부록 D 연습문제 풀이¶
목차
Basic（기초）
- B-1. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ tt}\)
- B-2. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ rr}\)
- B-3. Minkowski 구좌표의 \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)
- B-4. FRW의 \(\Gamma^r_{\ tr}\)
- B-5. FRW의 \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)
- B-6. Schwarzschild 정규직교기저의 확인
- B-7. 일반 구대칭 Christoffel 확인
- B-8. Riemann 텐서의 대칭성 적용
- B-9. Schwarzschild의 \(R_{tt} = 0\)
- B-10. FRW의 스칼라 곡률
Medium（표준）
- M-1. Schwarzschild 측지선의 Newton 극한
- M-2. FRW와 Friedmann 방정식·보존법칙
- M-3. Schwarzschild의 Kretschmann 스칼라
- M-4. 질량 함수의 도출
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ tt}\)¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
를 이용하여 \(\Gamma^r{}_{tt}\)를 도출하세요. 도중에 \(g^{rr}\)과 \(\partial_r g_{tt}\)를 명시적으로 써 내려가세요.
풀이 방침:
대각 계량에서는 Christoffel 기호의 정의식에서 합을 취하는 첨자 \(\alpha\) 중 \(g^{\mu\alpha} \neq 0\)이 되는 것은 \(\alpha = \mu\)뿐이에요. \(\mu = r\)이므로 \(\alpha = r\)만 기여해요.
계산의 상세:
정의식에 \(\mu = r\), \(\nu = \sigma = t\)를 대입해요:
대각 계량이므로 \(\alpha = r\)만 기여해요:
\(g^{rr}\)의 계산:
\(\partial_r g_{tt}\)의 계산:
대입:
최종 답:
검산:
원방 극한 \(r \gg 2M\)에서 \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\)이에요. 이는 Newton 중력의 가속도 \(GM/r^2\)(\(G=1\))와 일치해요. ✓
B-2. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ rr}\)¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
마찬가지로 Schwarzschild 계량에서, \(\Gamma^r{}_{rr} = -\frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\)을 정의식으로부터 도출하세요. \(\partial_r g_{rr}\)을 꼼꼼하게 계산하세요.
풀이 방침:
\(\mu = \nu = \sigma = r\) 을 대입해요. 대각 계량이므로 \(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\) 이 돼요.
계산의 상세:
정의식에 대입:
\(\partial_r g_{rr}\) 의 계산:
\(g_{rr} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\) 에 대해 \(u = 1 - \frac{2M}{r}\) 으로 놓으면 \(g_{rr} = u^{-1}\) 이에요.
대입:
최종 답:
검산:
\(\Gamma^r{}_{rr}\) 과 \(\Gamma^r{}_{tt}\) 의 곱을 확인해요: \(\Gamma^r{}_{tt}\cdot\Gamma^r{}_{rr} = \frac{M}{r^2}(1-2M/r)\cdot\left(-\frac{M}{r^2}\right)(1-2M/r)^{-1} = -M^2/r^4\). 이는 공식집의 값과 일치해요. ✓
B-3. Minkowski 구좌표의 \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
로부터 \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\)를 정의식에 따라 계산하세요.
계산의 상세:
\(\mu = \theta\), \(\nu = \sigma = \varphi\) 를 대입해요. 대각 계량이므로 \(\alpha = \theta\) 만 기여해요:
각 양의 계산:
대입:
최종 답:
검산:
Schwarzschild 계량의 공식집에서도 \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\sin\theta\) 이며, 이 성분은 각도 부분에만 의존하므로 일치해요. ✓
B-4. FRW의 \(\Gamma^r_{\ tr}\)¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
에서 \(\Gamma^r{}_{tr}\)를 정의식으로부터 계산하고, \(\dot{a}/a\)가 됨을 확인하세요.
계산의 상세:
\(\mu = r\), \(\nu = t\), \(\sigma = r\) 를 대입해요. 대각 계량에서 \(\alpha = r\) 만 기여해요:
(\(g_{rt} = 0\) 이므로 제2항·제3항은 사라져요.)
