Appendix E 복소해석의 기초¶
지금까지의 줄거리: 본편 제 14 장에서 끈의 세계면을 양자화하고, 제 15 장에서 초끈이론의 틀을 보았다. 제 16 장의 공형장이론에서는 세계면을 복소평면으로 다루며, 정칙함수·Laurent 전개·유수정리가 계산의 핵심이 된다. 이 부록에서는 그 수학적 기반을 고등학교 수학부터 정성스럽게 구축한다.
이 부록의 목표
- 제 16 장（공형장이론）에서 필요한 복소해석의 기본을, 구체적 예시와 유도를 통해 이해한다
- 「왜 복소수가 물리에 등장하는가」에서 출발하여, Cauchy-Riemann 조건, Laurent 전개, 유수정리, Cauchy의 적분 공식, Möbius 변환까지 도달한다
🟡 리나: 제 16 장의 공형장이론에서 「\(z\)와 \(\bar{z}\)」「OPE」「유수」가 나와서 당황했다면, 여기로 돌아와. 복소수 복습부터 시작할 테니까, 고등학교에서 배운 범위에서 이어질 거야.
E.1 왜 복소수가 물리에 등장하는가¶
🔵 카이: 복소수는 고등학교에서 「\(i^2 = -1\)」이라고 배웠는데, 왜 물리에서 필요한 거예요? 실수만으로는 안 돼요?
🟡 리나: 3가지 이유가 있어.
양자역학으로부터¶
「양자역학」편의 「양자역학」편 제 7 장에서 본 Schrödinger 방정식：
여기에 허수단위 \(i\)가 본질적으로 들어가 있어. 파동함수 \(\psi\)는 복소수 값이고, 확률은 \(|\psi|^2\)로 주어져. 실수만으로는 양자역학의 간섭 현상을 기술할 수 없어.
공형장이론으로부터¶
제 16 장의 공형장이론에서는, 2차원 세계면을 복소평면으로 다뤄. \((x, y)\) 대신 \((z, \bar{z})\)를 쓰면, 공형변환이 「정칙함수에 의한 좌표변환」으로 기술돼.
Euler의 공식 — 복소수의 위력의 원천¶
🔵 카이: \(e^{i\theta}\)는 고등학교에서 나왔는데, 왜 그렇게 중요한 거예요?
🟡 리나: 이것이 복소수를 쓰는 가장 큰 이유야. Euler의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)의 유도를 보여줄게.
지수함수의 Taylor 전개（「양자역학」편 「양자역학」편 부록 A 참조）에서 출발해：
여기서 \(x\)를 \(i\theta\)로 치환하면：
\(i\)의 거듭제곱을 정리하면 \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\), ... 이므로：
우변의 실부는 \(\cos\theta\)의 Taylor 전개, 허부는 \(\sin\theta\)의 Taylor 전개. 따라서：
🔵 카이: 오, Taylor 전개를 재배열하는 것만으로 나오는 거구나! 그런데 \(e^x\)의 Taylor 전개는 \(x\)가 실수일 때의 이야기 아니었어요? \(x\)에 \(i\theta\) 같은 복소수를 대입해도 되는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. Taylor 전개의 급수 \(\sum a_n x^n\)은, \(x\)의 값에 따라 각 항을 더해 나갔을 때 합이 유한하게 수렴할 수도 있고, 점점 커져서 발산할 수도 있어. 「합이 유한하게 수렴하는 \(x\)의 범위」를 수렴반경이라고 불러. 예를 들어 \(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots\)는 \(|x| < 1\)에서만 수렴해（\(x = 2\)를 넣으면 \(1 + 2 + 4 + \cdots\)로 발산해）. 한편, \(e^x = 1 + x + x^2/2! + \cdots\)는 아무리 큰 \(x\)를 넣어도 합이 수렴해——즉 수렴반경이 무한대야.
🔵 카이: 아, \(e^x\)는 수렴반경이 무한대니까, 어떤 값을 넣어도 되는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 여기서 중요한 것은, 수렴반경의 정의가 사실 \(|x|\)（절대값）로 결정된다는 거야. \(|x| < R\)에서 수렴하는 급수는, \(x\)가 실수이든 복소수이든, \(|x| < R\)을 만족하는 한 수렴해. \(e^x\)의 경우는 \(R = \infty\)이니까, \(x = i\theta\)를 대입해도 \(|i\theta| = |\theta|\)는 유한하므로 급수는 반드시 수렴해. 즉, 실수로 정의된 \(e^x\)의 Taylor 전개를 그대로 복소수 \(x = i\theta\)에 적용해도, 급수는 잘 수렴하여 의미 있는 값을 줘. 엄밀한 증명은 생략하지만, 결과로 얻어지는 Euler의 공식은 수학적으로 완전히 정당화되어 있어.
🟡 리나: 이에 의해, 삼각함수를 지수함수로 표현할 수 있어：
파동 현상을 \(\sin\)이나 \(\cos\)으로 쓰는 대신 \(e^{i\theta}\)로 쓰면, 미분이 곱셈이 되기 때문에 계산이 극적으로 간단해져. 예를 들어：
\(\sin\)이나 \(\cos\)의 미분에서 부호를 신경 쓸 필요가 없어져.
⚪ 메이: 미분해도 형태가 바뀌지 않으니까, 파동방정식을 풀 때 지수함수로 쓰면 전망이 좋아지는 거구나.
📝 연습문제:
- Euler의 공식 확인 → 문제 B-2. 오일러 공식 \(e^{i\pi}+1=0\)
✅ 이해도 체크: Euler의 공식 \(e^{i\theta}\)를 \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)로 표현하면 어떻게 될까요?
답
\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).
✅ 이해도 체크: 제 16 장의 공형장이론에서는, 2차원 세계면을 어떤 좌표로 다룰까요?
답
\((x, y)\) 대신 복소좌표 \((z, \bar{z})\)로 다룬다.
E.2 복소수 복습과 복소평면¶
🟡 리나: 복소수의 기본 연산을 확인할게. 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 A에서 이미 배운 사람은 가볍게 훑어봐도 OK.
기본 정의¶
복소수 \(z = x + iy\)（\(x, y\)는 실수, \(i^2 = -1\)）.
표 E.1: 복소수의 기본 연산과 정의
| 연산 | 정의 | 예（\(z = 3 + 4i\)） |
|---|---|---|
| 실부 | \(\text{Re}(z) = x\) | 3 |
| 허부 | \(\text{Im}(z) = y\) | 4 |
| 복소켤레 | \(\bar{z} = x - iy\) | \(3 - 4i\) |
| 절대값 | $ | z |
| 편각 | \(\arg(z) = \arctan(y/x)\) | \(\arctan(4/3) \approx 53°\) |
중요한 관계식：
극형식¶
🟡 리나: 복소수를 「길이와 각도」로 표현하는 방법을 극형식이라고 불러. Euler의 공식을 쓰면：
그림 E.1「복소평면과 극형식의 표현」에 나타낸 것처럼, \(r\)은 원점으로부터의 거리, \(\theta\)는 실축으로부터 반시계 방향의 각도.
그림 E.1: 복소평면과 극형식의 표현. 그림 E_1: 복소수 \(z = x + iy = re^{i\theta}\)의 복소평면 위에서의 표현. 실축（가로）과 허축（세로）, 원점으로부터의 거리 \(r = |z|\), 실축으로부터의 편각 \(\theta = \arg(z)\)를 나타냄.
곱셈이 간단해지는 이유를 보자. \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)일 때：
즉 절대값은 곱셈, 편각은 덧셈. 기하학적으로는 「회전과 확대」의 합성.
그림 E.2: 복소수의 곱의 기하학적 의미. 그림 E_2: 두 복소수 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)의 곱은 「절대값의 곱, 편각의 합」. 회전과 확대의 합성으로 시각화.
🔵 카이: 나눗셈은요?
🟡 리나: 이렇게 돼：
절대값은 나눗셈, 편각은 뺄셈.
📝 연습문제:
- 복소수의 극형식과 곱의 계산 → 문제 B-1. 복소수의 절댓값과 편각, 문제 B-3. 극형식에서의 곱
복소평면¶
복소수 \(z = x + iy\)를 2차원 평면의 점 \((x, y)\)로 표현한다. 가로축이 실부（실축）, 세로축이 허부（허축）. \(|z|\)는 원점으로부터의 거리, \(\arg(z)\)는 실축으로부터 반시계 방향의 각도.
Riemann 구면 — 무한원점의 추가¶
🟡 리나: 공형장이론에서 중요한 개념을 하나 도입할게. 복소평면에 「무한원점」 \(z = \infty\)를 1점 추가한 것을 Riemann 구면 \(\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}\)이라고 불러.
🔵 카이: 무한원이 「점」이에요?
🟡 리나: 기하학적 이미지는 이래（그림 E.3「입체사영과 리만 구면」）. 단위구면을 복소평면에 접하도록 놓고, 구의 북극에서 평면 위의 각 점으로 직선을 그어. 이 직선이 구면과 만나는 점이, 복소수 \(z\)에 대응하는 구면 위의 점. 북극 자체는 \(z = \infty\)에 대응해. 이것을 입체사영（stereographic projection）이라고 불러.
그림 E.3: 입체사영과 리만 구면. 그림 E_3: 북극 \(N\)에서 복소평면 위의 점 \(z\)로의 직선이 구면과 만나는 점 \(P\)가, \(z\)에 대응하는 구면 위의 점. \(|z| \to \infty\)일 때 \(P \to N\)（북극）.
구체적으로 유도해보자. 북극 \(N = (0, 0, 1)\)과 구면 위의 점 \(P = (X, Y, Z)\)를 잇는 직선을 생각해. 고등학교 벡터에서 배운 것처럼, 2점 \(A\), \(B\)를 지나는 직선 위의 점은 \(A + t(B - A)\)（\(t\)는 실수 매개변수）로 표현돼. \(t = 0\)일 때 점 \(A\), \(t = 1\)일 때 점 \(B\)에 일치하고, \(t\)를 움직이면 직선 위를 이동해. \(A = N = (0,0,1)\), \(B = P = (X,Y,Z)\)으로 하면, 직선 위의 점은 \((0,0,1) + t((X,Y,Z) - (0,0,1)) = (tX, tY, 1 + t(Z-1))\). 이 직선이 \(Z = 0\) 평면（복소평면）과 만나는 조건은 \(1 + t(Z-1) = 0\), 즉 \(t = \frac{1}{1-Z}\). 교점의 좌표는 \((x, y) = \left(\frac{X}{1-Z}, \frac{Y}{1-Z}\right)\)이므로：
🔵 카이: \(Z\)가 1에 가까워지면（북극에 가까운 점）분모가 0에 가까워지니까, \(|z|\)가 점점 커지는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 반대로 \(z\)에서 \((X, Y, Z)\)를 구하려면, 단위구면 조건 \(X^2 + Y^2 + Z^2 = 1\)（즉 \(X^2 + Y^2 = 1 - Z^2\)）을 사용하여 \(|z|^2 = \frac{X^2 + Y^2}{(1-Z)^2} = \frac{1-Z^2}{(1-Z)^2} = \frac{(1-Z)(1+Z)}{(1-Z)^2} = \frac{1+Z}{1-Z}\)에서 \(Z = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1}\)을 얻어. 마찬가지로：
\(|z| \to \infty\)일 때 \((X, Y, Z) \to (0, 0, 1)\)（북극）.
⚪ 메이: 그렇구나, 구면 위에서는 「무한원」도 북극이라는 보통의 점이 되는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 제 16 장에서 끈의 세계면을 컴팩트화할 때, 이 Riemann 구면이 자연스럽게 나타나. 끈의 산란진폭을 계산할 때, 세계면의 위상이 구면이 되거든.
✅ 이해도 체크: 복소수 \(z = x + iy\)의 극형식은 어떻게 쓸까요?
답
\(z = r e^{i\theta}\)（\(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\)）.
✅ 이해도 체크: 극형식으로 표현한 두 복소수 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)의 곱의 절대값과 편각은 각각 어떻게 될까요?
