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제 2 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Compton (콤프턴) 산란에서 입사 X선의 파장이 nm일 때, 산란각 (후

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문제:

Compton (콤프턴) 산란에서 입사 X선의 파장이 \(\lambda = 0.0711\) nm라고 해요. 산란각 \(\theta = 180°\) (후방 산란)일 때, 산란 후의 X선의 파장 \(\lambda'\)를 구하세요. Compton 파장 \(h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m을 사용해도 좋아요.

Compton 산란: 후방산란(\(\theta = 180°\))에서의 산란 파장

풀이 방침:

Compton 산란 공식 \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\)에 \(\theta = 180°\)를 대입해요.

계산:

\[\cos 180° = -1\]
\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - (-1)) = 2 \times \frac{h}{m_e c} = 2 \times 2.43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[\lambda' = \lambda + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 0.0711 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[= 71.1 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 75.96 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]

최종 답:

\[\boxed{\lambda' \approx 0.0760\ \mathrm{nm}}\]

검산:

파장 변화 \(\Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12}\) m는 Compton 파장의 2배이며, 이는 후방산란에서의 최대 파장 변화에 해당해요. 원래 파장 \(71.1\) pm에 대해 약 6.8%의 변화이며, X선 실험에서 충분히 측정 가능한 값이에요. 타당해요.

B-2. Compton 산란의 식 (2.1)에서 산란각일 때의 파장 변화를 구하라

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문제:

Compton 산란의 식 (2.1)에서 산란각 \(\theta = 60°\)일 때의 파장 변화 \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\)를 구하세요.

Compton 산란: \(\theta = 60°\) 에서의 파장 변화

계산:

\[\cos 60° = 0.5\]
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0.5) = 2.43 \times 10^{-12} \times 0.5\]

최종 답:

\[\boxed{\Delta\lambda = 1.22 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 1.22\ \mathrm{pm}}\]

검산:

\(\theta = 60°\) 는 \(\theta = 90°\)（\(\Delta\lambda = \lambda_C\)）와 \(\theta = 0°\)（\(\Delta\lambda = 0\)）의 중간이에요. \(\Delta\lambda = \lambda_C / 2\) 는 Compton 파장의 절반이며, 타당해요.

B-3. 질량 kg의 양성자가 속도 m/s로 운동하고 있을 때, de Broglie 파장을 구하라

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문제:

질량 \(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg의 양성자가 속도 \(v = 3.0 \times 10^{4}\) m/s로 운동하고 있을 때, de Broglie 파장 \(\lambda = h/(mv)\)를 구하세요.

양성자의 de Broglie 파장

계산:

\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4}\]

분모：

\[mv = 1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4 = 5.01 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
\[\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-23}} = 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]

최종 답:

\[\boxed{\lambda \approx 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.132\ \mathrm{\AA}}\]

검산:

차원 확인：\([h]/([m][v]) = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\)。✓ 값은 원자 간격(수 Å)보다 짧고, 양성자는 전자보다 무거우므로 파장이 짧은 것은 타당해요.

B-4. 가속전압 V로 가속된 전자의 de Broglie 파장을 간편 공식으로 구하기

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문제:

가속전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V로 가속된 전자의 de Broglie 파장을, 간편 공식

\[ \lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]

을 이용하여 구하세요. 또한, 그 값을 Å(옹스트롬) 단위로 환산하세요.

가속전압 200 V에서 전자의 de Broglie 파장

계산:

\[\sqrt{200} = \sqrt{4 \times 50} = 2\sqrt{50} = 2 \times 7.071 = 14.14\]
\[\lambda \approx \frac{1.226}{14.14}\ \mathrm{nm} = 0.0867\ \mathrm{nm}\]

Å 단위로의 환산:

\[\lambda = 0.0867\ \mathrm{nm} \times 10\ \mathrm{\AA/nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}\]

최종 답:

\[\boxed{\lambda \approx 0.0867\ \mathrm{nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}}\]

검산:

\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V에서 \(\lambda \approx 1.00\) Å(본문). \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V는 150 V보다 크므로 파장은 짧아져야 해요. \(1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.100\) nm = 1.00 Å. 200 V에서는 0.867 Å < 1.00 Å. ✓

B-5. 전자(질량 kg)가 가속 전압 V로 가속되었을 때, 전자의 속도를 식 (2.9)

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문제:

전자(질량 \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg)가 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V로 가속되었을 때, 전자의 속도 \(v\)를 식 (2.9)

\[ \frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

로부터 구하세요. 단, \(e = 1.602 \times 10^{-19}\) C로 해요.

