Appendix C: Fourier 해석과 δ 함수¶
지금까지의 줄거리:
부록 B 에서는 선형대수와 Hilbert 공간의 기초를 정리하고, 벡터·내적·기저·완전계와 같은 개념이 유한차원에서 무한차원으로 확장될 수 있음을 보았다. 이 장에서는 그 무한차원으로의 확장에서 중심적 역할을 하는 「Fourier 해석」과 「δ 함수」를 물리에서 사용하는 범위에 한정하여 정리한다.
이 장의 목표
- 임의의 함수를 삼각함수(복소지수함수)의 중첩으로 나타내는 Fourier 급수를 이해하고, 주기를 무한대로 보내어 얻어지는 Fourier 변환을 도출한다
- 이를 통해 양자역학에서 위치 표현과 운동량 표현을 연결하는 수학적 기반을 확보한다
- 나아가 Parseval의 등식·합성곱 정리라는 Fourier 변환의 강력한 성질을 유도하고, Dirac의 δ 함수의 정의·성질·완전계와의 관계를 정리한다
- 이것들은 본문 제 7 장 이후에서 파동함수를 다룰 때 필수 도구가 된다
C.1 Fourier 급수 — 삼각함수의 직교성과 계수의 결정¶
🟡 리나: 부록 B 에서 「기저의 전개」를 배웠지. 유한차원 벡터는 정규직교기저로 전개할 수 있었어. 오늘은 그 생각을 함수로 확장할 거야.
🔵 카이: 함수를 「전개한다」는 게 무슨 뜻이에요?
🟡 리나: 예를 들어 주기 \(L\)로 반복하는 함수 \(f(x)\) (즉 \(f(x + L) = f(x)\)를 만족하는 함수)를 더 단순한 함수의 「합」으로 나타내는 거야. 구체적으로는 \(\sin\)과 \(\cos\)을 사용해. 이것이 Fourier (푸리에) 급수야. 1주기분의 구간, 예를 들어 \([0, L]\)에서 생각하면 충분해.
🔵 카이: 아무리 복잡한 함수라도요?
🟡 리나: 물리에서 나오는 정도의 「좋은」 함수라면 거의 전부 가능해. 역사적으로 Fourier가 1807년에 「열전도 문제」에서 이 주장을 해서 당시의 수학자들을 놀라게 했어.
삼각함수의 직교성¶
🟡 리나: 먼저 핵심이 되는 것이 삼각함수의 직교성 (orthogonality)이야. 부록 B 에서 벡터의 내적이 0일 때 「직교」라고 불렀지? 함수에서도 같은 생각을 할 수 있어. 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 「내적」을 다음과 같이 정의해:
여기서 \(f(x)^*\)는 복소켤레야. 부록 B 에서 배웠듯이 복소벡터의 내적에서는 \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle = \sum_i a_i^* b_i\)처럼 한쪽에 복소켤레를 붙였지. 이것은 「자기 자신과의 내적 \(\langle f, f\rangle\)이 반드시 양의 실수(노름의 제곱)가 되기 위해」 필요한 거야. 실수함수라면 \(f^* = f\)이니까 단순히 \(f(x) \cdot g(x)\)의 적분이 돼.
⚪ 메이: 벡터의 내적 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i\)의 「합」이 「적분」으로 바뀐 거네. 이산에서 연속으로의 자연스러운 확장이야.
🟡 리나: 맞아. 이 내적을 사용하면 삼각함수에는 다음의 직교 관계가 성립해. \(m, n\)을 양의 정수 (\(m, n = 1, 2, 3, \ldots\))로 두면:
여기서 \(\delta_{mn}\)은 Kronecker (크로네커) 델타 — \(m = n\)이면 \(1\), \(m \neq n\)이면 \(0\)이 되는 기호야.
🔵 카이: \(m \neq n\)일 때 적분이 0이 되는 이유가 뭐예요?
🟡 리나: 곱을 합으로 바꾸는 공식을 사용하면 보일 수 있어. 덧셈정리 \(\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\)와 \(\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B\)의 두 식을 변끼리 더하면 \(\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A\cos B\)가 얻어지니까, 양변을 2로 나누면 \(\cos A\cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]\)이지. 예를 들어 식 (C.2)의 경우, \(A = \frac{2\pi m}{L}x\), \(B = \frac{2\pi n}{L}x\)로 두면:
\(m \neq n\)이면 \((m+n)\)도 \((m-n)\)도 0이 아닌 정수이니까, \(\cos\)을 정수 주기분 적분하면 0이 돼. 구체적으로 확인하면, 정수 \(p \neq 0\)에 대해 \(\int_0^L \cos\!\left(\frac{2\pi p}{L}x\right)dx = \left[\frac{L}{2\pi p}\sin\!\left(\frac{2\pi p}{L}x\right)\right]_0^L = \frac{L}{2\pi p}[\sin(2\pi p) - \sin(0)] = 0\)이야 (\(\sin\)은 \(2\pi\)의 정수배에서 0이니까). 직관적으로는 \(\cos\) 그래프의 양의 봉우리와 음의 골이 대칭이라서 정수 주기분의 면적이 상쇄되는 거야.
🔵 카이: 아, 그렇군요. \(\cos\)을 1주기분 적분하면 봉우리와 골이 상쇄되어 0이 되고, 정수 주기분에서도 마찬가지고. 그런데 \(m = n\)일 때는 어떻게 되나요? 같은 함수끼리 곱하면 \(\cos^2\)이 되어서 항상 양수니까 상쇄되지 않잖아요?
🟡 리나: 좋은 직관이야. \(m = n\)일 때는 \(\cos\!\left(\frac{2\pi(m-n)}{L}x\right) = \cos(0) = 1\) (상수)이 되니까, 피적분함수는:
이 돼. 첫 번째 항 \(\cos\!\left(\frac{4\pi n}{L}x\right)\)는 주기가 \(L/(2n)\)이니까, \([0, L]\)에서의 적분은 \(2n\) 주기분——정수 주기분의 \(\cos\) 적분은 0이야. 두 번째 항인 상수 \(1\)의 적분은 \(L\). 따라서 전체적으로 \(\frac{1}{2}[0 + L] = L/2\)를 줘.
⚪ 메이: 즉 서로 다른 진동수의 \(\cos\) 끼리는 「직교」하고 있고, 같은 진동수일 때만 내적이 0이 아닌 거네. 벡터의 정규직교기저와 완전히 같은 구조야.
Fourier 계수의 결정¶
🟡 리나: 이 직교성을 이용하면 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 전개할 수 있어. 이것이 Fourier 급수 (Fourier series):
참고로 상수함수 \(1\)도 \(\cos\)이나 \(\sin\)과 직교해. \(n \geq 1\)일 때 \(\int_0^L 1 \cdot \cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx = 0\)이고 \(\int_0^L 1 \cdot \sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx = 0\)——이것은 \(\cos\)이나 \(\sin\)을 1주기분 적분하면 0이 되는 것으로부터 알 수 있지. 그래서 \(a_0/2\) (상수항)도 다른 항과 독립적으로 추출할 수 있어.
🟡 리나: 그림 C.1「Fourier 급수에 의한 구형파 재구성과 Gibbs 현상」를 봐. 주기 \(2\pi\)의 구형파——\(0 < x < \pi\)에서 \(+1\), \(-\pi < x < 0\)에서 \(-1\)이라는 함수——를 Fourier 급수로 근사한 모습이야. 1주기분만 보면 \(x > 0\)에서 \(+1\), \(x < 0\)에서 \(-1\)을 반환하는 부호 함수 \(\mathrm{sgn}(x)\)와 같은 형태지. 항수 \(N\)을 늘릴수록 구형파에 가까워지지만, 불연속점 근처에는 약간의 오버슈트가 남아. 이것은 Gibbs (깁스) 현상이라고 불리며, \(N \to \infty\)에서도 약 9%의 오버슈트가 사라지지 않는 것으로 알려져 있어.
그림 C.1: Fourier 급수에 의한 구형파 재구성과 Gibbs 현상. 구형파 \(f(x) = \mathrm{sgn}(x)\)를 Fourier 급수로 근사한 모습. 차수 \(N\)을 늘릴수록 구형파에 가까워진다. 불연속점에서는 「Gibbs 현상」이라고 불리는 약간의 오버슈트가 남는다 (급수의 부분합의 한계).
🔵 카이: 무한히 더해도 완전히 일치하지는 않나요?
🟡 리나: 불연속점 「이외」에서는 일치해. 불연속점 자체에서는 Fourier 급수가 좌우 값의 평균으로 수렴해. 물리에서 다루는 함수는 대부분 매끄럽기 때문에 실용적으로는 문제가 되지 않는 경우가 많아.
계수는 직교성을 이용하여 「추출」할 수 있어:
🔵 카이: 왜 \(\cos\)을 곱해서 적분하면 \(a_n\)이 나오는 거예요?
🟡 리나: 벡터의 경우를 떠올려 봐. 기저 \(\mathbf{e}_n\)에 대한 성분을 추출하려면 내적 \(\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{v}\)를 계산했잖아? 같은 거야. 식 (C.5)의 양변에 \(\cos\!\left(\frac{2\pi m}{L}x\right)\)를 곱해서 \(0\)에서 \(L\)까지 적분하면, 직교성 (C.2), (C.4) 덕분에 \(n = m\)인 \(\cos\) 항만 살아남아——상수항 \(a_0/2\)로부터의 기여는 \(\frac{a_0}{2}\int_0^L \cos\!\left(\frac{2\pi m}{L}x\right)dx = 0\) (\(m \geq 1\)에서 \(\cos\)을 정수 주기분 적분하면 0)이고, \(\sin\) 항은 식 (C.4)로 0, \(n \neq m\)인 \(\cos\) 항은 식 (C.2)로 0. 결국:
이것을 \(a_m\)에 대해 풀면 식 (C.6)이 얻어져.
⚪ 메이: \(a_0/2\)라는 표기는, \(n = 0\)을 \(a_n\) 식에 대입하면 \(\cos(0) = 1\)이니까 \(a_0 = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx\)가 되고, 이것은 함수의 평균값의 2배야. 따라서 \(a_0/2\)가 평균값 그 자체인 거네.
🟡 리나: 완벽한 정리야.
