제3장 이중 슬릿 실험 — 결정론과 실재론의 붕괴¶
지금까지의 이야기:
제 1 장에서는 흑체복사·광전효과·원자의 안정성이라는 3가지 위기로부터, 에너지의 이산성(양자화)이 불가피하다는 것을 보았다. 제 2 장에서는 de Broglie(드브로이)의 물질파 가설과 전자선 회절 실험을 통해, 입자에도 파동성이 있음을 확인했다. 그러나 "입자가 파동처럼 행동한다"는 것은 구체적으로 어떤 의미인가? 무엇이 "파동치고" 있는가? 이 물음에 정면으로 마주하는 것이 본 장의 실험이다.
이 장의 목표
전자의 이중 슬릿 실험(사고실험과 실제 실험)을 상세히 추적하여, 다음 3가지 결론을 도출한다. 1. 전자는 개별적으로 입자로서 검출되지만, 다수를 모으면 간섭무늬를 보인다 2. "어느 슬릿을 통과했는가"를 확정하면 간섭이 사라진다 3. 고전적인 입자상으로도 파동상으로도 이 현상을 완전히 설명할 수 없다 — 확률의 본질적인 역할과 결정론의 붕괴
3.1 총알의 이중 슬릿 — 고전 입자의 기준선¶
🟡 리나: 오늘은 양자역학에서 가장 유명한 실험을 다룰 거예요. 이중 슬릿 실험. 하지만 바로 전자를 쏘는 게 아니라, 먼저 일상적인 입자——총알——로 같은 실험을 하면 어떻게 되는지 확인해 봅시다.
🔵 카이: 총알로 이중 슬릿이요? 좀 과격하네요.
🟡 리나: 사고실험이니까 걱정 마세요. 장치는 이래요:
- 기관총이 총알을 무작위 방향으로 흩뿌린다
- 그 전방에 2개의 슬릿(슬릿 1과 슬릿 2)을 가진 벽이 있다
- 벽 뒤에 정지판이 있고, 위치 \(x\)를 따라 검출기를 움직일 수 있다
총알의 경우는 "구멍"이라고 부르는 것이 더 자연스럽지만, 나중에 전자나 파동 실험과 비교하기 위해 "슬릿"과 "구멍"을 같은 의미로 사용할게요. 둘 다 벽에 뚫린 틈을 말하는 거예요.
🟡 리나: 총알은 "절대로 부서지지 않는" 이상적인 것으로 가정해요. 반으로 쪼개지지 않아요. 검출기에 도달할 때는 항상 온전한 1개로 도착해요. 그리고 벽의 슬릿은 2개뿐이니까, 총알은 반드시 둘 중 하나의 슬릿을 통과하게 돼요. 즉 "슬릿 1을 통과한다"와 "슬릿 2를 통과한다"는 동시에 일어나지 않아요——확률에서 말하는 배반사건이에요.
⚪ 메이: 부서지지도 않고 벽을 관통하지도 않는다면, 슬릿 1이나 슬릿 2 중 하나를 통과할 수밖에 없어요——배반사건이라는 거죠.
🟡 리나: 맞아요. 충분히 오랜 시간 총알을 쏘면서 검출기의 각 위치 \(x\)에서의 도달 확률 \(P(x)\)를 측정해요. 3가지 경우를 비교해 봅시다.
- 슬릿 2를 막았을 때: 총알은 슬릿 1만 통과한다 → 확률분포 \(P_1(x)\)
- 슬릿 1을 막았을 때: 총알은 슬릿 2만 통과한다 → 확률분포 \(P_2(x)\)
- 양쪽 슬릿을 모두 열었을 때: 확률분포 \(P_{12}(x)\)
🔵 카이: 둘 다 열면 \(P_1\)과 \(P_2\)를 더한 것이 되는 거 아닌가요? 총알은 둘 중 하나를 통과하니까요.
🟡 리나: 바로 그래요. 실험 결과는:
⚪ 메이: "구멍 1을 통과하는" 사건과 "구멍 2를 통과하는" 사건은 배반이니까, 전체 확률은 각각의 확률의 합——고등학교 확률에서 배운 덧셈정리 그대로네요.
🟡 리나: 그래요. 이 결과를 "간섭 없음(no interference)"이라고 부르기로 할게요. 그림 3.1「총알의 이중 슬릿 실험 개념도」에 실험의 전체 모습을 정리했으니 확인해 두세요. 왜 "간섭 없음"이라고 부르는지는 다음 파동 실험을 보면 알 수 있어요. 다음 절에서 볼 "간섭무늬"는 총알의 경우에는 나타나지 않아요——그것이 "간섭 없음"의 의미예요.
그림 3.1: 총알의 이중 슬릿 실험 개념도. 기관총에서 발사된 총알이 둘 중 하나의 구멍을 통과하여, 확률분포 \(P_{12} = P_1 + P_2\)에 따라 벽에 맞는다. 다음 절에서 볼 "간섭무늬"는 나타나지 않는다.
✅ 이해도 체크: 총알의 이중 슬릿 실험에서 \(P_{12} = P_1 + P_2\)가 성립하는 물리적 이유를 설명하세요.
답
총알은 부서지지 않는 입자이며, 반드시 구멍 1이나 구멍 2 중 하나를 통과한다. "구멍 1을 통과한다"와 "구멍 2를 통과한다"는 배반사건이므로, 확률의 덧셈정리에 의해 전체 확률은 각 확률의 합이 된다.
3.2 수면파의 이중 슬릿 — 간섭의 수학적 구조¶
🟡 리나: 다음으로, 같은 장치를 수면파로 해봅시다. 얕은 수조에 파원을 놓고 원형파를 발생시켜요. 벽에는 2개의 슬릿이 있고, 그 뒤에 검출기를 놓아요. 검출기는 파동의 세기를 측정해요. 세기라는 것은 파동의 에너지 크기를 나타내는 양이에요——파동이 격렬하게 흔들릴수록 세기가 크다고 생각하면 돼요.
🔵 카이: 세기는 구체적으로 어떻게 계산하나요? 파동의 높이 자체와는 다르죠?
🟡 리나: 맞아요. 수면의 높이(변위)를 \(h\)라고 쓸게요. 플랑크 상수와 같은 글자이지만, 이 절에서는 수면파 이야기니까 혼동하지 마세요——문맥으로 구별해 주세요. 프롤로그에서도 같은 기호를 썼었죠. 세기는 파동의 진폭(흔들림의 최댓값)의 제곱에 비례해요——왜 제곱이냐면, 파동의 에너지는 진동의 흔들림이 클수록 크고, 물리적으로 진폭의 제곱에 비례하기 때문이에요. 수면의 각 점은 위아래로 스프링처럼 진동하고 있다고 생각할 수 있으니까, 스프링의 탄성 에너지가 변위의 제곱 \(\frac{1}{2}kx^2\)에 비례하는 것과 같은 이치로 파동의 에너지도 진폭의 제곱에 비례하는 거예요.
🔵 카이: 그렇군요, 파동의 각 점이 스프링처럼 진동하니까 에너지가 진폭의 제곱에 비례한다……그건 알겠어요. 그런데 왜 이제부터 복소수가 나오는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 이제부터 간섭 계산을 하기 위해 \(h\)를 복소수로 표현하기로 할게요. 복소수로 쓸 경우, 고등학교 물리에서 말하는 "진폭"(실수인 흔들림의 최댓값)에 대응하는 것이 \(|h|\)(복소수의 절댓값)예요. 그래서 세기는 \(I \propto |h|^2\)로 써요——절댓값의 제곱을 취함으로써 제대로 실수의 양의 값이 되는 거예요. 이유를 먼저 말하면, 파동에는 "진폭(흔들림의 크기)"과 "위상(마루와 골의 어느 단계인가)"의 2가지 정보가 있어요. 실수 1개로는 진폭밖에 표현할 수 없지만, 복소수라면 \(h = |h|e^{i\theta}\)라고 쓰는 것만으로 진폭 \(|h|\)과 위상 \(\theta\)를 하나의 수에 담을 수 있어요. 그리고 2개의 파동을 더할 때, 위상의 차이가 자동으로 간섭 효과를 만들어내요——이것이 바로 뒤의 계산에서 보일 거예요.
구체적인 예를 볼게요. 진폭 1인 파동이 2개 있는데, 하나는 마루의 꼭대기(위상 \(0\)), 다른 하나는 골의 바닥(위상 \(\pi\))에 있다고 해요. 실수로 쓰면 \(h_1 = 1\), \(h_2 = -1\)이고, 더하면 \(h_1 + h_2 = 0\)——상쇄돼요. 복소수로 쓰면 \(h_1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0} = 1\), \(h_2 = 1 \cdot e^{i\pi} = -1\)로 같은 결과예요. 하지만 위상이 \(\pi/3\) 같은 어중간한 값이라면? 실수만으로는 "진폭 1이고 위상 \(\pi/3\)"을 하나의 수로 표현할 수 없어요. 복소수라면 \(h = e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)\)으로 쓸 수 있고, 더하기만 하면 간섭 효과가 자동으로 나와요.
⚪ 메이: 결국 복소수라면 "크기"와 "타이밍"을 하나의 수에 담을 수 있으니까, 덧셈만으로 간섭이 자동으로 나온다——편리한 도구네요.
🟡 리나: 그런 거예요. 정리하면, \(h = |h|e^{i\theta}\)로 쓰면 \(|h|\)이 진폭, \(\theta\)가 위상이고, 2개의 파동을 더할 때 간섭 효과가 자동으로 반영돼요. 실제로 관측되는 물리량(세기)을 계산할 때는 \(|h|^2\)을 취하니까, 최종 결과는 제대로 실수가 돼요.
