제 2 장 연습문제 풀이
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목차
Basic（기초）
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）
B-1. Compton (콤프턴) 산란에서 입사 X선의 파장이 nm일 때, 산란각 (후
→ 문제로 돌아가기
Compton 산란: 후방산란(\(\theta = 180°\))에서의 산란 파장
풀이 방침
Compton 산란 공식 \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\)에 \(\theta = 180°\)를 대입해요.
계산
\[\cos 180° = -1\]
\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - (-1)) = 2 \times \frac{h}{m_e c} = 2 \times 2.43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[\lambda' = \lambda + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 0.0711 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[= 71.1 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 75.96 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
최종 답
\[\boxed{\lambda' \approx 0.0760\ \mathrm{nm}}\]
검산
파장 변화 \(\Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12}\) m는 Compton 파장의 2배이며, 이는 후방산란에서의 최대 파장 변화에 해당해요. 원래 파장 \(71.1\) pm에 대해 약 6.8%의 변화이며, X선 실험에서 충분히 측정 가능한 값이에요. 타당해요.
B-2. Compton 산란의 식 (2.1)에서 산란각일 때의 파장 변화를 구하라
→ 문제로 돌아가기
Compton 산란: \(\theta = 60°\) 에서의 파장 변화
계산
\[\cos 60° = 0.5\]
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0.5) = 2.43 \times 10^{-12} \times 0.5\]
최종 답
\[\boxed{\Delta\lambda = 1.22 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 1.22\ \mathrm{pm}}\]
검산
\(\theta = 60°\) 는 \(\theta = 90°\)（\(\Delta\lambda = \lambda_C\)）와 \(\theta = 0°\)（\(\Delta\lambda = 0\)）의 중간이에요. \(\Delta\lambda = \lambda_C / 2\) 는 Compton 파장의 절반이며, 타당해요.
B-3. 질량 kg의 양성자가 속도 m/s로 운동하고 있을 때, de Broglie 파장을 구하라
→ 문제로 돌아가기
양성자의 de Broglie 파장
계산
\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4}\]
분모：
\[mv = 1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4 = 5.01 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
\[\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-23}} = 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]
최종 답
\[\boxed{\lambda \approx 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.132\ \mathrm{\AA}}\]
검산
차원 확인：\([h]/([m][v]) = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\)。✓
값은 원자 간격(수 Å)보다 짧고, 양성자는 전자보다 무거우므로 파장이 짧은 것은 타당해요.
B-4. 가속전압 V로 가속된 전자의 de Broglie 파장을 간편 공식으로 구하기
→ 문제로 돌아가기
가속전압 200 V에서 전자의 de Broglie 파장
계산
\[\sqrt{200} = \sqrt{4 \times 50} = 2\sqrt{50} = 2 \times 7.071 = 14.14\]
\[\lambda \approx \frac{1.226}{14.14}\ \mathrm{nm} = 0.0867\ \mathrm{nm}\]
Å 단위로의 환산:
\[\lambda = 0.0867\ \mathrm{nm} \times 10\ \mathrm{\AA/nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}\]
최종 답
\[\boxed{\lambda \approx 0.0867\ \mathrm{nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}}\]
검산
\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V에서 \(\lambda \approx 1.00\) Å(본문). \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V는 150 V보다 크므로 파장은 짧아져야 해요. \(1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.100\) nm = 1.00 Å. 200 V에서는 0.867 Å < 1.00 Å. ✓
B-5. 전자(질량 kg)가 가속 전압 V로 가속되었을 때, 전자의 속도를 식 (2.9)
→ 문제로 돌아가기
가속전압 54 V로 가속된 전자의 속도
계산
\[v = \sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}\]
분자：