✅ 이해도 체크: Fourier 급수의 계수 \(a_0/2\)는 원래 함수 \(f(x)\)의 어떤 양에 대응할까요?
답
\(a_0/2\)는 함수 \(f(x)\)의 1주기분 평균값에 대응한다. \(a_0 = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx\)이므로, \(a_0/2 = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,dx\)가 되어 이것은 구간 \([0, L]\)에서의 \(f(x)\)의 평균값 그 자체이다.
✅ 이해도 체크: 식 (C.5)에서 \(b_n\)을 구하기 위해 양변에 무엇을 곱해서 적분하면 될까요?
답
\(\sin\!\left(\frac{2\pi m}{L}x\right)\)를 곱해서 \(0\)에서 \(L\)까지 적분한다. 직교성 (C.3), (C.4)에 의해 \(n = m\)인 \(\sin\) 항만 살아남아 \(b_m \cdot L/2\)가 얻어진다.
📝 연습문제:
- 구간 \([0, L]\)에서 \(f(x) = x\)의 Fourier 계수 \(a_n, b_n\)을 구하라 → 문제 M-1. 구간 에서 정의된 함수 의 Fourier 계수 및 를 구하고, Fourier 급수（식 (C.5
C.2 복소 Fourier 급수 — Euler의 공식에 의한 통일 표현¶
🟡 리나: 식 (C.5)는 \(\sin\)과 \(\cos\) 두 종류가 섞여 있어서 좀 다루기 어렵지. 부록 A 에서 배운 Euler (오일러) 공식을 사용하면 더 깔끔한 형태로 다시 쓸 수 있어.
여기서:
(이것들은 부록 A 에서 유도한 식이야. \(e^{i\theta}\)와 \(e^{-i\theta}\)를 더하면 \(\sin\)이 사라지고 \(\cos\)이 남고, 빼면 \(\cos\)이 사라지고 \(\sin\)이 남아——그것뿐이야.)
🔵 카이: \(\sin\)과 \(\cos\)이 지수함수 하나로 통일될 수 있군요.
🟡 리나: 그래. 파수 \(k_n \equiv \frac{2\pi n}{L}\)으로 쓸게. 최종적으로는 \(n\)을 임의의 정수 (양·음·0)로 사용할 거야. 왜 음의 \(n\)이 필요한지는 지금부터 식 (C.5)를 다시 쓰면서 자연스럽게 보일 거야. 먼저 \(n > 0\)인 각 항에 대해 \(\cos\)과 \(\sin\)을 식 (C.9)로 치환해 보자:
중간 과정을 꼼꼼히 쓰면, \(\cos(k_n x) = \frac{e^{ik_n x} + e^{-ik_n x}}{2}\)에서 \(e^{ik_n x}\)의 계수는 \(\frac{a_n}{2}\), \(e^{-ik_n x}\)의 계수도 \(\frac{a_n}{2}\). \(\sin(k_n x) = \frac{e^{ik_n x} - e^{-ik_n x}}{2i}\)에서 \(e^{ik_n x}\)의 계수는 \(\frac{b_n}{2i}\), \(e^{-ik_n x}\)의 계수는 \(-\frac{b_n}{2i}\). 합치면, \(e^{ik_n x}\)의 계수는 \(\frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i}\), \(e^{-ik_n x}\)의 계수는 \(\frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i}\)가 돼. 여기서 \(\frac{1}{i}\)를 계산하려면 분모를 실수로 만들고 싶으니까 (유리화), 분모분자에 \(i\)를 곱해: \(\frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\)야. 따라서 \(\frac{b_n}{2i} = \frac{b_n}{2}\cdot(-i) = -\frac{ib_n}{2}\). 이것을 대입하면:
🔵 카이: 그렇군요, \(e^{ik_n x}\)와 \(e^{-ik_n x}\)로 정리됐네요.
🟡 리나: 이 식을 보면 \(e^{ik_n x}\)의 계수가 \(\frac{a_n - ib_n}{2}\), \(e^{-ik_n x}\)의 계수가 \(\frac{a_n + ib_n}{2}\)로 되어 있지. 그래서 다음과 같이 정의해:
- \(c_n \equiv \dfrac{a_n - ib_n}{2}\) (\(n > 0\)일 때)
- \(c_{-n} \equiv \dfrac{a_n + ib_n}{2}\) (\(n > 0\)일 때)
- \(c_0 \equiv \dfrac{a_0}{2}\)
확인해 보자——\(c_n\,e^{ik_n x} + c_{-n}\,e^{-ik_n x}\)에 대입하면 \(\frac{a_n - ib_n}{2}e^{ik_n x} + \frac{a_n + ib_n}{2}e^{-ik_n x}\). 이것은 방금 위에서 계산한 식의 우변 그 자체이므로 \(a_n\cos(k_n x) + b_n\sin(k_n x)\)인 원래 형태와 일치해. \(n = 0\) 항은 \(c_0\,e^{i \cdot 0 \cdot x} = c_0 = a_0/2\)로 상수항이야.
여기서 「왜 \(c_{-n}\)이라는 이름을 붙였는지」 설명할게. \(k_n = \frac{2\pi n}{L}\)의 정의에서 \(n\)에 음의 정수를 넣으면 \(k_{-n} = \frac{2\pi(-n)}{L} = -\frac{2\pi n}{L} = -k_n\)이 돼. 즉 \(e^{-ik_n x} = e^{ik_{-n} x}\)로 쓸 수 있어——\(-k_n\)과 \(k_{-n}\)은 같은 거야. 그래서 \(c_{-n}\,e^{-ik_n x}\)는 \(c_{-n}\,e^{ik_{-n} x}\)로 다시 쓸 수 있어. 이것은 「첨자 \(-n\)인 항」 그 자체지.
⚪ 메이: 즉, \(e^{-ik_n x}\) 항을 「음의 첨자의 항」으로 재해석함으로써 양과 음의 \(n\)을 하나의 합으로 묶을 수 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 식 (C.5)는 「\(n = 0\) 항」＋「\(n > 0\) 항의 합」으로 쓸 수 있지만, \(e^{-ik_n x}\)의 계수를 \(c_{-n}\)으로 이름 붙인 덕분에 「\(n\)이 음인 항」으로 재해석하면 전체를 \(n = -\infty\)에서 \(+\infty\)까지의 하나의 합으로 묶을 수 있어:
여기서 복소 Fourier 계수 \(c_n\)은:
(주기함수이므로 적분 범위는 \([0, L]\) 대신 \([-L/2, L/2]\) 등 임의의 1주기분으로 잡아도 같은 값을 줘. C.3절에서는 \(L \to \infty\) 극한을 취하기 쉽도록 \([-L/2, L/2]\)를 사용할 거야.)
⚪ 메이: 합의 범위가 \(n = -\infty\)에서 \(+\infty\)로 넓어진 것은 \(\cos\)과 \(\sin\)을 \(e^{+ik_n x}\)와 \(e^{-ik_n x}\)로 분해했기 때문에 음의 \(n\)이 필요해진 거네. 🟡 리나: 그래. 그리고 식 (C.11)의 유도를 확인해 두자. 복소지수함수의 직교성을 볼게. 내적의 정의 (C.1)에서 \(f = e^{ik_n x}\), \(g = e^{ik_m x}\)로 하면 \(\langle e^{ik_n x}, e^{ik_m x}\rangle = \int_0^L (e^{ik_n x})^* e^{ik_m x}\,dx = \int_0^L e^{-ik_n x} e^{ik_m x}\,dx\) (\(e^{ik_n x}\)의 복소켤레는 \(e^{-ik_n x}\)야). 지수를 합치면:
\(m \neq n\)일 때 적분은 \(\left[\frac{L}{i \cdot 2\pi(m-n)}e^{i \frac{2\pi(m-n)}{L} x}\right]_0^L = \frac{L}{i \cdot 2\pi(m-n)}\left[e^{i 2\pi(m-n)} - e^{0}\right]\)이 되는데, \((m-n)\)은 정수이므로 \(e^{i2\pi(m-n)} = \cos(2\pi(m-n)) + i\sin(2\pi(m-n)) = 1\)이고 (\(\cos\)과 \(\sin\)은 \(2\pi\)의 정수배에서 원래로 돌아오니까), \(e^0 = 1\)이므로 \([1 - 1] = 0\)이 돼. \(m = n\)일 때 피적분함수는 \(e^0 = 1\)이므로 적분은 \(L\).
🔵 카이: 삼각함수 때와 같은 논리네요. 직교성으로 「추출한다」.
🟡 리나: 식 (C.10)의 양변에 \(e^{-ik_m x}\)를 곱해서 \(0\)에서 \(L\)까지 적분하는 거야. 왜 \(e^{-ik_m x}\)를 선택하느냐면, 직교성 (C.12)를 사용하고 싶기 때문이야——\(e^{ik_n x}\)와 \(e^{-ik_m x}\)를 곱하면 \(e^{i(k_n - k_m)x}\)가 되어서, \(n = m\)일 때만 적분이 \(L\)이 되거든. 즉 \(e^{-ik_m x}\)는 「\(n = m\) 항을 골라내는 필터」 역할을 하는 거야:
따라서 \(c_m = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,e^{-ik_m x}\,dx\). 이것이 식 (C.11) 그 자체야.
✅ 이해도 체크: 실수함수 \(f(x)\)의 경우, \(c_n\)과 \(c_{-n}\) 사이에는 어떤 관계가 있을까요?
답
\(f(x)\)가 실수이면 \(f(x)^* = f(x)\)이므로, \(c_n^* = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,e^{+ik_n x}\,dx = c_{-n}\). 즉 \(c_{-n} = c_n^*\) (복소켤레 관계).
C.3 Fourier 변환 — 주기를 무한대로 보내는 극한¶
🟡 리나: Fourier 급수는 「주기 \(L\)로 반복하는 함수」를 다루는 도구였어. 하지만 양자역학에서는 전 공간 \((-\infty, +\infty)\)에 퍼진 파동함수를 다루고 싶어. 주기의 제약을 없애려면 \(L \to \infty\) 극한을 취하면 돼.
🔵 카이: 주기를 무한대로 만든다고요? 그러면 뭐가 달라지나요?