답
절대값은 \(r_1 r_2\)（곱셈）, 편각은 \(\theta_1 + \theta_2\)（덧셈）.
✅ 이해도 체크: Riemann 구면이란 무엇일까요?
답
복소평면 \(\mathbb{C}\)에 무한원점 \(\infty\)를 1점 추가한 \(\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}\). 입체사영에 의해 구면과 동일시할 수 있다.
E.3 복소좌표 \(z, \bar{z}\)와 미분¶
2차원 평면의 복소좌표 표시¶
🟡 리나: 2차원 평면 \((x, y)\)를 복소좌표로 다시 쓸게.
역으로 풀면（\(z + \bar{z} = 2x\), \(z - \bar{z} = 2iy\)로부터）：
편미분의 변환¶
🔵 카이: \((x, y)\)에서의 편미분 \(\partial_x, \partial_y\)를 \((z, \bar{z})\)에서의 편미분으로 변환하려면 어떻게 해요?
🟡 리나: 연쇄법칙(chain rule)을 사용해. \(f\)를 \((z, \bar{z})\)의 함수로 보면：
여기서 \(z = x + iy\)로부터 \(\frac{\partial z}{\partial x} = 1\), \(\bar{z} = x - iy\)로부터 \(\frac{\partial \bar{z}}{\partial x} = 1\). 따라서：
마찬가지로 \(y\)에 대해：
\(\frac{\partial z}{\partial y} = i\), \(\frac{\partial \bar{z}}{\partial y} = -i\)이므로：
식 (E.1)과 (E.2)를 연립하여 \(\partial_z\)와 \(\partial_{\bar{z}}\)에 대해 풀어. (E.1) + (E.2)\(/i\)를 계산하면：
\(\frac{1}{i} = -i\)이므로：
마찬가지로 (E.1) \(-\) (E.2)\(/i\)：
⚪ 메이: 확인해보자. \(\partial_z z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)(x + iy) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\) ✓
\(\partial_z \bar{z} = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)(x - iy) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\) ✓
\(\partial_{\bar{z}} z = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)(x + iy) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\) ✓
\(\partial_{\bar{z}} \bar{z} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)(x - iy) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\) ✓
🟡 리나: 완벽해. \(z\)와 \(\bar{z}\)가 형식적으로 독립인 변수로서 작동하는 것이 확인됐지.
2차원 라플라시안¶
🟡 리나: 2차원 라플라시안 \(\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2\)를 복소좌표로 다시 써보자.
식 (E.1)과 (E.2)로부터：
더하면：
🔵 카이: 라플라시안이 \(\partial_z\)와 \(\partial_{\bar{z}}\)의 곱으로 분해되는 거구나! 굉장히 깔끔한 형태인데……좀 더 구체적으로 말하면, \(\nabla^2 \phi = 0\)은 \(\partial_z \partial_{\bar{z}} \phi = 0\)과 같지요. 이 방정식의 해는 어떤 형태가 돼요? 「곱이 0」이라고 해서 「한쪽이 0」인 건 아니잖아요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 이건 2단계로 생각해. 방정식 \(\partial_z \partial_{\bar{z}} \phi = 0\)을 「\(\partial_z\)가 바깥쪽, \(\partial_{\bar{z}}\)가 안쪽」으로 읽고, 먼저 \(\partial_{\bar{z}} \phi\)를 통째로 \(h\)라고 이름 붙여. 그러면 방정식은 \(\partial_z h = 0\)이 돼. 이건 「\(h\)가 \(z\)에 의존하지 않는다」는 의미니까, \(h\)는 \(\bar{z}\)만의 함수：\(h = h(\bar{z})\). 다음으로 \(\partial_{\bar{z}} \phi = h(\bar{z})\)를 \(\bar{z}\)로 적분하면 \(\phi = g(\bar{z}) + f(z)\)가 돼. \(g(\bar{z})\)는 \(h(\bar{z})\)의 원시함수이고, \(f(z)\)는 적분상수 역할을 하는 \(z\)만의 함수야.
🔵 카이: 아, 그렇구나. 실수에서 \(\frac{d}{dx}F(x) = h(x)\)를 적분하면 \(F(x) = \int h\,dx + C\)로 상수 \(C\)가 나오는 것과 같은데, 여기서는 「상수」 대신 「\(z\)만의 함수 \(f(z)\)」가 나오는 거구나. 즉 \(\bar{z}\)로 적분할 때, \(z\)는 「상수 취급」이니까, 적분상수가 \(z\)의 임의 함수가 된다는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 즉 2차원 라플라스 방정식의 일반해는 \(\phi = f(z) + g(\bar{z})\)로, 정칙 부분과 반정칙 부분으로 완전히 분리돼. 이것이 제 16 장에서 매우 중요한데, 공형장이론의 계산이 좌우 모드로 나뉘는 이유의 핵심이야.
⚪ 메이: 그렇구나, 수학적으로는 「라플라시안이 \(\partial_z \partial_{\bar{z}}\)로 인수분해된다」는 것이, 물리적으로는 「정칙 부분과 반정칙 부분이 완전히 분리된다」는 것에 대응하는 거네. 리나 선생님이 말한 「공형장이론의 계산이 좌우 모드로 나뉘는 이유의 핵심」이, 바로 이 인수분해인 거야.
📝 연습문제:
- 복소좌표에서의 편미분 확인 → 문제 B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)
왜 \(z\)와 \(\bar{z}\)를 독립으로 다루는가¶
🔵 카이: 잠깐만요. \(\bar{z}\)는 \(z\)의 복소켤레로 결정되잖아요? 그런데도 독립인 변수로 다뤄도 되는 건가요? 실질적인 자유도는 \((x, y)\)의 2개인데, \((z, \bar{z})\)도 2개의 변수로 다루면 자유도가 늘어난 것처럼 보이는데요.
🟡 리나: 좋은 질문이야. 비유를 하나 해줄게. 지도 위의 위치를 「위도와 경도」로 지정하는 대신, 「북동 방향 거리」와 「북서 방향 거리」로 지정하는 것 같은 거야. 어느 쪽이든 같은 정보를 갖고 있지만, 문제의 대칭성에 맞는 좌표를 선택하면 계산이 편해져.
🔵 카이: 음, 그런데 그건 「보는 관점을 바꾼 것뿐」이고, 정말로 독립인 변수가 늘어난 게 아니잖아요? \(\bar{z}\)는 \(z\)로 결정되는데, 편미분에서 「\(\bar{z}\)를 고정하고 \(z\)만 움직인다」는 게, 물리적으로는 어떤 조작인 거예요?
🟡 리나: 그 말이 맞아, \(\bar{z}\)는 \(z\)의 복소켤레니까, \(z\)를 정하면 \(\bar{z}\)도 정해져——물리적으로는 독립이 아니야. 하지만 계산 도구로서는, \(z\)와 \(\bar{z}\)를 「별개의 변수」로 다루어 편미분을 정의해도 모순이 생기지 않아. 그 정당성은, 위에서 확인한 \(\partial_z \bar{z} = 0\), \(\partial_{\bar{z}} z = 0\)에 나타나 있어. 「\(z\)를 움직여도 \(\bar{z}\)는 변하지 않는다」는 미분 규칙이 성립하니까, 계산상으로는 독립변수와 같은 방식으로 다룰 수 있어. 최종적으로 물리량을 구할 때는 \(\bar{z} = z^*\)라는 관계를 되돌리면 돼.
제 16 장의 공형장이론에서는, \(z\)에 의존하는 부분（정칙 부분）과 \(\bar{z}\)에 의존하는 부분（반정칙 부분）이 분리되어, 각각 독립적으로 해석할 수 있어. 이것이 공형장이론의 계산을 강력하게 만드는 이유 중 하나야.
2차원 선소와 면적 요소¶
🟡 리나: 나중에 쓸 테니, 계량도 복소좌표로 써놓을게.
실좌표에서의 선소는 \(ds^2 = dx^2 + dy^2\). \(dx = \frac{1}{2}(dz + d\bar{z})\), \(dy = \frac{1}{2i}(dz - d\bar{z})\)를 대입하면：
\((2i)^2 = 4i^2 = -4\)이므로 \(\frac{1}{(2i)^2} = -\frac{1}{4}\). 따라서：
전개하면（여기서의 곱은 계량텐서의 대칭곱 \(dz\,d\bar{z} = d\bar{z}\,dz\)이며, 나중에 나오는 반대칭 웨지곱 \(dz \wedge d\bar{z} = -d\bar{z} \wedge dz\)과는 다르다）：
⚪ 메이: 깔끔하게 \(dz^2\)과 \(d\bar{z}^2\)이 사라지고, 교차항만 남는구나.
🟡 리나: 면적 요소도 복소좌표로 써놓을게：
여기서 \(d^2z\)는 「\(dz\)의 제곱」이 아니라, 「2차원 면적 요소」를 나타내는 약기법이야. 위 첨자 2는 차원을 나타내는 거야（3차원이면 \(d^3x = dx\,dy\,dz\)）. 우변에 웨지곱 \(\wedge\)이 붙어 있는 건, \(dz\)와 \(d\bar{z}\)의 순서를 바꾸면 부호가 바뀌는 것을 명시하기 위해서야. 실용적으로는 「\(dx\,dy\)를 복소좌표로 다시 쓴 것」이라고 생각하면 OK.
🔵 카이: \(\wedge\)이 뭐예요? 보통 곱셈과 다른 건가요?
🟡 리나: \(\wedge\)（웨지곱）은 「방향이 있는 면적 요소를 만드는 곱」이야. 왜 보통 곱셈이 아닌 이것이 필요하냐면, 좌표변환할 때 면적의 부호（방향）를 올바르게 추적하고 싶으니까. 보통 곱셈 \(dx \cdot dy\)로는 「\(x\)가 먼저인지 \(y\)가 먼저인지」 구별이 안 되는데, 웨지곱은 반대칭성 \(A \wedge B = -B \wedge A\)을 가짐으로써, 방향의 정보를 유지해.
왜 반대칭이냐면, 면적에는 「방향」이 있으니까. 예를 들어, \(x\)축 방향으로 1만큼 진행한 후 \(y\)축 방향으로 1만큼 진행하면 반시계 방향의 단위 정사각형이 되지만, \(y\)축 방향으로 먼저 진행한 후 \(x\)축 방향으로 진행하면 시계 방향이 돼. 이 「회전 방향의 차이」를 부호로 구별하는 것이 웨지곱. 즉 \(dx \wedge dy = -dy \wedge dx\).
보통 면적분 \(\int dx\,dy\)에서 쓰는 \(dx\,dy\)는, 사실 \(dx \wedge dy\)（반시계 방향을 양으로 하는 방향 있는 면적 요소）인 거야. 방향을 신경 쓰지 않는 장면에서는 단순히 \(dx\,dy\)라고 쓰지만, 좌표변환에서 부호를 추적할 때는 웨지곱 표기가 편리해. 이 부록에서는, 특별히 언급하지 않는 한 \(dx\,dy\)와 \(dx \wedge dy\)를 같은 의미로 써.
🔵 카이: 반대칭이라는 건, \(A \wedge A\)는 어떻게 돼요?
🟡 리나: 반대칭성 \(A \wedge B = -B \wedge A\)에서 \(B = A\)로 놓으면 \(A \wedge A = -A \wedge A\). 양변에 \(A \wedge A\)를 더하면 \(2(A \wedge A) = 0\). 따라서 \(A \wedge A = 0\). 같은 것끼리의 웨지곱은 반드시 0이 돼.