\[2eV_{\mathrm{acc}} = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 54 = 1.730 \times 10^{-17}\ \mathrm{J}\]
\[\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} = \frac{1.730 \times 10^{-17}}{9.109 \times 10^{-31}} = 1.899 \times 10^{13}\ \mathrm{m^2/s^2}\]
\[v = \sqrt{1.899 \times 10^{13}} = 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}\]
최종 답
\[\boxed{v \approx 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}}\]
검산
\(v/c = 4.36 \times 10^6 / 3.0 \times 10^8 \approx 0.015\). 비상대론적 근사는 타당해요. 본문에서 \(V_{\mathrm{acc}} = 100\) V일 때 \(v \approx 5.93 \times 10^6\) m/s예요. \(v \propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)이므로 \(v(54\mathrm{V})/v(100\mathrm{V}) = \sqrt{54/100} = 0.735\). \(5.93 \times 10^6 \times 0.735 = 4.36 \times 10^6\). ✓
B-6. Bragg (브래그) 조건에서 결정면 간격 Å, 입사각, 차수일 때 회절하는 파의 파장
→ 문제로 돌아가기
Bragg 조건으로부터 파장 구하기
계산
\[\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n} = \frac{2 \times 0.91 \times \sin 65°}{1}\]
\[\sin 65° \approx 0.906\]
\[\lambda = 2 \times 0.91 \times 0.906 = 1.649\ \mathrm{\AA}\]
최종 답
\[\boxed{\lambda \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]
검산
이 값은 Davisson-Germer 실험에서 얻어진 전자의 파장(\(\sim 1.65\) Å)과 같은 정도이며, 결정 회절에서 관측 가능한 범위에 해당해요. \(\lambda < 2d = 1.82\) Å 인 것도 Bragg 조건의 요구를 만족해요. ✓
B-7. 운동에너지 eV인 중성자(질량 kg)의 de Broglie 파장을 구하라. 단, J로 한다
→ 문제로 돌아가기
운동 에너지 1.0 eV인 중성자의 de Broglie 파장
계산
운동 에너지를 J로 변환해요:
\[K = 1.0\ \mathrm{eV} = 1.0 \times 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\]
운동량:
\[p = \sqrt{2m_n K} = \sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19}}\]
\[= \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{53.67 \times 10^{-47}} = 7.326 \times 10^{-23.5}\]
좀 더 정밀하게 계산해요:
\[2m_n K = 2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} = 5.367 \times 10^{-46}\ \mathrm{kg^2 \cdot m^2/s^2}\]
\[p = \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{5.367} \times 10^{-23} = 2.317 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
de Broglie 파장:
\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.317 \times 10^{-23}} = 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]
최종 답
\[\boxed{\lambda \approx 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.286\ \mathrm{\AA}}\]
검산
1 eV의 중성자는 「열중성자」（\(\sim 0.025\) eV）보다 고에너지이므로 파장이 짧아야 해요. 열중성자의 파장은 \(\sim 1.8\) Å이에요. \(\lambda \propto 1/\sqrt{K}\)이므로 \(\lambda(1\mathrm{eV})/\lambda(0.025\mathrm{eV}) = \sqrt{0.025/1} = 0.158\)이에요. \(1.8 \times 0.158 \approx 0.28\) Å. ✓
B-8. de Broglie의 관계식을 각진동수 ω와 파수 k로 표현한 식 E = ℏω 및 p = ℏk를 이용하여
→ 문제로 돌아가기
파장 2.0 Å 의 전자에 대응하는 파수 \(k\)
계산
\[\lambda = 2.0\ \mathrm{\AA} = 2.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}\]
\[k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2.0 \times 10^{-10}} = \frac{6.283}{2.0 \times 10^{-10}} = 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}\]
최종 답
\[\boxed{k \approx 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}}\]
검산
\(p = \hbar k = 1.055 \times 10^{-34} \times 3.14 \times 10^{10} = 3.31 \times 10^{-24}\) kg·m/s。\(\lambda = h/p = 6.626 \times 10^{-34} / 3.31 \times 10^{-24} = 2.0 \times 10^{-10}\) m = 2.0 Å。✓