🟡 리나: 파수 \(k_n = \frac{2\pi n}{L}\)은 정수 \(n\)마다 값을 가지니까, 이웃한 파수 사이의 간격은 \(\Delta k = k_{n+1} - k_n = \frac{2\pi(n+1)}{L} - \frac{2\pi n}{L} = \frac{2\pi}{L}\)야. \(L \to \infty\)로 하면 \(\Delta k \to 0\)이 되어서, 이산적인 합 \(\sum_n\)이 연속적인 적분 \(\int dk\)로 바뀌어. 구체적으로 살펴보자.
도출¶
🟡 리나: 식 (C.10)을 다시 쓸게:
여기에 식 (C.11)의 \(c_n\)을 대입할 거야. 식 (C.11)의 적분 범위는 \([0, L]\)이었지만, \(L \to \infty\) 극한을 취하기 쉽도록 \([-L/2, L/2]\)로 바꿔서 쓸게 (주기함수이므로 1주기분을 어디서 잡아도 같아——바로 뒤에 설명할게):
🔵 카이: 어? 적분 범위가 \([0, L]\)에서 \([-L/2, L/2]\)로 바뀌었는데 괜찮은 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 주기 \(L\)인 함수는 \(f(x + L) = f(x)\)를 만족하니까, 어디서 1주기분을 잡아도 적분값은 같아. 직관적으로는 주기적으로 반복되는 패턴의 어디를 잘라내도 정확히 1세트가 들어 있기 때문이야. 벽지 무늬를 떠올려 봐——어디서 가위를 넣어도 1패턴 길이를 잘라내면 같은 무늬가 나오잖아? 적분값도 마찬가지야. 구체적인 예로 확인하면, \(1 + \cos x\)의 주기는 \(2\pi\)인데 \(\int_0^{2\pi}(1+\cos x)\,dx = 2\pi\)이고 \(\int_{-\pi}^{\pi}(1+\cos x)\,dx = 2\pi\)로 같은 값이야——어느 쪽이든 봉우리를 1개분만 포함하고 있으니까. 같은 논리로 \([0, L]\)과 \([-L/2, L/2]\)는 동등해. \(L \to \infty\) 극한을 취할 때는 \([-L/2, L/2]\) 쪽이 원점에 대해 대칭이라 다루기 쉬워. 참고로 「\(L \to \infty\)로 하면 주기함수가 아니게 되는 것 아닌가?」라고 생각할 수 있는데, 그 말이 맞아. 최종적으로 얻어지는 식 (C.14), (C.15)는 주기성을 가정하지 않는 일반 함수에 적용할 수 있어. 주기 \(L\)은 어디까지나 도출 중간 단계에서 사용하는 「발판」으로, \(L \to \infty\) 극한에서 제거하는 거야.
⚪ 메이: 주기 \(L\)의 「발판」을 \(L \to \infty\)에서 철거함으로써 주기성이 없는 일반 함수에 대응할 수 있게 되는 거네.
🟡 리나: 다음으로, \(L \to \infty\) 극한을 취하기 쉽도록 \(\frac{1}{L}\)을 파수 간격 \(\Delta k = \frac{2\pi}{L}\)로 다시 쓸게. \(\frac{1}{L} = \frac{\Delta k}{2\pi}\)이니까:
⚪ 메이: \(L \to \infty\)에서 \(\Delta k \to 0\)이니까, \(\sum_n \Delta k\)가 \(\int dk\)로 바뀌는 거네.
🟡 리나: 그래. 고등학교에서 배운 구분구적법을 떠올려 봐——구간을 잘게 분할해서 직사각형의 넓이 \(f(k_n)\,\Delta k\)를 합산하면, 분할을 무한히 잘게 한 극한에서 정적분 \(\int f(k)\,dk\)가 됐잖아. 여기서도 완전히 같은 일이 일어나고 있어. \(\Delta k = 2\pi/L\)가 「직사각형의 폭」이고, \(L \to \infty\)에서 폭이 0에 가까워지며, 이산적인 합이 연속적인 적분으로 이행하는 거야. \(L \to \infty\) 극한에서:
여기서 대괄호 안을 \(\tilde{f}(k)\)라고 이름 붙이자. 이것이 Fourier 변환 (Fourier transform):
그리고 원래 함수를 복원하는 식이 역 Fourier 변환 (inverse Fourier transform):
🔵 카이: 오, 대칭적인 형태네요. \(2\pi\) 인자가 한쪽에만 붙는 게 좀 신경 쓰이지만요.
🟡 리나: 좋은 지적이야. 사실 \(2\pi\)의 배분에는 유파가 3가지 있어서, 물리 분야에 따라 구분해서 사용해:
표 C.1: Fourier 변환에서의 2π 배분 유파
| 유파 | 변환 | 역변환 | 주 사용 분야 |
|---|---|---|---|
| (a) | \(\tilde{f}(k) = \int f(x)\,e^{-ikx}\,dx\) | \(f(x) = \frac{1}{2\pi}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\) | 장의 이론·\(\hbar = 1\)로 놓는 체계 |
| (b) | \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)\,e^{-ikx}\,dx\) | \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\) | 양자역학 (대칭 규약) |
| (c) | \(\tilde{f}(\nu) = \int f(t)\,e^{-2\pi i \nu t}\,dt\) | \(f(t) = \int \tilde{f}(\nu)\,e^{2\pi i \nu t}\,d\nu\) | 공학·신호처리 |
「양자역학」편에서는 주로 유파 (b)를 사용할 거야. 양자역학 교과서에서 가장 흔히 보는 형태로, 변환과 역변환이 완전히 대칭인 형태가 되어서 외우기 쉬워. 게다가 나중에 보여줄 Parseval의 등식도 가장 깔끔하게 쓸 수 있어. 식 (C.14), (C.15)는 \(L \to \infty\) 극한에서 자연스럽게 나오는 형태 (유파 (a))였지만, 이후로는 유파 (b)로 통일할게. 차이는 단순해서, 유파 (a)의 \(\tilde{f}(k)\)에 \(1/\sqrt{2\pi}\)를 곱한 것이 유파 (b)의 \(\tilde{f}(k)\)야. 즉 같은 기호 \(\tilde{f}\)를 사용하지만 정의가 \(1/\sqrt{2\pi}\)배만큼 달라. 이후 이 장에서 \(\tilde{f}(k)\)라고 쓰면 항상 유파 (b)의 정의:
를 가리킬 거야.
⚪ 메이: 변환과 역변환이 같은 형태가 되네. 지수의 부호만 다르고. 대칭적이라 외우기 쉬워.
물리적 의미¶
🟡 리나: 물리적으로 말하면, \(f(x)\)는 「위치 공간」에서의 함수, \(\tilde{f}(k)\)는 「파수 공간」에서의 함수야. 양자역학에서는 \(p = \hbar k\) (de Broglie 관계식——제 2 장 에서 배웠지)이므로, \(\tilde{f}(k)\)는 「운동량 공간」에서의 표현에 직결돼. 제 10 장에서 자세히 다루겠지만, Fourier 변환은 「위치 \(x\)를 사용해 쓴 파동함수」와 「운동량 \(p\) (즉 파수 \(k\))를 사용해 쓴 파동함수」를 연결하는 도구 그 자체야——그리고 사실 \(|\tilde{f}(k)|^2\)가 「운동량 \(\hbar k\)를 가질 확률밀도」를 주게 되는 거야.
🔵 카이: 잠깐요. \(|\tilde{f}(k)|^2\)가 「운동량의 확률밀도」가 된다는 건 무슨 의미예요? 파수 공간 함수의 절댓값의 제곱이 확률이 되는 이유를 모르겠는데요……
🟡 리나: 좋은 의문이야. 지금 단계에서는 「그런 해석이 된다」고 예고만 해둘게. 제 10 장 에서 파동함수의 확률 해석과 함께 엄밀하게 보여줄 거야. 지금은 「Fourier 변환하면 각 파수 성분이 얼마나 포함되어 있는지 알 수 있다」——그리고 de Broglie 관계 \(p = \hbar k\)에 의해 파수 \(k\)의 성분은 운동량 \(\hbar k\)의 성분에 대응하므로, 「이 입자가 어떤 운동량을 어느 정도의 비율로 가지고 있는지」를 읽어낼 수 있다는 직관만 가지고 있어. 왜 「비율」이 \(|\tilde{f}(k)|^2\)라는 형태가 되는지——즉 절댓값의 제곱이 확률밀도가 되는 이유——는 제 10 장 에서 Born의 확률 해석과 함께 비로소 제대로 알 수 있어.
🔵 카이: 그렇군요. 「비율을 알 수 있다」는 것까지는 지금의 수학으로 이해할 수 있지만, 「그것이 확률밀도가 된다」는 건 물리적 해석이 필요한 거네요.
✅ 이해도 체크: Fourier 급수에서 \(\sum_n\)이었던 합이 Fourier 변환에서 \(\int dk\)로 바뀌는 물리적 이유는?
답
Fourier 급수는 주기 \(L\)인 함수를 다루므로 허용되는 파수가 \(k_n = 2\pi n/L\)으로 이산적이다. \(L \to \infty\)로 하면 파수 간격 \(\Delta k = 2\pi/L \to 0\)이 되어 이산적인 합이 연속적인 적분으로 이행한다. 물리적으로는 무한히 넓은 공간에서는 임의의 파수(운동량)가 허용되는 것에 대응한다.
📝 연습문제:
- 가우스 함수 \(f(x) = e^{-ax^2}\) (\(a > 0\))의 Fourier 변환을 계산하라 → 문제 M-2. Gauss 함수의 Fourier 변환과 Parseval의 등식
C.4 Parseval의 등식 — 에너지 보존의 수학적 표현¶
🟡 리나: 다음으로 Fourier 변환의 중요한 성질을 하나 보여줄게. Parseval (파스발) 등식이라고 불리는 것으로, 「위치 공간에서 계산해도 파수 공간에서 계산해도 노름(크기의 제곱의 적분)은 변하지 않는다」는 정리야.
🔵 카이: 좌변과 우변에서 적분하는 변수가 다른데, 값이 같다고요?
🟡 리나: 그래. 물리적으로 말하면, 「입자를 어딘가에서 발견할 확률의 합계」를 위치 공간에서 계산해도 운동량 공간에서 계산해도 같은 \(1\)이 된다는 것. 파동함수의 규격화 조건이 양쪽 표현에서 정합하는 것은 바로 이 등식 덕분이야.
