제 1 장 연습문제 풀이¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 지표에서의 중력가속도 계산
- B-2. 중력 퍼텐셜의 \(x\) 성분의 미분
- B-3. 중력장의 벡터 표현
- B-4. 2개의 점질량에 의한 중첩
- B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산
- B-6. 점질량 외부에서의 Laplace 방정식
- B-7. 균일 밀도 구 내부의 포텐셜 상수
- B-8. 중력장의 발산과 Poisson 방정식
- B-9. 순간 전파와 특수상대론의 모순
- B-10. 태양 표면에서의 상대론적 효과 추정
- B-11. 중성자별의 상대론적 판정 기준 개산
Medium（표준）
- M-1. Gauss 법칙으로부터 Poisson 방정식의 도출
- M-2. 균일 밀도 구의 퍼텐셜 완전해
- M-3. 수성의 근일점 이동 스케일 평가
- M-4. 파동방정식과 Poisson 방정식의 비교
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 지표에서의 중력가속도 계산¶
→ 문제로 돌아가기
방침: \(|\mathbf{g}| = GM_\oplus/R_\oplus^2\) 에 수치를 대입해요.
분자: \(6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\)
분모: \((6.37 \times 10^6)^2 = 4.06 \times 10^{13}\)
고등학교에서 배운 중력가속도 \(g \approx 9.8\ \text{m/s}^2\) 와 일치해요. Newton의 만유인력으로부터 지표의 중력가속도가 올바르게 유도된다는 것을 확인할 수 있었어요.
검산: 차원 확인: \([GM/R^2] = \text{m}^3\text{s}^{-2}\text{kg}^{-1} \cdot \text{kg} / \text{m}^2 = \text{m/s}^2\). 올바릅니다. ✓
B-2. 중력 퍼텐셜의 \(x\) 성분의 미분¶
→ 문제로 돌아가기
방침: \(\Phi = -GM/r\), \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) 에 대해 연쇄 법칙을 적용해요.
먼저 각 인자를 계산해요:
따라서
그러므로 중력장의 \(x\) 성분은
검산: \(x\) 축 위의 점 \((r,0,0)\) 에서는 \(g_x = -GM/r^2\) 이 되며, 원점을 향하는 인력으로서 올바른 결과예요.
B-3. 중력장의 벡터 표현¶
→ 문제로 돌아가기
문제 B-2. 중력 퍼텐셜의 \(x\) 성분의 미분와 마찬가지로 \(y\), \(z\) 성분을 계산해요:
벡터로 정리하면
여기서 단위벡터 \(\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r = (x/r,\,y/r,\,z/r)\)를 사용하면
이것은 식 (1.3)과 일치해요.
검산: \(|\mathbf{g}| = GM/r^2\) 이고, 방향은 \(-\hat{\mathbf{r}}\)(원점을 향하는 인력)로 물리적으로 올바르게 돼요.
B-4. 2개의 점질량에 의한 중첩¶
→ 문제로 돌아가기
Poisson 방정식은 선형이므로, 중첩의 원리에 의해
중력장은 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)로부터
검산: \(M_2 = 0\)으로 놓으면 점질량 1개인 경우로 귀착돼요. ✓ 또한, \(\mathbf{r} \to \infty\)에서는 \(\Phi \to -G(M_1+M_2)/r\)이 되어, 먼 거리에서는 전체 질량이 한 점에 집중한 경우와 같은 거동을 보여요. ✓
B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산¶
→ 문제로 돌아가기
방침: 구대칭 함수 \(f(r) = r^n\)에 대해 동경 부분의 라플라시안을 적용해요.
단계 1: 1계 미분
단계 2: \(r^2\)를 곱하기
단계 3: 다시 \(r\)로 미분
단계 4: \(1/r^2\)를 곱하기
\(n\) 값에 따른 정리:
| \(n\) | \(\nabla^2(r^n)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(2r^{-1}\) |
| \(2\) | \(6\) |
| \(-1\) | \(0\) |
| \(-2\) | \(6r^{-4}\) |
검산: \(n=2\)일 때 \(f = r^2 = x^2+y^2+z^2\)이므로 \(\nabla^2 f = 2+2+2 = 6\)이에요. 일치해요. ✓
B-6. 점질량 외부에서의 Laplace 방정식¶
→ 문제로 돌아가기
\(\Phi = -GM\,r^{-1}\) 이므로, 문제 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산의 결과에서 \(n = -1\)로 놓으면
따라서
Poisson 방정식과의 정합성:
Poisson 방정식은 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) 이에요. 점질량의 질량밀도는
\(r \neq 0\) 에서는 \(\delta^3(\mathbf{r}) = 0\) 이므로 \(\rho = 0\) 이며, \(\nabla^2\Phi = 0\) 은 Poisson 방정식과 모순되지 않아요. \(r = 0\) 에서는 델타 함수의 특이성이 있으며, \(\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r})\) 라는 분포의 의미에서의 등식이 성립해요.