각 양의 계산:
\(k=0\) 에서는 \(g_{rr} = a^2(t)\) 이므로
대입:
최종 답:
검산:
이것은 허블 매개변수 \(H(t)\) 와 같아요. 우주 팽창에 의한 공동 좌표의 "끌림 효과"를 나타내며, 물리적으로 타당해요. 공식집의 값과도 일치해요. ✓
B-5. FRW의 \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
FRW 계량（\(k=0\)）에서 \(\Gamma^t{}_{\theta\theta}\)를 계산하고, 공식집의 \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2\)를 확인하세요.
계산의 상세:
\(\mu = t\), \(\nu = \sigma = \theta\) 를 대입해요. 대각 계량에서 \(\alpha = t\) 만 기여해요:
각 양의 계산:
대입:
최종 답:
검산:
공식집의 값 \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2\) 과 완전히 일치해요. ✓
B-6. Schwarzschild 정규직교기저의 확인¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
Schwarzschild 계량의 정규직교기저 \(\mathbf{e}_{\hat{r}}\) 에 대해, \(g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = +1\) 이 성립하는 것을 공식집에 주어진 성분을 이용하여 확인하세요.
계산의 상세:
공식집에서:
내적을 계산해요:
영이 아닌 성분은 \(\alpha = \beta = r\)뿐이에요:
최종 답:
검산:
마찬가지로 \(g(\mathbf{e}_{\hat{t}},\, \mathbf{e}_{\hat{t}}) = g_{tt}\cdot(1-2M/r)^{-1} = -(1-2M/r)\cdot(1-2M/r)^{-1} = -1\)도 확인할 수 있으며, 정규직교기저의 조건 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\)를 만족해요. ✓
B-7. 일반 구대칭 Christoffel 확인¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
일반 구대칭 계량 \(ds^2 = -e^{\nu}\,dt^2 + e^{\lambda}\,dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2)\) 에 \(e^{\nu} = e^{-\lambda} = 1 - 2M/r\)（\(\dot{\nu} = \dot{\lambda} = 0\)）를 대입하고, \(\Gamma^r{}_{tt} = \frac{\nu'}{2}\,e^{\nu-\lambda}\) 가 슈바르츠실트의 \(\Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}(1-2M/r)\) 와 일치함을 보이세요.
계산의 상세:
일반 구대칭 계량의 공식집으로부터:
Schwarzschild에서는 \(e^{\nu} = 1 - \frac{2M}{r}\), \(e^{-\lambda} = 1 - \frac{2M}{r}\)이므로 \(e^{\lambda} = (1-2M/r)^{-1}\)이에요.
\(\nu'\)의 계산:
\(e^{\nu - \lambda}\)의 계산:
대입:
최종 답:
D1의 결과와 일치해요. ✓
검산:
일반 공식에서 특수한 경우로의 귀착이 올바르게 수행되었어요. 중간 결과 \(\nu' = \frac{2M}{r^2(1-2M/r)}\)는 \(r \to \infty\)에서 \(\nu' \to 2M/r^2 \to 0\)(평탄 시공간에 가까워짐)이 되므로 타당해요. ✓
B-8. Riemann 텐서의 대칭성 적용¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
를 이용하여, Schwarzschild 시공간의 정규직교기저 성분 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\)를 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\)으로부터 구하세요.
계산의 상세:
공식집에서 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\).
방법 1: 전반·후반 쌍의 교환 대칭성
쌍 교환 대칭성 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\)를 적용:
이렇게 하면 같은 양으로 돌아가므로, 다른 방법을 사용해요.
방법 2: 반대칭성의 2회 적용
제1·제2 첨자의 반대칭성:
제3·제4 첨자의 반대칭성:
따라서:
최종 답:
검산:
쌍 교환 대칭성으로 직접 확인: \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\) (자명). 반대칭성을 1회만 적용하면 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} = +R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) (제3·4 반대칭성). 결과는 정합적이에요. ✓
B-9. Schwarzschild의 \(R_{tt} = 0\)¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
리치(Ricci) 텐서의 정의 \(R_{\mu\nu} = R^\rho{}_{\mu\rho\nu}\)를 사용하여, 슈바르츠실트 시공간(정규직교 기저)에서 \(R_{\hat{t}\hat{t}}\)를 공식집의 리만(Riemann) 성분으로부터 계산하고, \(R_{\hat{t}\hat{t}} = 0\)이 됨을 확인하세요.
풀이 방침:
Ricci 텐서의 정의 \(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}}\) 를 전개하고, 정규직교기저에서는 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) 로 첨자를 올리고 내린다는 점에 주의해요.