Medium（표준）
M-1. 가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도
→ 문제로 돌아가기
가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도
(a) 운동량 \(p\)를 \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\)로 나타내기
에너지 보존 법칙에 의해, 정지 상태에서 가속전압 \(V_{\mathrm{acc}}\)로 가속된 전자의 운동 에너지는:
\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]
운동량 \(p = m_e v\)를 사용하면 \(\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{p^2}{2m_e}\)이므로:
\[\frac{p^2}{2m_e} = eV_{\mathrm{acc}}\]
\[\boxed{p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]
(b) de Broglie 파장의 유도
de Broglie 관계식 \(\lambda = h/p\)에 (a)의 결과를 대입하면:
\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}}\]
(c) 수치 대입을 통한 간편 공식의 확인
상수 부분을 계산해요:
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19}}}\]
분모 안의 값:
\[2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.919 \times 10^{-49}\]
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = \sqrt{2.919} \times 10^{-24.5} = 1.709 \times 10^{-24.5}\]
여기서 \(10^{-24.5} = 10^{-25} \times \sqrt{10} = 3.162 \times 10^{-25}\)이므로:
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = 1.709 \times 3.162 \times 10^{-25} = 5.403 \times 10^{-25}\]
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.403 \times 10^{-25}} = 1.226 \times 10^{-9}\ \mathrm{m \cdot V^{1/2}}\]
따라서:
\[\lambda = \frac{1.226 \times 10^{-9}}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{m} = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}}\]
검산
\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V일 때 \(\lambda = 1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.1001\) nm = 1.00 Å. 본문의 예시와 일치해요. ✓
M-2. Davisson-Germer 실험의 재현 계산
→ 문제로 돌아가기
Davisson-Germer 실험의 재현 계산
(a) de Broglie 파장의 계산
식 (2.12)를 사용해요:
\[\lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{1.226}{\sqrt{54}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{7.348}\ \mathrm{nm} = 0.1668\ \mathrm{nm} = 1.668\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\ \mathrm{\AA}}\]
(b) 회절 조건으로부터 얻어지는 파장
회절 조건 \(d\sin\phi = n\lambda\)에 \(d = 2.15\) Å, \(\phi = 50°\), \(n = 1\)을 대입해요:
\[\lambda_{\mathrm{exp}} = d\sin\phi = 2.15 \times \sin 50° = 2.15 \times 0.766 = 1.647\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]
(c) 비교와 고찰
두 값의 차이:
\[\frac{|\lambda_{\mathrm{dB}} - \lambda_{\mathrm{exp}}|}{\lambda_{\mathrm{dB}}} \times 100\% = \frac{|1.67 - 1.65|}{1.67} \times 100\% \approx 1.2\%\]
de Broglie 가설로부터 예측되는 파장 \(\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\) Å과, 회절 실험으로부터 측정되는 파장 \(\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\) Å은 약 1%의 차이로 일치해요. 이 정도의 차이는 실험의 측정 정밀도(각도 읽기 오차, 결정면 간격의 불확실성 등)의 범위 내이며, de Broglie의 물질파 가설 \(\lambda = h/p\)이 실험적으로 확인되었다고 결론지을 수 있어요.
검산
미세한 차이의 원인으로, 전자가 결정 내부에 들어갈 때의 내부 퍼텐셜에 의한 굴절 효과(가속 전압의 보정)를 생각할 수 있어요. 실제 정밀한 분석에서는 이 보정을 포함하면 더욱 좋은 일치를 얻을 수 있어요.
M-3. Compton 산란 공식의 구조 분석
→ 문제로 돌아가기
Compton 산란 공식의 구조 분석
(a) \(\Delta\lambda\) 가 취할 수 있는 값의 범위
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]
\(0 \le \theta \le 180°\) 범위에서 \(\cos\theta\) 는 \(+1\) 에서 \(-1\) 까지 변화하므로, \((1 - \cos\theta)\) 는 \(0\) 에서 \(2\) 까지 변화해요.