도출¶
🟡 리나: 유파 (b) (식 (C.16), (C.17))로 증명할게. 먼저 좌변을 다시 쓰면:
전략은 「\(f(x)\)와 \(f(x)^*\) 양쪽을 파수 공간 표현(역 Fourier 변환 식)으로 치환해서 \(x\) 적분을 먼저 수행하는 것」이야. 이렇게 하면 δ 함수가 나타나서 최종적으로 \(|\tilde{f}(k)|^2\)의 적분만 남게 돼. 구체적으로 해보자. \(f(x)\)와 \(f(x)^*\) 각각에 역 Fourier 변환 식을 대입해. \(f(x)\) 쪽은 식 (C.17) 그대로: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\). \(f(x)^*\) 쪽에는 식 (C.17)의 양변의 복소켤레를 취한 식을 사용해. 복소켤레를 취하면 \(f(x)^* = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)^*\,e^{-ikx}\,dk\)가 돼. 왜냐하면 적분 전체의 복소켤레는 피적분함수의 복소켤레를 적분한 것과 같거든 (\([\int h(k)\,dk]^* = \int h(k)^*\,dk\)). 이것은 「덧셈의 복소켤레는 각 항의 복소켤레의 덧셈」이라는 성질의 연속판이야——\((z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^*\)가 성립하는 것과 같은 논리로, 적분(무한 개의 덧셈)에서도 각 피적분함수에 복소켤레를 취하면 돼. 그리고 \([\tilde{f}(k)\,e^{ikx}]^* = \tilde{f}(k)^*\,e^{-ikx}\)——\(\tilde{f}(k)\)는 일반적으로 복소수이므로 복소켤레가 붙고, \(e^{ikx}\)의 복소켤레는 \(e^{-ikx}\) (지수의 \(i\)가 \(-i\)로 바뀜)야. \(1/\sqrt{2\pi}\)는 실수이므로 그대로.
🔵 카이: 여기서 하나 의문인데, \(f(x)^*\)와 \(f(x)\)를 곱할 때 양쪽 다 \(\int dk\)가 들어 있잖아요. 같은 변수 \(k\)를 쓴 채로 괜찮은 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 두 개의 별개 적분을 곱할 때는 각각의 적분변수에 다른 이름을 붙여야 해. 예를 들어 \(\left(\int_0^1 k\,dk\right)\times\left(\int_0^1 k\,dk\right)\)는 \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)인데, 만약 같은 \(k\)인 채로 하나의 이중적분 \(\int_0^1\int_0^1 k \cdot k\,dk\,dk\)로 써버리면, 두 \(k\)가 같은 변수인지 다른 변수인지 모호해지잖아? 그래서 한쪽을 \(k'\)로 다시 써서 \(\int_0^1\int_0^1 k \cdot k'\,dk\,dk'\)로 하는 거야. 이렇게 하면 「\(k\)와 \(k'\)는 독립적으로 움직인다」는 것이 명확해져.
🔵 카이: 그렇군요. 이름이 같으면 「연동해서 움직이는」 건지 「독립적으로 움직이는」 건지 알 수 없게 되는 거네요.
🟡 리나: 그래. 그래서 \(f(x)^*\) 쪽의 적분변수를 \(k'\)로 다시 써서 \(f(x)^* = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k')^*\,e^{-ik'x}\,dk'\)로 해. 대입하면:
적분 순서를 바꿔서 \(x\) 적분을 먼저 수행할게.
🔵 카이: 잠깐, 적분 순서를 바꿔도 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 이중적분(또는 삼중적분)에서는 피적분함수가 「충분히 얌전한」——구체적으로는 절댓값의 적분이 유한한——경우 적분 순서를 바꿔도 결과가 같아. 이것은 Fubini (푸비니) 정리라고 불리는 수학 정리야. 직관적으로는 직사각형의 넓이를 「가로로 잘라 더하는」 것과 「세로로 잘라 더하는」 것으로 같은 결과가 나오는 것과 같은 논리야. 물리에서 나오는 함수는 대부분 이 조건을 만족하니까 안심하고 바꿔도 돼.
대괄호 안의 적분은 C.7절에서 엄밀하게 도출하는 δ 함수의 Fourier 적분 표현 (식 (C.30)과 같은 형태의 관계——식 (C.30)에서는 적분변수가 \(k\)이고 인수가 \(x-x'\)였던 것에 비해, 여기서는 적분변수가 \(x\)이고 인수가 \(k-k'\)로 치환된 형태)에 다름 아니야.
🔵 카이: 어? 아직 δ 함수를 정의하지도 않았는데 사용해도 되나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 여기서는 δ 함수의 정식 정의는 사용하지 않아. 대신 C.3절에서 이미 확립한 사실——「식 (C.16)으로 변환하고 식 (C.17)로 역변환하면 원래 함수로 돌아간다」는 것——을 직접 사용하는 거야.
구체적으로 해보자. \(\int|f(x)|^2\,dx\)에 역변환 식을 대입해서 \(x\) 적분을 먼저 수행하면:
라는 적분이 나타나. \(k \neq k'\)인 경우를 생각해 봐. \(e^{i(k-k')x} = \cos((k-k')x) + i\sin((k-k')x)\)이니까, \(\cos\)도 \(\sin\)도 \(x\)에 대해 일정한 진동수로 계속 진동해. \(x\)를 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 적분하면, 양의 봉우리와 음의 골이 무한히 교대로 나타나 완전히 상쇄돼——C.1절에서 「\(\cos\)을 정수 주기분 적분하면 0」이라고 한 것과 같은 원리야. 한편 \(k = k'\)일 때는 \(e^0 = 1\)로 진동하지 않으니까, 상수 \(1\)을 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 적분하게 되어 발산해. 즉 「\(k = k'\)에서만 무한대, 그 외에는 0」이라는 성질을 가지는 거야.
🔵 카이: 진동이 상쇄되는 건 알겠어요. 근데 \(k = k'\)에서 「무한대」가 되는데 최종적으로 유한한 결과가 나오는 이유는 뭐예요?
🟡 리나: 단순히 「무한대」인 것만이 아니라, \(1/(2\pi)\)의 계수와 합쳐서 「면적이 정확히 1」이 되도록 조정되어 있어——이것이 C.6절에서 정의할 δ 함수의 본질로, 「\(k' = k\)만 골라낸다」는 필터로서 올바르게 기능하는 거야.
왜 이 성질을 사용해도 되는지 설명하면, C.3절에서 Fourier 변환과 역변환이 서로 역연산이라는 것 (식 (C.16)으로 변환하고 식 (C.17)로 역변환하면 원래 \(f(x)\)로 돌아가는 것)을 이미 확립했기 때문이야. 이 「원래로 돌아간다」는 사실을 식으로 쓰면 \(f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\left[\int f(x')\,e^{-ikx'}\,dx'\right]e^{ikx}\,dk\)이지. 여기서 적분 순서를 교환하면 \(f(x) = \int f(x')\left[\frac{1}{2\pi}\int e^{ik(x-x')}dk\right]dx'\)가 돼. 이 식이 임의의 \(f\)에 대해 성립하려면, 대괄호 안이 「\(x' = x\)일 때만 기여하고, 그 외에서는 0」인 필터여야 해——만약 그렇지 않다면 우변은 \(f(x)\) 이외의 값을 반환하게 될 테니까. 즉 δ 함수라는 이름을 붙이기 전부터, 이 「골라내는」 성질은 C.3절의 결과로 보장되어 있어. 순환논법이 아니야.
🔵 카이: 그게 나중에 나올 δ 함수 그 자체잖아요?
🟡 리나: 정확히 그래! 그래서 C.6절에서 이 성질을 가진 대상에 \(\delta(k-k')\)라는 이름을 붙이는 거야. 지금은 「이름은 아직 없지만 성질은 확립된」 상황이야.
⚪ 메이: 즉 지금은 「진동이 상쇄되어 \(k = k'\)만 남는다」는 사실을 사용해서 앞으로 나아가고, C.6절에서 정식으로 δ 함수를 정의한 후에 이 식의 의미가 깔끔하게 정리되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이 「\(k = k'\)만 남는다」는 성질을 기호적으로 쓰면:
로 나타낼 수 있어 (δ 함수의 정식 정의는 C.6절에서, 이 식 자체의 엄밀한 도출은 C.7절의 식 (C.30)에서 할게). 이 성질에 의해 \(k'\) 적분에서 \(k' = k\)만 살아남아:
여기서 두 번째 등호에서는, \(k'\) 적분에 대해 「\(k' = k\)만 남는다」는 성질을 사용했어. \(\delta(k - k')\)를 \(k'\)로 적분하면 \(k' = k\)로 고정되므로, \(\tilde{f}(k')^*\)가 \(\tilde{f}(k)^*\)가 되고, 남은 \(k\) 적분에서 \(\tilde{f}(k)^*\,\tilde{f}(k) = |\tilde{f}(k)|^2\)를 적분하는 형태가 돼.
🔵 카이: 오, 깔끔하게 \(|\tilde{f}(k)|^2\)의 적분만 남았네요!
⚪ 메이: Fourier 변환은 「노름을 보존하는」 변환인 거네. 위치 공간에서 계산해도 파수 공간에서 계산해도 같은 값이 된다니, 정말 아름다운 성질이야.
🟡 리나: 맞아. 사실 이것은 부록 B 에서 배운 유니타리 변환과 같은 구조야. 유니타리 변환이란 「노름(크기)을 바꾸지 않는 변환」이었지. Fourier 변환은 무한차원 Hilbert 공간에서의 유니타리 연산자 그 자체야. 유한차원에서 배운 「유니타리 변환 = 노름 보존」이 함수 공간에서도 그대로 성립해.
⚪ 메이: 즉 부록 B에서 배운 「유니타리 변환 = 노름 보존」이 무한차원에서도 그대로 성립하는 거네. 유한차원에서는 기저를 바꾸는 행렬 \(U\)가 \(U^\dagger U = I\)를 만족하는 것이 노름 보존의 조건이었어. Fourier 변환은 그 무한차원 버전으로, 「위치 기저에서 파수 기저로의 기저 변환」이 노름을 보존해——그래서 물리량의 계산 결과가 어느 표현에서든 같아지는 거구나.
✅ 이해도 체크: Parseval 등식의 증명에서 핵심이 되는 수학적 사실 (식 (C.19))은 무엇일까요?
