제 7 장 연습문제¶
목차
Basic（기초）
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 사다리 연산자의 교환 관계¶
사다리 연산자(승강 연산자)
\(\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right), \qquad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\)
를 정준 교환 관계 \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) 만을 사용하여 곱 \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\) 와 \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\) 를 전개하고,
\([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1, \qquad \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\)
를 직접 계산으로 확인하세요.
힌트
\(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \frac{m\omega}{2\hbar}(\hat{x}^2 + \hat{p}^2/(m\omega)^2 - i[\hat{x},\hat{p}]/(m\omega))\) 를 정성껏 전개하고, \([\hat{x},\hat{p}] = i\hbar\) 를 대입해요. \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\) 와의 차이가 1이 되는 것, 그리고 합이 해밀토니안의 형태가 되는 것을 모두 확인하세요.
→ 풀이 보기
Medium（표준）¶
M-1. 해밀토니안과 사다리 연산자의 교환 관계¶
교환자의 항등식 \([\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}\) 와 문제 7.1의 결과 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\) 을 사용하여,
\([\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = +\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger, \qquad [\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\,\hat{a}\)
를 유도하세요. 여기서, \(\hat{H}|n\rangle = E_n|n\rangle\) 이면 \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) 은 에너지 \(E_n + \hbar\omega\) 의 고유상태이고, \(\hat{a}|n\rangle\) 은 에너지 \(E_n - \hbar\omega\) 의 고유상태임을 보이세요.
힌트
\(\hat{H} = \hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2)\) 에 대해 \([\hat{a}^\dagger\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] + [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger]\hat{a} = \hat{a}^\dagger\) 를 사용해요. 이어서 \(\hat{H}(\hat{a}^\dagger|n\rangle) = (\hat{a}^\dagger\hat{H} + [\hat{H}, \hat{a}^\dagger])|n\rangle\) 을 전개하세요.
→ 풀이 보기
M-2. 규격화된 승강 작용¶
\(\hat{a}|0\rangle = 0\) 와 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\) 만으로부터, 다음의 규격화된 승강 작용을 도출하세요:
\(\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \qquad \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle\)
나아가, 바닥상태 \(|0\rangle\) 에서 출발하여
\(|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\)
의 규격화가 올바른지 확인하세요.
힌트
\(\|\hat{a}^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n|\hat{a}\hat{a}^\dagger|n\rangle\) 를 계산하기 위해 \(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger\hat{a} + 1 = \hat{N} + 1\) 을 사용해요. \(\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle\) 이므로 \(\|\hat{a}^\dagger|n\rangle\|^2 = n + 1\) 이 돼요. 이것이 \(\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle\) 의 규격화 상수를 줘요. \(\hat{a}|n\rangle\) 쪽도 마찬가지예요.
→ 풀이 보기
M-3. Schrödinger 방정식이 Lorentz 공변이 아닌 이유¶
(a) 자유 입자의 Schrödinger 방정식 \(i\hbar\,\partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\partial_x^2\, \psi\) 의 좌변이 시간의 1계 미분, 우변이 공간의 2계 미분을 포함하는 것을 확인하세요.
(b) Minkowski 계량 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\) 하에서 Lorentz 스칼라가 되는 미분 연산자는 \(\partial^\mu\partial_\mu = -c^{-2}\partial_t^2 + \nabla^2\) (d'Alembertian)이며, 시간과 공간의 미분 계수(차수)가 일치해야 하는 이유를 설명하세요.
(c) Schrödinger 방정식을 Lorentz 공변으로 만드는 자연스러운 후보로서, \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 를 연산자화한 Klein-Gordon 방정식
\(\left(-\frac{1}{c^2}\partial_t^2 + \nabla^2 - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0\)
을 써 내리고, 이것이 시간의 2계 미분을 포함하는 것을 확인하세요. 이 「2계」라는 점이 음의 에너지 해의 출현에 직결된다는 것을 정성적으로 서술하세요.