B-7. 균일 밀도 구 내부의 포텐셜 상수¶
→ 문제로 돌아가기
\(\Phi(r) = Ar^2 + B\) 를 Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho_0\) 에 대입해요.
문제 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산 의 결과로부터 \(\nabla^2(r^2) = 6\), \(\nabla^2(B) = 0\) 이므로
Poisson 방정식으로부터
검산: \(A\) 의 차원은 \([G][\rho_0] = (\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}})(\mathrm{kg\,m^{-3}}) = \mathrm{s^{-2}}\) 이에요. \(\Phi = Ar^2\) 의 차원은 \(\mathrm{s^{-2}\cdot m^2} = \mathrm{m^2\,s^{-2}}\) (퍼텐셜의 차원)로 올바르네요. ✓
B-8. 중력장의 발산과 Poisson 방정식¶
→ 문제로 돌아가기
Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\)를 대입하면
이것은 중력장에 대한 Gauss 법칙의 미분 형태예요.
검산: 질량이 있는 곳 (\(\rho > 0\))에서는 \(\nabla\cdot\mathbf{g} < 0\)이며, 중력장이 질량을 향해 "수렴"한다는 것을 의미해요. 물리적으로 올바르네요. ✓
B-9. 순간 전파와 특수상대론의 모순¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: 태양–지구 간 빛의 전파 시간을 계산하고, Newton의 순간 전파와 비교해요.
계산¶
태양–지구 간 평균 거리는 \(d = 1\;\text{AU} \approx 1.50 \times 10^{11}\;\text{m}\)이에요. 광속은 \(c = 3.00 \times 10^8\;\text{m/s}\)예요.
빛이 태양에서 지구에 도달하기까지의 시간은,
Newton 모델과 특수상대론의 모순¶
Newton의 중력 모델에서는 중력이 Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)를 따르며, 소스 \(\rho\)의 변화는 퍼텐셜 \(\Phi\)에 순간적으로 반영돼요(시간 미분 항이 없기 때문). 따라서 태양이 갑자기 사라진 경우, 지구가 받는 중력은 그 순간 영이 되며, 지구는 즉시 직선 운동(접선 방향으로의 등속 운동)을 시작해요.
한편, 특수상대론에 따르면, 어떠한 물리적 정보·영향도 광속 \(c\)를 초과하여 전파될 수 없어요. 태양의 소멸이라는 정보가 지구에 도달하려면 적어도 \(\Delta t \approx 500\;\text{s}\)(약 8분 20초)가 걸려야 해요.
이 모순은 구체적으로 다음과 같이 나타나요:
- Newton 모델: \(t = 0\)에서 태양이 사라짐 → \(t = 0\)에서 지구의 궤도가 변함 (지연 없음)
- 특수상대론과 정합하는 이론: \(t = 0\)에서 태양이 사라짐 → \(t \approx 500\;\text{s}\)까지 지구는 통상적인 공전을 계속함 → \(t \approx 500\;\text{s}\) 이후에 궤도가 변함
Newton의 중력 모델은 순간적인 원격 작용 (action at a distance)을 포함하고 있으며, 이는 특수상대론의 인과율(정보 전달 속도 \(\leq c\))과 근본적으로 모순돼요. 이 모순을 해소하기 위해서는 중력의 변화가 유한한 속도(\(c\))로 전파되는 이론——즉 일반상대론——이 필요해요.
검산¶
차원 확인: \([d/c] = \text{m}/(\text{m/s}) = \text{s}\). 올바르네요. ✓
수치의 타당성: 태양빛이 지구에 도달하기까지 약 8분이라는 것은 천문학의 기본적인 사실로 널리 알려져 있으며, 계산 결과와 정합해요. ✓
B-10. 태양 표면에서의 상대론적 효과 추정¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침: \(GM_\odot/(R_\odot c^2)\) 에 수치를 대입하여 상대론적 효과의 크기를 평가해요.