자, 총알 때와 같은 3가지 경우를 조사해요:
- 구멍 2를 막았을 때: 구멍 1에서 퍼지는 파동의 세기 → \(I_1(x) = |h_1(x)|^2\)
- 구멍 1을 막았을 때: 구멍 2에서 퍼지는 파동의 세기 → \(I_2(x) = |h_2(x)|^2\)
- 양쪽 구멍을 모두 열었을 때: 세기 \(I_{12}(x) = ?\)
🔵 카이: 파동이니까 중첩의 원리를 쓸 수 있겠네요. 둘 다 열면 파동의 높이는 \(h_1 + h_2\)가 되고요.
🟡 리나: 맞아요. 그러면 세기를 계산해 봐요.
⚪ 메이: 세기는 진폭의 절댓값의 제곱이니까 \(I_{12} = |h_1 + h_2|^2\)이네요.
🟡 리나: 그래요. 이것을 전개해 봅시다. 복소수의 절댓값의 제곱을 전개하는 공식을 사용할 거예요. \(h_1\)과 \(h_2\)를 극형식으로 써요. 극형식이란 복소수를 "크기 × 회전"으로 표현하는 방법——\(h = |h|e^{i\theta}\)로 쓰면, \(|h|\)이 진폭의 크기, \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)(오일러 공식)가 위상의 회전을 나타내요. 제 2 장에서 드브로이 파를 \(e^{i(kx - \omega t)}\)로 썼던 것과 같은 표기예요. 고등학교에서 복소수를 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)로 쓴 적 있죠. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)(오일러 공식)를 사용하면 이것을 \(re^{i\theta}\)로 약기할 수 있어요——제 2 장에서 도입한 관계예요. 지금 계산에서 중요한 것은 "\(e^{i\theta}\)라고 쓰면 \(\cos\theta + i\sin\theta\)를 뜻한다"는 대응관계뿐이니까, 그것만 기억해 두면 돼요. \(h_1 = |h_1|e^{i\theta_1}\), \(h_2 = |h_2|e^{i\theta_2}\)로 쓰면, \(\theta_1\), \(\theta_2\)는 각각의 파동이 검출기 위치 \(x\)에 도달했을 때의 위상——파동의 "마루"와 "골"의 어느 단계에 있는지를 나타내는 각도예요.
🔵 카이: 극형식은 전 장에서 했으니까 괜찮아요. 그러면 \(|h_1 + h_2|^2\)을 전개하고 싶은 거죠. 그냥 \((h_1 + h_2)^2\)처럼 전개하면 되나요?
🟡 리나: 아쉽네요. 절댓값의 제곱이니까, 단순한 제곱과는 좀 달라요. \(|h_1 + h_2|^2\)을 전개하려면, 절댓값의 제곱을 "곱의 형태"로 바꿀 수 있으면 편리해요——곱의 형태로 만들면 분배법칙(괄호를 여는 계산)을 쓸 수 있으니까요. 그를 위한 도구가 켤레복소수(complex conjugate)예요.
먼저 기호 약속 하나. 프롤로그에서는 켤레복소수를 \(\bar{z}\)로 썼지만, 물리학에서는 \(z^*\)로 쓰는 것이 표준이에요. 앞으로는 이 기호를 쓸게요. 의미는 완전히 같아요——허수부의 부호를 반전시키는 것뿐.
복소수 \(h\)에 대해 허수부의 부호를 반전시킨 것을 켤레복소수라 하고 \(h^*\)로 써요. 예를 들어 \(h = 3 + 2i\)라면 \(h^* = 3 - 2i\). 그리고 \(|h|^2 = h^* h\)가 성립해요. 실제로 확인해 보면, \(h^* h = (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13\)이고, 이것은 \(3^2 + 2^2 = 13\)과 일치해요. 일반적으로 \(h = a + bi\)이면 \(h^* h = (a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2 = |h|^2\)이에요.
⚪ 메이: 즉, 절댓값의 제곱을 \(z^* z\)라는 곱으로 바꿈으로써 분배법칙을 쓸 수 있게 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 이것을 사용해서 \(|h_1 + h_2|^2\)을 전개할게요. 아까 보인 \(|z|^2 = z^* z\)에서 \(z = h_1 + h_2\)로 놓으면, \(|h_1 + h_2|^2 = (h_1 + h_2)^*(h_1 + h_2)\)로 쓸 수 있어요. 다음으로, 합의 켤레복소수는 각 항의 켤레복소수의 합이 돼요——즉 \((h_1 + h_2)^* = h_1^* + h_2^*\). 이것은 정의에서 확인할 수 있어요. \(h_1 = a + bi\), \(h_2 = c + di\)이면 \(h_1 + h_2 = (a+c) + (b+d)i\)이고, 그 켤레복소수는 \((a+c) - (b+d)i = (a - bi) + (c - di) = h_1^* + h_2^*\).
이것을 사용하면:
🔵 카이: 처음 2개 항 \(|h_1|^2 + |h_2|^2\)은 각각의 파동만의 세기죠. 마지막 2개 항 \(h_1^* h_2 + h_2^* h_1\)이 "추가로" 나온 부분……이것이 간섭항이 되나요?
🟡 리나: 맞아요, 바로 그것이 간섭항이에요. 마지막 2개 항을 구체적으로 계산해 봅시다. 아까 \(h = |h|e^{i\theta}\)로 썼죠——이 "크기 \(\times\) 회전" 표현을 극형식이라고 불러요. 극형식을 대입할게요. 여기서 하나 확인——극형식 \(h = |h|e^{i\theta}\)의 켤레복소수는 어떻게 될까요. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)이니까 허수부의 부호를 반전하면 \(\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}\). 즉 \(h^* = |h|e^{-i\theta}\)——지수 부분의 부호가 반전될 뿐이에요. 이것을 사용하면:
마찬가지로 \(h_2^* h_1 = |h_1||h_2|e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\). 이 둘을 더하면, \(e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = (\cos\alpha + i\sin\alpha) + (\cos\alpha - i\sin\alpha) = 2\cos\alpha\)의 관계를 사용해서:
⚪ 메이: \(e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cos\alpha\)로 허수부가 사라지니까, 간섭항은 실수가 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 물리적인 세기는 실수여야 하니까, 거기에 더해지는 간섭항도 실수가 아니면 곤란해요——제대로 정합하고 있는 거예요. 여기서 \(\delta = \theta_2 - \theta_1\)은 2개의 파동의 위상차(phase difference)라고 불리는 양이에요. \(\cos\)는 짝함수이므로 \(\cos(\theta_2 - \theta_1) = \cos(\theta_1 - \theta_2)\)이고, 부호를 어떻게 잡든 같은 결과가 돼요. 위상차 \(\delta\)가 장소에 따라 변하는 것은, 구멍 1에서 검출기까지의 거리와 구멍 2에서 검출기까지의 거리가 장소마다 다르기 때문이에요——경로 길이의 차가 파장의 몇 배인가에 따라 위상차가 결정돼요. 그래서 검출기를 움직이면 \(\delta\)가 연속적으로 변하고, \(\cos\delta\)가 \(+1\)과 \(-1\) 사이를 진동하면서 명암의 줄무늬가 생기는 거예요.
앞서 \(I_1 = |h_1|^2\), \(I_2 = |h_2|^2\)로 정의했으니까, \(|h_1| = \sqrt{I_1}\), \(|h_2| = \sqrt{I_2}\)(진폭은 음이 아니므로 양의 제곱근을 취해요). 따라서 \(|h_1||h_2| = \sqrt{I_1 I_2}\)가 되어:
🔵 카이: 아, \(I_1 + I_2\)에 여분의 항이 붙어있어요!
🟡 리나: 이 여분의 항 \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\)를 간섭항(interference term)이라고 불러요.
⚪ 메이: \(\cos\delta\)의 값에 따라 보강간섭(\(\cos\delta = +1\))도 되고 상쇄간섭(\(\cos\delta = -1\))도 되는 거네요. 장소에 따라 위상차 \(\delta\)가 변하니까 명암의 줄무늬가 생기고요.
🟡 리나: 맞아요. 이것이 간섭무늬(interference pattern)예요. 총알의 식 (3.1)과는 명백히 다른 결과죠.
🔵 카이: 총알은 확률의 덧셈, 파동은 진폭의 덧셈. 결과가 완전히 다르네요.
🟡 리나: 그림 3.2「수면파의 이중 슬릿 실험」를 봐주세요. 구멍 1만, 구멍 2만, 둘 다 열었을 때의 세기 분포를 비교하면, 둘 다 열었을 때 \(I_1 + I_2\)와는 전혀 다른 패턴이 나타나는 것이 확실히 보여요.
그림 3.2: 수면파의 이중 슬릿 실험. 왼쪽: 구멍 1만 개방 시의 세기 \(I_1\). 가운데: 구멍 2만 개방 시의 세기 \(I_2\). 오른쪽: 양쪽 개방 시의 세기 \(I_{12} = |h_1 + h_2|^2\)(실선)은 \(I_1 + I_2\)(점선)과 다르며, 간섭에 의해 명암의 줄무늬가 생긴다.
🟡 리나: 바로 그것이 포인트예요. 파동에서는 진폭을 더한 다음 제곱해요. 입자에서는 확률(= 제곱한 후의 것)을 더해요. 이 차이가 간섭항을 만드는 거예요.
✅ 이해도 체크: 식 (3.2)에서 \(\delta = \pi\)(위상차가 반파장분)일 때, \(I_1 = I_2 = I_0\)이면 \(I_{12}\)은 얼마인가요?
답
\(\cos\pi = -1\)이므로, \(I_{12} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0}(-1) = 2I_0 - 2I_0 = 0\). 완전히 상쇄되어 세기가 0이 된다(완전한 상쇄간섭).
📝 연습문제:
- 이중 슬릿의 간섭 조건 유도 → 문제 M-4. 간섭의 소실을 "확률의 조건부 분해"로 이해하기
3.3 전자의 이중 슬릿 — 입자인데 간섭한다¶
🟡 리나: 자, 이제 본론이에요. 같은 이중 슬릿 실험을 전자로 하면 어떻게 될까요.
🔵 카이: 제 2 장에서 전자에 파동성이 있다고 배웠으니까……간섭하는 거 아닌가요?