⚪ 메이: 그렇구나, 그래서 \(dz \wedge dz = 0\), \(d\bar{z} \wedge d\bar{z} = 0\)이고, 전개했을 때 「같은 것끼리」는 전부 사라지는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그러면 면적 요소를 실제로 계산해보자. \(dx = \frac{1}{2}(dz + d\bar{z})\), \(dy = \frac{1}{2i}(dz - d\bar{z})\)를 대입하면：
반대칭성에 의해 \(dz \wedge dz = 0\), \(d\bar{z} \wedge d\bar{z} = 0\), \(d\bar{z} \wedge dz = -dz \wedge d\bar{z}\)이므로：
（마지막 등호：\(-\frac{1}{2i} = -\frac{1}{2i}\cdot\frac{i}{i} = -\frac{i}{2i^2} = -\frac{i}{-2} = \frac{i}{2}\)를 사용했다.）
🔵 카이: 제대로 식 (E.7)과 일치했어! 웨지곱의 규칙에 따라 기계적으로 계산하기만 하면 되는 거구나.
✅ 이해도 체크: 편미분 \(\partial_z\)를 \(\partial_x\)와 \(\partial_y\)로 표현하면 어떻게 될까요?
답
\(\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)\).
✅ 이해도 체크: 2차원 라플라시안 \(\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2\)를 복소좌표로 쓰면 어떻게 될까요?
답
\(\nabla^2 = 4\partial_z\partial_{\bar{z}}\).
✅ 이해도 체크: 공형장이론에서 \(z\)와 \(\bar{z}\)를 형식적으로 독립인 변수로 다루는 장점은 무엇일까요?
답
\(z\)에 의존하는 정칙 부분과 \(\bar{z}\)에 의존하는 반정칙 부분이 분리되어, 각각 독립적으로 해석할 수 있기 때문에 계산이 간결해진다.
E.4 정칙함수와 Cauchy-Riemann 조건¶
정의¶
🟡 리나: 복소함수 \(f(z, \bar{z})\)가 정칙（holomorphic）이란, \(\bar{z}\)에 의존하지 않는 것이야：
즉, \(f\)는 \(z\)만의 함수：\(f = f(z)\).
Cauchy-Riemann 조건의 유도¶
🔵 카이: 이것을 실부와 허부로 나누면 어떻게 돼요?
🟡 리나: \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)라고 쓰고, \(\partial_{\bar{z}} f = 0\)을 전개할게.
식 (E.4)의 정의 \(\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)\)를 사용하면：
전개하면：
\(i^2 = -1\)을 사용하여 정리하면：
이것이 0이 되려면, 실부와 허부가 각각 0：
정리하면：
이것이 Cauchy-Riemann 관계식이야.
⚪ 메이: 정칙함수의 실부와 허부는 독립이 아니라, 이 관계로 묶여 있구나.
🟡 리나: 맞아. 더 중요한 귀결이 있어. Cauchy-Riemann 조건의 제1식을 \(x\)로 미분하고, 제2식을 \(y\)로 미분하면：
\(v\)의 혼합편미분이 같다（\(\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}\)）는 것을 이용하여 더하면：
즉 정칙함수의 실부 \(u\)는 라플라스 방정식을 만족한다（조화함수）. 마찬가지로 허부 \(v\)도 조화함수.
🔵 카이: 에, 정칙이라는 것만으로 자동으로 라플라스 방정식을 만족하는 거예요? 엄청난 구속이네……
구체적 예시로 확인¶
🟡 리나: 몇 가지 함수로 Cauchy-Riemann 조건을 확인해보자.
예제 1: \(f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\)
\(u = x^2 - y^2\), \(v = 2xy\)로 하면：
예제 2: \(f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\)
\(u = e^x \cos y\), \(v = e^x \sin y\)로 하면：
예제 3（비정칙）: \(f(z) = |z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2\)
\(u = x^2 + y^2\), \(v = 0\)으로 하면：
\(2x \neq 0\)（일반적으로）이므로 Cauchy-Riemann 조건을 만족하지 않아. \(\bar{z}\)에 의존하니까 당연해.
표 E.2: 대표적인 함수의 정칙성 판정
| 함수 | 정칙? | 이유 |
|---|---|---|
| \(f(z) = z^n\) | ✓ | \(\bar{z}\)에 의존하지 않음 |
| \(f(z) = e^z\) | ✓ | CR 관계식을 만족 |
| \(f(z) = 1/z\) | ✓（\(z \neq 0\)） | \(z = 0\)에 특이점 |
| $f(z) = | z | ^2 = z\bar{z}$ |
| \(f(z) = \bar{z}\) | ✗ | \(\partial_{\bar{z}}\bar{z} = 1 \neq 0\) |
| > 📝 연습문제: | ||
| > | ||
| > - Cauchy-Riemann 관계식 확인 → 문제 B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) 로 확인, [문제 B-5. 코시-리만: $ | z | ^2$ 은 깨진다](../problems/appendix_e.md#string-appe-cr-fails-mod-z-squared) |
등각사상으로서의 정칙함수¶
🟡 리나: 정칙함수에는 기하학적으로 매우 중요한 성질이 있어. \(w = f(z)\)가 정칙이고 \(f'(z_0) \neq 0\)일 때, 이 사상은 각도를 보존하는（등각, conformal） 사상이야.
🔵 카이: 각도를 보존한다는 게 무슨 뜻이에요?
🟡 리나: 점 \(z_0\)을 지나는 2개의 곡선이 각도 \(\alpha\)로 교차할 때, \(f\)로 보낸 후의 2개의 곡선도 같은 각도 \(\alpha\)로 교차한다는 거야.
이것을 보여줄게. \(z_0\)을 지나는 곡선 \(z(t)\)를 생각하면, 사상 후의 곡선은 \(w(t) = f(z(t))\). 접선벡터는：
\(f'(z_0) = |f'(z_0)| e^{i\phi}\)로 극형식으로 쓰면, 접선벡터의 편각은：
즉, 모든 방향이 일률적으로 각도 \(\phi\)만큼 회전해. 두 곡선의 끼인각은 변하지 않아.
⚪ 메이: 즉 리나 선생님의 설명을 정리하면, 모든 방향이 같은 각도만큼 회전하니까, 곡선 사이의 각도는 보존된다는 거구나.
🟡 리나: 이것이 제 16 장에서 공형변환이 정칙함수로 기술되는 이유야. 「공형（conformal）」= 「각도를 보존」= 「정칙」.
그림 E.4: 정칙함수에 의한 등각사상. 그림 E_4: 정칙함수 \(w = f(z)\)는 각도를 보존한다. \(z\) 평면에서 각도 \(\alpha\)로 교차하는 2곡선은, \(w\) 평면에서도 같은 각도 \(\alpha\)로 교차한다.
📝 연습문제:
- 등각사상의 구체적 예시 → 문제 A-1. 등각사상 \(w = 1/z\)
✅ 이해도 체크: 복소함수 \(f(z, \bar{z})\)가 정칙이기 위한 조건을 편미분으로 쓰면 어떻게 될까요?
답
\(\partial_{\bar{z}} f = 0\)（\(f\)가 \(\bar{z}\)에 의존하지 않는 것）.
✅ 이해도 체크: Cauchy-Riemann 조건을 \(f = u + iv\)의 실부·허부로 쓰면 어떻게 될까요?
답
\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\), \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\).
✅ 이해도 체크: 정칙함수 \(w = f(z)\)（\(f'(z_0) \neq 0\)）에 의한 사상은 어떤 기하학적 성질을 가질까요?
답
각도를 보존하는 사상（등각사상）이다.
E.5 등각사상과 공형변환¶
Möbius 변환¶
🟡 리나: 공형변환 중에서 가장 중요한 클래스가 Möbius 변환（일차분수변환）이야：
여기서 \(a, b, c, d\)는 복소상수.
🔵 카이: 왜 \(ad - bc \neq 0\)이 필요한 거예요?
🟡 리나: \(ad - bc = 0\)이면 \(w\)가 상수가 되어버려（사상으로서 퇴화해）. \(ad = bc\)일 때 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)이므로：
（\(b/a = d/c\)를 사용했다）. 상수 사상은 정보를 잃으므로 제외해.
Möbius 변환의 미분과 등각성¶
\(w = f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\)의 도함수를 계산하면：
\(ad - bc \neq 0\)이고 \(cz + d \neq 0\)일 때 \(f'(z) \neq 0\)이므로, 확실히 등각사상이야.
Möbius 변환과 행렬¶
🟡 리나: Möbius 변환은 \(2 \times 2\) 행렬과 대응해：
두 Möbius 변환의 합성은 행렬의 곱에 대응해. 확인해보자.
\(w_1 = \frac{a_1 z + b_1}{c_1 z + d_1}\) 후에 \(w_2 = \frac{a_2 w + b_2}{c_2 w + d_2}\)를 시행하면：
분자분모에 \((c_1 z + d_1)\)을 곱하면：
이것은 행렬의 곱：
에 대응하는 Möbius 변환 그 자체야.
🔵 카이: 합성이 행렬의 곱이면, 역변환도 있는 건가요? 행렬에 역행렬이 있는 것처럼.
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 역변환은 역행렬, 아무것도 하지 않는 변환（항등변환）은 단위행렬에 대응해.
⚪ 메이: 즉, Möbius 변환 전체가 행렬의 곱으로 닫혀 있구나. 합성해도 결과가 다시 Möbius 변환이 돼.
🔵 카이: 합성해도 Möbius 변환 그대로, 역도 있고, 아무것도 하지 않는 변환도 있고……뭔가 전부 갖춰진 느낌인데, 이거 우연인가요?
🟡 리나: 우연이 아니야. 이렇게 「합성으로 닫혀 있고, 역원과 단위원이 있는」 구조를 수학에서는 군이라고 불러（부록 D에서 자세히 다뤘지）. 엄밀히는 「결합법칙」——즉 \((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)（3개의 변환을 어떤 순서로 묶어도 결과가 같다）——도 필요하지만, 행렬의 곱은 결합법칙을 만족하니까 자동으로 OK.
🟡 리나: 더 나아가, 행렬 \(M\)과 \(\lambda M\)（\(\lambda \neq 0\)）은 같은 Möbius 변환을 줘（분자분모에 \(\lambda\)가 곱해질 뿐이니까 약분돼）. 그래서 \(\det M = ad - bc = 1\)로 정규화할 수 있어. 이 조건을 만족하는 \(2\times 2\) 복소행렬 전체의 집합을 \(\text{SL}(2, \mathbb{C})\)이라고 써（SL은 Special Linear의 약자로, 「행렬식 = 1」의 특수선형군）.
🔵 카이: \(\lambda\) 배해도 같은 변환인데, 행렬식을 1로 고정할 수 있는 건가요?
🟡 리나: \(\lambda = 1/\sqrt{\det M}\)으로 선택하면 \(\det(\lambda M) = \lambda^2 \det M = 1\)로 할 수 있어. 다만 \(\lambda\)의 부호 자유도가 남아. 즉 행렬 \(M\)과 \(-M\)은 같은 Möbius 변환을 줘（분자분모의 부호가 상쇄돼）. 그래서 \(\pm I\)（\(I\)는 단위행렬）를 동일시한 군：
（PSL은 Projective Special Linear의 약자. 「Projective（사영적）」란 「전체를 상수배해도 같은 것으로 간주한다」는 의미로, 여기서는 「\(M\)과 \(-M\)을 같은 변환으로 동일시한다」는 조작에 대응해. 이름은 기억하지 않아도 괜찮아——중요한 건 「Möbius 변환의 군 ≅ \(\text{SL}(2, \mathbb{C})/\{\pm I\}\)」이라는 구조야.）
Möbius 변환의 특수한 경우¶
🟡 리나: Möbius 변환은 3종류의 기본 조작의 합성으로 쓸 수 있어：
- 평행이동: \(w = z + b\)（\(a=1, c=0, d=1\)）
- 회전과 확대: \(w = az\)（\(b=0, c=0, d=1\)）
- 반전: \(w = 1/z\)（\(a=0, b=1, c=1, d=0\)）
🔵 카이: 단 3종류의 조작으로 모든 Möbius 변환을 만들 수 있는 거예요?