계산¶
주어진 값:
- \(G = 6.67 \times 10^{-11}\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
- \(M_\odot = 1.99 \times 10^{30}\;\text{kg}\)
- \(R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\;\text{m}\)
- \(c = 3.00 \times 10^{8}\;\text{m/s}\)
분자:
분모:
비:
상대론적 효과의 크기 추정¶
이 무차원량 \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) 은 태양 표면 근처에서의 일반상대론적 효과의 상대적 크기를 나타내는 지표예요.
-
중력 적색편이: 태양 표면에서 방출된 빛의 진동수는 무한 원점에서 관측하면 \(\Delta\nu/\nu \sim GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) 만큼 적색편이해요. 이것은 고분해능 분광 관측으로 검출 가능한 크기예요.
-
빛의 편향: 태양 근방을 통과하는 빛은 일반상대론에 의해 \(\delta\theta \sim GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\;\text{rad} \approx 0.4''\) (실제 값은 \(4GM_\odot/(R_\odot c^2) \approx 1.75''\)) 정도의 크기로 휘어져요. 1919년 일식 관측에서 확인되었어요.
-
수성의 근일점 이동: \(GM_\odot/(ac^2) \sim 10^{-8}\) (\(a\)는 수성의 궤도 긴반지름) 정도의 보정이 1공전마다 축적되어 100년에 약 43초각의 어긋남이 돼요.
\(10^{-6}\) 이라는 값은 일상적인 스케일에서는 뉴턴 역학이 매우 좋은 근사임을 의미하지만, 정밀한 천문 관측이나 고정밀도 실험에서는 일반상대론적 보정이 검출 가능하며, 실제로 검출되고 있어요.
검산¶
차원 확인: $[GM/(Rc^2)] = (\text{m}^3\text{s}^{-2}\text{kg}^{-1} \cdot \text{kg})/(\text{m} \cdot \text{m}^2\text{s}^{-2}) = $ 무차원. 맞아요. ✓
프롤로그의 표에 있는 태양의 값 \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) 과 일치해요. ✓
B-11. 중성자별의 상대론적 판정 기준 개산¶
→ 문제로 돌아가기
주어진 값:
- \(M = 1.4\,M_\odot\)
- \(R = 10\;\mathrm{km}\)
- \(GM_\odot/c^2 \approx 1.48\;\mathrm{km}\)
이 값은 1에 가까운 값이며, 중성자별 표면 근처에서는 뉴턴 중력이 크게 보정을 받아 일반상대론적 효과를 무시할 수 없다는 것을 의미해요.
검산: 비교를 위해, 태양의 경우 \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \approx 1.48\;\mathrm{km}/7\times10^5\;\mathrm{km} \sim 10^{-6}\) 이며, 뉴턴 중력이 충분히 좋은 근사임과 일치해요. ✓
Medium（표준）¶
M-1. Gauss 법칙으로부터 Poisson 방정식의 도출¶
→ 문제로 돌아가기
출발점: 중력장에 대한 Gauss 법칙(적분형)
단계 1: 좌변에 발산 정리를 적용해요.
단계 2: 우변의 \(M_{\mathrm{enc}}\)를 밀도의 적분으로 써요.
단계 3: (ii), (iii)를 (i)에 대입해요.
단계 4: 식 (iv)는 임의의 체적 \(V\)에 대해 성립해요. 피적분함수가 연속이면, 이는 피적분함수 자체가 영임을 의미해요:
단계 5: \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)를 대입해요.
이것이 Poisson 방정식이에요.
검산: \(\rho = 0\)인 경우, Laplace 방정식 \(\nabla^2\Phi = 0\)으로 귀착돼요. 점질량 \(\rho = M\delta^3(\mathbf{r})\)인 경우, 해 \(\Phi = -GM/r\)이 얻어진다는 것은 문제 B-6. 점질량 외부에서의 Laplace 방정식에서 확인했어요. ✓
M-2. 균일 밀도 구의 퍼텐셜 완전해¶
→ 문제로 돌아가기
반지름 \(R\), 균일 밀도 \(\rho_0\), 전체 질량 \(M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0\) 인 구를 생각해요.
