제1장 장의 양자론이 필요한 이유 — 「양자역학」편 제 27 장의 이어서¶
지금까지의 줄거리:
「양자역학」편 제 27 장에서는 Schrödinger 방정식이 특수상대론과 모순된다는 것, Klein-Gordon 방정식과 Dirac 방정식의 도출, 반입자의 예언, 그리고 「입자의 수가 변하는 현상」을 기술하려면 장의 양자론(QFT)이 필요하다는 전망을 얻었다.
이 장의 목표
- 「왜 1입자의 파동함수로는 불충분한가」를 3가지 독립적인 논거로 이해하고, 「입자는 장의 들뜸이다」라는 「장의 양자론」편 의 세계관을 확립한다
- Fock 공간의 개념을 도입하고, 본 「장의 양자론」편 전체의 전망을 얻는다
1.1 「양자역학」편 제 27 장의 도달점——출발점의 확인¶
🟡 리나: 돌아왔군요. 양자역학의 최종장 「양자역학」편 제 27 장에서 우리는 이런 곳까지 도달했어요. 간결하게 되돌아봅시다.
🔵 카이: 음, Schrödinger 방정식이 상대론과 맞지 않아서, 상대론적인 에너지 식 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 를 사용해서 Klein-Gordon 방정식을 만들었잖아요.
⚪ 메이: 그리고 Klein-Gordon 방정식에는 「확률밀도가 음이 될 수 있다」는 문제가 있었어요. 그것을 해결하기 위해 Dirac이 1계 방정식을 만들었고, 거기서 반입자의 존재가 예언되었어요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 마지막에 「입자의 수가 변하는 현상을 기술하려면, 파동함수가 아니라 장 자체를 양자화할 필요가 있다」는 전망으로 「양자역학」편 제 27 장은 끝났어요. 오늘은 그 전망을 더 구체적으로, 수식을 사용해서 살을 붙여 나갈 거예요.
🔵 카이: 「장을 양자화한다」는 게 솔직히 아직 감이 안 잡히는데요……
🟡 리나: 괜찮아요. 이 장이 끝날 무렵에는 「왜 그렇게 해야만 하는지」가 납득이 될 거예요. 먼저 Klein-Gordon 방정식의 곤란함을, 「양자역학」편 제 27 장보다 더 꼼꼼히 수식으로 따라가 봅시다.
1.2 Klein-Gordon 방정식의 곤란함——확률 해석의 파탄¶
방정식의 복습¶
🟡 리나: 「양자역학」편 제 27 장에서 도출한 Klein-Gordon (클라인-고르돈) 방정식을 써 둘게요. 자연단위계 \(\hbar = c = 1\) 을 사용하면:
\(c\) 와 \(\hbar\) 를 명시적으로 쓰면:
🔵 카이: 이건 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 의 양변을 연산자로 치환해서 얻은 거였죠.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 「양자역학」편 제 27 장에서 확인한 것처럼, 시간과 공간이 2계 미분으로 대등하게 취급되니까 Lorentz 공변성은 만족돼요. 하지만 Lorentz 공변성은 필요조건이지 충분조건은 아니에요.
🔵 카이: 충분조건이 아니라면, 만족해야 할 다른 조건이 있다는 건가요?
🟡 리나: 그래요. Schrödinger 방정식에서는 확률밀도 \(\rho = |\psi|^2\) 가 항상 비음수임이 보장되어 있었잖아요. Klein-Gordon 방정식에서도 같은 것이 성립하는지——이것을 확인할 필요가 있어요. 계산해 봅시다.
연속 방정식과 확률밀도¶
🟡 리나: 양자역학에서 확률이 보존되려면, 확률밀도 \(\rho\) 와 확률류밀도 \(\mathbf{j}\) 가 연속 방정식 (continuity equation)
을 만족해야 해요. Schrödinger 방정식의 경우에는 \(\rho = |\psi|^2\) 로 이것이 성립한다는 걸 「양자역학」편 제 7 장에서 확인했었죠. Klein-Gordon 방정식에서도 같은 것을 시도해 봅시다.
🟡 리나: 식 (1.1)에 \(\phi^*\) 를 왼쪽에서 곱한 것과, 식 (1.1)의 복소켤레에 \(\phi\) 를 왼쪽에서 곱한 것의 차를 취해요. 구체적으로 해 볼게요.
식 (1.1)의 복소켤레는:
「\(\phi^*\) × 식 (1.1)」\(-\)「\(\phi\) × 식 (1.4)」를 계산하면:
🔵 카이: \(m^2\) 항은 \(\phi^* m^2 \phi - \phi m^2 \phi^* = 0\) 으로 소거되는군요.
🟡 리나: 맞아요. 남은 항을 정리할게요. 차를 취한 식을 다시 쓰면:
시간미분 부분은:
공간미분 부분은 (부호에 주의해서):
(마지막 등호는, \(\nabla \cdot (\phi^* \nabla \phi) = (\nabla \phi^*) \cdot (\nabla \phi) + \phi^* \nabla^2 \phi\) 이고, 다른 쪽도 마찬가지로 전개해서 빼면 \((\nabla \phi^*) \cdot (\nabla \phi)\) 항이 소거되어 \(\phi^* \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \phi^* = \nabla \cdot (\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*)\) 가 확인돼요.)
⚪ 메이: 둘 다 곱의 미분법칙을 역으로 사용하고 있는 거네요.
🔵 카이: 음, 예를 들어 시간미분 쪽은 \(\frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) = \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\) 이고, 다른 쪽도 마찬가지로 전개해서 빼면……확실히 \(\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t}\) 항이 소거되어 좌변으로 돌아가네요. 그런데 왜 이런 조작을 하는 건가요? 「\(\phi^*\) 를 곱해서 빼라」는 건 갑자기 나온 것처럼 보이는데요……
🟡 리나: 좋은 의문이에요. 사실 이건 Schrödinger 방정식에서 확률의 보존을 보일 때와 완전히 같은 수법이에요 (「양자역학」편 제 7 장 을 떠올려 봐요). 그때도 \(\psi^*\) × 방정식 \(-\) \(\psi\) × 복소켤레 방정식을 계산해서 연속 방정식을 도출했잖아요? 「보존량을 찾고 싶을 때는, 방정식에 복소켤레를 곱해서 빼라」는 것이 정석이에요. 공간미분 쪽도 완전히 같은 구조예요.
🟡 리나: 정리하면:
이것을 연속 방정식 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\) 의 형태로 정리하고 싶어요. 먼저 \(\frac{i}{2m}\) 을 전체에 곱할게요. 왜 \(i\) 가 필요한지 말하자면, \(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\) 는 사실 순허수예요 (복소수 \(z\) 에 대해 \(z - z^*\) 는 항상 순허수가 되잖아요? 그것과 같은 구조예요). 그래서 \(i\) 를 곱해서 실수로 만들어 줄 필요가 있어요. 곱한 결과는:
🔵 카이: 아, 시간미분의 괄호 안의 내용이 \(\rho\) 가 되고, 공간미분 쪽에서 \(\mathbf{j}\) 를 읽어내는 거군요.
🟡 리나: 맞아요. 여기서 연속 방정식 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\) 과 비교해 봐요. 시간미분 앞의 괄호 안의 내용을 \(\rho\) 로 정의하는 것이 자연스럽죠 (식 중의 \(\underbrace{\cdots}_{\equiv\,\rho}\) 가 그것을 나타내고 있어요). 공간미분 항은 \(-\nabla \cdot (\cdots)\) 의 형태가 되어 있으니까, \(+\nabla \cdot \mathbf{j}\) 로 만들려면 \(\mathbf{j} = -\frac{i}{2m}(\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*)\) 로 정의하면 돼요. 마이너스를 \(\mathbf{j}\) 의 정의에 흡수하는 것뿐이에요.
🔵 카이: 음, 조금 부호가 헷갈리는데요……. \(\frac{i}{2m}\) 을 곱한 후의 식을 보면, 공간미분 항은 \(-\frac{i}{2m}\nabla \cdot (\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*)\) 이잖아요. 연속 방정식은 \(+\nabla \cdot \mathbf{j}\) 이니까, \(\mathbf{j} = -\frac{i}{2m}(\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*)\) 로 정의하면 앞뒤가 맞는다는 건가요?
🟡 리나: 맞아요. 즉 \(\frac{i}{2m}\) 을 곱한 후의 식 전체는
이 되니까, \(\mathbf{j} = -\frac{i}{2m}(\phi^* \nabla \phi - \phi \nabla \phi^*)\) 로 정의하면 연속 방정식의 형태에 딱 맞아떨어져요.
🔵 카이: OK, 원래 식의 마이너스 부호를 \(\mathbf{j}\) 의 정의에 편입시켜서 \(+\nabla \cdot \mathbf{j}\) 의 형태로 만드는 거군요. 그런데 왜 \(\frac{i}{2m}\) 인 건가요? 갑자기 나온 것처럼 보이는데요……
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 참고로, 여기서는 자연단위계 \(\hbar = c = 1\) 을 사용하고 있어서 계수가 \(\frac{i}{2m}\) 이 되었지만, \(\hbar\) 와 \(c\) 를 명시하는 경우 \(\rho\) 의 계수는 \(\frac{i\hbar}{2mc^2}\) 가 돼요 (\(\mathbf{j}\) 쪽은 \(-\frac{i\hbar}{2m}\) 으로, \(\rho\) 에 비해 \(c^2\) 의 인자가 들어가지 않는다는 점에 주의해요. 이 차이는 식 (1.2)의 시간미분 앞에 \(1/c^2\) 가 곱해져 있는 것에서 유래해요——같은 절차로 「\(\phi^*\) × 식 (1.2)」\(-\)「\(\phi\) × 복소켤레」를 계산하면, 시간미분 항에는 \(1/c^2\) 가 추가로 곱해지니까 \(\rho\) 의 계수 분모에 \(c^2\) 가 들어가는 거예요). 먼저 \(i\) 가 필요한 이유를 좀 더 보충할게요. 복소수 \(z = a + bi\) 에 대해 \(z - z^* = (a+bi) - (a-bi) = 2bi\) 로, 이건 순허수죠. 여기서 \(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}\) 라는 양을 생각하면, 그 복소켤레는 \((\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t})^* = \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\) 가 돼요 (복소켤레를 취하면 \(\phi^* \to \phi\), \(\frac{\partial \phi}{\partial t} \to \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\) 가 되니까). 즉 \(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\) 는 「어떤 복소수에서 그 복소켤레를 뺀 형태」 \(z - z^*\) 가 되어 있어서, 반드시 순허수가 돼요. 그래서 \(i\) 를 곱하면 \(i \times (\text{순허수}) = i \times 2bi = -2b\) 처럼 실수가 돼요. 확률밀도는 실수여야 의미가 있으니까 \(i\) 가 필요한 거예요.
⚪ 메이: 「\(z - z^*\) 는 순허수」라는 일반적인 성질이 작용하고 있는 거네요.
🟡 리나: 다음으로 \(\frac{1}{2m}\) 부분. 이 계수는 「입자의 속도가 광속보다 훨씬 느린 극한(비상대론적 극한)에서, \(\rho\) 가 Schrödinger 방정식의 확률밀도 \(|\psi|^2\) 에 정확히 일치하도록」 선택한 것이에요 (\(\hbar = 1\) 인 단위계에서). 구체적으로 확인해 봅시다.
🔵 카이: 「비상대론적 극한에서 일치한다」는 걸 어떻게 확인하나요?
🟡 리나: 먼저 준비로서, 양자역학에서 배운 것을 떠올려 봐요. 에너지 \(E\) 의 정상상태는 시간인자 \(e^{-iEt}\) 를 갖잖아요 (「양자역학」편 제 7 장 에서 \(\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}\) 라고 쓴 걸 기억해요? 자연단위계 \(\hbar = 1\) 에서는 이것이 \(e^{-iEt}\) 가 돼요). 자, 상대론적 입자의 전체 에너지는 \(E = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) 인데, 입자가 거의 정지해 있다면 \(|\mathbf{p}| \ll m\) 이니까 \(E \approx m\) (자연단위계 \(c = 1\) 에서는 \(E = mc^2\) 가 \(E = m\) 이 돼요). 즉, 거의 정지한 입자의 파동함수에는 \(e^{-imt}\) 라는 매우 빠른 진동이 반드시 포함돼요.
🔵 카이: 「빠른 진동」이라면 얼마나 빠른 건가요?
🟡 리나: 전자의 경우, 진동수는 \(m_e c^2/\hbar \approx 7.8 \times 10^{20}\) Hz——가시광 진동수의 100만 배 이상이에요. 하지만 이 빠른 진동은 입자가 정지해 있어도 존재하는 「배경 진동」이고, 물리적으로 흥미로운 것은 거기서의 어긋남 쪽이에요. 그래서 \(\phi = e^{-imt}\psi\) 라고 써서, 빠른 진동 \(e^{-imt}\) 를 분리하고, 천천히 변화하는 부분 \(\psi\) 만을 꺼내는 거예요. Schrödinger 방정식이 기술하는 것이 바로 이 \(\psi\) 예요.
