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제 1 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 해왕성의 질량 추정

천왕성의 궤도 어긋남으로부터 미지의 행성(해왕성)의 질량을 추정하는 문제를 생각해 봐요. 천왕성의 궤도 반지름을 \(r_U\), 해왕성의 궤도 반지름을 \(r_N\), 관측된 가속도의 어긋남을 \(\delta a\)라 할 때, 해왕성의 질량 \(M_N\)을 \(\delta a\), \(r_U\), \(r_N\), \(G\)로 나타내세요.

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B-2. 왜 T-V 이지 T+V 가 아닌가

질량 \(m\)인 공을 연직 방향으로 위로 던지는 운동을 생각해요. \(y(t)\)를 높이로 하고, \(T = \frac{1}{2}m\dot{y}^2\), \(V = mgy\)로 놓아요.

(a) 라그랑지안을 \(L = T - V\)로 하여 오일러-라그랑주 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0\)을 적용하고, 뉴턴의 운동방정식 \(m\ddot{y} = -mg\)가 얻어지는 것을 확인하세요.

(b) 대신 \(L' = T + V = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy\)로 하여 같은 오일러-라그랑주 방정식을 적용하고, \(m\ddot{y} = +mg\) (중력이 위를 향한다!)라는 비물리적인 결과가 얻어지는 것을 확인하세요.

포인트

\(T + V\)를 사용하면 "공이 위로 가속한다"는 실험과 모순되는 결과가 나와요. \(T - V\)여야 하는 이유는 "그렇게 하지 않으면 실험과 맞지 않기 때문"——즉, 라그랑지안의 형태는 가설이며, 실험으로 검증되는 것이에요.

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Medium（표준）

M-1. Kepler의 제3법칙 도출

만유인력 \(F = GMm/r^2\) 과 원운동의 조건 \(F = mv^2/r\) 을 이용하여, 원궤도의 경우에 Kepler의 제3법칙 \(T^2 \propto r^3\) 을 도출하세요.

힌트

원운동의 주기는 \(T = 2\pi r / v\) 예요.

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M-2. 중력 퍼텐셜의 계산

원점에 질량 \(M\)의 점입자가 놓여 있을 때, 푸아송 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho\)를 구대칭 가정 하에서 풀어 \(\Phi = -GM/r\)을 도출하세요.

힌트

구좌표에서의 라플라시안은 \(\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\)이에요 (\(r \neq 0\) 영역에서 \(\rho = 0\)).

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