🟡 리나: 맞아. 일반적인 Möbius 변환은 \(c \neq 0\)일 때, 분자 \(az + b\)를 \(cz + d\)의 상수배와 나머지로 분해할 수 있어（\(c = 0\)이면 \(w = (a/d)z + b/d\)로 단순한 회전·확대＋평행이동）：
（제1 등호：분자를 \(az + b = \frac{a}{c}(cz+d) + (b - \frac{ad}{c})\)로 분해했다. 확인：\(\frac{a}{c}(cz+d) = az + \frac{ad}{c}\)이므로, 나머지는 \(az + b - az - \frac{ad}{c} = b - \frac{ad}{c}\) ✓. 제2 등호：\(b - ad/c = (bc - ad)/c\)를 사용했다.）
이 최종형을, \(z\)에 대한 조작의 순서로 읽으면：
- 먼저 \(z\)를 \(d/c\)만큼 평행이동：\(z \mapsto z + d/c\)
- 반전：\(z + d/c \mapsto \frac{1}{z + d/c}\)
- 확대회전（계수 \(\frac{bc-ad}{c^2}\)을 곱하기）：\(\frac{1}{z+d/c} \mapsto \frac{bc-ad}{c^2} \cdot \frac{1}{z+d/c}\)
- 마지막으로 \(a/c\)만큼 평행이동：\(\mapsto \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \cdot \frac{1}{z+d/c}\)
즉, 임의의 Möbius 변환은 「평행이동 → 반전 → 확대회전 → 평행이동」의 합성으로 쓸 수 있어.（참고로 \(bc - ad = -(ad - bc) \neq 0\)이므로 스텝 3의 계수는 0이 되지 않아. 부호가 반대일 뿐이고, 비퇴화 조건 \(ad - bc \neq 0\)이 효력을 발휘하고 있어.）
⚪ 메이: 즉, 아무리 복잡해 보이는 Möbius 변환도, 기본 3조작의 조합으로 분해하면 내용이 보인다는 거구나.
끈이론과의 접속¶
🟡 리나: 제 16 장에서 배우듯이, 끈의 세계면 위의 대역적 공형변환은 Möbius 변환（\(\text{SL}(2, \mathbb{C})\)）으로 기술돼. 끈의 산란진폭을 계산할 때, Möbius 변환의 자유도를 이용하여 3개의 꼭짓점 연산자의 위치를 고정할 수 있어. 이것이 「\(\text{SL}(2, \mathbb{C})\) 게이지 고정」이라고 불리는 것이야.
✅ 이해도 체크: Möbius 변환 \(w = \frac{az+b}{cz+d}\)가 비퇴화이기 위한 조건은?
답
\(ad - bc \neq 0\).
📝 연습문제:
- Möbius 변환의 합성 → 문제 M-3. 뫼비우스 변환의 합성
✅ 이해도 체크: 두 Möbius 변환의 합성은, 대응하는 행렬의 어떤 연산에 대응할까요?
답
행렬의 곱에 대응한다.
E.6 Taylor 전개와 Laurent 전개¶
Taylor 전개¶
🟡 리나: 정칙함수는, 정칙인 영역에서 Taylor 전개할 수 있어：
이 급수가 수렴하는 범위는, \(z_0\)을 중심으로 하는 원의 내부가 돼. 그 원의 반경（수렴반경）은, \(z_0\)에서 가장 가까운 특이점까지의 거리로 결정돼. 직관적으로는, 특이점에 도달하기까지는 함수가 「매끄러우」니까 급수로 표현할 수 있지만, 특이점에 도달하면 함수가 발산하므로 급수도 무너진다는 거야.
Laurent 전개의 필요성¶
🔵 카이: 특이점이 있는 함수는 어떻게 해요? \(1/z\)는 \(z = 0\)에서 발산하니까 Taylor 전개가 안 되잖아요.
🟡 리나: 맞아. 특이점을 가진 함수에는, 음의 거듭제곱도 포함하는 Laurent 전개가 필요해：
Laurent 전개의 계수¶
🟡 리나: 계수 \(a_n\)은 어떻게 결정되는지 유도할게.
그림 E.5: 로랑 전개의 수렴 환상 영역. 그림 E_5: Laurent 전개는 특이점 \(z_0\)을 둘러싸는 환상 영역（annulus）\(R_1 < |z - z_0| < R_2\)에서 수렴한다. 정칙 부분은 외측 원 내에서, 주요부는 내측 원 밖에서 수렴.
\(z_0\)을 중심으로 하는 2개의 동심원 \(C_1\)（반경 \(R_1\)）과 \(C_2\)（반경 \(R_2 > R_1\)）사이의 환상 영역（annulus）에서 \(f\)가 정칙이라고 하자.
Laurent 계수를 구하는 공식은 E.7「Cauchy의 적분 공식과 유수정리」의 Cauchy의 적분 공식으로부터 유도돼（아이디어만 먼저 말하면：Laurent 전개를 \(C\) 위에서 \((w-z_0)^{-n-1}\)을 곱하여 항별적분한다. 그러면 \(\oint_C (w-z_0)^{m-n-1}dw\)라는 형태의 적분이 나타나고, 이것이 \(m = n\)일 때만 \(2\pi i\)이고, 그 외에는 0이 되므로, \(a_n\)의 항만 남는다）.
🔵 카이: 「\(m = n\)일 때만 0이 아닌」이라는 건, Fourier 전개에서 \(e^{im\theta}\)와 \(e^{-in\theta}\)의 곱을 적분하면 \(m = n\)일 때만 남는 것과 같은 구조인가요?
🟡 리나: 정확히 그래! 이 「직교성」을 구체적으로 확인해보자. \(w = z_0 + re^{i\theta}\)（\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)）로 매개변수화하면 \(dw = ire^{i\theta}d\theta\), \((w-z_0)^k = r^k e^{ik\theta}\)이므로：
\(k+1 \neq 0\)（즉 \(k \neq -1\)）일 때, \(e^{i(k+1)\theta} = \cos((k+1)\theta) + i\sin((k+1)\theta)\)이므로, \(\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}d\theta = \int_0^{2\pi}\cos((k+1)\theta)\,d\theta + i\int_0^{2\pi}\sin((k+1)\theta)\,d\theta\). \(\cos\)도 \(\sin\)도 정수 회의 완전한 주기를 포함하므로, 양의 부분과 음의 부분이 상쇄되어, 어느 쪽 적분도 0. \(k = -1\)일 때, \(e^{i \cdot 0 \cdot \theta} = 1\)이므로 \(\int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi\). 결과는 \(i r^0 \cdot 2\pi = 2\pi i\).
즉：\(\oint_C (w-z_0)^k\,dw = \begin{cases} 2\pi i & (k = -1) \\ 0 & (k \neq -1) \end{cases}\)
⚪ 메이: 이것이 복소 버전의 「직교성」이구나. \(k = -1\)만 살아남는다는 게, Fourier의 \(\delta_{mn}\)에 대응하는 거네.
🟡 리나: 이것은 삼각함수의 직교성（\(\int_0^{2\pi} \cos(m\theta)\cos(n\theta)\,d\theta\)가 \(m = n\)일 때만 0이 아닌 성질）과 같은 구조로, Fourier 급수에서는 \(\int_0^{2\pi} e^{ik\theta} e^{-il\theta} d\theta\)가 \(k = l\)일 때만 0이 아닌 「직교성」으로 일반화돼. 여기서는 결과를 먼저 말하고 사용법에 익숙해지자. \(z_0\)을 중심으로 하는 반경 \(r\)（\(R_1 < r < R_2\)）의 원 \(C\) 위에서：
⚪ 메이: 이거, \(n \geq 0\)일 때는 Taylor 전개의 계수 \(a_n = f^{(n)}(z_0)/n!\)과 정합하는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. \(f\)가 \(z_0\)에서 정칙이면, 나중에 보여줄 Cauchy의 적분 공식으로부터：
이므로 \(a_n = f^{(n)}(z_0)/n!\)과 확실히 일치해.
Laurent 전개의 구조¶
- \(n \geq 0\) 부분：정칙 부분（해석적 부분）
- \(n < 0\) 부분：주요부（principal part）
주요부가 특이점의 구조를 기술해.
특이점의 분류¶
표 E.3: 복소함수의 특이점 분류
| 종류 | 조건 | 예 |
|---|---|---|
| 제거가능 특이점 | 주요부가 없음（모든 \(n < 0\)에 대해 \(a_n = 0\)） | \(\frac{\sin z}{z}\) at \(z = 0\) |
| \(N\)위의 극（pole） | \(a_{-N} \neq 0\), \(n < -N\)인 모든 \(a_n = 0\) | \(\frac{1}{z^N}\) at \(z = 0\) |
| 진성 특이점 | 주요부가 무한히 계속됨 | \(e^{1/z}\) at \(z = 0\) |
구체적 예시 1：제거가능 특이점¶
\(f(z) = \frac{\sin z}{z}\). \(\sin z\)의 Taylor 전개：
\(z\)로 나누면：
음의 거듭제곱이 없어! \(f(0) = 1\)로 정의하면 \(z = 0\)에서도 정칙. 그래서 「제거가능」이야.
구체적 예시 2：극¶
\(f(z) = \frac{1}{z(z-1)}\)의 \(z = 0\) 주변 Laurent 전개.
부분분수 분해：
양변에 \(z(z-1)\)을 곱하면：
\(z = 0\): \(1 = -A\) → \(A = -1\)
\(z = 1\): \(1 = B\) → \(B = 1\)
\(0 < |z| < 1\)（\(z = 0\) 주변의 환상 영역）에서 \(\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z}\)를 등비급수 전개：
따라서：
\(z = 0\)은 1위의 극. 주요부는 \(-1/z\)뿐. \(a_{-1} = -1\).
구체적 예시 3：진성 특이점¶
\(f(z) = e^{1/z}\). \(e^w\)의 Taylor 전개에서 \(w = 1/z\)로 하면：
음의 거듭제곱이 무한히 계속됨 → 진성 특이점.
🔵 카이: 진성 특이점은 극과 어떻게 다른 거예요?
🟡 리나: 극에서는 \(|f(z)| \to \infty\)（\(z \to z_0\)）이지만, 진성 특이점에서는 \(f\)의 값이 \(z_0\) 근방에서 모든 복소수 값에 가까워져（Picard의 대정리）. 거동이 극단적으로 복잡해.
그림 E.6: 극과 진성 특이점의 분류. 그림 E_6: 왼쪽: 1위의 극 \(1/z\)（\(|f| \to \infty\)가 제어된 발산）. 가운데: 2위의 극 \(1/z^2\). 오른쪽: 진성 특이점 \(e^{1/z}\)（\(z \to 0\)에서 값이 격렬하게 진동）.
모드 전개와의 관계¶
🟡 리나: 제 14 장의 끈의 양자화에서, 장 \(X^\mu(\sigma, \tau)\)를 모드 전개했어（제 14 장 참조）：
이것은 본질적으로 Laurent 전개야. 각 모드 \(\alpha_n^\mu\)가 Laurent 계수 \(a_n\)에 대응해.
🔵 카이: 아, 끈의 모드 전개가 Laurent 전개 그 자체였구나. \(\alpha_n\)이 바로 \(a_n\)인 거네.
🟡 리나: 맞아. 제 16 장의 공형장이론에서는, 장의 Laurent 전개 계수가 모드 연산자가 되고, 그 교환관계가 대수 구조를 결정해.
📝 연습문제:
- Laurent 전개와 특이점의 분류 → 문제 B-8. \(1/z^2\) 의 로랑 전개와 유수, 문제 B-9. \(e^{1/z}\)의 로랑 전개
✅ 이해도 체크: Laurent 전개에서, \(n < 0\)인 항（음의 거듭제곱 부분）을 무엇이라 부를까요?
답
주요부（principal part）라고 부른다. 특이점의 구조를 기술하는 부분.
✅ 이해도 체크: \(z = z_0\)이 \(N\)위의 극（pole）이란, Laurent 전개의 계수에 어떤 조건이 성립하는 것일까요?
답
\(a_{-N} \neq 0\)이고 \(n < -N\)인 모든 \(a_n = 0\)（주요부가 \((z-z_0)^{-N}\) 항에서 끝남）.
✅ 이해도 체크: 끈이론의 모드 전개와 Laurent 전개의 관계는?