🔵 카이: 그렇군요, 정지에너지분의 빠른 진동을 분리하고, 나머지 천천히 변하는 부분만 보는 거군요.
🟡 리나: \(\psi\) 의 시간변화가 \(m\) 에 비해 무시할 수 있을 만큼 느리다면——구체적으로는 \(|\dot{\psi}| \ll m|\psi|\) (자연단위계 \(\hbar = c = 1\) 에서 \(m\) 은 각진동수의 차원을 가지니까, 이것은 「\(\psi\) 의 변화 속도가 배경진동 \(e^{-imt}\) 의 진동수 \(m\) 보다 훨씬 느리다」는 의미예요)——라면, \(\partial\phi/\partial t = (-im\psi + \dot{\psi})e^{-imt} \approx -im\phi\) 로 근사할 수 있어요. \(\dot{\psi}\) 항을 \(-im\psi\) 에 비해 무시한 거예요. 이것을 \(\rho\) 의 식에 대입하면 \(\rho = \frac{i}{2m}(\phi^*(-im)\phi - \phi(im)\phi^*) = \frac{i}{2m}(-2im)|\phi|^2 = |\phi|^2\) 가 돼요. 그리고 \(\phi = e^{-imt}\psi\) 이니까 \(|\phi|^2 = |e^{-imt}|^2|\psi|^2 = |\psi|^2\) (\(e^{-imt}\) 는 절댓값 1인 복소수이므로 \(|e^{-imt}| = 1\) 이에요). 제대로 Schrödinger 방정식의 확률밀도로 귀착되네요.
⚪ 메이: 그렇구나, 「올바른 극한을 재현한다」는 것이 계수를 결정하는 지침이 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 그러면 여기까지의 결과를 정리합시다. \(\frac{i}{2m}\) 을 곱한 연속 방정식과, 거기서 읽어낼 수 있는 \(\rho\) 와 \(\mathbf{j}\) 의 정의를 써 내릴게요:
단,
🔵 카이: 아, \(\mathbf{j}\) 는 Schrödinger 방정식의 확률류밀도와 같은 형태네요! 그런데 \(\rho\) 가……
🟡 리나: 그래요. 여기가 결정적인 차이예요. Schrödinger 방정식에서는 \(\rho = |\psi|^2\) 로 항상 비음수였어요. 하지만 Klein-Gordon 방정식의 \(\rho\) 는 식 (1.6)의 형태를 하고 있어서, 시간미분을 포함하고 있어요.
평면파 해로 확인하기¶
🟡 리나: 구체적으로 평면파 해를 대입해서 확인해 봅시다. Klein-Gordon 방정식의 평면파 해는:
이것을 식 (1.1)에 대입하면:
따라서 분산관계:
🔵 카이: \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) 이라면, \(E = \pm\sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) 으로 음의 에너지 해도 있는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 이건 「양자역학」편 제 27 장에서도 다룬 문제죠. 자, 이 평면파 해를 \(\rho\) 의 식 (1.6)에 대입해 봅시다.
따라서:
🔵 카이: \(\rho = \frac{E}{m}|A|^2\)……어라, \(E\) 가 음수이면 \(\rho\) 도 음수가 되지 않나요?
🟡 리나: 맞아요. \(E > 0\) 이면 \(\rho > 0\) 이지만, \(E < 0\) 인 해에서는 \(\rho < 0\) 이 되어 버려요.
🔵 카이: 확률이 음수라니……「입자가 거기에 있을 확률이 마이너스」라는 뜻인가요? 그건 물리적으로 의미가 없잖아요?
그림 1.1: Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 문제. 왼쪽 — Schrödinger 방정식에서는 확률밀도 \(\rho = |\psi|^2 \geq 0\) 이 항상 비음수. 오른쪽 — Klein-Gordon 방정식에서는 \(\rho = (E/m)|A|^2\) 가 되어 \(E < 0\) 인 해에 대해 \(\rho < 0\) 이 될 수 있다.
🟡 리나: 맞아요. 바로 그것이 Klein-Gordon 방정식의 치명적인 문제예요. 확률밀도가 음이 될 수 있다는 것은 \(\rho\) 를 확률밀도로 해석할 수 없다는 뜻이에요. 그림 1.1「Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 문제. 왼쪽」 에 Schrödinger 방정식과의 대비를 정리해 두었어요. 아래 표에도 각 방정식의 확률밀도 성질을 비교해 두었으니 참고해요.
표 1.1: Schrödinger 방정식과 Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 비교
| Schrödinger 방정식 | Klein-Gordon 방정식 | |
|---|---|---|
| 시간미분의 계수 | 1계 | 2계 |
| 확률밀도 \(\rho\) | $ | \psi |
| \(E < 0\) 에서의 문제 | 음에너지 해가 존재하지 않음 | \(\rho < 0\) → 확률 해석 파탄 |
| Lorentz 공변성 | 만족하지 않음 | 만족함 |
🔵 카이: 그러면 Klein-Gordon 방정식은 쓸모없는 건가요?
🟡 리나: 1입자의 파동함수로서는 쓸 수 없어요. 하지만 나중에 보게 되겠지만 장의 양자론의 틀에서 재해석하면, \(\rho\) 는 확률밀도가 아니라 전하밀도로서 의미를 갖게 된다는 것을 알 수 있어요. 음의 \(\rho\) 는 음의 전하——즉 반입자——에 대응하는 거예요. 하지만 그건 나중 이야기. 지금은 「1입자의 양자역학 틀에서는 Klein-Gordon 방정식이 파탄한다」는 것을 기억해 두세요.
✅ 이해도 체크: Klein-Gordon 방정식의 「확률밀도」 \(\rho\) 가 음이 될 수 있는 근본적인 이유는 무엇일까요?
답
Klein-Gordon 방정식은 시간에 대해 2계 미분이기 때문에, \(\rho\) 의 표현식에 시간미분 \(\partial\phi/\partial t\) 가 포함된다. 그 결과 \(\rho\) 의 부호는 에너지 \(E\) 의 부호에 의존하게 되어 \(E < 0\) 인 해에 대해 \(\rho < 0\) 이 된다. Schrödinger 방정식(시간 1계 미분)에서는 \(\rho = |\psi|^2 \geq 0\) 이 자동으로 보장되는 것과 대조적이다.
📝 연습문제:
- Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 계산 → 문제 M-1. Klein-Gordon 방정식의 확률 흐름 밀도의 Lorentz 공변성
1.3 Dirac 방정식과 반입자——1계로 되돌리는 천재적 착상¶
🟡 리나: Klein-Gordon 방정식의 문제점을 정리하면 2가지였어요:
- 확률밀도가 음이 될 수 있다——식 (1.10)에서 \(E < 0\) 일 때 \(\rho < 0\) 이 되었다
- 음에너지 해의 물리적 해석이 불명——식 (1.9)에서 \(E = -\sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) 라는 해가 존재하지만, 「음의 에너지를 가진 입자」란 무엇인가
Dirac (디랙)은 이 문제를 「시간미분이 2계인 것」에 기인한다고 생각하고, 시간에 대해 1계인 상대론적 방정식을 만드는 것을 시도했어요.
🔵 카이: 하지만 Lorentz 공변성을 유지하려면 시간과 공간을 대등하게 다뤄야 하잖아요? 시간이 1계라면 공간도 1계여야……
🟡 리나: 예리해요. 바로 거기가 Dirac의 천재적 착상이에요. 그는 다음 형태의 방정식을 구했어요:
여기서 \(\boldsymbol{\alpha} = (\alpha^1, \alpha^2, \alpha^3)\) 와 \(\beta\) 는 미지의 대상이에요. 이것들이 보통의 수(스칼라)로는 상대론적 분산관계 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) 를 재현할 수 없다는 것을 알 수 있어요.
⚪ 메이: 「양자역학」편 제 27 장에서도 비슷한 이야기가 나왔었죠.
🟡 리나: 그래요. 그때는 결론만 말했는데, 이번에는 조금 더 꼼꼼히 봐 봅시다. \(\boldsymbol{\alpha}\) 와 \(\beta\) 가 보통의 수(스칼라)이면 상대론적 분산관계를 재현할 수 없다는 것을 보일게요. 식 (1.11)의 우변을 \(\hat{H} = \boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{p} + \beta m\) (\(\mathbf{p} = -i\nabla\))이라 쓰면, 에너지 고유상태에서는 \(\hat{H}\psi = E\psi\) 가 성립해요. 양변에 왼쪽에서 \(\hat{H}\) 를 한 번 더 작용시키면 \(\hat{H}^2\psi = \hat{H}(E\psi) = E(\hat{H}\psi) = E^2\psi\) 가 돼요 (\(E\) 는 그냥 수이므로 \(\hat{H}\) 와 교환 가능해요). 즉 \(\hat{H}^2\psi = E^2\psi\) 가 성립하고, \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) 라는 분산관계를 재현하려면 \(\hat{H}^2\) 가 \((|\mathbf{p}|^2 + m^2)\,I\) 와 같아야 해요 (\(I\) 는 단위행렬. \(\hat{H}\) 가 행렬이므로 우변도 행렬이어야 등식이 성립해요. 여기서 중요한 것은 \(\hat{H}^2\) 를 계산했을 때, 임의의 평면파 \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) 에 작용시킨 결과가 \((|\mathbf{p}|^2 + m^2)\,I\) 배가 되어야 한다는 것——즉 연산자로서 \(\hat{H}^2 = (\hat{\mathbf{p}}^2 + m^2)\,I\) 가 성립해야 해요. 이하에서는 평면파에 작용시킨 경우를 생각하여 \(\hat{\mathbf{p}}\) 를 고유값 \(\mathbf{p}\) 로 치환해서 논의할게요). 그러면 \(\hat{H}^2\) 를 계산해 봅시다.
🔵 카이: \(\hat{H}\) 를 제곱한다, 즉 \(\hat{H}\) 를 자기 자신에 곱하는 거군요.
🟡 리나: \(\hat{H} = \alpha^1 p_1 + \alpha^2 p_2 + \alpha^3 p_3 + \beta m\) 을 제곱할게요. 4개의 항이 있어서 언뜻 복잡하지만, 먼저 간단한 예로 감을 잡아 봅시다. 만약 항이 2개뿐이라면, 예를 들어 \((A + B)^2\) 이면 \(A^2 + AB + BA + B^2\) 이죠 (행렬이니까 \(AB \neq BA\) 에 주의). 3개라면 \((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + (AB + BA) + (AC + CA) + (BC + CB)\) ——즉 「같은 것끼리의 제곱」과 「서로 다른 쌍의 곱(양쪽 순서)」으로 나뉘어요. 4개인 경우도 같은 구조로, 모든 쌍의 곱을 모아야 해요. 정리하면 4종류로 나뉘어요:
- 같은 것끼리의 곱: \(\alpha^1 p_1 \cdot \alpha^1 p_1 = (\alpha^1)^2 p_1^2\) 등 → \(\sum_i (\alpha^i)^2 p_i^2\)
- 서로 다른 \(\alpha\) 끼리의 곱: \(\alpha^1 p_1 \cdot \alpha^2 p_2\) 와 \(\alpha^2 p_2 \cdot \alpha^1 p_1\) 모두 나옴 → \(\sum_{i<j}(\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i)p_i p_j\)
- \(\alpha\) 와 \(\beta\) 의 곱: \(\alpha^i p_i \cdot \beta m\) 과 \(\beta m \cdot \alpha^i p_i\) → \(\sum_i(\alpha^i \beta + \beta \alpha^i)m\,p_i\)
- \(\beta\) 끼리의 곱: \(\beta m \cdot \beta m = \beta^2 m^2\)
정리하면:
여기서 \(\sum_{i<j}\) 는 「\(i\) 와 \(j\) 의 조합을 중복 없이 1번씩 뽑는다」는 의미예요 (예를 들어 3차원이면 \((i,j) = (1,2), (1,3), (2,3)\) 의 3가지). 그리고 \(\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i\) 처럼 양쪽 순서의 곱이 나타나는 것은 \(\alpha^i\) 가 행렬이라 \(\alpha^i \alpha^j \neq \alpha^j \alpha^i\) (일반적으로 곱의 순서를 바꿀 수 없음)이기 때문이에요.
⚪ 메이: 행렬이니까 곱의 순서가 중요하고, \(AB + BA\) 로 합칠 수 없다——그것이 반교환관계로 이어지는 거네요.
🟡 리나: 구체적으로 봅시다. \((A + B)^2\) 를 전개할 때, 첫 번째 \((A + B)\) 에서 \(A\) 를, 두 번째 \((A + B)\) 에서 \(B\) 를 취하면 \(AB\) 가 나와요. 반대로 첫 번째에서 \(B\), 두 번째에서 \(A\) 를 취하면 \(BA\) 가 나오고. 보통의 수라면 \(AB = BA\) 이니까 \(AB + BA = 2AB\) 로 합칠 수 있지만, 행렬에서는 그렇게 안 되니까 \(AB + BA\) 인 채로 남겨야 해요. 4항인 경우도 마찬가지로, \(\alpha^i p_i\) 와 \(\alpha^j p_j\) 를 취하는 순서가 2가지 있으니까 \(\alpha^i \alpha^j p_i p_j + \alpha^j \alpha^i p_j p_i = (\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i)p_i p_j\) 가 나오는 거예요.
