z)\,c(z)\]

로 주어져요. \(b\)와 \(c\)의 기본 OPE는 $$

b(z)\,c(w) \sim \frac{1}{z - w}$$

이에요.

(a) \(T_{\text{ghost}}(z)\,b(w)\)의 OPE를 계산하고, \(b(w)\)가 공형 무게 \(h_b = 2\)인 일차장(primary field)임을, 즉

\[ T_{\text{ghost}}(z)\,b(w) \sim \frac{2\,b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w}\]

을 보이세요.

(b) 마찬가지로 \(T_{\text{ghost}}(z)\,c(w)\)의 OPE를 계산하고, \(c(w)\)의 공형 무게가 \(h_c = -1\)임을 확인하세요.

(c) \(h_b + h_c = 1\)임을 확인하고, 이 관계가 고스트 수 흐름 \(j(z) = -b(z)c(z)\)의 공형 무게와 정합적임을 서술하세요.

힌트

Wick의 정리를 사용해요. \(T_{\text{ghost}}(z)\,b(w)\)에서는 \(c(z)\)와 \(b(w)\)의 축약 \(\langle c(z)b(w)\rangle = -1/(z-w)\)을 사용해요. \(\partial c(z)\)와의 축약은 \(1/(z-w)^2\)이에요.

Medium（표준）

M-1. \(T_{\text{ghost}} b\) OPE

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) \sim \frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w} \]

이 되도록 하는 \(T_{\text{ghost}}\)의 계수를 결정하세요 (\(\lambda\)를 일반적인 값으로 두고). 구체적으로, \(T_{\text{ghost}} = \alpha\, :bc': + \beta\, :b'c:\)의 형태를 가정하고, 이 OPE가 위의 형태가 되는 조건으로부터 \(\alpha, \beta\)를 \(\lambda\)로 표현하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 초끈의 임계 차원 \(D=10\) 의 도출

초끈의 임계 차원 \(D = 10\)을, 물질장과 고스트의 중심 전하 합이 0이 되는 조건으로부터 도출하세요. 물질장은 \(D\)개의 자유 보손(\(c = D\))과 \(D\)개의 월드시트 페르미온(각 \(c = 1/2\), 합계 \(c = D/2\)), 고스트장은 \(bc\) 계(\(c = -26\))와 \(\beta\gamma\) 계(\(c = +11\))로 구성되어 있어요.

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A-2. 물질장 중심전하의 감소

문제 H.3의 결과는 "초대칭 고스트 \(\beta\gamma\)의 중심전하가 \(+11\)이므로, 그만큼 물질장이 적어도 된다"고 해석할 수 있어요. 물질장의 합계 중심전하가 보손 끈(\(c_{\text{matter}} = 26\))에서 초끈(\(c_{\text{matter}} = 15\))으로 감소했음을 확인하세요.

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