\[\boxed{0 \le \Delta\lambda \le \frac{2h}{m_e c} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}}\]
- \(\theta = 0°\)（전방 산란）：\(\Delta\lambda = 0\)（파장 변화 없음）
- \(\theta = 90°\)：\(\Delta\lambda = h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m
- \(\theta = 180°\)（후방 산란）：\(\Delta\lambda = 2h/(m_e c) = 4.86 \times 10^{-12}\) m（최대）
(b) 양성자의 Compton 파장
\[\frac{h}{m_p c} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^8}\]
\[= \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.015 \times 10^{-19}} = 1.321 \times 10^{-15}\ \mathrm{m}\]
\[\boxed{\frac{h}{m_p c} \approx 1.32 \times 10^{-15}\ \mathrm{m} = 1.32\ \mathrm{fm}}\]
전자의 Compton 파장과의 비：
\[\frac{h/(m_e c)}{h/(m_p c)} = \frac{m_p}{m_e} = \frac{1.673 \times 10^{-27}}{9.109 \times 10^{-31}} \approx 1836\]
양성자의 Compton 파장은 전자의 약 \(1/1836\) 배이며, 전자의 경우（\(2.43\) pm）에 비해 약 1840분의 1 크기（\(1.32\) fm）예요.
(c) "가벼운 입자일수록 파장 변화가 크다"는 것의 설명
Compton 산란의 파장 변화는：
\[\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\]
여기서 \(h/(mc)\) 는 산란 상대 입자의 질량 \(m\) 에 반비례해요. 따라서：
- 질량이 작은 입자（전자）와 산란하는 경우：Compton 파장이 크고, 파장 변화도 커요
- 질량이 큰 입자（양성자）와 산란하는 경우：Compton 파장이 작고, 파장 변화도 작아요
물리적으로는, 가벼운 입자일수록 광자로부터 운동량을 받아 크게 반동하기 때문에, 광자가 잃는 에너지（＝파장의 증가）가 커져요. 반대로, 매우 무거운 입자（\(m \to \infty\)）에서는 \(\Delta\lambda \to 0\) 이 되어, 고전적인 Thomson 산란（파장 변화 없음）으로 귀착돼요.
검산
\(m \to \infty\) 의 극한에서 \(\Delta\lambda \to 0\) 은, 무거운 벽에 공을 던지면 거의 같은 속도로 튕겨 나온다（에너지 변화 없음）는 고전적 직관과 일치해요. ✓
M-4. Bragg 조건을 이용한 전자선 회절 해석
→ 문제로 돌아가기
G. P. Thomson의 실험을 모방한 전자선 회절 해석
(a) 전자의 de Broglie 파장
\[\lambda = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{\sqrt{10000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{100}\ \mathrm{nm} = 0.01226\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda = 0.1226\ \mathrm{\AA}}\]
(b) \(n = 1\)의 회절각 \(\theta\)
Bragg 조건 \(2d\sin\theta = n\lambda\)로부터:
\[\sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} = \frac{1 \times 0.1226}{2 \times 2.34} = \frac{0.1226}{4.68} = 0.02620\]
\[\theta = \arcsin(0.02620) \approx 1.50°\]
\(\sin\theta \approx 0.0262\)는 충분히 작으므로, 소각 근사 \(\sin\theta \approx \theta\) (라디안)도 사용할 수 있어요: \(\theta \approx 0.0262\) rad \(= 1.50°\).
\[\boxed{\theta \approx 1.50°}\]
(c) 가속 전압을 20,000 V로 한 경우
정성적 설명: \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)이므로, 가속 전압을 2배로 하면 파장은 \(1/\sqrt{2}\)배가 돼요. Bragg 조건 \(\sin\theta = \lambda/(2d)\)에 의해 \(\sin\theta\)도 \(1/\sqrt{2}\)배가 되므로, 회절각은 작아져요.
구체적인 계산:
\[\lambda' = \frac{1.226}{\sqrt{20000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{141.4}\ \mathrm{nm} = 0.008671\ \mathrm{nm} = 0.08671\ \mathrm{\AA}\]
\[\sin\theta' = \frac{0.08671}{2 \times 2.34} = \frac{0.08671}{4.68} = 0.01853\]
\[\theta' = \arcsin(0.01853) \approx 1.06°\]
\[\boxed{\theta' \approx 1.06°}\]
확인: \(\theta'/\theta = 1.06°/1.50° = 0.707 = 1/\sqrt{2}\) (소각 근사가 성립하는 범위에서는 \(\theta \propto \lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)). ✓
검산
고에너지 전자일수록 파장이 짧고 회절각이 작아지는 것은 물리적으로 타당해요. G. P. Thomson의 실험에서는 수만 V의 가속 전압을 사용하여 작은 각도에서 회절 고리를 관측했으며, 이 계산 결과와 부합해요.