답
\(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(k-k')x}\,dx = \delta(k-k')\)라는 δ 함수의 Fourier 적분 표현이 핵심이다. 이에 의해 \(x\) 적분을 수행한 후, \(k'\) 적분이 δ 함수로 「선택」되어 사라지고, 최종적으로 \(|\tilde{f}(k)|^2\)의 적분만 남는다.
보다 일반적인 형태: Parseval 관계식¶
🟡 리나: 좀 더 일반적으로, 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 「내적」에 대해서도 마찬가지 등식이 성립해:
증명은 식 (C.18)과 완전히 같은 절차야. 이것을 Parseval 관계식 (Parseval's relation)이라고 부르기도 해.
🔵 카이: 내적이 보존된다면…… 아, 그러면 직교성도 보존되나요? 위치 공간에서 직교하는 두 함수는 파수 공간에서도 직교한다?
🟡 리나: 맞아. 식 (C.20)에서 \(\int f^* g\,dx = \int \tilde{f}^*\tilde{g}\,dk\)이니까, 좌변이 0 (위치 공간에서 직교)이면 우변도 0 (파수 공간에서도 직교)이지. 양자역학에서 「다른 에너지 고유상태는 직교한다」는 성질이 어떤 표현에서 계산해도 성립하는 것은 이 정리 덕분이야.
✅ 이해도 체크: Parseval 등식이 양자역학에서 중요한 이유를 물리적으로 서술하세요.
답
파동함수의 규격화 조건 \(\int |\psi(x)|^2\,dx = 1\)이 운동량 표현에서도 \(\int |\tilde{\psi}(k)|^2\,dk = 1\)과 같은 값을 주는 것을 보장한다. 즉 「입자가 어딘가에 존재할 확률의 합계는 1」이라는 물리적 요청이 위치 표현에서도 운동량 표현에서도 모순 없이 성립한다.
C.5 합성곱 정리 — 곱과 합성곱의 쌍대성¶
🟡 리나: Fourier 변환의 또 하나의 강력한 성질이 합성곱 정리 (convolution theorem)야. 먼저 합성곱 (convolution)을 정의할게.
🔵 카이: 두 함수를 「밀면서 곱해서 적분하는」 연산인가요?
🟡 리나: 그래. 친근한 예로 말하면, 사진의 「블러(흐림)」 처리가 바로 합성곱이야. 각 픽셀의 값을 주변 픽셀의 값과 「블러의 가중 함수」로 가중 평균하는 것——이것이 \(f\)를 \(g\)로 합성곱하는 연산에 대응해. 신호처리에서는 「필터링」, 확률론에서는 「두 독립 확률변수의 합의 분포」에도 대응하는, 매우 기본적인 연산이야.
✅ 이해도 체크: 합성곱 \((f*g)(x)\)의 정의를 말하고, 이 연산이 직관적으로 무엇을 하는지 설명해 보세요.
답
\((f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x')\,g(x-x')\,dx'\)로 정의된다. 직관적으로는 함수 \(g\)를 \(x'\)만큼 이동시킨 \(g(x-x')\)와 \(f(x')\)를 곱해서 전 공간에서 적분하는 연산으로, 「\(f\)를 \(g\)로 가중하면서 밀어 더하는 것」에 해당한다.
정리의 내용¶
🟡 리나: 합성곱 정리는 이렇게 진술해:
위치 공간에서의 합성곱은, 파수 공간에서는 단순한 곱이 된다.
유파 (b)에서:
(\(\sqrt{2\pi}\)가 붙는 것은 유파 (b)에서 변환에 \(1/\sqrt{2\pi}\)를 포함하기 때문이야. 도출에서 자연스럽게 나타나.)
반대로, 위치 공간에서의 곱은 파수 공간에서의 합성곱이 돼:
이쪽을 먼저 증명해 보자——식 (C.22)와 같은 방침으로, Fourier 변환의 정의에 대입하고 적분 순서를 교환하는 거야. 출발점은:
여기서 \(g(x)\)에 역 Fourier 변환 식 (C.17)을 대입해 (\(f\)를 대입해도 최종 결과는 같아——합성곱 정의에서 \(u = x - x'\)로 변수변환하면 \((f*g)(x) = \int f(x-u)\,g(u)\,du = (g*f)(x)\)가 되어 \(f\)와 \(g\)의 역할이 바뀌니까, \(\tilde{f}*\tilde{g} = \tilde{g}*\tilde{f}\)이지. \(g\)를 대입하는 쪽을 선택하는 이유는, 남은 \(f(x)\,e^{-i(k-k')x}\)의 \(x\) 적분이 \(\tilde{f}(k-k')\) 형태로 바로 읽히므로 전망이 좋기 때문이야): \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{g}(k')\,e^{ik'x}\,dk'\). 그러면:
\(x\)와 \(k'\)의 적분 순서를 교환하고, 지수를 합치면 \(e^{ik'x}\cdot e^{-ikx} = e^{-i(k-k')x}\)이므로:
🔵 카이: 대괄호 안은 \(f\)의 Fourier 변환이랑 비슷하네요. 다만 파수가 \(k\)가 아니라 \(k - k'\)로 되어 있지만.
🟡 리나: 맞아. 식 (C.16)의 정의에서 파수를 \(k-k'\)로 치환하면 \(\tilde{f}(k-k') = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)\,e^{-i(k-k')x}\,dx\)이니까, 대괄호 안은 \(\sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k-k')\)이야. 이것을 대입하면:
우변의 적분은 합성곱의 정의 (C.21) 그 자체 (\(x\)를 \(k\)로, \(x'\)를 \(k'\)로 읽기만 바꾼 것)이므로, \((\tilde{f}*\tilde{g})(k)\)로 쓸 수 있어. 따라서 \(\widetilde{(f \cdot g)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\tilde{f}*\tilde{g})(k)\)가 보여졌어.
⚪ 메이: 식 (C.22)가 「합성곱 → 곱」이고, 식 (C.23)이 「곱 → 합성곱」이야. 즉 Fourier 변환으로 「곱」과 「합성곱」이 서로 교환되는 거네. 양방향으로 성립하는 대칭적인 관계.
도출 (식 (C.22)의 증명)¶
🟡 리나: 식 (C.22)를 보이겠어. \(\widetilde{(f*g)}(k)\)의 정의에 식 (C.21)을 대입해:
여기서 \(x\)와 \(x'\)의 적분 순서를 교환할게.
🔵 카이: 또 적분 순서를 바꾸네요. C.4절에서 나온 Fubini 정리인가요?
🟡 리나: 그래, 같은 논리야. 피적분함수가 충분히 얌전하면 적분 순서를 바꿔도 결과는 같아. 순서를 교환하면 \(f(x')\)를 밖으로 빼낼 수 있어:
다음으로, 대괄호 안의 \(x\) 적분에서 \(u = x - x'\) (\(x = u + x'\), \(dx = du\))로 변수변환해. \(x'\)를 고정하고 \(x\)를 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 움직이면, \(u = x - x'\)도 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 움직이므로 \(u\)의 적분 범위도 \((-\infty, +\infty)\) 그대로야:
여기서 지수를 분리할게. \(e^{-ik(u+x')} = e^{-iku}\cdot e^{-ikx'}\)이므로, \(e^{-ikx'}\)는 \(u\) 적분과 무관한 상수로 밖에 뺄 수 있어:
⚪ 메이: \(g\)의 적분 부분은 이미 \(x'\)에 의존하지 않으니까, \(x'\) 적분 밖으로도 뺄 수 있겠네.
🟡 리나: 맞아. 대괄호 안의 \(\int g(u)\,e^{-iku}\,du\)는 \(x'\)에 의존하지 않는 상수이므로 \(x'\) 적분 밖으로 뺄 수 있어:
여기서 유파 (b)의 정의 (식 (C.16))를 다시 보면 \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x')\,e^{-ikx'}\,dx'\)이므로, 양변에 \(\sqrt{2\pi}\)를 곱하면:
마찬가지로 \(\int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-iku}\,du = \sqrt{2\pi}\,\tilde{g}(k)\). 이것들을 대입하면:
(\((\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi\)이므로 \(\frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}} = \sqrt{2\pi}\)이지.)
🔵 카이: 합성곱이라는 복잡한 연산이 Fourier 변환하면 단순한 곱셈이 되다니 편리하네요!
🟡 리나: 그래. 미분방정식을 풀 때 Fourier 변환으로 「미분 → 곱셈」으로 변환하는 테크닉은 제 7 장 이후에서 크게 활약할 거야.
✅ 이해도 체크: 합성곱 정리가 「미분방정식을 푸는 데 편리하다」고 할 수 있는 이유를 설명해 보세요. (힌트: \(f'(x)\)의 Fourier 변환은 \(ik\tilde{f}(k)\))
답
미분 \(d/dx\)는 Fourier 변환하면 \(ik\)의 곱셈으로 바뀐다. 따라서 미분방정식은 파수 공간에서는 대수방정식이 되어 풀기가 훨씬 쉬워진다. 해를 구한 후 역 Fourier 변환하면 위치 공간의 해가 얻어진다.
📝 연습문제:
- \(f'(x)\)의 Fourier 변환이 \(ik\tilde{f}(k)\)임을 보여라 (부분적분을 사용) → 문제 M-5. Fourier 변환에서의 미분 성질
C.6 Dirac의 δ 함수 — 정의·성질·물리적 의미¶
🟡 리나: 여기서부터가 이 장의 핵심이야. Parseval 등식 증명에서 「기정사실로」 사용했던 δ 함수를 제대로 정의할게.
🔵 카이: δ 함수라는 게 「한 점에서 무한대, 나머지는 0」이라는 것이죠?
🟡 리나: 이미지로는 그렇지만, 정확히는 통상적인 의미의 「함수」가 아니야. Dirac (디랙)의 δ 함수는, 「각 점에서의 값」이 아니라 「다른 함수와 곱해서 적분했을 때의 결과」로 정의되는 수학적 대상으로, 초함수 (distribution)라고 불려. 즉 「\(\delta(x)\)의 \(x = 0\)에서의 값은 얼마?」라는 질문에는 의미가 없고, 「\(\delta(x)\)와 \(f(x)\)를 곱해서 적분하면 \(f(0)\)이 된다」라는 성질이야말로 정의인 거야.