🔵 카이: 아, 행렬의 곱셈은 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 거였죠. 양자역학에서 행렬을 사용했을 때 \(AB \neq BA\) 가 되는 예가 있었잖아요. 그런데 \(\alpha^i\) 와 \(p_i\) 는 순서를 바꿔도 되나요? \(\alpha^i p_i\) 와 \(p_i \alpha^i\) 는 같은 건가요?
🟡 리나: 좋은 확인이에요. \(\alpha^i\) 는 공간에 의존하지 않는 상수 행렬이고, \(p_i = -i\partial/\partial x^i\) 는 공간좌표의 미분 연산자예요. 미분은 「자신의 오른쪽에 있는 함수」에 작용하지만, \(\alpha^i\) 는 상수이니까 미분해도 아무 일도 일어나지 않아요. 그래서 \(p_i \alpha^i = \alpha^i p_i\) 로 자유롭게 교환할 수 있어요 (아니면 아까 말한 것처럼 평면파에 작용시켜서 \(p_i\) 를 고유값——그냥 수——으로 치환해 버리면, 수와 행렬은 당연히 교환 가능하죠). 반면에 \(\alpha^i\) 끼리는 행렬이니까 순서가 중요해요—— \(\alpha^i \alpha^j \neq \alpha^j \alpha^i\) 가 일반적으로 성립해요.
🟡 리나: 좀 더 구체적으로 보면, \(\sum_i \alpha^i p_i\) 안에서 \(i\) 번째 항 \(\alpha^i p_i\) 와 \(j\) 번째 항 \(\alpha^j p_j\) (\(i \neq j\))를 꺼내서 곱하면, \(\alpha^i p_i \cdot \alpha^j p_j\) 와 \(\alpha^j p_j \cdot \alpha^i p_i\) 의 2가지가 나와요. 아까 확인한 것처럼 \(p_i\) 와 \(\alpha\) 는 자유롭게 교환할 수 있으니까, 이것들은 \(\alpha^i \alpha^j p_i p_j\) 와 \(\alpha^j \alpha^i p_i p_j\) 가 되고, 더하면 \((\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i) p_i p_j\) 가 돼요.
이것이 \(|\mathbf{p}|^2 + m^2\) 와 같아지려면:
- \(\sum_i (\alpha^i)^2 p_i^2 = I\,|\mathbf{p}|^2\) 가 되려면 \((\alpha^i)^2 = I\) (단위행렬. \(I \cdot |\mathbf{p}|^2\) 는 「모든 성분에 \(|\mathbf{p}|^2\) 를 곱한 행렬」의 의미예요)
- \(i \neq j\) 의 교차항 \((\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i)p_i p_j\) 가 모두 사라지려면 \(\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i = 0\) (\(i \neq j\))
- \(\alpha^i\) 와 \(\beta\) 의 교차항 \((\alpha^i \beta + \beta \alpha^i)m\,p_i\) 가 사라지려면 \(\alpha^i \beta + \beta \alpha^i = 0\) (이것은 임의의 운동량 \(p_i\) 에 대해 성립해야 하므로, 계수행렬 자체가 영이어야 해요)
- \(\beta^2 m^2 = m^2\) 이 되려면 \(\beta^2 = I\)
🔵 카이: 「방해가 되는 항을 영으로 만드는」 조건을 전부 모으면 반교환관계가 되는 거군요!
🟡 리나: 이것들을 모아서 쓰면:
여기서 \(\{A, B\} \equiv AB + BA\) 는 반교환관계 (anticommutator), \(I\) 는 단위행렬이에요 (물리 교과서에서는 \(I\) 를 생략하고 단순히 \(1\) 로 쓰는 경우도 많지만, \(\alpha^i\) 나 \(\beta\) 가 행렬이라는 것을 잊지 말아요). 첫 번째 조건은 \(i = j\) 일 때 \((\alpha^i)^2 = I\), \(i \neq j\) 일 때 \(\alpha^i \alpha^j + \alpha^j \alpha^i = 0\) 을 하나의 식으로 정리한 것이에요. 이 조건들은 「양자역학」편 제 27 장에서도 도출한 것이지만, 여기서 다시 한번 확인해 두었어요.
🔵 카이: 반교환관계! 교환관계 \([A, B] = AB - BA\) 의 플러스 버전이네요.
🟡 리나: 맞아요. 그리고 이 조건을 만족하는 최소 크기의 행렬은 \(4 \times 4\) 행렬이에요. 즉 파동함수 \(\psi\) 는 4성분의 열——스피너 (spinor)——가 되는 거예요. 「4성분이니까 4차원 벡터와 같지 않나?」라고 생각할 수 있지만, 좌표변환했을 때의 변환 방식이 4차원 벡터와는 달라요. 그래서 구별하여 「스피너」라고 부르는 거예요. 자세한 것은 제 5 장 에서 다룰 테니, 지금은 「Dirac 방정식의 파동함수는 4성분을 가진 특별한 대상」이라는 것만 기억해 두세요.
🔵 카이: 4성분은 무엇을 나타내는 건가요?
🟡 리나: 4성분 중 2개가 스핀 위·아래의 전자에 대응하고, 나머지 2개가 반입자——양전자——에 대응해요. 그림 1.2「Dirac 스피너의 4성분 구조」 에 그 대응을 정리해 두었어요.
그림 1.2: Dirac 스피너의 4성분 구조. 위 2성분 (\(\psi_1, \psi_2\))이 전자의 스핀 위·아래에, 아래 2성분 (\(\psi_3, \psi_4\))이 양전자(반입자)의 스핀 위·아래에 대응한다. 방정식을 풀기만 하면 반입자가 자연스럽게 나타난다.
🔵 카이: 방정식을 풀었더니 반입자가 저절로 나오는 건 놀랍지만……4성분 중 2개가 반입자라면, 처음부터 「반입자가 있다」고 가정하고 있는 것과 같지 않나요? 아니면 가정 없이 나오는 건가요? 그리고 확률밀도 문제는 어떻게 된 건가요?
🟡 리나: 첫 번째 질문에 답할게요. Dirac은 반입자의 존재를 가정한 게 아니에요. 그가 가정한 것은 「시간 1계·공간 1계로 Lorentz 공변인 방정식을 만든다」는 것뿐이에요. 그 조건을 만족하려면 최소한 4성분이 필요하고, 방정식을 풀면 음에너지 해가 나와요——그것을 물리적으로 해석하면 반입자가 된다는 흐름이에요. 즉 반입자는 가정이 아니라, Lorentz 공변성과 양자역학의 요청으로부터 도출되는 귀결이에요.
⚪ 메이: 가정은 「1계·Lorentz 공변」뿐이고 반입자는 그 귀결——아름답네요.
🟡 리나: 그리고 확률밀도 문제에 대해서. Dirac 방정식은 Klein-Gordon 방정식의 문제를 부분적으로 해결했어요. 확률밀도 \(\rho = \psi^\dagger \psi = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + |\psi_3|^2 + |\psi_4|^2 \geq 0\) 이 항상 비음수가 돼요.
🔵 카이: 오오! 그러면 Dirac 방정식이면 문제가 없는 건가요?
🟡 리나: 확률밀도 문제는 해결돼요. 하지만 음에너지 해는 여전히 존재해요. Dirac은 이것을 「Dirac의 바다」라는 묘사로 해석했어요——음에너지 상태가 모두 페르미온으로 채워져 있고, 거기에 「구멍」이 열리면 양의 에너지·양의 전하를 가진 입자(양전자)로 관측된다고.
🔵 카이: 그런데 잠깐요. 「음에너지 상태를 전부 채운다」면, 무한개의 전자가 필요하잖아요? 그런 무한개의 입자가 정말로 존재하나요? 게다가, 광자처럼 같은 상태에 몇 개든 들어갈 수 있는 입자라면, 「전부 채우는」 것 자체가 불가능하지 않나요……
🟡 리나: 예리한 지적이에요, 둘 다 맞아요. 특히 두 번째가 치명적이에요. Dirac의 바다 묘사는 페르미온——Pauli의 배타원리로 각 상태를 1개씩 채울 수 있는 입자——에만 사용할 수 있어요. 보손에는 배타원리가 없으니까, 「모든 상태를 채운다」는 것 자체가 불가능해요. 그림 1.3「Dirac의 바다 묘사. 왼쪽」 에 Dirac의 바다 묘사를 그림으로 나타냈어요.
그림 1.3: Dirac의 바다 묘사. 왼쪽 — 진공상태: 음에너지 상태가 모두 페르미온으로 채워져 있다. 오른쪽 — 쌍생성: 광자의 에너지로 음에너지 전자가 양에너지로 들뜨면, 남겨진 「구멍」이 양전자로 관측된다. 이 묘사는 페르미온(배타원리 있음)에만 적용 가능.
🔵 카이: 에, 그러면 보손의 음에너지 해는 어떻게 하나요? Dirac의 바다를 쓸 수 없다면, 어떻게 해석하면 되는 건가요?
🟡 리나: 맞아요. 결국, 음에너지 해의 문제를 본질적으로 해결하려면, 1입자의 파동함수라는 틀 자체를 넘어서야 해요. 그것이 장의 양자론이에요. 여기까지의 논의를 정리해 둘게요.
표 1.2: 1입자 상대론적 방정식의 문제점과 장의 양자론에 의한 해결
| Klein-Gordon 방정식 | Dirac 방정식 | 장의 양자론 (QFT) | |
|---|---|---|---|
| 시간미분 | 2계 | 1계 | — (장을 양자화) |
| 확률밀도 \(\rho \geq 0\) | × 파탄 | ○ 해결 | ○ 해결 |
| 음에너지 해 | 존재함 | 존재함 (Dirac의 바다로 해석) | 반입자로 자연스럽게 해석 |
| 입자수의 변화 | 기술 불가 | 기술 불가 | ○ 자연스럽게 기술 |
| 보손에의 적용 | 가능 (문제 있음) | 불가 (페르미온 전용) | ○ 모든 입자에 적용 |
✅ 이해도 체크: Dirac 방정식이 Klein-Gordon 방정식의 「확률밀도가 음이 되는」 문제를 해결할 수 있는 이유를 미분의 계수 관점에서 설명해 봅시다.
답
Dirac 방정식은 시간에 대해 1계 미분이므로, 확률밀도가 \(\rho = \psi^\dagger \psi\) (각 성분의 절댓값 제곱의 합)가 되어 항상 \(\rho \geq 0\) 이 보장된다. Klein-Gordon 방정식은 시간 2계 미분이므로 \(\rho\) 에 시간미분이 포함되어 부호가 부정이었다.
1.4 입자의 생성·소멸이 불가피한 이유¶
🟡 리나: 여기까지 「1입자의 파동함수로서의 상대론적 방정식에는 곤란함이 있다」는 것을 보았어요. 다음은 더 물리적인 관점에서 「입자의 수가 변하는 현상은 피할 수 없다」는 것을 이해합시다. 먼저 3가지 논거를 제시하고, 그 후에 인과율로부터의 요청도 살펴볼게요. 그림 1.4「입자의 생성·소멸이 불가피한 3+1의 논거」 에 전체상을 먼저 보여 둘게요.
그림 1.4: 입자의 생성·소멸이 불가피한 3+1의 논거. 3가지 독립적인 물리적 논거(광양자 가설·\(E=mc^2\) 과 불확정성 원리·쌍생성의 실험 사실)에 더해, 인과율의 요청이 모두 「장의 양자론이 필요하다」는 결론을 가리킨다.
논거 1: Einstein의 광양자 가설——광자는 태어나고 사라진다¶
🟡 리나: 역사적으로, 입자의 생성·소멸이 처음 인식된 것은 광자 (photon)에 대해서였어요.
1900년, Planck (플랑크)는 흑체복사 스펙트럼을 설명하기 위해, 전자기파의 에너지가 연속이 아니라 이산적이라는 가설을 세웠어요 (여기서는 \(\hbar\) 를 명시해서 쓸게요):
🔵 카이: 진동수 \(\omega\) 의 전자기파는 \(\hbar\omega\) 의 정수배 에너지만 가질 수 있다는 거죠.
🟡 리나: 그래요. 그리고 1905년, Einstein은 이것을 더 밀고 나가, 빛 자체가 에너지 \(\hbar\omega\), 운동량 \(\hbar\mathbf{k}\) 를 가진 입자——광자——의 모임이라고 주장했어요. 이것이 광양자 가설이에요.
🟡 리나: 이 가설이 올바르다는 것을 보여주는 결정적인 실험적 증거가 여러 개 있어요:
-
광전효과 (photoelectric effect): 빛의 진동수가 어떤 문턱값보다 낮으면, 빛을 아무리 강하게 해도 전자가 튀어나오지 않아요. 빛이 \(E = \hbar\omega\) 의 에너지를 가진 입자로서 충돌한다고 생각하면 자연스럽게 설명돼요.
