부록 G 연습문제¶
Medium（표준）¶
M-1. \(\delta\sqrt{-g}\) 의 유도¶
\(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) 의 양변을 변분하여 \(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) 를 유도하세요. 나아가 \(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) 와 결합하여 \(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g} \, g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\) 를 보이세요.
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M-2. Einstein-Hilbert의 Newton 극한¶
Einstein 방정식의 약한 중력장(\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\), \(|h_{\mu\nu}| \ll 1\))·저속(\(v \ll c\))·정적(\(\partial_t = 0\)) 극한에서, \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\)이 됨을 인정하고, \(h_{00} = -2\Phi/c^2\)로 놓아 Newton의 포아송 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\)를 도출하세요.
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M-3. 우주상수항의 변분¶
Einstein-Hilbert 작용에 우주상수항 \(-2\Lambda\)를 추가한 작용 \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x\)를 \(g^{\mu\nu}\)로 변분하여, 우주상수가 포함된 Einstein 방정식 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)를 도출하세요.
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