정의¶
🟡 리나: δ 함수는 다음 성질로 정의돼:
임의의 「충분히 매끄러운」 함수 \(f(x)\)에 대해 이 등식이 성립하는 것으로 \(\delta(x-a)\)를 정의하는 거야. 이것을 선택성 (sifting property)이라고 불러.
⚪ 메이: 즉 δ 함수는 「\(x = a\)에서의 \(f\)의 값을 추출하는」 필터 같은 역할이네.
🟡 리나: 그래. 형식적으로 \(f(x) = 1\) (\(x = a\) 근방에서 상수 \(1\))로 놓으면:
「전 공간에서 적분하면 1」이라는 것. 직관적으로는 「면적 1이지만, 폭 0·높이 무한대의 날카로운 피크」야.
🔵 카이: 그게 진짜 「함수」인 건가요? 한 점에서 무한대 값을 가지는 함수라니……
🟡 리나: 날카로운 지적이야. 엄밀하게는 δ 함수는 통상적인 함수가 아니라, 초함수 (generalized function / distribution)라고 불리는 수학적 대상이야. 하지만 물리에서는 다음과 같이 「극한」으로 이미지하면 충분해.
✅ 이해도 체크: Dirac의 δ 함수가 통상적인 의미의 「함수」가 아니라고 하는 이유는 무엇일까요?
답
δ 함수는 「각 점에서의 값」으로 정의되는 것이 아니라, 「다른 함수와 곱해서 적분했을 때의 결과」 (선택성 \(\int f(x)\delta(x-a)dx = f(a)\))로 정의되는 수학적 대상(초함수)이기 때문이다. 통상적인 함수처럼 「\(\delta(0)\)의 값은 얼마인가」라고 묻는 것에는 의미가 없다.
δ 함수의 극한 표현¶
🟡 리나: δ 함수를 「폭이 좁아져 가는 함수열의 극한」으로 이해할 수 있어. 예를 들어 Gauss 함수열:
\(\epsilon \to 0\)에서 이 Gauss 함수는 점점 더 날카롭고 높아지지만, 면적은 항상 \(1\)인 채로야.
🔵 카이: 면적이 항상 1이라는 걸 어떻게 아나요?
🟡 리나: 가우스 적분 공식 \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}\)를 사용해. \(t = x/\epsilon\)으로 변수변환하면 \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/\epsilon^2}\,dx = \epsilon\sqrt{\pi}\)이니까, \(\delta_\epsilon(x)\)의 적분은 \(\frac{1}{\epsilon\sqrt{\pi}}\cdot\epsilon\sqrt{\pi} = 1\)이지. \(\epsilon\)이 어떤 값이든 면적은 \(1\)인 채. 이 극한이 δ 함수야:
🔵 카이: 그렇군요, 폭 \(\epsilon\)인 종 모양이 \(\epsilon \to 0\)에서 「바늘」이 되는 이미지네요.
🟡 리나: 그 이미지를 그림 C.2「가우스 함수의 극한으로서의 Dirac 델타 함수」에서 확인해 봐. \(\epsilon\)을 작게 할수록 피크가 점점 날카로워지지만 면적은 항상 \(1\)인 채——이것이 δ 함수의 본질이야.
그림 C.2: 가우스 함수의 극한으로서의 Dirac 델타 함수. 가우스 함수의 폭 \(\epsilon\)을 좁혀가는 극한으로 δ 함수가 정의된다. 어떤 \(\epsilon\)에서도 적분값은 1로 유지되며, \(\epsilon\to 0\)에서 「\(x=0\)에서만 무한대」인 특이한 함수가 된다. 물리에서 「점」을 표현하는 만능 도구.
🟡 리나: 그 외에도 직사각형 함수열이나 Lorentz 함수열로도 같은 극한이 얻어져:
어떤 함수열을 사용하든, 식 (C.24)의 선택성이 성립하는 극한이 되는 거야.
δ 함수의 기본 성질¶
🟡 리나: δ 함수의 중요한 성질을 정리해 둘게:
(1) 선택성 (재게재):
(2) 짝함수 성질:
(3) 스케일링:
짝함수 성질 (C.28a)은 스케일링 법칙 (C.28b)에서 \(a = -1\)로 놓은 특수한 경우로도 볼 수 있어.
(4) 합성함수:
여기서 \(x_i\)는 \(g(x) = 0\)의 단근 — 즉 \(g'(x_i) \neq 0\)을 만족하는 근이야. 고등학교에서 2차방정식의 「중근」을 배웠지? 그것은 포물선이 \(x\)축에 접하는 경우였어. 여기서도 같은 생각으로, \(g'(x_i) \neq 0\)이면 \(y = g(x)\)의 그래프가 \(x\)축을 「가로지르는」 (단근), \(g'(x_i) = 0\)이면 「접하는」 (중근)으로 구별해. 예를 들어 \(g(x) = x^2 - 1\)이면 \(x = \pm 1\)에서 \(g'(\pm 1) = \pm 2 \neq 0\)이므로 가로지르는——이것들은 단근이야. 반대로 \(g(x) = x^2\)의 \(x = 0\)에서는 \(g'(0) = 0\)으로 그래프가 \(x\)축에 접하기만 해. 이런 중근의 경우에는 \(1/|g'(x_i)|\)가 발산하므로 이 공식은 그대로 사용할 수 없어 (더 고차의 전개가 필요해. 물리 문제에서는 단근인 경우가 대부분이니까 걱정하지 않아도 돼).
🔵 카이: 이건 어떻게 유도하나요?
🟡 리나: 스케일링 법칙 (C.28b)의 일반화로 이해할 수 있어. δ 함수의 선택성을 떠올려 봐——\(\delta(\text{무언가})\)는 「무언가 \(= 0\)」이 되는 점에서만 적분에 기여해. 그래서 \(\delta(g(x))\)는 \(g(x) = 0\)이 되는 점, 즉 각 근 \(x_i\)에서만 기여해.
🔵 카이: 근의 「근방」만 효과가 있다는 건가요?
🟡 리나: 그래. \(\int f(x)\,\delta(g(x))\,dx\)를 계산할 때, \(g(x) \neq 0\)인 영역은 \(\delta\)가 0이니까 적분에 효과가 없어. 효과가 있는 건 각 근 \(x_i\)의 「아주 가까운 근방」뿐이야. 그래서 적분을 각 근의 근방으로 분할할 수 있어: \(\int = \sum_i \int_{x_i \text{의 근방}}\).
각 근의 근방에서는 \(g(x)\)를 1차 근사할 수 있어——고등학교에서 배운 「접선의 방정식」과 같은 생각이야. 구체적인 예로 먼저 감각을 잡아보자. \(g(x) = x^2 - 1\)이면 근은 \(x = 1\)과 \(x = -1\)이야. \(x = 1\) 근처에서는 \(g(x) = x^2 - 1 \approx 2(x - 1)\) (접선의 기울기 \(g'(1) = 2\)).
⚪ 메이: δ 함수는 \(x = 1\)의 아주 가까운 근방밖에 「보지 않으」니까, 이 직선 근사로 충분하다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 일반적으로 \(g(x)\)를 \(x_i\) 근처에서 1차 근사하면 \(g(x) \approx g(x_i) + g'(x_i)(x - x_i)\)야 (고등학교에서 배운 접선의 방정식 \(y \approx y_0 + f'(x_0)(x - x_0)\)과 같은 형태지). 여기서 \(g(x_i) = 0\) (근의 정의)이므로 \(g(x) \approx g'(x_i)(x - x_i)\)가 돼. 왜 1차 근사로 충분한지 설명하면, δ 함수는 \(x_i\)의 아주 가까운 근방——폭이 0에 가까운 범위——에서만 기여를 잡아내. 그 「0에 가까운 폭」 안에서는 2차 이상의 항 \(g''(x_i)(x-x_i)^2/2 + \cdots\)는 \((x-x_i)\)의 1차 항에 비해 무시할 수 있을 만큼 작으니까, 1차 근사로 충분한 거야. 그러면 \(\delta(g(x)) \approx \delta(g'(x_i)(x - x_i))\)가 되고, 여기에 스케일링 법칙 (C.28b)를 \(a = g'(x_i)\)로 적용하면 \(\frac{1}{|g'(x_i)|}\delta(x - x_i)\)가 얻어져. 모든 근에서의 기여를 합하면 식 (C.28c)가 되는 거야.
🔵 카이: 그렇군요. δ 함수가 「폭 0의 필터」이므로 근 근처에서는 직선으로 근사해도 오차가 나지 않는다는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 구체적인 예를 보자. \(\delta(x^2 - 1) = \delta((x-1)(x+1))\)이면 \(g(x) = x^2 - 1\)이고 근은 \(x = \pm 1\)이야. \(g'(x) = 2x\)이므로 \(|g'(1)| = 2\), \(|g'(-1)| = 2\). 따라서 \(\delta(x^2-1) = \frac{1}{2}\delta(x-1) + \frac{1}{2}\delta(x+1)\)이 돼.
⚪ 메이: 각 근의 기여가 \(1/|g'|\)로 가중되어 합산되는 거네. 그래프가 급경사로 가로지르는 근일수록 기여가 작아지는 건, δ 함수의 「면적」이 거기서 얇아지는 이미지겠지.
(5) \(x\)와의 곱:
🔵 카이: 식 (C.28d)는 왜 성립하나요? \(\delta(x)\)는 \(x = 0\)에서 무한대인데, \(x\)를 곱하면 0이 된다고요?
🟡 리나: 초함수로서의 의미는 「\(x\,\delta(x)\)와 임의의 \(f(x)\)의 적분이 0」이라는 거야. \(f(x) \cdot x\)를 한 덩어리로 \(h(x) = x\,f(x)\)라고 생각하면, 선택성 (C.24)으로부터:
즉 \(\delta(x)\)가 \(x = 0\)의 값을 추출하니까, \(x\)라는 인자가 \(0\)을 주는 거야.
🔵 카이: 식 (C.28b)의 스케일링은 직관적으로 어떻게 이해하면 될까요?
