부록 D 연습문제 풀이¶
목차
Basic（기초）
- B-1. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ tt}\)
- B-2. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ rr}\)
- B-3. Minkowski 구좌표의 \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)
- B-4. FRW의 \(\Gamma^r_{\ tr}\)
- B-5. FRW의 \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)
- B-6. Schwarzschild 정규직교기저의 확인
- B-7. 일반 구대칭의 Christoffel 확인
- B-8. Riemann 텐서의 대칭성 적용
- B-9. Schwarzschild의 \(R_{tt} = 0\)
- B-10. FRW의 스칼라 곡률
Medium（표준）
- M-1. Schwarzschild 측지선의 Newton 극한
- M-2. FRW와 Friedmann 방정식·보존법칙
- M-3. Schwarzschild의 Kretschmann 스칼라
- M-4. 질량 함수의 도출
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ tt}\)¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
대각 계량에서는 Christoffel 기호의 정의식에서 합을 취하는 첨자 \(\alpha\) 중 \(g^{\mu\alpha} \neq 0\)이 되는 것은 \(\alpha = \mu\)뿐이에요. \(\mu = r\)이므로 \(\alpha = r\)만 기여해요.
계산의 상세¶
정의식에 \(\mu = r\), \(\nu = \sigma = t\)를 대입해요:
대각 계량이므로 \(\alpha = r\)만 기여해요:
\(g^{rr}\)의 계산:
\(\partial_r g_{tt}\)의 계산:
대입:
최종 답¶
검산¶
원방 극한 \(r \gg 2M\)에서 \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\)이에요. 이는 Newton 중력의 가속도 \(GM/r^2\)(\(G=1\))와 일치해요. ✓
B-2. Schwarzschild의 \(\Gamma^r_{\ rr}\)¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
\(\mu = \nu = \sigma = r\) 을 대입해요. 대각 계량이므로 \(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\) 이 돼요.
계산의 상세¶
정의식에 대입:
\(\partial_r g_{rr}\) 의 계산:
\(g_{rr} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\) 에 대해 \(u = 1 - \frac{2M}{r}\) 으로 놓으면 \(g_{rr} = u^{-1}\) 이에요.
대입:
최종 답¶
검산¶
\(\Gamma^r{}_{rr}\) 과 \(\Gamma^r{}_{tt}\) 의 곱을 확인해요: \(\Gamma^r{}_{tt}\cdot\Gamma^r{}_{rr} = \frac{M}{r^2}(1-2M/r)\cdot\left(-\frac{M}{r^2}\right)(1-2M/r)^{-1} = -M^2/r^4\). 이는 공식집의 값과 일치해요. ✓
B-3. Minkowski 구좌표의 \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)¶
→ 문제로 돌아가기
계산의 상세¶
\(\mu = \theta\), \(\nu = \sigma = \varphi\) 를 대입해요. 대각 계량이므로 \(\alpha = \theta\) 만 기여해요:
각 양의 계산:
대입:
최종 답¶
검산¶
Schwarzschild 계량의 공식집에서도 \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\sin\theta\) 이며, 이 성분은 각도 부분에만 의존하므로 일치해요. ✓
B-4. FRW의 \(\Gamma^r_{\ tr}\)¶
→ 문제로 돌아가기
계산의 상세¶
\(\mu = r\), \(\nu = t\), \(\sigma = r\) 를 대입해요. 대각 계량에서 \(\alpha = r\) 만 기여해요:
(\(g_{rt} = 0\) 이므로 제2항·제3항은 사라져요.)