가속전압 54 V로 가속된 전자의 속도

계산:

\[v = \sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}\]

분자：

\[2eV_{\mathrm{acc}} = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 54 = 1.730 \times 10^{-17}\ \mathrm{J}\]
\[\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} = \frac{1.730 \times 10^{-17}}{9.109 \times 10^{-31}} = 1.899 \times 10^{13}\ \mathrm{m^2/s^2}\]
\[v = \sqrt{1.899 \times 10^{13}} = 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}\]

최종 답:

\[\boxed{v \approx 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}}\]

검산:

\(v/c = 4.36 \times 10^6 / 3.0 \times 10^8 \approx 0.015\). 비상대론적 근사는 타당해요. 본문에서 \(V_{\mathrm{acc}} = 100\) V일 때 \(v \approx 5.93 \times 10^6\) m/s예요. \(v \propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)이므로 \(v(54\mathrm{V})/v(100\mathrm{V}) = \sqrt{54/100} = 0.735\). \(5.93 \times 10^6 \times 0.735 = 4.36 \times 10^6\). ✓

B-6. Bragg (브래그) 조건에서 결정면 간격 Å, 입사각, 차수일 때 회절하는 파의 파장

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문제:

Bragg (브래그) 조건 \(2d\sin\theta = n\lambda\) 에서, 결정면 간격 \(d = 0.91\) Å, 입사각 \(\theta = 65°\), 차수 \(n = 1\) 일 때, 회절하는 파의 파장 \(\lambda\) 를 Å 단위로 구하세요.

Bragg 조건으로부터 파장 구하기

계산:

\[\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n} = \frac{2 \times 0.91 \times \sin 65°}{1}\]
\[\sin 65° \approx 0.906\]
\[\lambda = 2 \times 0.91 \times 0.906 = 1.649\ \mathrm{\AA}\]

최종 답:

\[\boxed{\lambda \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]

검산:

이 값은 Davisson-Germer 실험에서 얻어진 전자의 파장(\(\sim 1.65\) Å)과 같은 정도이며, 결정 회절에서 관측 가능한 범위에 해당해요. \(\lambda < 2d = 1.82\) Å 인 것도 Bragg 조건의 요구를 만족해요. ✓

B-7. 운동에너지 eV인 중성자(질량 kg)의 de Broglie 파장을 구하라. 단, J로 한다

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문제:

운동에너지 \(K = 1.0\) eV인 중성자(질량 \(m_n = 1.675 \times 10^{-27}\) kg)의 de Broglie 파장을 구하세요. 단, \(1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\) J로 해요.

운동 에너지 1.0 eV인 중성자의 de Broglie 파장

계산:

운동 에너지를 J로 변환해요:

\[K = 1.0\ \mathrm{eV} = 1.0 \times 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\]

운동량:

\[p = \sqrt{2m_n K} = \sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19}}\]
\[= \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{53.67 \times 10^{-47}} = 7.326 \times 10^{-23.5}\]

좀 더 정밀하게 계산해요:

\[2m_n K = 2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} = 5.367 \times 10^{-46}\ \mathrm{kg^2 \cdot m^2/s^2}\]
\[p = \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{5.367} \times 10^{-23} = 2.317 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]

de Broglie 파장:

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.317 \times 10^{-23}} = 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]

최종 답:

\[\boxed{\lambda \approx 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.286\ \mathrm{\AA}}\]

검산:

1 eV의 중성자는 「열중성자」（\(\sim 0.025\) eV）보다 고에너지이므로 파장이 짧아야 해요. 열중성자의 파장은 \(\sim 1.8\) Å이에요. \(\lambda \propto 1/\sqrt{K}\)이므로 \(\lambda(1\mathrm{eV})/\lambda(0.025\mathrm{eV}) = \sqrt{0.025/1} = 0.158\)이에요. \(1.8 \times 0.158 \approx 0.28\) Å. ✓

B-8. de Broglie의 관계식을 각진동수 ω와 파수 k로 표현한 식 E = ℏω 및 p = ℏk를 이용하여

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문제:

de Broglie의 관계식을 각진동수 \(\omega\)와 파수 \(k\)로 표현한 식 \(E = \hbar\omega\) 및 \(p = \hbar k\)를 이용하여, 파장 \(\lambda = 2.0\) Å인 전자에 대응하는 파수 \(k\)를 SI 단위(m\(^{-1}\))로 구하세요.

파장 2.0 Å 의 전자에 대응하는 파수 \(k\)

계산:

\[\lambda = 2.0\ \mathrm{\AA} = 2.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}\]
\[k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2.0 \times 10^{-10}} = \frac{6.283}{2.0 \times 10^{-10}} = 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}\]

최종 답:

\[\boxed{k \approx 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}}\]

검산:

\(p = \hbar k = 1.055 \times 10^{-34} \times 3.14 \times 10^{10} = 3.31 \times 10^{-24}\) kg·m/s。\(\lambda = h/p = 6.626 \times 10^{-34} / 3.31 \times 10^{-24} = 2.0 \times 10^{-10}\) m = 2.0 Å。✓

Medium（표준）

M-1. 가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도

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문제:

가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도

전자(질량 \(m_e\), 전하 \(e\))가 정지 상태에서 전압 \(V_{\mathrm{acc}}\)로 가속될 때, 아래의 절차에 따라 de Broglie 파장이

\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

로 표현됨을 유도하세요.

(a) 에너지 보존으로부터 전자의 운동량 \(p\)를 \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\)로 나타내세요.

(b) de Broglie 관계식 \(\lambda = h/p\)에 대입하여 위 식을 얻으세요.

(c) 상수를 수치 대입하여 \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) nm가 됨을 확인하세요.

가속전압과 de Broglie 파장의 관계식 유도

(a) 운동량 \(p\)를 \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\)로 나타내기:

에너지 보존 법칙에 의해, 정지 상태에서 가속전압 \(V_{\mathrm{acc}}\)로 가속된 전자의 운동 에너지는:

\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

운동량 \(p = m_e v\)를 사용하면 \(\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{p^2}{2m_e}\)이므로:

\[\frac{p^2}{2m_e} = eV_{\mathrm{acc}}\]
\[\boxed{p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

(b) de Broglie 파장의 유도:

de Broglie 관계식 \(\lambda = h/p\)에 (a)의 결과를 대입하면:

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}}\]

(c) 수치 대입을 통한 간편 공식의 확인:

상수 부분을 계산해요:

\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19}}}\]

분모 안의 값:

\[2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.919 \times 10^{-49}\]
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = \sqrt{2.919} \times 10^{-24.5} = 1.709 \times 10^{-24.5}\]

여기서 \(10^{-24.5} = 10^{-25} \times \sqrt{10} = 3.162 \times 10^{-25}\)이므로:

\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = 1.709 \times 3.162 \times 10^{-25} = 5.403 \times 10^{-25}\]
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.403 \times 10^{-25}} = 1.226 \times 10^{-9}\ \mathrm{m \cdot V^{1/2}}\]

따라서:

\[\lambda = \frac{1.226 \times 10^{-9}}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{m} = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}}\]

검산:

\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V일 때 \(\lambda = 1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.1001\) nm = 1.00 Å. 본문의 예시와 일치해요. ✓

M-2. Davisson-Germer 실험의 재현 계산

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문제:

Davisson-Germer 실험의 재현 계산

Davisson-Germer 실험에서는 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V로 가속된 전자를 니켈 단결정(표면 원자 간격 \(d = 2.15\) Å)에 입사시켜, 산란각 \(\phi = 50°\)에서 강한 회절 피크를 관측했어요.