🟡 리나: 결론을 서두르지 마세요. 먼저 실험 장치를 확인합시다.
- 전자총: 가열된 필라멘트에서 전자를 방출하고, 전압으로 가속한다. 거의 같은 에너지의 전자 빔을 얻을 수 있다
- 2개의 슬릿을 가진 벽: 얇은 금속판에 미세한 슬릿 2개를 새긴다
- 검출기: 스크린 위에 배치. 전자가 도달하면 "딸깍" 하고 신호를 낸다
🔵 카이: 검출기는 총알 때처럼 1개씩 세는 건가요?
🟡 리나: 맞아요. 여기가 결정적으로 중요한 사실이에요. 실험 결과의 첫 번째 특징을 말할게요.
사실 1: 전자는 입자로서 검출된다¶
🟡 리나: 검출기를 움직이면서 전자의 도달을 기록하면:
- 검출기에서는 이산적인 "딸깍" 하는 신호가 들린다
- 신호는 불규칙한 타이밍으로 온다
- 하지만 각 신호의 크기는 항상 같다 — "반쪽 전자"는 절대 검출되지 않는다
⚪ 메이: 총알과 같네요. 전자는 온전한 1개씩 검출기에 도달해요. 파동처럼 연속적으로 퍼져서 도착하는 게 아니에요.
🟡 리나: 맞아요. 전자는 입자로서 검출돼요. 여기까지는 총알과 같아요.
사실 2: 다수의 전자를 모으면 간섭무늬가 나타난다¶
🟡 리나: 그런데, 오랜 시간에 걸쳐 다수의 전자를 검출하고, 각 위치 \(x\)에서의 도달 확률 \(P_{12}(x)\)를 구하면——
🔵 카이: 설마……
🟡 리나: 맞아요. 수면파의 간섭무늬와 같은 패턴이 나타나요.
중앙 부근에서는 \(P_{12}\)가 \(P_1 + P_2\)의 2배 이상이 되는 곳이 있고, 어떤 곳에서는 거의 0이 돼요. 명암의 줄무늬——간섭무늬.
🔵 카이: 잠깐만요. 전자는 1개씩 "딸깍" 하고 입자로서 도달하잖아요? 그런데 전체 패턴은 파동의 간섭과 같다고요? 게다가 \(P_1 + P_2\)의 2배 이상이 되는 곳이 있다니, 총알이라면 절대 있을 수 없는 일이잖아요——한쪽 구멍을 막았을 때보다 확률이 증가한다니.
🟡 리나: 맞아요. 이것이 양자역학의 핵심적인 수수께끼예요. 그림 3.3「전자의 이중 슬릿 실험 개념도. 전자총에서 발사된 전자는 하나씩 알갱이로 검출되는데, 다수를 축적했을 때의 확률분포 \(P_{12}\)는 \(P_1 + P_2\)와 전혀 다르다」를 보면서 들어주세요. 다시 한번 명확히 말할게요:
전자는 1개씩 입자로서 검출된다. 그러나 다수의 전자의 도달 확률 분포는 파동의 간섭 패턴과 같은 형태를 하고 있다.
그림 3.3: 전자의 이중 슬릿 실험 개념도. 전자총에서 발사된 전자는 하나씩 알갱이로 검출되는데, 다수를 축적했을 때의 확률분포 \(P_{12}\)는 \(P_1 + P_2\)와 전혀 다르다——파동의 간섭 패턴을 보인다.
🔵 카이: 그런데 이건 많은 전자가 동시에 날고 있으니까 전자끼리 부딪혀서 간섭하는 것일 뿐 아닌가요?
🟡 리나: 좋은 의문이에요. 하지만 아니에요. 실제로 전자를 1개씩 쏴도——즉 앞의 전자가 검출된 후에 다음 전자를 발사해도——충분한 수를 모으면 같은 간섭무늬가 나타나요. 1989년 도노무라 아키라(外村彰) 등의 실험에서 이것이 아름답게 실증되었어요. 전자를 1개씩 쏘면, 처음에는 스크린 위에 무작위한 점이 흩어질 뿐이에요. 하지만 수천 개, 수만 개를 축적해 가면, 점차 간섭무늬가 떠올라와요.
🔵 카이: 1개의 전자가……자기 자신과 간섭하고 있다고요?
🟡 리나: 고전적인 말로는 그렇게 표현하고 싶어지죠. 하지만 정확히는 그 "고전적인 말" 자체가 적용될 수 없다는 뜻이에요. 이것에 대해서는 조금 더 뒤에서 논의할게요. 그림 3.4「전자 축적에 의한 간섭무늬의 출현」을 봐주세요. 전자가 10개 정도일 때는 그냥 무작위한 점으로밖에 보이지 않지만, 1만 개를 축적하면 간섭무늬가 확실히 떠올라와요.
그림 3.4: 전자 축적에 의한 간섭무늬의 출현. 전자를 1개씩 조사했을 때 스크린 위의 축적 패턴. 소수(\(n=10\))에서는 무작위한 점이지만, 다수(\(n=10000\))가 되면 간섭무늬가 나타난다. 고전적인 말로는 "1개의 전자가 자기 자신과 간섭하고 있다"고 보이지만, 정확히는 이 표현 자체가 고전적 틀의 한계를 보여주는 것이다.
간섭무늬의 수학적 기술¶
🟡 리나: 수면파일 때 세기는 "진폭을 더한 다음 제곱"으로 계산할 수 있었어요. 전자의 경우도 같은 수학적 구조로 기술할 수 있다는 것이 밝혀져 있어요. 프롤로그에서 예고했던 확률진폭을 다시 사용할게요. 2개의 복소수 \(\phi_1(x)\)과 \(\phi_2(x)\)를 정의해요:
- 구멍 1만 열었을 때: \(P_1 = |\phi_1|^2\)
- 구멍 2만 열었을 때: \(P_2 = |\phi_2|^2\)
- 양쪽 다 열었을 때: \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)
여기서 \(\mathrm{Re}(z)\)는 복소수 \(z\)의 실수부를 취하는 연산——\(z = a + bi\)이면 \(\mathrm{Re}(z) = a\)라는 뜻이에요. 왜 이런 표기를 쓰냐면, \(\phi_1^* \phi_2\)는 일반적으로 복소수이지만 간섭항으로서 물리적 의미가 있는 것은 그 실수부뿐이기 때문이에요. 수면파 때와 같은 계산으로 \(\phi_1^* \phi_2 = |\phi_1||\phi_2|e^{i(\theta_2 - \theta_1)}\)이니까, \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2) = 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)가 돼요. 즉 수면파 때의 식 (3.2)의 간섭항 \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\)는 \(2\mathrm{Re}(h_1^* h_2)\)로도 쓸 수 있어요——같은 것의 다른 표기예요. \(\mathrm{Re}\)를 쓰는 표기는 극형식으로 전개하지 않아도 간섭항의 구조가 보이는 편리한 표기로서 앞으로 자주 사용할 거예요. 전자의 경우도 완전히 같은 수학적 구조로, \(h\)를 \(\phi\)로 바꿨을 뿐이에요.
🔵 카이: 수면파 때의 식 (3.2)와 완전히 같은 구조네요! 그런데 \(\phi_1\)이나 \(\phi_2\)는 뭔가요? 수면파 때는 "파동의 높이"였는데, 전자의 경우는……?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)는 확률진폭(probability amplitude)이라고 불리는 복소수예요. 수면파의 "높이"처럼 직접 관측할 수 있는 물리량이 아니에요. 관측할 수 있는 것은 \(|\phi|^2\), 즉 확률뿐이에요.
✅ 이해도 체크: 확률진폭이란 무엇인가요? 또한 수면파의 "진폭"과 전자의 "확률진폭"의 결정적인 차이는 무엇인가요?
답
확률진폭이란, 그 절댓값의 제곱이 확률을 주는 복소수이다. 수면파의 진폭(파동의 높이)은 직접 관측할 수 있는 물리량이지만, 전자의 확률진폭은 직접 관측할 수 없고, 관측할 수 있는 것은 \(|\phi|^2\)(확률)뿐이다.
⚪ 메이: 즉, 전자의 경우는 "확률의 덧셈"이 아니라 "확률진폭의 덧셈"을 한 다음 제곱한다는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 이것이 고전적인 확률 계산과 양자역학의 확률 계산의 근본적인 차이예요. 3가지 경우를 표로 정리했으니 표 3.1「총알·수면파·전자에서의 확률의 합성 규칙」를 보면서 정리해 봐요. 그림 3.5「총알·파동·전자의 확률분포 비교」에도 3가지 경우의 확률분포를 나란히 그렸으니 비교해 봐요.
표 3.1: 총알·수면파·전자에서의 확률의 합성 규칙
| 고전 입자(총알) | 파동(수면파) | 전자 | |
|---|---|---|---|
| 더하는 것 | 확률 | 진폭 | 확률진폭 |
| 검출 방식 | 입자로서 | 연속적으로 | 입자로서 |
| 간섭 | 없음 | 있음 | 있음 |
그림 3.5: 총알·파동·전자의 확률분포 비교. 세 가지 경우에서의 스크린 위 확률분포. 총알은 \(P_{12} = P_1 + P_2\)(단순한 덧셈), 수면파와 전자는 진폭을 더한 다음 제곱하므로 간섭무늬가 나타난다. 전자와 수면파는 수학적으로 같은 간섭 패턴이지만, 검출은 입자로서 이루어진다는 점이 결정적으로 다르다.
🔵 카이: 전자는 "입자로서 검출되는데" "진폭을 더한다"……모순 아닌가요? "입자"라면 확률을 더해야 하고, "파동"이라면 진폭을 더하지만 연속적으로 도달해야 하잖아요. 어느 쪽도 아니라는 건가요?