계산의 상세:
제1항： \(R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = \eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = (-1)\cdot 0 = 0\)
（Riemann 텐서의 반대칭성으로부터 \(R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = 0\)）
제2항： \(R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)\cdot\left(-\frac{2M}{r^3}\right) = -\frac{2M}{r^3}\)
제3항： \(R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)
（공식집으로부터 \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = M/r^3\)）
제4항： \(R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = \eta^{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)
합계：
최종 답:
검산:
Schwarzschild 시공간은 진공해（\(G_{\mu\nu} = 0\)）이므로 \(R_{\mu\nu} = 0\) 이에요. \(R_{\hat{t}\hat{t}} = 0\) 은 이와 정합해요. ✓
B-10. FRW의 스칼라 곡률¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
FRW 계량의 아인슈타인 텐서 성분 \(G_{\hat{t}\hat{t}}\)와 \(G_{\hat{r}\hat{r}}\)로부터, 스칼라 곡률 \(R\)을 \(\dot{a}\), \(\ddot{a}\), \(a\), \(k\)로 나타내세요. 정의 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\)의 트레이스를 취하여 구하세요.
풀이 방침:
Einstein 텐서의 정의 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) 의 트레이스를 취해요.
계산의 상세:
트레이스를 계산해요:
한편, 정의식의 트레이스:
따라서:
FRW의 Einstein 텐서 성분(공식집으로부터):
(등방성에 의해 공간 성분은 모두 같아요.)
대입:
최종 답:
검산:
\(k = 0\), \(a = \text{const}\) (Minkowski)일 때 \(R = 0\). ✓
de Sitter 시공간(\(a \propto e^{Ht}\), \(k=0\))에서는 \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\) 이므로 \(R = 6(H^2 + H^2) = 12H^2 = 4\Lambda\) (\(H^2 = \Lambda/3\) 일 때). 이는 알려진 결과와 일치해요. ✓
Medium（표준）¶
M-1. Schwarzschild 측지선의 Newton 극한¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
에 공식집의 Christoffel 기호를 대입하세요. 나아가, 저속(\(dr/d\tau \approx 0\), \(d\theta/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)) 및 약한 중력장(\(r \gg 2M\), \(dt/d\tau \approx 1\))의 극한을 취하여, Newton(뉴턴)의 운동방정식 \(d^2r/dt^2 \approx -M/r^2\) 을 유도하세요.
풀이 방침:
\(r\) 성분의 측지선 방정식에 공식집의 Christoffel 기호를 대입하고, 저속·약중력장의 극한을 취해요.
계산의 상세:
Christoffel 기호의 대입：
적도면 \(\theta = \pi/2\) 를 가정하면（일반성을 잃지 않음）：
여기서 \(\Gamma^r{}_{\theta\theta}(d\theta/d\tau)^2\) 항은 적도면 위에서 \(d\theta/d\tau = 0\) 으로 하여 생략했어요.
저속·약중력장의 극한：
조건： - \(dr/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)（저속） - \(r \gg 2M\)（약중력장）이므로 \(1 - 2M/r \approx 1\) - \(dt/d\tau \approx 1\)（시간 지연이 무시 가능） - \(d\tau \approx dt\)
제2항 이외는 모두 무시할 수 있어요：
\(d\tau \approx dt\) 를 사용하면：
최종 답:
이것은 Newton의 만유인력의 법칙 \(F = -GMm/r^2\)（\(G = 1\)）에 의한 운동방정식 그 자체예요.
검산:
차원 분석：\([M/r^2] = \text{(길이)}/\text{(길이)}^2 = 1/\text{(길이)}\). 기하학 단위계（\(G = c = 1\)）에서는 \(M\) 의 차원이 길이이므로, \(M/r^2\) 는 \(1/\text{길이}\) = 가속도의 차원. ✓
M-2. FRW와 Friedmann 방정식·보존법칙¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
Einstein 방정식 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) 로부터 유도되는 제1 Friedmann 방정식
및 제2 Friedmann 방정식(가속 방정식)
을 이용하여, 에너지 보존법칙(연속 방정식)
을 유도하세요.
풀이 방침:
Einstein 방정식 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) 의 \((\hat{t},\hat{t})\) 성분과 \((\hat{r},\hat{r})\) 성분을 사용해요.