(a) 식 (2.12)를 이용하여, 54 V로 가속된 전자의 de Broglie 파장 \(\lambda_{\mathrm{dB}}\)를 구하세요.

(b) 회절 조건 \(d\sin\phi = n\lambda\)에 \(n = 1\), \(\phi = 50°\)를 대입하여, 실험으로부터 얻어지는 파장 \(\lambda_{\mathrm{exp}}\)를 구하세요.

(c) \(\lambda_{\mathrm{dB}}\)와 \(\lambda_{\mathrm{exp}}\)를 비교하고, de Broglie 가설의 타당성을 논하세요.

Davisson-Germer 실험의 재현 계산

(a) de Broglie 파장의 계산:

식 (2.12)를 사용해요:

\[\lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{1.226}{\sqrt{54}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{7.348}\ \mathrm{nm} = 0.1668\ \mathrm{nm} = 1.668\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\ \mathrm{\AA}}\]

(b) 회절 조건으로부터 얻어지는 파장:

회절 조건 \(d\sin\phi = n\lambda\)에 \(d = 2.15\) Å, \(\phi = 50°\), \(n = 1\)을 대입해요:

\[\lambda_{\mathrm{exp}} = d\sin\phi = 2.15 \times \sin 50° = 2.15 \times 0.766 = 1.647\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]

(c) 비교와 고찰:

두 값의 차이:

\[\frac{|\lambda_{\mathrm{dB}} - \lambda_{\mathrm{exp}}|}{\lambda_{\mathrm{dB}}} \times 100\% = \frac{|1.67 - 1.65|}{1.67} \times 100\% \approx 1.2\%\]

de Broglie 가설로부터 예측되는 파장 \(\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\) Å과, 회절 실험으로부터 측정되는 파장 \(\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\) Å은 약 1%의 차이로 일치해요. 이 정도의 차이는 실험의 측정 정밀도(각도 읽기 오차, 결정면 간격의 불확실성 등)의 범위 내이며, de Broglie의 물질파 가설 \(\lambda = h/p\)이 실험적으로 확인되었다고 결론지을 수 있어요.

검산:

미세한 차이의 원인으로, 전자가 결정 내부에 들어갈 때의 내부 퍼텐셜에 의한 굴절 효과(가속 전압의 보정)를 생각할 수 있어요. 실제 정밀한 분석에서는 이 보정을 포함하면 더욱 좋은 일치를 얻을 수 있어요.

M-3. Compton 산란 공식의 구조 분석

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문제:

Compton 산란 공식의 구조 분석

Compton 산란의 공식

\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

에 대해 다음 물음에 답하세요.

(a) \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) 가 취할 수 있는 값의 범위를 \(\theta\) 의 함수로서 구하세요（\(0 \le \theta \le 180°\)）.

(b) 산란되는 상대가 전자가 아니라 양성자（질량 \(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg）인 경우의 Compton 파장 \(h/(m_p c)\) 을 계산하고, 전자의 경우와 비교하세요.

(c) (b)의 결과로부터, "Compton 산란의 파장 변화는 가벼운 입자일수록 크다"는 것을 설명하세요.

Compton 산란 공식의 구조 분석

(a) \(\Delta\lambda\) 가 취할 수 있는 값의 범위:

\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

\(0 \le \theta \le 180°\) 범위에서 \(\cos\theta\) 는 \(+1\) 에서 \(-1\) 까지 변화하므로, \((1 - \cos\theta)\) 는 \(0\) 에서 \(2\) 까지 변화해요.

\[\boxed{0 \le \Delta\lambda \le \frac{2h}{m_e c} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}}\]
  • \(\theta = 0°\)（전방 산란）：\(\Delta\lambda = 0\)（파장 변화 없음）
  • \(\theta = 90°\)：\(\Delta\lambda = h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m
  • \(\theta = 180°\)（후방 산란）：\(\Delta\lambda = 2h/(m_e c) = 4.86 \times 10^{-12}\) m（최대）