각 양의 계산:
\(k=0\) 에서는 \(g_{rr} = a^2(t)\) 이므로
대입:
최종 답¶
검산¶
이것은 허블 매개변수 \(H(t)\) 와 같아요. 우주 팽창에 의한 공동 좌표의 "끌림 효과"를 나타내며, 물리적으로 타당해요. 공식집의 값과도 일치해요. ✓
B-5. FRW의 \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)¶
→ 문제로 돌아가기
계산의 상세¶
\(\mu = t\), \(\nu = \sigma = \theta\) 를 대입해요. 대각 계량에서 \(\alpha = t\) 만 기여해요:
각 양의 계산:
대입:
최종 답¶
검산¶
공식집의 값 \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2\) 과 완전히 일치해요. ✓
B-6. Schwarzschild 정규직교기저의 확인¶
→ 문제로 돌아가기
계산의 상세¶
공식집에서:
내적을 계산해요:
영이 아닌 성분은 \(\alpha = \beta = r\)뿐이에요:
최종 답¶
검산¶
마찬가지로 \(g(\mathbf{e}_{\hat{t}},\, \mathbf{e}_{\hat{t}}) = g_{tt}\cdot(1-2M/r)^{-1} = -(1-2M/r)\cdot(1-2M/r)^{-1} = -1\)도 확인할 수 있으며, 정규직교기저의 조건 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\)를 만족해요. ✓
B-7. 일반 구대칭의 Christoffel 확인¶
→ 문제로 돌아가기
계산의 상세¶
일반 구대칭 계량의 공식집으로부터:
Schwarzschild에서는 \(e^{\nu} = 1 - \frac{2M}{r}\), \(e^{-\lambda} = 1 - \frac{2M}{r}\)이므로 \(e^{\lambda} = (1-2M/r)^{-1}\)이에요.
\(\nu'\)의 계산:
\(e^{\nu - \lambda}\)의 계산:
대입:
최종 답¶
D1의 결과와 일치해요. ✓
검산¶
일반 공식에서 특수한 경우로의 귀착이 올바르게 수행되었어요. 중간 결과 \(\nu' = \frac{2M}{r^2(1-2M/r)}\)는 \(r \to \infty\)에서 \(\nu' \to 2M/r^2 \to 0\)(평탄 시공간에 가까워짐)이 되므로 타당해요. ✓
B-8. Riemann 텐서의 대칭성 적용¶
→ 문제로 돌아가기
계산의 상세¶
공식집에서 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\).
방법 1: 전반·후반 쌍의 교환 대칭성
쌍 교환 대칭성 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\)를 적용:
이렇게 하면 같은 양으로 돌아가므로, 다른 방법을 사용해요.
방법 2: 반대칭성의 2회 적용
제1·제2 첨자의 반대칭성:
제3·제4 첨자의 반대칭성:
따라서:
최종 답¶
검산¶
쌍 교환 대칭성으로 직접 확인: \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\) (자명). 반대칭성을 1회만 적용하면 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} = +R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) (제3·4 반대칭성). 결과는 정합적이에요. ✓
B-9. Schwarzschild의 \(R_{tt} = 0\)¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
Ricci 텐서의 정의 \(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}}\) 를 전개하고, 정규직교기저에서는 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) 로 첨자를 올리고 내린다는 점에 주의해요.
계산의 상세¶
제1항： \(R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = \eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = (-1)\cdot 0 = 0\)
（Riemann 텐서의 반대칭성으로부터 \(R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = 0\)）
제2항： \(R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)\cdot\left(-\frac{2M}{r^3}\right) = -\frac{2M}{r^3}\)
제3항： \(R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)
（공식집으로부터 \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = M/r^3\)）
제4항： \(R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = \eta^{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)
합계：
최종 답¶
검산¶
Schwarzschild 시공간은 진공해（\(G_{\mu\nu} = 0\)）이므로 \(R_{\mu\nu} = 0\) 이에요. \(R_{\hat{t}\hat{t}} = 0\) 은 이와 정합해요. ✓
B-10. FRW의 스칼라 곡률¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
Einstein 텐서의 정의 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) 의 트레이스를 취해요.
계산의 상세¶
트레이스를 계산해요:
한편, 정의식의 트레이스:
따라서:
FRW의 Einstein 텐서 성분(공식집으로부터):
(등방성에 의해 공간 성분은 모두 같아요.)
대입:
최종 답¶
검산¶
\(k = 0\), \(a = \text{const}\) (Minkowski)일 때 \(R = 0\). ✓
de Sitter 시공간(\(a \propto e^{Ht}\), \(k=0\))에서는 \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\) 이므로 \(R = 6(H^2 + H^2) = 12H^2 = 4\Lambda\) (\(H^2 = \Lambda/3\) 일 때). 이는 알려진 결과와 일치해요. ✓
Medium（표준）¶
M-1. Schwarzschild 측지선의 Newton 극한¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
\(r\) 성분의 측지선 방정식에 공식집의 Christoffel 기호를 대입하고, 저속·약중력장의 극한을 취해요.