답
장의 Laurent 전개의 각 계수가 모드 연산자 \(\alpha_n^\mu\)에 대응한다.
E.7 Cauchy의 적분 공식과 유수정리¶
Cauchy의 적분 정리（출발점）¶
🟡 리나: 먼저 기본 정리부터. \(f(z)\)가 폐곡선 \(C\) 내부에서 정칙이면：
🔵 카이: 왜 정칙이면 적분이 0이 되는 거예요?
🟡 리나: 직관적인 설명을 할게. 복소적분을 실부와 허부로 분해하면：
「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A에서 배운 Green의 정리（2차원 Stokes 정리）를 사용하면：
이 정리는 「폐곡선을 따른 선적분（좌변）＝ 내부의 면적분（우변）」이라는 관계식이야.
좌변은 폐곡선 \(C\)를 따른 선적분. 고등학교 물리에서 「힘 \(\vec{F}\)가 물체를 경로를 따라 하는 일 \(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}\)」을 계산한 것과 같은 발상으로, \(\oint_C (P\,dx + Q\,dy)\)는 「곡선 위 각 점에서 \(P \cdot dx + Q \cdot dy\)를 모두 더하는」 조작이야.
우변은 \(C\)로 둘러싸인 영역 \(D\) 위의 면적분. Green의 정리의 물리적 의미는：「닫힌 곡선을 따른 선적분（좌변）＝ 내부의 미소 기여의 합계（우변）」. 물의 흐름에 비유하면, 외주를 빙 도는 흐름의 강도는, 내부에 있는 모든 소용돌이를 더한 것과 같아.（직관적으로는, \(D\)를 작은 직사각형으로 분할하면 인접한 변의 기여가 상쇄되어 외주만 남아. 엄밀한 증명은 「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A 참조.）
⚪ 메이: 「인접한 변이 상쇄된다」는 건, 이웃한 작은 정사각형의 공유변을 반대 방향으로 통과하니까 상쇄되고, 남는 건 외주의 변뿐이라는 거지.
🟡 리나: 맞아. 그러면 Green의 정리를 사용하여 Cauchy의 적분 정리를 증명하자. 실부 적분에 적용（\(P = u\), \(Q = -v\)）：
Cauchy-Riemann 조건 \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)에 의해：
허부도 마찬가지로 0. 따라서 \(\oint_C f(z)\,dz = 0\).
🔵 카이: 그렇구나……정칙이 아닌 함수면 Cauchy-Riemann이 성립하지 않으니까, 이 상쇄가 일어나지 않아서 적분이 0이 안 된다는 거구나.
🟡 리나: 맞아. Cauchy-Riemann 조건이 효력을 발휘하여 상쇄가 일어나는 게 정칙함수의 특권이야.
Cauchy의 적분 공식의 유도¶
🟡 리나: 다음으로, \(f(z)\)가 \(C\) 내부에서 정칙이고, \(z\)가 \(C\) 내부의 점일 때：
이것을 유도할게.
피적분함수 \(g(w) = \frac{f(w)}{w-z}\)는 \(w = z\)에 1위의 극을 가져. \(C\) 내부에서 \(z\)를 중심으로 하는 작은 원 \(C_\epsilon\)（반경 \(\epsilon\)）을 취해.
\(g(w)\)는 \(C\)와 \(C_\epsilon\) 사이의 영역에서 정칙（\(w = z\)를 제외했으니까）.
여기서 환상 영역에의 Cauchy의 적분 정리 적용을 설명할게. Cauchy의 적분 정리는 「정칙인 영역의 경계를 따른 적분은 0」이라는 정리야. 환상 영역의 경계는 2개의 곡선——외측의 \(C\)와 내측의 \(C_\epsilon\)——으로 이루어져. 단 「경계」로서 올바른 방향은, 영역을 왼손에 보는 방향. 외측의 \(C\)는 반시계 방향, 내측의 \(C_\epsilon\)은 시계 방향이 올바른 방향이야. \(C_\epsilon\)을 반시계 방향으로 통일하면 부호가 반전되므로, Cauchy의 적분 정리는：
（여기서 \(\oint_{C_\epsilon}\)은 반시계 방향.）
따라서：
🔵 카이: 외측 적분이 내측의 작은 원 적분과 같은 거구나. 특이점을 「피해서」 환상 영역을 만들고, 거기서는 정칙이니까 적분 정리를 쓸 수 있다는 거네.
🟡 리나: 맞아. \(C_\epsilon\) 위에서 \(w = z + \epsilon e^{i\theta}\)（\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)）로 매개변수화하면, \(dw = i\epsilon e^{i\theta} d\theta\), \(w - z = \epsilon e^{i\theta}\)：
\(\epsilon \to 0\)의 극한을 취하면, \(f\)의 연속성으로부터 \(f(z + \epsilon e^{i\theta}) \to f(z)\)：
따라서：
양변을 \(2\pi i\)로 나누면 식 (E.15)를 얻어.
🔵 카이: 대단하다. 정칙함수의 값이, 경계 위의 값만으로 완전히 결정된다는 거예요? 실수의 매끄러운 함수라면, 원주 위에서 같은 값을 취하면서도 내부에서는 마음대로 바꿀 수 있을 것 같은데, 왜 복소함수에서는 그렇게 안 되는 거예요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 실수의 함수는 「매끄러움」만이 조건이지만, 정칙함수는 Cauchy-Riemann 조건이라는 추가 구속이 있어. 이 구속이 매우 강력해서, 함수의 자유도를 대폭 제한해. 이것이 정칙함수의 「강성」이야. 내부의 값은 경계 데이터로 유일하게 결정돼. 물리에서는, 산란진폭의 해석적 연속이나 분산관계식의 기반이 돼.
고계 도함수의 공식¶
🟡 리나: Cauchy의 적분 공식을 \(z\)로 미분하면, \(n\)계 도함수의 공식이 얻어져：
이것은 식 (E.15)의 양변을 \(z\)로 \(n\)번 미분하면 얻어져（\(\partial/\partial z\)가 \(\oint\) 안으로 들어갈 수 있어）：
일반적으로 \(\frac{\partial^n}{\partial z^n} \frac{1}{w-z} = \frac{n!}{(w-z)^{n+1}}\).
유수의 정의¶
🟡 리나: Laurent 전개의 \((z-z_0)^{-1}\) 계수를 유수（residue）라고 불러：
식 (E.13)에서 \(n = -1\)로 하면：
즉：
（\(C\)는 \(z_0\)만을 둘러싸는 작은 원）
🔵 카이: Laurent 전개의 모든 항 중에서, \((z-z_0)^{-1}\) 항만이 주회적분에 기여하는 거구나! 아까 직교성 계산에서 \(k = -1\)만 살아남은 것과 연결됐어.
유수정리의 유도¶
🟡 리나: 폐곡선 \(C\) 내부에 여러 특이점 \(z_1, z_2, \ldots, z_N\)이 있는 경우를 생각해. 그림 E.7「유수정리의 기하학적 의미」처럼, 각 특이점을 작은 원으로 둘러싸는 상황을 봐.
그림 E.7: 유수정리의 기하학적 의미. 그림 E_7: 폐곡선 \(C\) 내부의 각 특이점 \(z_k\)를 소원 \(C_k\)로 둘러쌈. \(C\) 위의 적분은 각 \(C_k\) 위의 적분（= \(2\pi i \times\) 유수）의 합과 같다.
각 특이점 \(z_k\)를 둘러싸는 작은 원 \(C_k\)를 취해. \(f\)는 \(C\) 내부에서 모든 \(C_k\) 내부를 제외한 영역에서 정칙. Cauchy의 적분 정리를 이 영역에 적용하면：
식 (E.18)에 의해 각 \(\oint_{C_k} f(z)\,dz = 2\pi i \, \text{Res}_{z=z_k} f(z)\)이므로：
이것이 유수정리야.
⚪ 메이: 즉, 피적분함수의 전체적인 거동을 몰라도, 특이점 근방의 정보（유수）만으로 폐곡선 위의 적분이 완전히 결정되는 거구나.
유수의 계산법¶
🟡 리나: 유수를 실제로 계산하는 방법을 정리할게.
1위의 극인 경우: \(f(z)\)가 \(z = z_0\)에 1위의 극을 가질 때：
유도：\(f(z) = \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots\)이므로 \((z-z_0)f(z) = a_{-1} + a_0(z-z_0) + \cdots\). \(z \to z_0\)에서 \(a_{-1}\)이 남아.
\(N\)위의 극인 경우: \(f(z)\)가 \(z = z_0\)에 \(N\)위의 극을 가질 때：
유도：\((z-z_0)^N f(z) = a_{-N} + a_{-N+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{N-1} + \cdots\)
\((N-1)\)번 미분하면 \((z-z_0)^{N-1}\) 항에서 \((N-1)! \, a_{-1}\)이 살아남아.
\(f(z) = p(z)/q(z)\)에서 \(q\)가 1위의 영점을 가지는 경우:
유도：\(q(z) \approx q'(z_0)(z-z_0)\)（\(z \to z_0\)）이므로 \((z-z_0)f(z) \approx \frac{p(z_0)(z-z_0)}{q'(z_0)(z-z_0)} = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}\).
계산 예시¶
예제 1: \(f(z) = \frac{1}{z(z-1)}\)의 \(z = 0\)에서의 유수.
\(z = 0\)은 1위의 극. 식 (E.20)을 사용：
예제 2: \(f(z) = \frac{1}{z(z-1)}\)의 \(z = 1\)에서의 유수.
예제 3: \(\oint_{|z|=2} \frac{1}{z(z-1)} dz\)를 계산.
\(|z| = 2\) 내부에 \(z = 0\)과 \(z = 1\) 모두가 있어. 유수정리에 의해：
🔵 카이: 오, 유수가 \(-1\)과 \(+1\)로 상쇄되어 0이 됐어!
예제 4: \(f(z) = \frac{e^z}{z^2}\)의 \(z = 0\)에서의 유수.
\(z = 0\)은 2위의 극. 식 (E.21)에서 \(N = 2\)：
별해：\(e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \cdots\)이므로 \(\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \cdots\). \(a_{-1} = 1\).
⚪ 메이: 어떤 방법으로든 같은 답이 나오는 게 안심이 되네. Laurent 전개를 직접 읽는 쪽이 오히려 확실할지도.
📝 연습문제:
- 유수의 계산 → 문제 B-7. \(1/(z-1)\) 의 유수, 문제 M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) 의 유수
- 유수정리에 의한 주회적분 → 문제 M-1. 유수 정리：2개의 극
유수정리의 위력 — 실적분에의 응용¶
🔵 카이: 유수정리는 복소적분에만 쓰는 건가요?
🟡 리나: 사실 실수 적분에도 쓸 수 있어. 유명한 예를 하나 보여줄게.
\(f(z) = \frac{1}{1+z^2} = \frac{1}{(z+i)(z-i)}\)는 \(z = \pm i\)에 1위의 극을 가져.
상반평면의 큰 반원 \(C_R\)（실축 \([-R, R]\) + 반경 \(R\)의 반원호）을 적분경로로 취해（그림 E.8「유수정리에 의한 실적분의 적분경로」）.
그림 E.8: 유수정리에 의한 실적분의 적분경로. 그림 E_8: 실축 위의 적분 \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}\)를 계산하기 위한 적분경로：실축 \([-R, R]\)과 상반평면의 반원호를 합친 폐곡선. 상반평면의 극 \(z = i\)만이 기여한다.
\(R \to \infty\)에서 반원호 위의 적분은 0으로 간다（\(|f| \sim 1/R^2\)이고 호의 길이 \(\pi R\)이므로 \(\sim \pi/R \to 0\)）.
상반평면 내의 극은 \(z = i\)뿐：
유수정리에 의해：
⚪ 메이: \(\arctan x\)의 \(-\infty\)에서 \(\infty\)까지의 변화가 \(\pi\)이니까, 확실히 맞아!