-
Compton (콤프턴) 산란: X선이 전자에 산란될 때, 산란각에 따라 파장이 변해요 (그림 1.5「Compton 산란의 개념도」). 산란 후의 광자는 에너지의 일부를 전자에 넘겨주기 때문에 파장이 길어지는 거예요. 이것은 광자가 운동량 \(\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}\) 를 가진 입자로서 전자와 충돌하고, 에너지와 운동량을 교환한다고 생각하면 설명돼요.
그림 1.5: Compton 산란의 개념도. 입사 광자 \(\gamma\) 가 정지 전자 \(e^-\) 에 충돌하여, 산란각 \(\theta\) 로 산란 광자 \(\gamma'\) 와 반동 전자가 튀어나온다. 산란 후의 광자는 에너지를 잃어 파장이 길어진다.
🔵 카이: Compton 산란은 광자가 전자에 부딪혀서 튕겨 나오는 거잖아요. 그런데 그게 「광자의 수가 변하는」 이야기인가요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. Compton 산란 자체는 광자 1개가 들어가서 1개가 나오는 과정이니까, 광자수는 변하지 않아요. 하지만 생각해 봐요. 원자가 빛을 방출할 때, 광자가 태어나요. 원자가 빛을 흡수할 때, 광자가 사라져요. 즉 광자의 수는 보존량이 아니고, 생성과 소멸이 일상적으로 일어나고 있어요.
⚪ 메이: 그렇구나, 광자의 수가 변하는 건 특수한 상황이 아니라, 원자가 빛을 내보내고 받아들이기만 해도 일어나는 보통의 일이네요.
🟡 리나: 그래요. 그리고 광자는 질량이 0인 입자이기 때문에, 에너지만 있으면 얼마든지 생성할 수 있어요. 「입자의 수가 고정된 양자역학」으로는 이런 과정을 기술할 수 없어요.
논거 2: \(E = mc^2\) 과 불확정성 원리의 공연——쌍생성¶
🟡 리나: 두 번째 논거는, 「양자역학」편 제 27 장에서도 다룬 논의를 좀 더 정량적으로 해 볼게요.
Einstein의 질량·에너지 등가성:
이것은 「에너지 \(E \geq 2mc^2\) 가 있으면, 질량 \(m\) 인 입자·반입자 쌍을 만들 수 있다」는 것을 의미해요.
한편, 양자역학의 에너지·시간 불확정성 관계:
🔵 카이: 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안이라면, 큰 에너지 요동 \(\Delta E\) 가 허용된다는 이야기잖아요. 그런데 이건 \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2\) 와 같은 종류의 식인가요?
🟡 리나: 엄밀히 말하면 성질이 조금 달라요. \(\Delta x \cdot \Delta p\) 쪽은 연산자의 교환관계로부터 수학적으로 엄밀하게 도출되지만, 에너지·시간 쪽은 「시간은 연산자가 아니기」 때문에 같은 도출은 할 수 없어요. 하지만 여기서는 자릿수 견적——자릿수의 크기만을 쫓는 계산——으로서 사용하고 있으니까, \(\sim\) 이나 \(\gtrsim\) 기호로 「대략 이 정도」라는 의미로 쓰고 있어요. 정량적 논의에는 충분해요.
⚪ 메이: 수학적으로 엄밀하지는 않지만, 스케일 견적으로는 쓸 수 있다——물리에서 흔히 있는 수법이네요.
🟡 리나: 그래요. 이 둘을 조합하면 무엇을 말할 수 있을까요.
🔵 카이: 구체적으로 어떤 계산이 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 여기서는 \(\hbar\) 와 \(c\) 를 명시적으로 써서 논의할게요 (구체적인 수치를 내고 싶으니까요). 입자를 거리 스케일 \(\Delta x\) 이하로 국소화하려고 하면, 불확정성 원리로부터 운동량의 요동은 \(\Delta p \gtrsim \hbar / \Delta x\) 가 돼요. 상대론적 에너지 관계 \(E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\) 를 보면, \(c\,\Delta p \gg mc^2\) 일 때 (즉 운동량 유래의 에너지가 정지에너지보다 훨씬 클 때), \(\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} \approx \sqrt{p^2c^2} = pc\) 로 근사할 수 있어요 (\(m^2c^4\) 가 \(p^2c^2\) 에 비해 무시할 수 있을 만큼 작으니까요). 이 근사 아래에서는 \(E \approx pc\) 이므로, \(p\) 의 요동 \(\Delta p\) 에 대한 에너지 요동은 단순히 \(\Delta E \approx c\,\Delta p\) 가 돼요. 이건 \(y = cx\) 라는 1차함수에서 \(x\) 가 \(\Delta x\) 만큼 변하면 \(y\) 는 \(c\,\Delta x\) 만큼 변한다는 것과 완전히 같은 논리예요.
이 근사가 언제 쓸 수 있는지 확인해 둘게요. \(c\,\Delta p \gg mc^2\) 에 \(\Delta p \sim \hbar/\Delta x\) 를 대입하면 \(\hbar c/\Delta x \gg mc^2\), 즉 \(\Delta x \ll \hbar/(mc) = \lambda_C\). 그러니까 이 근사는 Compton 파장보다 짧은 거리 스케일에서 성립해요——바로 쌍생성이 문제가 되는 영역이에요. 따라서:
🔵 카이: 오오, 거리를 작게 할수록 에너지 요동이 커지는 거네요.
🟡 리나: 이 에너지 요동이 입자·반입자 쌍의 정지에너지 \(2mc^2\) 를 넘을 때:
여기서 \(\lambda_C = \hbar/(mc)\) 는 입자의 Compton (콤프턴) 파장이에요. 즉 Compton 파장 정도의 거리 스케일 이하에서는 쌍생성을 무시할 수 없게 돼요.
그림 1.6: 거리 스케일과 물리의 계층. Compton 파장 \(\lambda_C \sim 10^{-13}\) m보다 짧은 거리에서는 쌍생성이 중요해지며, 1입자의 양자역학으로는 불충분해진다.
⚪ 메이: 식 (1.17)의 \(\lambda_C/2\) 가 경계가 되는 거네요. 그보다 짧은 거리에서 입자를 보려고 하면, 쌍생성을 무시할 수 없게 된다.
🟡 리나: 맞아요. 그림 1.6「거리 스케일과 물리의 계층」 에 거리 스케일과 물리의 계층을 정리해 두었어요. 전자의 경우 \(\lambda_C \approx 3.86 \times 10^{-13}\) m으로, 이것은 원자의 크기(\(\sim 10^{-10}\) m)보다 훨씬 작아요. 그래서 원자물리학에서는 입자의 생성·소멸을 무시할 수 있었어요. 하지만 소립자물리학에서 다루는 스케일에서는 무시할 수 없어요.
🔵 카이: 그렇군요……. 그러면 「전자 1개」를 조사하려고 해도, 충분히 세밀한 스케일에서 보면 거기에는 전자·양전자 쌍이 솟아나올 가능성이 있다는 건가요? 하지만 그러면 「전자의 질량」이나 「전자의 전하」는 주변에 솟아나는 쌍의 영향도 포함한 값이라는 뜻이 되지 않나요?
🟡 리나: 예리한 직감이에요. 사실 정확히 그 통이에요, 관측되는 질량이나 전하는 가상 쌍의 효과를 포함한 「옷을 입은 값」이에요. 그 이야기는 Part V의 되맞춤(renormalization)에서 정면으로 다룰게요. 물리학자 Victor Weisskopf (빅터 바이스코프)도 이 점을 강조하고 있어요——「상대론적 양자역학에서는 1입자의 이론은 존재하지 않는다」고.
📝 연습문제:
- Compton 파장과 불확정성 원리 → 문제 B-5. Compton 파장의 계산, 문제 M-3. Compton 파장과 위치의 국소화
논거 3: 쌍생성·쌍소멸의 실험적 사실¶
🟡 리나: 세 번째는 더 직접적인 실험 사실이에요.
쌍소멸 (pair annihilation): 전자와 양전자가 만나면, 서로 소멸하여 광자가 돼요:
쌍생성 (pair creation): 충분한 에너지를 가진 광자가 원자핵 근처를 지나면, 전자·양전자 쌍이 태어나요:
🔵 카이: 이건 실제로 관측된 건가요?
🟡 리나: 물론이에요. 쌍소멸은 PET (Positron Emission Tomography, 양전자 방출 단층촬영)라는 의료기술의 원리 그 자체예요. 체내에 양전자를 방출하는 방사성 물질을 주입하고, 양전자가 체내의 전자와 쌍소멸하여 나오는 2개의 감마선을 검출해서 영상을 만드는 거예요.
⚪ 메이: 일상적으로 사용되는 의료기술이 입자의 생성·소멸의 증거인 거네요.
🟡 리나: 그래요. 입자의 생성·소멸은 「극단적인 상황에서만 일어나는 드문 현상」이 아니라, 자연의 기본적인 성질이에요. 이것을 기술할 수 없는 이론은 근본적으로 불완전하다고 할 수밖에 없어요. 그림 1.7「쌍생성과 쌍소멸의 과정. 왼쪽」 에 쌍생성과 쌍소멸의 과정을 정리해 두었어요.
그림 1.7: 쌍생성과 쌍소멸의 과정. 왼쪽 — 쌍생성: 고에너지 광자 \(\gamma\) 가 원자핵 근방에서 전자 \(e^-\) 와 양전자 \(e^+\) 쌍으로 변환된다. 오른쪽 — 쌍소멸: 전자와 양전자가 만나 소멸하며 2개의 감마선을 방출한다. PET 검사는 이 쌍소멸을 이용한 의료기술.
✅ 이해도 체크: 전자의 Compton 파장 \(\lambda_C = \hbar/(m_e c)\) 를 계산하고, 원자의 크기 (Bohr 반지름 \(a_0 \approx 0.53 \times 10^{-10}\) m)와 비교해 봅시다.
답
\(\lambda_C = \frac{\hbar}{m_e c} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8} \approx 3.86 \times 10^{-13}\) m. Bohr 반지름 \(a_0 \approx 5.3 \times 10^{-11}\) m과 비교하면 \(\lambda_C / a_0 \approx 7 \times 10^{-3}\), 즉 Compton 파장은 원자 크기의 약 1/140. 원자 스케일에서는 쌍생성을 무시할 수 있지만, 원자핵이나 소립자 스케일에서는 무시할 수 없다.
📝 연습문제:
- 쌍생성의 문턱 에너지 → 문제 B-7. 불확정성 관계에 의한 쌍생성의 시간 스케일
1.5 인과율의 요청——힘은 입자의 교환으로 전달된다¶
🟡 리나: 입자의 생성·소멸이 필요한 또 하나의 중요한 이유가 있어요. 그것은 인과율 (causality)——「정보는 광속을 초과하여 전달되지 않는다」는 상대론의 기본원칙——을 지키기 위해서예요.
🔵 카이: 인과율과 입자의 생성·소멸이 어떻게 관련되나요?
🟡 리나: Coulomb (쿨롱)의 법칙을 떠올려 봐요. 두 전하 \(q_1\), \(q_2\) 가 거리 \(r\) 만큼 떨어져 있을 때, 그 사이에 작용하는 힘은 (여기서는 익숙한 SI 단위계 형태로 쓸게요. 단위계의 선택은 본질이 아니고, 중요한 것은 식의 구조예요):
이 식을 잘 봐요. 힘 \(F\) 는 「바로 이 순간의 거리 \(r\)」만으로 결정되고, 시간 지연이 들어있지 않죠. 즉 한쪽 전하를 움직여서 \(r\) 이 바뀌면, 다른 쪽이 즉시 새로운 힘을 느끼게 돼요——거리가 아무리 멀어도. 이건 「정보가 광속을 초과하여 전달되는」 것을 의미하며, 인과율에 반해요.
🔵 카이: 아, 이건 Newton의 만유인력 법칙과 같은 문제 아닌가요? 그쪽도 「중력이 순간적으로 전달된다」고 암묵적으로 가정하고 있었잖아요.
🟡 리나: 맞아요. Newton의 만유인력 법칙도 「두 질량 사이의 힘이 거리만으로 결정되고, 순간적으로 전달된다」는 같은 문제를 안고 있었어요 (「일반상대론」편 제 1 장 에서 자세히 논의했었죠). 전자기력에도 완전히 같은 문제가 있는 거예요. 고전 전자기학에서는 이 문제를 「전자기장」을 도입하여 해결했어요. 힘은 장을 매개로 광속으로 전달된다고. 그러면 양자론에서는 어떻게 될까요?
🔵 카이: 양자론에서도 「장」으로 해결한다는 건가요?
🟡 리나: 양자장 이론에서는 힘이 가상입자의 교환으로 전달된다고 해석돼요. 고전 전자기학에서 「전자기장이 광속으로 힘을 전달한다」고 말하던 것을, 양자론의 언어로 바꾸어 말하면 「가상 광자의 교환」이 되는 거예요. 두 전자가 서로 밀어내는 전자기력은, 한쪽 전자가 가상 광자를 방출하고 다른 쪽이 그것을 흡수하는 과정으로 기술돼요. 광자는 광속으로 전달되니까, 인과율은 지켜져요.
🔵 카이: 「가상 광자를 교환하면 힘이 된다」는 건 어떤 이미지인가요? 공을 던져서 주고받으면 반발하는 것 같은 느낌?