계산의 상세¶
Christoffel 기호의 대입：
적도면 \(\theta = \pi/2\) 를 가정하면（일반성을 잃지 않음）：
여기서 \(\Gamma^r{}_{\theta\theta}(d\theta/d\tau)^2\) 항은 적도면 위에서 \(d\theta/d\tau = 0\) 으로 하여 생략했어요.
저속·약중력장의 극한：
조건： - \(dr/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)（저속） - \(r \gg 2M\)（약중력장）이므로 \(1 - 2M/r \approx 1\) - \(dt/d\tau \approx 1\)（시간 지연이 무시 가능） - \(d\tau \approx dt\)
제2항 이외는 모두 무시할 수 있어요：
\(d\tau \approx dt\) 를 사용하면：
최종 답¶
이것은 Newton의 만유인력의 법칙 \(F = -GMm/r^2\)（\(G = 1\)）에 의한 운동방정식 그 자체예요.
검산¶
차원 분석：\([M/r^2] = \text{(길이)}/\text{(길이)}^2 = 1/\text{(길이)}\). 기하학 단위계（\(G = c = 1\)）에서는 \(M\) 의 차원이 길이이므로, \(M/r^2\) 는 \(1/\text{길이}\) = 가속도의 차원. ✓
M-2. FRW와 Friedmann 방정식·보존법칙¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
Einstein 방정식 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) 의 \((\hat{t},\hat{t})\) 성분과 \((\hat{r},\hat{r})\) 성분을 사용해요.
계산의 세부 과정¶
제1 Friedmann 방정식：
\(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi T_{\hat{t}\hat{t}}\) 에 \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 3(\dot{a}^2 + k)/a^2\), \(T_{\hat{t}\hat{t}} = \rho\) 를 대입하면：
제2 Friedmann 방정식（가속 방정식）：
\(G_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi T_{\hat{r}\hat{r}}\) 에 \(G_{\hat{r}\hat{r}} = -2\ddot{a}/a - (\dot{a}^2 + k)/a^2\), \(T_{\hat{r}\hat{r}} = p\) 를 대입하면：
제1 Friedmann 방정식으로부터 \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi\rho/3\) 을 대입하면：
연속 방정식의 유도：
제1 Friedmann 방정식을 시간 미분하면：
양변을 \(2a\dot{a}\) 로 나누면（\(\dot{a} \neq 0\) 을 가정）：
가속 방정식 \(\ddot{a}/a = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)\) 을 좌변에 대입하면：
최종 답¶
검산¶
먼지（\(p = 0\)）의 경우：\(\dot{\rho}/\rho = -3\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-3}\). 부피가 \(a^3\) 에 비례하므로, 질량 보존 \(\rho \propto 1/\text{부피}\) 과 부합해요. ✓
복사（\(p = \rho/3\)）의 경우：\(\dot{\rho}/\rho = -4\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-4}\). 적색편이에 의한 에너지 손실분만큼 추가로 감소하며, 알려진 결과와 일치해요. ✓
M-3. Schwarzschild의 Kretschmann 스칼라¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
정규직교 기저의 독립적인 리만 텐서 성분을 열거하고, 각 성분이 \(K = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\)에 기여하는 횟수를 대칭성으로부터 세어요.
계산의 상세¶
독립적인 비영 성분(공식집으로부터):
| 성분 | 값 |
|---|---|
| \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) | \(-2M/r^3\) |
| \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\) | \(M/r^3\) |
| \(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\) | \(M/r^3\) |
| \(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\) | \(-M/r^3\) |
| \(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\) | \(-M/r^3\) |
| \(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\) | \(2M/r^3\) |
첨자의 올림내림:
정규직교 기저에서는 \(\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1)\)로 첨자를 올려요.