공형장이론에서의 사용법¶
🟡 리나: 제 16 장의 OPE（연산자곱 전개）에서는, 두 연산자가 가까워질 때의 특이적인 거동을 Laurent 전개로 기술해：
특히 \((z-w)^{-1}\)의 계수（유수）가 교환관계에 대응해. 모드 전개와의 관계는：
（\(h_A\)는 \(A\)의 공형차원）. 모드 \(A_n\)을 추출하려면 주회적분을 사용해：
이것은 Laurent 계수의 공식 (E.13) 그 자체야.
🔵 카이: 모드를 추출하는 게 주회적분이구나. Laurent 계수의 공식이 그대로 물리에 직결되는 거네.
🟡 리나: 더 나아가, 두 연산자의 모드 간 교환관계는：
여기서 \(\oint_w\)는 \(w\)를 둘러싸는 주회적분. OPE를 대입하고 유수정리를 적용하면, 교환관계를 계산할 수 있어. 이것이 제 16 장의 Virasoro 대수 유도의 핵심이야.
✅ 이해도 체크: 유수（residue）란 Laurent 전개의 어느 계수를 가리킬까요?
답
\((z - z_0)^{-1}\)의 계수 \(a_{-1}\)을 가리킨다.
✅ 이해도 체크: 유수정리의 식 \(\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \text{Res}_{z=z_k} f(z)\)가 「놀라운 성질」이라고 불리는 이유는 무엇일까요?
답
피적분함수의 전체적인 거동을 몰라도, 특이점 근방의 정보（유수）만으로 폐곡선 위의 적분을 계산할 수 있기 때문.
✅ 이해도 체크: Cauchy의 적분 공식 \(f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(w)}{w-z}dw\)는 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
정칙함수의 내부의 값은 경계 위의 데이터만으로 완전히 결정된다（정칙함수의 강성）.
E.8 2차원 자유장의 Green 함수¶
🟡 리나: 제 16 장 16.4「연산자곱 전개(OPE)」의 서두에서, 자유 보손의 2점 함수 \(\langle X(z,\bar{z})\, X(w,\bar{w})\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\)가 천하식으로 등장했지. 여기서는, 이 식이 「왜 대수함수가 되는지」를 E.3「복소좌표 \(z, \bar{z}\)와 미분」과 E.7「Cauchy의 적분 공식과 유수정리」에서 준비한 도구만으로 유도할게. 경로적분의 세부사항에는 들어가지 않지만, 「2차원 라플라시안의 기본 Green 함수가 대수」라는 사실로 귀결시키면, 그 뒤는 계산으로 추적할 수 있어.
E.8.1 자유장의 작용과 Green 함수의 방정식¶
🟡 리나: 2차원 자유 보손 \(X(z, \bar{z})\)의 작용은 제 13 장에서：
여기서는 시공간 첨자 \(\mu\)를 생략하고 1성분분만 적고 있어. \(D\)개의 장 \(X^\mu\)로의 확장은 「E.8.5 \(D\)개의 장으로의 확장」에서 할게.
여기서 \(d^2z\)는 면적 요소를 나타내는 기호로（위 첨자 2는 「\(dz\)의 제곱」이 아니라 「2차원」의 의미）, 이 부록에서는 \(d^2z \equiv dx\,dy\)로 정의해. E.3「복소좌표 \(z, \bar{z}\)와 미분」의 식 (E.7)에서 보였듯이, 이것은 복소좌표에서는 \(d^2z = dx\,dy = \frac{i}{2}dz \wedge d\bar{z}\)로 쓸 수 있어. 즉 \(d^2z\)는 통상적인 실좌표의 면적 요소 \(dx\,dy\) 그 자체야.
（⚠️ 주의：다른 교과서（예를 들어 Polchinski）에서는 면적 요소를 \(d^2z_{\text{Pol}} = 2dx\,dy\)로 정의하는 규약도 있어. 그 경우, 작용 앞의 계수가 바뀌지만 물리적 내용은 같아. 다른 문헌을 읽을 때는 면적 요소의 정의를 확인해.）
또한 \(\partial \equiv \partial_z\), \(\bar\partial \equiv \partial_{\bar{z}}\)로 약기해. 고전적 운동방정식은 \(\partial \bar\partial X = 0\)（E.3「복소좌표 \(z, \bar{z}\)와 미분」에서 \(\nabla^2 = 4\partial\bar\partial\)이므로, 이것은 \(\nabla^2 X = 0\)과 같아）.
🔵 카이: 그렇구나, 운동방정식이 라플라스 방정식 그 자체가 되는 거구나. 아까 해가 \(f(z) + g(\bar{z})\)로 분리된다고 했던 것과 연결되네.
🟡 리나: 양자론에서는, 경로적분으로 계산되는 2점 함수 \(G(z, w) = \langle X(z,\bar{z})\, X(w,\bar{w})\rangle\)는 다음 방정식을 만족해. 방정식의 형태를 결정하는 미분연산자를, 작용의 변분으로부터 동정할게. 먼저 미분연산자의 계수를 확인하자. 작용 \(S = \frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\, \partial X\, \bar\partial X\)를 \(X\)로 변분해. \(X \to X + \delta X\)로 하여 1차 변분을 취하면 \(\delta S = \frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\,(\partial(\delta X)\,\bar\partial X + \partial X\,\bar\partial(\delta X))\). 각 항을 부분적분해. 1차원의 부분적분 \(\int_a^b u\,v'\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx\)을 떠올려. 2차원 면적분에서도 같은 걸 할 수 있어——\(\bar{z}\)를 고정한 채 \(z\) 방향만 보면 1차원의 부분적분과 같아.
🔵 카이: 즉 \(\partial(\delta X)\)의 \(\partial\)를, 옆의 \(\bar\partial X\) 쪽으로 「떠넘기는」 거군요? 1차원에서 \(\int u'v\,dx = -\int uv'\,dx\)（경계항을 무시하면）와 같은 요령으로.
🟡 리나: 맞아. 제1항 \(\int d^2z\, (\partial(\delta X))\, \bar\partial X\)에서는, \(\partial\)를 부분적분으로 \(\delta X\) 쪽에서 \(\bar\partial X\) 쪽으로 옮겨. 부호가 반전되어：
여기서는 무한히 넓은 평면을 고려하고 있으며, \(X\)가 무한원에서 충분히 빠르게 감소한다고 가정하므로, 경계항은 사라져（닫힌 세계면의 경우도 경계가 없으므로 마찬가지로 사라져）. 제2항 \(\int d^2z\, \partial X\, (\bar\partial(\delta X))\)에서는, 이번에는 \(\bar\partial\)를 \(\delta X\) 쪽에서 \(\partial X\) 쪽으로 옮겨. 같은 요령으로 부분적분하면 부호가 반전되어 \(-\int d^2z\, (\bar\partial\partial X)\, \delta X\)를 얻어（\(\bar\partial\)가 \(\partial X\)에 작용하여 \(\bar\partial\partial X\)가 됐어）. 여기서 \(\partial\bar\partial = \bar\partial\partial\)（혼합편미분의 순서 교환）이 성립하므로, 두 항은 모두 \(-\frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\,(\partial\bar\partial X)\,\delta X\)가 되고, 합하면：
⚪ 메이: 그렇구나, 제1항에서 \(\partial\bar\partial X\)가 나오고, 제2항에서도 같은 것이 나오니까, 계수가 2배가 되어 \(1/(2\pi\alpha')\)가 \(1/(\pi\alpha')\)이 되는 거구나.
🟡 리나: 맞아. \(\delta S = 0\)이 임의의 \(\delta X\)에 대해 성립하므로, 운동방정식 \(-\frac{1}{\pi\alpha'}\partial\bar\partial X = 0\)이 얻어져. 즉 미분연산자는 \(-\frac{1}{\pi\alpha'}\partial\bar\partial\)야.
Green 함수는 이 미분연산자의 「역」으로서 정의돼：
즉：
이 돼. 여기서 \(\delta^{(2)}(z-w) = \delta(x-x')\delta(y-y')\)는 \(\int d^2z\, \delta^{(2)}(z-w) = 1\)（\(d^2z = dx\,dy\), 본 부록의 규약）로 정규화되어 있어.（Polchinski 규약 \(d^2z_{\text{Pol}} = 2dx\,dy\)를 쓰는 문헌에서는, 델타함수의 정규화도 \(\int d^2z_{\text{Pol}}\, \delta_{\text{Pol}}^{(2)} = 1\)에 맞추므로 \(\delta_{\text{Pol}}^{(2)} = \frac{1}{2}\delta^{(2)}\)가 되어, 방정식 우변의 계수가 바뀌어. 최종적인 Green 함수의 형태는 같아.）
🔵 카이: 우변의 \(\delta^{(2)}\)가 뭐예요? 고전적으로는 \(\nabla^2 X = 0\)이었는데, 왜 우변에 델타함수가 나오는 거예요? 애초에 \(\delta^{(2)}\)는 보통의 함수가 아니잖아요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 먼저 \(\delta^{(2)}(z-w)\)가 뭔지 설명할게. 이것은 디랙의 델타함수의 2차원 버전으로, 실좌표로 쓰면 \(\delta(x-x')\delta(y-y')\)인 거야. 보통의 함수가 아니라, \(\int d^2z\; \delta^{(2)}(z-w) f(z) = f(w)\)라는 성질로 정의되는 「초함수」야. 즉 「점 \(w\)에서만 값을 뽑아내는」 필터 같은 거야.
🔵 카이: 「점 \(w\)에서만 값을 뽑아낸다」는 건, \(z = w\) 이외에서는 0이라는 거예요? 그런데 0인 함수를 적분하면 0이 되지 않아요?
🟡 리나: 거기가 보통 함수와 다른 점이야. 델타함수는 「\(z = w\)에서 무한히 날카로운 피크」를 갖고 있어서, 폭은 0이지만 높이가 무한대로, 면적（적분값）이 정확히 1이 되도록 조정된 대상이야. 예를 들어, 폭 \(\epsilon\), 높이 \(1/\epsilon\)의 직사각형을 생각해봐. 면적은 항상 1이지만, \(\epsilon \to 0\)으로 하면 폭 0·높이 무한대의 「바늘」이 돼. 이것이 델타함수의 직관적 이미지야. 엄밀히는 보통 함수가 아니라 「초함수」라고 불리는 수학적 대상으로, 적분 안에서만 의미를 가져.
🔵 카이: 그렇구나, 「면적 1의 바늘」이구나. 그러면 왜 Green 함수의 방정식 우변에 그것이 나오는 거예요?
🟡 리나: 직관적으로는 이렇게 생각해. Green 함수 \(G(z, w)\)는 「점 \(w\)에 놓인 점원이 점 \(z\)에 미치는 영향」을 나타내. 전자기학에서 점전하의 퍼텐셜을 구할 때, \(\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon_0\)의 우변에 점전하의 델타함수가 들어가는 것과 같은 구조야. 양자론에서는, 2점 함수가 이 「점원에 대한 응답함수」의 역할을 해.
좀 더 구체적으로 말하면, 「\(\mathcal{O}\, G = \delta\)」（\(\mathcal{O}\)는 미분연산자）라는 방정식은, 「\(\mathcal{O}\)를 \(G\)에 작용시키면, 점 \(w\)에만 집중된 응답이 돌아온다」는 의미야. 고등학교에서 배운 연립방정식 \(Ax = b\)의 해 \(x = A^{-1}b\)와 같은 구조로, \(\mathcal{O}\)가 「행렬 \(A\)」, \(G\)가 「역행렬 \(A^{-1}\)」, \(\delta\)가 「단위행렬 \(I\)」에 대응한다고 생각하면 돼. 즉 \(A A^{-1} = I\)와 \(\mathcal{O} G = \delta\)는 같은 구조——「연산자에 역을 곱하면 단위원이 나온다」는 것. 우변의 \(\delta^{(2)}\)는 경로적분의 기술로부터 유도되는 거야（「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 11 장의 생성범함수 참조）. 여기서는 「미분연산자 \(\mathcal{O}\)의 역을 \(\mathcal{O}G = \delta\)로 정의한다」는 규칙을 인정하고 앞으로 나아갈게. 전자기학에서 점전하의 퍼텐셜을 \(\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0\)로부터 구한 것과 완전히 같은 발상이야——우변에 점원（델타함수）을 놓고, 그에 대한 응답을 구하는 거야.