계산의 세부 과정:
제1 Friedmann 방정식：
\(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi T_{\hat{t}\hat{t}}\) 에 \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 3(\dot{a}^2 + k)/a^2\), \(T_{\hat{t}\hat{t}} = \rho\) 를 대입하면：
제2 Friedmann 방정식（가속 방정식）：
\(G_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi T_{\hat{r}\hat{r}}\) 에 \(G_{\hat{r}\hat{r}} = -2\ddot{a}/a - (\dot{a}^2 + k)/a^2\), \(T_{\hat{r}\hat{r}} = p\) 를 대입하면：
제1 Friedmann 방정식으로부터 \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi\rho/3\) 을 대입하면：
연속 방정식의 유도：
제1 Friedmann 방정식을 시간 미분하면：
양변을 \(2a\dot{a}\) 로 나누면（\(\dot{a} \neq 0\) 을 가정）：
가속 방정식 \(\ddot{a}/a = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)\) 을 좌변에 대입하면：
최종 답:
검산:
먼지（\(p = 0\)）의 경우：\(\dot{\rho}/\rho = -3\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-3}\). 부피가 \(a^3\) 에 비례하므로, 질량 보존 \(\rho \propto 1/\text{부피}\) 과 부합해요. ✓
복사（\(p = \rho/3\)）의 경우：\(\dot{\rho}/\rho = -4\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-4}\). 적색편이에 의한 에너지 손실분만큼 추가로 감소하며, 알려진 결과와 일치해요. ✓
M-3. Schwarzschild의 Kretschmann 스칼라¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
를 계산하세요. 정규직교기저에서는 \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\mu}}\eta^{\hat{\beta}\hat{\nu}}\eta^{\hat{\gamma}\hat{\rho}}\eta^{\hat{\delta}\hat{\sigma}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}\hat{\rho}\hat{\sigma}}\) 임에 주의하고, Riemann 텐서의 대칭성을 이용하여 독립 성분의 기여를 세어보세요. 결과가 \(K = 48M^2/r^6\) 이 됨을 확인하세요.
풀이 방침:
정규직교 기저의 독립적인 리만 텐서 성분을 열거하고, 각 성분이 \(K = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\)에 기여하는 횟수를 대칭성으로부터 세어요.
계산의 상세:
독립적인 비영 성분(공식집으로부터):
| 성분 | 값 |
|---|---|
| \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) | \(-2M/r^3\) |
| \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\) | \(M/r^3\) |
| \(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\) | \(M/r^3\) |
| \(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\) | \(-M/r^3\) |
| \(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\) | \(-M/r^3\) |
| \(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\) | \(2M/r^3\) |
첨자의 올림내림:
정규직교 기저에서는 \(\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1)\)로 첨자를 올려요.
각 독립 성분에 대해 4개의 \(\eta\) 인자의 곱을 확인해요. 리만 텐서의 반대칭성에 의해, 각 첨자 쌍 \((ab)\)와 \((cd)\)에는 각각 시간 첨자가 0개 또는 1개 포함되어요. 따라서 전체적으로 시간 첨자는 0개 또는 2개이며, \(\eta\) 인자의 곱은 \((-1)^0 = 1\) 또는 \((-1)^2 = 1\)이 돼요.
예를 들어 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\)의 경우: $$ R^{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} $$
\(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\)의 경우: $$ R^{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} $$
\(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\)의 경우: $$ R^{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = (+1)(+1)(+1)(+1)R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} $$
따라서 모든 독립 성분에 대해 \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\)가 성립해요.
각 독립 성분의 기여 수 세기:
리만 텐서의 대칭성 \(R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc} = R_{cdab}\)에 의해, 하나의 독립 성분 \(R_{abcd}\)（\(a \neq b\), \(c \neq d\)）로부터 생기는 비영 성분을 세요.
6개의 독립 성분은 모두 \(R_{\hat{A}\hat{B}\hat{A}\hat{B}}\) 형태(첨자 쌍 \((ab) = (cd)\))를 하고 있어요. 이 경우:
- \((AB, AB)\): 원래의 성분
- \((BA, AB)\): 첫 번째 쌍의 반대칭성 → \(-R_{ABAB}\)
- \((AB, BA)\): 두 번째 쌍의 반대칭성 → \(-R_{ABAB}\)
- \((BA, BA)\): 양쪽의 반대칭성 → \(+R_{ABAB}\)
이것으로 4가지예요. 쌍 교환 \(R_{ABAB} = R_{ABAB}\)은 자명하므로 새로운 성분을 만들지 않아요.