각 독립 성분에 대해 4개의 \(\eta\) 인자의 곱을 확인해요. 리만 텐서의 반대칭성에 의해, 각 첨자 쌍 \((ab)\)와 \((cd)\)에는 각각 시간 첨자가 0개 또는 1개 포함되어요. 따라서 전체적으로 시간 첨자는 0개 또는 2개이며, \(\eta\) 인자의 곱은 \((-1)^0 = 1\) 또는 \((-1)^2 = 1\)이 돼요.
예를 들어 \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\)의 경우: $$ R^{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} $$
\(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\)의 경우: $$ R^{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} $$
\(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\)의 경우: $$ R^{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = (+1)(+1)(+1)(+1)R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} $$
따라서 모든 독립 성분에 대해 \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\)가 성립해요.
각 독립 성분의 기여 수 세기:
리만 텐서의 대칭성 \(R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc} = R_{cdab}\)에 의해, 하나의 독립 성분 \(R_{abcd}\)（\(a \neq b\), \(c \neq d\)）로부터 생기는 비영 성분을 세요.
6개의 독립 성분은 모두 \(R_{\hat{A}\hat{B}\hat{A}\hat{B}}\) 형태(첨자 쌍 \((ab) = (cd)\))를 하고 있어요. 이 경우:
- \((AB, AB)\): 원래의 성분
- \((BA, AB)\): 첫 번째 쌍의 반대칭성 → \(-R_{ABAB}\)
- \((AB, BA)\): 두 번째 쌍의 반대칭성 → \(-R_{ABAB}\)
- \((BA, BA)\): 양쪽의 반대칭성 → \(+R_{ABAB}\)
이것으로 4가지예요. 쌍 교환 \(R_{ABAB} = R_{ABAB}\)은 자명하므로 새로운 성분을 만들지 않아요.
따라서 각 독립 성분은 \(K\)의 합에 4회 기여하며, 각 회의 기여는 \((R_{ABAB})^2\)이에요(\(R^{ABAB} = R_{ABAB}\)이므로).
\(K\)의 계산:
최종 답¶
검산¶
- \(r \to \infty\)에서 \(K \to 0\): 점근적 평탄성과 일치. ✓
- \(r = 2M\)에서 \(K = 48M^2/(2M)^6 = 48/(64M^4) = 3/(4M^4)\): 유한한 값. 좌표 특이점이지 물리적 특이점이 아님. ✓
- \(r \to 0\)에서 \(K \to \infty\): 진정한 특이점. ✓
- 차원 분석: \([M^2/r^6] = \text{(길이)}^2/\text{(길이)}^6 = 1/\text{(길이)}^4\). 곡률 텐서의 제곱이므로 \(1/\text{(길이)}^4\)은 올바름. ✓
M-4. 질량 함수의 도출¶
→ 문제로 돌아가기
풀이 방침¶
\(e^{-\lambda} = 1 - 2m(r)/r\) 를 \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 의 식에 대입하여 정리해요.
계산의 상세¶
\(e^{-\lambda}\) 의 미분：
한편,
따라서：
\(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 에 대입：
\(\lambda' r\,e^{-\lambda}\) 를 계산하면：
\(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda} = 1\) 이므로, \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 의 식을 정리해요：
각 항을 대입하면：
아인슈타인 방정식의 적용：
최종 답¶
물리적 의미： 이 식은 반지름 \(r\) 인 구각의 질량 증분이 \(dm = \rho \cdot 4\pi r^2\,dr\)（에너지 밀도 × 구각의 좌표 체적 요소）임을 나타내요. 즉, \(m(r)\) 은 반지름 \(r\) 내에 포함된 중력 질량（Misner-Sharp 질량）이며, 뉴턴 역학에서의 질량 적분 공식
의 일반상대론 버전이에요. 다만, 일반상대론에서는 \(\rho\) 가 국소적인 에너지 밀도이며, 중력의 결합 에너지 효과는 \(e^{\lambda}\) 를 통해 암묵적으로 포함되어 있어요（고유 체적 요소는 \(4\pi r^2 e^{\lambda/2}dr\) 이며, 좌표 체적 요소 \(4\pi r^2 dr\) 과는 다르다는 점에 유의하세요）.