🟡 리나: 맞아요, 어느 쪽도 아니에요. 아까의 표 3.1「총알·수면파·전자에서의 확률의 합성 규칙」와 그림 3.5「총알·파동·전자의 확률분포 비교」를 다시 보면, 총알·파동·전자 3가지 경우의 차이가 한눈에 보여요. 고전적인 "입자"나 "파동" 범주에 전자를 억지로 끼워 넣으려 하면 모순이 생겨요. 양자역학의 접근법은 이 "모순"을 해소하려는 것이 아니라, 실험 사실을 있는 그대로 받아들여 수학적으로 정식화하는 것이에요. "전자란 무엇인가"를 고전적인 말로 정의하는 것을 포기하고, "전자가 무엇을 하는가"를 확률진폭의 규칙으로 기술하는 거예요. 이 절의 끝에서, 왜 고전적 상이 파탄나는지를 좀 더 자세히 볼게요.
✅ 이해도 체크: 전자의 이중 슬릿 실험에서, 총알의 실험과 공통되는 점과 다른 점을 각각 1가지씩 들어주세요.
답
공통점: 전자는 1개씩 이산적으로(입자로서) 검출된다. "반쪽 전자"는 존재하지 않는다. 차이점: 다수의 전자의 도달 확률분포가 \(P_{12} = P_1 + P_2\)를 만족하지 않고, 간섭무늬를 보인다.
📝 연습문제:
- 간섭항의 부호와 간섭무늬의 명암 → 문제 B-1. 간섭항의 계산
3.4 "어느 쪽을 통과했는가"를 묻다 — 관측과 간섭의 소멸¶
🔵 카이: 계속 궁금했는데요, 전자가 어느 구멍을 통과했는지 보면 되지 않나요? 빛을 쬐어서.
🟡 리나: 바로 그 실험을 해봅시다. 벽 바로 뒤에 강한 광원을 놓고, 구멍 근처를 통과하는 전자를 비춰요. 전자가 광자를 산란시키면 빛의 플래시가 보여요. 플래시의 위치로 전자가 구멍 1과 구멍 2 중 어디를 통과했는지 알 수 있을 거예요.
실험 결과: 어느 쪽을 통과했는지 "알게 될" 때¶
🟡 리나: 광원을 켜고 실험하면, 이렇게 돼요:
- 검출기에서 "딸깍" 하고 전자가 도달할 때마다, 구멍 1 부근이나 구멍 2 부근 중 하나에서 빛의 플래시가 보인다
- 플래시는 반드시 어느 한쪽에서 일어난다 — 동시에 양쪽에서 빛나는 일은 없다
🔵 카이: 됐다! 역시 전자는 어느 한쪽을 통과하고 있었던 거군요!
🟡 리나: ……라고 생각하겠죠? 하지만, 여기서부터가 문제예요. 광원을 켠 상태에서, "구멍 1을 통과했다"고 확인된 전자만 모아 확률분포 \(P_1'(x)\)을 만들고, "구멍 2를 통과했다"고 확인된 전자만 모아 \(P_2'(x)\)를 만들어요. 그러면——
그리고 전체 확률분포는:
⚪ 메이: ……간섭무늬가 사라졌어요!
🟡 리나: 그래요. "어느 쪽을 통과했는가"를 확인하면 간섭이 사라져요. 그림 3.6「관측에 의한 간섭무늬의 소멸. 관측 유무에 따른 확률분포의 차이. 왼쪽: "어느 슬릿을 통과했는가"를 관측하지 않으면 간섭무늬가 나타난다. 오른쪽: 관측하면 각 슬릿을 통과한 기여가 단순히 합산되어 간섭무늬가 사라진다. 관측이 결과 자체를 바꾼다」를 보면 관측의 유무에 따라 분포가 어떻게 변하는지 한눈에 알 수 있어요.
그림 3.6: 관측에 의한 간섭무늬의 소멸. 관측 유무에 따른 확률분포의 차이. 왼쪽: "어느 슬릿을 통과했는가"를 관측하지 않으면 간섭무늬가 나타난다. 오른쪽: 관측하면 각 슬릿을 통과한 기여가 단순히 합산되어 간섭무늬가 사라진다. 관측이 결과 자체를 바꾼다——양자역학의 핵심적인 성질.
✅ 이해도 체크: 전자가 어느 슬릿을 통과했는지를 빛으로 관측했을 때, 확률분포는 어떻게 변하나요?
답
간섭무늬가 사라지고, 확률분포는 \(P_{12}' = P_1 + P_2\)가 된다. 즉, 고전 입자(총알)의 경우와 같은 단순한 덧셈으로 돌아간다. "어느 쪽을 통과했는가"의 정보가 얻어지면, 간섭항이 소멸한다.
🔵 카이: 어?……빛을 쬐지 않으면 간섭하는데, 빛을 쬐면 간섭하지 않는다고요? 빛이 전자를 교란하고 있는 건가요?
🟡 리나: 그렇게 생각하고 싶어지죠. 실제로 광자는 전자에 운동량을 주어 궤도를 교란해요——이것은 사실이에요. 제 2 장의 콤프턴 산란에서 본 것처럼, 광자 1개당 운동량은 \(p = h/\lambda\)(\(h\)는 플랑크 상수)이니까, 파장이 긴 광자일수록 운동량이 작아요. 그러면 더 긴 파장의 빛을 사용하면 전자에 대한 교란을 줄일 수 있지 않을까? ……하고 생각해서 실험해 보면, 이야기가 그리 단순하지 않다는 것을 알게 돼요.
파장을 길게 하는 실험¶
🟡 리나: 빛의 파장을 점차 길게 해가면, 2가지가 동시에 일어나요:
- 전자에 대한 교란은 작아진다 → 간섭무늬가 회복되기 시작한다
- 하지만 파장이 길어지면 빛의 분해능이 떨어진다 → 전자가 어느 구멍을 통과했는지 구별할 수 없게 된다
"분해능이 떨어진다"는 것은 이런 뜻이에요. 2개의 슬릿 간격이 \(d\)라고 할 때, "전자가 구멍 1 근처에 있었는지, 구멍 2 근처에 있었는지"를 구별하려면 적어도 \(d\) 정도의 정밀도로 위치를 특정해야 해요. 그런데 빛에는 "파장보다 미세한 위치의 구별은 할 수 없다"는 원리적 한계가 있어요. 파동은 자신의 파장보다 좁은 구조를 "볼" 수 없어요——예를 들어 연못에 돌을 던졌을 때, 파장이 1 m인 파동은 10 cm 말뚝의 존재를 거의 알아차리지 못하고 돌아 들어가죠. 고등학교 물리에서 "슬릿 폭이 파장과 비슷해지면 회절이 일어나 빛이 퍼진다"고 배운 것도 같은 원리예요.
🔵 카이: 아, 회절할 때 배웠어요. 파장보다 좁은 틈을 통과하면 파동이 확 퍼져서 방향을 알 수 없게 되죠.
🟡 리나: 맞아요. 광자가 무언가에 맞아 산란될 때, 산란된 광자 자체가 파동으로서 퍼져요. 그 퍼짐의 폭은 파장 \(\lambda\) 정도——즉 광자는 "자기 파장보다 좁은 범위 어디에서 산란되었는가"라는 정보를 가질 수 없어요. 이것은 제 2 장에서 본 드브로이의 관계 \(\lambda = h/p\)의 이면이기도 해요——위치를 \(\Delta x\) 정도의 정밀도로 알려면 파장 \(\lambda \lesssim \Delta x\)인 빛이 필요해요. 그런 광자의 운동량은 \(p = h/\lambda \gtrsim h/\Delta x\)이니까, 위치를 세밀히 알려고 할수록 큰 운동량의 광자가 필요하고, 전자에 대한 교란도 커지는 거예요.
⚪ 메이: 위치를 정확히 알려고 하면 운동량의 교란이 커지고, 교란을 줄이려고 하면 위치를 알 수 없게 된다——트레이드오프네요.
🟡 리나: 바로 그래요. 직감적으로는 큰 장갑을 끼고 작은 단추를 더듬는 것과 같아요. 파장이 짧으면 "가는 손가락"으로 만지니까 위치를 알 수 있지만, 파장이 길면 "굵은 손가락"으로밖에 만질 수 없어서 구별이 안 돼요. 그래서 빛의 파장 \(\lambda\)가 슬릿 간격 \(d\)보다 길어지면(\(\lambda > d\)), 광자가 어느 슬릿 부근에서 산란되었는지 구별할 수 없게 돼요.
🔵 카이: 그러니까……간섭무늬가 보일 때는 "어디를 통과했는지" 알 수 없고, "어디를 통과했는지" 알 수 있을 때는 간섭무늬가 사라진다는 건가요?
🟡 리나: 정확히 그래요. 이것은 "더 교묘한 방법을 쓰면 둘 다 동시에 볼 수 있을지도 모른다"는 이야기가 아니에요. 어떤 실험 방법을 시도해도, 다음 결론은 변하지 않아요:
전자가 어느 슬릿을 통과했는지를 원리적으로 식별할 수 있는 상황에서는 간섭무늬가 사라진다. 식별이 원리적으로 불가능한 상황에서만 간섭무늬가 나타난다.
🔵 카이: "원리적으로"라는 건, 실제로 보지 않아도라는 뜻인가요?
🟡 리나: 그래요. 광자가 어느 검출기에 들어갔는지를 실제로 확인하지 않아도, 확인할 수 있는 가능성이 있는 것만으로 간섭은 사라져요. 즉, 구별하는 정보가 우주 어딘가에 존재하는가 아닌가로 결정되는 거예요. 실제로 읽어보는가 아닌가는 상관없어요.
⚪ 메이: 중요한 것은 "보았는가 아닌가"가 아니라 "정보가 존재하는가 아닌가"인 거네요.
수학적 정리: 구별가능성과 확률의 합산 방법¶
🟡 리나: 여기서, 간섭이 사라지는 메커니즘을 수학적으로 정리해 둡시다. 광원을 켠 실험에서는, 전자뿐 아니라 광자의 상태도 포함한 "전체 계"를 생각해야 해요.