🔵 카이: \(G\)가 「미분연산자의 역」이라는 거군요. 그런데 역행렬은, 행렬의 크기가 유한하니까 계산할 수 있잖아요? 미분연산자는 「무한차원의 행렬」 같은 건데, 역이 존재한다는 보장이 있는 건가요?
🟡 리나: 날카로운 질문이야. 일반적으로는 역이 존재한다고 보장할 수 없어——경계조건을 지정하지 않으면 해가 유일하게 결정되지 않는 경우도 있어. 여기서는 「무한히 넓은 평면에서, 무한원에서 너무 발산하지 않는」 조건을 부과함으로써 해가（상수의 불확정성을 제외하고）유일하게 결정돼. 엄밀한 존재 증명은 생략하지만, 지금부터 실제로 해를 구성해 보여줄 테니까, 「역이 존재하는가」는 「해가 발견되는가」로 확인할 수 있어.
이 \((\star)\)의 해——2차원 라플라시안의 「기본 Green 함수」——를 구하면 \(G\)가 결정돼.
E.8.2 핵심 공식: \(\partial_{\bar{z}} (1/(z-w))\)는 델타함수¶
🟡 리나: 이 절의 핵심 공식은：
언뜻 보면 이상한 식이지만, 아래에서 증명할게.
먼저, \(z \neq w\)에서는 0:
\(z \neq w\)에서 \(1/(z-w)\)은 \(z\)의 정칙함수야. E.4「정칙함수와 Cauchy-Riemann 조건」에서 본 것처럼, 정칙함수는 \(\partial_{\bar{z}}\)로 사라져：
따라서 좌변은, \(z = w\)에만 집중된 「특이점」의 기여를 가져. 아까 설명한 \(\delta\) 함수의 성질을 떠올려——「\(z \neq w\)에서는 0이지만, \(z = w\)를 포함하는 영역에서 적분하면 유한값을 돌려준다」. 이 두 성질을 동시에 만족하는 대상은 \(\delta\) 함수밖에 없어（\(z \neq w\)에서 0인데 적분이 유한——보통 함수에서는 있을 수 없지만, \(\delta\) 함수라면 정확히 이 거동을 해）. 아래에서 실제로 적분하여, 그 유한값이 \(\pi\)임을 확인할게. 즉 \(\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = (\text{상수}) \times \delta^{(2)}(z-w)\)의 형태인 것은 확정되어 있고, 나머지는 상수를 결정하기만 하면 돼.
🔵 카이: 그렇구나, \(z \neq w\)에서 0인데 적분하면 0이 아닌——정확히 델타함수의 특징이구나. 나머지는 계수를 확인하면 되는 거네.
🟡 리나: 다음으로, \(z = w\) 근방에서 적분하면 0이 아닌 값이 나오는 것을 확인해.
\(z = w\)를 중심으로 하는 작은 원판 \(D\)（반경 \(\epsilon\)）에서 \((\star\star)\)의 좌변을 면적분해. 결과가 \(\pi\)이면 \((\star\star)\)가 올바르다는 거야（\(\int d^2z\; \pi\delta^{(2)}(z-w) = \pi\)）.
여기서 필요한 것이 복소좌표 버전의 Green의 정리야. 이것은 E.7「Cauchy의 적분 공식과 유수정리」에서 Cauchy의 적분 정리를 유도할 때 사용한 Green의 정리 \(\oint(P\,dx + Q\,dy) = \iint_D(\partial_x Q - \partial_y P)\,dx\,dy\)를, 복소좌표 \((z, \bar{z})\)로 다시 쓴 것일 뿐이야. 결과는 이래：
🔵 카이: \(\frac{1}{2i}\)는 어떻게 나오는 거예요?
🟡 리나: 유도해보자. Green의 정리를 쓰는 것이 가장 직접적이야.
\(dz = dx + i\,dy\)이므로 \(f\,dz = f(dx + i\,dy) = f\,dx + (if)\,dy\). 이것을 Green의 정리 \(\oint_{\partial D}(P\,dx + Q\,dy) = \iint_D (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx\, dy\)와 비교하면 \(P = f\), \(Q = if\)로 읽을 수 있어. 따라서：
우변의 \(i\partial_x f - \partial_y f\)를 \(\partial_{\bar{z}}\)로 다시 쓸게. 식 (E.4)에 의해 \(\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)\)이므로 \(2i\partial_{\bar{z}} = i(\partial_x + i\partial_y) = i\partial_x + i^2\partial_y = i\partial_x - \partial_y\).
⚪ 메이: 그렇구나, 리나 선생님이 지금 보여준 \(2i\partial_{\bar{z}} = i\partial_x - \partial_y\)를 쓰면, 피적분함수가 깔끔하게 \(2i\partial_{\bar{z}} f\)로 정리되는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 이것을 쓰면：
양변을 \(2i\)로 나누면：
🔵 카이: 그렇구나, \(\frac{1}{2i}\)는 Green의 정리 우변을 \(\partial_{\bar{z}}\)로 다시 쓸 때 나오는 계수인 거구나.
\(f = 1/(z-w)\)를 대입:
\(\partial D\)를 \(w\) 중심 반경 \(\epsilon\)의 원으로 취해. 여기서 주의：\(1/(z-w)\)은 \(z = w\)에서 특이하지만, Green의 정리를 적용하는 영역 \(D\)는 「\(w\) 중심 반경 \(\epsilon\)의 원판」이고, 그 경계 \(\partial D\) 위에서는 \(|z - w| = \epsilon \neq 0\)이므로 \(f\)는 매끄러워. 내부 \(z = w\)에서의 특이성은, 바로 이 적분으로 「검출」하려는 것——좌변의 면적분이 \(z = w\)의 기여를 집어내는 거야.
우변은 E.7「Cauchy의 적분 공식과 유수정리」에서 계산한 Cauchy의 적분 공식의 기본형：
따라서：
반경 \(\epsilon\)을 작게 해도 결과는 \(\pi\)인 채로 변하지 않아. 한편, \(z \neq w\)에서는 피적분함수가 0. 즉 「\(z = w\)에 집중된 세기 \(\pi\)의 특이점」＝「\(\pi\, \delta^{(2)}(z-w)\)」이라는 해석에 귀결돼.
이것으로 공식 \((\star\star)\)가 증명됐어：
⚪ 메이: Cauchy의 적분 공식이 여기서 다시 등장하는 게 멋지네. §E.7에서 준비한 도구가 딱 맞아떨어졌어.
🟡 리나: 참고로 이것은, 「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A에서 본 3차원 공식 \(\nabla^2 (1/r) = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r})\)과 본질적으로 같은 구조야. 저쪽은 3차원 라플라시안의 Green 함수가 \(1/r\)이고, 이쪽은 2차원 버전이야.
🔵 카이: 아, 그때 점전하의 퍼텐셜 이야기와 같은 구조였구나! 차원만 다를 뿐이야.
E.8.3 대수 Green 함수의 유도¶
🟡 리나: \((\star\star)\)를 사용하여 \((\star)\)의 해를 만들게.
공식 \((\star\star)\)는 「\(\partial_{\bar{z}}\)를 \(1/(z-w)\)에 작용시키면 델타함수가 나온다」는 것을 보여주고 있어. 즉 \(1/(z-w)\)은 \(\partial_{\bar{z}}\)의 「역조작을 한 단계 되돌린」 함수야. 한 단계 더, \(\partial_z\)도 되돌리면 Green 함수가 완성돼. 그래서：
🔵 카이: 한 단계 더 「되돌린다」는 건, \(1/(z-w)\)을 \(z\)로 미분하면 나오는 원래 함수를 찾는다는 거예요? 실수라면 \(\frac{d}{dx}\ln x = 1/x\)이니까, \(\ln(z-w)\)이 후보가 될 것 같은데……복소수에서도 같아요?
🟡 리나: 바로 그거야! 실수에서 \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x\)였던 것과 같이, \(\partial_z \ln(z-w) = 1/(z-w)\)이 성립해. 즉 「적분한다」기보다 「미분하면 \(1/(z-w)\)이 되는 함수를 찾는다」고 생각하는 쪽이 정확하지.
🔵 카이: 복소수의 대수를 미분해도 \(1/z\)가 되는 거예요? 실수일 때와 같아요?
🟡 리나: 확인해보자. 가장 직접적인 방법은：\(e^{\ln z} = z\)의 양변을 \(z\)로 미분하면 \(e^{\ln z} \cdot \frac{d(\ln z)}{dz} = 1\). \(e^{\ln z} = z\)이므로 \(\frac{d(\ln z)}{dz} = 1/z\) ✓.
（별도의 확인법：\(\ln z = \ln r + i\theta\)로 쓰고 \(\partial_z\)를 계산해도 \(1/z\)가 나와. \(\partial_z \bar{z} = 0\)을 쓰면 확인할 수 있으니, 관심이 있으면 연습문제로 해봐.）
단 \(\ln z\)를 복소수로 확장하면 약간 주의가 필요해. 편각 \(\theta\)는 \(2\pi\)의 정수배만큼 자유도가 있어（\(e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2\pi)}\)）서, \(\ln z\)는 하나의 \(z\)에 대해 무한히 많은 값을 취할 수 있어——이것을 「다가함수」라고 불러. 실용적으로는 편각의 범위를 하나 정해（예를 들어 \(-\pi < \theta \leq \pi\)）하나의 값을 선택해. 이 선택을 「분지를 선택한다」고 말해. 어떤 분지를 선택해도 미분하면 \(\frac{d}{dz}\ln z = 1/z\)가 성립하고, 이하의 계산에는 영향을 주지 않아. 따라서：
즉, \(\partial_z \ln(z-w) = 1/(z-w)\)로 첫 번째 단계의 미분을 「되돌리고」, \(\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = \pi\delta^{(2)}\)로 두 번째 단계의 미분을 「되돌려」. 2단계로 \(\partial_z\partial_{\bar{z}}\)의 역——즉 Green 함수——을 구성하고 있는 거야.
🔵 카이: 두 공식을 순서대로 사용하여, 미분연산자를 2단계로 「되돌리는」 거구나. 그런데 잠깐, \(\ln(z-w)\)은 \(z\)만의 함수잖아요? \(\bar{z}\) 방향의 정보는 어디로 간 거예요? \(\ln|z-w|^2\)처럼 양쪽이 들어 있어야 하지 않아요?
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 실은 \(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\overline{z-w})\) 쪽이 대칭적이고 다루기 쉬워.（이 등식은 \(|z-w|^2 = (z-w)(\overline{z-w})\)와 대수의 성질 \(\ln(AB) = \ln A + \ln B\)에서 와. 복소 대수의 다가성이 걱정될 수 있지만, 편미분 \(\partial_z\)나 \(\partial_{\bar{z}}\)를 취하면 다가성의 상수 부분은 사라지므로, 이하의 계산에는 영향을 주지 않아.）제2항도 마찬가지로：
（참고로 \(\partial_z\partial_{\bar{z}} = \partial_{\bar{z}}\partial_z\)는 매끄러운 함수에 대해 항상 성립해（혼합편미분의 순서 교환）. \(z = w\)에서의 특이성은 델타함수로서 위에서 개별적으로 확인했어. 이하에서는 \(\partial_{\bar{z}}\)를 먼저 작용시킨 후 \(\partial_z\)를 작용시키는 순서로 계산할게.）
\(\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}\)이므로, \(\ln(\overline{z-w}) = \ln(\bar{z} - \bar{w})\)는 \(\bar{z}\)만의 함수（\(z\)에 의존하지 않는, 반정칙함수）. 먼저 안쪽의 \(\partial_{\bar{z}}\)를 작용시켜보자. \(\bar{z}\)만의 함수 \(g(\bar{z})\)에 대해서는, \(\partial_{\bar{z}} g(\bar{z}) = \frac{dg}{d\bar{z}}\)가 성립해（확인：\(\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)\)를 \(g(\bar{z}) = g(x - iy)\)에 작용시키면, 연쇄법칙으로 \(\frac{1}{2}(g' \cdot 1 + i \cdot g' \cdot (-i)) = \frac{1}{2}(g' + g') = g'\) ✓）. 따라서 \(\partial_{\bar{z}} \ln(\bar{z} - \bar{w}) = \frac{1}{\bar{z} - \bar{w}} = \frac{1}{\overline{z-w}}\).