🟡 리나: 그래요, 바로 캐치볼 비유를 쓸 수 있어요. 빙판 위에 선 두 사람이 공을 던져 주고받으면, 던진 사람은 반동으로 뒤로 물러나고, 받은 사람도 밀려나요——결과적으로 두 사람은 멀어져요. 이것이 「척력」의 이미지예요. 다만 인력의 경우에는 이 고전적 비유로는 설명하기 어렵고, 양자역학적 효과가 본질적으로 작용해요. 정확한 논의는 제 8 장 의 Feynman 다이어그램에서 할게요.
🔵 카이: 그렇군요. 그러면 「가상 광자」는 불확정성 원리로 짧은 시간만 존재가 허용된 광자라는 건가요?
🟡 리나: 직관적으로는 그렇게 생각해도 돼요. 불확정성 관계 \(\Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \hbar\) 에 의해, 짧은 시간만 에너지를 「빌려 쓰는」 것이 허용돼요. 그 사이에 광자가 태어나고, 상대에게 도달하여 사라져요——이 과정이 힘의 정체예요. 다만 한 가지 주의할 점이 있는데, 가상입자는 통상의 입자와 달리 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 라는 관계를 만족하지 않아요. 이 관계는 「질량 \(m\) 의 입자가 자유롭게 날아가고 있을 때 성립하는 조건」이지 에너지 보존법칙 그 자체와는 다른 조건이에요. 「어? 에너지 보존법칙에 반하는 거 아닌가?」라고 생각할 수 있지만, 전체 과정——광자가 태어나서 상대에게 흡수될 때까지——에서는 에너지와 운동량이 제대로 보존돼요. 가상입자가 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 에서 벗어나 있을 수 있는 것은 불확정성 원리가 허용하는 짧은 시간뿐이에요. 최종적으로는 장부가 맞아요. 그래서 가상입자는 직접 검출기로 잡을 수 없어요——어디까지나 힘을 매개하는 「무대 뒤의 배우」예요. 정확한 정의는 제 8 장 의 Feynman 다이어그램에서 다시 설명할 테니, 지금은 「직접 관측되지 않지만 힘을 매개하는, 통상의 에너지·운동량 관계에서 벗어난 입자」 정도로 생각해 두세요.
⚪ 메이: 에너지·운동량 관계를 만족하지 않는데도, 전체로서는 보존법칙이 성립한다——신기하지만, 불확정성 원리가 그것을 허용하는 거네요.
🟡 리나: 여기까지의 이야기를 정리하면, 인과율을 지키면서 힘을 전달하려면, 매개입자의 생성과 소멸이 필수불가결하다는 거예요. 전자기력뿐만 아니라, 모든 기본적인 힘이 이 메커니즘으로 전달돼요. 어떤 힘이 어떤 입자를 교환하고 있는지 아래 표에 정리해 두었어요. 가상 광자 교환의 모습은 그림 1.8「가상 광자 교환에 의한 전자기력」 를, 4가지 힘의 전체상은 그림 1.9「4가지 기본적인 힘과 매개입자」 도 참고해요.
⚪ 메이: 인과율로부터도 같은 결론이 나오는 거네요. 광양자 가설·\(E=mc^2\) 과 불확정성 원리·쌍생성의 실험 사실에 더해 인과율의 요청——4가지 독립적인 논거가 모두 「입자의 생성·소멸을 다룰 수 있는 이론이 필요하다」를 가리키고 있어요.
표 1.3: 기본적인 힘과 매개입자의 대응
| 힘 | 매개하는 입자 |
|---|---|
| 전자기력 | 광자 \(\gamma\) |
| 약한 힘 | \(W^\pm\), \(Z^0\) boson (보손) |
| 강한 힘 | gluon (글루온) |
| 중력 | graviton (중력자) (미검출) |
그림 1.8: 가상 광자 교환에 의한 전자기력. 두 전자 사이의 전자기력은 가상 광자 \(\gamma\) 의 교환으로 기술된다. 광자는 광속으로 전달되므로 인과율이 지켜진다.
그림 1.9: 4가지 기본적인 힘과 매개입자. 자연계의 4가지 기본적인 힘과 각각을 매개하는 입자. 중력자는 아직 직접 검출되지 않았다.
🔵 카이: 대단해요……. 힘의 정체가 「입자의 교환」이라면, 입자의 생성·소멸을 다룰 수 없는 이론으로는 힘조차 기술할 수 없는 거네요. 그런데, 중력자가 아직 발견되지 않았다는 건 중력만 다른 메커니즘일 수도 있는 건가요?
🟡 리나: 예리한 의문이에요. 현시점에서는 중력자는 미검출이지만, 이론적으로는 중력도 같은 메커니즘——중력자의 교환——으로 기술된다고 생각되고 있어요. 다만 중력의 양자화에는 미해결 문제가 산적해 있고, 그건 제 24 장 에서 다루는 주제예요. 이것이 「입자의 생성·소멸이 불가피하다」는 것의, 인과율로부터의 논거예요. 상대론적 인과율을 지키면서 힘을 전달하려면, 매개입자의 생성과 소멸이 필수불가결해요.
🔵 카이: 4가지 힘 모두가 같은 메커니즘으로 전달된다면, 입자의 생성·소멸은 정말로 피해갈 수 없는 거네요.
1.6 관점의 전환——「장의 진동 모드가 입자이다」¶
🟡 리나: 여기까지의 논의를 정리하면, 「입자의 수가 고정된 양자역학」으로는 상대론적 세계를 기술할 수 없어요. 그러면 어떻게 해야 하는가? 여기서 근본적인 관점의 전환이 필요해요.
고전물리학에서의 비대칭성¶
🟡 리나: 먼저, 고전물리학에서의 「입자」와 「장」의 취급의 비대칭성을 지적해 둘게요.
표 1.4: 고전물리학에서의 물질입자와 빛의 비대칭성
| 물질입자 (전자 등) | 빛 | |
|---|---|---|
| 고전적 위치 | 자연의 기본적인 구성요소로서 처음부터 가정 | 전자기장의 파동으로 기술됨 |
| 기술 방식 | Newton 역학 (점입자의 역학) | Maxwell 방정식 (장의 이론) |
🔵 카이: 전자는 「처음부터 있는 입자」이고, 광자는 「전자기장의 진동」으로 나온다……확실히 비대칭이네요.
🟡 리나: 하지만, 양자역학에서는 전자도 광자도 마찬가지로 파동·입자의 이중성을 갖잖아요. 이중슬릿 실험에서는 전자도 간섭무늬를 만들고, 광전효과에서는 빛이 입자로서 행동하고요.
🔵 카이: 전자와 광자가 대등하다면……광자가 「전자기장의 진동」이라면, 전자에도 뭔가 「장」 같은 것이 있어서, 그 진동이 전자인 건가요? 그런데 그런 「전자장」은 들어본 적이 없는데요……
🟡 리나: 카이, 좋은 직감이에요. 바로 그것이 장의 양자론의 핵심이에요. 「전자장」은 눈에 보이지 않지만 확실히 존재해요——전자기장의 들뜸이 광자인 것처럼, 「전자장」의 들뜸이 전자예요. 모든 입자를 장의 들뜸으로 통일적으로 다루는 것, 이것이 그 사고방식이에요.
「장의 양자론」편 의 세계관¶
🟡 리나: 장의 양자론의 세계관을 한마디로 말하면 이렇게 돼요:
우주에 존재하는 모든 입자는, 공간과 시간의 전 영역에 걸쳐 정의된 양자장의 들뜸(excitation)이다.
구체적으로는:
- 광자 = 전자기장 \(A_\mu\) 의 양자화된 들뜸
- 전자 = Dirac 장 \(\psi\) 의 양자화된 들뜸
- Higgs (힉스) 입자 = Higgs 장 \(\phi\) 의 양자화된 들뜸
표 1.5: 표준모형의 주요 입자와 대응하는 장
| 입자 | 대응하는 장 | 스핀 | 장의 종류 |
|---|---|---|---|
| 광자 \(\gamma\) | 전자기장 \(A_\mu\) | 1 | 벡터장 (게이지장) |
| 전자 \(e^-\) | Dirac 장 \(\psi_e\) | 1/2 | 스피너장 |
| 쿼크 \(q\) | Dirac 장 \(\psi_q\) | 1/2 | 스피너장 |
| Higgs 입자 \(H\) | 스칼라장 \(\phi\) | 0 | 스칼라장 |
| 글루온 \(g\) | Yang-Mills 장 \(A_\mu^a\) | 1 | 벡터장 (게이지장) |
| 중력자 | 계량텐서장 \(g_{\mu\nu}\) | 2 | 텐서장 |
🟡 리나: 표 안에 「게이지장」「Yang-Mills 장」「스피너장」 등 처음 보는 이름이 나열되어 있지만, 지금은 「입자의 종류마다 대응하는 장이 있다」는 것만 파악해 두면 돼요. 각각의 자세한 의미는 Part II 이후에서 순서대로 배워 갈게요. 비유하자면 연못의 수면 전체가 「장」이고, 거기에 서는 물결이 「입자」예요.
🔵 카이: 아, 그렇구나! 물결은 나타났다가 사라지기도 하니까, 입자의 생성·소멸은 「장의 진동이 시작되거나 멈추는 것」에 대응하는 거군요?
🟡 리나: 바로 그래요. 그래서 입자수의 변화를 자연스럽게 기술할 수 있어요.
⚪ 메이: 즉, 양자역학에서는 「입자가 있다」가 출발점이었지만, 장의 양자론에서는 「장이 있다」가 출발점이고, 입자는 그 결과로 나타난다——주인공이 바뀌는 거네요.
🟡 리나: 깔끔하게 정리해 주었네요. 게다가, 이 묘사에는 또 하나 큰 이점이 있어요. 같은 장에서 태어난 입자들은 모두 동일한 성질을 가져요. 모든 전자가 완전히 같은 질량·전하·스핀을 갖는 것은, 동일한 「전자장」의 들뜸이기 때문이에요. 공장에서 만든 볼트는 현미경으로 보면 미묘하게 다르지만, 전자는 완전히 동일해요——이것은 「같은 장에서 태어난 물결은 같은 성질을 갖는다」는 장의 양자론의 자연스러운 귀결이에요. 그림 1.10「장의 양자론의 세계관. 왼쪽」 에 이 세계관의 이미지를 정리해 두었어요.
그림 1.10: 장의 양자론의 세계관. 왼쪽 — 진공상태에서는 장은 영점진동(양자요동)만 존재. 오른쪽 — 장이 국소적으로 들뜨면, 그것이 「입자」로 관측된다. 연못 수면에 서는 물결이 입자에 대응하는 이미지.
⚪ 메이: 즉 입자의 생성·소멸을 자연스럽게 기술할 수 있는 것과, 같은 종류 입자의 완전한 동일성을 설명할 수 있는 것——이 두 가지가 장의 양자론의 세계관에서 동시에 나오는 거네요.
✅ 이해도 체크: 「모든 전자가 완전히 동일한 이유」를 장의 양자론의 관점에서 1~2문장으로 설명해 봅시다.
답
모든 전자는 동일한 「전자장」의 양자화된 들뜸이기 때문에, 질량·전하·스핀 등의 성질이 완전히 동일하게 된다. 다른 장소의 물결이더라도 같은 수면(장)의 진동인 이상, 본질적으로 같은 성질을 갖는다.
1.7 제2양자화와 Fock 공간¶
제1양자화와 제2양자화¶
🟡 리나: 여기서 양자화의 역사를 정리해 둘게요. 양자역학의 발전에는 2개의 단계가 있어요.
제1양자화 (first quantization):
입자는 파동처럼 행동한다.
고전역학의 변수 (위치 \(x\), 운동량 \(p\))를 연산자로 승격시키고, 교환관계 \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) 를 부여해요. 이것이 전 편 「양자역학」에서 배워 온 내용이에요.
제2양자화 (second quantization):
장을 연산자로 승격시키고, 장의 진동의 각 모드가 「입자」로서 행동하게 된다.
역사적으로는 「파동은 입자처럼 행동한다」고 표현되기도 해요——고전적인 파동(장)을 양자화하면 그 에너지가 이산적인 「입자」로서 나타나니까요. 하지만 실제로 하고 있는 것은 장을 연산자로 승격시키는 것——이것에 의해 입자의 수가 변하는 현상을 기술할 수 있게 돼요.
🔵 카이: 「장을 연산자로 한다」는 게……구체적으로는 어떤 건가요? 파동함수 같은 것이 연산자가 되는 건가요?
🟡 리나: 역사적으로는 그런 표현도 돼요. 「처음에 입자를 파동(파동함수)으로 만든 것이 제1양자화. 다음에 그 파동을 양자화하는 것이 제2양자화」——이것이 이름의 유래예요. 다만 이 표현은 오해를 불러일으키기 쉬우니까 주의해요. 실제로는 「파동함수를 다시 양자화하는」 것이 아니라, 현대적 관점에서는 고전장——즉 전자기장처럼 공간의 각 점에 값을 갖는 양——을 양자 연산자로 승격시키는 것이 본질이에요. 즉 「제1」도 「제2」도 같은 절차——고전적인 역학변수를 연산자로 승격시키는——를 하고 있을 뿐이고, 차이는 양자화의 대상이 「입자의 위치」에서 「장의 진폭」으로 바뀐 것. 그래서 현대에서는 「제2양자화」라는 이름에 구애받지 않고 단순히 「장의 양자화」라고 부르는 것이 정확해요.