고려해야 할 변수는 2개: "전자가 어느 구멍을 통과했는가"(구멍 1 or 구멍 2)와 "산란된 광자가 어느 검출기에 가는가"(\(D_1\) or \(D_2\)). 2개의 선택지 × 2개의 선택지로 총 4가지 조합이 있어요. 각 조합에 대해 진폭을 하나씩 정의할게요.
광자의 검출기를 \(D_1\)(구멍 1 근처)과 \(D_2\)(구멍 2 근처)에 놓는다고 해요. 4개의 복소수 진폭을 다음과 같이 정의할게요(각각의 절댓값의 제곱이 "전자가 그 구멍을 통과한 경우에" 광자가 그 검출기에 가는 확률을 줘요):
광자가 \(D_1\)에서 검출되는 진폭:
- \(a\): 전자가 구멍 1을 통과했을 때 → 광자는 가까운 \(D_1\)에 간다("맞음")
- \(b\): 전자가 구멍 2를 통과했을 때 → 광자는 먼 \(D_1\)에 간다("빗나감")
광자가 \(D_2\)에서 검출되는 진폭:
- \(b'\): 전자가 구멍 1을 통과했을 때 → 광자는 먼 \(D_2\)에 간다("빗나감")
- \(a'\): 전자가 구멍 2를 통과했을 때 → 광자는 가까운 \(D_2\)에 간다("맞음")
기억하는 법을 정리하면: \(a\) 계열(\(a\), \(a'\))은 "전자가 통과한 구멍에 가까운 검출기에 광자가 가는" 진폭(맞음), \(b\) 계열(\(b\), \(b'\))은 "먼 검출기에 가는" 진폭(빗나감). 프라임 없음(\(a\), \(b\))은 광자가 \(D_1\)에 가는 경우, 프라임 있음(\(a'\), \(b'\))은 \(D_2\)에 가는 경우. 즉 \(|a|^2\)은 "전자가 구멍 1을 통과했다고 할 때, 산란된 광자가 가까운 검출기 \(D_1\)에 도달하는 확률"이라는 뜻이에요.
광자는 \(D_1\)이나 \(D_2\) 중 하나에 반드시 들어가니까, 전자가 구멍 1을 통과한 경우는 \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\), 구멍 2를 통과한 경우는 \(|a'|^2 + |b|^2 = 1\)이 성립해요. 즉 \(|a|^2\)은 "구멍 1을 통과한 전자의 광자가 올바르게 \(D_1\)에 가는 확률"이라는 거죠.
🔵 카이: 왜 \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\)인 건가요?
🟡 리나: 광자는 \(D_1\)이나 \(D_2\) 중 하나에 반드시 가요——다른 갈 곳이 없어요. 그러니까 "\(D_1\)에 가는 확률" + "\(D_2\)에 가는 확률" = 1이겠죠. 확률은 진폭의 절댓값의 제곱이니까 \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\)이 되는 거예요. 고등학교 확률에서 "전사건의 확률의 합은 1"이라고 배운 것과 같은 거예요.
🔵 카이: 아, 그렇구나. 전사건의 확률이 1이라는 것을 진폭으로 쓴 것뿐이군요. ……그런데 \(a\)와 \(a'\), \(b\)와 \(b'\)의 구분이 좀 헷갈리는데요……
🟡 리나: 좋은 지적이에요. 이렇게 기억해요. \(a\)와 \(a'\)는 "올바른(가까운) 검출기에 광자가 가는" 진폭——\(a\)는 구멍 1의 전자 → \(D_1\), \(a'\)는 구멍 2의 전자 → \(D_2\). \(b\)와 \(b'\)는 "틀린(먼) 검출기에 가는" 진폭——\(b\)는 구멍 2의 전자 → \(D_1\), \(b'\)는 구멍 1의 전자 → \(D_2\). 즉 \(a\) 계열은 "맞음", \(b\) 계열은 "빗나감". 그리고 프라임 없음(\(a\), \(b\))은 광자가 \(D_1\)에 가는 진폭, 프라임 있음(\(a'\), \(b'\))은 광자가 \(D_2\)에 가는 진폭——이렇게 정리하면 식 (3.7)과 (3.8)의 구조가 보기 쉬워질 거예요.
파장이 짧으면 \(a\)와 \(a'\)이 크고 \(b\)와 \(b'\)이 작아요(구멍 1을 통과한 전자의 광자는 \(D_1\)에 가기 쉽고, 구멍 2를 통과한 전자의 광자는 \(D_2\)에 가기 쉬워요). 반대로 파장이 길면 광자가 어느 검출기에 가는지의 구별이 안 되어 \(a \approx b\), \(a' \approx b'\)가 돼요.
이것들을 사용하면, "전자가 구멍 1을 통과하고, 광자가 \(D_1\)에서 검출되는" 진폭은 \(a\phi_1\), "전자가 구멍 2를 통과하고, 광자가 \(D_1\)에서 검출되는" 진폭은 \(b\phi_2\)로 쓸 수 있어요. 좀 더 자세히 말하면, \(\phi_1\)은 "전자가 구멍 1을 통과하여 위치 \(x\)에 도달하는" 진폭, \(a\)는 "구멍 1을 통과한 전자 근처에서 산란된 광자가 \(D_1\)에 도달하는" 진폭이에요. 이 둘이 연달아 일어나니까 전체 진폭은 그 곱 \(a\phi_1\)이 되는 거예요. 고등학교 확률에서 "독립사건 A와 B가 모두 일어나는 확률은 \(P(A) \times P(B)\)"라고 배웠죠. 같은 발상으로, 확률 대신 진폭을 사용하면 "연속해서 일어나는 과정의 진폭은 곱"이 돼요. 이것은 다음 장(제 4 장)에서 파인만의 기본법칙으로 정식으로 정식화할 거예요. 최종적으로 \(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\)가 되어 확률의 곱과 일치하니까, 기존 규칙의 자연스러운 확장임을 확인할 수 있어요.
🔵 카이: 확률의 곱 규칙을 진폭으로 바꾼 거군요. 그러면, 식 (3.7)은 어떻게 나오나요?
🟡 리나: 그러면, "전자가 \(x\)에 있고, 광자가 \(D_1\)에 있는" 확률을 구하고 싶어요. 이 최종 상태에 이르는 경로가 2개 있어요: "전자가 구멍 1을 통과하고 광자가 \(D_1\)에 간다"(진폭 \(a\phi_1\))와 "전자가 구멍 2를 통과하고 광자가 \(D_1\)에 간다"(진폭 \(b\phi_2\)). 여기서 중요한 것은, 최종적으로 손에 있는 정보는 "전자가 \(x\)에 있다" "광자가 \(D_1\)에 있다"뿐이라는 거예요. 광자가 \(D_1\)에 있다는 사실만으로는 전자가 구멍 1을 통과했는지 구멍 2를 통과했는지 구별할 수 없어요——\(b \neq 0\)이면 구멍 2 경유로도 광자는 \(D_1\)에 올 수 있으니까요. 그래서 이 2개의 경로는 구별 불가능하며, 진폭을 더한 다음 제곱해요:
마찬가지로, "전자가 \(x\)에 있고, 광자가 \(D_2\)에 있는" 확률은:
🔵 카이: 잠깐만요. 확률이라면 "독립사건은 곱"이라는 건 알겠는데, 진폭에서도 같은 방식으로 곱해도 되는 건가요? 진폭은 확률이 아니잖아요?
🟡 리나: 좋은 의문이에요. 포인트는 2가지예요.
첫째로, 확률 규칙에서는 "A 다음에 B가 일어나는 확률 = P(A) × P(B)"였죠. 양자역학에서는 확률 대신 진폭을 사용하니까, "A 다음에 B가 일어나는 진폭 = (A의 진폭) × (B의 진폭)"으로 확장하는 것은 자연스럽겠죠?
둘째로, 이 확장은 기존 규칙과 모순되지 않아요. 왜냐하면, 복소수의 곱의 절댓값은 절댓값의 곱과 같으니까——\(|zw| = |z||w|\)——\(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\)가 되어 확률의 곱과 같은 형태가 되거든요. (\(|zw|^2 = (zw)^*(zw) = z^* w^* z w = |z|^2|w|^2\)로 확인할 수 있어요.)
즉 확률 수준에서는 기존 규칙과 정합하고, 이 규칙으로 계산한 결과가 실험과 일치한다——그것이 정당화의 근거예요. 다음 장에서 파인만의 기본법칙으로 정식으로 정식화하겠지만, 지금은 "확률의 곱 규칙을 진폭으로 바꾼 것"으로 받아들여 주세요.
🔵 카이: 확률의 곱을 진폭의 곱으로 바꾼다……확률의 덧셈을 진폭의 덧셈으로 바꾼 것과 같은 발상이네요. 그러면 식 (3.7)과 (3.8)을 어떻게 쓰나요?
🟡 리나: 여기가 핵심이에요. 식 (3.7)은 "광자가 \(D_1\)에 있었을 경우", 식 (3.8)은 "광자가 \(D_2\)에 있었을 경우"의 확률이에요. 이 2가지 경우는 구별할 수 있는 최종 상태죠——광자 계수관을 보면 \(D_1\)과 \(D_2\) 중 어디에 들어갔는지 알 수 있으니까요.
양자역학의 규칙은 이래요:
구별할 수 있는 최종 상태에 대해서는, 확률(진폭의 절댓값의 제곱)을 더한다. 진폭을 더해서는 안 된다.