(a) 외부 (\(r > R\))¶
외부에서는 \(\rho = 0\) 이므로, 구대칭 Poisson 방정식은 Laplace 방정식이 돼요:
\(r^2\,d\Phi/dr = C_1\) (상수)로 적분할 수 있으므로
한 번 더 적분하면
경계 조건: \(r\to\infty\) 에서 \(\Phi\to 0\) 이므로 \(C_2 = 0\).
구각 정리(또는 Gauss 법칙)에 의해, 외부에서는 전체 질량 \(M\)이 중심에 집중한 경우와 같은 퍼텐셜을 주므로 \(C_1 = GM\).
(b) 내부 (\(r < R\))¶
내부에서는 \(\rho = \rho_0\) 이므로 Poisson 방정식은
문제 B-7. 균일 밀도 구 내부의 포텐셜 상수 의 결과로부터, 특수해는 \(\Phi_p = Ar^2\) 이고 \(A = \frac{2\pi G\rho_0}{3}\) 이에요.
제차 방정식 \(\nabla^2\Phi = 0\) 의 구대칭 해는 \(\Phi_h = \alpha/r + \beta\) 이에요. \(r = 0\) 에서 정칙(유한)이려면 \(\alpha = 0\) 이어야 해요.
따라서 일반해는
경계 조건 1: \(r = R\) 에서 퍼텐셜이 연속
\(M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0\) 을 사용하면 \(\frac{GM}{R} = \frac{4\pi G\rho_0 R^2}{3}\) 이므로
경계 조건 2: \(r = R\) 에서 \(d\Phi/dr\) 이 연속
양쪽이 일치해요. ✓ (\(\beta\) 는 미분에 영향을 주지 않으므로, 경계 조건 1만으로 \(\beta\) 가 결정되고, 조건 2는 자동으로 만족돼요.)
\(\rho_0 = \frac{3M}{4\pi R^3}\) 을 대입하여 \(\beta\) 를 \(M\), \(R\) 로 다시 쓰면:
마찬가지로 \(A = \frac{2\pi G}{3}\cdot\frac{3M}{4\pi R^3} = \frac{GM}{2R^3}\)
(c) \(r = 0\) 과 \(r = R\) 에서의 값 비교¶
중심에서의 퍼텐셜은 표면에서의 값보다 \(3/2\) 배(절댓값으로) 더 깊어요:
검산: \(r = R\) 에서 \(\Phi_{\mathrm{in}}(R) = \frac{GM}{2R^3}R^2 - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{2R} - \frac{3GM}{2R} = -\frac{GM}{R} = \Phi_{\mathrm{out}}(R)\). ✓
M-3. 수성의 근일점 이동 스케일 평가¶
→ 문제로 돌아가기
무차원량 계산:
차원 해석적 논의:
일반상대론적 보정은 뉴턴 중력으로부터의 상대적 어긋남으로서 무차원량 \(GM_\odot/(ac^2)\) 의 오더로 나타날 것으로 기대돼요. 이것이 1공전당 근일점 이동각(라디안)의 스케일을 제공해요.
100년간의 공전 횟수를 추정해요. 수성의 공전 주기는 약 88일이므로
100년간의 누적 어긋남의 오더는
한편, 관측값 43초각을 라디안으로 환산하면
양자를 비교하면
즉, 차원 해석적 오더 평가 \(\sim GM_\odot/(ac^2)\) 는 관측값과 \(6\pi \approx 19\) 라는 수치 인자의 범위 내에서 일치하고 있어요. 차원 해석에서는 \(O(1)\) 의 수치 인자(\(2\pi\) 나 \(6\pi\) 등)를 결정할 수 없으므로, 이것은 오더로서 올바르게 대응한다고 말할 수 있어요.
실제로 일반상대론의 엄밀한 계산(제 8 장에서 도출)에서는, 1공전당 근일점 이동이
로 구해져요. \(e \approx 0.206\) 으로 \(1/(1-e^2) \approx 1.04\) 이며,
이것은 관측값과 정밀하게 일치해요.
M-4. 파동방정식과 Poisson 방정식의 비교¶
→ 문제로 돌아가기
정전기장으로의 귀착:
소스 \(\rho_e\)가 시간 변화하지 않는 경우, \(\varphi\)도 시간에 의존하지 않으므로 \(\partial^2\varphi/\partial t^2 = 0\)이에요. 파동방정식은
\(\Downarrow \quad \partial/\partial t = 0\)
이것은 정전기장의 Poisson 방정식이에요.