⚪ 메이: 이름은 역사적 경위로 「제2」가 붙어 있을 뿐이고, 하고 있는 조작 자체는 같은 거네요.
🟡 리나: 본질적으로 하는 것은 제1양자화와 같아요——고전적인 역학변수를 연산자로 승격시키고 교환관계를 부여해요. 다만, 그 「역학변수」가 입자의 위치가 아니라 장이 되는 거예요. 「연산자로 승격시킨다」는 것은, 양자역학에서 \(x\) 를 \(\hat{x}\) 로 만든 것과 같은 절차예요——고전적으로는 확정된 값을 갖던 양을, 측정할 때까지 값이 확정되지 않는 양자적 대상으로 바꾸는 것이에요. 장의 경우에는 「각 점에서의 장의 진폭」이 확정된 값이 아니라 양자적으로 요동치는 대상이 돼요.
⚪ 메이: 즉, \(x\) 를 \(\hat{x}\) 로 만든 것과 같은 절차로, \(\phi(\mathbf{x})\) 를 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 로 만드는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 대응관계를 정리하면 이렇게 돼요 (그림 1.11「제2양자화와 Fock 공간」 도 봐요). 표 안에 \(\hat{\pi}\) 나 \(\delta^3\) 이라는 처음 보는 기호가 나오지만, 표 직후에 하나씩 설명할 테니, 지금은 「양자역학에서 했던 것의 장 버전이구나」라는 대응관계만 살펴봐요.
그림 1.11: 제2양자화와 Fock 공간. 제1양자화(입자 → 파동)와 제2양자화(파동 → 입자)의 대비. 제2양자화에서는 장을 연산자로 승격시키고, 입자수가 가변인 Fock 공간에서 물리를 기술한다.
표 1.6: 제1양자화와 제2양자화의 대응관계
| 양자역학 (제1양자화) | 장의 양자론 (제2양자화) | |
|---|---|---|
| 역학변수 | 입자의 위치 \(\hat{x}\), 운동량 \(\hat{p}\) | 장 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\), 켤레운동량 \(\hat{\pi}(\mathbf{x})\) |
| 교환관계 | \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) | \([\hat{\phi}(\mathbf{x}, t), \hat{\pi}(\mathbf{y}, t)] = i\hbar\,\delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) (등시각) |
| \(\mathbf{x}\) 의 역할 | 입자가 어디에 있는지를 나타내는 동적변수 | 공간의 어느 점인지를 나타내는 라벨 (파라미터) |
🔵 카이: 「켤레운동량」 \(\hat{\pi}(\mathbf{x})\) 는 뭔가요? 그리고 \(\delta^3\) 이라는 기호도 처음 보는데요. 그리고 「등시각」이라고 쓰여 있는 것도 신경 쓰이는데요……
🟡 리나: 3개나 의문이 나왔네요. 카이가 처음에 든 순서대로 답할게요. 먼저 켤레운동량 \(\pi(\mathbf{x})\) 부터. 입자의 역학에서 위치 \(x\) 에 대해 운동량 \(p\) 가 있듯이, 장 \(\phi(\mathbf{x})\) 에 대해서도 「짝이 되는 변수」가 있어요. 그것이 켤레운동량 \(\pi(\mathbf{x})\) 예요. 대략적으로 말하면 「장의 시간변화의 기세」를 나타내는 양으로, 입자의 운동량 \(p = m\dot{x}\) 가 「위치의 시간변화의 기세」를 나타내는 것과 같은 역할이에요. 좀 더 구체적으로 말하면, \(p = m\dot{x}\) 는 「위치 \(x\) 가 얼마나 빨리 변화하고 있는지」를 나타내잖아요. 마찬가지로 \(\pi(\mathbf{x})\) 는 「점 \(\mathbf{x}\) 에서의 장의 값 \(\phi(\mathbf{x})\) 가 얼마나 빨리 시간변화하고 있는지」를 나타내는 양이에요. 구체적인 정의는 제 3 장 의 Lagrangian 이야기에서 도입할 테니, 지금은 그 이미지만 갖고 있으세요.
🔵 카이: 그렇구나, \(p\) 가 「위치의 변화율」이라면, \(\pi\) 는 「장의 변화율」——대응관계가 깔끔하네요.
🟡 리나: 다음으로 \(\delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\). 이것은 3차원 Dirac 델타함수로, \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\) 일 때만 값을 갖고, 그 외에서는 0이 되는 함수예요. 이산적인 첨자로 사용하는 Kronecker 델타 \(\delta_{ij}\) (\(i = j\) 일 때 1, 그 외에서 0)의 연속 버전이라고 생각하면 돼요.
🔵 카이: 「값을 갖는다」는 건 구체적으로 어떤 건가요? 한 점에서만 값을 갖는 함수라니……
🟡 리나: 직관적으로는 「\(\mathbf{x} = \mathbf{y}\) 에서 무한히 날카로운 피크를 갖고, 그 외에서는 완전히 0. 하지만 피크의 면적(적분값)은 정확히 1」이라는 특수한 함수예요. 중요한 성질은 \(\int \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\, f(\mathbf{y})\, d^3y = f(\mathbf{x})\) ——즉 「\(f\) 의 \(\mathbf{x}\) 에서의 값을 뽑아낸다」는 것이에요. 지금은 「같은 점 \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\) 에서만 0이 아니다」라는 성질만 기억해 두면 충분해요. 교환관계에 \(\delta^3\) 가 들어 있는 것은 「서로 다른 점의 장은 독립이다」라는 것을 나타내고 있어요.
마지막으로 「등시각」 조건에 대해——양자역학에서 \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) 라고 썼을 때, \(\hat{x}\) 와 \(\hat{p}\) 는 같은 시각의 양이었잖아요. 장의 양자론에서도 마찬가지로, 교환관계는 「같은 시각 \(t\) 에서의 \(\hat{\phi}\) 와 \(\hat{\pi}\) 의 관계」로 정의돼요. 서로 다른 시각의 장 사이의 관계는 운동방정식(시간발전)이 결정하는 것이니까, 교환관계와는 별개의 이야기예요. 지금은 「등시각의 장끼리의 기본적인 관계를 정하는 것이 교환관계」라고만 기억해 두세요.
🟡 리나: 그리고 표의 마지막 행에 주목해요. \(\mathbf{x}\) 의 역할이 근본적으로 바뀌어요.
🔵 카이: 아, 표의 마지막 행을 보면 \(\mathbf{x}\) 의 역할이 바뀌어 있네요. 양자역학에서는 동적변수였는데, 장의 양자론에서는 라벨이 되어 있어요…… 이게 무슨 의미인가요? 그런데 양자역학에서도 파동함수 \(\psi(x)\) 의 \(x\) 는 라벨처럼 쓰지 않았나요?
🟡 리나: 좋은 곳을 눈치챘네요. 확실히 위치표현으로 \(\psi(x)\) 라고 쓸 때, \(x\) 는 「어느 위치에서의 확률진폭인가」를 지정하는 라벨처럼 보이죠. 하지만 양자역학의 본질적 구조를 보면, \(\hat{x}\) 는 연산자로서 존재하고 있고, \(\psi(x)\) 는 그 고유상태 \(|x\rangle\) 에의 사영 \(\langle x|\psi\rangle\) 이에요. 즉 \(x\) 는 「입자가 어디에 있는가」라는 물리적 물음에 대응하는 동적변수——연산자로 승격되는 대상——이었어요. 반면, 장의 양자론에서는 \(\mathbf{x}\) 는 「어느 점의 장의 값을 보고 있는가」를 지정하는 파라미터에 불과해요. 동적변수는 장 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 그 자체——즉 「각 점에서의 장의 진폭」이 역학변수인 거예요. 비유하자면, 양자역학에서는 「입자가 어디에 있는가?」가 물음이었지만, 장의 양자론에서는 「이 점의 장이 얼마나 진동하고 있는가?」가 물음이 돼요——주어가 바뀌는 거예요.
⚪ 메이: 물음이 「어디에 있어?」에서 「얼마나 진동하고 있어?」로 바뀐다——주어의 전환이네요.
✅ 이해도 체크: 양자역학(제1양자화)과 장의 양자론(제2양자화)에서, 공간좌표 \(\mathbf{x}\) 의 역할은 어떻게 다를까요?
답
양자역학에서는 \(\mathbf{x}\) 는 입자의 위치를 나타내는 동적변수(연산자로 승격되는 대상)이다. 반면, 장의 양자론에서는 \(\mathbf{x}\) 는 공간의 어느 점인지를 지정하는 단순한 라벨(파라미터)이며, 동적변수는 각 점에서의 장의 값 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 그 자체이다.
조화진동자와의 유비¶
🟡 리나: 여기서, 양자역학 「양자역학」편 제 8 장 에서 배운 조화진동자의 생성·소멸 연산자를 떠올려 주세요.
조화진동자의 해밀토니안은:
\(\hat{a}^\dagger\) (생성연산자)와 \(\hat{a}\) (소멸연산자)는 교환관계 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\) 을 만족하는 것이었어요. 에너지 고유값은 \(E_n = (n + 1/2)\hbar\omega\) 이고, \(n\) 은 「양자의 수」. \(\hat{a}^\dagger\) 는 양자를 1개 생성하고, \(\hat{a}\) 는 양자를 1개 소멸시켜요.
🔵 카이: 양자를 1개 늘리거나 줄이는 연산자였죠. 이것이 장의 양자론에 어떻게 관련되나요?
🟡 리나: 장의 양자론에서는 장을 Fourier (푸리에) 전개하면 각 모드가 독립적인 조화진동자가 돼요.
🔵 카이: Fourier 전개는 여러 파장의 파동으로 분해하는 건데요. 그런데 그게 왜 조화진동자가 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 기타 줄을 떠올려 봐요. 줄의 진동은 기본진동(가장 파장이 긴 모드)과 배음(파장이 짧은 모드)으로 분해할 수 있잖아요. 각 모드의 진폭을 \(q_n(t)\) 라고 쓰면, 줄의 파동방정식으로부터 \(\ddot{q}_n + \omega_n^2 q_n = 0\) 이라는 방정식이 나와요. 이것은 스프링에 연결된 질점의 운동방정식——즉 조화진동자——와 완전히 같은 형태예요. 「변위에 비례하는 복원력」이 작용하니까 진동하는 거예요. 그리고 각 모드는 독립적으로 진동하고 있어요.
🔵 카이: 「독립적으로 진동한다」는 건, 기본진동의 진폭을 바꿔도 배음에는 영향이 없다는 건가요?
🟡 리나: 맞아요. 각각이 제멋대로 진동하고 있어요. 이것은 Klein-Gordon 방정식이 선형이기 때문에 성립하는 성질이에요. 「선형」이란, 방정식에 \(\phi^2\) 이나 \(\phi^3\) 같은 고차 항이 없고, \(\phi\) 의 1차 항만으로 쓰여 있다는 뜻이에요. 선형 방정식에 Fourier 전개를 대입하면, 서로 다른 파수의 모드가 섞이는 항이 나오지 않으니까, 각 모드의 방정식이 독립적으로 분리돼요. 만약 \(\phi^2\) 같은 비선형항이 있으면, Fourier 전개했을 때 서로 다른 모드끼리 곱해져서 서로 영향을 주게 돼요 (에너지를 주고받게 돼요). 선형이기 때문에 각 모드가 다른 모드를 신경 쓰지 않고 독립적으로 진동할 수 있는 거예요.
⚪ 메이: 선형 → 모드가 섞이지 않는다 → 각 모드가 독립적인 조화진동자. 깔끔한 구조네요.
🔵 카이: 그렇구나, 선형이니까 분해한 각 모드가 섞이지 않는 거군요. 그래서 장도 마찬가지로 분해할 수 있나요?
🟡 리나: 그래요. Klein-Gordon 방정식을 Fourier 전개하면, 각 파수 \(\mathbf{k}\) (파동의 공간적 진동 세밀함을 나타내는 벡터로, 파장 \(\lambda\) 와의 관계는 \(|\mathbf{k}| = 2\pi/\lambda\))의 모드 진폭 \(q_{\mathbf{k}}(t)\) 가 \(\ddot{q}_{\mathbf{k}} + \omega_{\mathbf{k}}^2 q_{\mathbf{k}} = 0\) (도트 \(\dot{}\) 는 시간미분의 약기법으로 \(\ddot{q} = d^2q/dt^2\))이라는 조화진동자 방정식을 따른다는 것을 보일 수 있어요. 여기서 \(\omega_{\mathbf{k}} = \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m^2}\) (자연단위계 \(\hbar = c = 1\))——이것은 식 (1.9)의 분산관계 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) 에서 \(E = \omega\), \(\mathbf{p} = \mathbf{k}\) (자연단위계에서는 \(E = \hbar\omega \to \omega\), \(\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k} \to \mathbf{k}\))로 놓은 것이에요. 이것은 제 4 장에서 실제로 계산할게요. 그리고 각 모드의 「양자수 \(n\)」이 그 모드에 대응하는 입자의 수로 해석되는 거예요.