다음으로 바깥쪽의 \(\partial_z\)를 작용시켜. \(z \neq w\)에서 \(\frac{1}{\overline{z-w}}\)는 \(\bar{z}\)만의 함수이므로 \(\partial_z\)로 사라지지만, \(z = w\)에서는 특이성을 갖고 델타함수가 나타나.
직관적으로는 이렇게 생각해. 공식 \((\star\star)\)는 「\(1/(z-w)\)은 \(z \neq w\)에서 \(z\)의 정칙함수이므로 \(\partial_{\bar{z}}\)로 사라지지만, 특이점 \(z = w\)만은 예외로 델타함수가 나온다」는 내용이었어. 이번에는 「\(1/(\overline{z-w})\)은 \(z \neq w\)에서 \(\bar{z}\)만의 함수이므로 \(\partial_z\)로 사라지지만, 특이점 \(z = w\)만은 예외」——\(z\)와 \(\bar{z}\)의 역할이 바뀐 같은 구조. 단 「같은 구조이니까 같은 결과」라고만 말하는 것으로는 불충분하므로, 아래에서 \(\bar{z}\) 버전의 Stokes 정리를 사용하여 명시적으로 확인해. 보이고 싶은 식은：
⚪ 메이: \(z\)와 \(\bar{z}\)의 역할을 바꾼 「거울 버전」의 계산이구나.
🟡 리나: \((\star\star)\)와 마찬가지로 소원판 \(D\)（\(w\) 중심, 반경 \(\epsilon\)）위에서 적분하여 확인해. 복소좌표의 Stokes 정리에는 \(\bar{z}\) 버전도 있어：
유도는 \(z\) 버전과 같은 수법으로, 단계별로 확인하자. \(d\bar{z} = dx - i\,dy\)이므로 \(g\,d\bar{z} = g\,dx + (-ig)\,dy\). Green의 정리 \(\oint(P\,dx + Q\,dy) = \iint_D(\partial_x Q - \partial_y P)\,dx\,dy\)에서 \(P = g\), \(Q = -ig\)로 놓으면, 좌변은 \(\oint_{\partial D} g\,d\bar{z}\) ✓. 우변의 피적분함수는：
식 (E.3)에 의해 \(\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)\)이므로 \(-2i\partial_z = -2i \cdot \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y) = -i\partial_x + i^2\partial_y = -i\partial_x - \partial_y\) ✓. 따라서：
양변을 \(-2i\)로 나누면：
\(g = 1/\overline{z-w}\)를 대입해. \(\partial D\) 위에서 \(z = w + \epsilon e^{i\theta}\)（\(0 \leq \theta \leq 2\pi\), 반시계 방향）로 매개변수화하면, 복소켤레를 취하여 \(\bar{z} = \bar{w} + \epsilon e^{-i\theta}\), \(d\bar{z} = -i\epsilon e^{-i\theta}d\theta\), \(\overline{z-w} = \epsilon e^{-i\theta}\)이므로：
따라서 \(\int_D d^2z\; \partial_z \frac{1}{\overline{z-w}} = -\frac{1}{2i}\cdot(-2\pi i) = \pi\)이 얻어지고, 결과는 같은 \(\pi\delta^{(2)}(z-w)\)야.
🔵 카이: \(z\) 버전에서도 \(\bar{z}\) 버전에서도 같은 \(\pi\)가 나오는구나. 대칭성이 있으니까 당연하다면 당연하지만, 제대로 계산으로 확인할 수 있으니까 안심이 돼.
🟡 리나: \(\ln|z-w|^2 = \ln(z-w) + \ln(\overline{z-w})\)이므로, \(\partial_z\partial_{\bar{z}}\)를 각 항에 분배하여 더하면（미분은 선형연산자이므로 합에 분배할 수 있어）：
E.8.4 2점 함수의 완성¶
🟡 리나: Green 함수의 방정식 \((\star)\)：
과, 방금 유도한 식：
을 비교하면, 양자는 계수까지 일치해. 따라서：
🔵 카이: 오, 드디어 나왔다! 제 16 장에서 천하식이었던 식이, 라플라시안의 역을 취하는 것만으로 자연스럽게 유도되는 거구나.
⚪ 메이: 게다가 도중에 쓴 건 Euler의 공식, Cauchy-Riemann 조건, Cauchy의 적분 공식——전부 이 부록에서 순서대로 준비해온 것들뿐이네.
🔵 카이: 아까 내가 말한 3차원의 \(\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^{(3)}\)과 비교하면, 3차원에서는 Green 함수가 \(1/r\)이고, 2차원에서는 \(\ln r\)이구나. 차원이 바뀌면 형태가 바뀌는 건 왜예요?
🟡 리나: 좋은 비교야. 일반적으로 \(d\)차원 라플라시안의 Green 함수는, \(d \geq 3\)에서는 \(r^{2-d}\), \(d = 2\)에서는 \(\ln r\)이 돼. 이것은 Gauss의 법칙（구면 위의 플럭스가 일정）으로 결정돼. 차원이 낮아지면 Green 함수의 형태가 바뀌지만, 「라플라시안의 역」이라는 구조는 공통이야. 그리고 이 대수 Green 함수가 제 16 장의 모든 OPE 계산의 출발점이 돼.
E.8.5 \(D\)개의 장으로의 확장¶
🟡 리나: 끈이론에서는 시공간 좌표 \(X^\mu\)가 \(D\)개（\(\mu = 0, 1, \ldots, D-1\)）있고, 각각이 독립적인 자유장으로 작동해. 서로 다른 첨자의 장끼리는 섞이지 않으므로：
여기서 \(\eta^{\mu\nu}\)는 Minkowski 계량（「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 4 장）. 이것은 제 16 장 16.4「연산자곱 전개(OPE)」 서두에서 「천하식」으로 적혀 있던 식 그 자체야.
E.8.6 \(\partial X\) 사이의 OPE 직접 계산¶
🟡 리나: 제 16 장에서 실제로 쓰는 건 \(\partial X\) 사이의 OPE야. \(G(z,w) = -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln\lvert z-w\rvert^2\)를 \(z\)와 \(w\)로 각각 미분해. 미분과 기대값의 순서는 교환할 수 있어（경로적분의 피적분함수를 미분한 후 적분해도, 적분한 후 미분해도 같아——이것은 적분과 미분의 순서 교환 조건이 만족되는 경우에 성립해. 여기서는 인정하고 사용해）서, \(\partial_z \langle X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle = \langle \partial X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle\)이 성립해.
먼저 \(z\)로：
（\(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\overline{z-w})\) 중에서, \(z \neq w\)에서는 반정칙 부분 \(\ln(\overline{z-w})\)은 \(\partial_z\)로 사라지므로, 정칙 부분만이 기여해. E.8.3에서 본 것처럼 \(z = w\)에서는 델타함수적인 접촉항이 생기지만, OPE에서는 \(z \neq w\)에서의 특이 구조에 주목하므로, 접촉항은 무시해.）
이어서 \(w\)로：
따라서：
이것이 제 16 장의 모든 OPE 계산의 「기본 축약값」이야. 한번 유도해놓으면, 그 뒤로는 Wick의 정리로 조합을 세기만 하면 돼.
🔵 카이: 대수를 2번 미분하면 \(1/(z-w)^2\)이 되는구나——깔끔하다. 이것이 저 OPE의 출발점이었구나.
📝 연습문제:
- \(\partial X\)와 \(\bar\partial X\)의 교차항 \(\langle \partial X^\mu(z)\, \bar\partial X^\nu(w)\rangle\)를 계산하라 → 문제 A-2. \(\partial X\) 와 \(\bar\partial X\) 의 교차항
✅ 이해도 체크: 공식 \(\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = \pi\delta^{(2)}(z-w)\)의 우변에 델타함수가 나타나는 이유는 무엇일까요?
답
\(z \neq w\)에서는 \(1/(z-w)\)이 정칙함수이므로 \(\partial_{\bar{z}}\)로 사라지지만, \(z = w\)에서는 특이점을 가져. 작은 원판 위에서 적분하면 Cauchy의 적분 공식에 의해 \(\pi\)라는 유한값이 나오므로, 「\(z = w\)에 집중된 특이성」＝ 델타함수로 해석된다.
✅ 이해도 체크: 자유 보손의 2점 함수가 대수함수가 되는 물리적·수학적 이유는?
답
2차원 라플라시안의 기본 Green 함수가 대수함수이기 때문. 3차원 라플라시안의 기본 Green 함수가 \(1/r\)（Coulomb 퍼텐셜）인 것과 같은 구조로, 차원이 낮아지면 대수로 바뀐다.
✅ 이해도 체크: \(\partial X^\mu(z)\, \partial X^\nu(w)\)의 OPE의 특이 부분（\((z-w)^{-2}\)의 계수）은 어떻게 표현될까요?
답
\(-\frac{\alpha'}{2}\,\eta^{\mu\nu}\). 2점 함수를 \(z, w\)로 2번 미분하면 대수가 2번 미분되어, \(1/(z-w)^2\)의 형태가 된다.
E.9 연습 문제¶
📝 연습문제:
- 복소수의 극형식과 곱의 계산 → 문제 B-1. 복소수의 절댓값과 편각
- Euler의 공식 확인 → 문제 B-2. 오일러 공식 \(e^{i\pi}+1=0\)
- 복소수의 곱과 몫의 극형식 → 문제 B-3. 극형식에서의 곱
- Cauchy-Riemann 관계식 확인 → 문제 B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) 로 확인
- 비정칙함수의 판정 → 문제 B-5. 코시-리만: \(|z|^2\) 은 깨진다
- 복소좌표에서의 편미분 확인 → 문제 B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)
- 유수의 계산（1위의 극） → 문제 B-7. \(1/(z-1)\) 의 유수
- Laurent 전개와 특이점의 분류 → 문제 B-8. \(1/z^2\) 의 로랑 전개와 유수
- 유수정리에 의한 주회적분 → 문제 M-1. 유수 정리：2개의 극
- 고위의 극의 유수 → 문제 M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) 의 유수
- 진성 특이점의 Laurent 전개 → 문제 B-9. \(e^{1/z}\)의 로랑 전개
- 등각사상의 구체적 예시（\(w = z^2\)） → 문제 A-1. 등각사상 \(w = 1/z\)
- Möbius 변환의 합성 → 문제 M-3. 뫼비우스 변환의 합성
- \(\partial X\)와 \(\bar\partial X\)의 교차항 계산 → 문제 A-2. \(\partial X\) 와 \(\bar\partial X\) 의 교차항
다음 장 예고¶
부록 F에서는, 끈이론의 역사를 연표 형식으로 조감하고, 각 시대의 핵심 인물을 색인으로 정리한다. 본편에 등장한 모델이나 개념이 「언제·누구에 의해」 제안되었는지를 한눈에 봄으로써, 물리학의 발전 흐름이 입체적으로 보일 것이다.
참고문헌¶
- David Tong, Lectures on String Theory, Ch.4: "Introducing Conformal Field Theory" — 복소좌표에서의 공형변환, OPE
- Elias Kiritsis, String Theory in a Nutshell, Ch.4: "Conformal Field Theory" — 정칙함수와 등각사상의 물리적 응용
- Volker Schomerus, A Primer on String Theory, Ch.13: "Introduction to Conformal Field Theory" — Laurent 전개와 유수의 물리적 의미
- 杉浦光夫, 『解析入門 II』, 東京大学出版会 — 복소해석의 엄밀한 도입
- Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill — 복소해석의 표준 교과서
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