Advanced（발전）
A-1. Compton 산란 공식의 유도
→ 문제로 돌아가기
Compton 산란 공식의 유도
(a) 에너지 보존 법칙
입사 광자의 에너지는 \(hc/\lambda\), 산란 후 광자의 에너지는 \(hc/\lambda'\)이에요. 전자는 처음에 정지해 있으므로 초기 에너지는 정지 에너지 \(m_e c^2\)뿐이에요. 산란 후 전자의 에너지는 \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\)이에요.
에너지 보존 법칙:
\[\boxed{\frac{hc}{\lambda} + m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}} \tag{A1.1}\]
(b) 운동량 보존 법칙
입사 방향을 \(x\) 축, 그에 수직인 방향을 \(y\) 축으로 해요. 입사 광자의 운동량은 \(h/\lambda\)(\(x\) 방향)이에요. 산란 후 광자는 각도 \(\theta\) 방향으로 진행하고, 반동 전자는 각도 \(\varphi\) 방향으로 진행해요.
\(x\) 성분:
\[\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\theta + p_e\cos\varphi \tag{A1.2}\]
\(y\) 성분:
\[0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta - p_e\sin\varphi \tag{A1.3}\]
(c) \(\varphi\)의 소거와 \(p_e^2\)의 유도
식 (A1.2)를 변형하면:
\[p_e\cos\varphi = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta \tag{A1.4}\]
식 (A1.3)을 변형하면:
\[p_e\sin\varphi = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta \tag{A1.5}\]
(A1.4)와 (A1.5)를 각각 제곱하여 더하면(\(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\)을 이용):
\[p_e^2 = \left(\frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\right)^2\]
전개하면:
\[p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2\cos^2\theta}{\lambda'^2} + \frac{h^2\sin^2\theta}{\lambda'^2}\]
\[= \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{\lambda'^2}\]
\[\boxed{p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda'^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}} \tag{A1.6}\]
(d) 에너지 보존으로부터 \(p_e^2 c^2\)를 구하여 Compton 공식을 유도
식 (A1.1)을 변형하여 반동 전자의 에너지를 좌변에 모으면:
\[\sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\]
양변을 제곱하면:
\[(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\right)^2\]
우변을 전개해요. \(A = hc/\lambda - hc/\lambda'\), \(B = m_e c^2\)로 놓으면:
\[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]
\[p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)m_e c^2 + m_e^2 c^4\]
\(m_e^2 c^4\)가 양변에서 소거되어:
\[p_e^2 c^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2m_e c^2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)\]
좌변의 \(A^2\)를 전개하면:
\[\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\]
따라서:
\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) \tag{A1.7}\]
한편, (A1.6)에 \(c^2\)를 곱하면:
\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right) \tag{A1.8}\]
(A1.7)과 (A1.8)을 같다고 놓으면:
\[h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right)\]
양변에서 \(h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\)를 소거하면:
\[-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'} + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\]
이항하면:
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\]
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]
양변을 \(2hc^2\)로 나누면:
\[m_e c\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]
좌변을 변형하면:
\[\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'}\]
대입하면:
\[m_e c \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'} = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]
양변에 \(\lambda\lambda'\)를 곱하면:
\[m_e c(\lambda' - \lambda) = h(1 - \cos\theta)\]
\[\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)}\]
검산
- \(\theta = 0\)인 경우: \(\lambda' - \lambda = 0\). 전방 산란에서는 파장 변화가 없어요. 광자가 스쳐 지나갈 뿐이므로 물리적으로 타당해요. ✓
- 차원 분석: \([h/(m_e c)] = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\). 파장의 차원이에요. ✓