🔵 카이: 잠깐만요. 아까 "구별할 수 없는 경로는 진폭을 더한다"고 했잖아요. 왜 구별할 수 있으면 이번에는 확률을 더하나요? 진폭을 더하는 게 기본 아닌가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 이렇게 생각해 봐요. 진폭을 더하면 간섭항이 나와요——즉 2개의 경로가 "섞여요". 하지만 광자가 \(D_1\)에 있는 상황과 \(D_2\)에 있는 상황은 물리적으로 완전히 별개의 상황이에요. 구체적으로 말하면, 실험이 끝난 후에 광자 검출기를 보면 "\(D_1\)이 울렸다"인지 "\(D_2\)가 울렸다"인지가 반드시 확인돼요. 그리고 1개의 광자가 \(D_1\)과 \(D_2\) 양쪽에 동시에 들어가는 일은 없어요——즉 이 둘은 동시에 일어나지 않아요. 마치 고등학교 확률에서 "배반사건의 확률은 덧셈"이었던 것과 같은 구조예요. 배반사건 A와 B가 동시에 일어나지 않으니까 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)였잖아요. 구별할 수 있는 최종 상태도 마찬가지로 "광자가 \(D_1\)에 있다"와 "광자가 \(D_2\)에 있다"는 동시에 성립하지 않는 배반적인 상황이니까 확률을 더하는 거예요.
⚪ 메이: 배반사건이면 확률을 더한다——고등학교의 덧셈정리와 같은 구조가, 양자역학에서도 "구별할 수 있는 최종 상태"로 나타나는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 반대로 말하면, 만약 진폭을 더해 버리면, "\(D_1\)에 광자가 있는 세계"와 "\(D_2\)에 광자가 있는 세계"가 간섭하는 것이 돼요——하지만 검출기를 보면 어느 한쪽으로 확정되어 있으니까, 그런 섞임은 일어날 수가 없어요. 좀 더 구체적으로 말하면, 간섭이란 "2가지 가능성을 구별할 수 없어서, 어느 쪽이 실현되었는지 결정할 수 없을" 때 일어나는 현상이에요. 하지만 광자 검출기가 울린 순간 "\(D_1\)이었다"고 확정되면, 다른 쪽 가능성은 실현되지 않았음이 확정되므로——섞일 여지가 없어요. 이것은 "왜 그렇게 되는가"의 궁극적 설명이라기보다, 실험 사실을 올바르게 재현하는 규칙으로 받아들여야 할 것이에요. 다음 장에서 파인만의 기본법칙으로 정리할 때 좀 더 깔끔한 형태로 다시 서술할게요.
🔵 카이: 그렇군요……"구별할 수 없을" 때만 진폭이 섞여서 간섭이 일어나는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 자, 우리가 알고 싶은 것은 "전자가 위치 \(x\)에 도달하는 확률"이죠. 하지만 광원을 켠 실험에서는 전자가 도달할 때마다 광자도 반드시 어딘가의 검출기에 들어가요. 광자가 \(D_1\)에 들어간 경우와 \(D_2\)에 들어간 경우는 배반——동시에 일어나지 않아요. 그러니까 전체 확률은 이 2가지 경우의 확률을 합한 것이 돼요.
🔵 카이: 아까 규칙으로 말하면, "\(D_1\)에 광자가 있다"와 "\(D_2\)에 광자가 있다"는 구별할 수 있는 최종 상태니까, 각각의 확률을 더한다——는 거죠.
🟡 리나: 맞아요. 식 (3.7)이 "\(D_1\)에 광자가 있을 경우의 확률", 식 (3.8)이 "\(D_2\)에 광자가 있을 경우의 확률"이니까, 전체는:
🟡 리나: 식 (3.5)에서는 \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)를 전부 더한 다음 제곱했어요——즉 구멍 1 경유와 구멍 2 경유의 진폭이 섞여서 간섭항이 나왔죠. 반면 식 (3.9)에서는 "광자가 \(D_1\)에 있는 경우"와 "광자가 \(D_2\)에 있는 경우"라는 구별 가능한 2가지 경우로 나누어, 각각의 안에서 진폭을 더해 제곱하고, 마지막에 그 확률끼리 더하고 있어요. 경우 사이에서는 진폭이 섞이지 않으니까, \(\phi_1\)과 \(\phi_2\) 사이의 간섭이 억제되는 거예요. 즉 구조적으로는, "구별할 수 있는 경우별로 확률을 내서 더한다" "각 경우 안에서는 구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한 다음 제곱한다"——이 이중 구조가 되어 있어요.
⚪ 메이: "구별할 수 있는 경우별로 확률을 더한다"는 것은, 고등학교의 배반사건 덧셈정리와 같은 발상이네요.
🟡 리나: 만약 광자의 파장이 충분히 짧아서 완전히 식별할 수 있다면, \(b \approx 0\), \(b' \approx 0\)가 돼요. 식 (3.9)의 제1항에 \(b \approx 0\)을 대입하면 \(|a\phi_1 + 0|^2 = |a\phi_1|^2\). 여기서 복소수의 곱의 절댓값은 절댓값의 곱과 같으니까——\(|a\phi_1| = |a| \cdot |\phi_1|\)——\(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\). 마찬가지로 제2항은 \(|a'\phi_2|^2 = |a'|^2|\phi_2|^2\). 따라서:
🔵 카이: 오오, 간섭항의 \(\phi_1^* \phi_2\)가 완전히 사라졌어요!
🟡 리나: \(\phi_1^* \phi_2\)를 포함하는 간섭항이 사라지고, \(P_1\)과 \(P_2\)의 가중합——즉 총알과 같은 "간섭 없음" 구조가 됐어요. 게다가 \(b' \approx 0\)이면 \(|a|^2 \approx 1\)(\(|a|^2 + |b'|^2 = 1\)이었으니까), 마찬가지로 \(|a'|^2 \approx 1\)이므로, \(P_{12}' \approx P_1 + P_2\)가 되어 식 (3.6)과 일치해요.
⚪ 메이: \(b \approx 0\)이라는 것은 "구멍 1을 통과한 전자의 광자가 \(D_2\)에 가는 확률이 거의 0"——즉 광자의 행방으로 경로를 완전히 알 수 있으니까 간섭항이 사라지는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 반대로, 파장이 길어서 전혀 식별할 수 없다면——광자의 파장이 슬릿 간격보다 길어서, 광자는 "자기가 어느 구멍 근처에서 산란되었는가"의 정보를 가질 수 없어요. 즉 전자가 구멍 1을 통과해도 구멍 2를 통과해도, 광자가 \(D_1\)에 가는 진폭은 같아져요. 그래서 \(a = b\)이고 \(a' = b'\)가 되는 거예요(장치가 대칭이면 \(a = a'\), \(b = b'\)도 성립하지만, 여기서는 \(a = b\), \(a' = b'\)만으로 충분해요). 이때 식 (3.9)의 제1항 \(|a\phi_1 + b\phi_2|^2\)에 \(b = a\)를 대입하면 \(|a\phi_1 + a\phi_2|^2 = |a(\phi_1 + \phi_2)|^2 = |a|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\). 제2항 \(|b'\phi_1 + a'\phi_2|^2\)에 \(b' = a'\)를 대입하면 \(|a'\phi_1 + a'\phi_2|^2 = |a'|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\). 합하면 \((|a|^2 + |a'|^2)|\phi_1 + \phi_2|^2\)이 돼요. 여기서 \(b' = a'\)를 \(|a|^2 + |b'|^2 = 1\)에 대입하면 \(|a|^2 + |a'|^2 = 1\)이니까, 전체는 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)와 같아져서 간섭무늬가 완전히 회복돼요.
🔵 카이: "구별할 수 있는가 없는가"가 수학적으로 간섭항의 유무를 결정하는 거군요……그런데, "구별할 수 있다"의 경계는 어디인가요? 파장을 연속적으로 바꾸면, 간섭무늬도 연속적으로 변하나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 실제로 구별가능성은 0 아니면 1이 아니라 연속적으로 변할 수 있어요. 파장을 점차 길게 하면 간섭무늬의 대비(명암의 차이)가 연속적으로 회복돼요. 그림 3.7「구별가능성과 간섭무늬의 가시도의 관계(상보성)」를 봐주세요. 여기서 구별가능성 \(\mathcal{D}\)는 "광자의 검출 결과로부터 전자의 경로를 얼마나 정확히 맞출 수 있는가"를 0(전혀 구별 못 함)에서 1(완전히 구별 가능)로 나타내는 양이에요. 직감적으로, \(\mathcal{D} = 0\)은 "광자가 어느 검출기에 들어가든 경로의 단서가 되지 않는" 상태(\(a = b\)일 때), \(\mathcal{D} = 1\)은 "광자의 검출기를 보면 경로가 확실히 아는" 상태(\(b = 0\)일 때)예요. 중간인 경우는 \(\mathcal{D}\)도 0과 1 사이의 값을 취해요. 가시도 \(\mathcal{V}\)는 간섭무늬의 명암의 차를 수치화한 것으로, \(\mathcal{V} = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})\)으로 정의돼요(\(I_{\max}\)은 간섭무늬의 가장 밝은 부분, \(I_{\min}\)은 가장 어두운 부분의 세기). 차 \(I_{\max} - I_{\min}\)이 "명암의 진폭"이고, 합 \(I_{\max} + I_{\min}\)으로 나눔으로써 전체 밝기에 의존하지 않는 0에서 1 사이의 값으로 정규화하는 거예요——\(\mathcal{V} = 1\)이면 가장 어두운 부분이 완전히 0(선명한 무늬), \(\mathcal{V} = 0\)이면 명암의 차가 없음(무늬 없음). 이 둘 사이에는 \(\mathcal{D}^2 + \mathcal{V}^2 \leq 1\)이라는 상보성 관계가 성립하는 것으로 알려져 있어요(엄밀한 증명은 생략하지만, 아까의 식 (3.9)에서 \(|a|\)와 \(|b|\)를 바꿔가면 간섭항의 크기와 경로 식별의 정밀도가 트레이드오프가 되는 것으로 직감적으로 이해할 수 있어요).
그림 3.7: 구별가능성과 간섭무늬의 가시도의 관계(상보성). 왼쪽: 경로의 구별가능성 \(\mathcal{D}\)가 클수록 간섭무늬의 가시도 \(\mathcal{V}\)는 작아진다. 오른쪽: \(\mathcal{D} = 0\)(경로 불명)일 때 간섭 최대, \(\mathcal{D} = 1\)(경로 확정)일 때 간섭 소멸, 중간에서는 그래디언트.