구조적인 유사점과 차이점 정리:
| Newton 중력의 Poisson 방정식 | 정전기장의 Poisson 방정식 | |
|---|---|---|
| 방정식 | \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) | \(\nabla^2\varphi = -\rho_e/\varepsilon_0\) |
| 소스 | 질량밀도 \(\rho\) (항상 양) | 전하밀도 \(\rho_e\) (양음 있음) |
| 힘의 부호 | 항상 인력 | 인력·척력 모두 |
| 결합상수 | \(4\pi G\) (양) | \(-1/\varepsilon_0\) (음) |
| 점 소스의 해 | \(\Phi = -GM/r\) | \(\varphi = q/(4\pi\varepsilon_0 r)\) |
유사점:
- 둘 다 \(\nabla^2(\cdot) = (\text{소스})\)라는 같은 수학적 구조(타원형 편미분방정식)를 가져요
- 점 소스에 대해 \(1/r\) 형의 퍼텐셜을 줘요 (역제곱 법칙)
- 중첩의 원리가 성립해요 (선형 방정식)
- 시간 미분을 포함하지 않으며, 소스의 변화가 순간적으로 전달돼요
차이점:
- 부호가 반대: 중력은 항상 인력, 정전기력은 같은 부호끼리 척력·다른 부호끼리 인력
- 정전기장의 Poisson 방정식은 보다 근본적인 파동방정식의 정적 극한으로 얻어져요. 반면, Newton의 Poisson 방정식에는 대응하는 '모체' 파동방정식이 Newton 이론의 틀 안에는 존재하지 않아요 (일반상대론이 필요)
- 전자기학에서는 동적인 경우에 파동방정식으로 확장되어 전자기파가 광속으로 전파해요. Newton 중력에는 이러한 자연스러운 확장이 없어요
Advanced（발전）¶
A-1. 스칼라 중력 이론의 시도¶
→ 문제로 돌아가기
(a) 분산 관계의 도출¶
\(c_g = c\) 로 놓고, 소스가 없는 (\(\rho = 0\)) 방정식
에 평면파 해 \(\Phi = \Phi_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\) 를 대입해요.
각 미분을 계산하면:
대입하면
\(\Phi \neq 0\) 이므로
이것은 질량이 0인 장(광자와 동일)의 분산 관계이며, 위상 속도와 군속도 모두 \(c\) 예요. 중력의 변화는 광속으로 전파돼요.
검산: 전자기파의 분산 관계 \(\omega = c|\mathbf{k}|\) 와 같은 형태이며, 파동 방정식의 구조가 같으므로 당연히 일치해요. ✓
(b) 스칼라 중력 이론의 한계¶
이 수정으로 순간 전파 문제는 해소되지만, 스칼라 퍼텐셜 \(\Phi\) 만으로 중력을 기술하는 이론에는 다음과 같은 심각한 문제가 있어요.
1. 소스의 문제:
특수 상대론에서 에너지와 운동량은 4원 운동량 \(p^\mu = (E/c,\,\mathbf{p})\) 으로 통일돼요. 나아가 연속체의 경우, 소스는 에너지 밀도뿐만 아니라 운동량 밀도, 압력, 응력을 포함하는 에너지-운동량 텐서 \(T^{\mu\nu}\) (2계 대칭 텐서, 독립 성분 10개)로 기술돼요.
Newton 중력의 \((\ast)\) 식에서는 소스가 질량 밀도 \(\rho\) (스칼라량)뿐이에요. 특수 상대론에서 \(\rho c^2\) 는 에너지 밀도에 대응하며, \(T^{00}\) 성분에 불과해요. \(T^{\mu\nu}\) 의 나머지 성분(운동량 플럭스, 압력, 전단 응력)이 중력의 소스로 기여하지 않게 되어, Lorentz 변환에 대해 정합적이지 않아요.
2. 장의 자유도 문제:
전자기학에서 장은 벡터 퍼텐셜 \(A^\mu\) (4성분)로 기술되며, 소스인 전류 밀도 \(J^\mu\) (4성분)와 정합해요. 일반 상대론에서 장은 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\) (대칭 2계 텐서, 독립 성분 10개)로 기술되며, 소스 \(T^{\mu\nu}\) (10성분)와 정합해요. 스칼라 \(\Phi\) (1성분)로는 \(T^{\mu\nu}\) 의 정보를 충분히 받아들일 수 없어요.