따라서 각 독립 성분은 \(K\)의 합에 4회 기여하며, 각 회의 기여는 \((R_{ABAB})^2\)이에요(\(R^{ABAB} = R_{ABAB}\)이므로).
\(K\)의 계산:
최종 답:
검산:
- \(r \to \infty\)에서 \(K \to 0\): 점근적 평탄성과 일치. ✓
- \(r = 2M\)에서 \(K = 48M^2/(2M)^6 = 48/(64M^4) = 3/(4M^4)\): 유한한 값. 좌표 특이점이지 물리적 특이점이 아님. ✓
- \(r \to 0\)에서 \(K \to \infty\): 진정한 특이점. ✓
- 차원 분석: \([M^2/r^6] = \text{(길이)}^2/\text{(길이)}^6 = 1/\text{(길이)}^4\). 곡률 텐서의 제곱이므로 \(1/\text{(길이)}^4\)은 올바름. ✓
M-4. 질량 함수의 도출¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
로 정의해요. \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho\) 를 \(m(r)\) 과 \(\rho\) 의 관계식으로 다시 쓰고,
를 도출하세요. 이 식의 물리적 의미를 서술하세요.
풀이 방침:
\(e^{-\lambda} = 1 - 2m(r)/r\) 를 \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 의 식에 대입하여 정리해요.
계산의 상세:
\(e^{-\lambda}\) 의 미분：
한편,
따라서：
\(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 에 대입：
\(\lambda' r\,e^{-\lambda}\) 를 계산하면：
\(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda} = 1\) 이므로, \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 의 식을 정리해요：
각 항을 대입하면：
아인슈타인 방정식의 적용：
최종 답:
물리적 의미： 이 식은 반지름 \(r\) 인 구각의 질량 증분이 \(dm = \rho \cdot 4\pi r^2\,dr\)（에너지 밀도 × 구각의 좌표 체적 요소）임을 나타내요. 즉, \(m(r)\) 은 반지름 \(r\) 내에 포함된 중력 질량（Misner-Sharp 질량）이며, 뉴턴 역학에서의 질량 적분 공식
의 일반상대론 버전이에요. 다만, 일반상대론에서는 \(\rho\) 가 국소적인 에너지 밀도이며, 중력의 결합 에너지 효과는 \(e^{\lambda}\) 를 통해 암묵적으로 포함되어 있어요（고유 체적 요소는 \(4\pi r^2 e^{\lambda/2}dr\) 이며, 좌표 체적 요소 \(4\pi r^2 dr\) 과는 다르다는 점에 유의하세요）.
검산:
외부 진공 영역（\(\rho = 0\)）에서는 \(dm/dr = 0\) → \(m = \text{const} = M\). \(e^{-\lambda} = 1 - 2M/r\) 이 되어 슈바르츠실트 해로 귀착돼요. ✓
Advanced（발전）¶
A-1. Schwarzschild 원궤도와 조석력¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
(a) 측지선 방정식과 공식집의 Christoffel 기호를 이용하여, 원궤도의 각속도 \(\Omega = d\varphi/dt\) 가
를 만족함을 보이세요 (Kepler (케플러)의 제3법칙의 일반상대론 버전).
(b) 원궤도 위의 관측자가 느끼는 조석력을, 정규직교기저의 Riemann 텐서 성분을 이용하여 평가하세요. 구체적으로, 지름 방향으로 거리 \(\delta r\) 만큼 떨어진 2개의 자유 입자가 받는 상대 가속도의 크기를 \(M\), \(r\), \(\delta r\) 로 나타내세요.
(c) 최내안정원궤도(ISCO: Innermost Stable Circular Orbit) \(r = 6M\) 에서의 조석력과 사건의 지평면 \(r = 2M\) 에서의 조석력의 비를 구하세요.
(a) 케플러 제3법칙의 도출:
풀이 방침: 적도면 위의 원궤도(\(r = \text{const}\), \(\theta = \pi/2\)) 조건을 \(r\) 성분의 측지선 방정식에 대입해요.
계산의 세부 사항:
원궤도의 조건: \(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\), \(d\theta/d\tau = 0\).