🟡 리나: 하지만 여기서는 먼저 극단적인 2가지 경우를 일반적인 규칙으로 정리해 두겠습니다:
- 과정이 원리적으로 구별할 수 없을 때 → 진폭을 더한다(간섭 있음)
- 과정이 원리적으로 구별할 수 있을 때 → 확률을 더한다(간섭 없음)
이 규칙이 양자역학의 확률 계산의 핵심이에요.
✅ 이해도 체크: 양자역학에서 "진폭을 더하는" 경우와 "확률을 더하는" 경우를 구분하는 기준은 무엇인가요?
답
과정(경로)이 원리적으로 구별할 수 없을 때는 진폭을 더하고(간섭이 생김), 원리적으로 구별할 수 있을 때는 확률을 더한다(간섭이 생기지 않음). 실제로 관측했는가 아닌가가 아니라, 구별하는 정보가 원리적으로 존재하는가 아닌가가 기준이 된다.
✅ 이해도 체크: "전자가 어느 슬릿을 통과했는지를 관측하지 않았더라도" 간섭이 사라지는 경우가 있어요. 그것은 어떤 상황인가요?
답
관측하지 않아도, "원리적으로 구별할 수 있는 정보"가 환경 어딘가에 남아 있는 경우(예: 광자가 산란되어, 나중에 조사하면 경로를 알 수 있는 상태가 된 경우)에는 간섭이 사라진다. 실제로 정보를 읽어보는가 아닌가는 상관없고, 정보가 존재하는 것 자체가 간섭을 소멸시킨다.
📝 연습문제:
- 광자의 파장과 간섭무늬의 가시성 → 문제 B-4. 간섭무늬의 극대·극소 조건
3.5 고전적 세계상의 붕괴 — 무엇을 포기하고, 무엇을 받아들일 것인가¶
🔵 카이: 여기까지의 이야기를 정리하면……전자는 1개씩 입자로서 검출되지만, "어디를 통과했는가"를 묻지 않으면 간섭하고, 물으면 간섭이 사라진다. ……솔직히 뭐가 일어나고 있는 건지 전혀 모르겠어요.
🟡 리나: "모르겠다"고 느끼는 것이 올바른 반응이에요. 파인만(Feynman) 자신이 이렇게 말했어요: "양자역학을 이해하는 사람은 아무도 없다고 말해도 무방하다고 생각합니다". 중요한 것은 무엇이 고전적 사고방식으로는 설명할 수 없는가를 명확히 하는 거예요.
🟡 리나: 여기까지의 3가지 경우를 정리해 둘게요.
표 3.2: 이중 슬릿 실험에서의 3가지 경우와 간섭의 유무
| 경우 | 경로 정보 | 확률의 합성 규칙 | 간섭무늬 |
|---|---|---|---|
| 관측 없음 | 불명(구별 불가) | \(P_{12} = \lvert\phi_1 + \phi_2\rvert^2\) | 있음 |
| 짧은 파장 빛으로 관측 | 판명(구별 가능) | \(P_{12}' = P_1 + P_2\) | 없음 |
| 긴 파장 빛으로 관측 | 불명(구별 불가) | \(P_{12}\)에 가까워짐 | 회복 |
고전적 입자상의 검증¶
🟡 리나: 먼저, 다음 명제를 검증해 봅시다:
명제 A: 각 전자는 슬릿 1이나 슬릿 2 중 어느 한쪽을 통과한다.
만약 명제 A가 맞다면, 총알과 같은 논리로 \(P_{12} = P_1 + P_2\)가 성립해야 해요. 하지만 실험 결과는 \(P_{12} \neq P_1 + P_2\).
🔵 카이: 그러면 명제 A가 틀렸다고요? 전자가 양쪽 구멍을 동시에 통과하고 있다는 건가요?
🟡 리나: "동시에 통과한다"는 표현도 고전적인 말이라 정확하지 않아요. 정확히 말할 수 있는 것은:
"전자는 어느 한쪽을 통과했다"고 가정하면 실험 결과와 모순된다.
"양쪽을 동시에 통과했다"고도, "어느 쪽도 통과하지 않았다"고도 말하지 않아요. "어디를 통과했는가"라는 물음 자체가, 이 실험 상황에서는 의미를 갖지 않는다는 거예요.
⚪ 메이: "의미를 갖지 않는다"는 것은, 답을 모르는 게 아니라 물음 자체가 부적절하다는 뜻?
🟡 리나: 맞아요. "독신자의 아내는 몇 살인가?"라는 물음에 답이 없는 것과 비슷해요. 물음의 전제가 성립하지 않는 거예요.
고전적 파동상의 검증¶
🔵 카이: 그러면 전자는 파동인가요? 파동이라면 간섭하는 건 당연하잖아요.
🟡 리나: 만약 전자가 고전적 파동이라면, 검출기에 연속적인 에너지가 도달해야 해요. 파원의 세기를 약하게 하면 도달하는 에너지도 연속적으로 작아져야 해요. 하지만 실험에서는——
🔵 카이: 아, 항상 "딸깍" 하고 1개분의 에너지로 도달해요. 반쪽 딸깍은 없고요.
🟡 리나: 맞아요. 고전적 파동으로는 "입자로서 1개씩 검출된다"는 사실을 설명할 수 없어요.
정리하면:
표 3.3: 고전적 입자상과 파동상의 설명 능력 비교
| 고전적 모델 | 설명할 수 있는 것 | 설명할 수 없는 것 |
|---|---|---|
| 입자상 | 1개씩 검출되는 것 | 간섭무늬 |
| 파동상 | 간섭무늬 | 1개씩 검출되는 것 |
어느 고전적 상도 전자의 행동을 완전히 기술할 수 없다.
결정론의 붕괴¶
🔵 카이: 하나 더 궁금한 게 있는데요……1개의 전자가 스크린 어디에 도달할지는 예측할 수 있나요?
🟡 리나: 할 수 없어요.
🔵 카이: 네? 전혀요?
🟡 리나: 전혀요. 같은 장치에서, 같은 에너지의 전자를, 같은 방식으로 발사해도, 도달 위치는 매번 달라요. 예측할 수 있는 것은 확률분포뿐이에요. "다음 전자가 스크린의 \(x = 3.7\) mm에 도달할 것이다"라고는 아무도 말할 수 없어요.
⚪ 메이: 뉴턴 역학에서는 초기 조건이 같으면 결과도 같았어요——결정론적이었죠. 양자역학에서는 그게 성립하지 않는 건가요?
🟡 리나: 성립하지 않아요. 이것은 "초기 조건의 지식이 불충분해서 예측할 수 없다"는 이야기가 아니에요. 초기 조건을 완전히 맞추어도, 결과는 확률적으로만 결정돼요. 이것이 양자역학에서의 결정론의 붕괴예요.
🔵 카이: 그런데 그건 정말로 "원리적으로 예측 불가능"한 건가요? 단지 전자 내부에 우리가 모르는 어떤 변수가 있어서, 그것만 알면 예측할 수 있다……는 건 아닌가요?
✅ 이해도 체크: 양자역학에서의 "결정론의 붕괴"란 무엇인가요? 고전역학에서의 불확실성(예: 초기 조건의 측정 오차)과는 어떻게 다른가요?
답
양자역학에서는 초기 조건을 완전히 맞추어도 개별 측정 결과는 확률적으로만 결정된다. 고전역학의 불확실성은 "초기 조건의 지식이 불충분하기 때문에 예측할 수 없다"는 인식론적인 것이지만, 양자역학의 불확정성은 원리적인 것으로, 지식의 부족이 아니라 자연 자체의 성질이다.
⚪ 메이: 즉 카이가 말하고 싶은 것은 "겉보기에 랜덤해 보일 뿐이고, 실은 전자 내부에 우리가 모르는 변수가 있어서, 그것만 알면 결과가 정해지는 게 아닌가?"라는 거네요. 고전역학에서 주사위의 눈이 "원리적으로는" 초기 조건으로 결정되는 것과 같은 구조일 수도 있다는.
🟡 리나: 훌륭한 질문이에요. 그 "보이지 않는 정보"를 물리학에서는 숨은 변수(hidden variable)라고 불러요. 사실 아인슈타인도 바로 그렇게 생각했어요. "신은 주사위를 던지지 않는다"라고. 이 물음에 실험적으로 결착을 낸 것이 벨(Bell)의 부등식으로, 제 23 장에서 자세히 다룰 거예요. 결론만 먼저 말하면——자연은 정말로 주사위를 던지고 있다, 라는 것이 현 시점의 실험적 증거가 보여주는 바예요.
🔵 카이: 아인슈타인조차 납득할 수 없었던 것이, 실험으로 결착이 났다고요……. 그런데 "숨은 변수가 없다"는 것을 어떻게 실험으로 확인하죠. 보이지 않는 것이 "없다"는 것을 증명하기는 어려울 것 같은데요.
🟡 리나: 바로 거기가 벨의 천재적인 부분이에요. "숨은 변수가 있다면, 어떤 부등식이 반드시 성립한다"는 것을 보이고, 실험에서 그 부등식이 깨지는지를 조사한 거예요. 자세한 것은 제 23 장에서 다룰 거예요. 기대해 주세요.
🔵 카이: "있다면 성립해야 하는 부등식"을 실험으로 깬다……그러면 "없다"고 말할 수 있겠네요. 귀류법이잖아요. 그런데 숨은 변수의 내용을 모르면서 "반드시 성립하는 부등식"을 유도할 수 있나요? 구체적인 형태를 가정하지 않고 존재한다는 전제만으로 보편적인 귀결이 나올 수 있는 건가요?
🟡 리나: 좋은 의문이에요. 직감적으로 말하면 이런 거예요——숨은 변수의 "내용"은 묻지 않지만, "떨어진 곳의 측정 결과가 순간적으로 영향을 주고받지 않는다"(국소성)라는 조건만 부과해요. 그러면, 2개의 떨어진 입자의 측정 결과의 상관에 상한이 생겨요. 양자역학은 그 상한을 넘는 상관을 예언해요——그래서 실험으로 구별할 수 있어요.