(b) 양성자의 Compton 파장:

\[\frac{h}{m_p c} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^8}\]
\[= \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.015 \times 10^{-19}} = 1.321 \times 10^{-15}\ \mathrm{m}\]
\[\boxed{\frac{h}{m_p c} \approx 1.32 \times 10^{-15}\ \mathrm{m} = 1.32\ \mathrm{fm}}\]

전자의 Compton 파장과의 비：

\[\frac{h/(m_e c)}{h/(m_p c)} = \frac{m_p}{m_e} = \frac{1.673 \times 10^{-27}}{9.109 \times 10^{-31}} \approx 1836\]

양성자의 Compton 파장은 전자의 약 \(1/1836\) 배이며, 전자의 경우（\(2.43\) pm）에 비해 약 1840분의 1 크기（\(1.32\) fm）예요.

(c) "가벼운 입자일수록 파장 변화가 크다"는 것의 설명:

Compton 산란의 파장 변화는：

\[\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\]

여기서 \(h/(mc)\) 는 산란 상대 입자의 질량 \(m\) 에 반비례해요. 따라서：

  • 질량이 작은 입자（전자）와 산란하는 경우：Compton 파장이 크고, 파장 변화도 커요
  • 질량이 큰 입자（양성자）와 산란하는 경우：Compton 파장이 작고, 파장 변화도 작아요

물리적으로는, 가벼운 입자일수록 광자로부터 운동량을 받아 크게 반동하기 때문에, 광자가 잃는 에너지（＝파장의 증가）가 커져요. 반대로, 매우 무거운 입자（\(m \to \infty\)）에서는 \(\Delta\lambda \to 0\) 이 되어, 고전적인 Thomson 산란（파장 변화 없음）으로 귀착돼요.

검산:

\(m \to \infty\) 의 극한에서 \(\Delta\lambda \to 0\) 은, 무거운 벽에 공을 던지면 거의 같은 속도로 튕겨 나온다（에너지 변화 없음）는 고전적 직관과 일치해요. ✓

M-4. Bragg 조건을 이용한 전자선 회절 해석

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문제:

Bragg 조건을 이용한 전자선 회절 해석

G. P. Thomson (G. P. 톰슨)의 실험을 모사한 상황을 생각해요. 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V로 가속된 전자를 면간격 \(d = 2.34\) Å인 알루미늄 결정에 입사시켜요.

(a) 전자의 de Broglie 파장을 구하세요.

(b) Bragg 조건 \(2d\sin\theta = n\lambda\)를 이용하여, \(n = 1\)인 회절이 일어나는 입사각 \(\theta\)를 구하세요.

(c) 가속 전압을 2배(\(20{,}000\) V)로 했을 때, \(n = 1\)의 회절각 \(\theta\)는 어떻게 변하나요? 정성적으로 설명한 후, 구체적인 값을 구하세요.

G. P. Thomson의 실험을 모방한 전자선 회절 해석

(a) 전자의 de Broglie 파장:

\[\lambda = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{\sqrt{10000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{100}\ \mathrm{nm} = 0.01226\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda = 0.1226\ \mathrm{\AA}}\]

(b) \(n = 1\)의 회절각 \(\theta\):

Bragg 조건 \(2d\sin\theta = n\lambda\)로부터:

\[\sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} = \frac{1 \times 0.1226}{2 \times 2.34} = \frac{0.1226}{4.68} = 0.02620\]
\[\theta = \arcsin(0.02620) \approx 1.50°\]

\(\sin\theta \approx 0.0262\)는 충분히 작으므로, 소각 근사 \(\sin\theta \approx \theta\) (라디안)도 사용할 수 있어요: \(\theta \approx 0.0262\) rad \(= 1.50°\).

\[\boxed{\theta \approx 1.50°}\]

(c) 가속 전압을 20,000 V로 한 경우:

정성적 설명: \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)이므로, 가속 전압을 2배로 하면 파장은 \(1/\sqrt{2}\)배가 돼요. Bragg 조건 \(\sin\theta = \lambda/(2d)\)에 의해 \(\sin\theta\)도 \(1/\sqrt{2}\)배가 되므로, 회절각은 작아져요.