\(r\) 성분의 측지선 방정식:
공식집으로부터(\(\theta = \pi/2\)):
대입하면:
\((1 - 2M/r) = (r - 2M)/r\)을 사용하면:
\(r > 2M\)에서 \(r - 2M \neq 0\)이므로 양변을 \((r - 2M)\)으로 나누면:
각속도 \(\Omega = d\varphi/dt = (d\varphi/d\tau)/(dt/d\tau)\)를 사용하면:
이것은 뉴턴 역학의 케플러 제3법칙 \(\omega^2 = GM/r^3\)과 같은 형태(\(G = 1\))예요. 일반상대론에서도 좌표 각속도에 관해서는 같은 관계가 성립해요.
(b) 조석력의 평가:
풀이 방침: 측지 편차 방정식을 사용해요.
원궤도 위의 관측자의 4원 속도는 정규직교 기저에서 근사적으로 \(u^{\hat{\beta}} \approx (u^{\hat{t}}, 0, 0, u^{\hat{\varphi}})\)이지만, \(r \gg M\)인 경우나 조석력의 주요항을 볼 때는 \(u^{\hat{\beta}} \approx (1, 0, 0, 0)\)으로 근사할 수 있어요. 여기서는 일반적으로, 정지 관측자(\(u^{\hat{\beta}} = (1, 0, 0, 0)\))에 대한 조석력을 평가해요.
계산의 세부 사항:
지름 방향의 편차 \(\xi^{\hat{\delta}} = (0, \delta r, 0, 0)\)에 대한 지름 방향의 상대 가속도:
\(u^{\hat{\beta}} = \delta^{\hat{\beta}}_{\hat{t}}\), \(\xi^{\hat{\delta}} = \delta^{\hat{\delta}}_{\hat{r}}\,\delta r\)로 놓으면:
지표를 올리면:
따라서:
상대 가속도의 크기:
이것은 뉴턴의 조석력 \(2GM\,\delta r/r^3\)과 같은 형태예요.
(c) ISCO와 사건의 지평면에서의 조석력의 비:
조석력은 \(\propto M/r^3\)이므로:
검산:
- (a) \(r = 6M\)에서 \(\Omega^2 = M/(216M^3) = 1/(216M^2)\), \(\Omega = 1/(6\sqrt{6}\,M)\). 타당한 값. ✓
- (b) 차원: \([M/r^3] = \text{(길이)}/\text{(길이)}^3 = 1/\text{(길이)}^2\). \(\delta r\)을 곱하면 \(1/\text{(길이)}\) = 가속도의 차원. ✓
- (c) \(6^3 = 216\), \(2^3 = 8\), \(8/216 = 1/27\). ✓
A-2. de Sitter와 우주 상수¶
→ 문제로 돌아가기
문제:
와 같이 쓸 수 있어요.
(a) 공식집의 FRW Einstein 텐서 성분을 이용하여, \(\Lambda\)를 포함하는 수정된 Friedmann 방정식
을 도출하세요.
(b) 물질도 없고 공간 곡률도 없는 (\(\rho = p = 0\), \(k = 0\)) 경우에, \(a(t) \propto e^{Ht}\) (de Sitter (드 시터) 시공간)가 됨을 보이고, \(H\)를 \(\Lambda\)로 표현하세요.
(c) de Sitter 시공간의 Riemann 텐서가 \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\) 라는 최대 대칭 공간의 형태를 취함을, FRW의 Einstein 텐서 성분으로부터 Ricci 텐서와 스칼라 곡률을 구하고, 4차원 최대 대칭 공간의 Riemann 텐서의 일반적 형태와 비교하여 확인하세요.
(a) 수정된 Friedmann 방정식의 유도:
계산의 상세:
Einstein 방정식은 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\)이에요.
\((\hat{t},\hat{t})\) 성분:
\((\hat{r},\hat{r})\) 성분:
제1 Friedmann 방정식으로부터 \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3}\)을 대입하면:
(b) de Sitter 시공간:
조건: \(\rho = p = 0\), \(k = 0\).
제1 Friedmann 방정식:
\(H = \dot{a}/a = \text{const}\)이므로:
이 미분방정식의 해:
검산(가속 방정식):
(c) de Sitter 시공간의 Riemann 텐서가 최대 대칭 공간의 형태를 취하는 것의 확인:
풀이 방침: de Sitter 시공간의 Ricci 텐서와 스칼라 곡률을 구하고, 최대 대칭 공간의 Riemann 텐서의 일반형과 비교해요. 나아가 FRW의 Riemann 텐서 성분을 직접 계산하여 확인해요.