- \(\theta = 180°\)인 경우: \(\Delta\lambda = 2h/(m_e c)\). 최대 파장 변화에요. 후방 산란에서 광자가 최대 에너지를 전자에 전달하므로 타당해요. ✓
A-2. 상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용
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상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용
(a) 상대론적 운동량의 유도
상대론적 에너지-운동량 관계:
\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
전자가 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}}\)로 가속되었을 때, 전체 에너지는:
\[E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\]
대입하여 \(p\)에 대해 풀면:
\[(m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
\[(pc)^2 = (m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\]
우변을 전개하면:
\[(m_e c^2)^2 + 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[p^2 c^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[\boxed{p = \frac{1}{c}\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]
(b) 상대론적 de Broglie 파장
\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]
분모에서 \(2m_e eV_{\mathrm{acc}}\)를 묶어내면:
\[p^2 = \frac{1}{c^2}\left[2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\right] = 2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\]
\[p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}\]
따라서:
\[\boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}}\]
비상대론적 극한(\(eV_{\mathrm{acc}} \ll m_e c^2\))에서는 괄호 안의 보정항을 무시할 수 있어, \(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}\)로 귀착돼요. ✓
(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV에서의 수치 계산
비상대론적 파장:
\[\lambda_{\mathrm{NR}} = \frac{1.226}{\sqrt{200{,}000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{447.2}\ \mathrm{nm} = 2.742 \times 10^{-3}\ \mathrm{nm} = 0.02742\ \mathrm{\AA}\]
상대론적 보정 인자:
\[eV_{\mathrm{acc}} = 200\ \mathrm{keV},\quad m_e c^2 = 511\ \mathrm{keV}\]
\[\frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = \frac{200}{2 \times 511} = \frac{200}{1022} = 0.1957\]
\[1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = 1.1957\]
상대론적 파장:
\[\lambda_{\mathrm{rel}} = \frac{\lambda_{\mathrm{NR}}}{\sqrt{1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}}} = \frac{0.02742}{\sqrt{1.1957}}\ \mathrm{\AA} = \frac{0.02742}{1.0935}\ \mathrm{\AA} = 0.02508\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{NR}} \approx 0.0274\ \mathrm{\AA},\quad \lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA}}\]
백분율 차이:
\[\frac{\lambda_{\mathrm{NR}} - \lambda_{\mathrm{rel}}}{\lambda_{\mathrm{rel}}} \times 100\% = \frac{0.0274 - 0.0251}{0.0251} \times 100\% \approx 9.2\%\]
비상대론적 식은 상대론적으로 올바른 값에 비해 약 9% 과대평가해요. 200 kV의 가속 전압에서는 상대론적 보정을 무시할 수 없어요.
(d) 원자 수준 구조의 관찰 가능성
\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV의 전자현미경에서 사용되는 전자의 de Broglie 파장은:
\[\lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA} = 2.51 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
원자 수준 구조의 크기는 \(\sim 1\) Å \(= 10^{-10}\) m이므로, 전자의 파장은 이보다 약 40배 짧아요.
회절 한계에 의한 분해능은 사용하는 파장 정도이므로, 파장의 관점에서는 원자 수준의 구조를 충분히 분해할 수 있어요. 실제 전자현미경에서는 렌즈의 수차 등으로 인해 이론적 한계보다 분해능이 떨어지지만, 최근의 수차 보정 기술을 통해 원자 분해능(\(\sim 1\) Å 이하)이 달성되고 있어요.
\[\boxed{\text{파장 } 0.025\ \mathrm{\AA} \ll 1\ \mathrm{\AA} \text{ 이므로, 원자 수준의 관찰은 원리적으로 충분히 가능.}}\]
검산
- 비상대론적 극한의 확인: \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2) = 0.196\)은 무시할 수 없는 크기이며, 상대론적 보정이 필요하다는 것과 정합해요.
- \(V_{\mathrm{acc}} \to 0\)의 극한: 보정 인자 \(\to 1\)로 비상대론적 공식에 귀착돼요. ✓
- 파장의 크기 정도: 200 kV 전자현미경의 파장이 \(\sim 0.025\) Å라는 것은 전자현미경 교과서의 값과 일치해요. ✓