🟡 리나: \(\delta(ax)\)는 \(x = 0\)에 피크가 있는 점은 같지만, \(a\)배 「압축」되어 있어. 면적을 \(1\)로 유지하려면 높이를 \(1/|a|\)배로 해야 해. 변수변환 \(u = ax\)로 확인할 수 있어. \(du = a\,dx\)이므로 \(dx = du/a\). \(a > 0\)이면 \(u = ax\)는 \(x\)와 같은 방향으로 움직이니까, \(x: -\infty \to +\infty\)일 때 \(u: -\infty \to +\infty\)로 적분 범위는 그대로야. \(dx = du/a\)를 대입하면 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(u/a)\,\delta(u)\,\frac{du}{a}\). 선택성 (C.24)으로 \(\delta(u)\)가 \(u = 0\)을 선택하므로 \(f(u/a)\big|_{u=0} = f(0)\)이 되어, \(= \frac{f(0)}{a} = \frac{f(0)}{|a|}\) (\(a > 0\)이므로 \(a = |a|\)).
\(a < 0\)인 경우는 약간 주의가 필요해. \(u = ax\)에서 \(a < 0\)이니까, \(x\)가 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)로 움직일 때 \(u\)는 \(+\infty\)에서 \(-\infty\)로 움직여 (방향이 역전). 변수변환하면:
정적분의 성질 \(\int_b^a (\cdots)\,du = -\int_a^b (\cdots)\,du\)를 사용해 상단과 하단을 바꾸면 \(= -\int_{-\infty}^{+\infty}f(u/a)\,\delta(u)\,\frac{du}{a}\). 이 식 앞의 인자를 정리하면 \((-1) \times \frac{1}{a}\)이지. \(a < 0\)이므로 \(a = -|a|\)로 쓸 수 있으니, \((-1) \times \frac{1}{a} = \frac{-1}{a} = \frac{-1}{-|a|} = \frac{1}{|a|}\). 결국:
정리하면, \(a > 0\)이든 \(a < 0\)이든 최종 결과는 같아서:
한편 \(\frac{1}{|a|}\delta(x)\)와 \(f(x)\)의 적분도 \(\int f(x)\cdot\frac{1}{|a|}\delta(x)\,dx = \frac{f(0)}{|a|}\). 양쪽이 일치하므로 식 (C.28b)가 성립해.
⚪ 메이: 그렇구나. 스케일링 법칙은 「압축하면 면적을 보존하기 위해 높이가 바뀐다」는 직관과 변수변환 계산이 일치하는 거네.
δ 함수의 미분¶
🟡 리나: δ 함수의 「미분」 \(\delta'(x)\)도 정의할 수 있어. 부분적분 형태로:
🔵 카이: 미분하면 \(f\)의 값이 아니라 \(f\)의 미분을 추출하는 거군요. 마이너스가 붙는 건 부분적분 때문인가요?
🟡 리나: 그래. 형식적으로 부분적분하면:
경계항은 \(\delta\)가 무한원에서 0이니까 사라져.
✅ 이해도 체크: \(\int_{-\infty}^{\infty}(3x^2 + 2x - 1)\,\delta(x - 2)\,dx\)를 계산해 보세요.
답
선택성에 의해 \(f(2) = 3(4) + 2(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15\).
📝 연습문제:
- \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\delta'(x)\,dx\)를 계산하라 → 문제 B-7. 다음 적분을 δ 함수의 Fourier 적분 표현(식 (C.19))
C.7 완전계의 합으로서의 δ 함수 — Fourier 적분 표현과 이산 기저의 경우¶
🟡 리나: 마지막으로, δ 함수와 「완전계」의 깊은 관계를 볼 거야. 이것이 양자역학에서 가장 빈번하게 사용되는 δ 함수의 모습이야.
Fourier 적분 표현¶
🟡 리나: 식 (C.19)에서 이미 사용했지만, 다시 한번 제대로 도출할게. 식 (C.17)의 역 Fourier 변환에 식 (C.16)을 대입하면:
적분 순서를 교환하고 정리하면:
이 식이 임의의 \(f(x)\)에 대해 성립하려면, 대괄호 안이 \(\delta(x - x')\)여야 해. 따라서:
🔵 카이: δ 함수가 「모든 파수의 평면파를 동일한 가중치로 합친 것」이라고요!?
🟡 리나: 그래! 직관적으로 말하면, \(e^{ik(x-x')}\)는 \(x = x'\)에서는 항상 \(1\)이니까 모든 파가 보강간섭해. \(x \neq x'\)에서는 위상이 제각각이라 상쇄간섭해. 결과적으로 \(x = x'\)에서만 날카로운 피크가 생기는 거야.
🔵 카이: 그거 이중슬릿 실험의 간섭과 같은 원리인가요? 위상이 맞는 점에서 보강간섭하고, 안 맞는 점에서 상쇄간섭하는.
🟡 리나: 아름다운 비유야. 이중슬릿은 2개의 파의 간섭이지만, 여기서는 무한 개의 평면파가 간섭하고 있어. 원리는 같은 「위상이 맞으면 보강간섭, 제각각이면 상쇄간섭」이야. 슬릿 수를 무한으로 늘린 궁극의 간섭이 δ 함수를 만든다고 생각해도 좋아. 수식으로 확인해 보자. \(x = x'\)이면 \(e^{ik(x-x')} = e^0 = 1\)로 피적분함수가 상수 \(1\)이므로, \(k\)의 적분 범위가 무한대라 발산해——이것이 「무한대의 피크」. \(x \neq x'\)이면 \(e^{ik(x-x')}\)는 \(k\)에 대해 진동하므로 상쇄되어 0이야. 확실히 δ 함수의 「\(x = x'\)에서만 0이 아닌」 성질이 재현되고 있어.
⚪ 메이: 즉, 위상이 맞는 \(x = x'\)에서는 모든 파가 건설적으로 간섭하여 발산하고, 위상이 제각각인 \(x \neq x'\)에서는 상쇄되어 0이 된다——리나 선생님의 직관적 설명이 그대로 수식에 나타나고 있네.
🟡 리나: 맞아. 식 (C.30)은 δ 함수의 Fourier 적분 표현이라고 불리며, 양자역학 곳곳에서 사용돼.
이산 기저의 경우 — 완전성 관계¶
🟡 리나: 연속 기저 \(\{e^{ikx}\}\)뿐만 아니라, 이산적인 정규직교기저 \(\{\phi_n(x)\}\)에서도 같은 구조가 나타나.
부록 B 에서 배웠듯이, 완전한 정규직교기저 \(\{\phi_n(x)\}\)가 있으면 임의의 함수를 전개할 수 있어:
(적분 범위는 함수가 정의된 영역 전체. 전 공간이면 \((-\infty, \infty)\), 유한 구간 \([0, a]\)이면 그 구간이야. 이하의 식에서도 같은 영역에서 적분해.)
\(c_n\)을 대입하면 (\(c_n\) 안의 적분변수는 \(x'\)로, 전개 대상의 \(x\)와는 별개 변수야):
여기서 각 항을 전개해서 쓰면 \(\sum_n \phi_n(x)\int \phi_n(x')^*\,f(x')\,dx'\)이지. \(\phi_n(x)\)는 \(x'\)에 의존하지 않으니까 적분 안에 넣을 수 있어서, \(\sum_n \int \phi_n(x)\,\phi_n(x')^*\,f(x')\,dx'\)로 쓸 수 있어. 더 나아가 합과 적분의 순서를 교환하면:
🔵 카이: 아, \(f(x')\)가 밖에 나오고 대괄호 안이 「기저의 정보만」 된 거네요.
🟡 리나: 그래. 두 번째 등호에서는 합과 적분의 순서를 교환하고 \(f(x')\)를 묶어낸 거야. C.5절에서 적분 순서 교환을 설명했는데, 여기서는 「무한합」과 「적분」의 교환이야. 생각하는 방식은 같아——각 항 \(\phi_n(x)\int\phi_n(x')^*f(x')\,dx'\)를 합산하는 것과, 먼저 \(\sum_n \phi_n(x)\phi_n(x')^*\)를 만들고 나서 \(x'\)로 적분하는 것은, 충분히 좋은 함수라면 같은 결과를 줘. 이것이 임의의 \(f(x)\)에 대해 성립하므로:
🔵 카이: 정규직교기저의 「완전성」이 δ 함수로 표현되는 거군요!
🟡 리나: 그래. 식 (C.31)은 완전성 관계 (completeness relation)라고 불려. 「기저가 완전하다」는 것은 바로 이 등식이 성립하는 것을 의미해.
구체적인 예: 무한 우물의 고유함수¶
🟡 리나: 구체적인 예를 보자. 구간 \([0, a]\)에서 정의되고, 양 끝에서 0이 되는 함수 (\(f(0) = f(a) = 0\))를 전개하기 위한 정규직교기저로:
가 있어. 이것은 나중에 배울 「무한 우물 퍼텐셜」의 고유함수이기도 하지만, 지금은 단순히 「구간 \([0, a]\)의 정규직교완전계」로 봐. 완전성 관계가 성립해:
⚪ 메이: 식 (C.30)의 연속 버전과 식 (C.32)의 이산 버전, 어느 쪽이든 「기저함수를 모두 합하면 δ 함수가 된다」는 같은 구조네.
🟡 리나: 정확히 그래. 양자역학에서는:
- 연속 스펙트럼 (자유입자의 운동량 고유상태 등) → 식 (C.30) 형태
- 이산 스펙트럼 (속박상태의 에너지 고유상태 등) → 식 (C.31) 형태
이 두 가지가 「완전성」의 두 얼굴이야. 제 11 장에서 Dirac 표기법을 배우면, 이것들은 통일적으로
으로 쓸 수 있게 돼.
🔵 카이: 이 \(|\phi_n\rangle\)이나 \(\langle\phi_n|\)은 뭐예요? 식 (C.31)을 다른 기호로 다시 쓴 것뿐인가요?
🟡 리나: 좋은 직관이야. 정확히 그래. \(\phi_n(x)\)를 \(|\phi_n\rangle\)으로 쓰고, \(\phi_n(x')^*\)를 \(\langle\phi_n|\)으로 쓰는 Dirac (디랙) 표기법이야. 제 11 장 에서 자세히 배울 테니, 지금은 「이산과 연속을 통일적으로 쓸 수 있는 편리한 표기법이 있다」고만 알아두면 충분해.