🔵 카이: 국소성을 가정하는 것만으로 상관에 상한이 나온다고요……그건 확실히 "내용"을 몰라도 되겠네요.
🟡 리나: 맞아요. 벨의 교묘함은, 숨은 변수의 구체적 내용을 몰라도 "국소적 숨은 변수가 존재한다"는 가정만으로 부등식을 유도할 수 있다는 점에 있어요. 즉 "숨은 변수가 존재한다" + "국소성"이라는 2가지 가정만으로 부등식이 나오고, 양자역학이 그것을 깨요——따라서 적어도 하나의 가정이 틀렸다고 결론지을 수 있어요. 구체적인 형태는 물을 필요가 없어요. 상세한 것은 제 23 장에서 자세히 할 테니, 지금은 "귀류법으로 결착이 난다"는 구조만 기억해 두세요.
⚪ 메이: 즉, 내용을 몰라도 "존재한다"는 가정만으로 귀결이 나오니까, 실험으로 부정할 수 있는 거네요. 귀류법의 구조가 깔끔하게 성립하고 있어요. 그러면 벨 논증의 논리 구조는 "가정(숨은 변수 + 국소성) → 부등식 → 실험에서 깨짐 → 가정의 적어도 하나가 거짓"——정확히 귀류법이네요. 숨은 변수의 구체적 내용을 지정하지 않아도, 존재와 국소성만으로 부등식이 나오니까 반증이 보편적으로 성립해요.
실재론의 붕괴¶
🟡 리나: 하나 더, 더 깊은 문제가 있어요. 고전물리학에서는 암묵적으로 다음을 가정하고 있었어요:
실재론: 물리량은 측정하든 안 하든 상관없이, 항상 확정된 값을 가지고 있다. 측정이란 이미 존재하는 값을 "읽어내는" 행위에 불과하다.
🔵 카이: 그건 당연한 거 아닌가요? 달은 안 보고 있어도 존재하잖아요?
🟡 리나: 달 같은 거시적 물체에 대해서는, 확실히 그래요. 하지만 전자의 "어느 슬릿을 통과했는가"에 대해서는 이 사고방식이 파탄나요.
이중 슬릿 실험이 보여주는 것은:
"어디를 통과했는가"는 측정하지 않는 한 확정되어 있지 않다. 측정은 "이미 있는 값을 읽어내는" 것이 아니라, 값을 확정시키는 행위이다.
🔵 카이: 그러면, 전자의 위치나 속도 같은 것도 측정 전에는 정해져 있지 않다는 건가요?
🟡 리나: 적어도 "어느 슬릿을 통과했는가"에 대해서는 측정 전에 확정되어 있지 않아요. 그리고 이것은 전자의 경로에 국한된 이야기가 아니에요. 양자역학에서는 일반적으로, "모든 물리량이 각 순간에 정해진 값을 가진다"는 고전론의 가정이 포기돼요. 물리적 상태는 "모든 물리량의 값의 목록"이 아니라, "측정하면 무엇이 얻어지는가의 확률분포를 주는 것"으로 정의돼요.
⚪ 메이: 상태란 "값의 목록"이 아니라 "확률분포의 처방전"——세계관이 근본부터 바뀌네요.
✅ 이해도 체크: 고전물리학의 "실재론"이란 무엇인가요? 이중 슬릿 실험은 그것을 어떻게 부정하나요?
답
고전적 실재론이란 "물리량은 측정하든 안 하든 항상 확정된 값을 가지고 있다"는 가정이다. 이중 슬릿 실험에서는 "전자가 어느 슬릿을 통과했는가"가 측정 전에 확정되어 있지 않으며, 확정된 경로를 가정하면 실험 결과(\(P_{12} \neq P_1 + P_2\))와 모순된다. 측정은 기존 값을 읽어내는 것이 아니라 값을 확정시키는 행위이다.
⚪ 메이: 즉, 이중 슬릿에서 본 "경로가 확정되어 있지 않다"는 이야기는, 양자역학 전체에 통하는 원리인 거네요.
이 장의 결론¶
🟡 리나: 이중 슬릿 실험에서 배운 것을 정리합시다.
- 확률진폭: 전자의 도달 확률은, 복소수의 확률진폭 \(\phi\)의 절댓값의 제곱 \(|\phi|^2\)으로 주어진다
- 중첩: 복수의 경로가 있을 경우, 구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한 다음 제곱한다
- 관측의 효과: 경로를 구별하는 정보가 존재하면, 간섭항이 사라지고 확률의 단순 덧셈으로 돌아간다
- 결정론의 붕괴: 개별 전자가 어디에 도달하는가는 원리적으로 예측 불가능. 예측할 수 있는 것은 확률분포뿐이다
- 실재론의 수정: 측정되지 않은 물리량에 확정된 값을 귀속시킬 수 없다
🔵 카이: 왠지 세계를 보는 방식이 근본부터 바뀔 것 같아요……
🟡 리나: 그래요. 하지만 중요한 것은, 이것이 철학적 사변이 아니라 실험 사실로부터 도출된 결론이라는 거예요. 자연이 그렇게 되어 있는 거예요.
⚪ 메이: 즉 이 장에서 본 것은, "확률진폭을 더한 다음 제곱한다"는 규칙이 실험 사실을 올바르게 재현한다는 것, 그리고 "어디를 통과했는가"가 확정되어 있지 않은 상태야말로 간섭을 만들어낸다——는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 뒤집어 말하면, 측정 전의 물리량에 확정값을 가정하는 고전적 세계상으로는 이 실험을 설명할 수 없어요. 이 규칙을 수학적으로 정밀하게 정식화하면, 원자의 행동을 정량적으로 예측할 수 있게 돼요. 다음 장에서는 파인만이 정리한 3가지 기본법칙으로 그것을 볼 거예요.
✅ 이해도 체크: "전자가 슬릿 1을 통과했다"고 주장하기 위해서는 어떤 조건이 필요한가요? 또한 그 조건을 만족하면 무엇이 일어나나요?
답
"전자가 슬릿 1을 통과했다"고 주장하려면, 경로를 식별하는 측정(예: 슬릿 부근에서 광자를 산란시키는 것)이 필요하다. 하지만 그 측정을 수행하면 간섭무늬가 사라지고, 확률분포는 \(P_{12} = P_1 + P_2\)로 바뀐다. "어디를 통과했는지 알 수 있다"는 것과 "간섭무늬가 보인다"는 것은 양립하지 않는다.
3.6 보충: 실제 실험과 역사¶
🟡 리나: 마지막으로 이 실험의 역사적 주석을 해둘게요.
파인만이 이 이중 슬릿 실험을 교재에 쓴 1960년대 당시, 전자를 1개씩 쏘아 간섭무늬를 관측하는 실험은 아직 실현되지 않았었어요. 파인만은 "이 실험은 이 그대로의 형태로 실행된 적이 없다"고 명기하고 있어요.
하지만 1989년, 히타치 제작소의 도노무라 아키라 등이 전자선 바이프리즘을 이용하여, 전자를 1개씩 쏘아 간섭무늬가 점차 형성되는 모습을 촬영하는 데 성공했어요. 이 결과는 파인만의 사고실험 예측과 완전히 일치했어요.
🔵 카이: 사고실험이 30년 후에 실증된 거군요.
🟡 리나: 물리학 모델의 힘은 바로 여기에 있어요. 아직 수행되지 않은 실험의 결과를 예측할 수 있다는 것. 그리고 그 예측이 나중에 실험으로 확인된다. 이것이 "반증가능성"을 가진 과학적 모델의 강점이에요.
⚪ 메이: 즉, 예측이 실험으로 확인되었기 때문에 양자역학은 신뢰받고 있다——반대로 빗나갔다면 수정이 필요했을 것이라는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 양자역학의 모델은 현재까지 그러한 반증에 부딪히지 않았어요. 그래서 "현 시점의 최선의 가설"로서 신뢰받고 있는 거예요.
다음 장 예고¶
🟡 리나: 이 장에서는, 이중 슬릿 실험을 통해 "확률진폭을 더한다" "구별할 수 없는 과정에서는 진폭을 더하고, 구별할 수 있는 과정에서는 확률을 더한다"는 규칙을 발견했어요.
하지만 아직 의문이 남아 있죠:
- 확률진폭 \(\phi\)는 구체적으로 어떻게 계산하는가?
- "경로가 3개 이상인 경우"는 어떻게 되는가?
- "중간 경로"를 경유하는 경우, 진폭은 어떻게 조합되는가?
다음 장(제 4 장)에서는, 이 장에서 엿본 "진폭을 더한다" "진폭을 곱한다"는 규칙을 더 일반적이고 정밀한 형태로 정리하고, 하나 더의 법칙과 합쳐서 확률진폭의 3가지 기본법칙으로 정식화할 거예요. 파인만이 정리한 이 3법칙만 있으면, 모든 양자 현상의 확률 계산을 할 수 있게 돼요.
연습문제¶
📝 연습문제:
- 이중 슬릿의 간섭 조건 유도 → 문제 M-4. 간섭의 소실을 "확률의 조건부 분해"로 이해하기
- 간섭항의 부호와 간섭무늬의 명암 → 문제 B-1. 간섭항의 계산
- 광자의 파장과 간섭무늬의 가시성 → 문제 B-4. 간섭무늬의 극대·극소 조건
참고문헌¶
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch. 1 "Quantum Behavior", Ch. 3 "Probability Amplitudes" (Addison-Wesley, 1965)
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Ch. 1 (Cambridge University Press, 2021)
- 清水明『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』（サイエンス社, 2004）, 第 2 章「基本的枠組み」
- 広江克彦『趣味で量子力学』第 3 章「二重スリットの実験」
- A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa, "Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern", American Journal of Physics 57, 117–120 (1989)
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