콘텐츠로 이동

부록 D 연습문제

← 본문으로 돌아가기　|　풀이 보기

목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 정수의 덧셈군

정수의 덧셈 \((\mathbb{Z}, +)\) 이 군의 4가지 조건을 만족하는지 확인하세요.

→ 풀이 보기

B-2. 양의 실수의 곱셈군

양의 실수 전체와 곱셈 \((\mathbb{R}^+, \times)\) 이 군을 이루는 것을 확인하세요. 단위원과 역원은 무엇인가요?

→ 풀이 보기

B-3. 정수의 곱셈은 군이 아니다

정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)에 통상적인 곱셈 \(\times\)을 연산으로 정의한 \((\mathbb{Z}, \times)\)가 군이 되지 않음을, 군의 공리(닫힘성·결합법칙·항등원·역원)를 하나씩 확인하면서 보여라.

→ 풀이 보기

B-4. \(U(1)\) 의 군 조건

\(U(1)\) 의 원소 \(e^{i\theta}\) 가 군의 조건을 만족하는 것을 확인하세요.

→ 풀이 보기

B-5. 3차원 \(z\) 축 회전

3차원 공간에서 \(z\) 축 둘레의 회전행렬은

\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\\sin\theta & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

으로 주어져요. \(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2) = R_z(\theta_1 + \theta_2)\) 가 성립함을 행렬의 곱을 구체적으로 계산하여 보이세요.

→ 풀이 보기

B-6. Pauli 행렬의 교환 관계 \([\sigma_1, \sigma_2]\)

Pauli 행렬 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)에 대해 \([\sigma_1, \sigma_2] = 2i\sigma_3\)을 행렬의 곱을 계산하여 확인하세요.

→ 풀이 보기

B-7. Pauli 행렬의 교환관계 (모든 조합)

\([\sigma_2, \sigma_3]\) 와 \([\sigma_3, \sigma_1]\) 도 계산하고, \([\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) 가 모든 조합에 대해 성립함을 확인하세요.

→ 풀이 보기

B-8. 교환관계의 반대칭성

\([A, B] = -[B, A]\)（교환관계의 반대칭성）를 정의로부터 보이세요.

B-9. 스핀 1/2의 고유값과 고유벡터

스핀 \(1/2\) 입자의 상태는 2성분 벡터 \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\)로 표현돼요. \(\sigma_3\)의 고유값과 고유벡터를 구하고, 「스핀 위 방향」「스핀 아래 방향」에 대응하는 것을 확인하세요.

→ 풀이 보기

Medium（표준）

M-1. \(SU(2)\) 원소의 지수함수 표현

\(2 \times 2\) 행렬 \(U = e^{i\theta\sigma_3/2}\)를 구체적으로 계산하세요 (\(e^{iA} = I + iA + (iA)^2/2! + \cdots\)를 사용합니다. \(\sigma_3\)은 대각행렬이므로 간단합니다). \(U^\dagger U = I\)와 \(\det U = 1\)을 확인하세요.

→ 풀이 보기

M-2. Jacobi 항등식 (Pauli 행렬로 확인)

Pauli 행렬 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) 을 사용하여, Jacobi 항등식

\[ [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 \]

이 성립하는 것을 \(A = \sigma_1,\; B = \sigma_2,\; C = \sigma_3\) 의 경우에 구체적으로 계산하여 확인하세요.

→ 풀이 보기

M-3. \(SU(N)\) 의 매개변수 수

\(SU(N)\) 의 매개변수 수가 \(N^2 - 1\) 임을, "\(N \times N\) 유니타리 행렬의 매개변수 수 \(N^2\) 에서 \(\det = 1\) 조건으로 1개를 빼는" 논의로 보이세요. \(N = 2, 3\) 의 경우를 확인하세요.

→ 풀이 보기