🔵 카이: 그렇군요, 식 (C.31)을 다른 기호로 다시 쓴 것뿐이네요. 근데 한 가지 궁금한 건, 연속의 경우 \(\int |k\rangle\langle k|\,dk\)에서, \(|k\rangle\) 끼리의 「내적」은 어떻게 되나요? 이산의 경우에는 정규직교성 \(\int \phi_m(x)^* \phi_n(x)\,dx = \delta_{mn}\)이 있었는데, 연속이면 어떻게 되는 거지……
🟡 리나: 예리한 의문이야. 연속의 경우에는 \(\langle k|k'\rangle = \delta(k - k')\)로, Kronecker 델타가 Dirac의 δ 함수로 바뀌어. 하지만 이건 제 11 장 의 이야기니까, 지금은 「그런 확장이 있다」고 머릿속 한구석에 넣어둬.
🔵 카이: 아, 이산에서는 \(\delta_{mn}\), 연속에서는 \(\delta(k - k')\)가 되는 거군요. 왜 같은 「델타」라는 이름인지 궁금했는데, 한쪽이 다른 쪽의 연속 버전이었구나. 근데 \(\delta_{mn}\)은 「0 아니면 1」로 유한한 값인데, \(\delta(k-k')\)는 「무한대 아니면 0」이잖아요. 완전히 다른 것처럼 보이는데 같은 역할을 한다니 신기하네요……
🟡 리나: 좋은 의문이야. 포인트는 「무엇과 조합해서 사용하느냐」야. \(\delta_{mn}\)은 합 \(\sum_n\)과 조합해서 \(\sum_n c_n \delta_{mn} = c_m\)으로 1항을 선택해. \(\delta(k-k')\)는 적분 \(\int dk'\)과 조합해서 \(\int \tilde{f}(k')\delta(k-k')\,dk' = \tilde{f}(k)\)로 1점을 선택해. 이산에서는 「1항을 선택하는」 데 값 \(1\)로 충분하지만, 연속에서는 「1점을 선택하는」 데 무한대의 높이가 필요해——적분은 「폭 × 높이」이니까, 폭이 0인 점에서 유한한 기여를 얻으려면 높이가 무한대가 아니면 안 되는 거야.
⚪ 메이: 이산의 합이 연속의 적분으로 바뀌는 것과 같은 패턴이 직교성의 표현에도 나타나는 거네. C.1절에서 \(\cos\)의 직교성을 사용해 Fourier 계수를 「추출한」 것도, C.4절에서 δ 함수가 \(k' = k\)를 「골라낸」 것도, 전부 같은 원리——「직교하는 기저로 내적을 취하면 하나만 남는다」의 이산 버전과 연속 버전이었구나.
🟡 리나: 그래. Kronecker 델타가 Dirac 델타로 「승격」한다고 기억하면 좋아. 이산에서 연속으로의 이행이 기저의 전개에도 직교성의 표현에도 일관되게 나타나는 거야.
δ 함수의 다른 적분 표현¶
🟡 리나: 마지막으로, 식 (C.30) 이외에도 자주 사용되는 δ 함수의 적분 표현을 정리해 둘게:
(1) Fourier 적분 표현 (재게재):
(2) sin 함수에 의한 표현:
(3) Fourier 급수로부터의 표현 (주기 \(L\)):
이 우변은 사실 주기 \(L\)인 함수로, \(x = 0, \pm L, \pm 2L, \ldots\)의 각 점에 δ 함수의 피크를 가져. \(|x| < L/2\) 범위로 한정하면 \(x = 0\)의 피크만 포함되므로, 그 범위에서 \(\delta(x)\)와 일치하는 거야.
🔵 카이: 식 (C.34)는 식 (C.33)의 적분을 유한 범위 \([-N, N]\)에서 잘라낸 건가요?
🟡 리나: 맞아!
\(N \to \infty\)에서 δ 함수로 수렴해.
🔵 카이: 식 (C.35)도 정말 선택성을 만족하나요? 어떻게 확인하지……
🟡 리나: 좋은 의문이야. 확인 방법은 지금까지와 같아——양변에 \(f(x)\)를 곱해서 적분하는 거야. 실제로 해보자. 식 (C.35)의 양변에 \(f(x)\)를 곱해서 \(-L/2\)에서 \(L/2\)까지 적분하면, 좌변은 선택성으로부터 \(\int_{-L/2}^{L/2} \delta(x) f(x)\,dx = f(0)\). 우변은 \(\frac{1}{L}\sum_n \int_{-L/2}^{L/2} f(x)\,e^{i\frac{2\pi n}{L}x}\,dx\)가 돼.
⚪ 메이: 우변의 \(\int_{-L/2}^{L/2} f(x)\,e^{i\frac{2\pi n}{L}x}\,dx\)는 식 (C.11)의 \(c_n\)과 비슷한데, 지수의 부호가 반대네.
🟡 리나: 좋은 관찰이야. 식 (C.11)을 떠올리면 \(c_n = \frac{1}{L}\int f(x)\,e^{-ik_n x}\,dx\)이니까, \(n\)을 \(-n\)으로 치환하면 \(c_{-n} = \frac{1}{L}\int f(x)\,e^{+ik_n x}\,dx\)이지. 우변의 각 항 \(\frac{1}{L}\int f(x)\,e^{i\frac{2\pi n}{L}x}\,dx\)는 바로 \(c_{-n}\) 그 자체야. 즉 우변은 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{-n}\). 하지만 합의 범위가 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)이므로, \(n\)을 \(-n\)으로 치환해도 범위는 변하지 않아. 따라서 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\). 한편, 식 (C.10)에서 \(x = 0\)으로 놓으면 \(f(0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\). 따라서 우변도 \(f(0)\)과 같아. 제대로 정합하고 있어.
🔵 카이: 합의 범위가 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)로 대칭이니까, \(n\)의 이름을 바꿔도 아무것도 변하지 않는다는 거구나. 그렇군요.
✅ 이해도 체크: 완전성 관계 \(\sum_n \phi_n(x)\phi_n(x')^* = \delta(x-x')\)의 물리적 의미를 서술하세요.
답
기저 \(\{\phi_n\}\)이 「완전」하다는 것, 즉 임의의 함수를 이 기저로 전개할 수 있음을 의미한다. 만약 기저가 불완전하다면 (일부 \(\phi_n\)이 빠져 있다면), 합은 \(\delta(x-x')\)가 되지 않고, 전개로 표현할 수 없는 함수가 존재하게 된다.
📝 연습문제:
- 식 (C.34)에서 \(N = 5, 20, 100\)의 그래프를 그려 \(N\)이 커짐에 따라 δ 함수에 가까워지는 모습을 확인하라 → 문제 M-4. δ 함수의 Fourier 적분 표현
정리 — 이 장의 공식 일람¶
🟡 리나: 마지막으로 이 Appendix에서 도입한 주요 공식을 일람으로 정리해 둘게. 본문에서 필요할 때 여기로 돌아와서 참조해.
표 C.2: 부록 C의 주요 공식 일람
| 명칭 | 식 | 식 번호 |
|---|---|---|
| Fourier 급수 (실수형) | \(f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right) + b_n\sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)\right]\) | (C.5) |
| 복소 Fourier 급수 | \(f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\,e^{ik_n x}\) | (C.10) |
| Fourier 변환 (대칭 규약) | \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)\,e^{-ikx}\,dx\) | (C.16) |
| 역 Fourier 변환 | \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk\) | (C.17) |
| Parseval의 등식 | \(\int\lvert f(x)\rvert^2\,dx = \int\lvert \tilde{f}(k)\rvert^2\,dk\) | (C.18) |
| 합성곱 정리 | \(\widetilde{(f*g)}(k) = \sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k)\,\tilde{g}(k)\) | (C.22) |
| δ 함수의 선택성 | \(\int f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)\) | (C.24) |
| δ 함수의 Fourier 표현 | \(\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int e^{ikx}\,dk\) | (C.33) |
| 완전성 관계 (이산) | \(\sum_n \phi_n(x)\,\phi_n(x')^* = \delta(x-x')\) | (C.31) |
다음 장 예고¶
🟡 리나: 이 장에서는 Fourier 해석과 δ 함수라는 「연속적인 기저 전개」의 수학을 정리했어. 다음 부록 D 에서는 Lagrangian·Hamiltonian 형식과 정준양자화를 다룰 거야. 고전역학의 변분원리에서 출발해서, 「좌표와 운동량을 연산자로 바꾸는」 양자화의 처방전이 어디서 오는지 보게 될 거야.
🔵 카이: 역학의 「최소작용의 원리」가 양자역학에 연결되나요?
🟡 리나: 그래. Hamilton의 정준방정식의 구조가 양자역학의 교환관계 \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\)를 자연스럽게 이끌어. 제 8 장에서 아무 설명 없이 도입했던 교환관계의 「출처」가, 고전역학의 Poisson 괄호에서 자연스럽게 떠오르게 될 거야.
⚪ 메이: 고전역학과 양자역학의 접점이네. 기대돼.
연습문제¶
📝 연습문제:
- 구간 \([0, L]\)에서 \(f(x) = x\)의 Fourier 계수 \(a_n, b_n\)을 구하라 → 문제 M-1. 구간 에서 정의된 함수 의 Fourier 계수 및 를 구하고, Fourier 급수（식 (C.5
- 가우스 함수 \(f(x) = e^{-ax^2}\) (\(a > 0\))의 Fourier 변환을 계산하라 → 문제 M-2. Gauss 함수의 Fourier 변환과 Parseval의 등식
- 식 (C.34)에서 \(N = 5, 20, 100\)의 그래프를 그려 \(N\)이 커짐에 따라 δ 함수에 가까워지는 모습을 확인하라 → 문제 M-4. δ 함수의 Fourier 적분 표현
- \(f'(x)\)의 Fourier 변환이 \(ik\tilde{f}(k)\)임을 보여라 (부분적분을 사용) → 문제 M-5. Fourier 변환에서의 미분 성질
- \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\delta'(x)\,dx\)를 계산하라 → 문제 B-7. 다음 적분을 δ 함수의 Fourier 적분 표현(식 (C.19))
참고문헌¶
- 広江克彦『趣味で量子力学』— 第 5 章「フーリエ解析」。本 Appendix の Fourier 級数から Fourier 変換への導出の流れ、および δ 関数の Fourier 級数展開の議論を参照した。
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. — Ch.2–3 の自由粒子・波束の議論、および δ 関数ポテンシャルの扱いにおける δ 関数の性質の整理を参照した。
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