3. 구체적인 물리적 귀결:
- 스칼라 이론에서는 빛의 편향을 올바르게 예측할 수 없어요 (일반 상대론 예측의 절반만 얻어져요)
- 압력이 중력의 소스가 되지 않으므로, 중성자별의 구조나 우주론적 팽창의 기술이 부정확해져요
- 중력파의 편극 모드를 올바르게 기술할 수 없어요 (스칼라파는 스칼라 모드만, 일반 상대론에서는 텐서 모드)
(c) \(c_g \to \infty\) 의 극한¶
\((\ast)\) 식에서 \(c_g \to \infty\) 로 하면
따라서
이것은 "Newton 중력은 중력의 전파 속도가 무한대인 극한, 즉 \(c \to \infty\) 의 근사이다"라는 주장과 정합해요. 특수 상대론의 효과가 무시할 수 있는 (\(v \ll c\), \(GM/(Rc^2) \ll 1\)) 상황에서는 \(c\) 를 사실상 무한대로 간주할 수 있으므로, Poisson 방정식이 좋은 근사가 돼요.
검산: 차원 분석으로 확인해요. \((\ast)\) 식의 각 항의 차원은 \([\nabla^2\Phi] = \mathrm{m^2\,s^{-2}/m^2} = \mathrm{s^{-2}}\), \([\partial^2\Phi/(c_g^2\partial t^2)] = \mathrm{m^2\,s^{-2}/(m^2\,s^{-2}\cdot s^2)} = \mathrm{s^{-2}}\) 로 정합해요. ✓
A-2. 구각 정리와 조석력¶
→ 문제로 돌아가기
구각 내부에서 퍼텐셜이 상수임을 유도¶
균일 밀도의 구각(내경 \(R_1\), 외경 \(R_2\))을 생각해요. 내부 공동 (\(r < R_1\))에서는 \(\rho = 0\)이므로
구대칭을 가정하면, 지름 방향만의 Laplace 방정식은
일반해는
경계 조건: \(r = 0\)에서 퍼텐셜이 정칙(유한)이려면 \(\alpha = 0\)이어야 해요.
상수 \(\beta\)의 값은 \(r = R_1\)에서 구각 내면과의 접속 조건으로 결정되지만, 공동 내부에서는 퍼텐셜이 일정해요.
(구체적으로는, 구각 외부 (\(r > R_2\))에서 \(\Phi = -GM_{\mathrm{shell}}/r\)이고, 구각 내부 (\(R_1 < r < R_2\))에서 Poisson 방정식을 풀어 \(r = R_1\)과 \(r = R_2\)에서의 접속 조건을 사용하여 \(\beta\)가 결정돼요. 결과는 \(\beta = -GM_{\mathrm{shell}}/R_1\)이 아니라, 구각의 질량 분포에 따른 값이 돼요.)
(a) 구각 내부의 임의 위치에서의 중력¶
공동 내부에서 퍼텐셜이 상수이므로
따라서, 구각의 중심에서 약간 벗어난 위치 \(\mathbf{r}_0\)에 질량 \(m\)인 물체를 놓아도, 물체에 작용하는 중력은 영이에요.
이것은 Newton의 구각 정리의 귀결이에요. 물리적으로는, 벗어난 위치에서 보면 가까운 쪽의 껍질은 가깝지만 면적(입체각)이 작고, 먼 쪽의 껍질은 멀지만 면적이 커요. \(1/r^2\) 법칙과 입체각의 효과가 정확히 상쇄되어, 알짜 힘이 영이 돼요.
(b) 타원체로 변형된 경우의 공동 내부 중력장과 조석력¶
구각이 완전한 구대칭에서 약간 타원체로 변형되어 있는 경우, 구각 정리의 전제(구대칭)가 깨져요.
