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제 3 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 간섭항의 계산

2개의 확률진폭이 \(\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/3}\), \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6}\)으로 주어질 때, 다음을 계산하세요.

  1. \(P_1 = |\phi_1|^2\)
  2. \(P_2 = |\phi_2|^2\)
  3. \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)
  4. 간섭항 \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2)\)의 값
힌트

\(\phi_1^* \phi_2\)를 계산할 때, 위상의 차이 \(\delta = \theta_1 - \theta_2\)를 구한 다음 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)를 사용하면 편해요. \(\delta = \pi/3 - (-\pi/6) = \pi/2\)에 주의하세요.

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B-2. 위상차와 간섭의 강약

식 (3.2)에서 \(I_1 = I_2 = I_0\)으로 놓아요. 다음 각 위상차 \(\delta\)에 대해 \(I_{12}\)를 \(I_0\)의 배수로 구하세요.

  1. \(\delta = 0\)
  2. \(\delta = \pi/2\)
  3. \(\delta = \pi\)
  4. \(\delta = 2\pi/3\)
힌트

\(I_1 = I_2 = I_0\)일 때 식 (3.2)는 \(I_{12} = 2I_0(1 + \cos\delta)\)로 간략화돼요.

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B-3. 복소 진폭의 절댓값의 제곱 전개

\(\phi_1 = A e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = B e^{i\beta}\)（\(A, B\)는 양의 실수）로 놓아요. \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)를 전개하여 \(A\), \(B\), \(\alpha\), \(\beta\)로 나타내세요.

힌트

\(|z|^2 = z^* z\)를 사용하여 \((\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\)를 4개의 항으로 전개하세요. 교차항은 \(\cos(\alpha - \beta)\)로 정리돼요.

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B-4. 간섭무늬의 극대·극소 조건

슬릿 간격 \(d\), 슬릿에서 스크린까지의 거리 \(L\)（\(L \gg d\)）, 전자의 드브로이 파장 \(\lambda\)로 놓아요. 스크린 위의 위치 \(x\)（중앙에서 측정）에서 두 경로의 경로차는 근사적으로 \(\Delta = dx/L\)로 쓸 수 있어요.

  1. 간섭의 극대（보강 간섭）조건을 \(\Delta\)와 \(\lambda\)로 쓰세요.
  2. 간섭의 극소（상쇄 간섭）조건을 \(\Delta\)와 \(\lambda\)로 쓰세요.
  3. 이웃한 극대 사이의 간격 \(\Delta x\)를 구하세요.
힌트

위상차는 \(\delta = 2\pi\Delta/\lambda\)예요. 극대는 \(\delta = 2n\pi\)（\(n\)은 정수）, 극소는 \(\delta = (2n+1)\pi\)에 대응해요.

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B-5. 구체적인 간섭무늬 계산

전자를 전압 \(V = 150\,\mathrm{V}\)로 가속해요. 슬릿 간격 \(d = 1.0\,\mu\mathrm{m}\), 스크린까지의 거리 \(L = 0.50\,\mathrm{m}\)로 해요.

  1. 전자의 de Broglie 파장 \(\lambda\)를 구하세요. （\(m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}\)、\(e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}\)、\(h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s}\)）
  2. 스크린 위의 간섭무늬 간격 \(\Delta x\)를 구하세요.
힌트

가속 전압 \(V\)로 가속된 전자의 운동 에너지는 \(eV = p^2/(2m_e)\)이므로 \(p = \sqrt{2m_e eV}\)예요. \(\lambda = h/p\)를 사용하세요. D4의 결과 \(\Delta x = \lambda L / d\)를 이용하세요.

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B-6. 확률분포의 규격화

전자의 도달 확률분포가 \(P(x) = C\cos^2\!\left(\frac{\pi d x}{\lambda L}\right)\) 로 주어진다고 해요（\(-\frac{\lambda L}{2d} \le x \le \frac{\lambda L}{2d}\) 의 1주기분만 생각해요）. 규격화 상수 \(C\) 를 구하세요.

힌트

\(\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\) 를 사용하여 적분하세요. 1주기분으로 규격화해요.

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B-7. 간섭의 가시도 (visibility)

간섭무늬의 가시도 (visibility)는 다음과 같이 정의해요:

\[\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}\]

식 (3.2)에서 \(I_1 \neq I_2\)인 일반적인 경우에 \(\mathcal{V}\)를 \(I_1\)과 \(I_2\)로 나타내세요.

힌트

\(I_{\max}\)는 \(\cos\delta = +1\)일 때, \(I_{\min}\)은 \(\cos\delta = -1\)일 때의 \(I_{12}\)예요.