구체적인 계산:

\[\lambda' = \frac{1.226}{\sqrt{20000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{141.4}\ \mathrm{nm} = 0.008671\ \mathrm{nm} = 0.08671\ \mathrm{\AA}\]
\[\sin\theta' = \frac{0.08671}{2 \times 2.34} = \frac{0.08671}{4.68} = 0.01853\]
\[\theta' = \arcsin(0.01853) \approx 1.06°\]
\[\boxed{\theta' \approx 1.06°}\]

확인: \(\theta'/\theta = 1.06°/1.50° = 0.707 = 1/\sqrt{2}\) (소각 근사가 성립하는 범위에서는 \(\theta \propto \lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)). ✓

검산:

고에너지 전자일수록 파장이 짧고 회절각이 작아지는 것은 물리적으로 타당해요. G. P. Thomson의 실험에서는 수만 V의 가속 전압을 사용하여 작은 각도에서 회절 고리를 관측했으며, 이 계산 결과와 부합해요.

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A-1. Compton 산란 공식의 유도

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문제:

Compton 산란 공식의 유도

파장 \(\lambda\)의 X선 광자가 정지해 있는 전자(질량 \(m_e\))에 충돌하는 경우를 생각해요. 산란 후 광자의 파장을 \(\lambda'\), 산란각을 \(\theta\), 반동 전자의 운동량의 크기를 \(p_e\), 반동각(입사 방향과 전자의 운동 방향이 이루는 각)을 \(\varphi\)라 해요.

아래의 절차에 따라 Compton 산란 공식

\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

을 유도하세요. 광자의 에너지는 \(E = pc\)(질량이 0인 입자의 상대론적 관계), 전자의 에너지는 상대론적으로 \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\)로 주어져요.

(a) 에너지 보존 법칙을 써 보세요. 입사 광자의 에너지를 \(h c/\lambda\), 산란 후 광자의 에너지를 \(h c/\lambda'\), 반동 전자의 정지 에너지를 \(m_e c^2\)로 표현하세요.

(b) 운동량 보존 법칙을 입사 방향(\(x\) 방향)과 수직 방향(\(y\) 방향)의 2개 성분으로 나누어 써 보세요.

(c) (b)의 2개 식에서 반동각 \(\varphi\)를 소거하고, \(p_e^2\)를 \(\lambda\), \(\lambda'\), \(\theta\)로 나타내세요.

(d) (a)의 에너지 보존으로부터 \(p_e^2 c^2\)를 \(\lambda\), \(\lambda'\)로 나타내고, (c)의 결과와 같다고 놓음으로써 Compton 산란 공식을 유도하세요.

Compton 산란 공식의 유도

(a) 에너지 보존 법칙:

입사 광자의 에너지는 \(hc/\lambda\), 산란 후 광자의 에너지는 \(hc/\lambda'\)이에요. 전자는 처음에 정지해 있으므로 초기 에너지는 정지 에너지 \(m_e c^2\)뿐이에요. 산란 후 전자의 에너지는 \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\)이에요.

에너지 보존 법칙:

\[\boxed{\frac{hc}{\lambda} + m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}} \tag{A1.1}\]

(b) 운동량 보존 법칙:

입사 방향을 \(x\) 축, 그에 수직인 방향을 \(y\) 축으로 해요. 입사 광자의 운동량은 \(h/\lambda\)(\(x\) 방향)이에요. 산란 후 광자는 각도 \(\theta\) 방향으로 진행하고, 반동 전자는 각도 \(\varphi\) 방향으로 진행해요.