검산¶
외부 진공 영역（\(\rho = 0\)）에서는 \(dm/dr = 0\) → \(m = \text{const} = M\). \(e^{-\lambda} = 1 - 2M/r\) 이 되어 슈바르츠실트 해로 귀착돼요. ✓
Advanced（발전）¶
A-1. Schwarzschild 원궤도와 조석력¶
→ 문제로 돌아가기
(a) 케플러 제3법칙의 도출¶
풀이 방침: 적도면 위의 원궤도(\(r = \text{const}\), \(\theta = \pi/2\)) 조건을 \(r\) 성분의 측지선 방정식에 대입해요.
계산의 세부 사항:
원궤도의 조건: \(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\), \(d\theta/d\tau = 0\).
\(r\) 성분의 측지선 방정식:
공식집으로부터(\(\theta = \pi/2\)):
대입하면:
\((1 - 2M/r) = (r - 2M)/r\)을 사용하면:
\(r > 2M\)에서 \(r - 2M \neq 0\)이므로 양변을 \((r - 2M)\)으로 나누면:
각속도 \(\Omega = d\varphi/dt = (d\varphi/d\tau)/(dt/d\tau)\)를 사용하면:
이것은 뉴턴 역학의 케플러 제3법칙 \(\omega^2 = GM/r^3\)과 같은 형태(\(G = 1\))예요. 일반상대론에서도 좌표 각속도에 관해서는 같은 관계가 성립해요.
(b) 조석력의 평가¶
풀이 방침: 측지 편차 방정식을 사용해요.
원궤도 위의 관측자의 4원 속도는 정규직교 기저에서 근사적으로 \(u^{\hat{\beta}} \approx (u^{\hat{t}}, 0, 0, u^{\hat{\varphi}})\)이지만, \(r \gg M\)인 경우나 조석력의 주요항을 볼 때는 \(u^{\hat{\beta}} \approx (1, 0, 0, 0)\)으로 근사할 수 있어요. 여기서는 일반적으로, 정지 관측자(\(u^{\hat{\beta}} = (1, 0, 0, 0)\))에 대한 조석력을 평가해요.
계산의 세부 사항:
지름 방향의 편차 \(\xi^{\hat{\delta}} = (0, \delta r, 0, 0)\)에 대한 지름 방향의 상대 가속도:
\(u^{\hat{\beta}} = \delta^{\hat{\beta}}_{\hat{t}}\), \(\xi^{\hat{\delta}} = \delta^{\hat{\delta}}_{\hat{r}}\,\delta r\)로 놓으면:
지표를 올리면:
따라서:
상대 가속도의 크기:
이것은 뉴턴의 조석력 \(2GM\,\delta r/r^3\)과 같은 형태예요.
(c) ISCO와 사건의 지평면에서의 조석력의 비¶
조석력은 \(\propto M/r^3\)이므로:
검산¶
- (a) \(r = 6M\)에서 \(\Omega^2 = M/(216M^3) = 1/(216M^2)\), \(\Omega = 1/(6\sqrt{6}\,M)\). 타당한 값. ✓
- (b) 차원: \([M/r^3] = \text{(길이)}/\text{(길이)}^3 = 1/\text{(길이)}^2\). \(\delta r\)을 곱하면 \(1/\text{(길이)}\) = 가속도의 차원. ✓
- (c) \(6^3 = 216\), \(2^3 = 8\), \(8/216 = 1/27\). ✓
A-2. de Sitter와 우주 상수¶
→ 문제로 돌아가기
(a) 수정된 Friedmann 방정식의 유도¶
계산의 상세:
Einstein 방정식은 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\)이에요.
\((\hat{t},\hat{t})\) 성분:
\((\hat{r},\hat{r})\) 성분:
제1 Friedmann 방정식으로부터 \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3}\)을 대입하면:
(b) de Sitter 시공간¶
조건: \(\rho = p = 0\), \(k = 0\).
제1 Friedmann 방정식:
\(H = \dot{a}/a = \text{const}\)이므로:
이 미분방정식의 해:
검산(가속 방정식):
(c) de Sitter 시공간의 Riemann 텐서가 최대 대칭 공간의 형태를 취하는 것의 확인¶
풀이 방침: de Sitter 시공간의 Ricci 텐서와 스칼라 곡률을 구하고, 최대 대칭 공간의 Riemann 텐서의 일반형과 비교해요. 나아가 FRW의 Riemann 텐서 성분을 직접 계산하여 확인해요.