🔵 카이: 그렇구나! 그러면 장의 양자론은, 결국 「무한개의 조화진동자를 양자화하는」 것인가요?
🟡 리나: 바로 그래요! 장의 양자론의 핵심을 한마디로 말하면:
장 = 무한개의 조화진동자의 모임. 각 진동자의 들뜸 양자 = 입자.
🔵 카이: 오오, 단순하지만 깊다……. 조화진동자의 에너지 준위를 1단 올라갈 때마다 입자가 1개 늘어나는 거군요.
🟡 리나: 그림 1.12「조화진동자의 에너지 준위와 Fock 공간의 입자수의 대응. 왼쪽」 에 조화진동자의 에너지 준위와 장의 입자수의 대응을 나란히 보여 두었어요. 그리고 그림 1.13「장의 Fourier 전개와 조화진동자 모드. 위」 에는 장을 Fourier 전개해서 각 모드가 조화진동자가 되는 모습을 정리해 두었어요.
그림 1.12: 조화진동자의 에너지 준위와 Fock 공간의 입자수의 대응. 왼쪽 — 양자역학의 조화진동자에서 \(n\) 은 「양자의 수」. 오른쪽 — 장의 양자론에서는 같은 \(n\) 이 「운동량 \(\mathbf{k}\) 인 입자의 개수」로 해석된다. 생성연산자 \(\hat{a}^\dagger\) 로 준위를 올라가는 것이 입자를 1개 늘리는 것에 대응한다.
그림 1.13: 장의 Fourier 전개와 조화진동자 모드. 위 — 장 \(\phi(x)\) 는 다양한 파수 \(k\) 의 모드의 중첩. 아래 — 각 모드는 독립적인 조화진동자에 대응하며, 그 들뜸 양자수 \(n_k\) 가 그 모드의 입자수를 나타낸다. 오른쪽 소그림은 에너지 준위이며, 원표시가 현재 들뜸상태.
🟡 리나: 이것이 제 4 장에서 자세히 할 내용의 예고예요. 지금은 「조화진동자의 \(\hat{a}^\dagger\) 가 입자를 생성하는 연산자가 된다」는 이미지만 잡아 두세요.
✅ 이해도 체크: 장의 양자론에서, 장을 Fourier 전개하면 각 모드는 어떤 계에 대응하며, 그 모드의 「양자수 \(n\)」은 무엇을 의미할까요?
답
장을 Fourier 전개하면, 각 모드는 독립적인 조화진동자에 대응한다. 그 모드의 양자수 \(n\) 은, 그 모드에 존재하는 입자의 수로 해석된다. 즉 「장의 양자론 = 무한개의 조화진동자의 양자화」이며, 각 진동자의 들뜸이 입자에 대응한다.
Fock 공간——입자수가 변하는 세계의 무대¶
🟡 리나: 입자의 수가 변하는 세계를 기술하려면, 상태공간도 확장할 필요가 있어요. 양자역학에서 사용하던 Hilbert (힐베르트) 공간——양자역학의 상태벡터 \(|\psi\rangle\) 가 살고 있는 공간이에요——은, 입자수가 고정된 계의 상태공간이었어요. 장의 양자론에서는 이것을 Fock (포크) 공간으로 확장해요.
🟡 리나: Fock 공간의 구성을 설명할게요 (그림 1.14「Fock 공간의 구조」 도 참고해요). 먼저 입자가 0개인 상태——진공 \(|0\rangle\)——을 정의해요. 다음으로, 1입자 상태의 공간 \(\mathcal{H}_1\) (「운동량 \(\mathbf{p}\) 인 입자가 1개 있는」 상태들이 이루는 공간), 2입자 상태의 공간 \(\mathcal{H}_2\) (운동량 \(\mathbf{p}\) 와 \(\mathbf{q}\) 인 입자가 1개씩 있는 상태나, 같은 운동량의 입자가 2개 있는 상태 등이 이루는 공간), ……을 준비하고, 이것들을 전부 합친 것이 Fock 공간이에요:
🔵 카이: \(\oplus\) 는 뭔가요? 보통의 덧셈과는 다르죠?
🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(\oplus\) 는 직합 (direct sum)이라고 읽어요. 직합이란, 서로 다른 입자수의 부분공간을 「각각 독립인 채로 하나의 큰 공간에 합치는」 조작이에요. 친숙한 비유로 말하면, \(x\) 축과 \(y\) 축을 합쳐서 \(xy\) 평면을 만드는 것이 두 개의 1차원 공간의 직합이에요. \(x\) 방향 성분과 \(y\) 방향 성분은 서로 간섭하지 않는 독립적인 방향이고, 평면 위의 임의의 벡터는 「\(x\) 방향 성분」과 「\(y\) 방향 성분」으로 유일하게 분해할 수 있잖아요? 직합은 이것과 같은 것을, 더 많은 (경우에 따라서는 무한개의) 공간에 대해 하는 조작이에요. Fock 공간의 임의의 상태는 「입자 0개 성분 + 입자 1개 성분 + 입자 2개 성분 + ……」으로 유일하게 분해할 수 있어요.
🔵 카이: 그렇구나, \(xy\) 평면의 비유는 이해하기 쉬워요. 그런데 무한개의 「축」이 있다는 거잖아요?
🟡 리나: 맞아요. 여기서 \(\mathcal{H}_0\) 는 진공상태 \(|0\rangle\) 만으로 이루어진 1차원 공간, \(\mathcal{H}_1\) 은 「운동량 \(\mathbf{p}\) 인 입자가 1개」인 상태들이 이루는 공간으로, \(\mathbf{p}\) 가 취할 수 있는 값의 수만큼 기저가 있어요 (연속적인 운동량을 고려하면 무한차원이 되지만, 지금은 「많은 기저가 있는 큰 공간」 정도로 생각해 두면 괜찮아요). 이미지로는, 각 공간을 「방」으로 비유하고, 그것들을 복도로 연결한 큰 건물을 만드는 느낌이에요. 입자 0개의 방, 1개의 방, 2개의 방……이 전부 연결되어 있고, 생성·소멸 연산자가 「방 사이의 문」 역할을 해요.
그림 1.14: Fock 공간의 구조. 각 「방」 \(\mathcal{H}_n\) 은 입자가 \(n\) 개 있는 상태의 공간. 생성연산자 \(\hat{a}^\dagger\) 는 입자를 1개 늘려서 오른쪽 옆방으로 이동시키고, 소멸연산자 \(\hat{a}\) 는 입자를 1개 줄여서 왼쪽 옆방으로 이동시킨다.
🔵 카이: 그렇구나, \(x\) 축과 \(y\) 축을 합치듯이, 입자수별 공간을 전부 합친 「큰 공간」 안에서 물리가 전개된다는 거군요. 게다가 방이 무한개이니까, Fock 공간은 무한차원이라는 건가요? 그리고 입자수가 변한다는 건, 어떤 「방」에서 다른 「방」으로 이동한다는 거잖아요? 그것을 실현하는 연산자가 있나요?
🟡 리나: 맞아요, Fock 공간은 무한차원이에요——각 「방」 \(\mathcal{H}_n\) 자체가 이미 무한차원(운동량이 연속적인 값을 취할 수 있으니까)이고, 게다가 그것이 무한개 있어요. 그리고 「방 사이를 이동하는」 연산자——바로 그것이 생성연산자 \(\hat{a}^\dagger\) 와 소멸연산자 \(\hat{a}\) 예요. \(\hat{a}^\dagger\) 가 입자를 1개 늘리고, \(\hat{a}\) 가 입자를 1개 줄여요. 즉 연산자가 서로 다른 입자수의 부분공간을 연결하는 거예요.
⚪ 메이: 즉 양자역학에서는 연산자가 입자수가 고정된 공간 안에서 상태를 바꿀 뿐이었지만, Fock 공간에서는 생성·소멸 연산자가 「방 사이의 문」을 열어 입자수를 바꿀 수 있는 거네요.
🟡 리나: 맞아요. 이것이 「입자의 생성·소멸」의 수학적 실현이에요.
🟡 리나: 구체적으로 쓰면, 운동량 \(\mathbf{p}\) 의 입자를 생성하는 연산자 \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}}\) 는:
여기서 \(|n_{\mathbf{p}}\rangle\) 라는 기호를 도입할게요. 이것은 「운동량 \(\mathbf{p}\) 의 모드에 입자가 \(n\) 개 있는 상태」를 나타내는 표기법이에요. \(n = 0\) 이면 입자 없음(진공), \(n = 1\) 이면 입자 1개, 이런 식이에요. 이 표기법을 사용하면:
즉 식 (1.22)는 「진공에 운동량 \(\mathbf{p}\) 의 입자를 1개 생성한다」는 의미예요. 일반적으로:
이 \(\sqrt{n+1}\) 이라는 계수는, 양자역학 「양자역학」편 제 8 장 에서 조화진동자의 생성연산자에 대해 도출한 \(\hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle\) 과 완전히 같은 구조예요. 「왜 \(\sqrt{n+1}\) 인가」는 「양자역학」편 제 8 장 에서 교환관계로부터 도출했으니, 잊었다면 다시 살펴봐요. 식 (1.22)는 이 일반공식에서 \(n_{\mathbf{p}} = 0\) 으로 한 경우에 해당해요——\(\sqrt{0+1} = 1\) 이니까 계수가 1이 되어 보이지 않을 뿐이에요. 예를 들어 \(n_{\mathbf{p}} = 1\) 을 대입하면:
소멸연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) 는 반대로 입자를 1개 줄여요:
특히 중요한 것은 \(n_{\mathbf{p}} = 0\) 인 경우. 대입하면 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0_{\mathbf{p}}\rangle = \sqrt{0}\,|(-1)_{\mathbf{p}}\rangle = 0\)——계수 \(\sqrt{0} = 0\) 이 곱해지니까 우변 전체가 0이 돼요. 즉 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) 으로, 진공에서 더 이상 입자를 제거할 수 없어요. 이것이 「사다리의 맨 아래」에 대응해요.
🔵 카이: 오오! 조화진동자의 「에너지 준위 사다리를 올라가는 것」이 「입자를 1개 늘리는 것」으로 바뀌는 거군요! 그리고 맨 아래가 진공이고, 그 이상은 내려갈 수 없다. 그런데 무한개의 조화진동자가 있다면, 영점에너지 \(\frac{1}{2}\hbar\omega\) 도 무한개분으로 발산하지 않나요?
🟡 리나: 예리해요. 사실 그 문제는 정말로 존재해요. 하지만 지금은 앞으로 나아가고 Part V 「되맞춤」에서 그 문제에 정면으로 맞서 볼게요. 우선 보손의 경우의 기본적인 대수를 써 두울게요. 여기서는 이야기를 간단히 하기 위해, 상자 안에 장을 가두어 허용되는 운동량을 떨엄떨엄한 값으로 제한한 경우를 생각할게요 (기타 줄에서 허용되는 진동수가 떨엄떨엄해지는 것과 같은 이치예요. 이산적인 쪽이 합으로 쓸 수 있어서 다루기 쉬워요). 보손의 생성·소멸 연산자는 교환관계 (commutator)를 만족해요:
fermion (페르미온)의 경우에는 반교환해요:
여기서 \(\delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\) 는 「\(\mathbf{p} = \mathbf{q}\) 일 때 1, 그 외에서 0」을 의미하는 Kronecker 델타예요 (운동량을 이산적으로 다루는 경우). 아까 나온 Dirac 델타 \(\delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) 의 이산 버전이에요. 연속적인 운동량을 사용하는 경우에는 \(\delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) 로 치환되지만 본질은 같아요——「같은 모드끼리만 0이 아닌 교환관계를 갖는다」는 거예요.
🔵 카이: 교환관계와 반교환관계로 뭐가 달라지나요?
🟡 리나: 큰 차이가 있어요. 페르미온의 경우, 생성연산자끼리도 반교환관계를 만족해요: \(\{\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{q}}\} = 0\). 특히 \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\) 로 하면 \(2(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}})^2 = 0\), 즉 \((\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}})^2 = 0\) 이 도출돼요. 이것은 같은 상태에 입자를 2번 생성하려고 하면 결과가 0이 된다는 것——Pauli의 배타원리가 자동으로 나오는 거예요.
🔵 카이: 그렇구나, \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}}\) 를 2번 작용시키면 \(0\) 이 되니까, 같은 상태에 2번째는 넣을 수 없는 거군요.
⚪ 메이: 배타원리를 따로 가정하지 않아도 반교환관계에서 도출되는 거네요.
🟡 리나: 그림 1.15「보손과 페르미온의 점유수 차이. 왼쪽」 에 보손과 페르미온의 점유수 차이를 그림으로 나타냈어요. 그리고 아래 표에도 양자의 성질을 대비해 두었어요.
그림 1.15: 보손과 페르미온의 점유수 차이. 왼쪽 — 보손은 교환관계를 만족하며, 같은 양자상태에 몇 개든 입자가 들어갈 수 있다. 오른쪽 — 페르미온은 반교환관계를 만족하며, 각 상태에 최대 1개만 들어갈 수 있다(Pauli의 배타원리).