스칼라 곡률의 계산:
D10의 결과로부터:
de Sitter 시공간(\(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\))에서는:
Ricci 텐서의 계산:
Einstein 텐서의 정의 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\)로부터:
de Sitter 시공간에서는 Einstein 방정식 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) (\(T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 0\))이므로:
즉 de Sitter 시공간은 Einstein 공간(\(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \frac{R}{n}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\), \(n = 4\))이에요:
최대 대칭 공간의 Riemann 텐서:
\(n\)차원의 최대 대칭 공간에서는:
\(n = 4\), \(R = 4\Lambda\)를 대입하면:
FRW의 Riemann 텐서로부터의 직접 확인:
de Sitter 시공간(\(k = 0\), \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\))의 FRW Riemann 텐서 성분을 계산해요.
FRW 시공간의 정규 직교 기저에서의 Riemann 텐서 성분은 일반적으로 다음 2종류의 독립 성분을 가져요(FRW의 대칭성으로부터):
$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\ddot{a}}{a}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 여기서 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}, \hat{l}\)은 공간적 정규 직교 기저의 지표(\(1, 2, 3\))예요.
de Sitter 시공간의 값 대입:
de Sitter 시공간에서는 \(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\)이므로:
$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -H^2\,\delta_{ij} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = H^2\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) = \frac{\Lambda}{3}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 최대 대칭 공간의 형태와의 비교:
최대 대칭 공간의 Riemann 텐서 \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\)의 각 성분을 전개해요.
\((\hat{t},\hat{i},\hat{t},\hat{j})\) 성분:
$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{t}}\eta_{\hat{i}\hat{j}} - \eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{t}}) = \frac{\Lambda}{3}((-1)\delta_{ij} - 0) = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ 이것은 위에서 계산한 \(R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij}\)와 일치해요. ✓
\((\hat{i},\hat{j},\hat{k},\hat{l})\) 성분(공간-공간):
$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{i}\hat{k}}\eta_{\hat{j}\hat{l}} - \eta_{\hat{i}\hat{l}}\eta_{\hat{j}\hat{k}}) = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 이것은 위에서 계산한 \(R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})\)와 일치해요. ✓
\((\hat{t},\hat{i},\hat{j},\hat{k})\) 성분(시간 1개 + 공간 3개):
$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{k}} - \eta_{\hat{t}\hat{k}}\eta_{\hat{i}\hat{j}}) = \frac{\Lambda}{3}(0 - 0) = 0 $$ FRW의 대칭성으로부터도 이 성분은 영이에요. ✓
결론:
de Sitter 시공간의 Riemann 텐서의 모든 성분이 최대 대칭 공간의 일반형과 일치하는 것이 FRW의 Riemann 텐서 성분의 직접 계산에 의해 확인되었어요:
$$\boxed{R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}\left(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}\right)} $$ 이것은 de Sitter 시공간이 4차원의 최대 대칭 공간(Killing 벡터의 수가 \(4\times 5/2 = 10\)개로 최대)임을 의미해요. de Sitter 시공간은 양의 상수 곡률을 가지는 Lorentz 다양체이며, 5차원 Minkowski 공간 내의 1엽 쌍곡면 \(-T^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = 3/\Lambda\)으로 매장할 수 있어요.
검산:
-
Ricci 텐서의 정합: 최대 대칭 공간의 Riemann 텐서로부터 Ricci 텐서를 계산해요. \(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}R_{\hat{\alpha}\hat{\mu}\hat{\beta}\hat{\nu}} = \frac{\Lambda}{3}\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\beta}}) = \frac{\Lambda}{3}(4\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}) = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\). 앞서 구한 결과와 일치해요. ✓
-
스칼라 곡률의 정합: \(R = \eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda \cdot 4 = 4\Lambda\). 앞서 구한 결과와 일치해요. ✓
-
Schwarzschild 극한: \(\Lambda \to 0\)에서 \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} \to 0\) (Minkowski 시공간). de Sitter 시공간은 \(\Lambda > 0\)인 "텅 빈 우주"이며, \(\Lambda = 0\)에서 평탄 시공간으로 귀착해요. ✓
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.