\(x\) 성분:

\[\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\theta + p_e\cos\varphi \tag{A1.2}\]

\(y\) 성분:

\[0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta - p_e\sin\varphi \tag{A1.3}\]

(c) \(\varphi\)의 소거와 \(p_e^2\)의 유도:

식 (A1.2)를 변형하면:

\[p_e\cos\varphi = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta \tag{A1.4}\]

식 (A1.3)을 변형하면:

\[p_e\sin\varphi = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta \tag{A1.5}\]

(A1.4)와 (A1.5)를 각각 제곱하여 더하면(\(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\)을 이용):

\[p_e^2 = \left(\frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\right)^2\]

전개하면:

\[p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2\cos^2\theta}{\lambda'^2} + \frac{h^2\sin^2\theta}{\lambda'^2}\]
\[= \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{\lambda'^2}\]
\[\boxed{p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda'^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}} \tag{A1.6}\]

(d) 에너지 보존으로부터 \(p_e^2 c^2\)를 구하여 Compton 공식을 유도:

식 (A1.1)을 변형하여 반동 전자의 에너지를 좌변에 모으면:

\[\sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\]

양변을 제곱하면:

\[(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\right)^2\]

우변을 전개해요. \(A = hc/\lambda - hc/\lambda'\), \(B = m_e c^2\)로 놓으면:

\[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]
\[p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)m_e c^2 + m_e^2 c^4\]

\(m_e^2 c^4\)가 양변에서 소거되어:

\[p_e^2 c^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2m_e c^2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)\]

좌변의 \(A^2\)를 전개하면:

\[\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\]

따라서:

\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) \tag{A1.7}\]

한편, (A1.6)에 \(c^2\)를 곱하면:

\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right) \tag{A1.8}\]

(A1.7)과 (A1.8)을 같다고 놓으면:

\[h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right)\]

양변에서 \(h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\)를 소거하면:

\[-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'} + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\]

이항하면:

\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\]
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

양변을 \(2hc^2\)로 나누면:

\[m_e c\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

좌변을 변형하면:

\[\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'}\]

대입하면:

\[m_e c \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'} = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

양변에 \(\lambda\lambda'\)를 곱하면:

\[m_e c(\lambda' - \lambda) = h(1 - \cos\theta)\]
\[\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)}\]

검산:

  • \(\theta = 0\)인 경우: \(\lambda' - \lambda = 0\). 전방 산란에서는 파장 변화가 없어요. 광자가 스쳐 지나갈 뿐이므로 물리적으로 타당해요. ✓
  • 차원 분석: \([h/(m_e c)] = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\). 파장의 차원이에요. ✓
  • \(\theta = 180°\)인 경우: \(\Delta\lambda = 2h/(m_e c)\). 최대 파장 변화에요. 후방 산란에서 광자가 최대 에너지를 전자에 전달하므로 타당해요. ✓

A-2. 상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용

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문제:

상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용

본 장의 식 (2.11)은 비상대론적 근사(\(v \ll c\))에 기초하고 있어요. 가속 전압이 매우 높은 경우(예를 들어 전자현미경에서 사용되는 \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV), 전자의 운동 에너지가 정지 에너지 \(m_e c^2 \approx 511\) keV와 비교하여 무시할 수 없게 되어 상대론적 보정이 필요해요.

(a) 상대론적 에너지와 운동량의 관계

\[ E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

에서, 전체 에너지가 \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\)(정지 에너지 + 운동 에너지)인 것을 이용하여, 운동량 \(p\)를 \(m_e\), \(c\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\)로 나타내세요.

(b) 상대론적 de Broglie 파장이 $$

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}$$

와 같이 쓸 수 있음을 보이세요.

(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV일 때, 비상대론적 식 (2.11)에 의한 파장과 (b)의 상대론적 파장을 각각 수치로 구하고, 양자의 차이를 백분율로 평가하세요.

(d) 전자현미경의 분해능은 대략 사용하는 파장 정도라고 해요. \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV의 전자현미경으로 원자 수준의 구조(\(\sim 1\) Å)를 관찰할 수 있는지 논하세요.