스칼라 곡률의 계산:
D10의 결과로부터:
de Sitter 시공간(\(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\))에서는:
Ricci 텐서의 계산:
Einstein 텐서의 정의 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\)로부터:
de Sitter 시공간에서는 Einstein 방정식 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) (\(T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 0\))이므로:
즉 de Sitter 시공간은 Einstein 공간(\(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \frac{R}{n}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\), \(n = 4\))이에요:
최대 대칭 공간의 Riemann 텐서:
\(n\)차원의 최대 대칭 공간에서는:
\(n = 4\), \(R = 4\Lambda\)를 대입하면:
FRW의 Riemann 텐서로부터의 직접 확인:
de Sitter 시공간(\(k = 0\), \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\))의 FRW Riemann 텐서 성분을 계산해요.
FRW 시공간의 정규 직교 기저에서의 Riemann 텐서 성분은 일반적으로 다음 2종류의 독립 성분을 가져요(FRW의 대칭성으로부터):
$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\ddot{a}}{a}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 여기서 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}, \hat{l}\)은 공간적 정규 직교 기저의 지표(\(1, 2, 3\))예요.
de Sitter 시공간의 값 대입:
de Sitter 시공간에서는 \(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\)이므로:
$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -H^2\,\delta_{ij} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = H^2\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) = \frac{\Lambda}{3}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 최대 대칭 공간의 형태와의 비교:
최대 대칭 공간의 Riemann 텐서 \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\)의 각 성분을 전개해요.
\((\hat{t},\hat{i},\hat{t},\hat{j})\) 성분:
$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{t}}\eta_{\hat{i}\hat{j}} - \eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{t}}) = \frac{\Lambda}{3}((-1)\delta_{ij} - 0) = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ 이것은 위에서 계산한 \(R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij}\)와 일치해요. ✓
\((\hat{i},\hat{j},\hat{k},\hat{l})\) 성분(공간-공간):
$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{i}\hat{k}}\eta_{\hat{j}\hat{l}} - \eta_{\hat{i}\hat{l}}\eta_{\hat{j}\hat{k}}) = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 이것은 위에서 계산한 \(R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})\)와 일치해요. ✓
\((\hat{t},\hat{i},\hat{j},\hat{k})\) 성분(시간 1개 + 공간 3개):
$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{k}} - \eta_{\hat{t}\hat{k}}\eta_{\hat{i}\hat{j}}) = \frac{\Lambda}{3}(0 - 0) = 0 $$ FRW의 대칭성으로부터도 이 성분은 영이에요. ✓
결론:
de Sitter 시공간의 Riemann 텐서의 모든 성분이 최대 대칭 공간의 일반형과 일치하는 것이 FRW의 Riemann 텐서 성분의 직접 계산에 의해 확인되었어요:
$$\boxed{R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}\left(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}\right)} $$ 이것은 de Sitter 시공간이 4차원의 최대 대칭 공간(Killing 벡터의 수가 \(4\times 5/2 = 10\)개로 최대)임을 의미해요. de Sitter 시공간은 양의 상수 곡률을 가지는 Lorentz 다양체이며, 5차원 Minkowski 공간 내의 1엽 쌍곡면 \(-T^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = 3/\Lambda\)으로 매장할 수 있어요.
검산¶
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Ricci 텐서의 정합: 최대 대칭 공간의 Riemann 텐서로부터 Ricci 텐서를 계산해요. \(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}R_{\hat{\alpha}\hat{\mu}\hat{\beta}\hat{\nu}} = \frac{\Lambda}{3}\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\beta}}) = \frac{\Lambda}{3}(4\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}) = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\). 앞서 구한 결과와 일치해요. ✓
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스칼라 곡률의 정합: \(R = \eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda \cdot 4 = 4\Lambda\). 앞서 구한 결과와 일치해요. ✓
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Schwarzschild 극한: \(\Lambda \to 0\)에서 \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} \to 0\) (Minkowski 시공간). de Sitter 시공간은 \(\Lambda > 0\)인 "텅 빈 우주"이며, \(\Lambda = 0\)에서 평탄 시공간으로 귀착해요. ✓
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