표 1.7: 보손과 페르미온의 비교
| 보손 (광자, Higgs 입자 등) | 페르미온 (전자, 쿼크 등) | |
|---|---|---|
| 통계 | Bose-Einstein 통계 | Fermi-Dirac 통계 |
| 대수적 관계 | 교환관계 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{q}}] = \delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\) | 반교환관계 \(\{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{q}}\} = \delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\) |
| 점유수 | \(n = 0, 1, 2, 3, \ldots\) (제한 없음) | \(n = 0, 1\) 만 (배타원리) |
| 스핀 | 정수 (\(0, 1, 2, \ldots\)) | 반정수 (\(1/2, 3/2, \ldots\)) |
| 대표례 | 광자, 글루온, \(W/Z\), Higgs | 전자, 쿼크, 뉴트리노 |
| 🟡 리나: 맞아요. 이것이 장의 양자론의 대수적 골격이에요. 제 4 장와 제 5 장에서 스칼라장과 Dirac 장에 대해 이것을 실행해 나갈게요. |
✅ 이해도 체크: 페르미온의 생성연산자가 반교환관계를 만족하는 것으로부터, Pauli의 배타원리가 어떻게 도출될까요?
답
반교환관계 \(\{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{q}}\} = \delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\) 로부터 \((\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}})^2 = 0\) 이 도출된다. 이것은 같은 상태 \(\mathbf{p}\) 에 입자를 2번 생성하려 하면 결과가 0이 된다는 것을 의미하며, 동일한 양자상태에 2개 이상의 페르미온이 존재할 수 없다는 Pauli의 배타원리가 자동적으로 성립한다.
✅ 이해도 체크: Fock 공간이 통상의 Hilbert 공간과 본질적으로 다른 점을 1가지 들어 주세요.
답
Fock 공간은 서로 다른 입자수의 상태를 동시에 포함한다 (입자수 0, 1, 2, ... 의 부분공간의 직합). 통상의 Hilbert 공간은 입자수가 고정되어 있는 반면, Fock 공간에서는 생성·소멸 연산자가 입자수를 변화시키는 조작을 가능하게 한다.
1.8 인류 역사상 가장 정밀한 모형¶
🟡 리나: 마지막으로, 장의 양자론이 얼마나 성공적인지를 보여주는 숫자를 소개해 둘게요.
장의 양자론 중에서도 특히 성숙한 것이 QED (Quantum Electrodynamics, 양자전기역학)——전자와 광자의 상호작용을 기술하는 모형이에요. QED에 의한 전자의 비정상 자기모멘트 (anomalous magnetic moment)의 이론 예측은:
실험값은:
여기서 괄호 안의 숫자는 끝자리의 불확정도를 나타내요. 예를 들어 실험값의 \((28)\) 은 마지막 2자리에 \(\pm 28\) 의 불확정도가 있다는 의미예요. 이론값의 \((77)\) 이면 마지막 2자리에 \(\pm 77\) 의 불확정도가 있다는 뜻이에요. (이론값은 QED의 5차(5 루프) 보정에 더해, 하드론 보정과 약한 힘의 보정도 포함한 계산 결과. 실험값은 Penning 트랩을 이용한 정밀측정에 의한 것. 자세한 것은 Aoyama et al., Phys. Rev. Lett. 109, 111807 (2012) 및 Hanneke et al., Phys. Rev. Lett. 100, 120801 (2008)을 참조.)
🔵 카이: 소수점 아래 10자리까지 일치한다니! 그런데, 왜 「비정상」 자기모멘트라고 하는 건가요? 보통 자기모멘트와 뭐가 다른 건지.
🟡 리나: 좋은 질문이에요. 자기모멘트라는 것은 전자가 가진 「작은 자석으로서의 세기」를 말해요. 전자는 스핀을 갖고 있으니까, 회전하는 하전입자로서 자기장을 만들어요. Dirac 방정식으로부터 예측되는 자기모멘트 값을 「정상값」이라 하면, 실제 값은 거기서 아주 조금 어긋나 있어요. 그 어긋남의 크기를 나타내는 무차원량이 \(a_e\) 이고, 「비정상 자기모멘트」라고 불러요. 구체적으로는 \(a_e = (g - 2)/2\) 로 정의되는 양으로, \(g\) 는 자기모멘트의 크기를 결정하는 「\(g\) 인자」예요 (「양자역학」편 제 17 장 에서 배운 Dirac 방정식의 예측은 \(g = 2\)). 만약 Dirac 방정식이 완전히 올바르다면 \(a_e = 0\) 이 될 텐데, 실제로는 0이 아니에요. 그 어긋남의 원인은, 전자가 가상 광자를 방출·흡수하는 양자보정——바로 장의 양자론에서 계산하는 효과——이에요.
⚪ 메이: Dirac 방정식만으로는 완전히 맞지 않고, 가상 광자의 효과가 실측 가능한 어긋남을 만든다——장의 양자론이 필요하다는 증거네요.
🟡 리나: 이것은 도쿄에서 뉴욕까지의 거리를 재서, 머리카락 한 올분 이하의 오차밖에 없는 정밀도에 해당해요. 장의 양자론은 「아름답기만 한 이론」이 아니라, 인류가 지금까지 만들어 낸 가장 정밀하게 테스트된 물리 모형이에요.
🔵 카이: 아까 힘의 매개에서 나온 가상 광자가 자기모멘트의 어긋남까지 일으키는구나……. 그런데, 가상 광자가 여러 번 나갔다 들어왔다 하면, 계산이 무한히 복잡해지지 않나요? 1번의 방출·흡수, 2번, 3번……하고 무한히 더하면 발산하지 않나요?
🟡 리나: 바로 거기가 장의 양자론의 핵심적 어려움이에요. 실제로, 소박하게 계산하면 무한대가 나와요. 하지만 그것을 체계적으로 처리하는 방법——「되맞춤 (renormalization)」——이 있어요. Part V에서 정면으로 다룰게요. 기대하고 있어요.
🔵 카이: 무한대가 나오는데 그것을 처리해서 10자리의 정밀도가 나온다니……. 무한대를 「처리한다」는 건, 무한대를 무시한다는 건가요? 아니면 뭔가 다른 방법이 있나요?
🟡 리나: 무시하는 게 아니라, 체계적으로 「흡수하는」 방법이 있어요. 하지만 그건 Part V의 이야기예요. 지금은 「장의 양자론은 놀라운 정밀도로 자연을 기술한다」는 사실만 가지고 가세요.
🔵 카이: 음, 「흡수한다」고 해도 아직 잘 모르겠지만……. 반대로 말하면, 무한대가 나오는데 처리할 수 있다는 건 무한대의 「나오는 방식」에 뭔가 규칙성이 있다는 뜻이잖아요? 제멋대로 발산한다면 처리할 방법이 없을 테니까.
🟡 리나: 예리하네요. 바로 그 통이에요, 발산의 구조에 규칙성이 있어요——구체적으로는, 무한대가 항상 「질량」이나 「전하」 같은 소수의 파라미터의 재정의에 흡수될 수 있는 형태로 나타나요. 그래서 체계적으로 처리할 수 있는 거예요. 그 메커니즘의 정체가 Part V의 주제예요. 기대하고 있어요.
🔵 카이: 소수의 파라미터에 흡수할 수 있다……. 그러면 무한대가 나오는 장소는 매번 달라도, 그 「형태」는 항상 같은 패턴인 건가요? 아직 전혀 감이 안 잡히지만, Part V가 기대돼요.
🟡 리나: 자, 이 장에서 봐 온 것을 돌아보면——Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 파탄, 쌍생성의 불가피성, 인과율의 요청, 이것들 모두가 「1입자의 양자역학으로는 불충분하다」는 같은 결론을 가리키고 있고, 그 해결책이 「장을 양자화하여 Fock 공간에서 기술한다」는 것이었어요. 3가지 논거가 서로 독립이면서도 같은 결론에 수렴한다는 것——이것은 장의 양자론이 「우연히 잘 맞는」 것이 아니라, 자연이 정말로 그렇게 되어 있다는 강력한 증거예요.
⚪ 메이: 독립적인 논거가 같은 결론을 가리키고 있는 것이 깔끔하네요. 이제부터 그 이론을 처음부터 구축해 나가는 것이 기대돼요.
✅ 이해도 체크: QED(양자전기역학)의 정밀도를 보여주는 대표적인 물리량은 무엇이며, 이론과 실험은 어느 정도 일치할까요?
답
대표적인 물리량은 전자의 비정상 자기모멘트 \(a_e\) 이다. QED의 이론 예측과 실험값은 소수점 아래 10자리까지 일치하며, 이것은 인류가 지금까지 달성한 가장 정밀한 이론과 실험의 일치이다.
1.9 본 「장의 양자론」편 전체의 로드맵¶
🟡 리나: 마지막으로, 앞으로 24장에 걸친 여행의 전체상을 조망해 봅시다. 크게 7개의 Part로 나뉘어요. 그림 1.16「본 「장의 양자론」편 전체의 로드맵(전 24장·7파트 구성)」 에 시각적인 로드맵을 보여 두었어요.
그림 1.16: 본 「장의 양자론」편 전체의 로드맵(전 24장·7파트 구성). Part I(이 장을 포함한 복습과 고전장)에서 시작하여, 자유장의 양자화, QED와 Feynman 도, 경로적분, 되맞춤, 표준모형으로 진행하며, 최종적으로 양자중력 문제에 도달한다.
Part I: 복습과 고전장 (제1장~제 3 장)
- 제 2 장 특수상대론과 Lorentz 불변성의 복습
- 제 3 장 고전장의 이론 (Lagrangian, Noether의 정리)
Part II: 자유장의 정준 양자화 (제4장~제 6 장)
Part III: 첫 번째 보상——QED와 Feynman 다이어그램 (제7장~제 9 장)
Part IV: 경로적분 (제10장~제 12 장)
- 제 10 장 양자역학의 경로적분
- 제 11 장 장의 경로적분과 생성범함수
- 제 12 장 페르미온의 경로적분 (Grassmann 수)
Part V: 되맞춤과 되맞춤군 (제13장~제 16 장)
Part VI: 표준모형 (제17장~제 21 장)
- 제 17 장 Yang-Mills 이론과 게이지 대칭성
- 제 18 장 대칭성의 자발적 깨짐
- 제 19 장 Higgs 메커니즘과 질량의 기원
- 제 20 장 전약 통일이론
- 제 21 장 QCD와 표준모형의 완성
Part VII: 그 너머로 (제22장~제 24 장)
- 제 22 장 응집물질에의 응용 (초전도·양자 홀 효과)
- 제 23 장 비섭동적 현상 (솔리톤·모노폴·인스탄톤)
- 제 24 장 양자중력 문제에의 도전——장의 양자론의 한계와 양자중력으로의 입구
🔵 카이: 장대한 여행이네요……. 하지만 오늘의 이야기로 「왜 이 여행이 필요한가」는 잘 알겠어요.
⚪ 메이: 정리하면, Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 파탄, 쌍생성의 불가피성, 인과율의 요청——3가지 독립적인 논거가 모두 「장의 양자화」를 요구하고 있고, 그 무대가 Fock 공간이에요. 여기서부터는 이 틀을 구체적으로 구축해 나가는 여행이네요.
🟡 리나: 맞아요. 「왜」를 알고 있으면 「어떻게」는 반드시 이해할 수 있어요. 다음 장에서는 먼저 특수상대론의 도구를 정비하고, Lorentz 공변적 표기법에 익숙해집시다.
다음 장 예고¶
제 2 장 특수상대론과 Lorentz 불변성의 복습
장의 양자론을 정식화하려면, Lorentz 불변성을 자유자재로 다루는 「언어」가 필수적이다. 다음 장에서는 4원벡터, Lorentz 변환, 계량텐서 \(\eta_{\mu\nu}\), 공변·반변의 구별을 정리하고, 물리량을 첨자로 써 내리는 기술을 익힌다. 일반상대성이론 제3~4장의 내용을 QFT 용으로 재구성한다. 이 표기법에 익숙해지면, 이후의 장에서 등장하는 모든 방정식이 「Lorentz 불변임」을 한눈에 확인할 수 있게 된다.
연습문제¶
📝 연습문제:
- Klein-Gordon 방정식의 확률밀도 계산 → 문제 M-1. Klein-Gordon 방정식의 확률 흐름 밀도의 Lorentz 공변성
- Compton 파장과 불확정성 원리 → 문제 B-5. Compton 파장의 계산
- Compton 파장과 쌍생성의 스케일 → 문제 M-3. Compton 파장과 위치의 국소화
- 쌍생성의 문턱 에너지 → 문제 B-7. 불확정성 관계에 의한 쌍생성의 시간 스케일
참고문헌¶
- Lancaster & Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur 제1장 「What is quantum field theory?」
- 사카모토 마히토 『場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして』 제8장 「場と粒子」
- Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model 제1장 「Microscopic theory of radiation」
- Tong, Lectures on Quantum Field Theory 제1장 「Classical Field Theory」 서론
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