공동 내부의 퍼텐셜:
변형이 작은 경우, 퍼텐셜을 구대칭 부분과 섭동으로 분해할 수 있어요:
여기서 \(\Phi_0\)는 상수(구대칭 부분), \(\delta\Phi(\mathbf{r})\)는 변형에 의한 보정으로, 공간적으로 균일하지 않아요. 타원체 변형의 경우, \(\delta\Phi\)는 전형적으로 \(r^2\)에 비례하는 2차 항(구면 조화 함수 \(Y_2^m\)의 형태)을 포함해요. 구체적으로, 공동 내부에서 \(\nabla^2(\delta\Phi) = 0\)을 만족하고, \(r = 0\)에서 정칙인 해는
의 형태를 취해요. 타원체 변형(\(\ell = 2\) 모드)이 지배적인 경우,
가 돼요.
공동 내부의 중력장:
퍼텐셜이 일정하지 않게 되므로, 공동 내부에 영이 아닌 중력장이 생겨요. \(\delta\Phi \propto r^2 Y_2^m\)인 경우, \(\mathbf{g} = -\nabla(\delta\Phi)\)는 위치 \(\mathbf{r}\)에 선형으로 의존해요. 즉, 공동 내의 서로 다른 점에서 중력장의 방향과 크기가 달라요.
조석력과의 관계:
조석력이란, 중력장의 공간적 불균일성——즉 중력장이 장소에 따라 다른 것——에 기인하는 힘이에요. 인접한 두 질점이 서로 다른 중력 가속도를 받을 때, 그 차이가 조석력으로 관측돼요.
Newton 중력에서, 조석력은 중력 퍼텐셜의 2계 미분으로 특징지어져요. 조석 텐서 (tidal tensor)를
로 정의해요. 이것은 중력장의 공간 변화율(중력장의 기울기)을 나타내요.
- 완전 구대칭 구각: 공동 내에서 \(\Phi = \text{const}\)이므로 \(\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j = 0\)이에요. 조석 텐서는 영이며, 조석력은 존재하지 않아요.
- 타원체로 변형된 구각: \(\delta\Phi \propto r^2 Y_2^m\)과 같은 항이 나타나면, \(\partial^2(\delta\Phi)/\partial x^i\partial x^j \neq 0\)(상수 텐서)가 돼요. 공동 내에 균일한 조석력이 생겨요.
구체적으로, 타원체의 장축 방향으로는 늘어나는 힘(\(T_{ij}\)의 고유값이 양), 단축 방향으로는 압축하는 힘(\(T_{ij}\)의 고유값이 음)이 작용해요. 이것은 지구에서 달의 중력이 일으키는 해양 조석과 본질적으로 같은 메커니즘이에요.
조석 텐서의 대각합(trace)에 대한 제약:
공동 내에서 \(\rho = 0\)이므로 Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 0\)이 성립해요. 이것은
을 의미해요. 즉, 조석 텐서는 대각합이 영(traceless)이며, 조석력은 부피를 보존하는 변형(늘어남과 압축이 균형을 이루는)만을 일으켜요.
일반상대론과의 대응:
일반상대론에서, 조석력은 시공간의 곡률로 기술돼요. 구체적으로, Riemann 곡률 텐서 \(R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}\)가 측지선 편차 방정식(geodesic deviation equation)
을 통해, 인접한 두 측지선의 상대 가속도(= 조석력)를 줘요. 여기서 \(\xi^\alpha\)는 측지선 간의 편차 벡터, \(u^\beta\)는 4원 속도예요.
Newton 극한(약한 중력장, 저속)에서, 이 방정식은
로 귀착돼요. 따라서, Newton 중력에서의 조석 텐서 \(\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j\)는 Riemann 텐서의 특정 성분 \(R^0{}_{i0j}\)(의 Newton 극한)에 대응해요.
또한, 진공에서의 대각합 영 조건 \(\nabla^2\Phi = 0\)(\(\Leftrightarrow T_{ii} = 0\))은, 일반상대론에서의 진공 Einstein 방정식 \(R_{\mu\nu} = 0\)(Ricci 텐서가 영)에 대응해요. Riemann 텐서 자체는 영이 아니더라도(조석력이 존재하더라도), 그 대각합 부분(Ricci 텐서)이 영이라는 조건이, 진공에서의 중력장의 성질을 규정하고 있어요.
검산: 공동 내에서 \(\rho = 0\)이므로 \(\nabla^2\Phi = 0\), 즉 \(T_{ii} = 0\)이에요. 조석력은 부피를 보존해요(늘어남과 압축이 균형을 이룸). 이것은 일반상대론에서 진공 중의 Ricci 텐서 \(R_{\mu\nu} = 0\)에 대응하며, 정합적이에요. ✓
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