힌트
(b) Lorentz 변환은 시간과 공간을 섞으므로, 시간의 \(n\) 계 미분이 공간의 \(m\) 계 미분과 바뀔 수 있어요. 계수가 맞지 않으면 변환 후에 방정식의 형태가 달라져 버려요. (c) 평면파 \(e^{-iEt/\hbar + ipx/\hbar}\) 를 대입하면 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 가 돼요. \(E\) 에 대한 2차 방정식이므로 \(E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\) 의 두 해가 존재해요. 음의 가지가 음의 에너지 해예요.
→ 풀이 보기
Advanced（발전）¶
A-1. 무한 개의 조화진동자와 끈의 영점 에너지¶
끈이론에서는 끈의 각 진동 모드(모드 번호 \(n = 1, 2, 3, \ldots\))가 독립적인 조화진동자로 행동하며, 각 모드의 각진동수는 \(\omega_n = n\,\omega_1\)로 정수배가 돼요(\(\omega_1\)은 기본 진동의 각진동수).
(a) 각 모드의 영점 에너지가 \(\hbar\omega_n/2 = n\hbar\omega_1/2\)임을 제7.4절의 결과로부터 설명하세요.
(b) 전체 영점 에너지가 형식적으로
\(E_{\text{zero}} = \frac{\hbar\omega_1}{2}\sum_{n = 1}^{\infty} n\)
가 됨을 보이세요. 이 합이 발산함을 확인하세요.
(c) 제타 함수 정칙화에서는 \(\sum_{n = 1}^{\infty} n\)을 \(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\)로 대체해요. 이 처방 하에서 \(E_{\text{zero}}\)를 평가하고, 결과가 음수가 됨을 보이세요. 이것이 제 14 장에서 다루는 보손 끈의 임계 차원 \(D = 26\)의 기원 중 하나임을 주석으로 기술하세요.
힌트
(a) 제7.4절에서 유도한 \(E_0 = \hbar\omega/2\)에서 \(\omega \to \omega_n = n\omega_1\)로 대체하기만 하면 돼요. (b) 합을 명시적으로 써 내려가세요. (c) 제타 함수 정칙화는 "발산하는 합에 해석적 연속을 통해 유한한 값을 대응시키는" 처방이에요. 수학적인 엄밀성은 Appendix(또는 「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 6 장의 재규격화)에 맡기지만, 여기서는 처방을 받아들이고 대입하면 돼요. \(E_{\text{zero}} = -\hbar\omega_1/24\).
→ 풀이 보기
A-2. 영점 에너지의 발산 급수와 임계 차원 D = 26¶
보손 끈의 각 횡진동 모드(\(D - 2\)개의 횡방향 자유도, 모드 번호 \(n = 1, 2, 3, \ldots\))는 독립적인 조화 진동자로 행동해요. 전체 영점 에너지는
와 같이 형식적으로 쓸 수 있어요(\(\omega_1\)은 기본 모드의 각진동수).
(a) 이 급수가 발산함을 확인한 후, 제타 함수 정칙화 \(\sum_{n=1}^{\infty} n \to \zeta(-1) = -\frac{1}{12}\)를 적용하여 \(E_{\text{zero}}\)를 유한한 값으로 표현하세요.
(b) 광원뿔 양자화에서, 질량 껍질 조건(Virasoro 구속 \(L_0 = 1\))으로부터 바닥 상태의 질량이
로 구해짐을 보이세요(여기서 정칙화된 영점 에너지가 \(a = (D-2)/24\)로 나타나요).
(c) 바닥 상태가 타키온(\(m^2 < 0\))임을 확인한 후, 제1 들뜬 상태가 질량 영인 벡터 입자가 되기 위해서는 로런츠 불변성으로부터 \(m^2 = 0\)(즉, \(a = 1\))이 요구됨을 인정하고, \(D = 26\)을 유도하세요.
힌트
(b) 광원뿔 양자화에서 물리적 횡방향은 \(D - 2\)개예요. 각 방향의 각 모드 \(n\)이 \(\hbar\omega_n/2\)의 영점 에너지를 가져요. 정칙화 후의 순서 상수는 \(a = -\frac{D-2}{2}\zeta(-1) = -\frac{D-2}{2}\cdot(-\frac{1}{12}) = (D-2)/24\)이에요. (c) \(a = 1\)로 놓고 \((D-2)/24 = 1\)을 풀면 돼요.
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.