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Medium（표준）

M-1. 확률의 덧셈 vs 진폭의 덧셈의 정량적 비교

이중 슬릿 실험에서, 2개의 슬릿으로부터 스크린 위의 점 \(x\)까지의 경로차가 \(\Delta(x) = dx/L\)이라고 해요. 확률진폭을

\[\phi_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{ik r_1(x)}, \quad \phi_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{ik r_2(x)}\]

로 놓아요(\(k = 2\pi/\lambda\), \(r_1\), \(r_2\)는 각각의 슬릿으로부터의 거리).

  1. 양자역학적 확률분포 \(P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = |\phi_1 + \phi_2|^2\)를 \(k\), \(d\), \(x\), \(L\)로 나타내세요.
  2. 고전적 입자상의 확률분포 \(P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)를 구하세요.
  3. 간섭항 \(P_{12}^{\mathrm{QM}} - P_{12}^{\mathrm{cl}}\)를 구하고, 이것이 양이 되는 \(x\)의 범위와 음이 되는 \(x\)의 범위를 논의하세요.
힌트

\(r_1 - r_2 \approx dx/L\)의 근사를 사용하면, 위상차는 \(\delta = k \cdot dx/L\)이 돼요. \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\)이므로, \(P_{12}^{\mathrm{QM}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\delta\)를 정리해 보세요.

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M-2. "어느 경로를 지나갔는가"의 정보와 간섭항의 소실

본문의 식 (3.9)에 기초하여 아래를 보이세요.

광원에 의한 경로 식별이 완전할 때（\(b = 0\), \(b' = 0\), \(|a|^2 = |a'|^2 = 1\)）：

  1. 식 (3.9)가 \(P_{12}' = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = P_1 + P_2\)로 귀착됨을 보이세요.
  2. 반대로, 경로 식별이 전혀 불가능한 경우（\(a = a' = b = b' = 1/\sqrt{2}\)）에 식 (3.9)가 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)로 귀착됨을 보이세요.
힌트

(2)에서는 식 (3.9)의 두 항을 각각 전개하고, 교차항이 어떻게 결합되는지를 확인하세요. \(|c\phi_1 + c\phi_2|^2 = |c|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\)를 사용할 수 있습니다.

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M-3. 경로차와 de Broglie 파장의 관계

가속 전압 \(V\)로 가속된 전자(질량 \(m_e\), 전하 \(e\))가 슬릿 간격 \(d\), 스크린 거리 \(L\)인 이중 슬릿을 통과해요.

  1. 전자의 de Broglie 파장 \(\lambda\)를 \(V\), \(m_e\), \(e\), \(h\)로 나타내세요.
  2. 스크린 위의 \(n\)차 간섭 극대의 위치 \(x_n\)을 구하세요.
  3. 가속 전압을 \(V\)에서 \(4V\)로 바꿨을 때, 간섭무늬의 간격은 어떻게 변화하나요?
힌트

\(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}\) 예요. \(V\)를 \(4V\)로 하면 \(\lambda\)는 \(1/2\)배가 돼요.

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M-4. 간섭의 소실을 "확률의 조건부 분해"로 이해하기

전자가 구멍 1을 통과하는 사건을 \(A_1\), 구멍 2를 통과하는 사건을 \(A_2\)라 해요. 고전 확률론에서는 전확률 공식:

\[P(x) = P(x|A_1)P(A_1) + P(x|A_2)P(A_2)\]

이 성립해요.

  1. 이중 슬릿 실험에서 간섭무늬가 관측될 때, 이 전확률 공식이 성립하지 않음을 \(P_1\), \(P_2\), \(P_{12}\)를 사용하여 보이세요.
  2. 이 파탄은 \(A_1\)과 \(A_2\)가 어떤 성질을 잃고 있는 것에 대응하는지, 본문의 논의에 기반하여 설명하세요.
힌트

\(P(A_1) = P(A_2) = 1/2\) (대칭적인 슬릿)로 놓으면, 전확률 공식은 \(P_{12} = \frac{1}{2}P_1 + \frac{1}{2}P_2\)를 예측해요. 실험 결과 \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)와 비교해 보세요. 파탄의 원인은 "\(A_1\)과 \(A_2\)가 확정된 사건으로서 존재한다"는 가정에 있어요.

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Advanced（발전）

A-1. 부분적 경로 정보와 간섭 가시도

이중 슬릿 실험에서, 각 슬릿 뒤에 「경로 표지 (which-path marker)」를 놓아요. 전자가 슬릿 \(j\)（\(j = 1, 2\)）를 통과하면, 표지의 상태가 \(|m_j\rangle\)가 된다고 해요. 전체 계의 상태는:

\[|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_1(x)|m_1\rangle + \phi_2(x)|m_2\rangle\right)\]

여기서 \(|m_1\rangle\)과 \(|m_2\rangle\)은 일반적으로 정규직교가 아니며, 내적 \(\langle m_1 | m_2 \rangle = \gamma\)（\(0 \le \gamma \le 1\)인 실수）를 갖는다고 해요.