상대론적 전자의 de Broglie 파장과 전자현미경에의 응용

(a) 상대론적 운동량의 유도:

상대론적 에너지-운동량 관계:

\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

전자가 가속 전압 \(V_{\mathrm{acc}}\)로 가속되었을 때, 전체 에너지는:

\[E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\]

대입하여 \(p\)에 대해 풀면:

\[(m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
\[(pc)^2 = (m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\]

우변을 전개하면:

\[(m_e c^2)^2 + 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[p^2 c^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[\boxed{p = \frac{1}{c}\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]

(b) 상대론적 de Broglie 파장:

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]

분모에서 \(2m_e eV_{\mathrm{acc}}\)를 묶어내면:

\[p^2 = \frac{1}{c^2}\left[2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\right] = 2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\]
\[p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}\]

따라서:

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}}\]

비상대론적 극한(\(eV_{\mathrm{acc}} \ll m_e c^2\))에서는 괄호 안의 보정항을 무시할 수 있어, \(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}\)로 귀착돼요. ✓

(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV에서의 수치 계산:

비상대론적 파장:

\[\lambda_{\mathrm{NR}} = \frac{1.226}{\sqrt{200{,}000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{447.2}\ \mathrm{nm} = 2.742 \times 10^{-3}\ \mathrm{nm} = 0.02742\ \mathrm{\AA}\]

상대론적 보정 인자:

\[eV_{\mathrm{acc}} = 200\ \mathrm{keV},\quad m_e c^2 = 511\ \mathrm{keV}\]
\[\frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = \frac{200}{2 \times 511} = \frac{200}{1022} = 0.1957\]
\[1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = 1.1957\]

상대론적 파장:

\[\lambda_{\mathrm{rel}} = \frac{\lambda_{\mathrm{NR}}}{\sqrt{1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}}} = \frac{0.02742}{\sqrt{1.1957}}\ \mathrm{\AA} = \frac{0.02742}{1.0935}\ \mathrm{\AA} = 0.02508\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{NR}} \approx 0.0274\ \mathrm{\AA},\quad \lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA}}\]

백분율 차이:

\[\frac{\lambda_{\mathrm{NR}} - \lambda_{\mathrm{rel}}}{\lambda_{\mathrm{rel}}} \times 100\% = \frac{0.0274 - 0.0251}{0.0251} \times 100\% \approx 9.2\%\]

비상대론적 식은 상대론적으로 올바른 값에 비해 약 9% 과대평가해요. 200 kV의 가속 전압에서는 상대론적 보정을 무시할 수 없어요.

(d) 원자 수준 구조의 관찰 가능성:

\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV의 전자현미경에서 사용되는 전자의 de Broglie 파장은:

\[\lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA} = 2.51 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]

원자 수준 구조의 크기는 \(\sim 1\) Å \(= 10^{-10}\) m이므로, 전자의 파장은 이보다 약 40배 짧아요.

회절 한계에 의한 분해능은 사용하는 파장 정도이므로, 파장의 관점에서는 원자 수준의 구조를 충분히 분해할 수 있어요. 실제 전자현미경에서는 렌즈의 수차 등으로 인해 이론적 한계보다 분해능이 떨어지지만, 최근의 수차 보정 기술을 통해 원자 분해능(\(\sim 1\) Å 이하)이 달성되고 있어요.

\[\boxed{\text{파장 } 0.025\ \mathrm{\AA} \ll 1\ \mathrm{\AA} \text{ 이므로, 원자 수준의 관찰은 원리적으로 충분히 가능.}}\]

검산:

  • 비상대론적 극한의 확인: \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2) = 0.196\)은 무시할 수 없는 크기이며, 상대론적 보정이 필요하다는 것과 정합해요.
  • \(V_{\mathrm{acc}} \to 0\)의 극한: 보정 인자 \(\to 1\)로 비상대론적 공식에 귀착돼요. ✓
  • 파장의 크기 정도: 200 kV 전자현미경의 파장이 \(\sim 0.025\) Å라는 것은 전자현미경 교과서의 값과 일치해요. ✓