  1. 표지의 상태를 트레이스 아웃(무시)하여, 전자의 스크린 위 확률분포 \(P(x)\)를 구하세요. 구체적으로 \(|\phi_1|^2\), \(|\phi_2|^2\), \(\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\)를 이용하여 나타내세요.
  2. \(|\phi_1| = |\phi_2|\)인 경우에, 간섭무늬의 가시도 \(\mathcal{V}\)를 \(\gamma\)로 나타내세요.
  3. \(\gamma = 1\)（표지가 경로 정보를 전혀 갖지 않는 경우）과 \(\gamma = 0\)（완전히 구별 가능한 경우）의 극한에서, 결과가 본문의 논의와 일치하는지 확인하세요.
  4. 경로의 구별 가능성 (distinguishability)을 \(\mathcal{D} = \sqrt{1 - \gamma^2}\)로 정의할 때, \(\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1\)이 성립함을 보이세요（Englert (엥글러트)의 상보성 부등식의 등호 조건）.
힌트

표지를 트레이스 아웃한다는 것은, \(P(x) = \langle m_1|\rho_m|m_1\rangle |\phi_1|^2 + \cdots\)가 아니라, \(P(x) = \sum_k |\langle e_k|\Psi\rangle|^2\)（\(|e_k\rangle\)는 표지 공간의 임의의 완전계）를 계산하는 것이에요. 더 간단하게는, \(P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \mathrm{Re}(\gamma \cdot \phi_1^* \phi_2)\)가 됨을 보여주세요. 간섭항의 계수가 \(\gamma\)가 되는 것이 핵심이에요.

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A-2. 지연 선택 실험 (delayed choice experiment) 의 해석

Wheeler (휠러) 의 지연 선택 실험을 생각해요. 전자가 슬릿을 통과한 후에, 간섭을 관측할지 경로 정보를 관측할지를 선택해요.

구체적인 설정: 이중 슬릿의 후방에, 삽입·제거 가능한 빔 분할기 (beam splitter) 를 놓아요.

  • 빔 분할기를 삽입하는 경우: 2개의 경로의 진폭이 중첩되어, 출력 포트의 강도로부터 간섭이 관측돼요.
  • 빔 분할기를 제거하는 경우: 각 경로가 그대로 별개의 검출기에 도달하여, 경로 정보가 얻어져요.

빔 분할기의 투과율을 \(t\), 반사율을 \(r\)（\(|t|^2 + |r|^2 = 1\)）로 해요. 입사 진폭 \(\phi_1\), \(\phi_2\) 에 대해, 출력 포트 \(A\), \(B\) 에서의 진폭은:

\[\phi_A = t\phi_1 + r\phi_2, \quad \phi_B = r\phi_1 + t\phi_2\]
  1. 50:50 빔 분할기（\(t = r = 1/\sqrt{2}\)、단 반사에서 \(\pi/2\) 의 위상 이동이 있다고 하여 \(r = i/\sqrt{2}\), \(t = 1/\sqrt{2}\)）의 경우에, \(|\phi_A|^2\) 와 \(|\phi_B|^2\) 를 \(|\phi_1|\), \(|\phi_2|\), 및 위상차 \(\delta = \arg(\phi_1) - \arg(\phi_2)\) 로 나타내세요.
  2. \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\) 일 때, \(\delta\) 의 함수로서 \(|\phi_A|^2\) 와 \(|\phi_B|^2\) 를 구하고, 간섭이 관측됨을 보이세요.
  3. 빔 분할기를 제거한 경우（\(\phi_A = \phi_1\), \(\phi_B = \phi_2\)）에, 경로 정보가 얻어지는 대신 간섭이 사라짐을 설명하세요.
  4. 「전자가 슬릿을 통과한 후에 선택한다」는 사실이, 고전적 실재론（전자는 통과 시점에서 확정된 경로를 가진다）과 어떻게 모순되는지 논하세요.
힌트

(1) \(\phi_A = \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\) 로 놓고 \(|\phi_A|^2\) 를 전개하세요. (4) 에서는, 만약 전자가 통과 시점에서 경로가 확정되어 있다면, 나중에 빔 분할기를 넣든 넣지 않든 결과가 바뀔 리가 없다（경로는 과거에 확정 완료）는 논법을 사용해요.

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